（应用数学专业论文）一类不连续系统的变差稳定性.pdf

摘要 本文利用h e n s t o c k 积分和李雅普诺夫函数，讨论了一类不连续系统的有 界变差解的变差稳定性。介绍了本文所用到的基本概念和引理，给出了此 类不连续系统的变差稳定性的定义等基本概念：建立了这类不连续系统有界 变差解的变差稳定性、渐近变差稳定性两个李雅普诺夫型定理：通过李雅普 诺夫函数v 的构造，建立了两个李雅普诺夫型定理的逆定理，这两个逆定理 的建立，表明李雅普诺夫型定理中的李雅普诺夫函数是存在的。 关键词：h e n s t o c k 积分；不连续系统；李雅普诺夫函数；变差稳定性；渐 近变差稳定性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gt h eh e n s t o c ki n t e g r a la n dl y a p u n o vf u n c t i o n ，t h ev a r i a t i o n a ls t a b i l i t yf o rb o u n d e dv a r i a t i o ns o l u t i o n so fac l a s so fd i s c o n t i n u o u ss y s t e m si s c o n s i d e r e d f o rt h i sk i n do fd i s c o n t i n u o u ss y s t e m s ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t i o n so ft h e v a r i a t i o n a ls t a b i l i t yf o rb o u n d e dv a r i a t i o ns o l u t i o n s ，t h el y a p u n o vt y p et h e o r e m sf o rv a r i a t i o n a ls t a b i l i t ya n dv a r i a t i o n m l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yo fb o u n d e dv a r i a t i o ns o l u t i o n s a r ee s t a b l i s h e d f i n a l l y ，w eg i v ec o n v e r s el y a p u n o vt h e o r e m sa n ds h o wt h a tt h ev a r i a - t i o n a ls t a b i l i t ya n dv a r i a t i o n a l l y - a s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yi m p l yt h ee x i s t e n c eo fl y a p u n o v f u n c t i o n sw i t ht h ep r o p e r t i e sd e s c r i b e di nl y a p u n o vt y p et h e o r e m s k e yw o r d s ：h e n s t o c ki n t e g r a l ；d i s c o n t i n u o u ss y s t e m ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；v a r i a t i o n a l s t a b i l i t y ；v a r i a t i o n a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的论文鼹我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我繇翔，豫了文中特蘩热瓠糕注窝致落翡缝方癸，论文中不包嚣冀稳天已经发表竣撰写 谶的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教宵机构的学能或证书而使用过的 树料。