（应用数学专业论文）模糊关系传递性的研究.pdf

y 5 1 8 1 8 9 模糊关系传递性的研究 摘要 模糊关系是模糊理论最重要的内容之一，其应用十分广+ 泛； 尤其是在模糊决策的许多领域中，如模糊聚类分析、模糊选择、 模糊量排序、模糊偏好结构等，其研究都是建立在模糊关系基 础之上的。而在对模糊关系及其应用的研究中，传递性的讨论 又占据着举足轻重的地位，如前面所提及的应用中，均须讨论 关系的传递性。 本文利用模糊关系理论和f 模及r 余模理论，对模糊关系运 算的传递性，r 传递、s 负传递、t s 半传递及t sf e r r e r s 关 系之间的联系，特殊模糊偏好结构中所涉及到的传递性以及模 糊关系序列极限的传递性进行了系统全面地讨论。其研究内容 与结果归纳如下： 首先，通过对模糊关系运算的传递性讨论，我们得到，若 一个模糊关系具有某种传递性，则其逆关系不改变其传递性性 质，余关系仅改变一些第一类传递性性质，不改变第二类传递 性性质；若两个模糊关系具有某种传递性，它们的模并、模交 运算不保持大多数传递性性质。 其次，我们分别在完全( 反对称) 、强d em o r g a n 三元组、 正r 模( 非幂零的，余模) 等三种假设条件下，对7 传递、s 负传 递、t s 半传递及t sf e r r e r s 关系之间的联系进行讨论，得 到比较理想的结果。 在作者所给出的模糊偏好结构定义的基础上，在无不可比 关系的条件下以及l u k a s i e w i c z ，模的妒变换睨的意义下，讨论 了大偏好、严格偏好及无区别关系之间的传递性性质的联系， 例如我们指出了大偏好关系的睨传递性可导出严格偏好以及无 区别关系的呒传递性等。 最后，我们从理论上对模糊关系序列极限的传递性进 行了探讨。我们指出：对连续的，模及，余模，若模糊关系 序列具有某种传递性性质，则其极限具有同类性质；对左 右连续的f 模及f 余模，在序列单增或单减时得到一些较为 理想的结果：在没有任何连续性的前提下，单增序列的s 负 传递性可保证其极限的s 负传递性，单减序列的r 传递性 可保证其极限的r 传递性。 该研究对模糊关系的传递性进行了全面的讨论，从而对系 统的了解传递性之间的联系具有重要意义。此外，如何合理地 定义各种模糊偏好结构目前还是一个悬而未决的问题，其中许 多偏好结构的定义将不可避免的涉及如何选择传递性性质问 题。因此，弄清各种传递性之间的关系对定义特殊偏好结构具 有一定的指导意义。 关键词：模糊关系，传递性，模糊偏好结构， d e m o r g a n 三元组 t h er e s e a r c ho n t h et r a n s i t i v i t y - r e l a t e dp r o p e r t i e so f f u z z yr e l a t i o n s a b s t r a c t f u z z yr e l a t i o nt h e o r yi s o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e s o ff u z z ym a t h e m a t i c sa n di s e x t e n s i v e l yu s e di nm a n yf i e l d s e s p e c i a l l yi nt h e a r e ao fd e c i s i o n m a k i n g f o re x a m p l e ，f u z z y c l u s t e r i n ga n a l y s i s ，c h o i c ep r o b l e mu n d e rf u z z yp r e f e r e n c e s ， o r d e r i n go ff u z z yq u a n t i t i e sa n df u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e sa r e a l lb a s e do nf u z z yr e l a t i o n s i nt h er e s e a r c ho ff u z z yr e l a t i o n s ， t h e i n v e s t i g a t i o n o f t r a n s i t i v i t y - r e l a t e dp r o p e r t i e sp l a y s a c e n t r a lr o l e i nf a c t ，t h ea b o v em e n t i o n e da p p l i c a t i o n sa r ea l l c o n c e r n e dw i t hs o m ec e r t a i nt r a n s i t i v i t yp r o p e r t i e s i nt h i sr e s e a r c h ，u s i n gt h et h e o r yo f ，一n o r m ，卜c o n o r ma n d f u z z yr e l a