（应用数学专业论文）退化椭圆方程很弱解的正则性及唯一性问题.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：a 一调和方程是p 一调和方程( p 1 ) 的直接推广，它与拟正则映射和拟共形 映射以及弹性理论有着密切的联系；最近几年，它的几何和分析性质得到广泛的研 究。本文主要研究有关的更广泛类a 一调和型方程很弱解的正则性和唯一性问题， 得到几类退化椭圆型方程很弱解的先验估计和有关正则性性质本文共分如下四 奎： 第一章介绍了很弱解有关问题研究的简短历史、本文所涉及到的几个问题选 题背景及其相关的基本概念。 第二章主要讨论了如下一类非齐次a 一调和方程很弱解的唯一性。 一d i v a ( z ，v 乱) = ，( z ) 其中微分算子a ( $ ，) 满足如下三个条件( 注：第三、四章的算子a ( z ，- ) 假设相同) ： ( h 1 ) 退化椭圆性 ( a ( q 6 ) 一a 0 ，巳) ，6 一勃) 卢( 垮1 l + i 岛i ) 一2 垮一已1 2 ； ( h 2 ) l i p s c h i t z 条件 i a 0 ，6 ) 一a 扛，已) i 盯k - 一已l ( k 1 i + i 已1 ) ，一2 ； ( h 3 ) 齐次性条件 a ( z ，a f ) = l aj p 一2 a a ( z ，毒) 本问题将不采用如文献【3 l 常用的调和分析方法，而是利用t i 啪n i e c 在研究拟正则 映射时给出扰动向量场日叻e 分解理论以及估计式，我们的结论是文献【1 】中问题 结论推广和精细化。 第三章是讨论了如下一类退化椭圆型方程很弱解的正则性问题。 一d i v a ( z ，9 + v u ) = ，+ d i v 给出了当p 2 时，用扰动向量场的日d 由e 分解和逆h 6 1 d e r 不等式理论建立很弱解 的可积性提高，从而得到上述方程的很弱解是经典s o b o l e v 意义下弱解的结论：为 进一步考虑解可去奇异集性问题作基础。 第四章讨论了如下一类散度型具有自然增长的非齐次项的a 一调和型方程很 弱解的具有精确指数的局部正则性。 一d i v a ( z ，v ) = b ( z ，v 缸) ，z q ， i i i 北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 其中i b ( z ，) i 屁吲r 1 ；该结论改进了文献【8 ，9 】中相应问题很弱解梯度的可积性 指数。 关键词：a 一调和算子；很弱解：h o d g e 分解；逆h j l d e r 不等式；正则性；唯一 性：g r 髓d _ s o b o l e v 空间。 分类号：0 1 7 5 2 5 北京交通大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ：t h ea h 删皿o n i ce q u a t i o 璐a r ea i m p o r t a n te x t e m i o no f p h 锄o n i ce q ua _ ni n 舻f o rp 1 吼e ya r ei n t i m a t e i yc o n n e c t e dt ot h e 矗e l d ss u c l l 蹈p o t e n t 试t h e o r y q u a s i - r e g u l a rm a p p i n g ( q u 鹊i - c o n f o r m a lm 印p i n g s ) a 丑dt l l et h e o r y0 fd 蠲t i c i 够m 粕yi n 钯瑚t i n gr 船l l l t sc o n 哪i n g 野m e t r i ca n d a 丑a w c 脚洲皤o fs o l u t i o n 8t ot h ea h 姗d 1 1 i c 专) ，p ee q u a t i o nh a v eb e e ne 争 t a b l 蟮h e dr e c e n t l ys i n c e1 9 9 0 s ，丽t ht h eb e g m t h ec o n c 印t0 f v e r yw e a l 【8 0 l u t i o n p r o p o s e d ，t h er e l a t i n gr 雠村d h 如o u tt h e mh a v eb e e n 试d e s p r e a d 哪e r g e d t h i s p a p e rm a i n l ys t l l d yt h er e g l l l 撕t y 瓤l du n i q l l e n e 昭r 船u l t so fv e r yw e 矗k8 0 1 u t i o nf o r 蹭v e r a lc l 鹄8 鹋0 fd e g e n e r