（基础数学专业论文）hdimodule代数及其交叉积yetter+drinfeld模和αhhopf模.pdf

工，芒9 8 2 6 日d i m o d u l e 代数及其交叉积，y 乱t e rd r i 哦l d 模和矾h o p f 模 摘要 本文第一部分首先在日_ d h o d u l e 代数范畴中引进交叉积，并给出了两个 小d i 】n o d | 1 l e 代数的交叉积成为皿d i m o d i 止代数的充要条件( 定理1 8 ) ，从而推 广了文f 1 1 的结果 第二部分，首先从另一个不同的角度对y e t t e rd r i n f e l d 模概念进行了推广 引火寥舶p f y 酰t e rd r i n f e l d ( c ，日) 一模以及( d d ，日) - 双余模概念，证明了这两个 模范砖坶构成张量范畴并讨论了它们之间的范畴等价关系然后讨论了( 口，口) y 矾t e rd l 妯酗 d 模的对偶，最后主要给出了日成为( q ，p ) 一y e t t e rd r i r 如1 d 模的充 要条件，得到定理2 3 l 和定理2 3 3 ，推广了文献f 2 1 的结果 第三部分，借鉴文献【3 】中的思想，首先引入了a 肌h o p f 模，接着引入了双边 口- 日h o p f 模，双余边q 日h o p f 模以及双边双余边( n ，p ) 日h o p f 模的概念，并土 要证明了双边肌h o p f 模范畴和双余边甜日h o p f 模范畴均成为g 上的n 范畴 ( 定理3 1 2 和定理3 1 9 ) ，最后证明了双边双余边( a ，卢) 日h o p f 模与( 吐，p ) y e t t e r d r i r 姒d 模范畴等价( 定理3 2 3 ) 关键谒：h d i m o d l l l 8 代数；交叉积；h o p fy c t t c rd 血面l d ( e ，日) 一模；( q ，p ) y 乩t e rd 咖馘，d 粤| ；硬勉预案魉( q ，口) - 日h o p f 模：t - 范畴 日- d i r l l o d u l ea l g e b r 笛a n dc r o 够e dp m d i 圮t s ，y 矾t 甜d r i n f e l dm o d l l l 髓a n d o 一小h o p f 啪d u l 髓 a b s t r & c t i ns e c t i o n1 ，w e 矗r s ti n t r o d u c et h ec r o s s e dp r o d u c ti nt h e 舡窀r o r yo f 日- d i m o d l l l e “g e b r a s 衄dg i v et h es u 伍c i e n t 蚴dn e c 铝乩r yc o n d i t i o 衄f b rt h ec r o e dp r o d u c to f t w 0h d i m o d u l e 出g c b r 蹈t ob e 柚肌d i m o d 山出e b r a ( 7 r h 0 0 舳1 8 ) ，够a 瞄l l l t ，w e g e n e r 8 l i z et h er e s u l t si n 【l 】 i n8 e c t i o n2 ，丘r s t l y 靠o md i 8 她tp 娜t i v 啪i n t r o d u 佃on o t i o 璐，h o p f y e t 慨d r i 删d ( c ，日) - m d l i l 鹤d ( c - d ，嚣) b i o d l i l 髑，t h e n 啪s l 卿t h 雠t h e 协，o 铷衄g ( 埔镐8 _ b a v cb o t hf b r mm o n o i d a l 土c g 晒缸dd i s c u 蹒t h ca m 如a l c n c eb t 咖lt h c s cc a t e g o r i 髂s e c o n d l y w c 啦u d yt h ed u a l0 f ( q ，p ) y e t t d r i n f d dm o d i l l c s a n d 百v et h e 衄c i e n t 啦d 嘣鼬叫c o n d i t i o 璐f o r 日t ob c 蛆( 口，p ) - t t c rd l i n f c l d m o d l l l e ，g c n e r 8 l i z i n gt h e 恼u l t si n 【2 】 u s i n gf o rt h er c f e r c n c co ft h c 曲i n l c i n gi n 【3 1 ，w c 丘r s ti n t r o d u c ct h en o 墩mo f 酗 日一h o p fm o d u l c s ，姐di n t r o d u 。