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有限元领域中模型态的选择研究 摘要 有限元仿真分析软件是一种广泛应用于工程技术各领域的科学计算软件， 针对实际问题建立合适的模型是应用这类软件的首要工作。通常，为了使分析 结果尽可能精确，研究人员希望建立无限接近真实形体的模型，但真实形体中 某些特征的存在可能对网格质量和计算结果造成消极影响，甚至还会导致问题 不可解，而过于复杂的模型也将消耗大量的计算时间。 为建立合适的模型，在满足用户要求的精度的前提下尽可能提高计算效 率，论文引入多态模型理论，对模型态与计算精度之间的关系进行研究，通过 选择合适的模型态来取得结果精度与计算时间的平衡点。而模型态的质量直接 关系到计算效率的提升程度。论文对有限元领域中影响计算精度和时间的要素 进行了初步总结，在此基础上发现各要素之间存在相互制约的关系，并根据经 典的多目标问题解决方法将问题转化成单目标问题，建立模型态选择标准并使 用遗传算法选择出最优模型态。论文主要的研究内容包括： 1 ) 将多态模型理论引入有限元领域，通过建立科学的实验模型研究有限 元领域中模型精度、计算时间和计算精度之间的联系。 2 ) 通过分析科学实验计算结果，总结影响误差的要素。在此基础上提取 模型态选择要素，使用加权的经典多目标问题解决方法建立模型态量 化选择标准。 3 ) 在模型态选择量化标准的基础上，使用模型态选择算法进行最优模型 态的选择，指导用户选择最符合条件的模型态。 关键词：多态模型理论，模型态选择，多目标，遗传算法，有限元仿真分析软 件 本论文主要工作得到了国家自然科学基金项目“科学计算中面向建模的多态机理研 究”( 6 0 6 7 3 2 0 8 ) 和“协同模板中的约束信息可视化”f 6 0 5 7 3 1 7 4 ) 1 拘共同资助。 r e s e a r c ho nm u l t i - s t a t es e l e c t i o ni nf i n i t ee l e m e n tf i e l d s a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o na n a l y s i ss o f t w a r e ，a ss o m ek i n d so fs c i e n t i t l ec a l c u l a t i o n s o f t w a r e ，i sw i d e l ya p p l i e di nv a r i o u se n g i n e e r i n gf i e l d s t ou s ct h i sk i n do fs o f t w a r e ， p r o p e rm o d e l ss h o u l db eb u i l tf i r s t u s u a l l y , r e s e a r c h e r st e n dt ob u i l da ni d e n t i c a lm o d e la s t h er e a lo n ei no r d e rt og e tm o s ta c c u r a t er e s u l t s s o m ef e a t u r e so ft h er e a lm o d e lm a y b 矗n gn e g a t i v ee f f e c t st og i r d i n ga n dc o m p u t i n ga n de v e nm a k et h ep r o b l e mu n s o l v a b l e a n o v e r - c o m p l e xm o d e lw i l la l s oc o s tal o to fc o m p u t i n gt i m e 1 1 圮c o n c e p to fm u l t i s t a t e m o d e li si n l t o d u c e di n t of i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sf i e l do nt h ep r e m i s eo fs a t i s f y i n gt h e p r e c i s i o no ft h ec o n s u m e r s r e q u i r e m e n t s t og e tt h eb a l a n c eb e t w e e nr e s u l tp r e c i s i o na n d c o m p u t i n gt i m e ，p r o p e rm o d e ls t a t ei st ob es e l e c t e do nt h e