（基础数学专业论文）若干类序半群的研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 全文分为三章 第一章是引言与预备知识 第二章给出有关序半群的子幂等元和左正则序半群以及极大左理想等的若 干性质；利用极大左理想刻画无子幂等元，且任意真左理想是a r c h i m e d e a n ( 1 - a r c h i m e d e a n ) 子半群的序半群 第三章在半群的幂零扩张的基础上研究了若干类序半群的幂零扩张，诸如， a r c h i m e d e a n 序半群的幂零扩张，( 左) 单序半群的幂零扩张和完全a r c h i m e d e a n 序半群的幂零扩张 关键词极大左理想，左单序半群，子幂等元，1 - a r c h i m e d e a n 序半群， 幂零序半群，幂零扩张 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i si n t r o u d u c t i o na n dp r e l i m i l a r i e s i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e so fs u b i d e m p o t e n t s ，l e f tr e g u l a ro r - d e r e ds e m i g r o u p sa n dm a x i m a ll e f ti d e a l s w eg i v ec h a r a c t e r i z a t i o n so fo r - d e r e ds e m i g r o u p sw i t h o u ts u b i d e m p o t e n ta n dw h o s ep r o p e rl e f ti d e a l sa r e a r c h i m e d e a n ( 1 - a r c h i m e d e a n ) o r d e r e ds e m i g r o u p s i nc h a p t e r3 ，w es t u d y n i l e x t e n s i o n so fs o m eo r d e r e ds e m i g r o u p so nt h e b a s eo fn i l - e x t e n s i o n so fs o m e s e m i g r o u p s ，s u c ha sn i l - e x t e n s i o n so fa r c h i m e d e a n o r d e r e ds e m i g r o u p s ，n i l - e x t e n s i o n so f ( 1 e f t ) s i m p l eo r d e r e ds e m i g r o u p sa n dc o r n - p l e t e l ya r c h i m e d e a no r d e r e ds e m i g r o u p s k e y w o r d sm a x i m a ll e f ti d e a l ，l e f ts i m p l eo r d e r e ds e m i g r o u p ，s u b i d e m p o - t e n t ，1 - a r c h i m e d e a no r d e r e ds e m i g r o u p ，n i l - o r d e r e ds e m i g r o u p ，n i l - e x t e n s i o n 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“”) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士囤若干类序半群的 研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士回 学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包 含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中己明确的方式注明。本声明的法律结果将 完全由本人承担。 名：卉黝匆 嗍如矿心o 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 若干类序半群的研究系本人在曲阜师范大学攻读博士口硕士砂 学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士眯浮位论文。