1.数理方程中典型方程和定解条件的推导.ppt

数学物理方法,一些典型方程和定解条件的推导,第一章,CalculationsofSomeTypicalEquationswithDefiniteConditions,思路,数学物理方程与特殊函数,一.均匀弦的横振动方程的建立,二.传输线方程(电报方程)的建立,三.电磁场方程的建立,四.热传导方程的建立,提要：,五.举例,数学物理方程的建立：,从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联数学表述，并对其整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。,“一语道破！”,适用范围：这是从事科学研究的基本方法与路径。,第一章一些典型方程和定解条件的推导,1.1基本方程（泛定方程）的建立,物理模型（现象、过程）,数学形式表述（建立偏微分方程并求解）,目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。,步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。,不含初始条件不含边界条件,物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。,平衡位置,任意截取一小段，并抽象性夸大。,弦的振动：虽然经典，但极具启发性。,一.均匀弦的横振动方程的建立,X,1、建立坐标系选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T,隔离物体法,X,1、建立坐标系选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T,(1),(2),马克思在数学手稿中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃”是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子y和分母x都被扬弃了，就是说，它们都消失为0，从而有限大小的x和y都被克服，差商,但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。,我们记扬弃了的（或消失了的）,那末，导数就是,从运动的观点看导数的定义,导数,关于函数的某种形式的极限（实质）,函数在某点上的变化率（数学结构）,某点上切线的斜率（几何意义）,“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。”摘恩格斯.自然辩证法,3、忽略与近似,(1),(2),ds,T,T,o,对于小振动：,所以有：,3、忽略与近似,(1),(2),对于小振动：,于是（1）式变为：,代入（2）式变为：,一般说来，将g略去，上式变为,上式实际上可以明确表示为：,令，于是有：,一维波动方程,4、整理化简,L,二.传输线方程(电报方程)的建立,现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G表示。,对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。,物理状态描述:,设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻R、电感L、电容C和电导G是按单位长度计算其对应的物理量，并且在x+dx范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为dx.,电容元件：,电感元件：,换路定理:,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,电路准备知识,与同学们商榷的几个问题：（P4-5）（1）设某时刻t，输入与输出端的对应关系是否合理?（2）电流作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5.-1.5式）？,”是否合理？,“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即,梁昆淼先生的做法：,“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以R，L，C，G。于是,亦即,亦即,将作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了而得的方程,同理,消去,得到的方程,设某时刻t，对应关系如下：左端：；右端:,输入端,输出端,参阅：丘关源主编电路P426-430，第十八章，均匀传输线。,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,电容上的电流：,电感上的电压：,流入,流出,由基尔霍夫电流定律:,电容上的电流：,电感上的电压：,整理后得到：,相对于函数的变化率，略去无穷小量dx,得,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,(1.4),(1.5),基本电磁场量场的物质方程Maxwell方程,电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度,介质的介电常数导磁率导电率,传导电流的面密度电荷的体密度,Vectordifferenceoperator,三.电磁场方程的建立,目标:利用上述关系,分别解出、。,由,将代入上式，得,对上式两边求旋度，得,再将代入上式，得,这是一个关于磁场强度的二阶微分方程,方法之一,为进一步化简，利用Hamilton算子的运算性质,磁场强度、磁感应强度的散度为零。,如法炮制，可得关于电场强度的方程,如果介质不导电（=0），上述方程简化为：,三维波动方程,将代入上式，得,目标:建立关于电位u的方程由电感应强度与电场强度的定义知：,（电荷体密度）,而电场强度与电位之间的关系，由下式确定,由此可得：,依据Hamilton算子的运算性质：,这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程,若静电场是无源的，即，上式又可写成,这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程,上式可写成,方法之二,数学准备知识,静电场方程泊松(Poisson)方程,方法之三,物理模型:均匀且各向同性的导热体,在传热过程中所满足的微分方程.,研究对象:热场中任一闭曲面S,体积为V,热场,V(体积),S(闭曲面),t时刻,V内任一点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t).,M,ds,数学表述为：,四.热传导方程的建立,物理规律:由热学的(Fourier)实验可知:dt时间之内,流经面元ds的热量dQ,与时间dt成正比；曲面面积ds成正比；温度u沿曲面法方向的方向导数成正比。