t i o n s ，w es y s t e m a t i c a l l y d i s c u s s t r a n s i t i v i t y r e l a t e d p r o p e r t i e s o f o p e r a t i o n s o f f u z z yr e l a t i o n s ，r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t t r a n s i t i v i t y ,n e g a t i v es t r a n s i t i v i t y ，t s s e m i t r a n s i t i v i t ya n d t s f e r r e r sp r o p e r t i e s ，r e l a t i o n s h i p so f t r a n s i t i v i t y r e l a t e dp r o p e r t i e s b e t w e e nt h e l a r g ep r e f e r e n c e r e l a t i o na n d s t r i c t p r e f e r e n c e ，i n d i f f e r e n c e r e l a t i o n s ，a n d t r a n s i t i v i t y o ft h el i m i to fas e q u e n c eo ff u z z yr e l a t i o n sw i t h c e r t a i np r o p e r t i e s t h em a i nc o n c l u s i o n sa r ea sf o l l o w s f i r s t l y ，a m o n go p e r a t i o n s o ff u z z yr e l a t i o n s ，t h ei n v e r s e d o e sn o t c h a n g ea n yt r a n s i t i v i t y a ta l la n dt h e c o m p l e m e n t c h a n g e s s o m e t r a n s i t i v i t yp r o p e r t i e s w h e r e a st h e o p e r a t i o n s u n i o na n di n t e r s e c t i o nf a i lt o p r e s e r v e m o s t t r a n s i t i v i t y p r o p e r t i e s s e c o n d l y ，w ec a r r y o u tad e t a i l e d i n v e s t i g a t i o n i n t ot h e r e l a t i o n s h i p s o f t - t r a n s i t i v i t y ，n e g a t i v es t r a n s i t i v i t y ， t s s e m i t r a n s i t i v i t ya n d t s f e r r e r s p r o p e r t i e su n d e rs o m e c o n d i t i o n s ，s u c h a s c o m p l e t e n e s s ，s t r o n g d em o r g a nt r i p l e ， p o s i t i v e 卜n o r me t c ，a n dh a v e s o m e e x p e c t e d c o n c l u s i o n s t h i r d l y , b a s e d o no u rd e f i n i t i o no f f u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e w i t h o u t i n c o m p a r a b i l i t y ，w e f i n do u t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t r a n s i t i v i t yp r o p e r t i e s o fl a r g e p r e f e r e n c e r e l a t i o na n ds t r i c t p r e f e r e n c ea n di n d i f f e r e n c er e l a t i o nw i t h p - t r a n s f o r m a t i o no f l u k a s i e w i c zf n o r m f o r e x a m p l e ，w ep o i n t o u tt h a tt h e 睨一t r a n s i t i v i