ct w 卜蹦。do 肌h o p fi n o d u l 群，t w h o 鳓e do - 日h 0 p f m o d u l 蕊，t w os i d e dt w oo 吲d c d ( 口，卢) 一肌h o p f m o d l l l e si ns u c o e 翳i o n 、删i i n l 黔蛐 t h a tb o t h t h ec a t e g o r yo f t w o - s i d e d 加日一h o p f m d d u l 档鼬d t h e 土e g o f y o f 伽。叫溺d e d q 一日h o p fm o d u l f o m r 眦e g ( 炳e sa v e rt h eg r o u pg ( t h e o 蚴3 1 2 柚d n l 舯l 锄 3 1 9 ) f i n a l l y ，靴s h 卿t h a tt h ec 8 t e g o r yo f s i d e d i d e d ( a ，肛弘h 0 p fn l o d i l l 髂a l l dt h cc 8 t e 9 0 r y0 f ( q ，卢) t e rd 衄f e l dm o d u l a r ee q l i i v a l 眦( 1 咖l 3 2 3 ) 葛 k 唧r d s ：日d i m o d u l ea l g e b r 踮；c r o 鹞e dp r o d u c t s ；h o p f 航管d j i n 蠡巴l d ( g ，日) m o d u l 鹳；( q ，芦) 一y t c rd r i n f d dm o d u l ；t w o - s i d e dt w 伊o o 菌d e d ( a ，阶嚣二h o p fm o d u l 鹤；7 r 嘶e g 喇e s 引言 2 0 世纪4 0 年代初，h h o p f 在研究拓扑群的上链时蕞初构造了一类较为复 杂的代数结构( 见文献f 4 | ) ，2 0 年后的1 9 6 5 年，这类代数结构被j w h 雠r 和 j c m o o r e 在他们合作的一篇论文+ 【5 】中正式称为h o p f 代数自此以后，h o p f 代 数引起数学家的广泛关注，特别是近二十年来，前苏联敷学物理学家v d r i n e l d 有关量子群的引入，伴随着k a p 岫某些猜想的部分解决，h o p f 代数的结构日 臻完善，其理论亦获得发晨，逐渐发晨成为成熟的一个代数分支广泛应用于表 示论，流形，李代数，组合数学，拓扑量子场理论以及算予代数d 衄f e l d 深刻研究 并刻商了量子群、h o p f 代数与b a 砒e r 方程的关系从那以后，量子群成为 物理学家与数学家十分感兴趣的研究内容 h o p f 模，y e t t e r d 删h d 模和承d i m o d u l e 是h o p f 代数中重要的三类模，它们 分别都具有很好的结构和性质，而且它们之间还存在密切的关系特别是y e t t e r d r i 正l d 模还与理论物理方面有着密切的联系，引起了许多数学工作者的兴趣 f w l o n g ，g m m t a m ，s c 蝴印l ，z h a n gl i 如g - y u n 等在文献【1 ，6 ，7 8 】中对 肌d i m o d u k 及肝d i m o d l d e 代数进行了一系列的研究，如s c 8 e n e p e e l 在文献【8 l 中定义了承d 咖d u l e 代数范畴中的s m 蠲h 积，并证明了当日是交换且是余交换 时，两个皿d i m o d l d e 代数a ，b 的s m 鹪h 积a 归是胁d i m o d u l e 代数随后，z h a n g l i 姐g - y u n 在文献1 1 l 中弱化了a 蕾b 成为h d j m o d _ i l l e 代数的条件( 【1 ，定理2 4 】) l a l a m b e ，d e i d f o r d ，m c o h e n ，d f i s c h m 姐，s m o 砷雪0 m e 瓢z h a n gl i a n g y 皿等一大批数学工作者在文献【1 ，2 ，8 ，9 ，l o ，1 1 ，1 2 1 中对y e t t e rd r i n f e l d 模进行了 一系列的研究如文献【l j 中作者讨论了y e t t e r d r i r 腻d 模的对偶在特定的条件 下成为y e t t e rd r i i 如l d 模随后，不同的学者从不同的角度对y e t t e rd r i n f e l ，d 模 