（计算机应用技术专业论文）最小二乘小波及其在心电信号识别中的应用.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 本课题主要研究小波变换在一c , , e g 信号特征提取中的应用，它是心电信号处理领域中 的基础性研究。 心电图的q r s 波群包含了人体心脏电活动的丰富信息，对它识别的好坏在临床诊断 上具有重要意义。以前主要是临床医生根据个人经验进行判断，这不但工作量繁重而且 往往会因为个人的原因而产生误判。随着信息技术的发展，计算机在信号处理中得到了 越来越广泛的应用。然而，心电信号本身较弱，同时包含众多有规律和无规律的干扰( 如： 高频的工频干扰、肌电干扰以及低频的基线漂移干扰，加之病人的呼吸、运动、甚至是 情绪的变化，都会引起心电信号( e c g ) 的波动和干扰) ，这些干扰都为心电信号特征 点的提取以及疾病的识别增加了难度。本课题针对这些情况，将小波变换理论应用于心 电信号的处理中，经m i t b i h 数据库检测，取得了良好的效果。 基于小波变换的q r s 波的检测主要包含有两个方面的工作：一是选择合适的小波函 数；二是制定相应的q r s 波的检测策略。选择一个合适的小波函数，就可以最大限度地 突出特征点，这样会极大地提高检测的准确度。同时，一套完善的检测策略则是剔除近 似点、提高检测准确度的关键。 本课题主要是从以下两个方面对心电信号进行研究： 1 ) 最小二乘小波的研究：通过研究，提出一种新型的、高精度的最小二乘小波。 在对强干扰区进行q r s 波检测时，最小二乘小波具有较高的抗干扰能力；同时，可以用 较少的运算量取得较高的精确性；另外，用最小二乘小波进行q r s 波检测时，用的是极 大值点，这比样条小波检测时所用的模极大值对的零交叉点判断更简单，定位也更精确。 所以，最小二乘小波是一种适用于q r s 波检测的强有力的工具。 2 ) q r s 波的检测：我们制定的检测策略是一套与最小二乘小波相适应的，最大程 度突出r 波特征并适用于各种干扰的检测策略。其中，动态阙值是基础，多级重构判断、 导数判断和不应期判断是通用策略，而周期判断、完全代偿间歇判断、q s 波辅助判断 以及丢失补偿则是提高准确度的关键。经m i t b i h 数据库实验表明，该检测策略已基本 消除了各种干扰所产生的影响，r 波检测准确率达到9 9 ，9 。 关键词：小波变换，最小二乘小波，心电信号，检测策略 北方工业大学硕士学位论文 t h e l e a s t s q u a r ew a v e l e t t r a n s f o r ma n di t sa p p l i c a t i o ni n e l e c t r o g r a p h c h a r a c t e r i s t i c sd e t e c t i o n a b s t r a c t an o v e lw a v e l e ti s p r o v i d e d mt h i s p a p e r t h ew a v e l e tt r a n s f o n n - b a s e de c g c h a r a c t e r i s t i c si sd i s c u s s e d a b u n d a n c ei n f o r m a t i o na b o u th u m a n sh e a r ti si n c l u d e dt h eq r s w a v e si ne l e c t r o c a r d i o g r a m ，w h i c hp r o v i d e si m p o r t a n tm e a n i n gf o rc l i n i cd i a g n o s e s w i t ht h e d e v e l o p m e n to f i n f o r m a t i o i lt e c h n o l o g ym o r ea n dm o r es k i l l sa r eu s e di nt h es i g n a la n a l y s i s e c g s i g n a li n c l u d e sn o to n l y5 0 h zp o w e r l i n ei n t e r f e r e s ，m u s c l en o i s e ，b u ta l s om o t i o nn o i s e s o ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt od e n o i s ea n dr e c o g n i z e t h ee c g s i g n a 】s e r i e s i nt h ep a p e r , t h ee c g c h a r a c t e r i s t i c sd e t e c t i o n p r o c e s sa r ed i s c u s s e d i nt w o w a y s 1 1t h el e a s t s q u a r ew a v e l e tt r a n s f o r m ：an o v e lw a v e l e t t h el e a s t s q u a r ei sp r o v i