a t ee u i p t i ce q u a t i o 璐，8 0 - c a l l e da h a r m o n i ct y p ee q u 8 t i o n 8 ，w h i c h i 8d i v i d e d i n t o f o i l rc h a p t e 碍： i nd h a p t e ro n e ，w ed 髑c 抽et h eb a c k 留o u n do ft h ev e r yw e a l 【s o l u t i o n ，t h e p r 吨m i n a r yi n 唧l a l i t i e 8a n dt h er e l a t i o nb e t w e e n ”c a c c i p p 0 hi n e q u a l i t y a n dv e r y w e a k8 0 1 u t i o n si nt h em o d 锄t h e o r yo fp 踟吨i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 8 i nc h a p t e r 如帕，w ed i 8 c u 船址i eu n i q u e n e 韶o fv e r yw e a k8 0 l u t i o n 8f o rt h ef 0 舡 l o w i n ga - h 龇i o n i ct y p ee q h a t i o n ， 一d i v a ( z ，v u ) = = ，( z ) ， w h e r et h eo p e r a t o ra ( z ，- ) s a t i 8 6 鄂t h ef o l l o w i n gt h r e e 鹊s m n p t i o 璐： ( h 1 ) t h ed e g e n e r a t ee m p t i c 姆 ( a 0 ，1 ) 一a 扛，已) ，f l 一缸) 2 卢( k l i + i i ) p 吨悻- 一已1 2 ； ( h 2 ) t h el i p s d l i t zt y p ei n e q u a l i t y i a ，) 一a 0 ，已) l 盯垮1 一岛i ( f 6 l + l 如i ) ，一2 ； ( h 3 ) t h eh o m o g e n e i t yc o n d i t i o n a ( z ，k ) = i a i ，一2 a a ( 。，) w bd o n tu 8 e1 1 8 u 出h 删o n i ca n a 】y 8 i 8m e t h o d 弭枥出i nl i t e r a t u r e f 3 】，b u ta d o p t h o d 驴d e c o m p 0 8 i t i o n 缸d 鹤t i m a t e sw h i c hu 8 e dt o8 t u d yq u 鹤i - m 印p i n gb y1 w a n i e c t w bo b t a i nt h ec o n c l 璐i o n ，p r o m o t e8 n dr e f i n et h es i m i l i a rp r o b l e mw h i c hi ni i t e r _ a t l l r e 【1 1 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nc h 印t e r t h r e e ，w ec o n s i d 盯t h e 刚撕t yo f v 盱y w e a ks o l u t i o n s f o rac l 脚 o fd e g e n e r a t ee 1 1 i p 七i ce q u a t i o n s 嬲f b u o 8 一d i v a 0 ，g + v u ) = ，+ d i v 0 n l yd 砌n g 埘t ht h ec a s eo f 百v e np 2 ，w eo b t a i nt h a tt h ev e r yw e a l 【s o l u t i o n i 8d a 鹅i c a lw e a ks 0 1 u t i o n si nt h e8 e n s eo fd i s t r i b u t i o nb yh o d g ed e c o m p o s i t i o n t h e o r ya n de s t i i n a t e s0 ft h ep e 巾【l r b a t i o nv e c t o r 矗e l d hc h 印t e rf o l l r ，w ed i 8 c u 鹪t h ed i v e r g e n c ef o r ma h a r m o n i ct y p ee q u a t i o n s 丽t ha