t yo fl a r g ep r e f e r e n c er e l a t i o nc a nd e r i v et h es a m e t r a n s i t i v i t yo f s t r i c tp r e f e r e n c ea n di n d i f f e r e n c er e l a t i o n f i n a l l y ，t h et r a n s i t i v i t y o ft h el i m i to fas e q u e n c eo ff u z z y r e 】a t i o n sj sd j s c u s s e df r o mt h et h e o r e t j cv i e w w ef i n dt h a tt h e t r a n s i t i v i t yo f l i m i to fas e q u e n c eo f f u z z y r e l a t i o n si sp r e s e r v e d i ft h ei n v o l v e dt n o r ma n d 卜c o n o r ma r ec o n t i n u o u s a l s o s o m ei d e a lr e s u l t sa r eo b t a i n e dw h e n t h es e q u e n c ei sm o n o t o n i c a n dt h ei n v o l v e d ，_ n o r ma n d ，。c o n o r ma r e1 e f tc o n t i n u o u s 卜n o r ma n d r i g h tc o n t i n u o u s 卜c o n o r mr e s p e c t i v e l y i na d d i t i o n s o m er e s u l t sa r es t i l la v a i l a b l ew i t h o u tc o n t i n u i t y t h er e s e a r c hi so f i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ef o rt h ed e e pi n s i g h t i n t or e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h et r a n s i t i v i t y - r e l a t e dp r o p e r t i e s a t t h e m o m e n t ，h o w t od e f i n es o m e p a r t i c u l a rp r e f e r e n c e s t r u c t u r e sr e a s o n a b l yi su n r e s o l v e d t h ek e y p r o b l e mi sh o w t o c h o o s et h et r a n s i t i v i t yp r o p e r t i e s t h er e s e a r c hc a ns e r v ea sa g u i d a n c e t od e f i n ef u z z y p r e f e r e n c es t r u c t u r e s k e y w o r d s ： f u z z yr e l a t i o n ，t r a n s i t i v i t yp r o p e r t i e s ， f u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e ， d e m o r g a nt r i p l e a r r s v 3 妒 妒 u n v r 一1 r 。 r 4 r io r 2 p ， j 主要符号说明 普通集 模糊关系 t 模 ，余模 对于任意的 存在 属于 包含 空集合 自同构 并 交 取大 取小 模糊关系r 的逆关系 模糊关系月的余关系 模糊关系r 的对偶关系 模糊关系蜀与r 2 的合成关系 严格偏好关系 无区别关系 不可比关系 四太原理工人学硕| j 学位论文 第一章绪论 1 1 模糊关系传递性的意义及研究概况 在日常生活中，“关系”的概念随处可见，如父子关系、同事关 系、朋友关系、身高与体重之间的关系、两个人的相像关系等。在决 策分析中，为了反映备择对象的优劣，选择的比较是不可避免的，可 以用“关系”来描述比较的结果。在数学上，有大于、函数、包含、 等价、同构、近似相等、远远大于等关系，有人甚至断言数学本身就 是研究关系。在各种各样关系中，有些是明确的，如父子、同事、 大于、函数、包含等关系；许多则是界限不明确的关系，如朋友关系、 身高与体重之间的关系、两个人的相像关系以及近似相等、远远大于 等，对于这类关系用简单的“肯定”或“否定”，即用“1 ”或者“0 ” 来刻画显然是不合适的，模糊数学将关系的值域扩充为【0 ，l 】，引入了 所谓的模糊关系。 