d e d ， w h i c hi su s e dt od e n o i s et h ee c g s i g n a ls e r i e s w i m t h eh e l po f i t , ah i g h e rc o r r e c tr a t ei nt h e e c gc h a r a c t e r i s t i c sd e t e c t i o nc a nb eg o t t e n 2 ) t h es t r a t e g i e su s e d i nt h ee l e c t r o g r a p hc h a r a c t e r i s t i c sd e t e c t i o n ：as e to f s t r a t e g i e st h a t u s e di nt h ew a v e l e tb a s e de c gc h a r a c t e r i s t i c sd e t e c t i o ni ss e t u p 1 ) t h e s es t r a t e g i e s c a r l g i v ep r o m i n e n c et ot h eq r sc o m p l e xa n da p p l i c a b l e f o rt h e n o i s ea r e a w 弛t h e s es t r a t e g i e s w ec a l ld e n o i s ea n da l l o c a l et h ep r e c i s ep o s i t i o no f t h eq r s c o m p l e xt h e d e t e c t i o nr a t eo f q r s c o m p l e x i sa b o v e9 9 9 f o rt h em i t b i hd a t a b a s e k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m , t h el e a s t - s q u a r ew a v e l e tt r a n s f o r m ， e l e c t r o c a r d i o 蓼a ms i g n a l ，s t r a t e g yf o r d e t e c t i i 北方工业大学 y7 5 2 7 5 2 让簋扭应厦 ：学科 学科带头人( 签字)丝竺 磅“厂年厂月，i 曰 学位论文任务书 研究生；于德海 鱼息王捏堂瞳学院一 盐箕扭廛旦专业 撞式丛s 研究方向 论文题目：量! 三丞! 遮星墓垄! 坠鱼篮曼遢别史鳆厦旦 选题的来源、意义和价值：奎迟遵婆自i e 立直型耋亟旦! ：旦王匿旦盟i l 虫 痘厶竖巫运动压i l 起的伪蒸夔垂丛墓羞王匡堂圈堡闻星鳗迭二主要班窒尘遮变垫塑 鱼王强王垫匡虫的：坠电篮曼挂堑握墼的闻墅! 宣墨! 坠鱼篮兰丛堡塑亟圭堂埋理h 丝蛆 窥! 塞庭医痘堡鳇芒昌( h ! 盟墨当尘世昼丝蓝筮丛国塞垂垄邀速蕉星盟亘盔亡些盏 生查这二：塑塑垦型邀：王鱼差丞鲍亡些! 查垦由! 塞旦医豆丝墨筮立堡璀他日：起生 险璧! 直扬鲎量堡占国睡直扬的! ! ! 固些! 堡芒些蕴涵羞巨盍煎塑一 学位论文工作自! ! 1 3 年! !月! q 日起 呈交学位论文日期 答辩日期 至 ! q q ! 一年 ! 月3 q 日止 5月 i 月 i ! 日 导师( 签字) 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 北方工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 虢珥i 蒸：2 鳓 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北方工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名：避导师签名：绰日期：盟 北方工业大学硕十学位论文 第一章绪论 心脏是人体最重要的器官之一，它的搏动是我们身体能量的源泉。然而，各式各样 的心脏疾病，重则危及患者的生命或使其丧失劳动能力，轻则降低其生活质量。所以， 对心脏疾病的研究，一直是现代临床医学研究的重中之重。 1 8 8 7 年，w a l l e r 用毛细管静电计第一次描记出人体心电图波群，开创了心电图记录 的先河。1 9 0 3 年，被誉为“心电图之父”的荷兰莱顿大学的生理学家w i l l e m e i n t h o v e n 利用自制的弦线型心电流计画出了令人满意的心电图波群，并于1 9 0 5 年将心电图机正式 应用和推广到临床应用。1 9 1 2 年w a l l e r 将心电图机记录的心脏电变化曲线命名为 e l e c t r o c a r d i o g r a m ( e c g l ，称心电图。 在此以后的1 0 0 百年间，临床心电图学得到了长足的发展f l j 。由于诊断可靠、方法 简便，且对病人无损害，故在临床上得到广泛应用，尤其在房颤、急性心梗等恶性心脏 疾病的预报方面，已成为临床诊断中不可多得的有力工具之一。鉴于e i n t h o v e n 在心电 图方面所做出的开拓性工作及其重大的实用价值，1 9 2 4 年他被授予了第一届诺贝尔医学 奖。 