c c m a l 咖一h o m o g e n e 0 璐i t e m 8 柚f o u o w 8 一d i v a ，v “) = b ，v u ) ， $ q w h i c hl b ( z ，f ) i 岛l 荨i p o b t a i n i n gt h ei o c a lr e g u l a r i t yo f 哪7w e a ks o l u t i o 璐 a n dp r o m o t i n g 删p 伽【出n gp r o b l e m sw h i c ht h e 唧o n e n to fi n t e 擎幽i h t yf o rt h e g r a d i e n to f 、，e r yw e a l 【8 0 1 u t i o 璐i nn t e r a t l l r e 【8 ，9 】 k e y w o r d s ：a h 锄0 n i co p e r a t o 瑙；v 哪w e a k8 0 l u t i o 璐；h o d g e sd e c o m p o - s i t i o n ；r e v s eh i ；d e ri n e q u a l i t y ；r 铝m a r 蚵；u n i q u e n e 黯；g r a n d s o b o l e v s 印a c e s c l a s s n o ：0 1 7 5 2 5 致谢 在本文即将结束之际，谨向所有关心和帮助我的老师和同学致以深深的谢意! 衷心感谢导师郑神州教授对此论文的精心指导和有益建议，两年多的研究生 的学习和研究工作中导师给予了我细心的指导和帮助。郑老师渊博的知识，严谨 的治学态度，诚恳坦荡的胸襟使我受益终身。导师对我的教诲和敬业的精神将永 远激励着我。 感谢我同门的师姐师弟师妹。与他们的共同学习生活使我收获颇丰。 感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见。 北京交通大学硕士学位论文1 很弱解和c a c c i o p p o u 型不等式 1 很弱解和c a c c i o p p o l i 型不等式 1 1 很弱解概念发展简介 众多的数学物理问题其最终都归结为偏微分方程和方程组问题，实际上求解 偏微分方程和方程组有着实质性的困难，能求解出解析表达式的大多方程基本上 只局限于数学物理方程课程介绍的范畴，尤其对非线性方程( 组) 的求解其解表示 形式，一般来说是无望的。所以我们在研究经典解时更多的是考虑其适定性问题： 解的存在性、唯一性、稳定性和解的渐近性态；而对分布意义下的弱解( 处于理论 和实际的需要：为了得到解的存在性，一般考虑的是s o b o l e v 空间函数中的弱解) 还须考虑其正则性问题、先验估计和其它有关性质。现代偏微分方程理论的研究 总是在合适的泛函空间中考虑其弱解的性质，所以自然可积指数下的s 0 b o l e v 空间 往往成为较为理想的弱解空间，也就是弱解理解为在某s 0 b o l e v 空间意义下对检验 函数作分布积分得到的积分恒等式，从而为了得到链的性质( 如唯一性、较高的可 积性、h 6 l d e r 连续性等) ，使得光滑截断函数乘以未知函数“的幂可用作检验函数。 而很弱解是9 0 年代t 1 w a n i e c 在研究拟正则映射和拟共性映射的可去奇异性问题时 首先提出的新概念，运用很弱解概念及性质可以建立拟正则映射具有正的可去奇 异集h a u d o r 雠数结论，使得拟正则映射问题的研究得到一个新的突破。起源于 高维拟共形映射和拟正则映射可去奇异性h a u s d o r 雠数问题的需要，在考虑椭圆 型方程( 组) 和微分不等式时，本质上给出的解空间是比经典的弱解空间更大的空 间：比自然增长的s o b o l l w 空间可积指数更低的空间( 如低于自然指数的s o b o l e v 空 间和g r a n d - s o b o k v 空间) 来考虑有关问题先验估计和相应性质的。后来，很弱解 概念在偏微分方程有关问题得到应用，并由l 脚l r i 8 ，m 伽e r ，1 w a n i e c 和s b o r d o n e 等 人发展了一系列方法和理论。很弱解问题的主要困难是：由于很弱解的广义微商 的可积指数小于自然指数，因而取通常的试验函数是行不通的。 1 9 9 2 年和1 9 9 3 年，t 1 w a n i e c 和g m 盯t i n f l ，2 1 在a c t a m a t h 和a n n m 8 t h 的论 文首先提出了很弱解概念的原型一弱拟正则映射问题；他们利用扰动张量场的h o d g e 分解和外微分形式方程理论，分别在高维和偶数维情形考虑了如下定义的弱拟正 则映射的正则性和可去奇异性问题：对于 ，( z ) = ，1 ( z ) ，2 ( z ) ，“( z ) ) i l 2 ( n ，壤r ) ( 1 p 几) 称为是弱弘拟正则的，如果对于常数l k o ，使得对于满足b 一2 i 6 的任意1 n 2 ，当l 矿芝1 ( q ) 为 方程( 1 2 ) 的很弱解时，则有乱w 孥( q ) ，其中2 r 2 o 。