与普通关系在数学中所处的地位一样，模糊关系是模糊理论最重 要的内容之一，其应用范围十分广泛，几乎遍及模糊数学的所有应用 领域，特别是在模糊决策的许多领域中尤为重要。例如，( 1 ) 以模糊相 似关系矩阵为基础的模糊聚类分析，它在天气预报、地震预测、地 质勘探、环境保护以及图像、语言识别等领域有着广泛的应用，它的 系统成果，文献【2 ，3 ，4 】做了非常全面地总结，是现今模糊理论应用最 广泛和最富成果的领域之一；( 2 ) 在对备择对象的比较中，最为常见的 为两两比较。在两两比较过程中，决策者往往会产生以下三种可能态 度：其中一个好于另外一个；两个彼此间无区别；两个是不可 比较的。偏好构模则是以普通关系作为基础对这三种态度进行描述的 l 四太原理工大学硕：l 学位论文 数学理论【5 1 。通过研究不同类型的偏好结构为实际中可能出现的各种 两两比较过程进行构模，从而为决策者面临类似问题时提供分析及最 终决策依据。随着决策科学的发展，所讨论的决策系统复杂性增加， 精确的数据往往很难获取，同时决策过程又离不开人的主观因素的参 与，许多数据都是专家打分或估值得到的，而传统数学面对这类数据 却无能为力。于是研究者们将模糊理论引入了两两比较过程，通过模 糊关系描述严格偏好、无区别关系及不可比关系【6 ，7 ”8 ，9 ，o ，相应地产 生了一些模糊偏好构模模型1 6 , 7 , 12 】。( 3 ) 以模糊关系矩阵为基础的模糊 综合评判1 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 ，它是对受多种因素影响的某事物进行评价的方 法，比如：评估某工程的设计质量，包括外观、结构、造价以及合理 性等；课堂的教学质量，像学生作业的好坏、课堂纪律、成绩等；还 有它在气象、工作方案的选择、农业经济以及教学等方面的应用。此 外，用模糊关系来描述模糊偏好下的选择问题1 1 8 , 1 9 , 2 0 ；在对模糊量的 比较中，模糊关系为众多研究者用作构造排序指标，形成了最大一类 排序方法 2 1 , 2 2 】，等等。 在对模糊关系及其应用的研究中，传递性的讨论占据着举足轻重 的地位。在模糊聚类分析中，必须修正相似矩阵，使其具有传递性性 质，以便进行合理的分类；在模糊选择中，传递性对于刻画选择函数 使其具有良好的性质具有重要意义；在模糊量排序中，传递性是进行 合理排序的基础；对模糊偏好构模而言，如何定义一些特殊的模糊偏 好结构，必须讨论所涉及到的关系的传递性性质，等等。由此可见， 传递性的研究在模糊决策的许多领域中是不可或缺的。 目前，由于不同的构模及其应用的需要，出现了很多与传递性有 关的性质。1 9 7 1 年，z a d e h 在模糊集理论【2 3 1 的基础上讨论模糊等价关 系和模糊排序时，首次把普通情况下的传递性概念推广到模糊情况下 四太原理t 人学硕士学位论文 取小运算的传递性概念，这是一种基于a 截集的推广【2 4 1 。1 9 8 4 年， o v c h i n n i k o v 为了研究传递模糊关系的表现定理的需要，将取小运算 推广到一般t 模，得到了所谓的r 传递【”1 。同时为了研究模糊关系的 余关系的传递性，相应产生了s 负传递性概念。1 9 8 6 年，o v c h i n n i k o v 为讨论模糊数序关系，在文 2 2 】中引入了tf e r r e t s 性质；1 9 9 1 年， 他又对模糊关系的各种性质进行了全面的讨论，其中包括取大一取小意 义下的f e r r e r s 性质【1 们。1 9 9 4 年，f o d o r 用般的t 余模s 取代取大运 算进一步将tf e r r e r s 性质推广为r sf e r r e t s 性质【6 】。与此同时， f o d o r 还将普通情况下的半传递性概念推广到t s 半传递性概念。以 上所提到的传递性概念都是建立在t 模及t 余模基础上，为方便起见， 我们将它们统称为第一类传递性性质。 另外在模糊量排序以及模糊偏好下选择问题中，对一个模糊关系 r ，r ( x ，y ) 常描述“x 不差于y ”的程度，故常比较r ( x ，y ) 及r ( y ，x ) 以 分析x 与y 的优劣，相应地引入了另一类完全不同的传递性概念。这 些概念包括：( 1 ) 弱传递性，由k o l o d z i e j c z y k 【2 6 】在1 9 8 6 年研究模糊量 的序关系时提出：( 2 ) 一致性，1 9 8 6 年n a k a m u r a 在文 2 7 中针对互反 关系实际使用了该概念；1 9 9 4 年，o k 明确提出了该概念 2 8 】：另外， 必须指出：b a n e r j e e 在讨论o r l o v s k y 选择函数时，提出的传递2 概 念，实际上就是一致性1 2 9 】：( 3 ) 非循环性，m o n t e r o 等在文【3 0 】中首次 提出的非循环性概念，该概念在研究选择问题时起着重要作用d 8 ；( 4 ) 强传递性，为保证一致性，o k 提出的一类非常强的传递性性质1 2 8 1 。 我们将这一类传递性统称为第二类传递性。 