b a s i so fr e s e a r c ho nt h e r e l a t i o n s h i pb c t w e o nm o d e ls t a t ea n dr e s e tp r e c i s i o n n ”i m p r o v e m e n to fc o m p u t i n g e f f i c i e n c yi sd i r e c t l yr e l a t e dt ot h eq u a l i t yo fm o d e ls t a t e f a c t o r st h a th a v ee f f e c t so n c o m p u t i n gp r e c i s i o na n dt i m ea r ep r e l i m i n a r i l ys u m m a r i z e d ，w h i c hi n f e r sr e l a t i o n s h i p st h a t e x i s ta m o n gf a c t o r s m u l t i o b j e c t i v ep r o b l e m sc a l lb et r a n s f e r r e dt os i n e j e - o h j e c t i v e p r o b l e m sa c c o r d i n gt oc l a s s i c a lm u l t i o b j e c t i v er e s o l u t i o n 1 1 圮m o s ta p p r o p r i a t em o d e l s t a t ew i l lb eg a i n e db yu s i n gs e l e c t i o na l g o r i t h ma f t e rt h ee s t a b l i s h m e n to fs e l e c t i o n c r i t e r i o n t h em a i nc o n t e n to f t h et h e s i ji n c l u d e s ： 1 ) m u l t is t a t em o d e lt h e o r yi si n t r o d u c e dt of i n i t ee l e m e n tf i e l d s r e l a t i o n s h i pa m o n g m o d e lp r e c i s i o n ，c o m p u t i n gt i m ea n dr e s u l tp r e c i s i o ni sr e s e a r c h e db yb u i l d i n g s c i e n t i f i ce x p e r i m e n t a lm o d e l s 硼1 cp r e d i c t i v ef a c t o r st h a th a v ee f f e c to nr e s u l tp r e c i s i o na r ev a l i d a t e dt h r o u g h a n a l y s i so fc o m p u t i n gr e s u l t sf r o ms c i e n t i f i ce x p e r i m e n t s ，w h i c hh e l p se x t r a c t m o d e ls t a t es e l e c t i o nf a c t o r s 1 1 l es e l e c t i o nc r i t e r i o ni sc r e a t e d c o n s i d e r i n g c l a s s i c a lm u l t i p l eo b j e c t i v em e t h o d 3 ) m o d e ls t a t es e l e c t i o na l g o r i t h mi su s e dt os e l e c tt h eb e s ts t a t ea f t e rt h es e l e c t i o n c r i t e r i o ni sc r e a t e d ，w h i c hw i l lh e l pu s e r ss e l e c tt h em o s ta p p r o p r i a t em o d e ls t a t e k e y w o r d s ：m o d e ls t a t em o d e lt h e o r y , m o d e ls t a t es e l e c t i o n ，m u l t i o b j e