满足旧一2 i d ：这里 的g ( z ) l ”ny m d 。2 0 0 1 年，s t r o 肋l i i l i m 考虑了下面的非齐次的a 一调和方程 d i v ( ( a 0 ) d u ( 。) ，d 让 ) ) 警 0 ) d ( 。) ) = d i v ( 、j 坟西f ( z ) ) ( 1 ，4 ) 2 ! 室銮塑盔堂堡主堂垡迨奎! ! 垦塑坚塑璺竺堕! 墼坐! 型至簦塞 得到：当f 工盎时，对于满足不等式2 一e o ，p 1 ，口 1 ，且；+ ：= 1 则有 曲 o ，6 o ，e o ，p 1 ，q 1 ，且；+ j = 1 则有 曲 l ，口 1 ，且；+ ：= 1 若，驴( q ) ，夕即( q ) ，则，9 二1 ( q ) ，且 i ，( z ) 9 ( z ) id z 0 ，( z ) 0 工一( n ) 0 9 ( 。) 0 工一( 哪 m i n l 【o w 8 k i 不等式设1 p o o ，g 驴( q ) ，则为，+ 9 妒( q ) ，且 l i ，+ 圳p ( n ) 0 川p ( n ) + 怕i i p ( n ) 设ncr n 为一开集，k 为非负整数或o o 定义1 2 1g ( q ) 和伊( _ ) 分别表示q 和西上k 连续可微函数的全体所构成的集合。 3 匕京交通大学硕士学位论文1 很弱解和c a c c i o p p o h 型不等塞 特别地，g o ( q ) 和伊( _ ) 也简记为g ( q ) 和g ) 。在伊中引入范数 蛐= 。垫s u p i d 4 i 其中口= ( 0 1 ，) 称为多重指标，a 1 ，n 。为非负整数，h = 0 1 + + 锄， 肫= 熹 经验证，按照上面定义的范数，沙( - ) 是一完备的线性赋范空间，即b a n 础空间。 定义1 2 2 设u ( x ) 为定义在q 上的函数，记 s 嬲= 万百币丽即， 称之为u ( x ) 的支集。 定义1 2 3c 台( q ) 表示伊( q ) 中支集为q 的紧子集的函数全体所构成的集合。特别 地将四( q ) 记为g ( q ) 。 定义1 2 4 设女为非负整数，p 1 ，q 为r n 中的开集。我们称集合 赋以范数 “w 肚( q ) i d 。u 。，( q ) ，v i n i 七 ”= 慷眇卵出) ； 后得到的线性赋范空间为s o b o l e v 空间w 2 9 ( n ) 。 雠詈( n ) = 乜i 珏w ，( q ，) 1 7c cq ) 称为局部s o b 0 1 e v 空间。 在s o b o l e v 空间理论中最重要的定理为如下的嵌入定理。 定理1 2 1 ( 嵌入定理) 设1 p o 。， ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当p n 时 w 1 护( q ) c 工9 ( o ) ，p q s p + = 亲，当咿 礼时 彬1 伊( q ) c 口( q ) ，p s 口 + o o ，当p = n 时， 而且对任意u w 1 9 ( q ) ，有 0 训i 朋( n ) e ( m p ，q ) i i 让8 - ，( n ) ，p 冬q p = 票；，p 竹， 1 l t i l 扣( g ( 孔，q ，q ) i i 仳1 1 w - 巾( f 1 ) ， p q 仃时，有 1 p ( n ) c 伊“( 磊) ， o n 1 一；， 4 ! 室奎望盔堂堡兰垡笙壅! 堡塑堡塑g 塑堕业! ! ! 型至量壅 而且对任意缸1 p ( q ) ，有 0 “8 c ，a ( 矗) g ( n ，p ，q ) 0 乱w 1 ，( n ) ， 其中矿为p 的s o b o l e v 共轭指数，常数c 为嵌入常数。 上述嵌入定理可简记作 l ”( q ) ， 1 g 矿= 尚， p 嗡 1 p ( n ) 一 口( q ) ， 1 口 + ， p = 硝 【俨( q ) ，o n 定理1 2 2 ( p o i n c a r 不等式)设1 p o 。，qcr n 为一有界区域。 ( i ) 若缸矸苫9 ( n ) ，则 上m 出g z j d 妒如； ( i i ) 若a q 满足局部l i p 8 c h i t z 条件，缸1 9 ( n ) ，则 z l 乱一n f p 如g 上i 。卵出， 其中c 是仅依赖于n ，p 和q 的常数， = 高上吣2 丽厶“缸 j q i 表示n 的测度 下面以方程d i 、r a ( 。，d 乱) = o 为例给出很弱解的定义。 