（计算机应用技术专业论文）广义mj集分形结构的研究.pdf

一查垄望王查堂堡圭塑丝茎 r j 摘要 分形是非线性科学中富有挑战性和广阔应用前景的学科。分形理论中m a n d e t b r o t 集 和j u l i a 集都是非常复杂的对象。本文主要研究了广义m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的分形特 征，内容如下： 提出了用于探讨广义m j 集对应关系的周期轨道搜索比较技术，结合l y a p u r l o v 指数 和周期点查找技术，本文分析了广义m j 集的分形特征。利用上述技术，本文构造了一 系列复映射z 斗，+ c r ) 的广义m j 集，研究了广义m - j 集的结构拓扑不变性和裂 变演化规律；建立了复映射z 斗矿+ c ( a r ) 的广义m - j 集之间内在机制的等价定理、 拓扑不变性和裂变演化规律；探索了广义m j 集的分叉嵌套序列、吸引周期花瓣的分布 规律、轨道的混沌特征；把计算机试验与数值计算相结合，从广义m 集对应的不同周期 的广义j 集周期轨道入手，对广义j 集周期轨道的特征进行分析，建立定性、定量化的 标准与统计特性的指数，来描述、刻画广义m - j 集对应关系：并且在此基础上阐述了此 类广义m l j 集的物理意义。这一研究成果即将发表在自然科学进展上。 研究了广义高斯和的分形序列及其m j 集。本文从理论上分析了分形序列的生成规 则，给出了二次高斯和所生成的分形序列的标度及维数；利用逃逸时间算法，构造了广 义高斯和的m _ j 集，分析了m j 集的周期性和结构特征，并给出了相应的理论证明。 把噪声对动力系统的影响引入到广义m - j 集的研究中，分析了加项扰动的广义m j 集分形特性，探讨了加项扰动的广义m j 集的结构变化及周期性规律：并在加项扰动的 广义m 集上取点构造了对应加项扰动的广义j 集，探讨了扰动广义m j 集的对应关系； 从理论上研究了扰动参数对广义m 集的影响。 关键词：分形；l y a p u n o v 指数；高斯和；m a n d e i b r o t 集；j u ji a 集 墨丝! 堡坌堡堕塑盟婴塑 一 r e s e a r c ho nf r a c t a ls t r u c t u r e so fg e n e r a l i z e dm - j s e t s a b s t r a c t f r a c t a li so fg r e a tc h a l l e n g ea n db r i g h ta p p l i c a t i o nf u t u r ei nn o n l i n e a rs c i e n c ei nf f a c t a l t h e o r y ，m a n d e l b r o ts e ta n d j u l i as e ta r ea l le x t r a o r d i n a r yc o m p l i c a t e do b j e c t s i nt h i st h e s i st h e f r a c t a lc h a r a c t e r i s t i c so f g e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e ta n dj u l i as e ta r ed i s c u s s e d a n dt h ec o n t e n t i sa sf o l l o w i n g t h et h e s i sp r e s e n t st h ep e r i o d i c i t yo r b i ts e a r c ha n d c o m p a r i s o nt e c h f i i q u ew h i c hc a nb e u s e dt od i s c u s st h er e l a t i o n s h i po ft h eg e n e r a l i z e dm js e t s t h ef r a e t a c h a r a c t e r i s t i c so f g e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ta n dj u l i as e t sh a v eb e e na n a l y z e db yu s i n gl y a p u n o ve x p o n e n ta n d p e r i o d i cs c a n n i n gt e c h n i q u e sa n dt h em e t h o dm e n t i o n e da b o v e as e r i e so f t h eg e n e r a l i z e dm j s e t sh a v eb e e n g e n e r a t e d f r o mt h e c o m p l e xm a p p i n gz _ z “+ c ( a r 1b yu s i n gt h e s e l e c h n i q u e s t h et h e s i sr e s e a r c h e so n t h es t r u c t u r et o p o l o g i c a li n f l e x i b i l i t ya n dt h ed i s c o n t i n u i t y , e v o l u t i o nl a wo f t h eg e n e r a l i z e dm - js e t s ，a n de x p l o r e ss t r u c t u r ea n d d i s t r i b u t i n go f p e r i o d i c i t y 。