（基础数学专业论文）s半拟正规传递群研究.pdf

中山大学硕士毕业论文 s 半拟正规传递群研究 专业名称：基础数学 指导老师：王燕鸣教授 作者：徐敏 【中文摘要】 一个群g 具有s 半拟正规传递性质是指s 半拟正规性在g 的予群间是可以传 递的。本文主要研究了具有s 半拟正规传递性质的有限群g 的结构、性质。证明 了s 一半拟正规性质是子群遗传、商群遗传的( 定理2 1 ) 、s s p t - 群的子群和商群亦 为s s p t - 群( 推论2 1 ) ；利用群论中i t 6 的极小非幂零群的结构定理、西罗定理并结 合极小反例的方法得出了有吣- 半拟正规传递群关于最小素因子p 是p 幂零群 ( 定理2 2 ) 、具有s 半拟正规传递性质的有限群存在超可解型s y l o w 墩推论2 2 ) ； 在证明s s p t - 群的次正规子群可被阶与其互素的元素正规化( 定理2 3 ) 的基础上； 得到s s 阡群关于每个整除群阶数的素因子p 是p - 正规的( 定理2 4 ) ；其次，证明 了具有s 半拟正规传递性质的有限群是超可解群( 定理2 5 ) ；最后得出了判断一 个有限群是否为s 半拟正规传递群的等价条件( 定理2 6 ) ，进而得到s p t - 群可以推 出s s p t - 群的结论 【关键词】 有限群s - 半拟正规p 幂零p 一正规可解超可解西罗定理 s 一半拟正规传递群研究 r e s e a r c ho ns s p t - g r o u p s m a j o r ：m a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ：w a n gy a n m i n g a u t h o r ：x um i l l a g r o u pg i ss a i dt ob ea s s p t - g r o u p ，i fs - s e m i p e r m u t a b i l i t yi sat r a n s i t i v er e l a t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fs s p t - g r o u p w ep r o v e dt h a tt h es s e m i p e r m u t a b i l i t yi si n h e r i t e db ys u b g r o u pa n df a c t o rg r o u p t h es u b g r o u p sa n df a c t o rg r o u p s o fa s s p t - g r o u pa r ea l s os s p t - g r o u p s b yu s i n gt h es t r u c t u r eo fm i n i m a ln o np - n i l p o t e n tt h e o r e m ( i t 6 ) ，s y l o wt h e o r e m ，w ec a l lc o n c l u d et h a ts s p t - g r o u p sa r ep - n i l p o t e n tw h e r epi st h e s m a l l e s tp r i m ed i v i s o ro ft h eo r d e ro fg ，t h e nw ec a ni n f e ras s p t - g r o u ph a sas y l o wt o w e ro f s u p e r s o l v a b l et y p e t h es u b n o r m a lg r o u ph o fs s p t - g r o u pgc a nb en o r m a l i z e db ya n ye l e m e n t xw h o so r d e ri sp r i m et ot h eo r d e ro fh ，s s p t - g r o u pi sp - n o r m a lt oa n yp r i m en u m b e r pw h i c h c a nd i v i d et h eo r d e ro fg w ea l s oc o n c l u d et h a tb yu s i n gm a t h e m a t i c a li n d u c t i o na n dh a l lt h e - o r e m ，s s p t - g r o u p sa r es u p e r s o l v a b l e a tl a s tw e f i n do u tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n o fas s p t - g r o u pa n db yu s i n gt h i sc o n c l u s i o nw ef i n do u ts p t - g r o u p sa r es s p t - g r o u p s k e y w o r d s f i n i t eg r o u ps - s e m i p e r m u t a b i l i t yp n i l p o t e n tp - n o r m a ls o l v a b l es u p e r s o l v a b l es y l o wt h e o - r e m 中山大学硕士毕业论文 符号说明 本文采用规范的符号，为了叙述的方便和统一，特将文中所用的一些符号作如下说明： g i g i z ( a ) d ( z ) ( z ) e x p g ng g qg nqg qqg nc h a r g n h g n i g ：h l g ( 日) g 瓯 s u l p ( a ) o p ( g ) 有限群 群的阶 群g 的中心 x 元素的阶 由元素x 生成的循环群 群g 的方次数 是g 的子群 是g 的真子群 是g 的正规子群 是g 的真正规子群 是g 的次正规子群 是g 的特征子群 和日的积 g 关于正规子群的商群 子群在g 中的指数 在g 中的正规化子 礼阶循环群 n 次对称群 g 的s y l o w p - 子群集 g 的阶与p 互素的全体元素生成的群 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：纨刍久 日期：2 口o 年占月2g 日 学位论文使用授权声明 。本人完全理解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复制、缩印或其他方法 保存学位论文保密的学位论文在解密后使用本规定 学位论文作者签名：纨欲导师签名磁 日期：) - o l 口年占月j 箩日 日期坳巧自 第一章绪论 1 1 有限群的研究背景 群是现代数学最基本和最重要的概念之一，它在数学本身及现代科学技术的很多方 面都有广泛的应用【1 】群论的研究起源十八世纪末，数学家伽罗瓦在解决“五次方程能否用 根式”的过程中，就创造了“群”，“域”这样的代数体系他的工作可以看成是近世代数的发 端，这不仅是因为他解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致 了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革在此之后柯西，阿贝尔等人也对群论作出了发 展最先产生的是n 个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问 题即五次的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔 和伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n 次多 项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群1 8 3 2 年伽 罗瓦证明了：一元n 次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群 为可解群。由于一般的一元n 次方程的伽罗瓦群是n 个文字的对称群& ，而当n 5 时不 是可解群，所以一般的五次及五次以上的一元方程不能用根式求解伽罗瓦还引入了置换 群的同构、正规子群等重要概念应当指出，柯西早在1 8 1 5 年就发表了有关置换群的第一 篇论文，并在1 8 4 4 1 8 4 6 年间对置换群又做了很多工作若尔当的名著“置换和代数方程专 论”中又对置换群作了很好的介绍和进一步的发展置换群是最终产生和形成抽象群的第 一个最主要的来源 在数论中，拉格朗日和高斯在研究具有同一判别式的二次型类是发现，对于两个型 的“复合”乘法，构成一个交换群。戴德金和克罗内克于1 8 7 0 年在其代数数论的研究中也引 进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源 在若尔当的专著影响下，克莱因于1 8 7 2 年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的 分类可以通过无限连续变换群来进行克莱因和庞加莱在对“自守函数”的研究中曾用到其 它类型的无限群( 即离散群或不连续群) 。