定义1 2 5 称u 1 ，7 ( q ) ，m 缸 1 ，p 一1 ) r p 为上述方程的很弱解，如果 a ( z ，v 让) v 妒如= o 对v 妒眩弓瓢) 都成立其中微分算子a ( z ，) 满足如下条件： ( h 1 ) 退化椭圆性： ( a ( 。，f - ) 一a ( z ，) ，一已) p ( 1 f ，l + l 已1 ) ，一2 l f - 一已1 2 ( h 2 ) l i p s d l i t z 条件： l a 扛，1 ) a ，已) i 盯k l 一岛i ( 旧i + i 勃1 ) ，一2 ； ( h 3 ) 齐次性条件： a ( 。，a f ) = i a l p 一2 a a ( z ，善) 5 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ! ! 室銮堕盔堂堡主堂垡丝塞 ! ! ! 望坚塑璺些娅些型至篁壅 从假设条件( h 1 ) 和( h 3 ) ，一个直接的结论： ( a 扛，f ) ，f ) 2p 阵1 2 弓i 理1 2 1 n 1 【4 1 【5 1 ( h o d g e 分解) 设o 1 ，u w ：5 ( q ) ，s = p 一m 瓠 l ，p 一1 ； 则一定存在i p ( z ) 以t ) 和散度自由的矩阵场日( z ) 工击( q ) 使得 v 札r 5 v “= v 妒+ 日 ( 1 9 ) 并且有估计式， 0 v 训南硎孔旷6 ， ( 1 1 0 ) 和 俐l 击傀i l 砜炉， ( 1 1 1 ) 其中常数c 是一个仅依赖于n ，s 与n 。 g l 理1 2 2 【目【9 】设x 和y 是内积空间中的任两个非零向量，对于0 e 1 ；则有 i | x r x i y r 】，j 兰 掣一y i “e ， ( 1 1 2 ) 作为引理1 2 2 的一个应用，对于乱w 1 ，( 王k ) 和7 g 铲( j e k ) ，取x = v ( 叩m a ) ) ，y = 卵v 佣e n ，t ) = i 叩v 仳j - 目v u i v 加( u a ) ) r _ v 加( t 一口) ) ，则可得 l e ( 舭) i 掣掣i 聊。( u 。) 一 ( 1 1 3 ) 设v ，l 1 ( n ) ，o 口 o 。，记。 耽( ，q ) = s 叩i q ( z ，r ) | - 1 i ，( 耖) 一厶，i 匆 g l z ，u r 4 j 1 0 忸，竹 定义1 2 6设，l l ( q ，r ) ，若a 靠( ，q ) 工尸( q ，r ) 则称，属于b m 0 ( n ，r ，) 定义1 2 7 设，三1 ，r ) ，若( ，) = 嬲 厶( ，) = o ，则称，属于y m d ，r ，) 1 3 c a c c i o p p o h 估计与很弱解 在线性和非线性偏微分方程的理论分析上，c a c c i o p p o l i 估计起到了决定性的 作用，有入说：“c a c c i o p p o h 估计是正则性问题的起点”。对一个给定的微分算子及 相关的弱解，自然指数下的弱解定义是最基本的，m o r r e y 估计，s c h a u d e r 估计，d e g i o r g i 估计等对线性和非线性方程的研究( 存在性，唯一性和正则性) 都有赋予重 6 北京交通大学硕士学位论文1 很弱解和c a c c i o p p o u 型不等式 要的意义，而c a c c i o p p o l i 估计更着重强调了反向形式的p 0 i n c 由s o b 0 1 e v 不等式作 用，它的一般表示形式为 ，| 妒( z ) v 扛) j p 如，i 钍( z ) v i p ( z ) p d z ( 1 1 4 ) 其中乱是一给定p d e 方程的一个解，妒g ( n ) 为试验函数，记号表示常数不 依赖与不等式中的函数。对于一给定的p d e 其解的微商的自然s o b o l e v 指数( 即1 p p ，常数g 仅依赖于p ，q 和维数n ，这个事实首先由g 姗n g 【2 1 】在研究高 维拟共形映射时得到并阐述的，后又由许多研究者( 如e l c r a t 、m e y e r 8 和g i a q u 诚a 等 人) 得到进一步的扩展和应用 2 5 ，2 6 ，2 8 】。 c a c c i o p p 0 的思想虽然经过了将近半个世纪的发展，但最近才意识到应用于 低于自然指数s o b o l e v 空间问题解的估计，所以它们是非线性偏微分方程的基本组 成部分。可以把这些不等式应用到很弱解的理论中，当考虑降低了解的梯度的指 数的同时，相应地必须降低不等式( 1 1 4 冲试验函数的指数，即： i p ( z ) v 缸( z ) 1 5d z l u ( z ) v 妒( z ) i 。d z 对某些1 s p 成立。这是一个专门的问题：主要考虑的是可去奇异性【1 ，2 ，5 】，j a c o b i a n 行列式的可积性f 3 7 ，3 5 ，3 8 j ，带测度方程的研究【6 ，3 3 ，2 9 】等等许多方面，而这 些问题起源于几何函数理论【3 4 j 和变分问题【3 6 】。 