（概率论与数理统计专业论文）基于blackscholes模型的期权定价新方法.pdf

大连理t 大学硕士学位论文 摘要 b l a c k - s c h o l e s 模型的期权定价公式，是在计算e m a x ( x ，o ) 】时得到的，即用h ( a ) = e f ( x g ) 2 1 的极小值点作为期权价格，可理解为用g 在均方误差意义下来预测x 考虑 到实际金融市场的不完备性以及收益率分布的厚尾性，本文运用函数的下凸性，通过将上 式推广，用凰( o ) = e ( x a ) 2 k 1 的最小值点作为期权价格，然后通过d j s h ( 道琼斯上海) 指数收益率的g a r c h 模型。使用随机模拟的方法应用两个公式进行定价比较通过比较 得到，在期权收益均值有所提高的情况下，方差也减小了，这正是我们所要追求的结果 关键词：完备市场；b l a c k - s c h o l e s 公式；g a r c h 模型；g i r s a n o v 定理 基于b l a c k - s c h o l e s 模型的期权定价新方法 an e wm e t h o do fo p t i o np r i c i n gb a s e do n bl a c k sc h o l e sm od e l ab s t r a c t t h ec l a s s i c a lb sf o r m u l ao fo p t i o np r i c i n gh a sb e e ng o tb yc a l c u l a t i n ge m a x ( x ，o ) t h a t i sp u t t i n gt h em i n i m u mp o i n to fh ( a ) = e l ( x - a ) 2 】a so p t i o np r i c e ，w h i c hc a l lb ei n t e p r e t e da s u s i n gat op r e d i c tx i nt h es e n s eo fm e a ns q u a r ee r r o r a c t u a lf i n a n c i a lm a r k e t sa r ei n c o m p l e t e d a n dd i s t r i b u t i o n so fy i e l dr a t e sa r ef a t t a i l e d ，s oi nt h i sp a p e rw ew i l lg e n e r a l i z et h eu p p e r f o r m u l aa n dt a k et h em i n i m u mp o i n to fh k ( o ) = 驯( x a ) 2 七】a so p t i o np r i c e ，a c c o r d i n gt ot h e c o n v e x i t yo ft h ey i e l dc l l r y e t h e nw ec o m p a r et h ee f f e c t so ft h et w op r i c i n gf o r m u l a sw i t ht h e g a r c hm o d e lo fd j s hr a t ea n db yu s eo ft h em e t h o do fs t o c h a s t i cs i m u l a t i o n k e yw o r d s ：c o m p l e t em a r k e t ；b l a c k - s c h o l e sf o r m u l a ；g a r c hm o d e l ；g i r s a n o vt h e o r e m i i 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：垫i 垦! 逊二s 竺堕! 竺坚型鱼塑塑室鱼亟生堕一 作者签名： 导师签名： 日期：墨竺多年 月兰； 日 日期：j 萄年上月乒日 1 9 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论 文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或 其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论 文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：建立巡二互坐! 竺壁墼丝塞壁呈堑堑墨! ! 