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带有持续扰动的时滞及非线性系统厦优跟踪控制研究 带有持续扰动的时滞及非线性系统最优跟踪控制研究 摘要 众所周知，在现实世界中，几乎所有的控制系统都不可避免地受到外界干扰 的影响。除了完全未知动态特性的外部扰动外，还有一类已知动态特性的外部扰 动，具有这类扰动的系统在航空航天、工业生产、机械制造和海洋工程等实际系 统中有着广泛的应用背景。外界扰动力作用产生的振动导致控制系统的性能受到 一定的影响，如何设计控制器消除或减小外部扰动对系统性能的影响具有重要意 义。因此研究在外界持续扰动力作用下系统的最优控制问题更贴近实际控制系 统，有重要的理论与实际意义。另一方面，非线性和时滞在实际系统中是普遍存 在的，如海洋平台减振控制系统中机械振动信号的测量与控制信号的传输延迟 等。从理论上分析，非线性或时滞系统是用泛函微分方程描述的无穷维系统，涉 及到非线性或时滞系统的问题通常是比较难解决的。非线性或时滞系统的稳定性 分析和控制算法的综合是重要的研究课题。 本文简要分析了工程中普遍存在的扰动现象，详细介绍了当前国内外非线性 及时滞系统最优跟踪控制问题的研究方法及研究现状。 本文首次将内模原理用于受扰非线性及时滞系统的增广系统设计，利用该增 广系统可以很好的消除了扰动项，从而将问题化为不含扰动的非线性时滞系统的 最优跟踪控制问题。并首次利用灵敏度法构造了一个其解收敛于原时滞系统的无 州。滞线性系统序列，最后通过截取最优控制序列解的有限项。得到增广系统和原 系统的次优跟踪控制律，解决了求解受扰非线性及时滞系统的最优跟踪控制律的 困难。本文给出的算法避免了求解基于状态的r i c c a t i 方程或非线性 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程，通过迭代求解伴随向量微分方程序列 的方法解决了非线性及时滞系统的最优输出跟踪问题。并通过同时构造参考输入 观测器和扰动观测器，解决了控制器的物理不可实现问题。最后通过仿真实例验 证了本文所提方法的有效性。 关键字：非线性系统；时滞系统；最优控制；跟踪控制；灵敏度方法 带有持续扰动的时滞及非线性系统艟优跟踪控制研究 r e a s e r c hi n t oo p t i m a lt r a c k i n gc o n t r o lf o rn o n l i n e a r t i m e d e l a ys y s t e m sw i t hp e r s i s t e n td i s t u r b a n c e s a b s t r a c t a sw ea l lk n o w , a l m o s ta l la c t u a lc o n t r o ls y s t e m sa r ea f f e c t e db ye x t e r n a l d i s t u r b a n c e s i n e v i t a b l y e x c e p t f o rs t o c h a s t i cd i s t u r b a n c e s ，t h e r ea r ee x t e r n a l d e t e r m i n i s t i cd i s t u r b a n c e sw h i c hw i d e l ye x i s ti np r a c t i c a lp r o c e s s e s s ot h es y s t e m s w i t hd e t e r m i n i s t i cd i s t u r b a n c e sa r ew i d e l ya p p l i e dt om a n ya p p l i c a t i o na r e a s ，s u c ha s a e r o s p a c e ，i n d u s t r y , m e c h a n i c a le n g i n e e r i n ga n do c e a ne n g i n e e r i n g t h ev i b r a t i o n w h i c hi sf r o me x t e r n a ld i s t u r b a n c e si m p a c t st h ep e r f o r m a n c eo fc o n t r o ls y s t e m s ，s o t h ed e s i g no fc o n t r o l l e rt oe l i m i n a t i n go rr e d u c i n gt h ee x t e r n a ld i s t u r b a n c e sa f f e c t i n g t os y s t e mi sv e r yi m p o r t a n t t h e r e f o r e ，t h ea n a l y s i so ft h eo p t i m a lc o n t r