1 1 心电信号基础 图1 1 心电示意图 心脏的基本活动包括电活动和机械活动，在每个心动周期中都是电活动在前机械活 动在后，两者相差0 0 4 0 0 7 s ，形成了兴奋与收缩耦联。正常人体心脏，在生命活动中 j 方互业大学硕士学位论文 呈现潞规律毪、特征往的心电信号曲线和闰形，而心脏器质性痫变必然引起心电信号的 改变，呈现出病态的心电曲线和图形。 心脏在祝械髓收缩之前，首兔产生电激动。心螽凡活动所产生的微小电流可经过身体 缀绥传导至g 体表，使体表的不同部位产生不同的电压。如菜在体表放置两个电极，分别 篇导线连接至争0 电鼙枫的两漆，它虢会按照心脏激动的时间颓净，将体寝两点间的电位 蓑记录下来，形成一个条连续静盏线就是心电阉。如图1 1 所示为髓0 电示意雷及其 上各波形、对满段或阙期静名称。 然焉，在实琢检测过程中，心奄信号本身会西瘫入的瘸情不同，呈现宙复杂多样的 形态吼图i 2 为在检溪过程中，常觅鼢心电舀波形。 图1 2 靛嘘，灼一心电嬲波形 同时，在实际的检测过程中，心电信号也会受到多种嗓声的干扰，常见的干扰有以 下几种阱： ( 1 ) 工频干扰 它主要由于电源磁场作用于心电图机与人体之间的环形电路所致，电源工频f 二扰频 率为5 0 6 0 h z 。如图1 3 所示： 一2 一 北方业人学硕士学位论文 图1 3 受工频干扰的信号 ( 2 ) 肌电干扰 由于病人肌肉紧张，产生不规则的高频电干扰，表现为不规则的快速变化波形。如 图1 4 所示，可以看出肌电干扰信号的能量虽然不是很大，但是从心电图上看，却可以 影响医生对心电图的正常诊断。 图1 4受肌电干扰的信号 ( 3 ) 基线漂移 主要由于病人呼吸运动或者电极电极一皮肤界面阻抗所致。它属于低频干扰，频 响一般小于1 h z ，表现为缓慢变化的曲线。如图1 5 所示 ( 4 ) 非平稳噪声 图1 5受基线漂移干扰的信号 3 北方工业大学硕士学位论文 在实际的检测过程中，通常会遇到其他的非平稳噪声的干扰，此类干扰产生的原因 较复杂，不可单一而论。如图1 6 所示。 图1 6受非平稳干扰的信号 由上可见，心电信号本身有多种形态，并且在实际检测过程中，会受到多种因素的 影响和多种噪声的干扰。所以，对心电信号的自动识别是一个复杂的过程。在具体的识 别过程中，首先是在心电信号的预处理过程中对各种噪声信号进行抑制、去除干扰，突 出心电信号的特征；在此基础上，进一步对心电信号进行定位、判断和识别。而这一切 都必须要有一套强有力的工具来辅助才能完成。 1 2 心电信号分析的研究内容 心电图检查不仅包括心率分析，更重要的是进行e c g 信号的参数提取和波形识别， 即e c g 信号分析。e c g 信号分析的主要内容是提取p 、q r s 和t 形波的各种参数，其 准确性和可靠性直接决定着下一步对疾病诊断的准确性。其中，对q r s 波的检测是分析 e c g 信号的基础，只有在对其进行精确定位以后，各种基于q r s 波的疾病识别才有意 义。 早期的e c g 信号分析是由临床医生根据个人经验进行判断的，这一过程非常费力， 而且会因为个人的原因而产生误判，尤其是2 4 小时动态心电仪( h o l t e r ) 的广泛使用， 使这一矛盾更加突出。由于心电信号波形的复杂性，各种随机的、非平稳的噪声的干扰， 不同年龄、不同性别的人在生理上的变异性，尤其是不同病症在心电图中所反映的不确 定性，这些都给q r s 波的精确检测带来了极大的困难。所以，目前在迸一步提高e c g 信号检测的准确率以及使分析诊断系统小型化等方面，都有大量的研究工作要做。 e c g 信号记录的方式可分为两种类型： 4 北方工业大学硕十学位论文 一种是从体表多个方位来记录，t 5 电信号，即使用多个( 3 个以上) e c g 导联，以获 得某段时间内心脏是否发生异常、异常的性质和程度，以及病变发生的区域。临床使用 的1 2 导联心电图( 4 j ，向量心电图等都属于这种方式。 另一种方式是在体表少量的位置( 一般是1 、2 个导联) 连续记录分析很长时间的心 电信号，时间长达数小时甚至数天，其侧重了解在较长时间里心跳节律是否正常，以及 发生失常的时刻、类型和形态等情况。临床使用的心电监护和h o l t e r 心电记录分析系统 等都属于这种方式。 第二种记录方式常用在携带式仪器中，患者在记录时间内可进行活动，因而在e c g 记录中常常带有大量的噪声，分析时遇到的困难较大，大多的e c g 检测技术也是针对 第二种方式提出的，分析时常常是一个导联接个导联地进行，然后在把每个导联的分 析结果加权形成一个反映多导联的综合结果。因而，单个导联e c g 信号检测技术是e c g 自动分析的基础。本文研究的检测方法也正是基于单个导联的前提下提出的。 针对心电信号中q r s 波的检测，目前国内外常用的有硬件、软件以及软、硬件结合 等多种方法，但是各种方法均有其不足之处【5 j 1 6 】吼 采用硬件实现q r s 波检测具有处理速度快、结构相对简单的优点，但是方法上不如 软件实现灵活，对于复杂的情况应付能力比较差；而且它处理的参数比较少，一般仅检 测q r s 波的位置，很难提取q r s 波宽度和面积等参量。 q r s 波的软件检测方法可以方便地进行数字滤波、线性和非线性变换以及判定处理 等，并可灵活选择调整处理的参数，对复杂情况进行判断，因而相比硬件检测方法显示 出许多优越性8 1 。q r s 波的软件检测方法主要分为非参数法和参数法两大类。 