本论文的 研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的 名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许 论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复 制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 日期：五即矿仁，o 日期：凶吣6 ，d 髟，f 口 第一章引言与预备知识 半群的理想在半群的研究中起着重要的作用许多学者在2 0 世纪6 0 年 代给出了有关理想的基本性质，并利用半群的各种类型理想来刻画某些半群的 结构序半群是半群理论研究的热点之一有关序半群的各种类型的理想，希 腊学者k e h a y o p u l u 1 0 ，1 1 ，1 2 1 引入了序半群的理想，素理想，弱素理想等基本 概念并得出了它们的一些基本性质吴明芬，谢祥云 2 7 ，3 3 得出了弱素理想 与拟素理想等的一些性质这些都为利用理想理论研究序半群奠定了基础之 后，k e h a y o p u l u 【1 4 ，1 9 ，2 1 ，2 2 ，2 3 和l e e 2 5 】等利用各类型的理想给出了正则序 半群，内禀正则序半群，完全正则序半群以及拟完全正则序半群的刻画吴明 芬，谢祥云在 2 8 ，3 4 】中引入序半群d 理想，c 一左理想的概念，并通过d 理想 刻画了序半群的结构许新斋在 3 1 】利用右理想和理想给出了右7 r 一正则序半 群的一些刻画，推广了 2 0 ，2 9 】的相关结果2 0 0 2 年，许新斋在【3 0 】中利用序理 想刻画了7 r 一正则序半群和完全7 r 一正则序半群以及拟完全丌正则序半群，从 而推广了 1 8 ，1 9 ，2 3 ，2 5 】中相应结果第二章首先给出序半群子幂等元，极大左 理想和左正则序半群以及弱交换序半群 7 ，9 ，1 3 等的若干性质；然后，运用 1 ，7 】 中研究半群的有关方法，利用序半群的极大左理想刻画无子幂等元，且任意真 左理想是a r c h i m e d e a n ( 1 - a r c h i m e d e a n ) 子半群的序半群 序半群的幂零扩张是序半群研究的课题之一，主要利用序半群的理想给出 若干类序半群的等价刻画，从不同角度了解序半群的结构第三章研究若干类 序半群的幂零扩张，诸如，a r c h i m e d e a n 序半群的幂零扩张，( 左) 单序半群的幂 零扩张以及完全a r c h i m e d e a n 序半群的幂零扩张 本文中未加说明的符号和术语同8 ，3 2 定义1 1 1 6 令s 为半群若“ 是s 上的偏序关系，且对任意的a ，b ，z s 有 a b 今x a x b 且a x b x ， 则称( s ，) 是序半群在不致于混淆的前提下，( s ，) 简写为s 1 第一章引言与预备知识 设t 是序半群s 的子半群，日是t 的非空子集集合 t ti ( 3 h h ) 芒九) 记为( h i t 若t = s ，则( h t 简记为( 矧 定义1 2 1 7 令s 是序半群，仍i s 若，满足 1 ) s ，j ( ，s ，) ； 2 ) 任意的a i ，b a 号b i ， 则称，为s 的左( 右) 理想若，既是s 的左理想又是s 的右理想，则称j 是 s 的理想 任意的a s ，由a 生成的左( 右) 理想分别记为l ( a ) ( 冗( o ) ) 不难验证， l ( a ) = ( aus o 】；r ( a ) = ( aua s 由a 生成的理想( au s aua sus a s 】记为j ( 口) ，称为s 的主理想 引理1 3 1 1 0 1 令s 是序半群则下列条件成立： ( 1 ) 若仍a s ，贝0a 冬( 卅； ( 2 ) 若a b s ，则( a b 】； ( 3 ) 若a 为s 的任意型理想，则( a i = a ； ( 4 ) 若a ，j e 7 s ，贝0 ( a 】( b 】( 4 b 】； ( 5 ) 若a ，b s ，一般地，( anb 】( a 】n ( b 】； ( 6 ) 若a ，b 是s 的理想，则( a b ，a ub 也是s 的理想； ( 7 ) 任意的a s ，均有( s a 是s 的左理想 序半群s 上的g r e e n 关系是s 上的如下二元关系 17 】： 冗= ( z ，y ) l n ( x ) = r ( 可) ) ； c = ( z ，y ) l l ( x ) = l ( 秒) ) ； t = ( z ，秒) i ，( z ) = j ( 可) ) ； 2 曲阜师范大学硕士学位论文 7 - = 冗n 定义1 4 1 4 】令k 是序半群s 的左理想若k 不真包含s 的左理想，则 称k 是s 的极小左理想 定义1 5 若序半群s 的所有理想的交非空，则称其为s 的核，记为k ( s ) 性质1 6 令是序半群s 的理想，l 是s 的极小左理想则l ， 证由l 是s 的左理想知( j 翻( s 