o lf o r n o n l i n e a rs y s t e m sw i t l le x t e r n a ld i s t u r b a n c e si sa p p r o p r i a t ef o ra c t u a ls y s t e m s a n di s o n eo ft h ei m p o r t a n tc o n t r o lp r o b l e m sb o t l ii nt h e o r ya n di np r a c t i c e o nt h eo t h e r h a n d ，n o n l i n e a ra n dt i m e d e l a ya r ew i d e l ye x i s ti np r a c t i c a ls y s t e m s f o re x a m p l e ，t h e s c a l eo fm a c h i n ev i b r a t i o ns i g n a la n dt h et r a n s f o r md e l a yo ft h ec o n t r o ls i g n a li n o f f s h o r ep l a t f o r ms h o c ka b s o r p t i o nc o n t r o ls y s t e m ，e t e t h e o r e t i c a l l y , n o n l i n e a ra n d t i m e d e l a ys y s t e m sa r ei n f i n i t ed i m e n s i o ns y s t e m sw h i c ha r ed e s c r i b e db yf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h ep r o b l e mw h i c hc o m i n gd o w nt on o n l i n e a ro rt i m e - d e l a y s y s t e m sa r eh a r dt os o l v e t h ei n t e g r a t i o no fs t a b i l i t ya n a l y s i so fn o n l i n e a ro r t i m e d e l a ys y s t e m sa n dc o n t r o la l g o r i t h mi sai m p o r t a n tt a s k i nt h i sp a p e r , t h ep h e n o m e n ao fd i s t u r b a n c e sa r ea n a l y z e di nb r i e ff i r s t l y t h e n ， t h er e l a t i v es t u d i e so nt h eo p t i m a lt r a c k i n gc o n t r o lp r o b l e mf o rn o n l i n e a ra n d t i m e d e l a ys y s t e m su pt on o w a r cg i v e ni nd e t a i l t h eo p t i m a lt r a c k i n gc o n t r o lp r o b l e mf o rn o n l i n e a rs y s t e m s ，l i n e a rt i m e d e l a y s y s t e m s n o n l i n e a rt i m e d e l a ys y s t e m s 、i t i ip e r s i s t e n t d i s t u r b a n c e sa r e c o n s i d e r e d b a s eo nt h ei n t e r n a lm o d e lp r i n c i p l e ，t h ed i s t u r b a n c ec o m p e n s a t o ri s c o n s t r u c t e d t h es y s t e mw i t hp e r s i s t e n td i s t u r b a n c e si st r a n s f o r m e di n t oa n a u g m e n t e ds y s t e mw i t h o u tp e r s i s t e n td i s t u r b a n c e s t h e n ，an o n d c l a ys e q u e n c e i i 带青持续扰动的时滞及非线性系统最优跟踪控制研究 s o l u t i o n sw h i c hu n i f o r m l yc o n v e r g e s 耐酬t i m e - d e l a ys y s t e m si sc o n s t r u c t e db y s e n s i t i v i t ya p p r o a c h tt h eo p t i m a lt r a c k i n gc o n t r o ll a wo ft h ea r g u m e n ts y s m mi s o b t a i n e db yc a l c u l a t i n gt h es e q u e n c e b yi n t e r e s t i n gt h ef i n i t et e r m so fo p t i m a l 1 。 