下面我们简要回顾一下对这些传递性本身的研究概况。 关于模糊关系运算的传递性的研究。在文【1 0 】中，针对传递性和 四太原理t 火学硕士学位论文 负传递性，讨论了模糊关系月与其对偶关系胄4 之间的关系。文 2 2 】针 列，传递、s 负传递性，也讨论了模糊关系r 与其对偶关系r “之间的 关系。文【6 讨论了具有丁传递性的两个模糊关系的t 模交也具有了1 传 递性。总的来看，对模糊关系运算的传递性的讨论是零星的。本文将 对模糊关系一元及二元运算的传递性进行较为全面的讨论。 关于传递性性质问联系的研究。对第二类传递性性质之间的关 系，在文2 9 中已有详细论述，但针对第一类概念之间的联系的讨论， 在文【6 】中，证明了( 1 ) 一个具有自反和r s 半传递( 或，一s f e r r e r s ) 性的模糊关系能保证其具有s 负传递性；( 2 ) 一个具有非自反和t s 半 传递( 或r sf e r r e r s ) 性的模糊关系能保证其具有丁传递性：( 3 ) 一 个具有非对称和s 负传递性的模糊关系能保证其具有丁传递性；( 4 ) 在 连续d e m o r g a n 三元组以及是强非的条件下，一个具有s 强完全和 r 传递性的模糊关系能保证其具有s 负传递性；并且一个具有丁非对 称和s 负传递性的模糊关系能保证其具有丁传递性。与普通关系对应 的结论相比差之甚远。本文不仅通过反例说明了文【6 中第四个结论是 不正确的，而且在不同条件下详细讨论了传递性性质之间的联系。 关于模糊严格偏好关系的传递性研究。1 9 7 8 年，o r l o v s k y t 8 】首次 将模糊偏好的概念引入模糊决策中，并讨论了模糊严格偏好关系传递 性条件。此后一些研究者又给出了一些不同严格偏好关系的定义【1 1 1 2 ， 1 9 ，3 1 ，3 2 ，”1 。特别在文【9 】中，o v e h i n n i k o v 不仅给出模糊严格偏好关系的 定义，而且还详细讨论了它的传递性。1 9 9 1 年，o v c h i n n i k o v 和r o u b e l l s 提出了一个较为一般的模糊偏好关系的定义【9 1 ，并且详细讨论了它的 一个传递性。鉴于传递性对于备择对象的选择及排序都具有特别重要 的意义。2 0 0 1 年王绪柱对o v c h i n n i k o v 和r o u b e n s 所定义的严格偏好 四太原理工大学硕| j 学位论文 的第二类传递性之间关系进行了全面讨论1 3 4 j 。 最后，关于模糊大偏好、严格偏好及无区别关系的传递性之间的 关系的研究。1 9 8 1 年，o v c h i n n i k o v 对由合理决策理论所产生的模糊 关系的结构进行研究，并具体全面讨论v 一偏好中的大偏好关系和严 格偏好关系传递性及其之间的关系，同时举例说明了传递性在构造 “好”决策函数和决策理论【2 0 】中的重要作用【9 1 。1 9 8 7 年，d u t t a 在文 【3 7 】中讨论了大偏好的了1 传递特别是m i n 传递、传递与严格偏好、 无区别关系的传递性之间的关系。1 9 9 2 年，f o d o r 系统全面探讨了怎 样构模并提出大偏好关系、无区别关系、不可比关系的公理化定义1 1 2 j 。 作为它的一个特例，1 9 9 4 年，d e b a e t s 等在文 7 】中陈述了一个严格偏 好关系具有非对称性的模糊偏好结构的定义，并详细讨论了其在没有 刁i 可比关系的情况下大偏好关系和严格偏好关系之间传递性性质问 的联系。他们在文【3 s 所定义的模糊偏好结构的基础上讨论了其模糊 大偏好关系和模糊严格偏好关系具有同类7 1 一sf e r r e r s 关系【3 6 】。但这 些讨论只限于一些特殊偏好构模唧，o 川，且仅局限于特殊t 模 7 , 3 6 , 3 8 】。 本文在f o d o r 公理框架下定义了一个模糊偏好结构，并全面地讨论在 没有不可比关系条件下大偏好、严格偏好以及无区别关系的传递性性 质间的联系。 1 2 基本概念 定义1 1 设爿、占为论域，若r ：a x b 一【o ，1 】，则称r 是a 到b 的模 糊关系；若a = b ，则称矗是a 上的模糊关系。 本文所涉及的模糊关系r 均为a 上模糊关系，即r ：a 4 寸【0 ，1 。 四太原理t 大学硕士学位论文 定义1 2 设妒： 订，b 】- - , x 日，6 】，若妒是严格单调增加的连续函数且满足： 伊( 口) = a ，妒( 6 ) = b ，则称妒是 口，b 】上的一个自同构。 例如：妒( x ) = x 及妒( x ) = z2 均为【0 , 1 上的自同构。 定义1 3 设t ：【0 ，1 】 o ，1 】_ o ，l 】，若r 满足： ( i ) 搬【o ，1 】，t o ，= x ； ( i i ) v x ，y 0 , 1 ，t ( x ，y ) = t ( y ，x ) ； ( i i i ) 若x “，y v ，贝0 r ( x ，y ) t ( u ，v ) ( i v ) 觇，y ，z 0 ，1 】，t ( t ( x ，y ) ，z ) = t ( x ，t ( y ，z ) ) 。 则称r 是一个，模( f - n o r m ) 。 