茎 作者签名：二礁簦殛k 一日期：牛年量月望日 大连理工大学硕士学位论文 引言 次贷危机的蝴蝶效应让全球经济动荡不堪，次贷危机引发金融危机，为了应付金融危 机全球性大规模联手救市紧随其后，降息成为全球救市最直接的手段，这就更引起金融 从业者重视金融衍生品的定价不足金融风暴愈演愈烈的趋势，尽管最主要的原因不是金 融衍生品的定价不足，但是若整个金融市场的衍生品定价提高，则定会对金融危机有所缓 解，特别是对全球金融风暴这样的突发高风险事件 随着金融衍生品的不断发展，金融衍生品也越来越受到人们的关注，对于金融衍生品 的定价研究，由于b l a c k - s c h o l e s 模型简单易操作且得到的是精确的解析式，有了精确的表 达式，再加上现代计算机的不断发展，大型计算已经不是问题所以模型应用广泛，作为各 种期权定价的估值为了期权卖出者将来不再因为突发高风险事件爆发而破产，我们有 必要采取新的定价方法来提高价格，于是我们引入h ( a ) ：e 【僻一n ) 2 惫1 ( 豇1 ) 来放大高 风险突发事件在定价中的作用，此方法延续了b l a c k - s c h o l e s 模型的简单易操作且结果精 确的优点，并且考虑到了金融风险分布的厚尾特性 本论文的结构如下，第一部分：我们首先回顾金融市场的基本知识，为后面新方法提 出打基础第二部分：重新来看一下b l a c k - s c h o l e s 经典模型的前提条件及得到的过程并 在此基础上提出定价新方法，给出证明过程。第三部分：利用随机模拟的方法对两个公式 进行比较 1 基于b l a c k s c h o l e s 模型的期权定价新方法 1 基本理论介绍 我们先来介绍金融市场基本理论，再对经典b l a c k - s c h o l e s 模型衍生品定价公式进行 简单回顾，为后面新方法的提出作铺垫 1 1 金融市场介绍 1 1 1完备市场介绍 假设交易区间为【o ，t 】，其中t 0 市场中存在无风险资产( 国债) b 和种风险资产 s 1 ，s 2 ，s l y ，考时刻资产的价格过程记为玩，s l t ，t 一，踟t ，+ 1 种资产在【o ，t 】上可 连续地交易另外假设存在d 个风险源，用一个d 维布朗运动w = 【( 阢t ，w 2 一，w d t ) t ， 0 t t 】- 表示，市场中的不确定性由一族完备的概率空间( q ，莎，p ) ，p 只其中p 是 ( q ，野) 上相互独立的概率测度的全体，我们的布朗运动就是定义在( q ，莎，p ) 上，且令 玩= 盯( 矾，s 亡) ，莎= 厮 假设b ，满足方程 d b t = r ( 亡) 鼠d t ， 其中r ( t ) 称为无风险资产的即时收益率 其余种风险资产的价格满足： n d s i t = s i t b i t 出+ ( t ) d t 】， b o = 1 ， ( 1 1 ) & o ( 0 ，o o ) ，i = 1 ，2 ，d ( 1 2 ) 其中b 铯表示鼠的即时收益率，仃彩( 亡) 表示第歹个风险源对第i 种资产价格产生的波动系 数称为r ( 亡) ( o t t ) 为无风险收益过程，向量过程b ( t ) = ( 6 1 t 一，t ) t ，0st t ) 称 平均收益率过程，矩阵过程盯( 亡) = 盯谚( t ) x d ，0 t ”为波动过程，三者统称为市场系 数若这三个过程都是适应的，且满足 ( i r ( ) j + j i b 1 1 2 + l t 盯( t ) 1 1 2 ) d r 0 ) 0 则称丌为一个 套利机会( a r b i t r a g eo p p o r t u n i t y ) 一 如果市场h = ( r ，b ，盯) 中无套利存在，则称市场为无套利的或可行的下面不加证明 的给出无套利判断最重要的定理 定理1 1 若市场h = ( r ，6 ，盯) 无套利，则j 一个适应过程巩r d ，s t b ( t ) 一r ( t ) n = 盯( t ) 巩；反过来若适应过程巩存在，且e e x p 詹l i e t i l 2 出) + o o ，则市场无套利 定义1 4 金融市场日= ( r ，b ，盯) 满足nsd ，如果风险价格过程吼存在，且 ， ，t e e x p 吉恻 2 出刀 o 。， 一j u 则称日为一个标准市场 无套利且n 冬d 的金融市场即为标准市场现在我们来看一下什么情况下市场才是 完备的一个或有债权y 称为可达到( a t t a i n a b l e ) 或可复制的，如果存在一个温和的投资 组合7 r 使得砰= y ，其中砰是把资产按组合7 r 进行投资在t 时刻的价值 ， 定义1 5 如果标准市场h = ( r ，b ，盯) 中每一个或有债权都可达，则称市场完备 对于完备市场我们有下重要结果【2 】 定理1 2 一个标准市场h = ( r ，b ，o r ) c a b 铮( 1 ) = d ，( 2 ) 仃( t ) 可逆 这一定理给出了一个标准市场完备的充要条件，运用起来非常方便 1 1 2 衍生品基本理论 衍生证券( d e r i v a t i v es e c u r i t y ) ，也称衍生工具，是一种证券，其价值依赖于其它基础标 的资产( u n d e r l y i n g ) 的变量基本资产可以是股票、股票指数、利率、外汇、债券等目前， 常见的金融衍生品包括远期合约、期货、期权、互换等在内的金融衍生品 期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来一定时间以一定价格买进或卖出 特定基础资产f