的概念进行了推广，比如s c n e p e e l 在【8 | 中引进了h o p f 、钒t e rd r i i 如i ，d 模的概 念并证明了当a 是王卜余交换的y e t t e rd r i i 蹦d 模代数时，h o p fy e t t e rd r i r 唰，d 模范畴构成张量范畴( 【8 ，定理3 2 3 】) 紧接着在随后的文献【1 3 】中引入( 甄小b ) 双模，并讨论了此模范畴的一些性质而f i o 血p a 她i t e 在文献【3 l 中从另一个 角度引入了y e t t e r d 血妇l d 模的推广概念一( 口，p ) y e t t e r d 斑妇l ，d 模，并证明了 ( a ，口) 一y e t t e rd r i n f e l d 模范畴的不交并范畴是群g 上的辫子正范畴 p s c l l a u e n b u r g 和m b e a t t i e 分别在文献【1 4 j ，【l o 】中引入了双边皿h o p f 模， 双余边皿h o p f 模以及双边双余边日h o p f 模并深刻讨论了这三类模范畴的性 1 2 ) - 模，则m 固 是h o p f y i t t e rd r i n f e l d ( e a ) 模其小作用和五卜结构如下： 泓o n ) 一| i l l m o 乜i n p ( m 。n ) = 啊。珊。n l 眦 口( m o n ) ；口m o n 记为m 茵 设日是具有可逆对极s 的h o p f 代数 定理2 8 ( i ) 设m 3 ，d 一，片3 ，z j = r ，则 ( a ) m 0 弦h ，其小作用和日结构为： ( m o 哟= 1 m o 2 n ； 以m 固哪= 咖。伽。n l m l ； 口( m 固 ) = 啪o m ( b ) 若任意的口a ，7 l 日，满足 l b 固屯= b 口 l ，n o 。托l = a o 。口l 则o m y d 打其小作用和皿结构为： 。m ) = l n o k m ； p d m ) = 伽9 m o o m l n l ； 口( n o m ) = n o 口m 1 1 ( i i ) 设m ， y 口阿， 是承交换的d r i n 箱d 模代数若对任意的 n a ， 日，满足 一 t - 口。k 一k 口。h l ，知。舰l = a o 。口1 7 l 则m 固 如片其a 作用和日一结构为： 类型l ： ( m 固n ) = l m 。j 1 2 嗡 p 沏。n ) 军椭圆n o 。靠1 眦 口( m pn ) g m 固觚 类型2 ： ( m 9 n ) = 如m o l 孔； p ( m o n ) = ，n 0 固砌。m l n l ； a ( m o n ) = 口m o n 对上面两种肘。 类型分别记为碱m 氟 ( i i i ) 设m ， m 严且m 是有限生成j 辟射a 模，则有 ( 8 ) 若a 是皿交换的y 巩盱d i i n 触d 模代数则h o m ( m ，) m 少其小 作用和m 结构为： m ，) ( m ) 一如，( s 一1 ( ) m ) ； p ( ，) ( m ) = ，( 蜘) oo ，( 伽) l s ( m - ) ； ( 酊) ( ，哟= ，( 口o ( 口l m ) ) ( b ) 掣h o m ( a ，) 3 ，z 芦 证明：( i ) ，) 易证，我们只证( i i i ) ( ”易证h o m ( 厶) 是左小模，龇d 血蹦d 模，其a 模，z 卜模结构如上 给出故只需证明( 1 0 ) 和( 1 1 ) 式成立 对任意的 日，口a ，h o m ( j l t ) ， ( 口，) ) ( m ) = k ( ( n ，) ( _ s 一1 ( t ) m ) ) = 如，( n o ( ( 8 - s 一1 ( 1 ) ) m ) ) 另一万曲， f ( ( t 。) ( h 2 ，) ) ( m ) = ( 危z - 似( - a ) 。( m 一。) t m ) ) = s ，( s 1 ( k ) ( ( h 。) o ( ( 。) 。m ) ) ) = f k ，( s 一1 ( 九4 ) ( ( 地0 0 ) ( ( 3 。s “( 1 ) ) m ) ) )( 由( 7 ) 式) = f ，( ( ( s 一1 ( k ) 如) 知) ( ( s 一1 ( 4 ) 垴口，s 1 ( ) ) - m ) ) ( 由( 1 0 ) 式) = 。，( 0 0 ( ( 。，s 一1 ( t ) ) m ) ) 因此 ( 。，) = ：( 九1 口) ( 九2 ，) p ( 。，) ( m ) = ( ( 。，) ( m o ) ) 。( ( o ，) ( m o ) ) 。s ( m ，) = m o ( n 1m o ) ) o 。