（计算机应用技术专业论文）广义mj集的内部结构及相关问题的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 非线性科学是研究非线性现象共性的+ 门新兴的交叉学科，其主要研究内容包括孤 子、混沌和分形，同这三个概念相对应的理论共同构成了非线性这门学科的理沦基础。 本文主要介绍了复映射中的分形基本理论，重点研究了广义m a n d e l b r o t j u l i a 集的内部 结构，讨论了二维l o g i s t i c 映射的准m 集的一般规律。 复映射中的分形基本理论是我们研究分形问题的理论基础，本文对复映射中的j 。l i a 集和m a n d e l b r o t 集及逃逸时间算法作了概要的介绍。 广义m a n d e l b r o t - j u l i a 集合的结构和生成机理是一个很有意义的研究方向。自从 m a n d e l b r o t 利用计算机构造并研究了复映射f ( z ) = z 2 + c 的动力z 平面上的j u l i a 集和参 数c 平面上的m a n d e l b r o t 集以来，人们对m - j 集的结构和生成机理进行了较深入的研 究。基于逃逸时间算法和e n g e l 提出的构造复l o g i s t i c 映射z d t 则称该集合为分形集，简称分形。 这个定义是由m a n d e l b r o t 在1 9 8 2 年提出的，该定义不合理，因为它把一些明显应 是分形的一些集排除了。四年以后，他又提出了个实用的定义： i 定义1 2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 但这个定义也不够精确和全面。英国数学家f a l c o n e r 认为，分形的定义应该以生物 学家给出的“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明定义，而是寻求分 形的特性。一般地，称集f 是分形，即认为它具有下述典型的性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 ( 2 ) f 是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述。 ( 3 ) f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 ( 4 ) f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情况下，f 可以以非常简单的方式来定义，可能由迭代产 生。 产生分形的物理机制 3 ：， 1 9 6 9 年p r i g o g i n e 把非平衡相变中产生的有序结构概括为“耗散结构”，它一般具 有以下四个特点： ( 1 ) 耗散结构发生在“开放系统”中，它必定与外界发生能量或物质的交换。 ( 2 ) 只有当控错4 参数( n n 、温差等) 达到某一“阈值”时，它才突然出现。 ( 3 ) 它具有时空结构，对称性低于达到闽值前的状态。 墨型堡堕堕整笙塑丝望羞塑望塑! 堕 一 一h_hh，一 耗散结构虽然是前一状态不稳定的产物，但是它一旦产生，就具有相兰的稳定性， 不会被任何小扰动所破坏。应该注意，这后三个特点与平衡相变是一致的，只有第一个 特点才是耗散系统所特有的而开放系统必然是个耗散系统。 迄今为止，人们在非线性系统的研究中，发现过种种分形结构，一般认为非线性、 随栅| 生、以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件。非线性是指运动方程含有非线性 项，状态演化( 相空间轨迹) 发生分支，是混沌的根本原因；随机性可以分为两大类，即 噪声热运动和混沌，它们反映了系统的内在随机性。可以证明，随机系统并不是完全无 序的；耗散性可以用一个表达式来表述，即d e d r r 且愀x ) i 1 ) 为黎曼球c 上的复映射，只表示c 中那些轨道 不收敛到无穷大点的点z 的集合，即： 乃= z c ： t s ( z ) | 二。是有界的l 称此集为相应于，的充满的广义j 集，日的边界称为复映射f 的广义j 集，记为 j | 鼹j | = 8 f f 。 由复映射，：卜z 8 + c ( 口r ) 构造广义m 集，应从厂的临界点开始迭代，可当 口 1 时，的临界点为0 ，故取= 0 ，可得而= c ，乞= c 。十c ，：当口 0 ， v 气乃，b 0 t ”，使j i m ( f ”( 白) ) i 且 i i m ( j ( 毛) ) 卜占和l r e ( f ”( 白) ) l s 且l r e ( f 。( z o ) ) 怿s 成立，则令知的颜色值 q ( ) = n 。如蚓 口，则令气的颜色值n ( z 。) = 0 。 方法：令m a x i t 为一个较大的j f 整数而6 为一个较小的正数，v z o f ， 3 0 女 肝，使1 厂”( 毛) 一f x , t ( 毛) l 占成立，则令z 。的颜色 值甲( ) = 。如l z 。一，7 ( ) l e ，则令z o 的颜色值v ( ) = 0 。 3 2 实验与结果 3 2 1 广义j 集 图3 1 为选取s = t 0 。2 的实数阶广义j 集的内部结构。将口表示为口= 宣矿砂其中 可是正整数，y 为小数即0 ， 1 。口= r 时的广义j 集类似r 个主要花瓣( 简称主瓣) 组成的花朵( 图3 1 ( a 卜3 1 ( d ) ) ：盘= 矿y 时的广义j 集类似7 7 个主瓣及部分花瓣( 简称 雏瓣) 组成的不对称花朵，并随y 的增大，雏瓣不断发育而演化成为一个主瓣f 图 3 1 ( e 卜3 1 ( 1 ) ) ：此时彩色稳定区f ，嵌于白色不稳定区f ，之中。口= 一暂时的广义j 集类 似r 个卫星群环绕中央行星的星群结构( 图3 1 ( i i l 卜3 1 q ) ) ；口= 一( 矿力时的广义j 集为 叩个完整卫星群及一个部分卫星群环绕中央行星的不对称星群结构，并随y 的增大， 部分卫星群不断发育而演化成为一个完整卫星群( 图3 1 ( ( 1 ) 3 1 ( x ) ) ；图中白色不稳定区 嵌于彩色稳定区e 之中。 观察图3 i ，可见方法i 所构造的广义j 集的内部出现了彼此相间五颜六色的色 块，越接近广义j 集的边界，色块的密度越大，显示出这些色块结构有某种自相