u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的选择权期权有两种基本类型：看涨期权和看跌期权 看涨期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格购买标的资产 看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格出售标的资产 买方和卖方有约定的到期时间和敲定价格期权买方获得的是一种权力，对于看涨期 权买入者，到期若股票价格超过敲定价格，期权买入者有权力之行期权，以低于市场价格 的敲定价格买入股票；但是如果市场价格没有达到敲定价格，期权买入者就可以不执行期 3 基于b l a c k s c h o l e s 模型的期权定价新方法 权，继续持有这正是需要强调的，期权赋予其持有者做某件事情的权利，持有者不一定 必须行使该权利这一特点使期权合约不同于远期和期货合约，在远期和期货合约中持有 者除了有权力也有义务购买或出售该标的资产请注意，投资者签署远期或期货合约时的 成本为零，但投资者购买一份期权合约必须支付期权费，这就是为什么要研究期权定价 期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定 价首先必须研究标的资产的价格期权的价值正是来源于签订合约时未来标的资产价格 与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的需要了解其 所遵循的随机过程，研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值 的概率分布情况要做出最终的定价也需要我们把不确定的因素用确定的价格表示出来， 即利用对不确定性求期望：e q ( e t ( r t ) ( 岛一k ) + l 玩) 期权在西方金融市场上已经发展的相当完善，类别也多种多样，看涨和看跌期权，欧 式和美式期权，美式期权可在期权有效期内任何时候执行欧式期权只能在到期日执行 在交易所中交易的大多数期权为美式期权但是欧式期权通常比美式期权更容易分析，并 且美式期权的一些性质可由欧式期权的性质推导出来 值得一提的是中国的可转换债券，因为中国市场上目前为止还没有真正的期权产品， 就可转换债券跟期权很是相似相信随着中国金融经济的发展，不久的将来中国金融市场 上一定会产生更多的期权产品 1 2b l a c k - s c h o l e s 模型 1 2 1b l a c k - s c h o l e s 模型产生的历史 早在1 9 0 5 年，已经有人开始研究期权的定价问题，但是由于缺少相应数学理论，一直 没有什么突破2 0 世纪4 0 年代，潜心研究概率论，特别是随机分析领域的日本数学家伊 藤率先对b r o w n 运动引进随机积分，从而建立随机微积分或随机分析这个新分支，1 9 5 1 年 他引进计算随机积分的伊藤公式下面我们给出伊藤过程和伊藤公式 定义1 6 伊藤过程( i t op r o c e s s ) ：普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数。若把变 量。的漂移率和方差率当作变量z 和时间t 的函数，我们就得到 d x = a ( x ，t ) d t + b ( x ，t ) d z 其中，z 遵循一个标准布朗运动，o 、b 是变量z 和亡的函数，变量z 的漂移率为a ，方差率 为6 2 都随时间变化这就是伊藤过程 引理1 i i t o 引理? 若变量z 遵循伊藤过程则变量z 和t 的函数g 将遵循如下过 程? d g = ( 誓口+ 筹+ 互1 塞b 2 ) d t + 誓6 出 其中，z 遵循一个标准布朗运动由于。和b 都是z 和t 的函数，因此函数g 也遵循伊藤 过程。它的漂移率为， a go g1a 2 g ， 瓦n + 瓦+ 五瓦6 ， 4 大连理工大学硕士学位论文 方差率为 ( 票) 2 6 2 、如7 。 金融学家发现，股票价格的变化可以用i t o 过程来描述而i t o 引理可以从股票价格 的i t o 过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。在股票价格遵循的随机过程和衍生 证券价格遵循的随机过程中，b l a c k - s c h o l e s 发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影 响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这 个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率假设股票价格和期权价格服从的随机过 程为： d s = # s d t - 1 - 仃s a z 够= ( 筹+ 胪筹+ 五1 盯2 s 2 筹) 出+ 盯s 筹出 从而得到一个重要的方程： 鬈郴筹s + 三2 裆2 堕o s 2 叫况a 。 