p e t a l ”a n dt o p o l o g i c a ll a wo fp e r i o d i c i t yo r b i t so ft h eg e n e r a l i z e dms e t s ，a n df i n d st h a tt h e g e n e r a l i z e dm s e tc o n t a i n sa b u n d a n ti n f o r m a t i o no fs t r u c t u r eo ft l l e g e n e r a l i z e dj s e t sb y f o u n d i n g t h ew h o l e p o r t r a yo f t h eg e n e r a l i z e d js e t sb a s e do nt h e g e n e r a l i z e dm s e tq u a l i t a t i v e l y b e s i d e s ，t h em o v e m e n tl a w o f t h eb r o w n i a n p a r t i c l e sh a sb e e ne x p o u n d e dw e l lu s i n gt h ef r a c t a l s t m c t t t r ec h a r a c t e r i s t i c so f t h e g e n e r a l i z e dm js e t s t h er e s u l th a sb e e na c c e p t e db yt h ej o u m a l p r 0 掣e s s 漉n a t u r a l s c i e n c ea n dw i l lb ep u b l i s h e ds o o n t h ef r a c t a l s e q u e n c ea n dm a n d e l b r o t j u l i as e t so fg e n e r a l i z e dg a u s ss u l 2 1 sa r es t u d i e d t h i st h e s i sa n a l y z e st h eg e n e r a t e dr u l e so f f r a c t a ls e q u e n c e ，a n d g i v e st h e s c a l e sa n dd i m e n s i o n s o ft h ef f a c t a ls e q u e n c ec o n s t r u c t e db y q u a d r a t i cg a u s ss u m st h em a n d e l b r o t j u l i as e t so ft h e g e n e r a l i z e dg a u s ss t l i l 2 sh a v eb e e nc o n s t m c t e db ye s c a p et i m ea l g o r i t h m t h ep e r i o d i c i t ya n d s t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c so f t h em a n d e l b r o t - j u l i as e t sa r e d i s c u s s e da n dt h ec o r r e s p o n d i n g t h e o r y p r o v e i sg i v e n t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ea d d i t i v ep e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm js e t sh a v eb e e na n a l y z e d t h r o u g hi n t r o d u c i n gt h en o i s ei nd y n a m i c a ls y s t e mt ot h eg e n e r a l i z em a n d e l b r o tm a p ，t h e v a r i e t ys t r u c t u r e sa n dt h ep e r i o d i c i t yo ft h ea d d i t i v e p e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm ，j s e t sa r e d i s c u s s e d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na d d i t i v ep e r t u r b e dm s e t sa n djs e t si s e x p l o r e dt h r o u g h g e n e r