（基础数学专业论文）非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性.pdf

中文摘要 中文摘要 本篇博士论文由四章组成 第一章简述了问题产生的历史背景和本文的主要工作 第二章讨论了在比y o r k - 条件更弱的条件下，时滞微分方程 一( ) + 妇( t ) = f ( t ，$ ( 7 - ( t ) ) ) 其中a20 ，零解渐近稳定性，和时滞差分方程 z ( n + 1 ) 一a z ( 扎) + r ( 竹) ( z ( 9 ( n ) ) ) = 0 其中0 as1 ，零解的全局吸引性其结果不仅包含了原有文献的结果，而且具有 更广泛的应用 第三章主要研究了在临界状态下二阶非线性时滞微分方程 f n ( t ) = q , f , ( z ( t - 以) ) 1 = 1 和二阶中立型非线性时滞微分方程 陋( t ) 一即。一r ) 】，= q d , ( x ( t 一以) ) i 皇- - 1 的振动及非振动的存在性临界状态下的振动性的研究比非临界状态下的振动性的 研究要复杂的多，在证明中我们利用了一些技巧和大量的计算 第四章主要研究了具有连续变量高阶线性非自治差分方程 a ；y ( t ) + ( 一1 ) 卅1 p ( t ) 0 一仃) = 0 其中n 1 整数，和具有连续变量高阶中立型线性非自治差分系统 n ，( t ) 一p x ( t 一，y ) 】+ 锄o ) x 0 一乃) = 0 j = l 其中l 整数，等四类方程或系统的振动性和非振动性虽然具有连续变量差 分方程的形式比较简单，但实际研究有较大的困难，我们得到了一些新的结果，并 改进了一些已有的结果 i 非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性 本文在匕述三方面作了一些研究，获得了一系列最新的结果本文的部分结果已 在 和j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 等刊物发表 关键诃：时滞微分方程，时滞差分方程，具有连续变量差分方程，渐近稳定性， 全局吸引性，振动性，临界状态 英文摘要 a b s t r a c t t h i sp h dt h e s i si sc o m p o s e do f f o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c h w i l lb ei n v e s t i g a t e da n dt h em a i nw o r k so ft h i st h e s i s i nc h a p e r2 ，b yr e l a x i n gt h er e s t r i c t i o ni ny o r k - c o n d i t i o n ，w ei n v e s t i g a t ea s y l n - p o t o t i cs t a b i l i t yf o rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 一( t ) + a x ( t ) = f ( t ，z ( r ( t ) ) ) w h e r ea 0a n dg l o b a la t t r a c t i v i t yf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n x ( n + 1 ) 一a x ( n ) + r ( n ) ( 霉( g ( n ) ) ) = 0 w h e r e0 0 ，与常微分方程 z ) = i ( t ，z ( t ) ) 的不同之处是：用常微分方程描述的的实际问题都是假定事物发展的趋向仅由当前 的状态决定。