与我一同工作的同志对本研究所做盼任何贡献均已在论文中佟了昵确的说明并表 示了谢意。 然名：壹罐蕴 日期 h 。i ? r j 它 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采 翔影印、缩印缓其袍复裁手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后威遵守此规 签名：堂熊蕊 露耀签名： 基期 知? o ；亳 日| j 吾 稳定性理论是微分方程的一个重要分支，是由研究运动问题而发展起来的。这个理 论是由俄国著名学者a ，m 李雅普诺夫在十九世纪九十年代所开创的，他的 1 一书给稳 定性概念下了严格的数学定义，并建立了一系列极为丰富的理论，从而奠定了运动稳定 性理论的基础。他所创立的解决稳定性问题的第二方法被推广到研究刚性空间、动力系 统的稳定性、偏微分方程组的稳定性等各个领域。 变差稳定性的概念最早是h o k a m u r a 提出的，i v r k o c 在文【2 】中研究 了c a r a t h e o d o r y 方程并指出o k a m u r a 的变差稳定性与自己的积分稳定性等价，s n c h o w $ n j a y o r k e 在文【3 中：n v r k o c 的结果进行了改进。s t e f a ns c h w a b i k 在3 之 4 0 0 对k u r z w e i l 广义常微分方程的变差稳定性问题作了详尽的讨论。研究不连续系统的变差 稳定性是有实际意义的，因为传统常微分方程的解是绝对连续函数，而k u r z w e i l 方程等 的解是有界变差函数而非绝对连续函数，所以为了讨论这些函数的稳定性，就有必要研 究变差稳定性。 考虑动态系统 z 7 = f ( t ，茁) ，( + ) 其中z = ( 。1 ，z 2 ，z 。) t ，z 7 = 鲁，：g r “，g 是册+ 1 中的开域。如果( + ) 式右端函 数，在g 上具有某种不连续性或其解不连续，则称系统( + ) 为不连续系统。对于不连续 系统的稳定性，文【5 】介绍了几类不连续系统如c a r a t h e o d o r y 系统n f i l i p p o v 系统等的稳 定性的一些结果，不论文【5 中介绍的哪一种系统，其解首先是绝对连续的，所用积分 在l e b e s g u e 积分范围内。但存在形如( + ) 的不连续系统，其右端向量值函数，( t ，z ) 在所考 虑的区间上t l e b e s g u e 可积，出现解为非绝对连续但却有界变差的情形。所以仅考虑 文 5 中的不连续系统是不够的，对一些具有高度振动的函数而言，仅有l e b e s g u e 积分也 是不够的。二十世纪5 0 年代末h e n s t o c k 、k u r z w e i l 等人建立的h 积分正是为了解决高 度振动函数的积分问题提出的，它包含n e w t o n ，r i e m a n n 和l e b e s g u e 积分。 1 前言 对于不连续系统( + ) ，文 6 】利用h e n s t o c k 积分及其一类不等式，建立了它的连续有 界变差解的存在性与唯一性定理，文【7 l 又讨论了它的解对参数的连续依赖性问题。本文 在前人工作的基础上，利用李雅普诺夫函数，讨论了不连续系统( t ) 的有界变差解的变 差稳定性。 本文第1 节给出了后文要用到的一些基本概念和引理；第2 节给出了不连续系 统的变差稳定性的定义等基本概念；第3 节建立了这类不连续系统有界变差解的变差 稳定性、渐近变差稳定性两个李雅普诺夫型定理；第4 节中构造了李雅普诺夫函数v ； 第5 节通过上一节构造的v 函数，建立了两个李雅普诺夫型定理的逆定理，这两个逆定 理的建立，表明定理中的李雅普诺夫函数是存在的。 