1 3 1 非参数法的q r s 波检测方法 非参数法的q r s 波检测方法，即句法分析方法。其根据是心电信号的病理特征不仅 与波形的各种参数有关，而且与其波形形态有直接关系。句法方法处理心电信号一般不 对信号作变换，处理过的信号以及为识别q r s 波建立的模式还可以进一步识别p 、t 波和 其他成分，这是句法的长处。 一5 北方工业大学硕士学位论文 句法方法存在的问题是：( 1 ) 它对噪声较敏感；( 2 ) 由于要建立e c g 的模式，采用一 系列数值特征判别，处理速度较慢；( 3 ) 在进一步的心律失常分析下不便沿用医生传统分 析方法与步骤。 1 3 2 参数法的q r s 波检测方法 1 3 2 1 基于经验判断的检测方法 在可变闽值检测方法中，p a n 等人。1 的工作很具有代表性。他们提出的实时算法包 括以下环节：采样的心电信号经过数字带通滤波器( 通带为5 - 1 5 h z ) ；微分后再平方，平 方过程可突出微分后曲线的斜率，并有助于减少由于t 波具有更多高频分量而引起的假 阳性；再做移动窗口( 1 5 0 m s ) 积分，积分所得的结果既包含q r s 波群的斜率，又包含q r s 波群的宽度的信息，然后应用两种阈值进行检测。胡小林”0 3 在其研究中采用的是自适 应差分阈值的方法检测q r s 波。 有学者利用斜率阈值的方法来寻找最大斜率，也即r 波峰值，并形成一样板波，在 此过程中r r 间期是随时进行调整的。但对个别复杂的心电波，平均探测灵敏度和正探测 率这两个指标偏低。 总的说来，基于经验判断基础上的检测方法，都没有明确的数学模型。 1 3 2 | 2 基于e c g 数学模型的检测方法。 l i n k p 等人”1 提出用线性预测( l p ，l i n e a rp r e d i c t i o n ) 方法联合中心剪取变换( 用 t t l 电路实现) 检测o r s 波，其基本原理是e c g 的每个采样点可以用其前面p 个采样点经 过一定的线性组合来构成，也即可以表达成一个自回归线性模型( a r 模型) ，利用线性预 测值与实际e c g 采样值的差，也即残差信号( r e s i d u a le r r o rs i g n a l ) 来判断异常心律。 这种方法的重要性表现在其精确给出参数估计的能力和计算速度方面，但该方法对噪声 较敏感，并且该类方法一般均比较复杂而不适合检测。 1 3 2 - 3 基于数学形态学的检测方法 该方法”对q r s 波群的检钡4 通过对f f c g 信号所作的形态运算检测出来。这个运算 是信号峰谷提取运算。被提取信号成分( 波峰、波谷) 的形态由结构元素决定，零振幅的 水平线段集合被作为结构元素。o r s 波，由于它包含陡峭的正的或负的波峰，且其周围 区域不包含b ( 数学形态学上的一个参数) ，因此能够被有效地识别出来。该方法构成的 o r s 波检测体系具有数学上的严谨性、精确性和鲁棒性，并且，这种方法计算过程简单， 仅需做形态运算( 开关) ，这只要用比较即可( 最大最小运算) ，同时抗噪声能力强。c o a s t 等人“鼬还提出一种采用隐式m a r k o v 模型分析作为一个随机序列，每个波和线段作为隐 一6 一 北方t 业大学硕士学位论文 式m a r k o v 链的隐形状态，根据先验知识( 已知e c g 的状态与采样值) ，计算各种状态相应 于采样点的概率，而后把这种概率分布与待处理的e c 6 信号结合，识别出信号中的q r s 波。这种方法对高p 和高t 波有一定区分能力，但计算量很大，实际应用匿难。 1 3 2 4 基于神经网络的检测方法 由于心电波形的复杂性，其特征和推理都具有多变性和不确定性，仅依靠数学运算 的信号处理方法和符号逻辑运算的模式分析方法分析心电图，已不能得到令人满意的解。 具有自学习。自组织、自适应和并行处理等特点的神经网络为解决上述问题提供了一个 有效的方法。x u eq z 等人“如开发的基于人工神经网络的自适应匹配滤波器用于心电 图的o r s 复合波的检测。王继成、吕维雪“43 用回归神经网络进行心电图分析。根据具 有不同特点的心电图波形，自动调整回归神经网络的结构参数，由心电图波形动态变化 的信息实现心电图模式分类，结果表明该系统在提取e c g 中动态变化的波形信息、抑噪 等方面较其他方法有很大的改进，并且提高了e c g 分析的正确率。但均因为计算的难度 较大，无法得到广泛应用。 1 3 2 5 基于小波变换的检测方法 以上无论是参数检测还是非参数检测方法都各有其局限性，近年来发展起来的小波 变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 技术，在提高q r s 波检测算法的抗干扰性方面取得了较好的结 果【1 5 【1 6 【1 7 1 【1 8 】。小波变换的基本思想是用一族函数去表示或逼近一信号或函数，这一族函 数称为小波函数系，它通过一基本小波的平移和伸缩构成。该变换具有以下三个特点： 多分辨率；品质因数即相对带宽恒定；可在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。 形象地讲，小波变换有“变焦距”的功能，在高频部分，它有“显微”能力，这一特点 在处理突变信号时很有用，保证了w t 应用于q r s 波检测的可行性。该技术利用信号在不 同尺度( 频段) 上的不同分布。来检测o r s 波的多个参数。