这就是著名的b l a c k - s c h o l e s 微分方程它事实上适用于其价格取决于标的证券价格s 的所有衍生证券的定价在求解这一方程过程中，人为的加上了风险中性这一假定，也就 是说无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报进一步求解方程得到了期权价 格的解析解也就是在1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 一起发表了期权定价论文提出了著名的 b s 定价公式 尽管风险中性假定仅仅是为了求解b l a c k - s c h o l e s 微分方程而作出的人为假定，但 b l a c k 、s c h o l e s 发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用 于投资者厌恶风险的所有情况也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合 于现实世界 自b s 模型1 9 7 3 年首次在政治经济杂志( j o u r n a l o f p ol i t i c a le c o n o m y ) 发表之后，芝 加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性很快将b s 模型程序化输入计算机应 用于刚刚营业的芝加哥期权交易所该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展 到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广 泛使用s c h o l e s 和后来发展b s 公式的m e r t o n 也因此获得了1 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖， 而b l a c k 在1 9 9 5 年去世了事实上b l a c k 做出了最大的贡献 1 2 2经典b l a c k s c h 0 1 e s 模型 经典b l a c k - s c h o l e s 模型的主要假设有1 3 1 4 ： ( 1 ) 标的股票的价格服从对数正态过程，p 和仃为常数 表示股票价格的对数满足正态分布，这分布具有两个特点：非对称性，即变量对均 值上升与下跌相同幅度的概率不一样，一般股价上升1 0 0 的概率与下降5 0 的概率相 当正因为如此，保证了股价的非负性；从概率分布图向两翼，特别是向右的扩展可以看 5 基于b l a c k - s c h o l e s 模型的期权定价新方法 出，股票价格较大幅度地偏离均值的概率也是不容忽视的，但总体上股票价格在均值附近 窄幅波动的情况更普遍 ( 2 ) 标的资产允许卖空 ( 3 ) 不存在无风险套利机会 ( 4 ) 没有交易费用或税收 ( 5 ) 股票交易是连续的，所有股票高度可分 即假定所有的股票都是无限可分的，交易者能在无交易成本情况下，不断调整股票与 期权的头寸状况得到无风险组合 ( 6 ) 资产在有效期内无红利支付 ( 7 ) 无风险利率r 为常数，且对所有到期日都相同 在以上假设下，完备的概率空间( q ，莎，p ) 上，资产模型定义如下： d & = & ( p ( t ) 出+ 盯( 亡) d i 矿( 亡) ) ，d b t = b t 7 ( t ) 出， s = b 1 & ，d s = 彤仃( t ) d 咖( t ) 基于资产& 的欧式看涨期权定价公式如下： c t = e o ( e r ( ? 一d ( 曲一k ) + i 玩) = s t ( d 1 ) 一k e r ( r 一) 西( d 2 ) ，( 1 4 ) d】：一in(stk)+(t-t)(r+o-22)， d 2 ：d i1 丽盯 1 = = = = 一 凸) = 、一z 盯 x l 。一t 口 w ( t ) 是测度p 下的标准布朗运动，滤子( 玩) o 。 t 是关于w ( t ) 自然滤子，q 是p 的等 价鞅测度，w ( t ) 是测度q 下的标准布朗运动；p ( t ) 是资产岛的平均收益率，盯( 亡) 是波动 率，r ( t ) 是无风险收益率，鼠是无风险资产账户，霹是折现资产价格；g 表示偶是看涨期 权的价格，蜀表示欧式看涨期权的执行价格，圣( ) 表示标准正态分布函数 同样对于欧式看跌期权。我们可以得到其定价公式如下： r = e o ( e r ( ? 一。) ( _ f r s t ) + i 。