,关于双侧曲面的侧与其边界曲线的方向作如下规定：设有人站在双曲面指定的一侧，沿其行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线的正向；若沿其行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向，这个规定方法也称为右手法则，即当右手除拇指之外的四指按的正向弯曲时，竖起的拇指所指的方向与上法向量的指向相同，称如此规定了正向的边界曲线为曲面的正向边界曲线如图所示,小常识,M,ds,V(体积),S(闭曲面),热场,M,ds,V(体积),S(闭曲面),热场,数学表述为：,必然等于V内各点所吸收的热量(热量守恒),上式中的，在热学中的意义？,为何上式左边的“”号又不见了？,数学处理：由于S为闭曲面，假设u(x,y,z)具有一阶连续偏导数,那么依据奥高公式（高斯公式）,因此有：,由于t1,t2以及区域V的任意性,且被积函数为连续,因此有,若令:,那么上述方程可写为,三维热传导方程,讨论:,(1).若V内有热源,强度为F(x,y,z,t),则热传导方程为,其中,(2).若导热体为一根细杆,则,(3).若导热体为一薄片,则,2019/12/14,45,可编辑,(4).若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态),则,与之对应有,稳恒温度场内的温度满足Laplace方程.,(5).在研究气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等物理过程时,若扩散系数为常量，那么所导出的扩散方程，形式上与热传导方程相同。即,一.均匀弦的横振动方程,二.传输线方程(电报方程),一维波动方程,高频传输线方程,三.电磁场方程,三维波动方程,四.热传导方程,(场点t时刻的温度分布),三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),1.2初始条件与边界条件,所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。,从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。,一、初始条件系统内部描述与时间有关的初始状态的数学表述。,（1）弦振动,（2）热传导,特别说明：Poisson方程，Laplace方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，可不提初始条件。,列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！,二、边界条件具体物理问题的边界约束状态。,以弦振动为例，弦振动时，其端点（以x=a表示这个端点）所受到的约束情况，通常有以下三类,右端点在振动过程中始终保持不动。,（1）固定端（右端）,（2）自由端（右端）,右端点在振动过程中不受u方向的外力，从而这个端点在位移方向上的张力为0。,（3）弹性支承端,又如热传导问题：,本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。,第一类边界条件：物理条件直接规定了u在边界上的值，如,第二类边界条件：物理条件并不直接规定了u在边界上的值，而是规定了u的法向微商在边界上的值，如,第三类边界条件：物理条件规定了u与un在边界上值之间的某个线性关系，如,1.3定解问题的提法,1.二阶线性偏微分方程的解,二阶线性偏微分方程的最一般形式为（n个自变量）,对于只有两个自变量的情况，上式则变化为,（1.33）,（1.34）,线性偏微分方程（1.33）的重要特征之一，就是从本身的形式上，将叠加原理表现得淋漓尽致。,结论：如果一个函数u，具有某个偏微分方程中所要求的各阶连续偏导数，并代入该方程，使其变成为恒等式，则此函数被称为该方程的解（古典解）。,2.几个名词简介,3.定解问题的稳定性与适定性,物理问题“翻译”为数学问题，是否符合客观实际，尚须加以验证！,（1）解的存在性定解问题是否有解。,（2）解的唯一性是否只有一个解。,（3）解的稳定性定解条件发生微小变化，解亦只有微小变化。,方法：试算+实验,本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。,“+”拟合,上述：解的存在性、唯一性、稳定性，被通称为适定性。,方法之二,设有空间两点，若以M1为始点，另一点M2为终点的线段称为有向线段.,通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向,的夹角,分别记作,.这三个角,称为有向线段的方向角.,则其方向角也是唯一确定的。,其中,0,0,0.若有向线段的方向确定了，,方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。,等温线或等温面,等温线或等温面,等温线或等温面,例.设长为的均匀细弦，两端固定，初始位移为0。开始时，在处受到冲量为的作用，试写出其定解问题。,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。,其一维波动方程为：,泛定方程（1）,由两端固定，知：,边界条件（2）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,质量,速度,冲量：力的时间作用效应。,动量定理：动量的改变=冲量的作用。,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。,对于点周围足够小的，弦段,最后可得定解问题,泛定方程（1）,边界条件（2）,初始条件（3）,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。,其一维波动方程为：,泛定方程（1）,由两端固定，知：,边界条件（2）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,质量,速度,由此可见：初始条件为,初始条件（3）,冲量：力的时间作用效应。,动量定理：动量的改变=冲量的作用。,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。,例有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必定引致邻段的压缩或伸长，这种伸缩传开了去，就有纵波沿着杆传播。试导出它的振动方程。,分析：,另附,解泛定方程的推导，设杆的横截面积为S，杨氏模量为E，密度为。,解泛定方程的推导，设杆的横截面积为S，杨氏模量为E，密度为。,如图建立坐标系，并选取任意微元。,由Hooke定律，微元所受到的弹性力为,依据牛顿运动定律，得,这就是杆在平衡位置，具有横坐标为的横截面上的纵向位移量所满足的