i a t i n gt h eg e n e r a l i z e djs e t sb yc h o o s i n gp o i n t sf r o mt h eg e n e r a l i z e dms e t s ，a n dt h e p e r t u r b e dp a r a m e t e r s i n f l u e n c e so n g e n e r a i z e dm s e t sa r e i n v e s t i g a t e d k e y w o r d s ：f r a e t a l ；l y a p u n o ve x p o n e n t ；g a u s ss u m s ；m a n d e l b r o ts e t ；j u l i as e t 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导f 进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示厂谢 意。 作者签名：璧堕墨日期：宅竺壁! 旦型里 奎整堡三查堂翌主翌垡堡壅一一 引言 跨学科的非线性科学正成为人们从整体上认识自然界发生的复杂现象，并从中找出 其基本规律的重要工具。非线性科学已经揭示出了非线性现象的三大普适类：孤立子 ( s o l i t o n ) 、混沌( c h a o s ) 和分形( f r a c t a l ) 。因此，分形成为非线性科学的三大理论前 沿之一，已经成为当今非线性科学的主要内容之一。它的研究对象的共同特点，就是具 有种自相似性。也就是说，若把整体中的任何个局部加以放大，则被放大的局部又 呈现出原来整体的结构和复杂性。近三十年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原 因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的应用价值。分形向人们展示了一类具有标 度不变对称陛的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征。 经过多年的发展，分形理论已逐步形成了自己的研究方法，以用于揭示无规则现象 的内部所隐藏的规律性、层次性和确定性【1 ，2 。分形理论作为刻画非线性特征的重要工 具，其一个重要分支就是分形发生学理论的研究。弄清分形集是如何产生的对于理论和 应用两方面的研究都是十分重要的，分形发生学主要对分形集生成的机理进行研究，探 索分形集发展、演化的规律，用动力系统的观点对分形集的复杂性进行刻画。分形理论 的创立者m a n d e l b r o t 利用计算机技巧，根据j u l i a 和f a t o u 所开创的“复平面上有理映射 迭代理论”的思想，研究了复平面c 上z 卜z 2 + c 这样一个带有复常数c 的简单映射， 通过迭代能生成非常复杂的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集，这成为分形发生学理论的开端f 3 1 。 此后，人们已对j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集进行了深入的研究，发现了其中规律性的结构。 为此，本文主要对广义m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集分形图谱的构造方法和分形特征进行了研 究。 全文共分五章：第一章主要介绍了分形的历史、分形的定义、分形与其他学科的关 系以及分形的应用前景；第二章对全文所使用的分形基础理论进行了详细的阐述；第三 章利用l y a p u n o v 指数、周期点查找法以及在广义m 集上取点构造对应广义j 集的周期 轨道搜索比较法构造并研究了广义m - j 集的结构拓扑不变性和裂变演化规律，分析了广 义m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的分形特征以及此类广义m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的物理意义： 第四章分析了分形序列的生成规则，给出y - 次高斯和所生成的分形序列的标度及维数， 构造了广义高斯和的m - j 集，并从理论上分析了m - j 集的周期性和结构特征；第五章讨 论了加项扰动的广义m - j 集。探讨了加项扰动的广义m j 集的结构变化及周期性规律； 定性探索了扰动广义m j 集的对应关系：从理论上尝试研究了扰动参数对广义m 集的影 n 向。 墨坠! 塞坌堂堕塑塑塑壅 一 1 分形理论概述 1 1 分形的产生及其思想 人的认识能力总是与社会的生产力的发展水平相适应的。当社会的发展向人们提 出新的问题，便促使人们去研究和解决它，在解决新问题的过程中不仅提高了人们自 身认识客观事物的能力，同时也产生了解决问题的新方法，分形理论就是这种发展的 产物。社会的发展促使人们的认识从线性现象进入非线性现象 4 。在解决问题的过 程中，以前人们简化事物以适应当前解决问题方法；但是有些非线性问题，即使进行 了简化也不能解决时，人们就创造出了一种新的解决闻题的方法分形几何学。分 形几何学的提出，不仅为刻画非线性问题提供了工具，也标志着分形理论的正式诞生。 