统) = 一& 圣( 一d 1 ) + k e 一( 丁一) 圣( 一d 2 ) ， d 1 ：i n ( s t k ) + 薷( ti - t ) ( r 一+ o 2 2 ) ，d 2 ：d l 一历盯 v 一c 仃 由于市场的不确定性，风险资产的价格可能不会总是按照个人的想法和推测变动的，因此 为了锁定风险，就提出了看涨看跌期权平价关系期权平价关系反映了具有相同执行价格 和到期日的欧式看涨和看跌期权之间的平价关系当然这一提出也是有前提假设的，期权 平价关系有以下假设： ( 1 ) 无交易费用 ( 2 ) 所有交易利润具有相同的税率 ( 3 ) 所以市场参与者可以按无风险利率借入和贷出资金 ( 4 1 允许买空卖空 ( 5 ) 不考虑期权有效期内风险资产支付的红利 6 大连理工大学硕士学位论文 经典的欧式看涨看跌期权平价关系的具体表达式为： g 一最= & 一e r ( t - t ) 期权平价关系反映了具有相同执行价格和到期日的欧式看涨和看跌期权之间的平价 关系，上式也表明具有某一确定执行价格k 和到期日t 的欧式看涨期权的价值可根据相 同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来 由于市场中不只存在一支股票，下面我们来介绍一下多元的b l a c k - s c h o l e s 模型 假设市场中存在支股票，以及d 个风险源，此时服从的布朗运动是d 维的，而不 是一维的当然波动系数仃变成了一个矩阵过程，漂移项系数肛则成了一个d 维向量过 程 我们有岛满足方程d b t = r ( t ) b 。d t ，b o = 1 其余种风险资产的价格满足： d = s i t # i t d t + ( t ) d 毗t 】，勘( o ，o 。) ，i = 1 ，2 ，d j = l 为了保证市场无套利机会，我们假定存在d 维循序可测过程1 使得下面等式： ，d n t t i t = z t j ( t ) y j t = 吼( 亡) m ， j = l 对所有i = 1 ，同时成立我们知道风险的市场价格过程7 一般不是唯一确定的，事 实上由前面定理1 2 ，上述7 只有当d n 且对每个t 【o ，卅波动率仃满秩时唯一对 于满足上式的7 过程，我们引入( q ，矿，p ) 上的测度q 器- - e 印 z t d 巩一打以o s ( 1 5 ) 定义1 7 定义m t = e 印 菇谚矾一三菇 f 怫，如果m t 是一个p 鞅，则满足式( 1 5 ) 的p 和q 是等价熟测度 定理1 3 ( g i r s a n o v 定理j 俐在完备的概率空间( f l ，莎，p ) 上，假设 础净e x p ，“霹械一三z t x y x 。 00 ， 磊( x ) 全 霹械一言 ， j二j 在测度p 下是一个鞅，是( q ，莎，p ) 上的一个d 维布朗运动，五是d 维可测适应过 程且 p 【 l 咒t 1 2 d t 。】= 1 ，1 i d ，0 t o 。 定义测度q 使得 q ( a ) = e ( 厶z t ( x ) ) ，a 钉 定义一个过程影= 蛾= ( 衄奶t ) ，0 t + o 。) ， ，t 慨t = 磁t 一咒s d s ，1 i d ，0 亡 + o 。 ，0 则对每一个固定的t 【o ，+ o 。) ，吼是( q ，萝，p ) 上一个d 维布朗运动 7 基于b l a c k - s c h o l e s 模型的期权定价新方法 有了这个定理，过程毗= w t f o d s ，【o ，卵是概率空间( q ，庐，q ) 上的d 维标 准布朗运动由伊藤公式可以证明折现资产价格懿在测度qt 满g ： d 黠= c r t t d 纸( 1 6 ) 对于任何i = 1 ，成立也就是说资产的折现价格是一个q 鞅上面得到的就是多元 b l a c k - s c h o l e s 市场模型 b s 模型只解决了不分红股票的期权定价问题，后来的m e r t o n 发展了b s 模型，使其 亦运用于支付红利的股票期权 ( 一) 存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t ( 即除息日) 支付已 知红利，只需将该红利现值从股票现价s 中除去，将调整后的股票价值s ，代入b s 模 型中即： s 7 = s 一e 一_ r t 如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去从而将b s 模型变型得新公式： c = s e - r t 西( d 1 ) 一k e - r t 垂( d 2 ) ( 二) 存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率，设为6 ，支付不问断连续红利， 在此红利现值为：s ( z e 一6 t ) ，所以 = s e 一打 以s 7 代s 。得存在连续红利支付的期权定价公式： c = s e - , s t 西( d 1 ) 一k e - r t 圣( d 2 ) 随时金融市场的不断完善，全球经济的不断发展，越来越多的市场甚至公司企业决策 也都用起了b s 模型，因此越来越多的新公式模型会出现可以想象，将来在中国这样潜 在的大市场上一定是更有发展的 大连理工大学硕士学位论文 2 基于经典模型的定价新方法 2 1新方法的提出及证明 我们从数学的角度来分析一下经典的b l a c k - s c h o l e s 模型定价公式，以欧式看涨期权 为例，期权价格e m a z ( x ，o ) 】事实上就是函数日( n ) = e 【( x a f l 的极小值点，理解为用 一个数a 在均方误差意义下来预测x 由实际金融市场的不完备性，交易成本的存在以及 收益率分布的厚尾性，使得经典模型定价明显过低，接下来我们就通过将上式一般化，利 用凰( 口) = e ( x a ) 2 k 的最小值点鲰来作为期权的定价，由下凸函数的性质我们首先 可以肯定这样的定价要比原定价高，但是还要通过股票指数d j s h 收益率的g a r c h 模 型随机模拟，分别应用两个公式进行定价比较 我们仍给市场以经典模型的假设，资产价格服从对数正态过程，分析一下h k ( o ) ： e f ( x o ) 2 知】，k = 1 ，2 ，的函数性态，先看一下简单的： ( 1 ) h ( a ) = e i x n i 时，最小值点a 知是x 的中位数，此时尾部没有影响。 ( 2 ) 既( 8 ) = e 【一口) 2 】时，最小指点a 知是e x ，尾部产生影响 ( 3 ) 巩( o ) = e 【( x 一口) 2 七 ，口0 ，k = 1 ，2 ，时，假设e x 2 k 0 ，凰( + ) = + 。， 磁( o ) = 一2 忌e 【( x o ) 跳- 1 】 0 得到h k ( a ) = 引( x o ) 2 k 】在正半轴上有唯一的最小值点a 七换个角度a 七为方程 月；( o ) = - 2 k e ( x o ) 2 “1 】= 0 的实根，即e ( x o ) 2 七一1 】= 0 的实根 由以上判断我们已经知道在正半轴上根是唯一的，当o 0 时，磁( o ) ：一2 k e ( x o ) 2 枉1 0 恒成立，所以方程无负实根综上a ) = 0 有唯一的实根嗽这样我们就用毗 作为期权的定价 资产价格服从模型仍是 d & = & ( p 出+ a d w t ) 利用g i r s a n o v 定理进行测度变换得到折现价格过程满足： d s ；= s ：c r d w t ， 其中吼在测度qf = 为标准布朗运动，s t 在q f 为鞅 对于d 田= 仃s d 讥由伊藤引理得： d l n s ；= 仃d 哦一互1 盯2 出 即： l n 要一( - 互1 以t 叫，盯厉) 基于b 1 a c k s c h o l e s 模型的期权定价新方法 令3 ，= 蔷，9 ( 矽) 表示对数正态密度函数我们按上面的思路构造函数 凰( o ) = e e 一7 ( t 一。) ( ( 曲一k ) + 一d ) 2 七】 h k ( o ) = e e 叫、。一 ( ( s 一j r ) + 一o ) z 托】 = 如一r 翟一) + 一。) 2 七 玩】 = e 叶口_ 止型( e r ( t - t ) s ? r k - 0 ) 2 七g ( y ) d y - r ( ，岛卜”黠- k - a 严赤唧卜鼍辫 = 盘e 萨而7 一i c 2 ( t - t ) - - k - a e - r ( t - t ) ( e r ( t - t ) s t k 严去e 吲价2 = 厶。- r ( r 叫 e 析一 ) 2 七去e 一猢2 d 剪7 = e 叫t 叫e ( e r ( t - t ) 驴厕巾2 卜一k - 0 ) 驰孺1 e 书2 ：e 一，( ) 厂佃( e t ( ) s t e 仃历痧一料) 一k n ) 2 忌蚓妨， 其中 玉一垫型盯2 ( t 一! )一i ns t k + r ( t t ) 一号盯2 ( t t ) d 矽2 i 方丁，2 2 刁莠i 一。 这样我们就可以得到其导数的表达式，但是比较复杂，下面我们来看一下k ：2 时， h 2 ( a ) 的导数为三次多项式，我们已经有了三次方程的公式解，这样用起来就很方便了下 面给出其显式表示： 卡尔丹公式 z 3 + p x + q = 0 的解为： 一 一争以9 2 + 去印+ - - 9 1 一锯q 2 + 荆长 、x 2 = 删+ 仇口，x 3 = 7 1 a d + 钉u ， r n 其中u = 学有了这个公式，我们对于x 3 + 口z 2 + c x + q = 0 就可以通过z ：y l a 进 行变换与公式中方程系数对应有： 当七= 2 时 珥( o ) = m e f ( r 一。( ( s 一k ) + 一d ) 4 = 一4 e e t - ( t 一。( ( 勋一k ) + 一a ) 3 】， 1 0 丝 鲁 大连理工大学硕士学位论文 珥( n ) ：一4 e r ( t 叫：- 二一n ( e r ( t - t ) s t e a 厕分一舭丁卅一k 一。) 3 ( 雪) 蜥 珥( n ) = - 4 e 吖t 一：k 。叫t - t ) 行一冶一舭丁以一一。) 3 蜥 = 一4 互3 四( e r ( t - t ) s t ) m ( - g - a 广me 厨毛o - 2 v n ( t - t ) ( 雪) 哟，孔= u = 一4 c 矿( e ( m 一1 ) ( ? 一) ( r + 眦2 ) ( 一k 一。) 