c o n t r o ls e q u e n c e ，t h es u b o p t i m a lt r a c k i n gc o n t r o ll a wo fa u g m e n ts y s t e m sa n d o r i g i n a ls y s t e m si so b t a i n e d t h ea l g o r i t h mo f o b t a i n i n g t h eo p t i m a lt r a c k i n gc o n t r o l l a wi sd e s i g n e da n ds i m u l a t i o n sd e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h ed e s i g n e da p p r o a c h t h ep r o p o s e da l g o r i t h ma v o i d ss o l v i n gt h er i c c a t ie q u a t i o nb a s i n go ns t a t ev e c t o ro r t h eh a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ( h j b ) e q u a t i o na n dh a sl o wc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y s i n c eap r o b l e mo fp h y s i c a lr e a l i z a t i o na r i s e sb yt h i sm e t h o d ，t h ed i s t u r b a n c e o b s e r v e ra n dr c f e r e n c ei n p u to b s e r v e ra l ec o n s t r u c t e dt om a k et h es t a t eo fe x o s y s t e m s t ob ea c c e s s i b l e a tl a s t t h es i m u l a t i o ne x a m p l e sd e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h e d e s i g n e da p p r o a c h k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ；t i m e - d e l a ys y s t e m s ；o p t i m a lc o n t r o l ；t r a c k i n gc o n t r o l ； s e n s i t i v i t ya p p r o a c h 1 1 1 - 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 壁；垫 塑直基熊煎要挂别芭明的：查拦亘窒! 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：弓坪民签字日期：争守事f 月3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩日j 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名：多群氐 导师签字 签字日期：小9 年月；日 签字日期：2 钾7 年月岁日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：华为技术有限公司 通讯地址：广东省深圳市龙岗区坂田华为基地 电话：0 7 5 5 2 8 3 5 8 4 7 6 邮编：5 1 8 1 2 9 带有持续扰动的时游及非线性系统最优跟踪控制研究 1 绪论 1 1 课题背景及研究意义 众所周知，在现实世界中，几乎所有的控制系统都不可避免地受到外界干扰 的影响。除了完全未知动态特性的外部扰动外，还有一类已知动态特性的外部扰 动，如：阶跃扰动、斜坡扰动、脉冲扰动、正弦扰动、周期扰动及满足某一类齐 次微分方程的扰动( 通常称为外系统) 等等。