翻( 纠= l 易知( j 纠是s 的 左理想由三是s 的极小左理想知( ，纠= l 又( 儿 ( 翻( i 】= i 故 l ， 性质1 7 令l 是序半群s 的极小左理想，t s 则( 三列也是s 的极小左 理想 证由l 是s 的左理想知s ( l t 】( s l t 】( l t ，即( 三胡是s 的左理想 令k 是s 的左理想，k ( 己乩且l 1 = a lfa t k ) ，c s ，a l 1 则 a l ，a t k 从而( c a ) t = c ( a t ) s k k ，且c a s l l 故c a l 1 ， 即s l l l 1 令a l 1 l ，b a 由三是s 的左理想知b l 由b a 知 b t a t k 由k 是序半群s 的左理想知b t k 从而b l 1 故l 1 是s 的左理想由三1 厶l 是s 的极小左理想知l 1 = l 令x ( l t 则存在y l = l 1 使得z y t 由y t k ，且k 是s 的左 理想知z k ，即( 三胡k 又k ( 三扎则k = ( l t 因此( l 叫是s 的极 小左理想 定义1 s 2 5 】令s 是序半群若对任意的a ，b s ，存在n z + 使 得a n ( s b ( a n ( b s ) ，即对任意的a ，b s ，存在讫z 十，x s 使得 a n x b ( a n b x ) ，则称s 是左( 右) 阿基米德( 1 - ( r 一) a r c h i m e d e a n ) 序半群若 对任意的a ，b s ，存在n z + 使得a n ( s b 翻，即对任意的a ，b s ，存 在礼z + ，z ，y s 使得a n x b y ，则称s 是阿基米德( a r c h i m e d e a n ) 序半 群若s 既是1 - a r c h i m e d e a n 的又是r - a r c h i m e d e a n 的，则称s 是双阿基米德 ( t - a r c h i m e d e a n ) 序半群 3 第一章引言与预备知识 引理1 9 序半群s 是( 1 - ( r - ) ) a r c h i m e d e a n 的当且仅当s 的任意( 左，右) 理想是s 的( 1 ，( r ) ) a r c h i m e d e a n 序子半群 证必要性只证s 是a r c h i m e d e a n 的情形令j 是s 理想，a ，b i ，对 a ，b 2 l ，由s 是a r c h i m e d e a n 的知存在z ，y s ，佗z + 使得a n x b 2 y = ( x b ) ( b y ) 由a ，b i ，i 是s 的理想知曲，y a i 因此j 是a r c h i m e d e a n 的 充分性显然 定义1 1 0 1 7 令s 是序半群若s 仅包含一个冗( c ) 类，则称s 是左( 右) 单的若s 仅包含一个丁类，则称s 是单的 易见，s 是左( 右) 单的当且仅当对任意的a s ，( s a = s ( a 剐= s ) s 是单的当且仅当对任意的a s ，( s a s = s 定义1 1 1 令s 是序半群若对任意的a s 有a ( s a s a s ，则称s 是 半单的 性质1 1 2 序半群s 是半单的当且仅当对任意的理想，都有i = ( 1 2 证必要性令j 是半单序半群s 的理想，a i 则存在z ，y ，z s 使 得a x a y a z ( s ，s ) ( j s ) 1 2 ，即有，( ，2 】对任意的a ( 1 2 】，则存在 z ，y i 使得a x y i ，即有( ，2 】，故i = ( 1 2 】 充分性由对任意的理想j 都有i = ( 1 2 】知i ( a ) = ( ( ，( n ) ) 2 】从而 ( ，( o ) ) 2 = j ( q ) ( ( ( o ) ) 2 】( ( ，( n ) ) 3 】 同理可得( ( ，( o ) ) 3 】( ( ，( o ) ) 4 故 i ( a ) = ( ( ，( o ) ) 2 】( ( ，( n ) ) 3 】( ( ( 口) ) 4 】( ( n ) 司j ( o ) 从而 i ( a ) = ( ( j ( n ) ) 2 】= ( ( j ( n ) ) 3 】= ( ( ，( n ) ) 4 】_ j ( o ) 由( ( ，( n ) ) 3 】= ( au s aua sus a s 3 ( s a s 知 ( ( ，( o ) ) 4 】( s a s ( at js a ua st js a s 】( s a s at _ js a s a s 4 曲阜师范大学硕士学位论文 从而 a i ( a ) = ( ( ，( o ) ) 4 】( s a s aus a s a s 若a ( s a s a ，则存在z ，y s 使得 凸x a y a x ( x a y a ) y ( x a y a ) = x 