李翠微等人1 9 1 1 2 0 j $ | j 用二进样条 小波对信号按m a l l a t 算法进行变换：从二进小波变换的等效滤波器的角度，分析了信号 奇异点( r 峰点) 与其小波变换模极大值对的零交叉点的关系。在检测中运用了一系列策 略以增强算法的抗干扰能力、提高q r s 波的检测正确率。 用小波变换方法检测 r s 波具有以下一些特点： ( 1 ) 由于小波变换w 2 f ( n ) 能代表信号不同频率上的分量，高频噪声主要在s = 2 1 和s = 2 2 上。在s = 2 3 的尺度上，高频噪声有很大衰减，而基线漂移、运动伪迹等容易造成 误判的低频成分也主要在s = 2 4 和s = 2 6 上，在s = 2 3 尺度上较小，该尺寸主要反映了q r s 波， 可用来检测q r s 波。 7 - 北方 一业大学硕士学位论文 ( 2 ) e c g 信号记录中出现伪迹很容易造成误判，在小波变换检测方法中，通过去掉 孤立极值点能很好地解决这个问题。 综上所述，采用软件实现q r s 波检测可以灵活选择调节各类参数，对复杂情况进行 判断处理，能够方便地增加检测的参数，虽然它的速度与硬件相比较慢，而且软件结构 相对复杂，但用软件方法可以方便地进行数字滤波、线性和非线性变换以及判定处理等， 显示出许多优越性。尤其是随着硬件性能的不断提高，用软件实现o r s 波检测的临床应 用将会更有意义。 1 4 本文所做的主要工作及组织框架 国内外已有不少学者针对q i t s 波的检测方法做了大量的研究，他们也针对性地提出 了不少解决方案嘲 1 0 】 1 2 】 2 j 】，但是这些方法，在干扰较轻时，检测的准确率较高，当受到 严重干扰或遇到非典型r 波常常是疾病发生的地方时，检测错误率则较大1 。针对这一 情况，同时根据小波变换所具有的优良品质，本文作者对小波变换进行了深入研究，并 将其应用于q r s 波的检测中，经m i t b i h 数据库检测，取得了良好的效果。 基于小波变换的q r s 波检测要做的工作主要有两个：一是选择合适的小波函数；二 是制定q r s 波的检测策略。选择一个合适的小波函数，就可以最大限度地突出特征点， 这样会极大地提高检测的准确度。同时，一套完善的检测策略则是剔除近似点、确保检 测准确度的关键。 本课题的研究内容包括以上两大方面：一是提出种新型的、适合强干扰区的高精 度小波；二是提出一套完善的、基于小波变换的e c g 信号的r 波检测策略。 本论文从理论研究和应用实践两个主要方面论述了本人的主要工作和研究思想： 第一章绪论简单介绍论文的主要研究内容、所采用的方法以及目前国内外的研究现 状；第二章主要介绍小波变换基本原理以及常用的几种小波，然后从多分辨率分析角度 把小波变换理论与数字滤波联系起来，从而把小波变换理论引入工程实践；第三章为对 最d , - 乘小波的理论研究，同时对最小二乘小波和样条小波进行了性能对比；第四章主 要阐述了基于小波变换的e c g 信号的r 波检测策略、实验及结果对比；第五章则为针 对位于强干扰区的同一段心电信号，将最小二乘小波、三次样条小波及三次b 样条小波 分别进行噪声分析、心电信号重构、以及运用相应的检测策略对r 波进行检测的综合对 比实验。 8 一 北方工业大学硕十学位论文 第二章小波变换的基础理论 小波变换( w t ，w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是8 0 年代后期以展起来的应用数学分支，但在我 国起步较慢。它是一种新型信号分析工具，被数誉为数学上的显微镜 2 3 1 ，它具有多分辨 率，品质因数恒定，在时、频两域都能表征信号局部特征的能力。 近年来，小波变换已成为数学分析的一个重要工具，其应用领域也越来越广，如微 分方程、数值分析和信号处理。小波分析可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信嗓 分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。在工程技 术等方面的应用，包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流分析、以及生物医 学等方面 2 4 1 1 2 ”。 2 1 小波变换与常见小波基函数 小波变换的含义是：把某一被称为基本小波( 也叫母小波m o t h e r w a v e l e t ) 的函数 i f ，( f ) 作位移r ，再在不同尺度a 下与待分析信号系统厂 ) 作内积闭： w t ：( a ，z - ) = f f ( t ) n + ( 等) a t = 口 o ( 2 1 ) 口。 口 、 。 其中，符号 代表内积，它的含义( 上标+ 代表共轭) 。即： = if ( t ) y + ( t ) d t( 2 2 ) 小波变换在频域的等效表示如下： w t f ( ) = 等川脚) 甲+ ( 训7 d o )口 0 ( 2 3 ) 式中f ( c o ) ，甲 ) 分别是，( x ) ，p ) 的f o u r i e r 变换。 2 1 1 小波变换的特点 ( 1 ) 多分辨率 9 北方工业丈学硕士学位论文 如图2 1 所示，小波变换的作用可形象地比喻为：用镜头观察目标，( x ) ( 也就是待 分析信号) ，_ ；f ，( x ) 代表镜头所起的作用( 例如：滤波或卷积) ，f 相当于使镜头相对于 目标平行移动，口的作用相当于镜头向目标推进或远离。 