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、 二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年产生了新兴的分形几何学，空 间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学 家和自然科学学者的极大关注。 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有 无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象， 背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。客观事物有它自己的特征长度，要用恰 当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。 从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多 多尺度( 或者叫标度) ，这叫做“无标度性”的问题。如物理学中的湍流，湍流是自 然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的 流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多尺度上的漩涡，最后转 化成分予尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度 性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学r 5 1 。 ， 在二十世纪七十年代，数学家m a n d e l b r o t 在他的著作中探讨了英国的海岸线有 多长? 这个问题依赖于测量时所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从几米到几十 米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是些厘米量级 以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则 性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直 线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界，使用比这更长的尺度是没有意义的。 - 2 查垄望三查堂堡主塑笙茎一 还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自 然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量 特征，就要用分维。数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把 它的“海岸线”变成无限酋线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到， 分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于l 到2 之间【6 】。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的 星体分布，就具有分维的吸引子。多孑l 介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是 分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。 计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建 筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。美国 数学家m a n d e l b r o t 这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。 他在1 9 7 5 、1 9 7 7 和1 9 8 2 年先后用法文和英文出版了三本书，特别是分形一形、机 遇和维数以及自然界中的分形几何学，开创了新的数学分支分形几何学。创 立了分形几何标志着人类对形态的认识由规则的形态进入了不规则的形态，为研究不规 则点集或非线性现象提供了一种重要的数学方法。他将一大族曾在数学发展中扮演过历 史角色的对象汇集在这个标题下，是将2 0 世纪的现代数学和1 9 世纪的古典数学区别开 来的一个伟大革命。古典数学是植根于欧几里得规则结构的几何和牛顿的连续的演化力 学之上的，而现代数学则开始于康托的集合论和皮亚诺的空间填充曲线。这场革命是由 于不适合欧几里得和牛顿模型的数学结构的发现而促成的，这些新的结构被认为是“病 态”的，是“魔鬼的画廊”，是与人们的日常标准不一致的、相矛盾的。也正是由于分 形几何的产生，才促使了分形理论的形成【7 】。 分形几何的概念是数学家m a n d e l b r o t 于1 9 7 5 年首先提出的，但最早的工作可追 溯到1 8 7 5 年，德国数学家维尔斯特拉斯( k w e i e r e s t r a s s ) 构造了处处连续但处处不 可微的函数，集合论创始人康托( g c a n t o r ，德国数学家) 构造了有许多奇异性质的 三分康托集。