2 a y a y x a y a ( s a s a 翻 故a ( s a s a s ，即序半群s 是半单的 定义1 1 3 1 1 1 】令是序半群s 的理想若对任意的a ，b s ，a b i 有 a i 或b i ，则称j 是s 的素理想 性质1 1 4 令s 是a r c h i m e d e a n 序半群则s 除s 本身外无其它素理想 证假设a r c h i m e d e a n 序半群s 存在真素理想，则存在a ，b s 使得 a i 但b 隹i 从而( s 口翻( s ，剐( i 】= i 由s 是a r c h i m e d e a n 序半群 知存在n z + 使得b n ( s a 翻i ，即有b b m - 1 i 由i 是素的且b 芒i 知b m _ 1 i 重复上述过程，则b i ，此与b 岳i 矛盾因此s 除s 本身外无 其它素理想 5 第二章用极大理想刻画若干类序半群 本章给出序半群的子幂等元，极大左理想和左正则序半群以及若交换序半 群等的若干些性质；从序半群的左理想出发，利用序半群的极大左理想刻画无 子幂等元，且任意真左理想是a r c h i m e d e a n ( 1 - a r c h i m e d e a n ) 子半群的序半群 2 1 预备知识 定义2 1 1 【5 】令s 是序半群，a s 若a 2 a ( a a 2 ) ，则称a 是s 的 子( 超) 幂等元 性质2 1 2 令s 是序半群则下列条件成立： ( 1 ) 若a ，b 是s 的子幂等元，则a b 也是子幂等元； ( 2 ) 若a 是s 的子幂等元，则( a 】是s 的子序半群； ( 3 ) 若a 是s 的子( 超) 幂等元，则对任意的礼z + 有口n + 1 a n ( a n a n + 1 ) ； ( 4 ) 若s 无子幂等元，则对任意的a s 佗z + ，n 2 ，有a n 簪( o 】 证( 1 ) 由a ，b 是s 的子幂等元知a 2 a ，b 2 b 故( a b ) 2 = a 2 b 2 a b ( 2 ) 令z ，y ( 叫则z a ，y a 从而x y a 2 由a 是s 的子幂等元知 a 2 a ，故x y a ，即x y ( 叫因此( a 】是s 的子序半群 ( 3 ) 由a 是s 的子( 超) 幂等元的定义易证 ( 4 ) 令序半群s 无子幂等元，a s 假设礼= 2 k ( k z + ) ，a 2 知a ， 则a 2 k a 2 ( 惫一1 ) a a 2 ( k - x ) ，即有a 2 ( 2 七一1 ) a 2 k 一1 从而a 2 七一1 是s 的子幂等 元，此与s 无子幂等元矛盾假设礼= 2 k + 1 ( k z 十) ，a 2 k + 1 a ，则 n 2 1 a 2 七一1 a a 2 七，即有a 2 ( 2 七) a 驰从而a 2 知是s 的子幂等元，此与s 无子幂等元矛盾因此对任意的a s ，n z + ，n 2 有a n 譬( n 】 性质2 1 3 令j 是序半群s 的单理想则，是s 的核 证由i 是理想知k ( s ) i 。反之，令，是s 的任意理想则j j ，sns jc inj ，因而，nj 仍对任意的a inj ，由，是单的知 i = ( i a i 】( s y s ( 卅= j 因此，是s 的核 6 曲阜师范大学硕士学位论文 性质2 1 4 令s 是序半群则s 的任意主左理想是s 的单子半群的充分 必要条件是对任意的a ，b s ，均有a ( s a b s a 证必要性令a ，b s 由l ( a ) 是s 的左理想知b a 三( a ) 由l ( a ) 是 单的知l ( a ) = ( l ( a ) b a l ( a ) 故 a l ( a ) = ( l ( a ) b a l ( a ) 】= ( a us a b a ( aus a 】( a b aus a b a ( at js a 】 = ( a b a 2ua b a s aus a b a 2us a b a s a 】( a b a 2ua b a s aus a b s a 若a a b a 2 ，则a a b a a a b a b a 2 a ( s a b a s a ；若a ( a b a s a ，则 a ( a b a b a s a s a 】( s a b s a 故a ( s a b s a 充分性对任意的a ，b s ，z s 1 ，则 x a ( s x a b s x a 】( s a b s a ( l ( o ) 6 l ( o ) 】 故s 的任意主左理想是单子半群 定义2 1 5 1 1 3 】令s 是序半群若对任意的a ，b s ，存在佗z + 使得 ( a b ) n ( b s a ，即对任意的a ，b s ，存在扎z + ，z s 使得( a b ) n ( b x a ，则 称s 是弱可换的 引理2 1 6 令s 是序半群则s 是t - a r c h i m e d e a n 