在1 8 7 0 年前后，m s 李开始研究连续变换群即 2 s - 半拟正规传递群研究 解析变换李群，用来阐明微分方程的解，并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象 群论产生的第三个主要来源 凯莱于1 8 4 9 年、1 8 5 4 年和1 8 7 8 年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。弗 罗贝尼乌斯于1 8 7 9 年和内托于1 8 8 2 年以及迪克于1 8 8 2 1 8 8 3 年的工作也推进了这方面认 识。1 9 世纪8 0 年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理 系统，大约在1 8 9 0 年已得到公认 有限群是群论中运用最为广泛的，也是在众多学者、数学家研究最多的，涉及面最 广的一个研究领域：群的构造、可解群、群表示、模论、群类论等。有限群论最基本的问题 之一就是决定给定阶群的所有互不同构的类型，即对于给定阶群进行完全分类这是个 很古老的问题，即使从1 8 7 8 年凯莱明确提出这个问题算起，至今也有一百多年的历史这 期间，很多数学家进行了大量的工作，在不少方面已经取得了相当可观的成绩，1 9 世纪末 到2 0 世纪初是有限群论发展的一个黄金时代，有限群的基本理论的基础得到完成，有限 群的常表示论也建立起来并显示出巨大威力在2 0 世纪三、四十年代，布饶尔系统地创立 了有限群模表示理论5 0 年代又是有限群论蓬勃发展的新阶段，最关键的是有限单群分类 定理的布饶尔纲领，谢瓦莱关于任意域上谢瓦莱群的统一构造方法和j 汤普森对佛罗比 纽斯幂零补猜想的证明二十世纪八十年代初，有限单群分类定理f 2 】的解决是数学史上辉 煌成就之一有限单群分类定理的证明历时1 5 0 多年，使用了抽象群论、表示论、几何的以 及组合图论中的方法，参加这项工作的数学家前后共有几百人，最终证明了有限单群共 有1 8 个无限族和2 6 个零散单群有限单群分类工作的完成开辟了有限群论发展的新时代， 其结果、理论和方法在广泛的科学研究领域中有重要应用，并不断激发新理论的出现和 新方法的产生时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概 念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支 中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还 具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、 量子化学以至( 代数) 编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广”群”的概 念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大 中山大学硕士毕业论文 3 的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。今天，群论经常应用于物理 领域粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的 某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似 与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关1 8 9 3 年，挪威科学家李和谢弗 尔斯将群论与微分方程结合起来，使有限群的概念扩展到无限群、连续群，导致现代李 群的建立 1 2 本文研究背景及内容 本文中出现的所有的群都是指有限群 子群、商群与算术结构是一个群的最基本的数学特征，即通过群g 的子群结构、商群 结构和算术结构加条件来刻画群g 的结构这就涉及两个问题：考虑g 的怎样的子群? 增加 什么样的条件? 在被利用的子群中，我们通常主要考虑的是s y l o w 子群、h a l l 子群、极大子 群、极小子群等，因为它们总是存在的而在加条件方面，就涉及群g 的一部分子群的正 规性和交换性在刻画幂零群、超可解群等重要的可解群的子类方面，人们做了大量的工 作例如： 定理1 1 【3 1 若群g 有一个奇数阶幂零极大子群，则g 为可解群 定理1 2 3 1 群g 超可解的充要条件是有极大子群m 在g 的指数i a ：m i 是素数 定理1 3 【4 】群g 的所有子群在a m 有补的充要条件是a m 每个s y l o w 子群是初等交换 群 定理1 4 5 1 如果奇数阶群g 的所有极小子群在z ( g ) 中，则g 为幂零群 定理1 5 【6 】如果奇数阶群g 