目标地f ( t ) 口 镜 头 垂 直 移 动 图2 1 小波变换的示意图 由此可见，小波变换具有多分辨率( m u l t i r e s o l u t i o n ) ，也叫多尺度( m u l t i s c a l e ) 的特 点，可以由粗及精地逐步观察信号。 ( 2 ) 品质因数恒定 我们也可将小波变换看成用基本频率特性为甲( ) 的带通滤波器在不同尺度口下对 信号作滤波。在分析高频信号时，取较小a 值，时间轴上观察范围小，相当于用较高频 率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察。对低频信号，取较大a 值，时间轴 上考察范围大，相当于用低频小波作概貌观察。分析频率有高有低，但在各分析频段内 分析的品质因数“q = 中心频率带宽”却保持一致。 ( 3 ) 适当地选择基本小波，使矿( x ) 在时域上为有限支撑，、壬，( ) 在频域上也比较 集中，便可以使w t 在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信 号的瞬态或奇异点。 一】o 北方工业大学硕士学位论文 2 1 2 小波分析与傅里叶分析的对比 傅野f ( f o u r i e r ) 分析的贡献在于两点口h ： ( 1 ) 用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余弦函数之和， 这一无限和，现称之为傅罩叶级数。也就是说，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不 规则，都能表示成一组光滑的曲线之和，见图2 3 。这种表达方式实际上是将信号函数投 影在由正弦函数和余弦函数组成的正交基上，实施对信号的傅里叶变换。 ( 2 ) 解释了为什么这一数学论断是有用的。1 8 0 7 年，傅里叶显示任何周期函数( 图 2 2 中最下图形) 是由正弦和余弦函数( 图2 r 2 中上面的三个图形) 叠加而成。 1 d 02 0 d 4 0 0咖8 0 0 嘎 08 。 图2 2 傅里叶分析几何解释 傅里叶分析从本质上改变了数学家对函数的看法，提供了某些微分方程的直接求解 方法。从本质上讲，傅里叶变换就是一个棱镜( p r i s m ) ，它把一个信号函数分解为众多的 频率成分，这些频率又可以重构原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变。 f o u r i e r 棱镜与自然棱镜的原理是一样的，只不过自然棱镜是将自然光分解为多种颜色的 光而己。 1 1 0 1 ， o 4 2 0 2 北方工业大学硕士学位论文 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 属于时频分析的一种，是傅里叶分析发展的一个新阶 段。传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种 全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局部性质， 而这种性质恰恰是非平稳信号最根本、最关键的性质。 小波分析是一种窗口大小固定不变但其形状可改变的时频局部化分析方法。它具有 多分辨率分析( m u m r e s o l u t i o na n a 】y s i s ) 的特点口9 】，而且在时频两域都具有表征信号 局部特征的能力。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部 分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反 常现象并展示其成分，所以被誉为数学上的“显微镜”。正是这种性质，使小波变换具 有对信号的自适应性。原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方，都可以用小波分析取 代。小波分析因在时域和频域同时具有良好的局部化性质而优于傅立叶变换。 小波分析自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关。小波基的构造以及结果分析 都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同： ( 1 ) 傅立叶变换的实质是把能量有限信号f ( t ) 分解到以e l 删为正交基的空间上去；小 波变换的实质是把能量有限信号f ( x ) 分解到w 00 = 1 2 j ) 和v - j 所构成的空间上去。 ( 2 ) 傅立时变换用至0 的基本函数只有s i n ( c a 9 ，c o s ( a ) t ) ，e x p ( c a 0 ，具有唯一性；小波 分析用到的函数( 即小波函数) 则具有不唯性，同一个工程问题用不同的小波函数进 行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题f 也 是小波分析研究的一个热点问题) ，目前往往是通过经验或不断的试验( 对结果进行对照 分析) 来选择小波函数。 ( 3 ) 在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特另是对于那些频率成分比较简 单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，例如， s i n ( c o1 t ) + 0 3 6 s i n ( o j2 t ) + 3 3 c o s ( c o3 t ) 。但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，即无法 从信号f ( t ) 的博立叶变换f ( c o ) 中看出f ( t ) 在任一时间点附近的性态。事实上，f ( c o ) d 是关于频率为国的谐波分量的振幅。在傅立叶展开式中，它是由f ( t ) 的整体性态所决定 的。 f 4 ) 在小波分析中，尺度口的值越大相当于傅立叶变换中的值越小。 一1 2 北方_ _ l 业大学硕上学位论文 ( 5 ) 在短时傅立叶变换中，时间宽度是一个定值。在小波变换中，时间宽度是随着尺 度d 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。这是一项很符合实际工作需 要的特点，因为如果希望在时域上观察得愈细致，就愈要压缩观察范围。而这一特点也 是傅里叶变换所不具备的，其时频特点对比见图2 1 3 。 卟静船 圈瞄瞄翻 阁 鬻 缓 堂管 囹 蔷 ( a ) s t f t 分析单元的特点( b ) c w t 分析单元的特点 图2 3 短时傅里叶变换( s t f t ) 和连续小波变换( c w t ) 的时频分析特点对比 ( 6 ) 若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短时 傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波变换带通滤波器的带 宽则正比于中心频率，即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等q 结构( q 为滤波器 的品质因数，且有q = 中心频率带宽) 。 2 1 3 几种常用的连续小波基函数 ( 1 ) m o r l c t 小波 m o d e t 小波是一种单频复下弦调制高斯波，也是最常用的复值小波】。 一生 时域关系：妒( t ) = e 2 ep ”，0 9o 5 频域关系：、壬，( c o ) = 互磊 1 3 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 北方工业大学硕： 学位论文 m o r l e t 小波形式不满足可容许性条件，因为甲洄= o ) 0 ，3 v 过当o o 。5 时，我们认 为甲= 0 ) “0 ，近似满足容许条件。m o r l e t 小波是一种复数小波，其时、频两域都具 有很好的局部性，常用于复数信号的分解及时频分析中。 f 2 ) m a r r 小波 m a r r 小波为高斯函数的二阶导数，在珊= 0 处，甲( ) 有二阶零点。 时域： 吣小节；= 一新刁 ， 频域： 甲( ) = 2 石2 e2 ，甲( = 0 ) = 0 ( 2 7 ) ( 3 ) d o g ( d i f f e r e n c eo f g a u s s i a n ) d 、波 d o g 小波是两个尺度差一倍的高斯函数之差， 二阶零点 时域： vr f 、：已一一三p 一； y ( f ) = 已2 一p 8 在= 0 处，它的f o u r i e r 变换具有 ( 2 8 ) 它在：o 处它的傅里叶变换具有二阶零点：甲白：o ) = o ，罢兰白= o ) = 0 a c 口 ( 4 ) 紧支集样条小波( s p l i n ew a v e l e t ) 紧支集样条小波是由b 样条函构造的小波形式。在曲线拟合中，样条函数使拟合的 曲线不但本身平滑，而且其导数也平滑。样条函数是低通函数，不是带通函数，不能用 作小波。但是由样条函数却可以导出一组具有带通性质的小波函数。 臼( f ) 的频域表示为： 矽( 彩) 1 4 ( 2 9 ) 拦三竺： s 一 北方工业大学硕士学位论文 由此得到对应的h 。( ) ： 聃，= 铬s 3 学) 2 2 常见小波变换类型 2 ：2 1 一维连续小波变换 设o ) 为一平方可积函数，也即y ( f ) r ( r ) ，若其f o u r i e r 变换甲国) 满足容许条 件( 完全重构条件) ： f 盟幽岛 ( 2 1 1 ) ； 则称( f ) 为一个基本小波或小波母函数。将小波母函数y ( f ) 进行伸缩和平移，则有 以) 础等) 0 ，础( 2 1 2 ) 其中，。为伸缩因子( 又称尺度因子) ，f 为平移因子。由于尺度因子口、平移因 子r 是取连续变化的值，其值可正可负，因此称沙。( f ) 为连续小波基函数，也称小波母 函数。 对于任意的平方可积函数( 记作，( z ) 三2 ( 月) ) 的连续小波变换为： 眄( 叩) = = 击胍) y ( t - 口r ) 衍( 2 1 3 ) 其中，符号 代表内积。 y 。，( r ) = 妒( 三) 是由同母函数吵( f ) 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。 口 d 由于小波基函数在时间、频率域都具有有限或近似有限的定义域，因此，经过伸缩平稳 后的函数在时、频域仍是局部性的。