c t i v e ，g e n e t i c a l g o r i t h m , f i n i t es i m u l a t i o ne l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r e 插图清单 图2 - l 多态模型总体框架图4 图2 2 模型态生成三种方式4 图2 3 态的选择变迁数学模型示意图5 图2 - 4 基于特征抑制的模型态选择示意图6 图3 1 整体模型划分示意图二l o 图3 - 2 模型a ( b ) ，c ( d ) 及对应的简化模型1 0 图3 3 含不同特征方位的模型1 l 图3 4 含开孔特征的模型所有可能载荷添加1 2 图3 5f 、r 面添加载荷示意图1 3 图3 6l 、r 面添加载荷示意图。1 3 图3 7l 、f 、r 面添加载荷示意图1 4 图3 8 带有开孔特征和开槽特征的模型示意图1 5 图3 9 孔特征的e p 对v 的散点图1 7 图3 1 0 槽特征的e p 对d 的散点图1 7 图3 1 1 当特征距离比小于等于0 4 时孔特征的e p 对v 的散点图1 8 图3 1 2 当特征距离比大于0 4 时孔特征的e p 对v 的散点图1 8 图3 1 3 槽特征的e p 对v 的散点图2 2 图3 1 4 槽特征的e p 对d 的散点图2 2 图3 1 5 当特征距离比小于等于0 4 时槽特征的e p 对v 的散点图2 3 图3 1 6 当特征距离比大于等于0 4 时孔特征的e p 对v 的散点图2 3 图3 1 7 当特征距离比小于等于0 4 时孔特征的e p 对d 的散点图2 4 图3 1 8 当特征距离比大于等于0 4 时孔特征的e p 对d 的散点图2 4 图4 1 模型态编码示意图3 l 图4 2 c h c 算法的选择流程图3 l 图4 3 c h c 算法的交叉过程 图4 4c h c 算法的变异过程3 3 图4 5c h c 算法的总体流程3 4 图5 1 模型态选择系统功能图3 5 图5 2 柱面、环面、球面和s p l i n e 过渡面示意图3 7 图5 3 过渡面基类结构3 7 图5 4 环面过渡面类结构3 7 图5 5 模型态选取示意图3 9 图6 - 1a c i s 类层次结构图4 2 图6 - 2 导入原始模型4 4 图6 3 进行过渡面特征抑制后的模型4 4 图6 4 模型态选择过程4 5 图6 5 最优模型态4 5 表格清单 表3 1 材料在热领域中的各项参数9 表3 2 实验模型信息设定1 0 表3 3 相同载荷面、不同特征方位的计算结果1 1 表3 4 模型中f 、r 面添加载荷结果1 3 表3 5 模型中l 、r 面添加载荷结果1 4 表3 6 模型中l 、f 、r 面添加载荷结果1 4 表3 7 通孔特征实验结果1 6 表3 8 孔特征模型( 3 2 ) 的计算结果1 9 表3 9 孔特征模型( 3 3 ) 的计算结果2 0 表3 1 0 孔特征模型( 3 - 4 ) 盼计算结果2 0 表3 1 1 开槽特征实验结果2 1 表3 1 2 槽特征模型( 3 2 ) 特征距离比小于0 4 的计算结果。2 5 表3 1 3 槽特征模型( 3 - 2 ) 特征距离比大于0 4 的计算结果。2 5 表4 1 口值选取实验结果3 0 表6 1 管状支架模型的所含特征的特征体积比4 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 盒目b 王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刍矗) ：啦签字胁呼如尸日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目b 王些太芏有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金胆三些太堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 黜名刊吖 辩醐岬棚1 日 电话： 邮编； 缸吣 名 年 雒唧 作 0 文 期 沦 日 位 字 学 签 致谢 值此论文完成之际，我要感谢长期以来一直对我提供帮助的老师和同学。 首先我要感谢我的导师刘晓平教授。本论文的工作是在他的直接指导下完 成的。三年来，他不仅在学习研究上给予我耐心细致的指导，同时也对我的生 活给予了无微不至的关怀，他严谨的治学态度、勤奋的工作作风、对问题实质 的准确把握以及对新研究领域的探索精神，使我获益良多，对此我衷心感谢。 感谢v c c 研究室( 合肥工业大学计算机与信息学院可视化与协同计算研 究室) 的老师和同学们，他们对本论文的完成提出了很多宝贵意见，并对我的 研究工作给予无私的帮助。