2 论 1 预备知识 为了后文中讨论方便起见，我们首先简要介绍后文所需要用到的一些预备知识和结 设 o ，6 】为实有限区间，r ”为实佗维欧氏空问z ：【o ，6 一即为 o ，6 】上的向量值函 数对z 彤，忪l i 为兄”上的欧氏范数 定义1 1 1 4 , 8 , 9 设6 ：h 翻一( o ，+ 。) ，称区间 n ，纠的一个分划是6 一精细的是指有序分 点n = t o t l o , g a ；a ( t ) ： a ，础一( o ，+ o 。) ，使得对【n ，b 舱g a 一精细分划丌= ( 陬岫t ； ，毛) ) 坠。，有 l l ，( 6 ) ( 屯一赴- ) 一a l l o ，令日。= 扛r “；i l x l l o ) ( i i i ) 对每个定义在 a ，例j 的阶梯函数皿( ) ，f ( t ，( t ) ) 在【乜，用上是h e n s t o c k 可积的 定义1 4 【a 1 定义在区间，上的向量值函数z ( t ) 称为不连续系统( 1 1 ) 的有界变差解，如 果嚣( t ) 满足：( 1 ) z ( t ) 在珀q 任何紧子区间上是有界变差的；( 2 ) 当t j 时，( t ，z ) e g ；( 3 ) z ，：f ( t ，茁) 对几乎所有的t ，成立当。( t ) 又在，上连续时，称。( t ) 为( 1 1 ) 的连续有界变差 解 引理1 2 【6 】设，v ( a ，h ，u ) a ，翻j ，若函数z ：陋，纠一j p 满足当 陋，闭时，( t ，z ) g ，且积分鬈，( t ，z ( t ) ) d 存在，则对任意的钆s zeb ，纠，有 | i f ( t ，z ( t ) ) d t l i5 ( s 2 ) 一n ( s - ) 引理1 3 1 6 1 设系统( 1 1 ) 的右端向量值函数，ev ( c ，7 l ，u ) 如果z ： 。，纠一r ”， a ，p 】 ，是系统( 1 1 ) 的解且h e n s t 。c k 积分鬈，( t ，z ( t ) ) 出存在，则z ( t ) 是系统( 1 1 ) 的连续有界变差 裤且 v 。r ：z 茎 ( j 8 ) 一 ( ) 0 ，使得不连续系统( 1 1 ) 在 k f n t o a - , t o + + 】上存在满足z ( 如) = z o 的连续有界变差解z ( t ) 定理1 2 1 6 1 设- 厂y ( a ，7 ，u ) ，且对每个 o ，有 u1 。l i r a 南咖_ + 呱 则不连续系统( 1 1 ) 的每个满足z ( t o ) = 知，其中( z o ，t o ) g 的有界变差解z = z ( t ) 是局部右 行唯一的 4 2 不连续系统变差稳定性的基本概念 考虑不连续系统 z = f ( t ，z )( 2 - i ) 其中z = ( z l ，x 2 ，z 。) t ，z = 尝，：g r “，g 是r “+ 1 中的开域 令g = b 。x 0 ，+ 。) ，h ： 0 ，+ ) 一r 是单调增加的左连续函数，u ： 0 ，+ 。o ) 一尼黾 连续增函数，且u ( o ) = o ，u ( r ) o ( r o ) 令f v ( c ，h ，u ) 再假设对任意的o ，有，( t ，0 ) = 0 则函数z ( 5 ) = o ( s o ) 是不连续系统( 2 1 ) 在整 个半轴【o - i - 。o ) 上的解 本节介绍不连续系统( 2 1 ) 的平凡解的变差稳定性的一些基本概念，对于非平凡解的 情形，可以转化为平凡解来讨论 定义2 1 设对任意的e o ，存在d = 6 ( e ) o ，若可： t o ，t l 】一b c ，0 茎t o t 1 + 。是t 1 】上的有界变差函数，在( o ，t 左连续，当 j i 可( t o ) lj d 且 时，对任意的 t o ，t 1 有 p s v n 吃( ( s ) 一f ( t ，g ( t ) ) 出) o ，有r = t ( e ) o ，7 = ，y ( e ) o ，若： t o ，t 1 一 b c ，0st o t l + 。