的所有极小子群在g 中正规，g 为超可解群 定理1 6 闭若群g 所有s y l o w 子群的极大子群在g 中正规，则g 为超可解群 而要继续推广以有结论，就要对正规性条件进行弱化，所以就有了下面几种对正规 性条件弱化的定义： 4s 半拟正规传递群研究 k h 定义1 1【8 】群g 的子群日称为是拟正规子群，如果任给k g ，则日k = k 日 定义1 2 【9 】群g 的子群日称为8 一拟正规子群如果任给群g 的s y l o w 子群k ，成立条件日k = 定义1 3 【l o j 群g 的子群日称为半拟正规子群如果任给群g 的子群k ，成立条件日k = k h ，这罩( i h i ，i k i ) = 1 拟正规是一种比次正规要弱的条件因为次正规性质在群之间是传递的，所以群论学 者们开始研究上面几种弱化的正规性能否在群中传递，一般而言，半拟正规，正规性，拟正 规性以及8 拟正规性在群之间不是传递的，群论学家的兴趣在于刻画上述性质可传递的群 的结构所以，有了如下定义： 定义1 4 群g 称为t 群如果正规性是传递的，即任给g 的子群日，k ，m ，由日塑k ，k 璺 m 可以得到日鱼m 定义1 5 群g 称为p t 一群如果拟正规性是传递的，即任给g 的子群日，km ，由日拟 正规于k ，k 拟正规于m 可以得到够拟正规于m 定义1 6 群g 称为p s t 群如果8 拟正规性是传递的，即任给g 的子群日，k ，m ，由 h s 拟正规于k 。k s 拟正规于m 可以得到h s - 拟正规于m 一个群g 称为s p t 群如果半拟正规性是传递的，即 定义1 7 任给g 的子群日，k ，m ，由日半拟正规于k ，k 半拟正规于m 可以得到日半拟 正规于m 可解t 群，刀群，p s t 群已经被许多群论学者研究过【1 1 ，1 2 ，1 3 | 关于可解t 群，g a s c h i i t z 1 4 1 于1 9 5 7 年证明了： 定理1 7t 群有一个奇数阶阿贝尔正规h a l l 子群l ，g l 是一个戴德金群，并且g 的 元素可以诱导出l 上的幂自同构 关于可解p t 一群，z a c h e r 1 5 1 得出： 中山大学硕士毕业论文 5 定理1 8 可解尸t 群有一个奇数阶阿贝尔正规子群l ，g l 是一个幂零剩余群，并 且g 的元素可以诱导出l 上的幂自同构 对于可解p s t - 群，a g r a w a l 1 6 】得出： 定理1 9 可解p s t - 群有一个奇数阶阿贝尔正规子群l ，g i l 是一个幂零群，并j i g 的 元素可以诱导出l 上的幂自同构 近来，许多学者开始研究p t - 群汞i p s t - 群的s y l o w 子群的结构b e i d l e m a n 【1 7 】和 b a l l e s t e r - b o l i n c h e s1 1 8 1 弓l 入了如下定义： 定义1 8 设g 是有限群，p 是素数我们说群g ： ( 1 ) 【1 7 】满足性质，如果g 的每个s y b w 少子群p 拟正规于g ( p ) ； ( 2 ) 【1 8 】满足性质k ，如果任给g 的少子群日，s ，这里日s ，有日s 拟正规于d ，g ( s ) ； 定义1 9 设g 是有限群，u 是g 的子群： ( 1 ) 【1 9 】u 正规嵌入到g ，如果u 的每个s y l o w = 子群都是g 的某个正规子群的s y l o w 子群； ( 2 ) 【2 0 u 拟正规嵌入到g ，如果u 的每个s y l o w ：子群都是g 的某个拟正规子群的s y l o w 子 群； ( 3 ) 【2 1 u s 拟正规嵌入到g ，如果u 的每个s y l o w 子群都是g 的某个s 拟正规子群t 约s y l o w 子 群； b e i d l e m a n 1 7 1 证明了： 定理1 1 0g 是可解p t - 群当且仅当对每个整除i g i 的素因子p ，g 满足条件k b a l l e s t e r - b o l i n c h e s1 1 8 1 证明了： 定理1 1 1 g 是可解p s t 一群当且仅当对每个整除i g i 的素因子p ，g 满足条件 f e l d m a n 2 2 证明了： 定理1 1 2 有限可解群g 是t 群当且仅当g 的每个子群都正规嵌入到g 关于p 丁群，p s t 群，王丽芳、王燕鸣【2 3 】得出： 6s 半拟正规传递群研究 定理1 1 3 有限可解群g 是p t 群当且仅当g 的每+ p - 子群都拟正规嵌入到g ，这 里p 是整除i g i 的素数 定理1 1 4 有限可解群g 是p s t - 群当且仅当g 的每个p 子群都8 拟正规嵌入到g ，这 里p 是整除i g i 的素数 而关于s p t 