3 一m s 尹西( d 2 + m 盯、两) ( 2 1 ) 令( 2 1 ) 等于0 ，我们来看一下方程的根： 珥( 口)= 一4 e r ( t - t ) ( 一k a ) 圣( d 2 ) + 3 s t ( i ) ( a 、雨+ d 2 ) +3 e ( t - t ) ( ，+ 口2 ( 一k o ) 5 孚圣( 2 仃 雨+ d 2 ) + e 2 ( t t ) ( 1 仃2 + f ) 霹圣( 3 口、再+ 如) 1 = 0 ( 2 2 ) 与三次方程公式解对照，令a = k + a 将上式整理得 e - - r ( t - - t ) 3 西( 如) 一 3 s t a 2 西( 口、丽+ d 2 ) + 3 簧e ( t - t ) ( r + o r 2 ) 圣( 2 盯 晡+ d 2 ) 一 霹e 2 ( t - t ) ( 3 2 a 2 + f ) 西( 3 仃而+ d 2 ) = 0 ， a 3 3 a 2 & 矿( t - t ) 圣( 口 隔+ d 2 ) 3 a e ( t - t ) ( 2 件护) 砰圣( 2 盯 啊+ d 2 ) 圣( d 2 )圣( d 2 ) 塑型竺鬻华旦趔- 0 ( 2 3 ) 圣( d 2 ) 一讥 l “o ， 由( 2 3 ) 式和三次方程对比知： o2 一3 s t e 1 t ) o 雨( a 丁一d ， ，( t 一面+ 2 ) 6 = 丝竺瓮铲叠型， 礴e 3 ( t - t ) ( 矿+ r ) 西( 3 盯以q + d 2 ) c2 一 丽丁一 显然p = b o 0 恒成立，q = a s - r 3 a b + g c ，从而由卡尔丹公式可得 = 一互1 口+再 。+ h 一西 3 为正实根，另外两根都是复根，1 正是我们要的根从而得到欧式看涨期权价格： n c t = a k = a 1 一k 同样对于欧式看跌期权有： 凰( o ) = 驯e r ( t 一) ( ( k s t ) + 一a ) 2 七】 1 1 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 基于b l a c k s c h o l e s 模型的期权定价新方法 巩( o ) e e r ( t 一。( ( 一s t ) + 一凸) 2 勺 e q e r ( t - t ) ( ( k s t ) + 一n ) 2 知l 玩】 ，k e - - r ：( t - - 一t ) e - - r ( 弘 吼 ( k s t n ) 2 七g ( y ) d y &erj严而v 蒜品t 一峻栏 q ) 瓯() 2 j c i 亲亏e x p 一些嚎簇掣 一么7 i d 、一l 二u 工一厶， e _ r ( t 卅仁2 ( _ e r ( t - t ) 驴厕巾2 口- t ) + n 妒南而1 e 书2 哟 ，- 一a 2 e - - r ( t t 一( 一n 一& e r ( t 一) e 口厕一 盯2 ( 于一t ) 2 忌( 雪) 嘶 当k = 2 时 。 珥( 凸) = e e t ( t 一) f i g s t ) + 一o ) 4 】7 = 一4 e e r ( ? 一t ( ( k s t ) + 一o ) 3 ( 2 6 ) ：_ 4 e - - r ( t t ) ( k o e r ( t 一) s t e 仃厕一盯2 ( r t ) ) 3 妒( 雪) 嘶 一4 三3 凹( e r ( t - t ) s t ) m ( - g - a ) 3 - 仇c e瑚厕一a2m(t-t)-a2 哟 仃= 0 o = 一4 c 矿( e ( 仇一1 ) ( r 一) ( ，+ 2 ) ( k 一口3 - - m ( 一) 仇圣( 一d 2 一m 盯、瓯) 令a = k o ，且令日7 ( o ) = 0 ，整理得： 33 a 2 & e r ( 丁一2 ) 垂( 一盯、眄一d 2 )3 a e ( t - - t ) ( 2 r + 一2 ) 毋西( 一2 a 、眄一d 2 ) 一 圣( 一d 2 )圣( d 2 ) 簧e 3 ( r t ) ( 矿2 竹) 圣( 一3 a 、眄一d 2 ) 圣( - d 2 ) 利用卡尔丹公式得其实根为 其中 = 0 3 & e r ( t - t ) 圣( 一盯、眄一d 2 ) o 2 一、# - - 两d o 一 fl 6 = 丝鳖专等正m ， 虫( 一d 2 ) 受e 3 ( t t ) ( 矿2 + r ) 圣( 一3 仃、，三f 巧一d 2 ) 一一百高玎一 从而得看跌期权的定价为： r = k a 2 。 一 大连理t 大学硕士学位论文 2 2新方法下看涨看跌一期权平价关系 有前面我们已经得到了欧式看涨和看跌期权的定价新公式，下面我们就来对比一下 两种定价方法下的看涨看跌期权平价关系对于两个相同有效期t t ，相同敲定价格k 的欧式看涨和看跌期权我们有经典模型下的平价公式： g 最= & 一k e r ( t - t ) 新定价方法下欧式看涨一看跌期权平价关系为： c ；一p t = 1 一k 一( k a 2 ) = 1 - f 2 2 k 1 3 基于b l a c k s c h o l e s 模型的期权定价新方法 3 定价新方法的随机模拟应用及评价 对于定价新公式，我们可以选择不同的后，随着k 的增大，突发事件的放大作用也增 大，正是我们所想要的结果本文已经给出k = 2 时的公式，下面我们就采用随机模拟的 方法【1 3 | ，以两年期的d j s h 指数的欧式看涨期权为例，分别使用b l a c k - s c h o l e s 方法和本 文提出的基于b l a c