而不明显地依赖于它的过去和未来但是，早在1 8 世纪就发现，许多 方面现象并非如此，它们的发展趋向不仅依赖于当前的状态，而且还取决于它的过 去或未来的某一段时间中的状态( 甚至两者兼而有之) 描写这类现象的微分方程已 不是正统的常微分方程，它不仅含有自变量t ，而且还含有有限个( 甚至无限个) 形 如t 一7 _ ( t ) 的带潞后的偏差变元这类方程称之为泛函微分方程 常微分方程对应于滞量为零的情形，而泛函微分方程中滞量不恒等于零，因而 存在稳定性对时滞的依赖关系问题例如：一阶常微分方程 z 他) + p ( 咖：( 幻= 0 ，( 1 2 ) 当p ( t ) 20 时，方程( 1 2 ) 的零解是稳定，但对一阶泛函微分方程 一( f ) + 册o f ) = 0 ，p 0 ，r 0 ( 1 3 ) 当p - r 丌2 时，方程( 1 3 ) 的零解 是不稳定 1 非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性 同样，对于一阶常微分方程( 1 2 ) ，当p ( t ) c ( r ，固时，方程( 1 2 ) 的一切饵 都是定号，但对一阶泛函微分方程( 1 3 ) ，由于时滞的引入，其解有可能振动，有可 能非振动 如前面提到的，泛函微分方程与常微分方程理论不同之出是。由于方程中偏差 变元的出现，引起了解的变化在这篇论文中，我们主要研究非线性泛函微分方程 的稳定性，临界状态的的二阶非线性时滞微分方程的有界振动性，具有连续变量高 阶差分方程和系统的振动性现将一些有关的概念陈述如下： 用c ( t ) 表示连续函数妒：i t r ，胡一r 的全体所构成的赋范空间，r 0 ，其 中范数定义为川i t = s u p 。日i 妒( 圳在方程( 1 1 ) 中，f c t ，妒) 是1 0 ，o o ) o c t ) 上的连续泛函，且，( ，o ) e0 ，t 芝0 用z ( t ；t o ，妒) 表示满足初值条件( 彤o ，妒) = 妒( s ) ，s i t o r ，t 0 】，妒c ( t o ) ，t o 0 ，方程( 1 1 ) 的解注意到x ( t ) 兰0 是方程 ( 1 1 ) 的一个解，也被称为方程的零解对即 0 ，令 c 4 ( t ) = 妒i 妒e ( t ) ，i i 妒1 1 , = s u pi 妒( s ) i 0 ，| 6 ( t 0 ，e ) o ，使得当妒c 6 ( t o ) 时， 有l z ( t ；t o ，妒) l 0 ，对垤 0 ，3 t ( 5 0 ，) ， 当妒c 6 0 ( t o ) ，有i z ( t ；t o ，妒) i 0 的解 至今w r i g h t 猜想r f 丌2 仍是公开问题 1 9 7 0 年，y o r k e 【2 2 】研究了方程 ，( t ) = ( t ，z )( 1 5 ) 其中f ：1 0 ，m ) g ( p ) 一r 是连续的，定义： g ( 卢) = 妒g ( 【一q ，0 】，固：l i l i 0 ，使得 ( a ) a q s3 2 ( b ) 对所有的妒q ( p ) ，满足y o r k e - 条件 - a m ( c ) f ( t ，妨sa f ( 一) ， 其中m ( 纠= m a x o ，s u p 。【_ g ，q 扣) ) 则 ( i ) 方程( 1 5 ) 的零解一致稳定 ， ( i i ) 此外，如果0 0 使得 a ( t ) s7 0 ，使碍口( ) qf 0 ，则方程( 1 6 ) 的零解渐近稳定 的 3 非线性泛函微分方程的稳定性和l 临界状态下的有界振动性 1 9 8 7 年，y o n e y a m a 2 0 】推广了y o r k e 的结果，证明了，如果存在连续函数 口：【o ，) 一f 0 ，o o ) ，使得 f t + q a ( s ) d s s3 2 ，t 0 ， j 并且对所有的t 0 ，妒g ( 口) ，满足y o r k e - 条件 一o ( ) ，( 纠f ( t ，) n ( t ) 彳( 一) ， 则 ( i ) 方程( 1 5 ) 的零解一致稳定 ( i i ) 如果a = s u p ! o f + 9 a ( s ) d s 3 2 ，且p = i n f t 。f + 4 a ( s ) d s 0 ，则 l i m 一。z ( f ；t o ，庐) 存在，对任意t o 0 ，且庐g ( e - 2 a f l ) 同时，指出3 2 是y o r k e ( 1 9 7 0 ) 和y o n e y a m a ( 1 9 8 7 ) 定理最好的结果 1 9 8 8 年，y o n e y a m a 和s u g i e 【5 】5 研究方程 z ( f ) = f ( t ，z t ) + g ( t ，z ) )( 1 7 ) 其中g 【0 ，o o ) s ( p ) 一r 是连续的并且s ( 卢) = 如r ：h 0 ，伊b ( s ) d s 0 ，存在露= q ( s ) 0 ，使得 如果i n f 。