1 8 9 0 年，意大利数学家皮亚诺( g p e a l l o ) 构造了填充空间的曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家科赫( l v o l 3 k o c h ) 设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家谢尔宾斯基( w s i e r p i n s k i ) 设计了象地毯和海绵一样的几何图形。 这些都是为分析与解决拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源 泉。1 9 l o 年，德国数学家豪斯道夫( f h a u s d o r f f ) 开始了奇异集合性质与量的研究， 提出分数维概念。1 9 2 8 年布利干( g b o u l i g a n d ) 将闵可夫斯基容度应用于非整数维， 由此能将螺线作很好的分类。1 9 3 2 年庞特里亚金( l s p o n t r y a g i n ) 等引入盒维数。 3 塞型塞坌受笙塑塑竺茎一 1 9 3 4 年，贝塞考维奇( a s b e s i c o v i t c h ) 更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异 集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中做出了主要贡献，从而产生了 豪斯道夫贝塞考维奇维数概念。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、 功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一 块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和 整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结 构不变。 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐 标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直 线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于 更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通 常人们习惯于整数的维数。 分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论 时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1 9 1 9 年，数 学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑 集维数为整数的界限 6 。 有了分维数人们又创建了分形空间，这样架构起来的分形几何理论对于描述自然界 中存在着f 倚大量复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动 物的神经网络、等等，大显身手，成为研究这些复杂事物的有力武器，对这些复杂事物 的探索使人们的认识更加接近自然本身。 1 2 分形的定义 分形几何是_ l - 一j 几何学，它研究的对象是欧氏空间的一类子集，这类子集结构较为 复杂。按一般方法，似乎应首先给分形下一个明确定义，对给定图形，根据它是否满足 给出定义，来判断它是不是分形。但经验已证明，这样的方法对于分形这_ 新兴的数学 分支过于简单化。分形理论的创始人美国的m a n d e l b r o t ，为分形下过两个定义 5 ： ( 1 ) 满足下式条件： d i m ( a ) d i m ( a ) 的集合a ，称为分形集。其中，d i m ( a ) 为集合a 的h a u s d o f f 维数( 或分维数) ， d i m ( a ) 为其拓扑维数。一般说来，d i m ( a ) 不是整数，而是分数。 ( 2 ) 部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 - 4 一 奎垄里三盔兰堡主兰垡! 垒塞 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。 实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生 命，也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对 分形的定义人们也是同样的处理的。 ( 1 ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 ( 2 ) 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也 不是某些简单方程的解集。 ( 3 ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 ( 4 ) 一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。， ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的 迭代产生。 具有以上特征的集合是分形【5 】。 