是 如，t 上的有界变差函数，在( t o ，1 左连续，当 1 l y ( t o ) | | 如， 且 嘲如) 一( 坤，删 1 5 2 不连续系统变差稳定性的基本概念 时，对任意的 t o ，t ljn t o + t ( e ) ，+ o o ) ，有 i b ( t ) l i e ， 则称不连续系统( 2 1 ) 的解z 兰o ；0 变差吸引的 定义2 3 若不连续系统( 2 1 ) 的解z = o 既是变差稳定的，又是变差吸引的，则称不连续 系统f 2 1 ) l 拘解x ；o 为渐近变差稳定的 与不连续系统( 2 1 ) 一起考虑扰动方程： x = f ( t ，z ) + o ( t )( 2 - 2 ) 其中9 ： t o ，t 1 一n 毛e t o ，t 1 上是h e n s t o c k 可积的，且对7 - h c ( r 一6 ( r ) ，r + 6 ( t ) ) c ( t o ，t ，】，有i i g ( t ) ( v u ) | | h ( v ) 一 ( u ) 设p ( ) = 9 ( s ) d s ，则p ( ) 在 。，t 1 上是有界变差的，且口g ( t ) d t = p ( t 1 ) 一p ( t o ) 事实上，设t o = a o 0 1 o ，存在正值 函数岛：“0 。 一( 0 ，+ o 。) ，使得对【一。，0 。】的任意如一精细分划一。= q “毛，= 及g 一， c ( g 一吗( 髫) ，g + 岛( g ) ) ，i = 1 ，2 ，叻，有 i i 黑1 9 ( t ) d t n 剑盛，g ( t ) d t 一g ( 髫) ( 一“；一。) 1 1 i = 1 m j + 1 | 9 ( g ) ( 堪一嵋一，) 1 1 = l 寺+ ( ) 一h ( a j 1 ) 所以 k 似哟) 一p ( a j 一- ) 1 i 由- c 的任意性，则 o ，使i l y o l l 0 ，有t = t ( e ) 0 ，7 = 7 ( e ) o ，使l | 蚓1 o 如定义2 1 所给使i | o l i 6 ，y o 印，且y n r 恕p 6 若( z ，t o ，o ) 是方程( 2 2 ) 满2 ：y ( t o ，t o ，y o ) = 珈的解，贝| j l l y ( t o ) l i = l l y ( t o ，t o ，y o ) l l = i l y o l l 0 如定义24 所 给令可：【t o ，t 】一即是z 1 上的有界变差函数，在( t o ，t 1 左连续，且使 i l y ( t o ) | | 6 且 拟s ) 一。f ( t , y ) 正 r s 对任意的s 1 ，s 2 t o ，t 1 ，有 可( s 2 ) 一可( s 1 ) = 臂f ( t ，y ( t ) ) d t + 9 ( s 2 ) 一臂f ( t ，y ( t ) ) d t 一( s 1 ) + 厝f ( t ，y ( t ) ) d t 2 不连续系统变差稳定性的基本概念 ，s 2 2 ，( t ，y ( t ) ) d t + p ( s 2 ) 一p ( s 1 ) ( 2 - 3 ) 此处p ( s ) = ( s ) ef ( t ，y ( t ) ) d t ，s t o ，t 由引理1 3 知函数p 是 f 0 ) t ， 上的有界变差 函数，且左连续( 2 _ 3 ) 式表明函数是方程( 2 2 ) ：i t o ，t 1 】上的解，并且 i l y ( t o ) l | 6 ， v a r p = y n 磕( ( 8 ) 一，( t ，目( t ) ) 出) 0 ，有丁= 丁( e ) o ，7 7 ( e ) o 如定义2 2 所给若珈彤，使l l y o l l 5 0 p 是t l 】上的有界变差函数，在( t o ，t 1 左 连续，且y n 咤ps ，y 又若( t ) = ( t ，t o ，蜘) 是方程( 2 2 ) 在f 1 】上满足( o ，t o ，跏) = o 的 解，则 j m t o ) j = j j 珈j i 岛， 目 r 坤州啪= v a r 名旧 由变差吸引的定义，对任意的t 【t o ，t 1 n t o + t ( e ) ，+ o o ) ，t o o ，有 怙( t ，t o ：y o ) | | = l l y ( t ) 1 1 因而z ；0 是持续摄动下变差吸引的 2 ) 若z = o 是持续摄动下变差吸引的对s t o ，t ，p ( s ) = ( s ) 一层f ( t ，y ( t ) ) d t ，则由 持续摄动下变差吸引的定义，显然z ；o 是变差吸引的 定理2 2 ( 2 - 1 ) 的解z ；o 是渐近变差稳定的 = 辛z ! o 是持续摄动下渐近变差稳定的 9 3 不连续系统变差稳定 生的l y 印u n o v 型定理 本节讨论不连续系统( 2 1 ) 的变差稳定性和渐近变差稳定性的l y 印n o v 型；g n 在讨 论定理之前，先给出两个辅助引理 引理3 1 【q 设一o 。 