l a ( t ) ，日妒( s ) ，就有 f ( t ，妒) r ) r ( t ) 及f ( t ，一妒) s o r ( t ) ，t 20 如果还满足 r ( s ) d s = 以及 肼s ) d ss ；对充分大觚 则( 1 8 ) 的每个解趋于零 1 9 9 7 年，庾建设【2 8 归纳了一类人口动力学模型为方程 一( 幻+ a z ( t ) + ( t ，z o n ) ，$ ( 一7 - m ) ) = 0 ，t t o( 1 9 ) 其中具有生物意义的平衡状态被转化为( 1 9 ) 的零解全文假设a 0 ，7 - i 0 ，( i = 1 ，m ) ，r = m a x l i _ 。兀以及，c ( 【o ，o o ) x 舻，r ) ，且满足y o r k - 条件 一o o ) 舰( 一纠( t ，z 0 一q ) ，z ( t 一，- m ) ) o ( t ) 舰( 毋) ，t 0 ， 其中妒g ( 日) = g ( p r ，t l , r ) ：1 1 妒1 1 ts u p 。e p 一刊 ( s ) ，舰( 妒) = m a x 0 ，s u p 。p 、目妖s ) 以及a c ( i o ，o o ) ，f o ，o 。) ) ，证明了，如果上述条件成立以 及 f ，。e 邶_ 1 ) d s s - + - e - 1 f ，t r ( 1 1 。) 5 非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性 则方程( 1 9 ) 的零解一致稳定；迸一步地，如果( 1 1 0 ) 改为 ，t1 a ( s ) e 一州一旬d s o 14 - ；e 一1 7 ，r j t - - - r “ 则方程( 1 9 ) 的零解一致渐近稳定 唐先华也对一些时滞微分方程，生物模型和n 维系统微分方程的稳定性和吸引 性，作了许多深入，广泛的研究，得到了很好的结果，看【2 9 3 5 1 2 0 0 4 年，张晓声和燕居让【3 6 】研究了时滞微分方程 z ) = f ( t ，。( r ( ) ) )( 1 1 1 ) 的零解渐近稳定其中f o ( 1 t o ，o o ) x r ，r ) ，e ( t ，0 ) 兰0 ，t t o ，r c ( t o ，o o ) ，尺) 改进了y o r k e - 条件证明了，如果存在函数p q c ( t o ，o o ) ，1 0 ，o o ) ) 和正实数 h ，p ，q ( 0 ，o o ) ，使得 q ( t ) m i n o ，一z ) f ( t ，z ) p ( t ) m a x 0 ，- z ，t t o ，i 。l h ，( 1 1 2 ) 并且 ，。p ( s ) d ss 百3 尹，p ( 5 ) d s 百3 9 ，t ，( 1 1 3 ) j g ( t ) 4 j g ( t ) 其中9 ：【t o ，o o ) 一o o 是一个非减连续函数，满足9 ( t ) 一o o ，t 0 0 ，g ( t ) s7 _ ( t ) t ，t t o ，t = m i n t t o ，7 - ( t ) t o 则方程( 1 1 1 ) 的零解是渐近稳定性 在【3 6 1 中，作者将y o r k - 条件改进为条件( 1 1 2 ) ，即当p ( t ) = q ( t ) 时，条件 ( 1 1 2 ) 为y o r k 条件本文将改进的条件( 1 1 2 ) 做进一步推广 本文在第二章，在( 1 1 2 ) 的条件下，研究了时滞微分方程 。7 ( ) + a z ( ) = f ( t ，z ( 7 ( t ) ) ) 其中a 0 ，零解渐近稳定性，和时滞差分方程 $ ( 仃- 4 - 1 ) 一a x ( n ) + r ( n ) 丸( z ( 9 ( n ) ) ) = 0 其中0 啪2 ， 则方程( 1 1 4 ) 振动 2 0 0 0 年，唐先华，庾建设，王志成【67 】讨论了在临界情形下，一阶时滞微分方 程的线性化振动性，在多时滞临界情形下，建立了一阶非线性时滞微分方程 m 名( ) + p i x ( t t ) + ，0 ，。