特别是与石慧、毛峥强、李书杰的合作，还有在 v c c 研究室傲毕业设计的王保舟同学和吴敏同学，本论文的工作也凝结着他们 的劳动成果，感谢他们在完成本论文的过程中给予的多方面的指导和支持。 感谢所有关心和帮助过我的老师、同学和朋友们，在我的研究工作中也凝 聚着他们的关心和友谊。 我能够顺利完成本论文，也归功于我的家人对我的鼓励和殷切关怀。 最后，向本文中所引用文献的作者们表示感谢! 金灿 2 0 0 7 6 第一章绪论 本章介绍了有限元计算的应用领域，强调了建模过程在分析中的重要地 位，在此基础上总结了模型简化技术的发展，分析了在有限元计算领域内引入 多态模型理论进行模型简化的必要性和意义，最后对论文的主要内容进行了概 括。 i , i 研究背景 随着计算机技术的日益普及，计算机工具对提高社会生产力发挥了越来越 重要的作用，特别是c a d c a e c a m 在工业界日益成熟和普及，极大地提高了 工业界设计和生产的效率。采用有限元分析技术及基于有限元分析的优化技 术，能够改进结构设计参数，使其在满足强度和刚度的情况下具有最合理的结 构。 有限元分析法( f e a ) 是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现 代计算方法。它是5 0 年代首先在连续体力学领域( 飞机结构静、动态特性分 析) 中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快应用于求解热传导、电磁场 和流体力学等连续性问题。 有限元法的物理实质是用由有限个在节点处相连接的单元组成的组合体 近似替代一个连续体，从而把连续体的分析问题转化为单元分析和单元组合的 分析问题。有限元法和计算机的结合，产生了巨大的威力，使过去不可能进行 的一些大型复杂结构的分析变成了常规的计算。 要进行有限元分析，首先要建立待分析物体的几何模型。模型可以在有限 元软件里建立，也可以利用c a d 建模软件建立然后导入有限元软件。几何模 型的好坏将直接影响到分析结果的质量。通常分析人员倾向于建立尽量精确的 几何模型，以求得到尽可能精确的解，但是这么做会产生巨大的计算量并将导 致网格质量的下降【卜3 1 ，所以对模型进行一些处理是必要的。 几何模型建好后，就可以选择合适的单元类型和设定材料属性，接着进行 单元剖分，即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型。离散后单元 与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应 根据问题的性质而定。有限元中分析的结构己不是原有的物体或机构物，而是 由众多单元以一定方式连接而成的离散物体。如果划分单元数目足够多且合 理，则所获得的结果将符合实际情况。 最后，通过添加载荷和设定计算参数即可进行分析。 1 2 问题提出 在使用专业的有限元分析软件进行模拟的过程中，几何建模是首要的步 骤，但是一般来说，几何建模的过程要花费很长时间。同时，建模不必追求无 限的精度，因为高精度模型将耗费巨大的计算资源，而且不一定会得到高精度 结果，甚至会导致问题太过复杂而不可解。 因此有必要对几何模型做适当的简化以缩短建模时间，提高计算效率。目 前，一些有限元分析软件已经具有从专业化的c a d 软件中直接输入实体模型， 再使用该软件中特定的中性面抽取工具提取中性面进行计算的功能，但是在制 品的结构较为复杂时会产生诸多问题。 大多数的研究人员认为，有限元领域中简化的主要对象是与整个模型的尺 度相比较可以忽略的细微结构。研究表明，如果材料数据准确，模型简化得当， 获得比较可信的分析结果是完全可能的。并且使用分析结果作为工艺数据指导 实际生产也是有意义的。 1 3 国内外研究现状概述 为了提高科学计算的效率，国内外的研究人员已经对原始模型改造方法方 面做了大量研究工作，文献【4 1 提出了在车辆仿真中计算时间和计算精度之间是 一对矛盾体的思想，并定量分析了网格密度划分对计算结果和计算时间的影 响。在有限元领域，文献【5 】分析了3 d 模型中的过渡面特征对网格划分和计算 的影响，文献【6 】提出了3 d 模型中的几种细小特征的识别和抑制方法，文献【7 】 系统、定量地比较了3 d 模型处理细小特征前后的网格划分质量，并得出结论： 改造后的模型在网格划分的各个指标上均优于改造前的模型。文献【8 】引入 h a u s d r o f f 距离作为局部误差估计的依据，根据此距离来决定细节特征是否应该 被抑制。文献【9 】分析了圆角过渡面对模型拓扑结构和几何结构造成的影响，并 提出了抑制这种特征的方法。b d a z i z 【lo 】等提出基于语义信息的处理方法，通过 特征删除简化模型，这种处理方法需要对不同的分析领域建立不同的专家知识 库。l e e ( 1 i i 提出一种c a d c a e 一体化的方法，根据不同的l o d 和l o a 标准， 通过对细节特征的删除以及降维，为c a e 建立具有不同的细节层次和抽象层 次的模型。 