。 0 为常数，有 l v ( t ，z ) 一v ( ，g ) 1 k l i z g 忆( 3 - 1 ) ( i i l 存在实函数中：形。r ，使得对不连续系统( 2 1 ) 在( 。，p ) c o ，+ 。) 上的每一个 解z ：汹，卢) 一形，当t ( ，卢) 时，有 ， ! ! ! ! ! ! 壁翌! ! 二! 壁! ! 垡! ! 垂f 。( t ) ) (32)hm s u p一= 1 、“、。， 、 若g ：t 1 。彤，0 茎t 。 t l + o o 是i t 。，t 1 上的有界变差函数，在( t 0 ，1 j 左连续，则 有不等式 v ( t 1 ，z ( t 1 ) ) v ( t 。，z ( t 。) ) + k v r 嚣( 可( s ) 一f i t ，f ( t ) ) d ) + m ( t 1 一幻) ，4 3 - 3 ) j t 0 其e e m ；s u p 西( f ( ) ) 讦明2 誊山? f ，舻 + 。是【，t 1 】上的有界变差函数，在( t 0 t 1 左连y t o t l 0 t ot l t o 证明：设：f ， _ 酽， 0 ，叩( 0 ，啦( 盯) ) ，叩2 ( 。) s ”1 ( 仃) ，啦( 口) o 足够小，有 v ( 口+ q ，y ( a + q ) ) 一y ( 盯，z ( 口) ) = v ( a + b ，可p + 叩) ) 一y ( 盯+ q ，z ( 盯+ ) ) + y p + 卵，z ( 盯+ 叩) ) 一y ( o ，。( 盯) ) k i m o + q ) 一y ( a ) 一e + ”f ( t ，x ( t ) ) d t l i + q 圣 ( a ) ) k l l y ( 口+ 叩一9 ( 口) ) 一r + 1 f ( t ，x ( t ) ) d t l i + 7 1 m + 町 记 p 刮s ) - r 巾删) 出，s 刈 则函数p ：i t o ，t 1 一r “矧如，t 1 】上的有界变差函数，在( t o ，划左连续 上面不等式可继续化为 y ( o + q ，y ( a + 目) ) 一y ( 盯，z ( 口) ) sk i m o + 叩) 一口( o ) 一j 了+ ”，( t ，芎( t ) ) 出l l + k i ic + 1 ，( z ，可( ) ) 一f ( t ，z ( ) ) 】d | | + q m + q e 曼k i i p ( g + 卵) 一p ( 盯) 1 | + 叩m + 町e + k 1 1r + 1 ，( t ，掣( ) ) 一f ( t ，z ( t ) ) d t | | k ( v a r o + ”p y o r 乏p ) + 卵m + 卵e + k l i ，( t ，掣( t ) ) 一f ( t ，x ( t ) ) d t l l ( 3 4 ) j 口 考查( 3 4 ) 式的最后一项因为，v ( a ，h ，u ) ，所以对任意e o ，存在正值函数j ： 盯，仃+ 叫一( 0 ：+ 。) ，对 a ，a + 卵 的任何6 一精细分化d = ( ( 易，h _ 1 ，勺 ) ，j = 1 ，2 ，k ) ，有 1 lr 佃【，”( t ) ) 一作，x ( t ) ) l d t l l | | r + ” ，0 ，( ) ) 一，( t ，。0 ) ) d t e f ( o i ，y o i ) 一，( 吼，岱( 吼) ) ( n n 一) l 0 = j k 十i l 【，徊。