以下给出的是分形的笼统定义：分形是对没有特征长度( 指所考虑的集合对象所包 含的各种长度的代表者，如：球用半径作特征长度) ，但具有一定意义f 的自相似图形 和结构的总称。 应当指出的是，自然界和各门应用科学中涉及的分形绝大部分都是近似的。当尺度 缩小到分子的尺寸，分形性也就消失了，严格的分形只存在理论研究之中。 1 3 分形维数 分形集的“不规则”性使它区别于经典的光滑集。但是，如何来度量两个分形集的 “不规则”程度昵? 分形维数提供了一种比较分形的客观工具。分形维数的重要性在于 它们能够用数据定义，并且能通过实验手段近似的计算，分形维数己突破一般拓扑集的 整数维的界限，引入了分数维，这也正是分形集合刚出现时最令人困惑的一点。通常所 用的整数维已不足以用来描述分形集的复杂程度，或者说，不能很好地用来说明各种集 台充满空间程度的不同，也不能很好地对比两个集合的粗糙程度。所以，引入分形维数 也是很自然的。每个分形集都对应一个以某种方式定义的分形维数，这个维数值一般是 分数，但也有整数维的分形集f 3 】。 形形色色的分维已成为分形几何的主要工具，这些维数有的定义比较科学，而另一 些可能理论性差一些，但在应用上也许方便很多。分形维数主要有：自相似维数、豪斯 道夫维数、盒维数、信息维数以及关联维数。 5 墨坚! 塑堑笙塑堕婴塞一 1 4 分形空间 爱因斯坦广义相对论指出：在引力场的作用下“时空弯曲”，使牛顿的绝对时空观 念受到冲击，由“平直的欧氏时空”到“弯曲的非欧时空”，这不仅仅是物理学的一次 革命，也是认识论的一次重要的突破。分形理论的出现再一次说明： “物理、几何的直 观对于数学问题和方法是富有生命力的根源”这一哲理的深刻性，“分形的概念”再一 次唤起人们对原有欧氏空间的“测度”和“量纲”概念的转变，促使人们进一步寻找和 认识反映自然客观的新的空间观。 人们从数学与物理等自然科学中学习了一系列的空间知识，从线性变换开始概括出 线性空间和子空间的概念，从了解夹角直观意义上升到内积与对偶空间、对偶映射与正 交补空间和希尔伯特空间，由于对空间概念不断升华，使人们具备更加深刻的抽象思维 的概括能力，对各度量尺度运算操作赋予各种新意。为此，巴拿赫空间、概率空间和尺 度空间与一致空间应运而生。由于物理学上时空概念发生深刻的改变，使人们对现实空 间认识不断深化，从平直无穷延伸的绝对空间，发展到封闭正曲率与无穷伸展的负曲率 空间，这些新鲜的创造性思维对人类认识论产生了巨大的冲击，促使数学思维更新换代， 人们对各种运算操作反复认识，以及所遵循的客观规律和符号体系形成一套共识，在千 变万化的操作过程中，“拉伸压缩”变化下的“不变性”给予人们创造性灵感的思维。 通过对空间发生、发展与构造过程的分析，使人们认识到支撑空间概念产生的三大 框架：共性、操作( 运算：代数运算、代数系统及其他) 和抽象的符号体系。从共性中 延伸出：代和、分配、零元、逆元、空集、封闭与完备等八大共性是构成框架形式化第 一标准。其次，建立空间运算操作系统，使空间“活化”( 可以对集合进行合并、通交、 映射、压缩、内积、旋转、移动、迭代等一系列活动) ，并形成合理的符号表达形式及 推导系统，从而为发现未知的新规律创造条件。 在欧氏空间( ，既) 或复空间( e ，p s ) 上的紧子集( 肖，p ) 上，由非空紧子集构成空间 分形空间( ，( ) ，) 。无论欧氏空间还是复空间，其上度量p 都是表示“两点”之 间的距离。即在原有空间上的基本元素是点，但在( x ，) 上生成的新空间( f ( x ) ，h 。) 中 的基本元素是“集合”。因此，在新空间上的两个基本元素之间的“距离”或度量就是 两个集合之间的“距离”，用k 表示。为了合理的定义分形空间中的距离，利用原有空 间的距离定义，引出以下三个定义3 ： 。 定义1 1 设( z ，户) 是完备度量空间，z z ， b f ( x ) ， 称 p ( x ，b ) = n f i n p ( x ，少) ：y 研为点石到b 的距离。 一6 - 奎垄堡三奎堂塑主塑笙茎一 定义1 2 如果爿f ( ) 是度量空间( z ，p ) 的子集，则爿的万一平行体是与爿的距离 小于占的点的闭集，即 4 = x x ：p ( x ，爿) s 万) 定义1 3 设( x ，p ) 是完备度量空间，a ，b f ( x ) ，则称 a 。( 4 ，b ) = i n f 5 ：a c 兄k b 匕如) 为彳，b 间的豪斯道夫距离。 由于厅具有下述三个特性： ( 1 ) 向。( 爿，占) o ，且矗。( 一，b ) = 0 辛a = b ( 2 ) 。( 爿，b ) 2 h p ( b ，4 ) ( 3 ) w ，占，c f ( x ) 有h p ( a ，c ) s 九( 4 ，b ) + ( b ，c ) 因此，( f ( z ) ， 。) 构成了一个度量空间分形空间。这个空间具有原有空间的一些性 质。例如，原空间是一个完备空间( 原空间的收敛点列柯西序列的极限仍在原空间) ， 则与之对应的分形空间也是一个完备空闻( 此时，分形空间上的点列是集序列，即分形 空间上的收敛集序列的极限集仍在分形空间上) 。 1 5 分形与混沌的关系 分形与混沌有着密切的关系。在非线性科学中，分形与混沌有着不同的起源，但它 们又都是非线性方程所描述的非平衡的过程和结果，这表明他们有着共同的数学基础 动力系统，混沌吸引子就是分形集，或者说是混沌是时间上的分形，而分形是空间 上的混沌f 8 1 。 分形与混沌的不同来源。分形起源于对不规则集合的研究( 例如，弯弯曲曲的海岸 线、凹凸不平的路面等自然物表面的几何形状，数学中的处处连续而处处不可微的函数 等“逻辑怪物”或“病态”函数。从集合的观点来看，它们都是属于不规则的点集) 。 