的当且仅当s 是弱可 换a r c h i m e d e a n 的 证必要性令a ，b s 由s 是t - a r c h i m e d e a n 的知存在z ，y s ，m ，n z + 使得 ( a b ) n b x ，( a b ) m y a 从而 ( a b ) m 扣b x y a ( b s a 故s 是弱可换的显然，s 是a r c h i m e d e a n 的因此s 是弱可换a r c h i m e d e a n 的 7 第二章用极大理想刻画若干类序半群 充分性令a ，b s 由s 是a r c h i m e d e a n 的知存在z ，y s ，n z + 使得( 凸) n x b y 对a ，b y s ，由s 是弱可换的知存在m 1 z + ，z l s 使得( x b y ) m ，b y z l x 同理，对x b ，y s ，存在m 2 z + ，沈s 使得 ( x b y ) m z y z 2 x b 从而( x b y ) m 1 + m 2 b y z l x y z 2 x b 故 ( o n ) m 1 + m 2 b y z l x y z 2 x b ( b s n ( s 6 j 、， 一 、j 因此s 是t - a r c h i m e d e a n 的j 定义2 1 7 4 】令m 是序半群s 的左( 右) 理想若不存在s 的左( 右) 理 想l ( r ) 使得m l s ( m r s ) ，则称m 是s 的极大( 右) 理想若 m 既是s 的极大左理想又是s 的极大右理想，则称m 是s 的极大理想 定义2 1 8 i i 】令( s ，) 是序半群，丁是s 的子集若对任意的理想 a ，b ，a b t ，有a t 或b t ，则称丁为弱素的 定义2 1 9 1 1 5 令s 是序半群若对任意的a s 有a ( s a 2 】，则称s 是 左正则的 性质2 1 1 0 令s 是左正则序半群则下列条件成立： ( 1 ) s 的极大真理想是弱素的； ( 2 ) s 有超幂等元 证令厶，屯是s 的理想，m 是s 的极大真理想，且五如m 由引理1 3 知厶um ，j 1 2um 是s 的理想若五m ，如m ，则s = 厶um = 1 2um 事实上，由s 是正则的知s = s 2 故 s = s 2 = ( 厶t _ jm ) ( 1 2 t jm ) = 五厶u 厶m1 _ 3m 1 2um 2 m ， 此与m 是真的矛盾因此左正则序半群s 的真极大理想是弱素的 ( 2 ) 由s 是左正则的知对任意的a s ，存在z s 使得a x a 2 因而 a x a 2 x 2 ( a x ) 2 故a x 是s 的超幂等元 8 曲阜师范大学硕士学位论文 2 2 主要结果 用( l ( s ) ，r ( s ) ) i ( s ) 表示序半群s 的所有真( 左，右) 理想的并由引理 1 3 易知( l ( s ) ，r ( s ) ) ，( s ) 是s 的( 左，右) 理想 引理2 2 1 序半群s 的任意真理想是s 的a r c h e m e d e a n 序子半群当且仅 当，( s ) 是s 的序子半群 证必要性令a ，b j ( s ) 则存在s 的真理想j 使得a i 从而 a b a i 由j 是a r c h e m e d e a n 的知存在n z + 使得 a n ( i a b a i ( i b i ( j ( s ) 6 ，( s ) 】 因此i ( s ) 是s 的a r c h i m e d e a n 序子半群 充分性令，是s 的任意真理想，a ，b i 则a ，b ，( s ) ，由，( s ) 是 a r c h e m e d e a n 的知存在佗z + ，z ，y s 使得 a n x b y ，即得a n + 2 a x b y a 由，是s 的真理想，a ，b i 知a x ，y a i 因此是s 的a r c h e m e d e a n 序子 半群 性质2 2 2 令s 是序半群则l ( s ) ( r ( s ) ) 是s 的极大左( 右) 理想或 l ( s ) = s 证由引理1 3 知l ( s ) 是s 的左理想假设l ( s ) 不是极大的，则存在s 的极大左理想厶且l ( s ) l s ，此与l l ( s ) 矛盾故l ( s ) 是s 的极 大左理想同理可证r ( s ) 是s 的极大右理想 引理2 2 3 令l 是序半群s 的极大左理想，a s l 则下列条件之一成 立： ( 1 ) s l ( n 】； ( 2 ) s l ( s a 9 第二章用极大理想刻画若干类序半群 证令a s l 由引理1 3 知( s a 0 是s 的左理想从而u ( s a 是s 的 左理想显然，三lu ( s n 】由l 是s 的极大左理想知条件( 1 ) s u ( s 叫= ( l 】 和( 2 ) ( 纠u ( s a = s 之一成立 当( 1 ) 成立时，则 s ( ( o 】ul ) = s ( a us l = ( 剐( o 】us l cf s a lus lc ( s a lul=lcf a lul 一、j 一、j 令b lu ( o ，x b 则b l 或b ( o 】从而x l 或z ( n 】，即 z lu ( 司故lu ( 翻是s 的左理想由上，( l 】u ( a 】与三是s 的极大左理 想知lu ( a 】= s ，即s l ( 叫 当( 2 ) 成立时，显然有s l ( s n 】 引理2 2 4 令l 是序半群s 的左理想若对任意的a s l 有s l ( s 棚，则l 是s 的极大左理想 证令日是s 的左理想，且l 日任取a ho ( s l ) ，则 s l ( s a ( s h ( h 】= h ， s l = ( s h ) u ( h l ) h 从而s h h 又( s h ) nh = d 知h = s 因此三是序半群s 极大左理 想 引理2 2 5 令s 是序半群，l ( s ) 表示s 的所有真左理想的并若对任意的 a s l ( s ) 有s l ( s ) ( s a ，则s l ( s ) = n sis = ( s o 】 是s 的序子 半群 证先证s l ( s ) n sls = ( s a m 令a s l ( s ) 易证( 叫u ( s 叫 是s 的左理想故( 0 】u ( s a 】= s 假设( 翻u ( s a 4 s ，则( 翻u ( s 叫是s 的真左理想从而( 叫u ( s 叫l ( s ) ， 即a 三( s ) ，此与a s l ( s ) 矛盾故 ( a u ( s a 】= s = s l ( s ) u 己( s ) 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由a 譬三( s ) ，l ( s ) 是s 的左理想知( 叫nl ( s ) = 0 故l ( s ) ( s 0 已知 s l ( s ) ( s 叫，则 s = l ( s ) us l ( s ) ( s 叫 因此s = ( s o 再证s l ( s ) 2 n sis = ( s o m 反证法令a s ，s = ( s 口】假设 a 三( s ) ，则存在s 的真左理想l 1 使得a l 1 从而 s = ( s a 】( s l l 】( l 1 】= 三1 s 故s = l 1 ，此与三1 是s 的真左理想矛盾因此a 趴l ( s ) 下证s l ( s ) = o sis = ( s n 】) 是s 的子序半群令a ，b s 则 ( s 0 】= s ( s b = s 从而 ( s a b = ( ( s o 】6 】= ( s b = s 故a b s l ( s ) 因此s l ( s ) 是s 的子序半群 定理2 2 6 令s 是非左单序半群则下列之一成立： ( 1 ) l ( s ) = s ，且对任意的a s 都有三( o ) s ； ( 2 ) l ( s ) 是s 的唯一极大左理想，且存在a s 使得s l ( s ) = o ； ( 3 ) l ( s ) 是s 的唯一极大左理想，且s l ( s ) = o i ( s 6 = s ) 是s 的序 子半群 证由s 是非单序半群知s 有真左理想从而l ( s ) 仍由引理1 3 知 l ( s ) 是s 的左理想 若l ( s ) = s ，则对任意的a s ，存在s 的真左理想三使得a l 故 三( o ) l s ，此时( 1 ) 成立 若l ( s ) s ，则l ( s ) 是s 的真左理想由性质2 2 2 知l ( s ) 是s 的极 大左理想且唯一此时分两种情况讨论： 1 。若存在a s l ( s ) 使得( s o 】l ( s ) ，则a 2 ( s a 】三( s ) 从而 l ( s ) ul ( a ) = l ( s ) u ( aus a 】= l ( s ) u ( s a u ( a 1 _ l ( s ) u ( n ， 1 1 第二章用极大理想刻画若干类序半群 从而l ( s ) u ( 叫是s 的左理想又l ( s ) l ( s ) u ( n 】，且l ( s ) 是s 的极大左 理想，则l ( s ) u ( a 】= s ，即有s l ( s ) ( o 】设b s l ( s ) g ( o 】，则b a 从而( s 6 】( s n 】l ( s ) 故l ( s ) u ( 6 】= l ( s ) u ( s b u ( 6 】= l ( s ) ul ( b ) 是s 的左理想由l ( s ) sl ( s ) u ( 6 】且l ( s ) 是s 的极大左理想知l ( s ) u ( 6 】= s ， 即s l ( s ) ( 6 】从而a ( 6 】，即a b 从而a = b 即有s l ( s ) = a 因此 ( 2 ) 成立 2 。