( 一口l ( ) ) ，。( t 一“( f ) ) ) = 0 ，t t o = l 与一个相关的二阶常微分方程等价性定理，进而给出了一阶非线性自治时滞微分方 程 i z 化) + p , y c x ( t t ) ) = 0 ，t 。 ；= 1 与其线性化方程 0 ) + 了_ p , x ( t 一, r i ) = 0 ，t t o i = 1 振动性等价的一个充要条件 2 0 0 1 年，唐先华，庾建设 6 9 】又将上述结果推广到一阶中立型时滞微分方程 对于二阶和高阶在临界状态下的时滞微分方程的振动性的文章有下面两篇 2 0 0 3 年，唐先华【7 1 】考虑二阶线性时滞微分方程 ，( t ) = p c t ) x ( t r ) ( 1 1 6 ) 舰础) = ( 毳) 2 扯1 7 ) 的振动性，证明了，如果 t 鬯乎 0 c 幻一( 毳) 2 ) t 2 万1 ， 则方程( 1 1 6 ) 的每一个有界解振动；如果 ( 护 0 ，巩 0 和7 | j ，r o ，以= k i t + 侠，0s 巩 0 ，0 = 1 ，2 ，m ) 通过建立( 1 2 1 ) 与某一时滞微分方程比较定 理，用时滞微分方程振动性来刻划( 1 2 1 ) 的振动性，即若方程 一( t ) + a ( ) z ( t 一以+ r ) = o ( 1 ，2 2 ) 其中7 i ，以( o ，) 和t ( 1 2 3 ) 第一章绪论 则方程( 1 2 0 ) 振动，如果 l i r as u p p ( 牝乒 ( 1 2 4 ) 一o o：， 和 忉( 7 ) 一v ( t ”) i l i t 7 一f ，亡，【0 ，o o ) 其中l 是正常数则方程( 1 2 0 ) 有一非振动解 1 9 9 8 年，张炳根，j y a n ，s k c h o i 【s t 研究了非线性连续变量差分方程 封( t ) 一y ( t r ) + p ( t ) h ( y ( t 一口) ) = 0( 1 2 5 ) 和带强迫项方程 y ( t ) 一口( f r ) + p ( t ) y ( t 一口) = f ( t ) ( 1 2 6 ) 其中0 0 对于连续变量差分方程振动性的研究工作到目前为止，除二阶方程的振动性有 少量研究工作外，如【9 1 】，高阶方程的工作还未见到 本文在第四章研究了具有连续变量高阶线性非自治差分方程 z t y ( t ) + ( 一1 ) 6 + 1 p ( t ) y ( t 一盯) = 0 其中竹1 整数，和具有连续变量中立型线性非自治差分系统 掣( t ) 一p x ( t 一训+ q a t ) x ( t - , 7 a = 0 i = 1 其中n 1 整数，等四类方程或系统的振动和非振动性，获得了许多新的结果，并 改进了一些文献中的结果 1 1 非线性迂函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性 第二章非线性泛函微分方程的稳定性 2 1 引言 在文献f 3 6 】中。张晓声和燕居让研究了时滞微分方程 一( t ) = f ( t ，$ ( r ( t ) ) ) ( 2 1 1 ) 的零解渐近稳定其中f g ( t o ，0 0 ) x r ，兄) ，f ( t ，0 ) 三0 ，t 2 t o ，7 c ( t o ，o o ) ，r ) 证明了，如果存在函数p q c ( t o ，o o ) ，f 0 ，o o ) ) 和正实数日，p ，q ( 0 ，o o ) ，使得 q ( t ) m i n o ，一童) f ( t ，z ) p ( t ) m a x 0 ，一z ，t t o ，l $ i o ) ， 方程( 2 1 1 ) 变为 一( ) = - p ( t ) f ( x ( t 一口) ) ，t t o ( 2 1 6 ) 在1 1 7 1 中，证明了如果，是非减连续可微的函数，满足lfi lzi ，0 ，( o ) = 1 则在( 2 1 5 ) 中a 2 是对于方程( 2 1 6 ) 的零解是稳定的最好的数值当f ( t ，z ) = - p ( t ) x ，9 ( t ) = r ( t ) = t o r ，方程( 2 1 1 ) 变为 9 7 ( t ) = 一p ( t ) x ( t 一仃) ，t2t o ( 