虽然研究人员在简化模型的问题上已经有了一定的研究工作，但仅仅是对 模型中的一些细小特征进行处理，而且没有对删除细节特征后的影响进行量化 估计。为了正确估计特征对结果的影响程度，进一步提高计算效率，取得计算 时间和精度的平衡点，文献【1 2 ，1 3 】中引入多态模型理论，并且该理论已经在 m c n p 中得到了初步应用。在该文献中，依据系统论的观点，将模型看作一个 系统，模型中的几何特征作为组成系统的要素，研究了由于几何要素变化而导 致的模型态变化以及对结果产生的量化影响。但在该文献中模型态选择要素单 一，基于此的模型态选择算法简单，因此极需完善。 根据多态模型理论，原始模型经过简化后得到的满足计算精度的模型态数 量很多，如何在众多的模型态中选取最符合用户要求的态关系到能否在计算结 果的精确程度与耗费计算资源大小之间取得平衡点，这也是在计算机辅助建模 2 领域引入多态模型理论的根本目的 1 4 1 5 】。而选取高质量模型态的前提是抽象出 合理的模型态选择要素，形成科学的选择标准。选择要素是以对计算结果精度 的影响为原则提取的，而在有限元领域中，影响结果精度的因素可能不止一个， 因此如何确定各要素对结果的影响程度以及在多要素中如何取得一致是多态 模型理论的工作重点。 m c n p 和有限元分析软件的应用同属于c a e 范畴，在规律总结上具有一 定的共性，但在有限元领域中又有其独有的特点。根据有限元理论，分析结果 相对于实际结果的精度由网格直径大小( 单元边长) 、结果分布函数及模型本 身的体积三个要素共同决定。基于有限元的这一结论，可将特征的体积、位置 作为模型复杂度的固定衡量标准及模型态质量评价的几何要素；将载荷的方 位、大小等作为影响结果的环境要素，对有限元领域内的规律进行进一步探索。 综合考虑环境要素和几何要素对结果的影响，建立科学的模型态选择标准，将 为正确有效地选择模型态打下良好基础。 多态模型理论的研究内容是如何通过合适的模型改造，使得应用有限元软 件对改造后模型进行分析后得到的结果与应用原始模型进行分析的结果之差 在可容忍范围内。本文的研究目标可表述为：根据科学实验抽象出模型态选择 要素，在此基础上建立模型态选择标准，结合选择标准构建模型态选择算法。 找到合适的简化模型态进行计算，以获得商计算效率。因此，本文面向有限元 计算建模领域，总结模型态选择标准并建立模型态选择算法，选择最合适的模 型态。 1 4 论文主要内容 本文的主要内容包括以下几个方面： 1 对含有不同特征的模型制定科学实验方案，以a n s y s 为实验工具，热 传导问题为研究对象，通过分析实验结论，总结要素的相互作用对结 果精度的影响程度，在此基础上确定模型态评价函数。 2 针对多要素对模型态质量同时作用的情况，为了最大限度地实现各目 标，采用经典多目标问题解决方案，在此基础上利用遗传算法进行模 型态的选择。在满足用户需求精度的前提下最大限度地提升计算效率。 3 阐述模型态选择系统的框架，提出关键问题和解决方法。 4 给出应用模型态选择系统的应用实例。 5 根据理论和实验数据来说明有限但主要几种具体的过渡面特征对计算 结果仅仅具有局部影响；对已有的2 种特征；孔、槽在与载荷距离和 体积比2 个因素对计算结果的影响规律。 第二章多态模型理论 本章介绍了多态模型理论总体框架及基于特征抑制的模型态选择流程，并 给出了有限元领域中模型态的主要生成方式及变迁过程。 2 1 多态模型理论总体框架 在满足用户要求的计算精度的前提下，多态模型理论致力于选择具有高计 算效率的模型态。它已在蒙特卡罗科学计算程序m c n p 和有限元代表软件 a n s y s 中得到了初步应用。多态模型的总体框架如图2 1 所示。 图2 1 多态模型总体框架图 模型态是多态模型理论的核心概念，是根据原始模型衍生出来的与其几何 属性不同的模型。根据多态模型理论，结合有限元领域自身的特点，生成模型 态的方法主要有三种：特征移除、特征替换和降维。如图2 2 所示。 图2 2 模型态生成三种方式 4 图2 2 中，原始模型由上下两个平台组成，其中含有5 个开孔特征，如果 将开孔替换为正六棱柱则得到模型态( a ) ，如果抑制掉平台的2 个小圆柱孔则得 到模型态( b ) ，如果将底台降为二维则得到模型态( c ) 。 模型态生成之后，有一系列的变迁过程。如图2 3 所示，将系统模型态记 为m ，可描述为时瓴，正，) ，其中z o = 1 , 2 ，胛) 为其所包含的特征，为方便 桃m ， 起见记为m = z 。设= 二，为原模型态，m ，= 厶，( ，= l ，2 ，h ) 为转化 模型态。记各态计算代价( 例如计算时间) 为e ( m ，) ，( ，= o ，l ，2 ，一) 。