若对任意的a s l ( s ) 均有( s n 垡趴三( s ) ，则l ( s ) l ( s ) u ( s a 由 引理1 3 与性质2 2 2 知l ( s ) u ( s a 】是s 的极大左理想从而l ( s ) u ( s 4 = s 故s l ( s ) ( s a 设b s 三( s ) ，则l ( b ) = s 事实上，若l ( b ) s ， 则b l ( b ) 己( s ) ，此与b s l ( s ) 矛盾由b s l ( s ) ( s b 知 ( 6 】( ( s 6 】= ( s b 故s = l ( b ) = ( b u s h = ( b u ( s b = ( s b 反过来，设c s 且( s 4 = s ，则l ( c ) = ( cus 4 = ( c 】u ( s 4 ，即有c 隹l ( s ) 从而c s l ( s ) 故s l ( s ) = a l ( s b = s ) 由引理2 2 5 知s l ( s ) = o i ( s 6 】= s ) 是s 的 序子半群因此( 3 ) 成立 定理2 2 7 令s 是序半群，且无子幂等元则下列条件等价： ( 1 ) s 的任意真左理想是a r c h i m e d e a n 的； ( 2 ) l ( s ) 是a r c h i m e d e a n 的； ( 3 ) s 满足下列条件之一： 1 。s 是a r c h i m e d e a n 的； 2 。s 有极大的左理想m ，且m 是a r c h i m e d e a n 的，对任意的a s m 有m ( m a 证( 1 ) 专( 2 ) 若s 是左单序半群，则s 是a r c h i m e d e a n 的，且l ( s ) = s ， 即l ( s ) 是a r c h i m e d e a n 的 若s 不是左单序半群，对任意的a ，b 己( s ) ，则存在s 的真左理想l 使 得a l 从而b a 己由己是a r c h i m e d e a n 的知存在佗z + 使得 a n ( l b a l 】( 三( s ) 6 三( s ) 】 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 故l ( s ) 是a r c h i m e d e a n 的 ( 2 ) 今( 3 ) 当l ( s ) = s 时有1 。成立 当l ( s ) s 时，令m = 三( s ) 由性质2 2 2 知l ( s ) 是s 的极大左理想 由引理2 2 3 知对任意的a s m 下列之一成立： 1 ) s m ( 0 】； 2 ) s m ( s o 】 若1 ) 成立，则s = mu ( 0 】由s 无子幂等元知a 2 ( n 】，故a 2 m 对任意的z ，y s ，当x ，y m 时，由m 是a r c h i m e d e a n 的知存在 礼z 十使得。n ( m y m 】( s y 翻； 当x ，y ( a 】时，则x a ，y a 从而x 2 a 2 ，y 2 a 2 由a 2 m ，且m 是s 的左理想知z 2 ，y 2 m 又m 是a r c h i m e d e a n 的，则存在n z + 使得 ( z 2 ) n ( m y 2 m ( s y s 当z m ，y ( a 】时，则y a 从而y 2 a 2 ，即有y 2 m 由z ，y 2 m ， m 是a r c h i m e d e a n 的知存在扎，m z + 使得 z n ( m y 2 m ( s r y 5 1 ， ( 秒2 ) m ( m x m 】( 眈司 因此s 是a r c h i m e d e a n 的 若2 ) 成立，由定理2 2 5 知s m 是s 的子序半群令t = s m 对任意 的a t 有s = ( s a 由s = m ut 知 ( s 叫= ( m aut a 】( m aut ( 习= s = ( s 4 从而 s = ( m a ut 】- ( m a 】u ( 卵= ( m a 】ut 又s = mut ，mnt = 仍，则m ( m 4 因此2 。成立 1 3 第二章用极大理想刻画若干类序半群 ( 3 ) 净( 1 ) 若1 。成立，由引理1 9 知( 1 ) 成立 若2 。成立，令l 是s 的真左理想当三m = l ( s ) 时，有m l s lc 一 厶即l 是l ( s ) 左理想又l ( s ) = m 是a r c h i m e d e a n 的，故由引理1 9 知l 是a r c h i m e d e a n 的当l m 时，有l a ( s m ) 仍从而存在a l n ( s m ) 且 ， m ( m a 】( s l ) ( 纠= l 由m 是s 的极大左理想知l = s ，此与三是s 的真左理想矛盾因此( 1 ) 成 立 定理2 2 8 令s 是序半群则s 的任意真左理想是s 的1 - a r c h i m e d e a n 