若r 是一个，模且v x ，y ( o ，】) ，均有t ( x ，y ) 0 ，则称丁是正的。 本文要用到的，模有： ( 1 ) t ( x ，y ) = m i n ( x ，y ) ，简记为t = m i n ； f x ( 2 ) t ( x ，y ) = y 1 0 ( 3 ) t ( x ，y ) = m a x ( x + y 一1 ，o ) ，该f 模通常称为l u k a s i e w i c zf 模，简记 为，= ： ( 4 ) t ( x ，y ) = x y ，简记为t = n 。 定义1 4 设s ： o ，l 】【o ，l 】_ 【0 ，1 】，若s 满足： ( i ) v x 【0 ，l 】s ( o ，x ) = x ； ( i i ) v x ，y 【0 , 1 】，s ( x ，y ) = s ( y ，x ) 6 = 为记简 川州鸵 ( i i i ) 若x “，y v ， n s ( x ，y ) s ( u ，v ) ( i v ) v x ，y ，z 【o ，1 ， s ( s ( x ，y ) ，z ) = s ( x ，s ( y ，z ) ) 。 则称s 是一个r 余模( ，一c o n o r m ) 。 若s 是一个t 余模且3 x ，y ( 0 ，1 ) ，使得s ( x ，y ) = 1 ，则称s 是幂零的。 本文要用到的t 余模有： ( 1 ) s ( x ，y ) = m a x ( x ，y ) ， 简记为s = m a x ； 信 ( 3 ) s ( x ，y ) = m i n ( x + y ，1 ) ，该t 余模称为l u k a s i e w i c z ，余模，简记为 s = 睨； ( 4 )s ( x ，y ) = x + y x y ，简记为s = n 1 。 另外，若，是一个f 模，妒是一个 0 , 1 上的自同构，定义f 模丁的妒 变换：v x ，y 【o ，1 】，瓦( x ，y ) = p 一1 ( r ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) ，则乙仍为f 模”。 例如，( 1 ) 当丁为l u k a s i e w i c zt 模时， 艺( x ，y ) = 妒一1 ( r ( 妒( x ) ，p ( y ) ) ) = p 一1 ( m a x ( 伊( x ) + 妒( y ) 一1 ，o ) ) ， 该r 模将简记为瓦= ； ( 2 ) 当t = m i n 时， t a x ，y ) = 妒一1 ( ，( p ( 工) ，妒( y ) ) ) = 妒一1 ( m i n ( 妒( x ) ，伊( 力) ) ； ( 3 ) 当t = 1 3 时， l ( x ，y ) = 伊。1 ( r ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = 伊“( 伊( x ) p ( y ) ) 。 7 & = s 为汜简 蓦鸵 四太原理工大学硕士学位论文 类似可定义：若s 是一个t 余模，妒是一个【o ，1 】上的自同构，定义 f 余模s 的妒变换：v x ，y o ，1 】，s a x , y ) = 妒_ 1 ( s ( 妒( ，妒 ) ) ) ，则咒仍 为f 余模”。 例如，( 1 ) 当s 为l u k a s i e w ic z ，余模时， & ( x ，y ) = ( 0 - 1 ( s ( p ( x ) ，妒( 力) ) = p 一1 ( m i n ( t p ( x ) + p ( y ) ，1 ) ) ， 该，余模将简记为s 。= 吧； ( 2 ) 当s = m a x 时， s ，( x ，y ) = ( 0 - 1 ( s ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ) = ( 0 - 1 ( m a x ( 妒( 工) ，妒( y ) ) ) ： ( 3 ) 当s = n 时， s ，( x ，y ) = 妒一( s ( 伊( z ) ，妒( y ) ) ) = 伊一1 ( 妒( x ) + p ( y ) 一妒( x ) 妒( y ) ) 。 定义1 5 设门：【0 ，1 】寸 0 ，l 】，若n 单调减且满足边界条件： n ( o ) = l ，n ( 1 ) = 0 则称玎是一个非。若一个非门严格单调减且连续，则 称玎是一个严格非。若n 是一个严格非，且满足复原律： v x o ，1 】，胛0 ( x ) ) = z ，则称”是一个强非。 例如：n ( a ) = 1 口( v a o ，1 】) 即为一个强非，该非通常称为标准非 ( s t a n d a r dn e g a t i o n ) 。 另外，n 是一个非，伊是一个 o ，l 】上的自同构，定义：v x 【o ，1 】， 押，( x ) = 妒1 ( 1 一伊( z ) ) ，则容易验证肝，是个强非。 定义1 6 下面定义本文中所涉及的模糊关系的有关性质： 设月是a 上的模糊关系， ( 1 ) 自反：v a a ，r ( a ，a ) = l ； r 塑查堡墨三查堂婴：! 