当口逐渐增大，基函数儿，( 0 的时间窗口a t 逐渐 变大，而其对应的频域窗口国相应减小，中心频率逐渐变低。相反，当a 逐渐减小时， 1 5 北方3 2 _ , 1 k 大学硕士学位论文 基函数矿。( f ) 的时间窗口a t 逐渐减小，而其频域窗口a e o 相应增大，中心频率逐渐升 高。 下面对窗口变化的情况做定量分析： 定义小波母函数y ( f ) 窗口宽度为出，窗口中，心为t 。，则尺度因子为口、平移因子为f 的连续小波基函数 吲垆去( 争 窗口中心为： f 。= “f o + f 窗口宽度为：乞，= a a t 同样，设妒。( f ) 的f o u r i e r 变换为甲。( ) 则有 其频域窗口中心为 其窗口宽度为： r - ”( o j ) = d 2 9 ”。甲0 国) l a f2 一c o0 口 1 a 缈。，5 一a 口 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 可见，连续小波y 。( f ) 的时、频域窗口中心及宽度均随尺度口的变化而伸缩。著 称a t a c o 为窗口函数的窗口面积： 1 a t ”a c o = 二a c o 必f = a t a ( o( 2 ，2 0 ) “ 所以连续小波基函数的窗口面积不随参数口、, g - 而改变。由此可得如下结论： ( 1 ) 尺度的倒数土在一定意义上对应于频率缈，即尺度越小，对应频率越高，尺 度越大，对应频率越低。从时域上讲，小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时问 信号。实际中高频信号必然持续时间很短，低频信号必然持续时间较长。 ( 2 ) 在任何f 值上，小波的时、频窗口的火小脚、国都随频率国( 或者一二) 的2 蛮化而变化。 1 6 北方工业人学硕士学位论文 ( 3 ) 在任何尺度口、时间点f 上，窗口面积a t a c o 保持不变。 ( 4 ) 由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是一组带 通滤波器，而且带通宽度与中心频率的比值也是保持不变的。 将不同口、f 值下的妒。( t ) 的时频域窗口绘在一张图上，我们就得到小波基函数 的相平面，如图2 4 所示。 如 峨 rl & j1 t卜1 卅 l & 卞口 l j蠹k 七!d 。，一k 。 知li 船 图2 4 小波基函数的相平面 2 2 2 离散小波变抉 由连续小波变换的概念知道，在连续变化的尺度口及时间f 值下，小波基函数 y ( f ) 具有很大的相关性，因此信号的连续小波变换系数y 。( f ) 的信息量是冗 余的。 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数r ) = 。击矿( 等) 的口、r 限定 在一些离散点上取值，一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化( 一般取 2 ) 。关于位移的离散化，当口= 2 0 = i 时，儿，( f ) = 妒o f ) 。通常对f 进行均匀离散 取值，以覆盖整个时间轴，为了不丢失信息，要求采样间隔r 满足n y q l l i s t 采样定理，即 1 7 北方工业大学硕士学位论文 采样频率大于等于该尺度下频率通带的二倍。每当m 增加1 ，尺度口增加一倍，对应的 频带减小一半，采样率可以降低一半，也就是采样间隔可以增大倍。 2 2 3 二进小波变换 对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散栅格n a 。= 2 ，a r = 0 ，即相当于 连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，这类小波称为二迸小波 表示为： = 2 沙( 等 亿z ， 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时 间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性， 这是它较之离散小波变换所具有连续的独特优点。 2 - 3 多分辨分析与m a l a t 算法 多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，m r a ) ，又称为多尺度分析是建立在函 数空间概念上的理论，但其思想的形成来源于工程。其思想与多采样率滤波器不谋而合， 使小波变换同数字滤波器的理论结合起来。 1 9 8 9 年，m a l l a t 提出了多分辨率分析的概念【3 0 】，将在那时之前的所有正交小波的构 造统一起来，为此后的构造设定了框架。同时，在这一框架下，他给出了信号分解为不 同频道的算法及重构算法，即m a l l a t 算法。该算法是实现小波变换的快速算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于n 丌在经典f o u r i e r 分析中的地位。 2 3 1 多分辨率信号分解的基本概念 多分辨分析可以从函数空间的剖分和理想滤波器组两个角度来引入。多分辨率分析 与滤波器组相结合不但丰富了小波变换的实用意义( 例如：语音通讯中的子带编码、图 像处理中的金字塔式数据压缩等) ，而且对小波滤波器组的设计提出了更系统的要求， 使离散栅格