子半群当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) s 是1 - a r c h i m e d e a n 的； ( 2 ) s 有极大理想m ，它是j s 的1 - a r c h i m e d e a n 子半群，且s m = a s fs = ( s o 】) 证必要性若s 是左单的，则s 是1 - a r c h i m e d e a n 的，即( 1 ) 成立 若l ( s ) = s ，则对任意的z s 均有l ( x ) s 此时s 是1 - a r c h i m e d e a n 的事实上，对任意的z ，y s ，有己( z ) ，l ( y ) 均是s 的真左理想任取z l ( x ) nl ( 可) ，对z ，z l ( z ) ，由l ( x ) 是1 - a r c h i m e d e a n d e 知存在m z + ，a l ( x ) 使得。m a z 对y ，a z 己( 可) ，同理，存在n z + ，u l ( y ) 使得 ( a z ) n u y 从而a ( a z ) n u y 故s 是1 - a r c h i m e d e a n 的，即( 1 ) 成立 若l ( s ) s ，则l ( s ) 是s 的极大左理想，记m = 三( s ) 因而m 是s 的1 - a r c h i m e d e a n 子半群由引理2 2 6 知下列条件之一成立： 1 。s m = a si ( s a 】= s ) ，此时( 2 ) 成立 2 。存在z s 使得s m = z 从而对任意的y ，z s 有y 2 ，z 2 m 因 而存在m z 十，a m 使得y 2 m a z 2 = ( a z ) z 故s 是1 - a r c h i m e d e a n 的， 即( 1 ) 成立 充分性若( 1 ) 成立，由引理1 9 知结论成立 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 若( 2 ) 成立，令三是s 的任意真左理想假设三垡m ，则n ( s m ) 0 取z ln ( 趴m ) ，则s = ( s a 】( s l ( l 】= l 从而s = l ，此与l 是真 的矛盾从而l ( s ) m 故m = l ( s ) ，即l ( s ) 是s 的1 - a r c h i m e d e a n 子半 群由引理1 9 知s 的任意真左理想是它的1 - a r c h i m e d e a n 子半群 定理2 2 9 令s 是序半群且无子幂等元则s 的任意真左理想是它的 1 - a r c h i m e d e a n 序子半群当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) s 是1 - a r c h i m e d e a n 的； ( 2 ) s 恰包含两个左理想l 1 和l 2 ，三1 和2 是左单的，且s = l 1ul 2 ； ( 3 ) s 有极大理想m ，m 是1 - a r c h i m e d e a n 的，且对任意的a s m 有 m ( m a 证必要性分两种情况： 1 l ( s ) s 令m = 三( s ) 则m 是s 的极大左理想对任意的 a s m ，由定理2 2 3 知下列条件之一成立： l 。s m ( 叫； 2 。s m ( s a 当1 。成立时，则s = mu ( 叫由s 无子幂等元知a 2 m 对任意 的z ，y s ，若z ，y m ，由m 是1 - a r c h i m e d e a n 的知存在n z + 使得 z n ( m y 】( s 】；若z ，y ( n ，则z a ，y a 从而z 2 a 2 ，y 2 a 2 由 a 2 m ，且m 是s 的左理想知z 2 ，y 2 m 又m 是1 - a r c h i m e d e a n 的，则存 在礼z + 使得 ( z 2 ) n ( m y 2 ( s 秒】 若z m ，y ( n 】，则y a ，即y 2 a 2 从而y 2 m 由z ，y 2 m ，m 是 a r c h i m e d e a n 的知存在m ，佗z + 使得 z m ( m y 2 ( s 】； y 轨= ( y 2 ) n ( m x ( s z 】 1 5 第二章用极大理想刻画若干类序半群 故s 是1 - a r c h i m e d e a n 的，即( 1 ) 成立 当2 。成立时，则由定理2 2 7 知( 3 ) 成立 2 l ( s ) = s 若存在s 的左理想l 1 ，l 2 且三1nl 2 = 仍，则l 1u 三2 不 是1 - a r c h i m e d e a n 的事实上，假设三1ul 2 是1 - a r c h i m e d e a n 的，则对任意的 a l 1 ，b l 2 存在n z + 使得 a n ( ( l 1ul 2 ) b ( s l 2 】( l 2