，( 目。) ) 一，( 以，z ( 日。) ) 1 ( t 瓦一1 ) 1 1 3 不连续系统变差稳定性的l y a p u n o v 型定理 数 e + e u ( i | 9 ( 巩) 一z ( 以) l i ) ( ( n ) 一 ( t 一) ) i = 1 o 是使u ( r ) 的r ，选择7 ( 0 ，；) ，由( 3 - 6 ) 式，存在啦( 口) ( 0 ，q 2 ( 口) ) ，使 l i ( p ) 一x ( p ) l l 墨l | p ( 盯十) 一p ( 盯) | | + 7 ( 3 - 8 ) 对p ( o - ，o - + 啦( o ) ) ，有 u ( 1 l u ( p ) 一z ( p ) 1 1 ) 墨u ( 1 1 p ( a + ) 一p ( 一) l i + 7 ) ( 3 - 9 ) 记 ( ) = 盯m ， ；l i p ( 矿) 一p ( 盯) 忪 因为p 是i t o ，。 上的有界变差函数，故集合( n ) 是有限的，用f ( n ) 来记( a ) 中元素的个 1 2 3 不连续系统变差稳定的l y a p u n o v 型定理 若口 t o ，t 1 n ( o l ) j l p ( 口，口+ 啦( 口) ) ，则由( 3 - 9 ) 式，有 u ( i l 可( p ) 一z ( p ) | | ) su ( ；+ 7 ) u ( ；+ ；) = “( r ) 。 由( 3 5 ) 式，对任意q ( 0 ，叩3 ( o ) ) ，有 ，a + 7 1 i | ，0 ，0 ) ) 一，( ，x ( t ) ) d t l is 。( ( 一+ 卵) 一h ( 一+ ) ) + 2 e ( 3 1 0 ) jo - 若口 t o ，t a 】n ( n ) ，则存在r 1 4 ( a ) ( 0 ，町3 ( a ) ) ，对任意口( 0 ，仉( 口) ) ，有 h ( 盯+ ) 一九( 盯+ ) = i ( 一+ q ) 一 ( 一十) i 盯 函数矗。：【t o ，t 1 一r 是t 1 】上的不减函数，在( o ，t 1 】左连续，且 y n r 器最n = 五。( t ，) 一盂a ( t 。) 2 玎石；玎z ( a ) 0 通过6 ( 盯) 0 ，盯 t o ，t 1 的选择及( 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 式及k 的定义，对叩 0 ，6 ( 口) ，有 r 口十叶 | | ( ，( z ，可( ) ) 一，( t ，x ( t ) ) d t l i 墨h 。( 盯+ q ) 一 。o ) + 2 e j o 因此，由( 3 _ 4 ) 式对o - 【t o ，t l 】，q 【o ，6 ( d ) ，有 y ( 盯+ q ，y ( o + ”) ) 一y ( 口，z ( 口) ) sk ( v a r t 。o + ”p v a r 品p ) + 卵m + 叩e + k ( h 。( 盯+ q ) 一九。( 口) ) + 2 e ( 3 1 3 ) = 9 ( 口+ 目) 一9 ( 口) + 2 ，( 3 - 1 4 ) 其中9 ( t ) = k v a r ；。p + m t + n + k h 。( ) 函数9 是t 】上的有界变差函数，在( 亡0 ，t - 】左连 续 由引理3 1 及( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 式，可得不等式 v ( t 1 ，y ( t 1 ) ) 一v ( t o ，y ( t o ) ) g ( t 1 ) 一9 ( t o ) + 2 = k y o r 如t l p + m ( h t o ) + e ( t l t o ) + k ( h 。( t 1 ) 一 。( 如) ) + 2 e o 任意小，n 而i ( 3 3 1 式成立 引理得证 定理3 1 设有函数v ： 0 ，+ 。) 雪。一r ，雪。= g r ”；蚓i n ) ，0 o ，若y ： t o m t 一印，0 t o o ，使2 k s ( e ) o ( e ) 若在 r 、ee 0 + 这种情况下，函数y 使i l y ( t o ) 1 1 6 ( ) ，且 v t l 。