2 1 7 ) 第二章非线性泛函微分方程的稳定性 在f 2 0 】中举一例子，证明了( 2 1 5 ) 中3 2 是对于方程( 2 i 7 ) 的零解是稳定的最好 的数值 在文献【3 6 】中，张晓声和燕居让将条件( 2 1 4 ) 和( 2i 5 ) 改进为( 2 i 2 ) 和 ( 2 ，1 3 ) ，减弱了对条件( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 的限制 在本章第二节，在( 2 1 2 ) 的条件下，我们研究了时滞微分方程 一( t ) + a x ( t ) = f ( t ，名( r ( t ) ) ) 其中a 0 ，零解的渐近稳定性 在本章第三节，我们研究了时滞差分方程 z ( n + 1 ) 一缸( n ) + r ( n ) ( 。( g ( n ) ) ) = 0 其中0 0 ，令 o ( f ) = 妒i 妒c ( o ，i f 妒= s u pi 妒( s ) i 一叩，8 | r 2 ( 习，亡】，且z ( s ) 在( f 一岛t - ) ( 6 0 ) 是非减的， 那么x ( t ) 一， ! p m a x 1 ，订 证明我们只证明引理2 2 1 ( i ) 引理2 2 1 ( i i ) 的证明类似，从略 对于任意的t 匪7 - - 1 ( 力l ，我们证明 x ( t ) 卯m a x 1 ，p )( 2 2 9 ) 即可 令讯= 一m i n t z ( s ) ：s 旷( 刁，t 】) ，那么仉7 由( 2 2 1 ) 和( 2 2 4 ) ， ( s ) + a 。( s ) 仇p ( s ) ，s 【r ( 习，t 】( 2 2 1 0 ) 1 4 苎三兰 童丝堡堡里堡坌窑堡竺垒塞丝 当5 e t l ，可推出t2r ( s ) 7 ( 刁，积分( 2 2 1 0 ) 从f ( 5 ) 到f z ( r ( s ) ) 一，h e 一 r 。z ：，p ( 让) e “d u ，s 【t 胡 将上面不等式代入( 2 2 1 ) ，并利用( 2 2 4 ) ，当8 【t 】，可推出 ，i ( 黼抽) 叫s ) e m 一扣”j ( p ( u ) e h u d 让= 谚p l ( s ) e m 一扣 j r o ) 脚) 沙乩，j r 0 ) 其中p l ( s ) = p - 1 p ( s ) ，s 匪】再利用( 2 2 1 0 ) ，可得到 令 p ( 8 ) e 扣) m i i l 啦p ( 8 ) 扩，吼矿最0 ) e l o 一7 ( 一7 p 1 ( u ) e 1 。c 阮) ( 2 2 1 1 ) ， j 一) 情形l ：d 1 d = ：捌勰嚣尝搿三 我们首先考虑当( 2 2 3 ) 成立的情形积分( 2 2 1 1 ) 从f 到t ， 。( t ) e 缸矿p 1 ( s ) 一( ”巾) p l ( u ) e * “d u d s ，j r “1 聩缈叫啪fp l ( s ) 坼矽“批 = 舻舢枷小阪，脚矽z 脚矿叫 谚e 罅_ ， f t 1 ( s ，厶脚，e h 砒 一e 一z 。肿肌z 5 脚炉叫 = 识婶叫t ”隆p l ( s ) 厶，坼矽“如 一( f 脚) 2 1 ( 2 2 1 2 ， 一 ! 丝丝丝里堡坌童堡竺堡星堡墼堕墨竺查三墼童量堡垫丝 舻断臀一互1l 上t 删s ) 2 ，鞭妣 仇p 2 e 州扣州啪i p l ( s ) e 如d s j e 一 ( j ；尸i ( 5 ) e 。d s ) 2 隧掣 妒扩卜圳，( e 咖伪石肿矿匆 l 一抛帅，伽咖h d s ) ， s，q。tpp2：。,。，。(e，。一，。，一；)，耋：；主兰 j v h p 2 ， 当( 2 2 7 ) 成立 一it h p 2 e ，当( 2 2 8 ) 成立， 当( 2 2 8 ) 成立 当( 2 2 7 ) 成立 当( 2 2 8 ) 成立 在上式推导中，利用了当z ，掣【0 ，1 】上，函数争一 2 和e a ( ”( ) 掣一1 2 的非减 性，故可推出 卫( t ) t 矿n p m a x 1 ，力 如果( 2 2 2 ) 成立，类似与情形( 2 2 3 ) ，由( 2 2 1 2 ) ，可得 ，s 秽e h 加厶，琳加砒一- e 1 埘t p l ( 8 ) e 知d 8 ) 2 s 扩 ( 1 + 扩1h ) z t 一可1 一m ( z 。