，( o o ( 0 1m 0 ) ) 。s ( m - ) 同时 ( 0 0 ，0 ) ( m ) o ，m = 南( 0 0 ( 。l m ) ) p o 。 = 烈8 0 ( m ) ) o ) o 。州。o ( n 1 m ) ) 。) ，s ( 湎( o 。m ) ) 。) o 。 = ，( 印( n 2 m ) o ) o ，( n o ( 0 2 m ) o ) l s ( ( 口2 m ) 1 i ) n 3 ( 由( 1 1 ) 式) = ，( 。( m 。) ) o 圆。，( ( 0 3 m o ) ) ，s ( 4 m 。s 一、口。) a 1 ) 如 ( 由( 7 ) 式) = ，( 知( o 】m o ) ) oo ，( n o ( 口l m o ) ) 1 s ( m 1 ) 故p ( 。，) = 。o ，0 。l ，证毕 ( b ) 定义映射母：h 。m a ( a ，) 一，砂( ，) = ，( 1 ) ，类似【1 8 】的证明，显然妒是 a 一模同构妒是肌线性和日一余线性的，因为 母( ，) 。o 母( ，) 1 = ，( 1 ) 。o ，( 1 ) 。 = ，( 1 0 ) oos _ 1 ( 1 1 ) ，( 1 0 ) 1 = ，o ( 1 ) o = 妒( ，0 ) o 】3 y e t t e rd i n f e l ，d 模又是左d 余模，且对任意的m m ，h 日，满足 m l 。m - 1 。m 。= m 一1 m 。一l 。m 。m 。； ( 1 2 ) ( m h ) 1 。( m ) o = m _ 1 2 。m o h ( 1 3 ) 其中m 的左d 余模，左日一余模分别记为p g ( m ) = m 一1om o ，阳( m ) = m 一1 固 记譬y d 为右，左h o p f y r e t t e rd r i n f e l d ( c ，日) 一模和h o p f y e t t e rd r i n f e l d ( g ，日) - 模同念构成的范畴 注：设e = 七为平凡的y e t t e rd i n f e l d 模余代数，则譬3 仞= 备y d 设a 是代数，则a o = ，a 1 存在a 的余有限维理想f 使得 = o 是余代数，其中余乘法= m + 和余单位= 旷( 见【1 7 1 ) 在文1 9 1 中，作者把这个结论推广到模上即，假如a 是代数，m 是左a 模，则m o = 9 m i 存在a 的余有限维理想，使得 = o ) 足a o 一 余模，其余模结构映射为妒o ：m o a o0m o ( 其中妒是m 的左a 一模结构映射， 妒o = 矿i m o ) 若d 妇a 0 9 ，则m o 亍m + 命题2 1 4 设m 是左，右h o p fy e t t e rd r i n f e l d ( 日，a ) - 模若下列条件之一 满足，则m o 是右，左h o p fy e t t e rd r i n f e l d ( a o ，日o ) 一模 ( a ) d i m 日 ： m l p ( 1 ) = f m l p ( h ) 从而， l t m o 固a ( 2 ) m 1 = ( 矗2 t m + ) o o ( 2 t m + ) l p ( 危1 ) ，命题得证 命题2 2 2 ( a ) 设( m ，p ) 日3 仍日( a ，囝，若存在双代数同构，：日一日，使得 。o ，= ，o 口，p o ，= ，o 卢，则( m ，以一t ) 打印日( 口，p ) 其中对v 九日，m m ， 有h ，m = ，( h ) m ，p ，t ( m ) = m oo ，- 1 ( m 1 ) ( b ) 设( m ，p ) 日y d 日( a ，卢) ，若存在双代数反同构，：日一日，使得 d o ，= ，o a ，卢。，= ，。p ，则( m ，以一，) 盯y d 月 ，p ) 其中对v 日，m m ， 有 ，m = m ，( ) ，办一( m ) = m o o ，- 1 ( m i ) 证明：直接验证即可 设e 是余代数，若( m ，p ) 是右d 余模，则( m ， - ) 是左模，其中对 v c + e ，m m ，有c 4 卜m = m o 命题2 2 3 设打是h o p f 代数，且对极s 是双射( m ，) 是左日一模，( m ，p ) 是 右日余模，则下列条件等价：v 日，m m ， ( a ) 1 m o o 卢( h 2 ) m 1 = ( 危2 m ) o ( 2 m ) l a ( 1 ) ； ( b ) ( m ) o ( m ) 1 = 如椭圆口( 3 ) m 1 ( s “( h 1 ) ) ； ( c ) 扩彝! ! j 毒一襄g ：l 薹魏。! 邂j ! ! 