、8 ) 一，( t ，y ( t ) ) d t ) 6 ( ) 则由( 3 - 1 9 ) 式，有 y ( g ( r ) ) 茎2 k 5 ( e ) a ( e ) ，? t o ，t 1 ( 3 - 2 0 ) 若存在一个f t o ，t 1 ，使恼( 旬| | 2e ，则由( 3 1 5 ) 式，有 v ( i ，( 幻) b ( i m t ) 1 1 ) i 码fb ( r ) = 0 ：( e ) r e 这与( 3 2 0 ) 式矛盾! 因此对所有t t o ，t 1 ，有t l y ( t ) 1 1 o ( x o ) 则系统( 2 1 ) 的解z ；o 是渐近变差稳定 的 证明：由( 3 - 2 1 ) 式知函数y ( t ，z ( ) ) 对不连续系统( 2 1 ) 的任何一个解z ( t ) 是不增的，由 定理3 1 知，( 2 1 ) 的解zi0 是变差稳定的 下面只需证明不连续系统( 2 1 ) 的解z ；o 是变差吸引的即可 由zeo 是变差稳定的知，存在一个品( 0 ，o ) ，若，： t o ，t 1 一r “，0 茎t o t i + 。 是，1 】上的有界变差函数，在( 幻，t 1 2 链续，使l l y ( t o ) l j 6 0 ，且 y n 嘣郎) 一( 巾删) 嘲 o ，对每一个： t o ，t 1 一r “是t 1 】上 的有界变差函数，在( t o ，t 1 2 生连续，使b ( t o ) 1 1 6 ( e ) ，且 r s y 。r 。t 。l ( ( 5 ) 一f ( t ，y ( t ) ) d t ) 6 ( e ) j t o 则对所有te 【t o ，t 1 】，有i l y ( t ) | | 。， 其中 彳= s u p 一西( z ) ；7 ( e ) sl i x l l e ) = 一i n f 中( z ) ；7 ( e ) 墨l i x l i e ) 0 若f ：【t o ，t i 一r “是t t 】上的有界变差函数，在( 如，t 1 】左连续，屯e l b ( t o ) l i 5 0 ， y n 7 ( ( s ) 一f ( t ，y ( t ) ) d t ) 1 ( ) ( 3 - 2 2 ) j t o 设t ( e ) t 1 一t o ，即南+ t ( e ) t 1 ，下面证明存在一个t + e 【t o ，t o + t ( e ) ，使i l y ( t 4 ) | l 7 ( ) 反设不成立，即对所有se t o ，t o + t ( e ) ，有i l y ( 8 ) l i27 ( ) 由引理3 2 ，有 3 不连续系统变差稳定性的l y a p u n o v 型定理 因此 v ( t o + t ( ) ，y ( t o + t 陋) ) ) 一v ( t o ，y ( t o ) ) k v a t ：州5 ( ( s ) 一层f ( t ，( t ) ) d ) + m t ( ) 7 ( e ) + m 型等业= 一k 5 0 v ( t o + t ( e ) ，y ( t o + 丁( e ) ) ) v ( t o ，y ( t o ) ) 一k s o k l l y ( t o ) | | 一品 o 矛盾! 因此一 定存在t + 【t o ，如+ t ( e ) 】，使i l y ( t + ) | | 1 ( ) 又由( 3 2 2 ) 式，对所有t t + ，t l 】，有i l y ( t ) l i t o + t ( ) ，也有i l y ( t ) l l e 从而系统( 2 1 ) 的解zio 是变差吸引的 定理得证 1 7 4 构造l y a p u n o v 函数 本节的主要工作是构造一类函数玖( s ，z ) ，并讨论它的一些性质为此我们先给出函数 的e - 一变差的概念 定y 4 1 4 1 设函数g ： o ，b 一彤，一0 0 a b + o 。对区间 o ，6 1 的一个分 划d ：a = o o 。1 0 ：= 6 及任意的a o ，定义 k e 。