堂些堡苎 _-。_“-_一 ( 2 ) 非自反：v a a ，r ( a ，a ) = 0 ； ( 3 ) t 反对称：v a b ，丁( r ( 口，6 ) ，r ( b ，。) ) = 0 特别地， 当t = m i n 时，称为反对称： ( 4 ) t 非对称：v a ，b a ，t ( r ( a ，6 ) ，r ( 6 ，a ) ) = 0 特别地， 当t = m i n 时，称为非对称； ( 5 ) s 完全：v a b ，s ( r ( a ，6 ) ，r ( b ，口) ) 一一1 特别地， 当s = m a x 时，称为完全： ( 6 ) s 强完全：v a ，b a ，s ( r ( a ，6 ) ，r ( b ，日) ) = l 特别地， 当s = m a x 时，称为强完全； 定义1 7 本文所涉及的传递性有关概念定义如下： ( 1 ) t 传递：v a ，b ，c a ，r ( a ，c ) t ( r ( a ，6 ) ，r ( b ，c ) ) 特别地， 当t = r a i n 时，称为传递； ( 2 ) s 负传递：v a ，b ，c a ，r ( a ，6 ) s ( r ( a ，c ) ，r ( c ，6 ) ) 特别地， 当s = r f i a x 时，称为负传递； ( 3 ) r s 半传递：v a ，b ，c ，d a ，t ( r ( a ，d ) ，r ( d ，6 ) ) s ( r ( a ，c ) ，r ( c ，6 ) ) 特别地，当t = m i ns = m a x 时，称为半传递； ( 4 ) r sf e r r e r s 关系：v a ，b ，c ，d a ， t ( r ( a ，6 ) ，r ( c ，d ) ) s ( r ( a ，d ) ，r ( c ，6 ) ) 特别地，当t = m i ns = m a x 时，称为f e r r e r s 关系； ( 5 ) 一致：v a ，b ，c a ， r ( a ，b ) r ( b ，打) 且r ( b ，c ) r ( c ，b ) jr ( a ，0 r ( c ，4 ) ； 9 四太原理二r 大学硕士学位论文 ( 6 ) 弱传递：v a ，b ，c a ， r ( a ，b ) r ( b ，a ) 且r ( b ，c ) r ( c ，b ) r ( a ，c ) r ( c ，a ) ( 7 ) 强传递：v a ，b ，c a ， 对r ( a ，b ) r ( b ，口) ；r ( a ，c ) r ( b ，c ) 且r ( c ，口) r ( c ，b ) ( 8 ) a 循环：v 甜1 ，d 2 ，d 。a ， r ( a l ，a 2 ) r ( a 2 ，a i ) ，r ( a z ，a 3 ) r ( a 3 ，a 2 ) ，r ( a 。一1 ，a 。) r ( a 。，a n 1 ) j r ( a i ，口。) r ( a 。，口1 ) 。 对于上面性质的概念，各文献所使用的术语不尽相同，上述的定义 ( 1 ) 一( 4 ) 可参考文献 6 ，其余的参考文献 3 4 。以下我们将称( 1 ) 一( 4 ) 为第一类传递性，( 5 ) 一( 8 ) 为第二类传递性。 定义1 8 设r 、s 分别为t 模及f 余模，胛是一个严格非 n ( s ( x ，j ，) ) = r ( n ( x ) ，胛( y ) ) ( v x ，y 0 ，1 ) ， 则称( t ，s ，n ) 为一个d em o r g a n 三元组。 若t 、s 分别为连续的f 模及f 余模，则称( t ，s ，n ) 为连续的d em o r g a n 三元组。 若存在单位区间上的自同构妒，满足协，y 0 ，1 】， t ( x ，y ) = 妒一( m a x ( 伊( x ) + 妒( y ) 一1 ，0 ) ) ； s ( x ，y ) = 妒叫( m i n ( 妒( x ) + p ( y ) ，1 ) ) ； n ( x ) = 妒“( 1 一p ( x ) ) ， 则称d em o r g a n 三元组( 丁，s ，) 为强d e m o r g a n 三元组， 即 1 0 四太原理工人学硕：学位论文 ( ，。，) 称为强d em o r g a n 三元组。 若存在单位区间上的自同构p ，满足垤，y 0 ，1 】， r ( x ，y ) 2 妒一( 妒( x ) 妒( y ) ) ； s ( x ，y ) = 妒。( 妒( x ) + f p ( y ) 一妒( x ) 妒( j ，) ) ； n ( x ) = p “( 1 一p ( x ) ) ， 则称d em o r g a n 三元组( 7 1 ，s ，_ ) 为严格d e m o r g a n 三元组。 