给定一偏微分方程，解空间的自然定义取决于对解的描述，有时是作为一个 几何对象的分析描述，有时是作为某物理或机械实体的一个数学模型。对于每 个p d e ( 线性和非线性的) ，自然解空间的定义应该是一个完备的函数空间，于是 我们要处理其导数具有一定可积性的弱可微函数。下面以几个例子来说明。 调和方程 d i v v 让= d i v f ，q c 】 p ( 1 1 5 ) 7 北京交通大学硕士学位论文1 很弱解和c a c d o p p o h 型不等式 最自然的是在s o b o l e v 空间彬1 ，2 ( q ) 中考虑方程( 1 1 5 ) 的弱解，这里给定的已知向 量f = ( f 1 ，严，p ) 属于三2 ( n ，r “) 。上述方程的弱解是能量泛函( 1 1 6 ) 的变分 极小值函数 e m = i v 训2 + 2 ( f v ， ( 1 1 6 ) ，n 对于带边界值情况：“= 咖+ w 护( q ) ，撕懈，一。 许多非线性p d e 8 的一个原型可表示为： p 一调和方程 酬v 缸r 吨讹= d i v 只q cr n( 1 1 7 ) p - 调和方程自然的s o b o i e y 空间被限定为钍1 炉) ，1 p o 。，f p ( n ，r “) ， 其中q 是p 的h 魂d e r 共轭；即p + q = p q 这样考虑的原因是方程是由泛函( 1 1 8 ) 的交 分极小推导出 m = ，i v u i + p ( f ，v 乱) ( 1 1 8 ) j n a - 调和方程 d i 以( z ，乳) = d i v f( 1 1 9 ) a ：q r n r n 满足如下椭圆性限制： ( a 0 ，) ，) 丝堑i i 二2 口0 ) 饽r ( a ( 曩f ) ，e ) i i 二l 引a ，1 p o o 这里测度函数o p ( 茁) o o ，其中f ，( r “。一般地，p ( z ) 不必为常数，当口( ) 接 近0 时一致椭圆性失效，所以把p ( 。) 称为形变系数。对于退化椭圆p d e 8 ，考虑解 的自然空间就是未知函数具有有限能量如下泛函的变分极小 ， m = f a ( 。，购，v 啦如= 阢嘏如 溉 ( 1 2 0 ) j n，0 这不意味着当形变系数p = 口( z ) 为任意小的值时，i v i 驴( q ) ；当形变系数趋 于o 。时，梯度的p 可积性能量不一定有限。退化椭圆p d e s 是作为几何函数论的一 个结果，其发展是与非线性弹性力学相平行发展的，这些理论所考虑的函数是由 映射，组成的：，= ( ，1 ，广) ：n r n ，其微分矩阵d ，( z ) = 筹j a 形变不等式 i d ，( z ) j “耳( 。) 如t d ，( 茹)( 1 2 1 ) 1 k ( 。) o o 是给定的可测( 外形变) 函数。通过一系列文献，引入j a c o b i a n 行 列式，p ，) = d e d ，( 茁) ，为了得到c a c d o p p o l i 类型的估计，需要面对下面外微分 8 j e 京交通大学硕士学位论文l 很弱解和g d o p p 碰型不等式 形式的分部积分问题 上妒( z ) t ，( z ，) 出= 上t 硝1 j n j n 妒一上，1 d 妒 护 矿 其中妒c 矿( q ) ，自然s o b o l e v 空间- 皖0 ( 锄作为一个自然解空间，这是与形交不 等式( 1 2 1 ) 的解有很大的关系的。 对于调和方程d i v v u = o 由分部积分很容易得到c a c d o p p o h 估计 妒v 札| 1 2 0 v 妒1 1 2 ，妒c 酽( q )( 1 ，2 2 ) 同样可以得到更一般的结果f 3 9 】。虽然文献上很少记载估计( 1 2 2 ) 对于s 2 不成 立，但我们借助奇异积分可以得到 0 妒v u i i 0 “v 妒忆+ l | v ov 妒0 ：鲁，( 1 2 3 ) 其中8 ；占 对于p 调和方程d i v j 乳 - 2 v 缸= o ，1 p o o ，有类似( 1 ，2 2 ) 的估计 l l 妒v u o p i i v 妒0 p ， 妒c 矿( n ) 这里自然指数p 不能被其它指数代替。同样我们还可得到类似( 1 2 3 ) 的估计，只是 这时s 必须足够接近p 。 更一般地，对于退化的a - 调和方程在自然设定下对于每个有限能量的解其c a c c i o p p o h 估计具有以下形式 i i 妒i v u l i b 0 钍i v 妒i l i ， 妒c 扩( n ) 和前面一样除了指数p 外没有类似的估计。 一个p - 调和函数珏1 9 ( q ，r ) 是能量积分 ， e m = ，| v 训出，1 p m o 善 ；，： 成 立。