髓脚s ) 2 = 舻“叫( 矿+ 护啡叫r 脚脚 * 1 挣订胁妒d s ) 2 s 秽e , x f f - r ) ( 少+ j 1 一；) = 舻e 缸， 由此证明( 2 2 9 ) 成立 篁三兰：斐丝丝丝里丝坌塑竺垒塞堡：一： ： 情形2 d 1 在这种情形中，我们只证明( 2 2 3 ) 成立的情形，( 2 2 2 ) 成立的情形类似，从略 由于d l ，知存在【t r 一1 ( 纠，使得e 一打( f ；p l ( 8 ) e 1 8 d s = 1 积分( 2 2 1 1 ) 从f 到t ，得 z ( f ) e m 啊t p m a x 1 ，p ，t c s ，e ，s + z ，c s ，e ( 一( ，) f f c “，e “d “，d s = r h p m a x 1 ，p ) m 脚h d s e - 抛小( s ) 一如 + 胁咖砌哪”，琳h 触l s 仇p m a x l ，p e n - 仲”z 。p 1 ( s ) d s f p 1 ( s ) e 蛔如 + e 犯删小，脚d 5 1 = r h p m a x 却矽”小( s ) 如，坼矽“如 = 彬小( s ) 阪，脚矽f 酬少叫 树水1 睫p l ( s ) 厶，ix ( 咖h 砒一e 以z p 1 ( 咖h 如fp l ( 咖地叫 = 讯p z e x ( t - g ( t ) ) 胁s ，厶) p l ( u ) e u d u - - - c - 1 魁i fp x ( s ) e h d s ) 2 0 ，有 下列结果 ( i ) 如果p 1 ，并且- ，q m a x 1 ，口 z ( t ) 叩，t r 2 ( 刁，司， 那么当t f r 2 ( 习，c o ) ，有 一r q m a x 1 ，垡) z ( t ) 叩 ( i i ) 如果q 1 ，并且一7 x ( t ) 叩p m a x 1 ，p ) ，t r 2 ( d ，习， 那么当t i t 2 回，) ，有 一叩 x ( t ) 呀p m a x 1 ，刃 ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 证明我们将证明引理2 2 2 ( i ) 引理2 2 2 ( i i ) 的证明类似，从略如果p 1 ，并 且当t 旷( 习，习，- - r q m a x 1 ，订 z ( t ) f ：$ 0 ) = - - t q m a x 1 ，口，或( t ) = 叩 显然有 - _ q m a x 1 ，q ) 0 ) 也是非减的再由r 的定义和t c t ) t o t ，我 们得到t o - - r l q m a x 1 ，g ，t | r 2 ( ) ，卅，我们由引 理2 2 1 ( i ) 和( 2 2 1 3 ) 得到， z ( t ) 0 ) 是非减的当丑= 下( t ) ，由t 的定义，z ( t ) 在 ( 五一e ，正) 。时任意 0 ) 是非减的由r 的非减性和r ( t ) 死 t ，我们得到 丑 tst - 1 ( 正) 注意z ( t ) - u qm a x 1 ，口) = ( t ) ， 这也是一个矛盾故( 2 2 1 4 ) 成立证明完毕 定理2 2 1 如果( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 和( 2 2 1 3 ) 成立，那么方程( 2 2 1 ) 的零解是一致 稳定的 证明对任意0 0 ，使得 o m a x 扫m a x 1 ，p ，q m a x 1 ，q ，l ( 1 + i n a x 物，订c ) 2 ( 2 2 1 7 ) 令6 = j a m i n p m a x t ，刃，q m a x 1 ，g ，1 ，叩= 盯( 1 + m a x 妇，g ) c ) 2 对t o 之0 和 妒g ( 亡o ) ，令z 0 ) = z 0 ；t a ，) 我们 证i 刃 k ( t ) i s ，t t o ，o 。) 