混沌则是起源于非线性动力学系统的研究。也就是说，混沌是研究菲线性确定性方程所 具有的内在随栅性在时间上的非周期性过程。简单的说，分形来自于几何学的研究，而 混沌则产生于物理学的研究。 从研究的问题来看，它们又具有类似性。混沌主要研究非线性动力学系统的不稳定 的发散过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子。这与分形的生成过程十 分相似。因此，如果说混沌主要研究非线性系统状态在时间上演化过程的行为特征，那 么分形则主要研究吸引子在空间上的结构。混沌运动的随机性与初始条件有关；而分形 。7 墨堕塞坌丝堕塑堕竺茎 结构的具体形式或其无规律性也是与初始状态有密切关系。混沌吸引子与分形结构都具 有相类似性。所以说它们是从不同侧面来研究同一个问题的。 分形和混沌的区别和联系说明，如果把非线性动力系统看成一个不稳定的发散过程， 那么i f s 吸引子生成的分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程。因此，如果把混沌广义 的看成是具有自相似的随机过程和结构，则分形也可以看作一种空间混沌。反之，由于 混沌运动( 服从决定性方程的决定性混沌) 具有在时间标度上的无规则自相似性，它也 可以看作是时间上的分形。简单地说，分形是空间上的混沌，而混沌是时间上的分开e 4 1 。 1 6 分形对计算机科学发展的影响 计算机在生成分形过程中起着重要的作用，这种作用不仅仅表现在它代替人工大量 机械的重复性的劳动，更重要的是，它为分形理论的研究提供了重要的研究方法。二十 世纪初，费透( p f a t o u ) 和朱莉亚( g j u l i a ) 创立的分形理论的前身复动力系统， 经过1 9 1 0 1 9 2 5 年短暂的研究热潮后，因为构造图形的工具，只能靠思维的想象，而走 向低谷。二十世纪7 0 年代数学家m a n d e l b r o t 利用计算机这一工具，创立了分形理论。 此后，分形理论的发展一时一刻也没有离开过计算机。因而，可以不夸张的说，没 有计算机就没有分形理论的产生和发展。 分形理论与计算机科学理论的结合，一方面，分形理论推动了计算机可视化图像方法 的迅速发展，使计算机在信息压缩、存储及自然现象中的各种奇妙图形发挥了重要的作 用；另一方面，计算机的应用也大大地推动了分形理论的发展。由于模拟分形图展现出 一批优美的图像，促使分形理论与计算机科学理论的进一步发展融合，不仅为新型的“计 算机艺术家”提供艺术色新的灵感，而且最重要的是促使分形理论与计算机科学理论的 迅速发展，进一步提高了这一新兴科学的声望 3 】。 1 7 分形的应用前景 分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研 究【4 。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的 数学理论提出了更新、更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和 完善，使之理论简便，可操作性强，是分形的科学家们普遍关注的问题；而在理论研究 上，维数的理论计算、估计、分形重构( 即求动力系统，使其吸引集为给定分形集) 、 j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作 者们十分活跃的研究领域。现在多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决 实际问题正引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换是研究的热点。 一8 - 人连理工_ 人学硕士学位论文 分形也为计算机图形学、图像处理等领域提供了全新的研究方法。分形图像压缩、分形 自然景观模拟正成为人们研究的焦点 4 。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集表现出的 简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界 ( s o c ) 现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。 在自然科学方面，分形已在数学、物理、化学、地球学科等各个领域内得到了广泛 的应用。 1 8 本章小结 本章主要介绍了分形理论的产生及其思想，并引入了分形的定义；然后介绍了刻画 不同分形集“不规则”程度的分形维数以及分形的度量空间分形空间；接着阐述了 分形与混沌的关系以及分形对计算机学科发展的影日m 最后介绍了分形理论的应用前景。 - 9 一 墨兰! 堡坌墅笙堕塑塑壅 _ _ f 一。 2 论文使用的分形理论基础 2 1 非线性函数 非线性函数可以构成混沌动力系统，而混沌动力系统中的混沌集可以由迭代产生。 设函数或映射y = 厂( x ) 是某一规则，若给定x 一个初始值，记为，则由y = 厂( x ) 可得 y 的一个值，记为x 。，即x 。= ( x 。) ，将这个y = 石作为x 的新值，可得y 的新值y = 厂( x ) ， 记做x ：，即x ：= f ( x ) 。这样反复迭代的数学反馈过程使函数或映射的每一次输出作为 下一次的输入，即_ + 。= ，也) ，n = o ，1 ，2 从而得到一个序y l j x o ，x ，。x ，这个序列称为 南的轨道。混沌动力系统根据每一初始点晶孰道的稳定性与不稳定性确定其混沌集。当 复