具有这类扰动的系统在航空航天、 工业生产、机械制造和海洋工程等系统中有广泛的应用背景。例如在海洋平台中， 影响平台安全和寿命的重要因素主要包含了波浪力，风力，重力等“。1 ；航行的 船只在受到波浪的影响时要控制摇摆；飞机飞行振动控制系统，机翼承受的风剪 应力的谐振干扰”。”；工业生产中机器不可避免的受到了振动的影响：汽车和传 送设备中存在噪声等等。这些外来扰动随着时间的变化不断变化。外来扰动的存 在使得系统的性能明显降低，因此，控制系统的扰动抑制和跟踪控制问题被广泛 关注和研究。实际上如果用无扰动初值问题的最优控制方法去设计受扰动系统， 得到的控制律不是最优的，而且设计的控制律对外部扰动影响的鲁棒性较差，很 难达到理想的控制效果。因此研究在外界持续扰动力作用下系统的最优跟踪控制 问题更贴近实际控制系统，有非常重要的理论与实际意义。 一般来说，扰动、非线性和时滞在实际系统中是普遍存在的，但对于受扰 非线性及时滞系统的最优控制问题仍是非常难解决的研究课题之一，因为此类 问题往往导致求解含有非线性项或时滞项的菲齐次两点边值问题，而该两点边 值问题的精确解或数值解都很难直接求出。最优控制的近似方法是在计算复杂 性和控制精度方面都是一个很好的折衷办法，所以采用近似最优控制( 次优控 制) 策略无论在理论上还是在实践上都是很有意义的。 1 2 扰动现象分析 扰动可以分为已知动态模型的确定扰动( d e t e r m i n i s t i cd i s t u r b a n c e s ) 和动态 模型未知的随机扰动( s t o c h a s t i cd i s t u r b a n c e s ) 。随机扰动是指系统所受的扰动 是随机信号，我们仅知道扰动信号是能量有界或者幅值有界的，但是对于系统的 带有持续扰动的时滞及非线性系统最优跟踪控制研究 动态性能是不知道的。确定性扰动是指具有已知动态特性但是初值未知的扰动， 如对于具体的模型而言，扰动频率是已知的，但是幅值，相角和初值是未知的。 这类系统在实际中有广泛的应用。 1 3 受扰系统研究现状 目前从查阅的文献可以看出，对扰动的处理方法研究，处于百家争鸣，百花 齐放阶段，还没有形成系统的成熟的理论方法，主要的研究方法有：1 内模控制； 2 前馈反馈控制；3 无静差控制：4 自适应控制；5 预测控制；6 迭代学习 控制，等等。 1 3 1 扰动未知系统研究现状 对多数系统而言，扰动未知，所以许多的研究成果都集中在随机有界扰动系 统的研究中。由于未知扰动对系统性能的影响是随机的，得到的最优控制结果往 往有一定的保守性。如日一控制只能给出系统输出范数与扰动范数某个关系的一 个上界“；对扰动可预测的系统，利用预测控制滚动优化控制器参数撕，但由于 预测的精度限制很难得到最优的控制指标；对可测扰动的非线性系统，采用前馈 控制力求完全补偿扰动对系统的影响嘲，但完全补偿往往是物理不可实现。 当频率未知时，问题变得较为复杂当扰动可测量时，可利用自适应前馈控 制算法来处理。然而，在很多实际问题中，在扰动源上或其经由通道上放置传感 器并不总是方便的。为此，f e n g 和p a l a n i s w a m y o ”提出了基于内模原理的自适 应算法，该算法具有较强的非线性。b o d s o n 和d o u g l a s “”针对未知频率的正弦 扰动，给出了扰动抑制的两种自适应算法，一种称为间接方法，结合了频率估计 算法和频率己知的扰动抑制自适应算法；类似的方法见文献 1 2 ，给出了不同的 频率估算方法并结合了重复控制方法。另一种称为直接法“”，该方法从整体上 估算扰动的频率，相位和振幅，并结合了锁相环技术和正弦扰动抑制算法。文献 1 4 给出了对应于 1 1 的离散系统情形，并通过线性逼进思想分析了非线性系 统。该法利用锁相环技术将噪音信号分解成同相部件和积分部件，不但可实现正 弦扰动减振而且可精确预测其性能。对于可测扰动，文献 1 5 ，1 6 给出了抑制周 期扰动的虚拟前馈控制方法。 带胄持续扰动的时滞及非线性系统趣优耀踪挖期研究 1 3 2 扰动已知系统研究现状 对于已知动态特性扰动的系统，大量的研究成果集中在包含正弦扰动的周期 扰动系统。这类系统具有广泛的应用背景。例如，飞机飞行振动控制系统中，机 翼承受的风剪应力的谐振分量是正弦扰动力“。，海洋平台振动实时控制系统 中，海洋结构物承受的风力或海浪力的谐振分量是正弦扰动力“”州以及磁盘驱动 系统中的周期扰动咖1 等。在频率已知情况下，常用的方法有内模原理、自适应方 法和重复控制技术等。这些方法紧密联系，文献 2 3 指出，一个标准的自适应前 馈控制算法等价于内模控制律。唐。蝣等针对频率已知的正弦扰动，给出了抑制 外部扰动的前馈控制方法，该方法实现简单，只需求解s y l v e s t e r 矩阵方程即可 得到前馈控制增益。文献 2 6 给出了对应 2 4 的离散系统结果。 近年来，对于外部扰动模型已知的情形，人们开始研究更为广泛的扰动模型。 其中，系统中的扰动输入经由一般的线性外系统( e x o s y s t e m ) 产生的情形最具 代表性。针对此类外部扰动，基于扰动观测器方法 2 7 2 9 ，g u o 等 3 0 给出了 扰动抑制的设计方法。