首先，我们证明 陋( t ) is6 ( 1 + i d a x p ，q ，c ) 2 ，t t o ，f - 1 ( r 一1 ( 知) ) 】 当t ，r - 1 ( t 0 ) 】，由( 2 2 1 ) 和( 2 2 4 ) ，可得到 i 一( t ) + k ( t ) is 瑚x p 0 ) ，q ) ) 尻 1 9 ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) 非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性 积分上面不等式从t o 到t ，得 i x c t ) l e 觚i x ( t 。) l e 幻+ 6i tm a x 尸( s ) ，q ( s ) ) e 知d s ， j 阳 所以当t 【t o ，f - 1 ) 】，有 ，t l z 0 ) i z ( t o ) l + 6 m a x p ( s ) ，q ( s ) e 一 ( 卜。) d s j ( 1 + m a x p ，口 c ) ( 2 2 2 0 ) j t o 用类似的方法，可得到，当t 【t - - 1 ( 如) ，t - i p - 1 ( 幻) ) 】，有 i z ( t ) i 6 ( 1 + m a x 妇，g c ) 2 ， 上式再与( 2 2 2 0 ) 结合可得出( 2 2 ，1 9 ) 又由( 2 2 1 3 ) 可推出p 1 或q 1 当 p 1 ，由( 2 2 1 9 ) , - j - 得出 - ，7 q m a x 1 ，g z ( ) s ，7 ，t 陆o ，r 一1 ( f 一1 ( t o ) ) 】， 利用引理2 2 2 ( i ) ，上式可推出 - - y qm a x 1 ，口 。( t ) 吁，t t o ，o o ) ( 2 2 2 1 ) 当qs1 ，由( 2 2 1 3 ) 可推出 - r i z ( t ) 叼pm a x 1 ，p ) ，t t o ，r 一1 ( f 一1 ( 如) ) j ， 利用引理2 2 2 ( i i ) ，上式可推出 一7 m a x 1 ，口) z 0 ) 呀p m a x 1 ，p ，t t o ，o o ) ( 2 2 2 2 ) 故由( 2 2 1 7 ) ，( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 2 2 ) ，我们得出 i z ( t ) i 叩m x 扫m a x t ，p ，q m a x 1 ，g ) ，1 0 ，当t t ， 翼f ( t ，z ) 一讹e ) ，憩盹z ) 袱e ) ( 2 2 2 5 ) ? ，e 以及 ，。 叩( t e 冲= o o ( 2 2 2 6 ) 则方程( 2 2 1 ) 的零解是渐近稳定的 证明由定理2 2 1 ，我们得到方程( 2 2 1 ) 的零解是一致稳定的对任意t o2 0 ，总 存在d ；j ) 0 ，使得q ( t 0 ) ，由此可得 l ( t ) 一i z ( t t 0 ，聊i 0 或霉( t ) 0 ，t - ( t o ( z ( t ) 0 ，则存在一个乃 i - - 1 ( 噩) ，使得x ( t ) 2 2 ，当t 坛有 ( t ) z o ) + a z ) - o ( t ，e ) 0 ( 2 2 2 8 ) 从而，当t 乃，茹( t ) 是非增的，并且l i m h 。z ( t ) = l i m i n f 扣。z o ) = e 积分 ( 2 2 ，2 8 ) 从正到t ，利用( 2 2 2 6 ) ，得到 ， ( t ) 一茁( 噩) sf - n ( t ，e ) , t t _ 一o o ，t _ 0 0 j 乃 这是一个矛盾，因为当t o o 时上式左边趋于有限数，所以e = 0 其次，假设x ( t ) 是振动的令 p = l i m + 一s u p z ( t ) ， 一u = h 罂掣z ( t ) 一一 则一h 2 一u 0 p s h 2 如果证明了肛= t ，一0 ，则我们就完成了证明对 任意的0 h 1 2 ，存在个充分大的t ，使得 一u e 0 ，n 一1 ，2 ，及存在 0 ，使得当t ( 厶一，矗) 时， o 茹( t ) 0 由( 2 2 2 9 ) 和引理2 2 1 ( i ) ，得 z ( t ) 扣+ ) p m a x t l ，p ) ，t 【k ，r 一1 ( k ) 1 ，n = 1 ，2 ， 由于k 囟( 矗) ，厶) 和9 ( t ) 是非减的，我们得到厶，9 - 1 ) 】，n = 1 ，2 ，由 此。 ) 扣+ g )