群王丽芳、王燕鸣【2 3 1 得出： 定理1 1 5 一个群g 是s p t 群的充要条件是g 有个奇数阶阿贝尔正规h a l l 子群日使 得g h 是一个幂零群，并且g 的元素可以诱导出日上的幂自同构此外，设s 是群h l 拘l s y l o w 子群，z ，可是g 的元素，其中z 是矿元，可是g - 元，p ，q 譬i t ( h ) 并且p 口则有s c ( z ) 或 者s 蚀( y ) 成立 定理1 1 6 设群g 是有限s p t 群，p 是整除群g 的阶数的最小素因子，则g 是p 幂零 群 定理1 1 7 设群g 是有限9 p j f l 群，则群g 存在超可解型i 拘s y l o w 塔 定理1 1 8 设群g 是有限群则下列结论等价： ( i ) g 是s p t 群； ) g 的每个素数幂阶子群半拟正规于g ； ( i i i ) g 的每个子群半拟正规于g 中山大学硕士毕业论文 7 1 3 本文的主要结构 第一章绪论 介绍了有限群的研究背景、研究现状；本文的研究背景、研究现状 第二章主要结果 这是本文的主要部分。首先介绍了有限群理论中经常要用到的定义和已有结论，有 限群理论的特点是条件灵活，推理过程极富技巧性，构造性的证明过程很多，常用方法是 极小反例、归纳法和反证法，s y l o w 定理是有力的工具在本章中，首先，我们在研究背景 中所提到的8 拟正规、s p t 群的基础上，提出了8 半拟正规和s s p t 群的定义，利用类比 的思想，对s s p t 群的子群、商群、p 幂零、矿正规、可解、超可解等性质作了研究，得出 了相应的结论 第三章本文的结束语和有待研究的问题 最后是参考文献、致谢和原创性声明 第二章主要结果 2 1 基本概念和引理 定义2 1 设g 是有限群，p s y l p ( a ) ，我们称g 是p 一正规的，如果对任意9 g 有： z ( p ) g p = 争z ( p ) g = z ( p ) 定义2 2 设g 是有限群，p s u l p ( a ) 如果有g 的正规子群，满足1 3p = 1 ， n p = g ，则称g 是p 幂零群，而称为g 的正规p 聿 定义2 3 设： 1 = g oqg 1q qg 。= g 是g 的一个主群列则g 件1 g l 称为g 的主因子特别的，如果p l g i + 1 gi ，则称 g i + 1 g 是g 的p 主因子 定义2 4 设g 是有限群，若g 的主因子g + l g 均为素数阶循环群，则称g 是 超可解群 定义2 5 设g 是有限群 并且存在g 的正规序列： 满足 g i = 西1 露。，p l p 2 g 。= 1 g i 一1 g “= 霄，i = 1 ，8 则称群g 存在s y l o w 塔 定义2 6 一个群g 的子群日称为是8 一半拟正规于群g ，如果任给g 的子群k s y l p ( a ) ，并 且( i h i ，p ) = 1 , 贝i j h k = k h 9 1 0s 半拟正规传递群研究 定义2 7 一个群g 称为是s s p r 群，如果任给g 的子群且km ，由日3 半拟正规于k ，k s 半拟正规于m 可以得到h s 半拟正规于m 定义2 8 设g 是可解群，i g l = 衍1 硝2 瑶。再设g p s ! ，( g ) ，i = 1 ，2 ，s ，我 们称s = a p 。，g p i 为a n - - 个s y l o w 系( 有些文献上称为s 讲伽基) ，如果对任意 的z ，歹都满足q 。g 乙= g 珊g 刍 引理2 1 2 4 1 i 及p ，只是g 的两个s y l o wp 子群，且子群1 m 里p ，m p 1 ，但m 碧 p 1 则存在z g 使o ( x ) = q b , 其中口素数，q p ，并满足： ( 1 ) $ 隹n g ( m ) ， ( 2 ) j ：( m ，胪，m 七q b _ 1 ) 勘群， ( 3 ) z b ( ，) c g ( j ) 引理2 2 f 2 4 】设g 是有限群，p s 可f p ( g ) ，若尸交换，则g 为p 正规 引理2 3 1 2 4 1 - 设p s y l p ( a ) ，uc h a rp ，且对某个夕g ，成立泸笪p ，则有u = u g 引理2 41 2 4 ( i t 6 ) 设有限群g 的每个真子群壁璃幂零但g 本身非矿幂零， 则有如下结论： ( 1 ) g 的每个真子群幂零； ( 2 ) i gj = f q 6 ，其中p ，q 为素数且p q , a ，6 均为正整数； ( 3 ) g 的s y l o wp - 子群pqg ，且若p 2 , $ l j e x p p = p ，而对于p = 2 ，有e x p p 4 ； ( 4 ) g 的s y l o wg - 子群q 循环 引理2 5 【2 