若模型态 m ，到模型态m ，( f ，= o ，1 c n ，f ) 存在转化路径( 路径可能不唯一) ，设转化路 径集合为名，模型态m ，沿路径p ( p 只，) 转化为模型态膨，的转化代价( 例如 计算结果的误差) 记为c r ( 肘，山m ，) ，则模型态m ，到模型态肘，的最小转化 代价记为g 。( m m j ) = e i n c ，( m 山吖，) 。根据给定的转化代价阈值c 。， 可以取定满足转化代价阈值的模型态集合。= m ，l c r 。( m o 寸m ，) r ，有如下结论： 对开孔特征而言，当d = d - ( r r ) 时，模型m 和m 的计算结果相等。 固 廨回“ ，儡一 回一一。回一 对开槽特征而言，当d = d ( r r ) 时，模型m 和m 的计算结果相等 因此载荷面相对于模型的方位不同时，计算结果也存在等价关系，是可以 相互转化的。 由上述分析可知，实验结果的误差与模型的具体体积无关，与特征相对于 模型的方位也无关，因此定义科学的实验模型为：体积1 0 0 0 的立方体。 3 2 4 验证方案 影响有限元计算结果误差的因素分为几何要素和环境要素。下面分别从这 2 种要素分析，建立科学合理的实验方案。 环境要素主要是指复合载荷面的情况，研究如何将复合载荷面对误差产生 的影响分解转化为单面载荷对误差的影响的复合。因此建立的实验步骤： 1 分别建立含有开孔和开槽特征的模型，特征体积是任意的。 以孔特征为例，可能的复合载荷面添加情况如图3 - 4 所示。 l l 么载荷面 图3 4 含开孔特征的模型所有可能载荷添加 2 选择单元类型、模型材料参数并穷举可能的载荷添加情况。 a ) 选择s o l i d 8 7 单元，便于划分三角形网格； b ) 模型材料参数按照表l 设定； c ) 在面上添加4 5 0 度的恒定温度，在模型的所有节点上添加4 5 度的初 始温度，和对流系数为2 5 0 1 4 4 的热对流。 3 采用a n s y s 中的智能网格划分工具进行网格划分。 4 分析计算，得到结果。 如图3 4 所示，原始模型可能添加的载荷面为l 、f 、r 面。实验的目的是 在几何特征相同的情况下，找出添加多面载荷的模型删除特征面产生的误差与 添加单面载荷的模型删除特征面产生的误差之间的关系。为了使得结论具有任 意性，实验模型的长宽高比任意，因此对于图3 - 4 ( a ) 所示的模型，需要考虑图 3 - 5 所示的几种情况。 图3 5 中的( 1 ) 、( 1 - s ) 是对模型中的f 面单独添加载荷时的情况：( 2 ) 、( 2 s ) 是对模型中的r 面单独添加载荷时的情况；( 3 ) 、( 3 s ) 是对模型中的f 、r 面同 时添加载荷时的情况。现在要总结这三种情况下删除开孔对计算结果产生的误 差之间的规律。 励励龠雨 扇扇 ( 3 )o - s ) 图3 5f 、r 面添加载荷示意图 表3 4 模型中f 、r 面添加载荷结果 模型 计算结果简化结果 误差比 ( 1 ) 1 7 1 52 1 5 6 6 40 2 5 7 5 ( 2 ) 1 0 8 61 1 1 3 7 6 0 0 2 5 5 6 ( 3 ) 2 2 0 8 52 5 9 1 1 8 0 1 7 3 2 7 显然模型( 1 ) 、( 2 ) 的误差比之和与模型( 3 ) 的不相等。但是对结果做一定的 处理，设模型( 1 ) 的计算结果是置，对应的原始结果是r 。一。；模型( 2 ) 的计算结果 是r ：，对应的原始结果是r ：- 。：模型( 3 ) 的计算结果是玛，对应的原始结果是r 3 - o 。 脯旺掣= 0 1 6 7 5 8 掣一o - m 2 ，。 对于图3 - 4 ( b ) 所示的模型，需要考虑图3 - 6 所示的几种情况。 面面同口 uu 图3 6l 、r 面添加载荷示意图 根据表3 5 ，可知! 墨二鱼：! ! 塑! 二墨型! ：o 0 2 5 5 6 。b 二墨型i ：o 0 2 5 0 9 9 。 冠+ r ，尼 表3 5 模型中l 、r 面添加载荷结果 模型计算结果简化结果误差比 ( 1 )1 0 8 6 l l i 3 7 6 0 0 2 5 5 6 ( 2 ) 1 0 8 61 1 1 3 7 60 0 2 5 5 6 ( 3 ) 1 7 3 1 9 6 91 7 7 5 4 40 0 2 5 0 9 9 对于图3 - 4 ( c ) 所示的模型，需要考虑图3 7 所示的几种情况。 面同团囫口面 团园 卿(“) 图3 7l 、f 、r 面添加载荷示意图 表3 6 模型中l 、f 、r 面添加载荷结果 模型计算结果简化结果误差比 ( 1 ) 1 0 8 61 1 1 3 7 60 0 2 5 5 6 ( 2 ) 1 7 1 52 1 5 6 6 40 2 5 7 5 ( 3 ) 1 0 8 61 1 1 3 7 60 0 2 5 5 6 ( 4 ) 2 7 0 3 l3 0 5 6 2 6o 1 3 根据耠6 ，可知睦唑掣= 0 1 2 8 m 掣一o m 对开槽特征进行实验，也有此结论。