k - s c h o l e s 的定价新公式为它定价来验证我们的预期效果 g a r c h 模型在一定程度地反映现实市场的不完备性，并且运用计量经济软件e v i e w s 可以很方便的得到，因此我们采用d j s h ( 2 0 0 6 - 2 0 0 9 ) 的数据，用g a r c h ( 1 ，1 ) 模型对d j s h 指数的对数日收益率建模用估计好的对数日收益率的g a r c h ( 1 ，1 ) 模型模拟出d j s h 指 数的1 0 0 0 个日价格，正符合前几年股价的走势，2 7 3 4 5 波动增长到2 8 0 0 0 以上，然后对基 于该指数的两年期欧式看涨期权进行定价 设定常用的无风险年收益率r = 0 0 5 ，t = 7 2 0 天，即2 年，选择两个执行价格甄= 2 7 6 。0 0 ，鲍= 2 7 8 。0 0 ，分别用公式( 1 。4 ) 和( 2 。5 ) 进行定价，利用e x c e l 计算得到定价的平 均价格和价格的方差，为了明确的比较，我们列成下表： 表3 1r - - 0 0 5 ，t - - - - 2 年，k = 2 7 6 0 0 表3 2r - - 0 0 5 ，t - - 2 年，k - - 2 7 8 0 0 从表中可以看出，新公式下不但期权平均定价有所提高，而且标准差缩小了不少，这 就正好是我们所预期的，放大了突发高风险事件的作用，有效提高了定价，并且这种定价 没有因为高风险突发事件增大定价的标准差，反而减小了，从而降低了风险 从公式的得出过程来看，新方法定价不仅适用于基于股票的期权定价，由于金融衍生 品定价的前提和市场环境都是相似的所以我们可以将新方法推广到各种金融衍生产品 的定价 1 4 大连理工大学硕士学位论文 结论 本文考虑到实际金融市场的不完备性和收益率分布的厚尾性，基于经典的b s 定价公 式提出了新的定价方法，放大了突发高风险事件的作用然后通过随机模拟的方法，利用 d j s h ( 2 0 0 6 - 2 0 0 9 ) 的数据，用g a r c h ( 1 ，1 ) 模型模拟出d j s h 指数的1 0 0 0 个日价格，通过 计算得到了很好的结果新的定价确实有效提高了期权的定价，并且在提高的同时降低了 方差另外从公式的推导得出过程，我们可以将其推广到各种金融衍生品定价当中去，不 仅仅是股票期权 文中只是对于k = 2 时得到了显式公式而对于更大的k ，我们或许不能得到其表达 式，但现代大型计算技术已经很发达，所以对于求出高次方程的解仍然可以做到，这有待 进一步研究 1 5 基于b l a c k s c h o l e s 模型的期权定价新方法 参考文献 【l 】朱浩民衍生性金融商品【m 】北京：中国人民大学出版社，2 0 0 5 【2 】姜礼尚金融衍生产品定价的数学模型与案例分析【m 北京：高等教育出版社，2 0 0 4 ， 【3 】j o h nh u l l ，d z a g r o d n yo p t i o nf u t u r e sa n do t h e rd e r i v i v a t i v e 【m 】n j ：p r e n t i c eh a l l5 t he d i t i o n ，2 0 0 6 【4 】约翰赫尔，张陶伟期权、期货和其它衍生产品【m 】北京：华夏出版社，2 0 0 0 【5 】b l a c k ，f t h ep r i c i n g o fc o m m o d i t yc o n t r a c t s j j o u r n a lo ff i n a n c i a le c o n o m i c s ，1 9 7 6 ， 3 ( 1 2 ) ：1 6 7 1 7 9 【6 】r a v ij a g a n n a t h a n ，s t e v es u n ，a n d r e wk a p l i n a ne v a l u a t i o no fm u l t i - f a c t o rc i rm o d e l sr s i n g l i b o r ，s w a pr a t e sa n dc a pa n ds w a p t i o np r i c e s j j o u r n a lo fe c o m o m i c s ，2 0 0 3 ，1 1 6 ：1 1 3 - 1 4 6 【7 1b i h l m a n n ，h m a t h e m a t i c a lm e t h o d si nr i s kt h e o r y m n e wy o r k ：s p r i n g e r ，1 9 7 0 【8 c h e r t ，r 一r ，s c o t t ，l m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nf o ram u l t i f a c t o re q u i l i b r i u mm o d e lo ft h e t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s j j o u r n