采用前馈补偿思想，唐等 3 1 3 s 研究了含此类扰动的连 续系统和离散系统的最优扰动抑制的控制器设计方法，该方法对外部扰动具有良 好的鲁棒性。 在受已知动态特性的扰动线性、非线性及时滞系统的最优扰动抑制的研究方 面，目前已有论文发表 2 5 ，3 2 ，3 6 。对受扰动非线性及时滞系统的最优跟踪控 锄研究方面。目前还没见到有相关论文或研究成果发表与公布。这就要求我们探 讨和研究新的适用于这类问题的控制方法。 1 4 本文研究内容及章节安排 本文在当前非线性及时滞系统的输出跟踪和最优控制理论研究的基础上， 。分别研究了带有持续扰动的非线性系统、带有持续扰动的时滞线性系统、带有 持续扰动的对滞非线性系统基于二次型性能指标的最优跟踪控制闯题，给出并 证明了系统最优跟踪控制律的存在唯一性，讨论了跟踪控制律的近似设计方法 等问题。 全文共由六章组成，具体如下： 带有持续扰动的时滞及非线性系统最优跟踪控制研究 第一章简要说明了本课题的研究背景及意义，分析了现实中存在的扰动 现象，概述了当静国内外关于受扰动系统的研究方法与现状。 第二章简要叙述了最优跟踪问题的定义及几个容易混淆的基本概念，并 详细总结了非线性及时滞系统最优跟踪控制问题的研究现状。 第三章 研究了带有持续扰动的非线性系统的基于二次型性能指标的最 优跟踪控制问题，针对一类扰动特性由外系统描述的非线性系统，给出了最优扰 动抑制控制律的近似设计过程。利用内模原理构造扰动补偿器，将带持续扰动的 非线性系统的最优跟踪控制闻题转化为无扰动非线性增广系统的最优跟踪控制 问题。然后，选取有限时域二次型性能指标，利用灵敏度法求得增广系统的最优 控制律，进而求得原系统的最优跟踪控制律。利用灵敏度算法较好的解决了求解 带有持续扰动非线性系统的最优跟踪控制律的困难，并推广到求解带有持续扰动 非线性系统的无静差最优跟踪控制律问题。仿真结果表明，该算法对带有持续扰 动非线性系统的最优跟踪控制律的设计行之有效。 第四章报据二次型性能指标。设计带有持续扰动的时滞线性系统的近似 最优跟踪控制器。首先对系统扰动模型进行了分析说明，利用内模原理将原系统 的最优跟踪控制问题转化为无扰动的增广系统的最优跟踪控制问题，根据极大值 原理得到增广系统的基于二次型性能指标的最优跟踪控制律。利用逐次逼近方法 将含有时滞项又含有超前项的两点边值问题转化为不含时滞项和超前项的线性 非齐次两点边值序列问题。给出并证明了增广系统的无静差最优控制律，进而求 的原系统的无静差最优跟踪控制律。 第五章 研究带有持续扰动的时滞非线性系统的最优跟踪问题。首先通过 利用内模原理构造的扰动补偿器，将系统转化为无扰动的增广系统。然后，利用 灵敏度法构造了一个其解收敛于原时滞系统的无时滞系统序列，通过求解该序列 得到增广系统的最优跟踪控制律最后通过截取最优控制序列解的有限项，得到 增广系统和原系统的次优跟踪控制律。设计了求解最优跟踪控制律的具体算法， 仿真实例表明了该设计方法的有效性。 第六章 总结论文的主要工作和创新点，并指出今后的研究工作方向。 带有持续扰动的时滞及非线性系统屉优嫩踪拄翩研究 最优跟踪控制问题研究概述 2 1 基本概念 跟踪控制和扰动抑制：跟踪控制和扰动抑制是广泛存在于工程实际中的一类基 本控制问题。跟踪控制和扰动抑制统称为跟踪问题，其主要目标是抑制外部扰动 对系统性能影响和使系统输出无静差地跟踪外部参考输入。 以同时作用控制输入和外部扰动的连续时间线性时不变受控系统为例，其状态空 间描述为： 童2 舡占“+ 瓦w ( 2 1 ) y = c x + d u + 见w 其中，x r ”是状态向量，“寅”是控制向量，y 肜是输出向量，w r 9 是扰 动向量。假定姐，鳓为可控，钮，c ) 为可观测。再令受控系统的输出y ( f ) 所要跟 踪的外部参考输入为y ( t ) ，跟踪误差表为 g ( ) = 罗a ) 一y q ) 则跟踪问题受控系统的结构框图如下所示： ( 2 2 ) 图2 1 跟踪问题受控系统的结构框图 对于跟踪问题，问题的提法可分为以下三种情形： ( i ) 渐进跟踪：对于图2 1 所示受控系统，若对于任意非零参考输a y ( t ) 0 和零扰动以r ) = - 0 ，存在控制输入，成立 带有持续扰动的时滞及非线性系统最优跟踪控制研究 l i m y ( t 1 = l i m y ( t ) ( 2 3 ) 即： 受p ( f ) = l i m t y ( t ) 一y ( f ) 】= 0 ( 2 4 ) 则称系统输出实现对参考输入的渐进跟踪。数学上，“渐进”含义是指t 斗o 。的 情形；物理上。“渐进”含义则指系统结束过渡过程达到稳态的情形。 ( i i ) 扰动抑制：对于图2 1 所示受控系统，若对于零参考输a y ( t ) s 0 和 任意非零扰动v 4 t ) 0 ，存在控制输k u ，成立 魄儿( f ) = 0 ( 2 5 ) 则称系统输出实现对扰动的抑制。 ( i i i )无静差跟踪：对于图2 1 所示受控系统，若对于任意非零参考输入 歹( ，) o 和任意非零扰动以，) 0 ，存在控制输k u ，成立 l i r a y ( t ) = l i m y ( t ) ( 2 6 ) 即： l i m e ( t ) = l i m y ( t ) - y ( t ) 】= 0 ( 2 7 ) 则称系统输出实现对参考输入的无静差跟踪，即同时实现渐进跟踪和扰动抑制。 无静差跟踪控制系统：无静差跟踪控制系统组成结构的一般形式如下图所示。 控制器由“伺服补偿器”和“镇定补偿器”所组成。伺服补偿器的功能是为控制 系统实现渐进跟踪和扰动抑制提供机理保证镇定补偿器为一个静态状态反馈， 其功能是使控制系统实现渐进稳定。 图2 2 无静差跟踪控制系统组成结构的一般形式 内模原理( i n t e m a lm o d e lp r i n c i p l e ，i m p ) 是通过将扰动的动念特性加入反馈控制 中，来取得渐近跟踪或者扰动抑制的目的。 基于内模的控制是利用内模原理，即引入系统不稳定信号( 扰动或跟踪的参 带有持续扰动的时滞及非线性系统厦优原踪控制研究 考输入) 模型为内模，与系统串联，作为补偿器抑制不稳定信号对系统的影响。 内模原理的实质就是依靠内模的根与不稳定振型实现精确的对消从而达到抑制 的目的。利用内模原理实现无静差控制，对除了内模以外的受控系统和补偿器的 参数变动具有很强的不敏感性，是一种鲁棒控制。实质上，积分控制和重复积分 控制都是i t l p 型控制器。 内模控制系统是一个将内模作为补偿器的反馈控制系统，补偿器的基本功能 是实现扰动抑制和渐近跟踪，是一个动态系统。由于内模控制设计简单、能有效 抑制不可测干扰的影响，消除稳态误差，是一种设计与分析无静差控制系统的有 力工具。 最优调节问题和最优跟踪问题：从控制工程角度，可把最优控制问题分类为“最 优调节问题”和“最优跟踪问题”。最优调节问题的目标是综合最优控制“， 在保证性能指标泛函，( “( 叻取为极小的同时，是系统状态由初始状态而驱动到 零平衡状态t = 0 。最优跟踪问题的目标是综合最优控制，在保证性能指标 泛函，( 甜 ) 取为极小的同时，是系统输出y ( t ) g t i 踪已知或未知参考输入y o ( t ) 。 2 2 最优跟踪问题 最优跟踪问题是对最优调节问题的一个自然的推广。考虑连续线性时不变控 制系统： 量= a x + b “，j ( o ) 2 而，2 0 ( 2 8 ) y = c x 设系统输出y 跟踪参考输入罗，罗为如下稳定连续时间线性时不变系统的输出： j ( f ) = 国 歹u ) = 舷( f ) ( 2 9 ) 其中，x 彤，“r ，w e r 7 和j ，彤假定( 4 回为完全能控，( 4 ( ) 为完全 _ 能观测，c r q ”为满秩阵，( g ，印为完全能观测 进而，引入一个二次型性能指标： 带有持续扰动的时滞及非线性系统最优跟踪控制研究 j ( u ) = 三n ( y 嘲7 q ( y y ) + u r 驯出 ( 2 1 0 ) 其中，加权矩阵q r p “p 为正半定对称阵，r e r p p 为正定对称阵。 所谓最优跟踪问题就是，对受控系统( 2 8 ) 和参考输入模型( 2 9 ) ，由相 对于( 2 1 1 ) 所示的性能指标，寻找一个控制“ 使输出y 跟踪参考输入歹同时， 有 ，( “+ ) 2 卿 ) ( 2 1 1 ) 容易导出线性时不变受控系统的最优跟踪控制结构图如下： 图2 3 线性最优跟踪系统的结构图 2 3 最优跟踪问题研究现状 近年随着我国经济的迅猛增长，现代工业、国防等国民经济的各个行业对控 制理论提出了越来越多的研究课题，跟踪控制理论作为控制理论中的一个研究方 面在实际工业中得到了广泛的应用。 2 3 1 非线性系统最优跟踪问题的研究现状 由于现代国防、工业的实际需要对控制性能的要求的提高，出现了对于非线 性系统的最优跟踪问题研究的需要，因而成为亟待解决的问题之一。对于非线性 系统的最优输出跟踪问题，由于需要求解非线性的哈密顿一雅克比一贝尔曼 ( h a m i l t o n j a c o b i - b e l l m a n ) 方程或非线性两点边值问题，使得研究者们将目 光转移到了稳定性的研究。但随着f r e e m a n 和k o k o t o v i c 在文献 3 7 中首次提出 逆最优( i n v e r s eo p t i m a l ) 方法，因而解决了一类非线性系统的最优跟踪问题。 此后，文献 3 8 中对逆最优进行了深入分析。文献 3 9 3 对于具有未知参数的非线 性系统给出了一个逆最优自适应跟踪控制。对于一类解决性能指标为无限时域的 带有持续扰动的时滞及非线性系统培优躐踪撺制研究 最优控制的方法，o v e r t a k i n go p t i m a l i t y 方法，也可以叫做c a t c h i n g - u p p t i m a l i t y 的方法，在8 0 年代，由a r t s t e i n 和l e i z a r o w i t z 首次利用此方法 研究了参考输入信号为周期信号的线性时不变系统的最优跟踪问题后来 l e i z a r o w i t z “o 又在1 9 8 6 年利用此方法研究了参考输入为非周期信号的最优跟 踪问题。