因此将结论一般化，对模型中存在n 个载 荷面的情况，有坚 竺堂尘老等素皇兰专掣= 坚生云尘。 综上所述，添加复合载荷面的模型删除某个特征所造成的误差可以用添加 单载荷面的模型删除某个特征造成的误差表示。因此，在对几何要素进行实验 时，仅考虑添加单面载荷的情况。 几何要素包括特征体积比v 、特征距离比d 。对几何要素之间的关系进行 实验的目的是探寻删除特征造成的误差与特征几何属性之间的关系。因此建立 实验步骤如下： 1 建立二组模型，规定载荷面，每组中的模型仅包含一种特征( 开孔或 开槽) ，且对应的简化模型相同。而每一组中的模型的特征距离比d 和特征体积比v 大小不完全相同。 1 4 2 选择单元类型、模型材料参数并设定单面载荷添加的位置和大小。 a ) 选择s o l i d 8 7 单元，便于划分三角形网格； b ) 模型材料参数按照表3 1 设定； c ) 在面上添加4 5 0 度的恒定温度，在模型的所有节点上添加4 5 度的初 始温度，和对流系数为2 5 0 1 4 4 的热对流。 3 采用a n s y s 中的智能网格划分工具进行网格划分。 4 分析计算，得到结果。 实验模型采用体积为1 0 0 0 的立方体模型，如图3 8 所示。在模型上添加单 面载荷，3 - 8 ( a ) 是带有开孔特征的模型，3 - 8 ( b ) 是带有开槽特征的模型。 图3 8 带有开孔特征和开槽特征的模型示意图 从表3 7 的数据可以看出，特征离载荷面越远，与原始模型得到的结果就 越相近；反之，与原始模型的计算结果相差就越大。说明特征与载荷面间的距 离大小确实是影响结果的一个重要因素，同时当特征体积比相同，而特征位置 相似时，得到的结果也非常接近。分别作特征体积比v 和e p 以及特征距离比 d 和e p 之间的散点图( 如图3 - 9 ，3 - 1 0 ) 表3 7 开孔特征实验结果 模型 特征体积比( v )特征距离比( d )计算结果( r )简化结果( r o ) 误差比饵p ) l0 0 3 1 4o 31 0 9 1 7 8 61 2 9 3 4 4o 1 8 4 7 20 0 3 1 4 o 51 2 0 2 6 8 81 2 9 3 4 4 0 0 7 5 5 30 0 3 1 4o 7 1 2 6 7 5 1 5 1 2 9 3 4 40 0 2 0 4 5 40 0 4 5 2o 41 1 3 9 7 41 2 9 3 4 4o 0 1 3 4 8 5o 0 4 5 20 51 1 9 2 1 6 51 2 9 3 4 40 0 8 4 9 5 6 0 0 4 5 2o 61 2 3 9 8 9 41 2 9 3 4 4o 0 4 3 1 8 7 0 0 6 1 50 31 0 5 0 7 2 71 2 9 3 4 40 2 3 1 8 0 0 6 1 5o 51 1 8 7 2 8 61 2 9 3 “0 0 8 9 4 90 0 6 1 5o 61 2 4 1 7 8 11 2 9 3 4 4o 0 4 1 6 1 00 0 8 0 40 3 51 0 6 9 6 1 61 2 9 3 4 4o 2 0 9 2 l l 0 0 8 0 4o 6 51 2 6 9 9 6 51 2 9 3 4 4o 0 1 8 4 8 1 2 o 1 0 20 2 59 4 2 31 2 9 3 4 4o 3 7 2 6 1 3o 1 0 2o 51 1 8 1 4 8 31 2 9 3 “0 0 9 4 7 6 1 40 1 0 2o 5 51 2 0 7 1 2 21 2 9 3 4 40 0 7 1 5 1 50 1 2 5 6o 3 81 0 5 4 6 1 31 2 9 3 4 4o 2 2 6 4 1 6o 1 2 5 60 51 1 7 4 8 5 61 2 9 3 4 4o 1 0 0 9 1 70 1 2 5 60 4 21 1 0 0 2 81 2 9 3 4 40 1 7 5 5 1 8o 0 6 1 5o 71 2 7 8 7 3 71 2 9 3 4 40 0 1 1 5 1 90 0 8 0 4o 5 1 1 7 8 9 8 2 1 2 9 3 4 40 0 9 7 1 2 00 1 0 20 6 51 2 7 4 1 5 41 2 9 3 4 40 0 1 5 l 2 1 0 1 0 2o 39 9 6 4 5 1 2 9 3 4 40 2 9 8 2 2o 1 2 5 60 39 7 3 5 61 2 9 3 4 40 3 2 9 2 30 1 0 20 61 2 3 8 5 8 41 2 9 3 4 40 0 4 4 2 9 2 4o 0 3 1 40 4l1 5 2 2 9 51 2 9 3 4 4 0 1 2 2 5 2 50 0 4 5 20 31 0 6 8 2 1 9 1 2 9 3 4 4 0 2 1 0 8 2 6o 0 6 1 50 41 1 2 2 2 6 31 2 9 3 4 40 1 5 2 5 2 70 0 8 0 40 41 1 0 7 7 4 31 2 9 3 4 40 1 6 7 6 2 80 1 0 2o 41 0 9 5 0 41 2 9 3 4 40 1 8 1 2 1 6 乱 山 丑 | i l i 媸 山 山 丑 制 咄 图3 9 孔特征的e p 对v 的散点图 特征距离比d 图3 1 0 孔特征的e p 对d 的散点图 从图3 - 9 ，3 1 0 中可以看出，e p 对特征距离比d 有明显的反比例趋势，但 e p 和v 的关系并不明显。