注1 对强d em o r g a n 三元组( 7 1 ，s ，) 有下列结论： ( 1 ) 月为s 完全铮妒( r ( 口，6 ) ) + p ( r ( 6 ，d ) ) 1( v a b ) ； ( 2 ) 尺为r 反对称妒( r ( 口，6 ) ) q - 妒( r ( 6 ，口) ) 1 ( v a 6 ) ； ( 3 ) r 为，非对称妒( r ( 日，6 ) ) + 妒( r ( 6 ，n ) ) l ( v a ，b a ) ； ( 4 ) 五为丁传递曹e ( r ( a ，6 ) ) 妒( r ( 日，c ) ) 十e ( r ( c ，6 ) ) 一1 ( v a ，b ，c 一) ； ( 5 ) 月为s 负传递铮伊( 月( 盯，c ) ) + 伊( r ( c ，扫) ) 妒( r ( 口，6 ) ) ( v a ，b ，c 爿) ； ( 6 ) 矗为t s 半传递 妒( 月( 口，d ) ) 4 - e ( r ( d ，6 ) ) 矿( r ( 口，c ) ) + e ( r ( c ，6 ) ) 一1 ( v a ，b ，c ，d 仨彳) ； ( 7 ) 月为r sf e r r e r s 关系 c 妒( 矗( 口，j ) ) + 妒( 矗 ，6 ) ) 妒( 矗( 盘，6 ) ) + 妒( 矗( c ，d ) ) 一i ( v a ，b ，c ，d a ) 。 证明：这里只证明( 1 ) ，( 6 ) ，其它类似可证。 ( 】) 因为月为s 完全，所以v a b ，s ( 月( 口，功，r ( b ，口) ) = 1 ，又因为 ( r ，s ，) 是强d em o r g a n 三元组，所以睨( 矗( 口，6 ) ，r ( b ，日) ) = 1 ，即 ( p - i ( m i n ( 妒( 月( 口，6 ) + 伊( 尺( 6 ，口) ) ，1 ) ) = l ，故妒( r ( 口，6 ) ) + 妒( r ( 6 ，口) ) 1 。反过 1 1 四太原理工大学硕士学位论文 来，因为v a b ，妒( r ( 口，6 ) ) + 妒( 月p ，口) ) l ，所以 妒一( m i n ( 伊( r ( 口，6 ) + 妒( 月( 6 ，口) ) ，1 ) ) = 1 ，即( r ( d ，6 ) ，r ( b ，口) ) = 1 ， 又因为( 丁，s ，) 是强d em o r g a n 三元组，故 v a 6 ，s ( r ( a ，6 ) ，r ( b ，口) ) = 1 ，即尺为s 完全。 ( 6 ) 因为r 为t s 半传递，所以v a ，b ，c ，d a ， t ( r ( a ，c ) ，r ( c ，6 ) ) s ( r ( a ，d ) r ( d ，6 ) ) ，又因为( r ，s ，) 是强d em o r g a n 三 元组，所以( 月( d ，c ) ，尺 ，6 ) ) ( r ( 口，d ) ，r ( d ，6 ) ) ，即 伊_ ( m a x ( 妒( r ( 口，c ) ) + p ( r ，6 ) ) - 1 ，o ) ) 尹( m i n ( o ( r ( a ，d ) ) + 妒( r ( d ，6 ) ) ，1 ) ) 故妒( 月( 口，d ”+ 妒( 矗( d ，6 ”妒( 矗( 口，f ) ) + 妒( 月( g 6 ”- 1 。反过来，因为 v a ，b ，c ，d a ，妒( r ( 口，d ) ) + p ( r ( d ，6 ) ) p ( r ( a ，c ) ) + e ( r ( c ，6 ) ) - 1 ，所以 妒- 1 ( m a x ( p ( r ( a ，e ) ) + p ( r ( c ，6 ) ) - 1 ，0 ) ) ( p - j ( m i n ( 9 ( r ( a ，d ) ) + e ( r ( d ，6 ) ) ，1 ) ) ， 即( 兄( n ，c ) ，尺( c ，6 ) ) ( r ( d ，d ) ，r ( d ，6 ) ) t 又因为( r ，s ，) 是强d e m o r g a n 三元组，故v a ，b ，c ，d a ， t ( r ( a ，c ) ，r ( c ，6 ) ) s s ( r ( a ，d ) r ( d ，6 ) ) ，即r 为r s 半传递。 定义1 9 设置，r 2 ，只是a 上的模糊关系，( r ，s ，胛) 是d em o r g a n 三 元组，对v a ，b a ，定义它们的些基本运算如下： 模交n ，：( r ln7r 2 ) ( d ，b ) = t ( r 1 ( 口，6 ) ，r 2 ( 口，6 ) ) ； 模并u s ： ( r lu s 月2 ) ( 口，b ) = s ( r l ( 口，6 ) ，r 2 ( 拧，) ； r 的余月。：月。( 臼，b ) = n ( r ( a ，6 ) ) ； r 的逆r ：r 。( 口，6 ) = r ( b ，a ) ； r 的对偶r 4 ：r 1 ( 口，6 ) = n ( r ( b ，口) ) ，特别地，当厅= n q , 时，我们 将r “记为r - 4 。 1 2 四太蟓理工大学硕l 学位论文 容易证明这些运算具有下列性质”9 ( 1 ) r = r r - i ) ； ( 2 ) 尺4 = ( r ) 。1 = ( r - 1 ) 。； ( 3 ) 若n 满足复原律，则月= ( r 。) 。 臼口太原理了：大学硕：i 学位论文 第二章模糊关系运算的传递性 本章主要讨论模糊关系运算的传递性性质。首先在给定一个模糊 关系具有某种传递性性质的基础上，讨论其一元运