一誓一i i 玑螽；： x 第二种 ( h 似m ) = a 一1 ( 饥) ，( a 一1 p 一1 a 6 口1 ( z ) 。m ) x ( ，) ( m ) = ，( 伽) o 。，( 姗) z s ( m 1 ) 若( m ，p ) 是右日余模，则( m ，“) 成为左日一余模，其中几( m ) = m 卜_ 1 】固 m 【q ；s ( m 1 ) 圆伽若( m ，- ) 是右日一模，则( m ，一) 成为左日- 模，其中 s l m 2 s 。) m 命题2 2 8 设。，p 是日的自同构，则 1 ) y 口并( 口，卢) ! 备y d ( 口，p ) 且日y z 卢( 口，p ) 竺盯y 口h ( q ，口) ，其中 ( m ，p ) 一( m ，一，m ) ，一， 2 ) 嚣y 口( ，卢) 2 圩y d h ( 口，p ) ，其中 ( m ，) 一( m ，p s ) ，一， 证明：只证1 ) 的第二部分，设( m ，p ) 日y d 日( 口，p ) ，v m m ， 日 ( m ，一- h ) 【。】。( m s 一- ) 嘲 = ( s 一1 ( 九) m ) i 1 1 。( s 。1 ( 忍) m ) 【0 1 = s ( ( s 。( ) m ) 1 ) ( s 。( ) m ) o = s ( 卢( s - l ( ) 3 ) m l a s 。( s - l ( ) s - l ( ) 2 仇o = 歹= 。( s 一1 ( 3 ) ) s ( m 1 ) p ( z ) s 一1 ( h 2 ) m o = 口( s 。( 训m 【_ i j 卢( 危1 ) om 阶一，( 2 ) 所以，( m ，t ，p 。) 日y d h ( n ，p ) 设( a ，m ， ) 是代数，( a o ，m 。，? 7 。) 是a 的对偶余代数 设m 是有限维的，若m 是左a 一模，则( m ，p ) 是右a 。一余模( 记户( m ) = m i qo m m ，则满足：m 【q = 口m ) 设e 是余代数 2 4 若( m ，p ) 是右d 余模( 记p ( m ) = m ( o ) o m ( 1 ) ) ，则( m ，p ) 是左俨- 模，其 中o 。p m ；m ( o ) 命题2 2 9 设日是双代数，m 是有限维的，若( m ，p ) 日y d 丑( q ，卢) ，则 ( m ，p ，p ) h 。y d 8 。( p 。，a 。) 证明：只需证明v 舻日。，m m ， 。1 ，”i o 】。q 。( 。2 ) m 1 1 j = ( 。2 pm ) 1 0 】。( h 。2 pm ) f 1 】矿( 舻1 ) 事实上，比日， 峨- p m 耕 = 舻l p m f 0 = 。p ( ”m ) = ( 玢m ) ( o ) 一( 甜m ) ( o ) 另一方面， ( ，m ) 【。】 = ( 胪2 p m ) i o 】 = ”( 。z - ，m ) = ”( m ( o ) ) h 。1 ，卢( z 2 = ”m ( o ) 而z 1 m ( o ) o p ( 。2 ) m ( 1 ) = ( z 2 m ) ( o ) ( z 2 m ) ( 1 ) a 1 ) 于是( m ，p ，p ) 日。y 口h 。，o 。) 定理2 3 0 设m i = y 口日( q ，p ) ，若下列条件其中之一满足，则m 。圩。y 口肿( ，p 。) ( a ) 日是有限维的 ( b ) 对日的任何余有限维理想j ，均有p 1 l f ( j m ) s 日( ，) 一p m ( m ) ， 证明：设口a u 妇印，( 日) ，由文献 15 】知扩a “t h 耐( 日。) 令妒 f ：日o m m 是左日一模同态则( 妒m ) o ：m o 一日o o m o 是左上产余模同态若p m 是右日一 余模同态，则p h ：m + 日一m + 是右日+ 一模同态 若( a ) 成立，j l ! ! i 由文献【1 9 知日0 = 日，m o = m + ，若( b ) 成立，则对 5 町日o ，p m o ，存在两个余有限维理想j 和j 使得 = 0 ， = o - 令r = 手( j o 日+ 日o j ) ，易知r 是日的余有限维理想，且由文献【1 】可证 = 0 ，则p ，m o ，于是p 知( 彬固伊) 下面证明( 1 5 ) 式成立即可 事实上，v 日，m m ， f = f = f = f 另一方面 = f = f = = = = = f = 于是( 1 5 ) 式成立 定理2 3 1 设日是h o p f 代数，s 是双射若( h ，m ，力日y 口耳( a ，卢) ( 其中m 是日的乘法) ，则v 口日，p ( 口) = 啦o 口( 0 3 ) a ( s _ 1 ( 口1 ) ) 其中p ( 1 ) = o 矿 证明：记j p ( n ) = 口。o