再根据图3 1 0 可以发现，当特征距离比小于或等于 0 4 时，特征体积比v 变化时，e p 变化幅度比较大，而当特征距离比大于0 4 时，特征体积比v 变化时，对e p 产生的影响比较小。为此分别画出特征距离 比小于0 4 和特征体积比大于0 4 时e p 对v 的散点图，如图3 “，3 1 2 。从图 1 7 中可以看出，当特征距离比小于等于0 4 时，v 和e p 有明显的正比关系，而当 特征距离比大于0 4 时，v 和e p 之间无明显关系。 正 1 1 1 丑 剁 哪 特征体积比v 图3 - 1 1 当特征距离比小于等于0 4 时孔特征的e p 对v 的散点图 屯 山 丑 槲 嗤 特征体积比v 图3 1 2 当特征距离比大于0 4 时孔特征的e p 对v 的散点图 因此对开孔特征，考虑构造分段函数如下： e p ：1 1 w , v ) l 烈u j d o 4 d 0 4 ( 式3 - 1 ) 将实验误差e p 与特征的几何属性v 和d 之间的关系对于表2 7 中的实验 数据，建立统计回归模型。这里v 和d 是回归变量。综合上面的分析，建立如 下的回归模型： y 5 p o + p l x t + 展x 2 + g ( 式3 - 2 ) 其中而和工，分别是特征体积比v 和特征距离比d ，其中x 2 0 4 ， p o + p t x l + ：2 x 2 + f 是给定特征体积比v 、特征距离比d 时，误差比e p 的平均 值，由表3 7 的数据进行估计，影响e p 的其他因素作用将包含在随机误差f 中。 使用m a t l a b 统计工具箱对模型求解，得到模型( 3 - 2 ) 的回归系数估计 值及其置信区间( 置信水平口= o 0 5 ) 、检验统计量r 2 ，f ，p 的结果见表3 - 8 。 表3 8 显示，置2 = o 8 9 2 l 指因变量e p ( 误差比) 的8 9 2 1 可由模型确定， f 值远远超过f 检验的临界值，p 远小于a ，因而模型( 3 - 2 ) 从整体看来是可 用的。 表3 8 的回归系数给出了模型( 3 - 2 ) 中屁，届，岛的估计值，检查它们 的置信区间发现，没有包含零点的置信区间，因此特征体积比v 和特征距离比 d 对结果的影响都是显著的。 表3 8 孔特征模型( 3 - 2 ) 的计算结果 参数参数估计值参数置信区间 屁 0 4 9 7 4 【o 3 4 3 60 6 5 1 1 1 届 1 5 0 4 l 【0 8 5 5 62 1 5 2 6 】 展 - 1 1 7 4 6 1 - 1 5 7 1 1- 0 7 7 8 1 1 r 2 皇0 8 9 2 1f = 4 1 3 5 5 9 p = 0 0 0 0 0 当特征距离比大于0 4 时，构造一元线性回归模型 y = 风+ f 1 2 x 2 + g ( 式3 3 ) 其中x 2 是特征距离比d ，且x 2 0 4 ，属+ 岛x 2 + 暑是给定特征距离比d 时， 误差比e p 的平均值，由表3 7 的数据进行估计，影响e p 的其他因素作用将包 含在随机误差f 中。 表3 - 9 显示，胄2 = o 8 9 0 2 指因变量e p ( 误差比) 的8 9 0 2 可由模型确定， ，值远远超过f 检验的l 临界值，p 远小于口，因而模型( 3 - 3 ) 从整体看来是可 用的。表3 - 9 的回归系数给出了模型( 3 - 3 ) 中风，屁的估计值，检查它们的置 信区间发现，没有包含零点的置信区间，因此特征距离比d 对结果的影响是显 著的。 1 9 表3 9 孔特征模型( 3 - 3 ) 的计算结果 参数参数估计值参数置信区间 风 0 3 4 3 4 【o 2 8 4 4 60 4 0 2 5 】 展 - o 4 9 0 2 - 0 5 9 5 5- 0 3 8 8 5 r 2 卸8 9 0 2f = 1 0 5 4 4 5 5 p = 0 0 0 0 0 事实上，若对于特征距离比d 大于0 4 的数据做二元线性回归，即构造二 元线性回归 y = p o + p , x l + 屐x 2 + 占 ( 式3 4 ) 其中而和z ，分别是特征体积比v 和特征距离比d ，其中x ，0 4 ，各变量含义 同上，得到的结果见表3 1 0 。可以发现届的置信区间包含0 ，因此也说明了当 特征距离比大于