卜卟1 i l a ( q j ) 一g ( 哟一) l l = v a ( g ，d ) j = l 令 e v a r ：g = s u p v ( g ，d ) d 数e x v a r ：a 称为函数g 在区间【n ，6 】上的e 一变差 引理4 1 1 4 1 设函数g ： ，6 】一舒，一。 a o , i t 己a 。( ，z ) = 妒： 0 ，+ o 。) 一口；q o 是 o ，+ ) 上的局部有界变差函 数，且左连续妒( o ) = 0 ，妒( t ) = ，s u p 怕( s ) | i o ，妒( a ) 一片，( ，妒( t ) ) 出) = 0 ，所以对任意 的a 0 ，s 0 ，有 玖( s ，0 ) = 0 ( 4 - 5 ) 因为对任意的妒a 。( s ，z ) ，e v n r ；( 妒( o ) 一舒f ( t ，妒( z ) ) d 亡) o ，所以对任意的。 0 ，z 舒，有 坛( 只。) 0 ( 4 - 6 ) 最后我们讨论函数h ( s ，z ) 的一些性质 定理4 1 对z ，y 玩= x r “川z j 0 ，0 q s 对任意的妒4 。( s ，z ) ，定义 妒-c盯，=：叩，+；。，一妒。一叩，。一。+卵，。o-。o。二：，： 函数在【0 ，s 纠上与函数妒一致，在( s q ，s j 上是线性的，且( s ) = ，因此妒。 由引理4 1 的( 4 _ 2 ) 式，可得 u ( s ，9 ) 矿n r ；( 妒q ( 口) 片f ( t ，妒 ( t ) ) d t ) 。e 一加e - v n r ；一”( 妒( 一) 一片f ( t ，妒( t ) ) 出) + e v n r ；一 ( 妒q ( 一) 一石f ( t ，妒。( t ) ) d ) 墨e 一加e y r ；一”( 妒( 盯) 一片f ( t ，妒( t ) ) d t ) ( 石巾，( t ) ) d e 一加e v r ；一1 ( 妒( 口) 一片f ( t ，妒0 ) ) d ) + f 9 一妒( s 一 ) f f + 九( s ) 一h ( s 一叩) 考查上面不等式右端第一项，有 e 一“7 e a v a r o 一1 ( 妒( 盯) 一片f ( t ，妒( t ) ) d ) = e v n r ；( 妒( a ) 一片f ( t ，妒0 ) ) d t ) 】9 一n y n r ；一。( 妒( d ) 一石f ( t ，【p 0 ) ) 出) 兰e a y 。r 8 ( 妒( 盯) 一片f ( t ，妒0 ) ) d t ) 因此，有不等式 u ( s ，y ) e y n r 8 ( 妒( 口) 一届f ( t ，妒 ) ) d t ) + | 】! ，一妒( s q ) | | + h ( s ) 一h ( s 一叩) 因为函数h ，妒是左连续函数，所以磐妒( t ) 2 妒( 3 ) = ，令卵- o 十，则可得 u ( s ，y ) e y o r ；( 妒( 口) 一 ，妒(t)dt)+ilyxllpo j 0 上式右端对妒a 。( s ，z ) 取下确界，有 u ( s ，y ) 曼u ( s ，z ) + 1 j z g m 由z ，的对称性，又有 玖( s ，z ) u ( s ，y ) + i i x y 1 1 所以 l h ( s ，。) 一u ( s ，) isi i x 一9 m 若s = o ，则由定义，有 i u ( o ，y ) 一u ( o ，z ) l = i i y l 一1 i z 茎i i z y t l 定理得证 推论4 2 对任意的s2o ，有 0 s u ( s ，z ) 墨i i x l l 证明：对任意的s2o ，有h ( s ，0 ) = 0 ，由( 4 _ 5 ) ( 4 7 ) 式，可得结论 定理4 2 对可玩，s ，r 0 ，+ o 。) ，a o ，有不等式 i u ( r ，) 一u ( 5 ，y ) l ( 1 一e 一1 1 一8 1 ) n + l h ( r ) 一 ( s ) 证明：1 ) 不失一般性，设0 o 使o i x l + h ( s + 1 ) 一 ( s ) 假设妒a 。( s ，z ) ，妒：【s s + 卵( s ) 】一形是不连续系统( 2 1 ) 的满足初值