我们必须找到这样的解u ，其梯度属于l 抽( r n ，r 严) ，这是唯一的选择，不巧的是 空间l 蛔( r n ，r “) 与空间l 扣( r n ，r “) 不是互相对偶空间。这就是为什么解的存在 性不能由单调算子的b r o w d 盼m i n t y 理论得出。至于局部估计，可得到l v 钍j - 2 v u 上抽( r n ，r “) ，这就使得当试验函数妒的梯度属于工知( r n ，r “) 0 = 菇与) 时，等式 ( 1 2 4 ) 成立a 在低于自然限制的情形下，当a 1 时，s o b o l e v 指数砌 ；一1 ，对任意的口1 ，5 佃( r “) 和o 加，0 1 ，考虑不等 式 ，蝉、v f v ”一v 妒i i 。s ，) 0 v 训i ：= 品 ( 1 2 6 ) l ，吖舻) ，) = 1 时，不等式( 1 2 6 ) 是平凡的；反之，( n ，o ) = o 通过研究可得出结论：当 ( n ，e ) 1 ， ；一1 。 返回到p 调和方程，在( 1 2 6 ) 中取最小值妒w 1 4 ( r “) 作为( 1 2 5 ) 的试验函 数，s = 啬，= q 一1 ) p 可以得出 ( | 可1 9 - 2 v 瓴f v 钍f 卸v t 一v 妒) 毛( 珏，0 i v 乱f 卸 一旦( n ，) 1 ，是否有估计 | 1 f 一且；g 忆l i f g | f ；( 1 | f 肚+ 0 g 忆) 1 一。?( 1 2 8 ) e g 口( r n ，r n ) n 口( r n ，r n ) ，某些o a = n ( 仃，p ，8 ) 1 当8 = q 时估计式 自然成立，此为自然限制下的情况。当p = 2 时算子飓简化为二阶彤e s z 变换飓f = r ( r ，f ) ，r = ( r 1 i ，j k ) 。( 1 2 8 ) 对1 s o 。都成立。 在非自然区域下，岛的非连续性把我们引向了比口( r “，r “) 略微小的空间。 其中g r a n dl e b e s g u e 空间l q ) ( r n ，l p ) 是值得注意的，由定义它是由向量场f n l ，p ( r n ，r “) 组成的，其中 圹。要卜) 小1 4 。1 s j 口lj r “j ! ! 室銮望丕兰堡主兰壁垒壅 ! 堡堑堡塑鱼型塑些型至箜壅 g r 趾d - s o b 0 1 e v 空间w 1 神( r 严) 由半范组成 1 神= i i v “ 这些空间都已经广泛应用到p d e s 中了。算子丑；：口( r “，r 严) 一l 劬( r n ，r “) 的 h 扭d e r 连续性为 0 乓f 一日；g 0 9 ) f i f g i ( 1 | f 0 口) + 0 g 0 。) ) 1 - 。( 1 2 9 ) 0 n = a 1 北京交通大学硕士学位论文2 一类非齐次a 调和方程很弱解的唯一性 2 一类非齐次a 调和方程很弱解的唯一性 2 1 问题的提出 由于很弱解的概念都是在比自然增长的s o b o l e v 空间更弱的空问中考虑的，对 于a - 调和方程，这种解的存在性相对容易；而解是否唯一、是否正则呢? 这是一个 很值得关注的问题。 1 w a i l i e c 【3 】和l e w i 8 【5 】分别用不同的方法证明了方程右端是散度结构的a 调和 方程的正则性和唯一性问题，而对于方程右端是非散度情况的问题，文献【6 1 给出 右端在较为一般的可控增长条件下很弱解的正则性，而唯一性问题仍有待于解决。 本文就方程右端是非散度条件下，通过运用扰动向量场的h o d g e 分解理论，考虑了 很弱解的唯一性问题。 设对于1 p + o 。，记；+ = 1 ，矿= 芸弓和专+ 嘉= 1 一个区域q 称为r “中 的正则有界区域；如果满足如下的a 条件：存在一个正常数a ，使得 n n 如扛) j 州如( 。) j ， 垤a q 这里上谊( z ) 是以z 为心，r 为半径舯中的球，参见【2 】。本文考虑如下的非齐次a 一调和 型方程 一心以( z ，v “) = ，( z )( 2 1 ) 2 2 主要结果及证明 首先给出相关空间的定义： 定义2 2 1对于1 p o o ，0s 口 o 。，定义g ，o 砌一扩空间，记为工9 神( q ) ；如 果其中的元素，n 0 。5 ，一1 驴。( n ) 且满足 f f 州口神= s 。咖。 p 一1 卸州，一。 o 。 注2 1 ，1 ：直接验证m 1 日，) 是l 9 一) ( n ) 一个范数，所以空间l 9 ，p ) ( q ) 是一个b 帆。曲空 间，且l p ( n ) cl 9 神( q ) ；类似的可定义为g r n 删一舶b d f e 口空间耐9 ) = “ n 0 。f l i 馆一。( q ) ：v 珏l 9 神( q ) ) 且对于正则的有界区域q ，有缈1 ，9 ( q ) c 孵耐( q ) 下面将在嚼神( q ) 中，考虑方程( 2 1 ) 很弱解的唯一性。