这些文献中均用了离散化方法的求解方法。到1 9 9 8 年，t a n 和r u g h “” 将该方法扩展到时变系统，利用c o m p l e t i n gt h es q u a r e 方法得到反馈控制律。 此后又将该方法应用到了随机线性系统的最优调节和跟踪问题中“”。另外，对于 非线性系统，首先将其进行近似线性化然后研究其最优跟踪问题也获得了一些研 究成果4 4 o 应用变结构控制来解决非线性系统的最优跟踪问题也是近年来引起广 泛关注的一种方法“”。随着自适应控制、神经网络等先进控制方法的逐步发展和 其在各种控制领域的应用，将先进控制算法用来解决二次型最优跟踪问题也成为 学者们关注的重要问题。文献 4 6 采用参数校正自适应控制结合反步法设计了最 优跟踪控制器。文中考虑了一个具有未知参数的非线性系统的最优自适应跟踪控 制问题，结合反步法对严格反馈系统设计了一类新的自适应控制器。解决了在以 前的文献中采用自适应反步法设计遗留的问题。文献 4 t 则设计了包含两个人工 神经网络( a n n ) 和一个模糊逻辑控制器的控制器。第一个a n n 用来作为观测器 估计系统状态；第二个a n n 控制器则基于最优非线性二次型高斯方法。利用模糊 逻辑控制器用来提供内部状态回路，利用神经网络在线识别控制非线性指令马 达，以达到最优速度跟踪。众所周知，前馈反馈最优跟踪器在线性系统最优跟踪 控制中得到了成熟的应用。鉴于这种方法的控制有效性，在非线性系统中也得到 了应用。文献 4 8 则考虑了具有不确定非线性项的系统的最优输出跟踪问题，提 出了一种自适应模糊补偿器实现在线学习，逼近补偿不确定非线性部分的动态影 响来实现最优输出跟踪。在 4 9 中，将在前馈和反馈中引入了多层神经网络算法 来解决离散非线性系统的二次型最优跟踪闯题。将前馈控制输入对应于对象的稳 态输出，而反馈控制输入对应于对象的暂态输出，该算法实现了离线控制方法， 即被控对象在第一次被识别后，引入该算法即可进行后续的控制，不需要人工干 预。文献 5 0 3 针对离散系统的最优轨线跟踪设计了种既适用于线性又适用于非 线性系统的前馈反馈最优跟踪控制器，通过循环计算时变反馈增益得到最优控制 律。 由于非线性系统的复杂性，没有一个通用的办法来解决所有的非线性系统。 带有持续扰动的时滞及非线性系统墁优跟踪控制研究 对最优输出跟踪问题，比较成熟的方法是从最优控制的理论出发，利用极大值原 理和动态规划来推导问题的解。其必要条件导致了非线性的，有约束的两点边值 问题( 极大值原理) 或者是偏微分方程( 动态规划) 。虽然从动态规划中的h j b 方程及其边界条件出发，也可以导出极大值原理的基本结果，但此两种方法也有 区别。在h j b 方程中，要求a 叫缸、a y a r 存在且连续，但在极大值原理中没有 这个限制。这个限制是很严格的，在工程上有很多最优化问题不满足v 函数的可 微性。从这个意义上说，极大值原理比h j b 方程的适用范围更广泛。在实际解决 问题时，具体采用哪种方法可根据实际情况或求解熟练程度来决定。但无论从哪 种思想出发，对大多数非平凡问题求解其解析解都是非常困难的。因此许多研究 者都倾向于求解其数值解或近似的解析解 2 3 2 时滞系统最优跟踪问题的研究现状 时滞系统的研究一直以来都是控制领域的学者们关注的热点。长期以来，许 多学者在理论和实践上做了大量的研究工作，相继提出了许多行之有效的控制方 法。在时滞系统的稳定性、镇定、鲁棒控制、预测控制、变结构控制、自适应控 制等领域取得了丰硕的成果”。而对于时滞系统最优问题的讨论始于上个世纪六 十年代。最早是o g u z t o r e l i 5 2 1 在1 9 6 3 年对于线性时滞系统的时间最优问题进行 了讨论。对于线性时滞系统的二次型最优控制问题的研究，k r a s o v s k i ic 5 a 提出了 广义r i c c a t i 方法用于滞后线性系统最优化问题。6 0 年代中期，学者 k h a r a t a s h v i l i ”和o g u z t o r e l i 1 分别将极大值原理的思想和动态规划的方法 引用到时滞系统，但对于二次型最优问题要给出一个显式的解仍然是很困难的。 后来学者们就状态带时滞的线性二次型最优控制问题发表了不少的研究成果”一 。文献 6 1 则对于具有随机时变的时滞的线性系统的有限时域二次型最优控制 问题进行了讨论，文中所考虑的随机时滞是未知的，但具有已知的统计特性，可 以模型化为具有有限个状态的马尔可夫( m a r k o v ) 过程。由于时滞的类型不同、 系统的类型和选择的性能指标的不同，因而有很多关于时滞系统的研究问题。 k h a r a t a s h v i l i 嘲1 、o g u z t o r e l i 惭3 和m a l e k - z a v a r e i 1 等众多学者对于这些时滞系 统的相关问题做了很好的总结m 4 4 2 - ”近年来，对于主要在网络传输和宇宙航 空等领域中的通信滞后而产生的控制变量中带有时滞的问题，也有一些研究成 带有持续扰动的时滞及非线性系统壤优蹋踪挡制研究 果。文献 6 5 升每原时滞系统变换为无时滞系统，并就得到的控制律中含有积分的 问题，给出了一种实现的算法。文献 6 6 利用对偶原理，极大值原理给出了最优 调节器的设计。随后。文献 6 7 又在文献 6 6 的基础上利用相同的方法对同时含 有状态时滞和控制时滞的线性系统的最优控制问题的进行了研究。通过求解一个 滞后状态微分方程和一个矩阵增益的常微分方程( 准r i c c a t i 方程) 得到了问题 的解。 在工程上对于纯滞后的系统，通常采用伯德展开法和s m i t h 预估法来处理时 滞项。伯德展开法是把纯时滞项p _ ”展开，近似地表示为两个有理多项式之比， 即n ( s ) d ( s ) 。这种方法对时滞比较小的情况是适用的。但是，随着时滞增大， 展开式中分子和分母的阶数也随之增高，系统的分析与设计的难度也增加。当时 滞较大时，就不能用这种方法处理时滞系统。而s m i t h 预估方法是采用s m i t h 预估器对纯时滞进行补偿，将闭环系统的时滞部分移至环外。在实践中，s m i t h 预估方法已经在单变量系统中获得成功的应用。其主要思想就是通过建立一个过 程模型将时滞移到闭环之外。但s m i t h 预估器对系统模型的精度要求较高，且一 般只适用于低阶系统，模型的不精确性可能导致系统的不稳定。而相对于计算机 控制系统，d a m i n 算法得到了成熟的应用。 对于时滞系统的二次型最优问题，利用极大值原理的必要条件总是导致求解 一个既含时间滞后项又含时间超前项的两点边值问题。这一问题无论是求精确解 还是数值解都是困难的。因而更可取的办法是求解这类问题的近似解。可以看到， 对时滞系统二次型最优控制的文章不少，但对于最优输出跟踪研究方面的文献还 不多，就这样的闯题还需要做进一步研究。 带有持续扰动的时滞及非线性系统最优跟踪控制研究 3 带有持续扰动的非线性系统的最优跟踪控制 本章研究一类受扰非线性系统最优跟踪控制问题，给出了其近似最优跟踪控 制控制器的设计过程。利用内模原理构造扰动补偿器，将带持续扰动的非线性系 统的最优跟踪控制问题转化为无扰动的非线性增广系统的最优跟踪控制问题。然 后，选取有限时域二次型性能指标，利用灵敏度法求得增广系统的最优控制律， 进而求得原系统的最优跟踪控制律。最后，通过一个仿真实例验证了此方法的有 效性。 3 1 问题描述 考虑如下用微分方程描述的受扰非线性控制系统： 戈( f ) = 爿x ( f ) + b “( f ) + ( 缸f ) ) + d 以f ) x ( o ) = ( 3 1 ) y ( t ) = c x ( t ) 其中x r “，“r ，w r ，和y r q 分别为状态向量，控制向量，外部干扰向 量和输出向量；矗为初始向量；a 、b 、c 、d 为已知适当维数的常量矩阵； ，：彤_ c 1 ( 尺”) 。外部干扰w 的动态特性用下列外系统描述： t ( f ) = 上1 v ( f ) 以f ) = ， v ( f ) ( 3 2 ) 其中1 ，r 9 ，e 、f 为已知适当维数的常量矩阵。设系统( 1 ) 的输出y ( t ) 所要跟 踪的期望输出f i ( t ) 由以下外系统描述 2 ( f ) = ( f ) ( 3 3 ) 歹( f ) = 胁( ，) 其中z r ”夕r 9 ；g 、h 是已知适当维数的常量矩阵。系统( 1 ) 的输出误 差为： “f ) = 歹( f ) 一y ( f ) ( 3 4 ) 假定，聊为完全能控，( 4 c ) 为完全可观测，且扰动满足下列匹配条件 r a n k d = - r a n k b = r a n k ( b 脯 则存在可逆矩阵l 使得胆z 汇。本章研究系统( 3 1 ) 的无静差最优跟踪控制律 带有持续扰动的时滞及非线性系统壤优麒踪控制研究 一一 设计问题。若选用常规的无限时闻二次型性能指标，如果( 3 2 ) 不是渐近稳定 的，则砸) 和玑f ) 至少有个不趋近于零，所以最优性能指标是不收敛的 ，2 最优跟踪控制器设计 3 2 1 扰动补偿器设计 令 甜1 ( f ) = u ( t ) + l f v ( t ) 厅o ) = f i ( t ) - l f e ( l f ) 一u ( t ) 则由( 3 2 ) 、( 3 5 ) 和( 3 6 ) 式可得 岛( f ) = l f e ( l f ) 1 ( d + 存( f ) 再令 琊，= 斛翮絮) ) 则得到如下增广系统： ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) j p ) 2 譬( ，) + b 厅p ) + 厂) )( 3 9 ) 贝f ) = c i ( f ) 础书孟爿雪= m 锕陬 由( 3 1 ) 、( 3 9 ) 显然可得贝r ) = ，仰因此，如果系统( 3 9 ) 中的输出y ( t ) 是y ( t ) 的最优跟踪，那么我们就可以保证系统( 3 1 ) 中的) 稚) 是歹( f ) 的最优跟 踪。 选取系统( 3 9 ) 的二次型性能指标为： ，= 尹1 ( f ，) 即( f ，) + 互1 ， 。q e r ( t ) q e ( f ) +