对于方程( 2 1 ) 和方程 一d i v a ( 。，v 鼋，) = 譬( 功，( 2 2 ) 北京交通大学硕士学位论文 2 一类非齐次a 调和寝墼堡塾竖鱼堕二丝 上：揣( q ) 假设钍，口分别是方程( 2 ，1 ) 和( 2 2 ) 的属于埘一一。( q ) 的非平凡解，则 i v u v 训i 墨晶( 耥删酬糕) + 啪二：霎( ”，”躺删l 糕厂蒿 其中i v u v 训一9 陬一v 口) l 锑( n ) ，妒诟乍嚣( n ) ，九工锑q 而且可得 0 v 妒| | j 嚣g i | v u v 训e 二嚣 ( 2 5 ) 0 ，1 0 i 等l ? 台i i v u v f i ；二嚣 ( 2 6 ) ( a ，v u ) 一a ( 岱，v 口) ，i v u v r _ p ( v “一v 口) ) ( 跏 j n 一上( ，一g 如如+ 上( a ( 茁，v 一a ( z ，v 吐妨如 所以 ( j v 让j j v 1 ) 7 2 l v 一v 口j 2 9 如 l ，一夕l l 妒l d z + p ( 1 v “ + i v 口i ) 9 2 l v “一v u l l 九l d z ( 2 7 ) j n j n 下面需要分情况讨论。 情况1 ：p 2 由h 6 l d e r 不等式和s o b 0 1 e v - p o i n c 缸不等式可得 z ( 1 v 世一v 妒一印缸c z ( 1 v 珏l l v 啪”2 l v 钍一v 砰一印如 c ，一9 0 衙捌张同示瓣釉 + c ( i v “i 十i v 叫) 9 2 i v u v 训i i 如 s g l i ，一9 1 i 鬻高l l v 钏锑 1 4 j e 京交遥大学硕士学位论文2 一类非齐次a - 调和方程很弱解的唯性 + g v u l + i v i ；二；| i v 缸一v ”b 一。0 九0 ；嚣 由h o d g e 分解的估计式( 2 5 ) ，( 2 6 ) 得 再由y 伽n 矿s 不等式可得： c 0 ，一9 8 掣9 i ! 一i v 乱一v u 三二嚣 n + 口( i 一订 。 + c v l + i v 川；二乙0 v u v 训暑二嚣 | i v “一v 口0 ；二品g 0 ，一g l l1 2 9 ；1 2 + c k v i + i v 口i ；二0 v u v 训i p 一目 n + m 1 - l c 0 ，一9 l lg i ；蚰+ ( 殆( 1 i v 珏l l p 一口+ 0 v u i i ，一q p 一2 l l v “一v u l l ，一印 n + “l r ) s 硎，刊i 黼+ 箬盼川v “b 一。圳v 训，一，4 】聂 + 南慨一v 啦品 于是 0 v 珏一v 。峪二b g 0 ，一9 0 掣f ；! 】，+ c t ；蠢( 0 v 训i p 一印+ v 口i i p 一印) 一1 ( 2 8 ) n 十q 1 一l 在( 2 8 ) 中令口= o ，9 = o 可得 i i v 训i ，g i 二三丝 ( 2 ，9 ) n + q ( 1 一t ) 其中足够小使得e 毫暑 1 ，类似她有 i i v u o p 一印sg l | g f i ! 三j # 吐 ( 2 1 0 ) 于是可得p 2 时的估计式( 2 3 ) 情况2 ：当1 p 2 时，我们将运用1 7 】中的类似方法。因为l v 一v 口1 2 - p ( j v 训+ i v 口i ) 2 ，再由( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 得 上( i v 训+ 酬) ”2 i v 一v p 如sc 卜引i 躺慨l i 篇 + c ，| v 仳一审o r l 川如 se 0 ，一夕i i2 【# 2 ，0 v 一v 口0 ；二嚣 + “i 一种 + c 名| | v u v 口峙二嚣1 i v t 一v 训喀二 = g 一9 “端+ s 慨一v 训；二b ) 1 l v u v u 啦嚣 ! ! 塞窒望盔堂亟主堂壁垒奎 ! 二耋i e 壹盗垒塑塑查望堡堑堡鱼堕：二丝 根据h 6 l d e r 个等式廿j 得 厂l v u v 训r 印如：“v 训+ l 勋1 ) 掣笋l 乳一v p ( i v 缸f + 刚) 皆如 g ( 上( i v 训一l v ”1 ) 一2 l v 乱一v ”1 2 一印d z ) 2 1 ( 上m + 跏r 印如) 嚣 sg ( 一譬”揣+ e 9 乳一v 移幢) ，、2 一印 、 n + “卜) 慨一v 。| | 等掣( 慨k 印+ 酬i ，印) 掣铲 凼口碉 慨一v 啦。g ( 1 i ，一9 1 l 黼+ e 慨一v ”| i ；二品) ( v u 一。+ | | v 口i i ，一。) 2 9 = 伽一9 0 珊( 慨印+ 0 珊陆。) 2 + c 0 v 钍一v w l l ；二b ( 1 v 让j i ，一印+ 0 v ”l