4 】设g 是有限群，则下列事实等价： ( 1 ) g 是幂零群； ( 2 ) 若h g ，则日 g ( 日) ； ( 3 ) g 的每个极大子群m 璺g ； ( 4 ) g 的每个s y l o w 子群都正规于g ，因此g 是其所有s y l o w 子群的直积； 引理2 6 1 2 4 】设p 是有限群g 的最小素因子，h g ，且i g ：h i = p ，则日司g 中山大学硕士毕业论文 引理2 7 1 2 4 g 是有限群，p 是g 的s y l o w p - 子群，q 是g 的任p 子群，则存在g g 使得q p g 引理2 8 【2 5 】有限群g 的每个子群皆半拟正规的充要条件是以下两种情形之一： ( i ) g 是幂零群 ( ) g = 日m ，这里日是g 的奇数阶阿贝尔正规h a l l 子群，m 是g 的幂零子群并且： ( i ) m 中的每个元素通过共轭作用诱导出h 上的幂自同构 ( i i ) 设s 是群矧的s y l o w 子群，z ，可是m 的元素，其中z 是矿元，y 是g 一元，p ，q 隹7 r ( h ) 并且p g 贝0 有s 0 ) 或者s ( ) 成立 引理2 9 酬g 是有限群，是g 的正规子群，若可解，g 可解，则g 亦可解 引理2 1 0 1 2 4 1g 是有限群，若g 勋幂零，n g 是p - i e 规 引理2 1 1 9 4 g 是有限群，则g 可解的充要条件是g 存在s y l o w 系 s = g p 。，g p j ) s 半拟正规传递群研究 2 2 主要结果 我们以尸表示任一群性质，比如可解、交换、循环等等称群为p 群，如果g 具有性质p 以p 表示任一群性质，称p 是子群遗传的，如果由任一群g 是p 群可推出g 的任子 群日也是p 群；而称p 是商群遗传的，如果由任一群g 是p 群可推出g 的任一商群g n 也 是尸群 前面提到的群的可解性，交换性和循环性都是子群遗传和商群遗传的 当然有很多群性质既非子群遗传也非商群遗传例如以p 代表有限群的阶可被某指定 的素数p 整除的性质，则p 显然既非子群遗传也非商群遗传，因为单位元群是任一群的子群 和商群，但是它的阶不能被p 整除因此，本章首先验证定义2 6 中定义的8 半拟正规以及定 义2 7 中定义的s s p t 群满足子群和商群遗传 定理2 1 设群a s 半拟正规于群g ，且a h g ，贝 j a s 半拟正规于群日；若n 塑 g ，贝i j a n n s 半拟正规于群a i 证明因为群a s 半拟正规于群g ，所以根据定义任给k s y l p ( g ) ，并且( i a i ，p ) = 1 ，则a k = k a ，根据s y l o w 定理，任给p s y l p ( h ) ，存在q s y l p ( g ) ，使得p = qnh ，故 根据模律：a p = a ( qn 日) = a q nh ，而a qsg ，所以a p g ，即a p = p a ；任 给g 的s y l o w p 子群户，( i a n i ，p ) = 1 ，我们知道在自然同态7 r ：g _ 0 下，g 的全 体子群所成之集与g 的全体包含的子群所成之集之间存在一一对应的关系，于是不妨 设与户对应的g 的包含的子群为m ，取最s y l p ( m ) ，贝u p l n m ，而l 户i p = i m i p = i p l i p ，因此7 r ( p 1 ) = 户，根据一一对应关系，m = p 1 n j p 1 s y t p ( a ) ，从而j p a = 后久= 丽= 丽= a a = a 户，所以a n n s 一半拟正规于群g n 推论2 1设群g 是s s p t 群，h g ，n 璺g ，则日和g n 均为s s p t 群 证明 根据s s 尸t 群的定义，显然日是s s p t 群；任取0 = g 的子群a = a n ，雷= b ，这里a s 半拟正规于雪，即任取户s y f p ( 豆) ，( i a i ，p ) = 1 ，均有a 户雪，由定理2 1 ，a 户在 自然同态7 r ：g _ 0 下的原像a p b ，从而a s 半拟正规于b ，由此现任取0 的子群曰，霞，厨， 由 i s 半拟正规于露，露s 半拟正规于府可得h s 半拟正规于k ，k s 半拟正规于m ，所以h s 中山大学硕士毕业论文 半拟正规于m ，进而曰s 半拟正规于府，故8 是s s p t - 群 根据8 一半拟正规的定义，s - 半拟正规子群日只能和阶与其互素的s 伽子群相乘，其条 件弱于8 拟正规，但本文还是得n t 和定理1 1 6 类似的结果 定理2 2 设群g 是有限s s p t 群，p 是整除群g 的阶数的最小素因子，则g 是p 一幂零 群 证明假设定理结论不成立，取g 为极小反例，很明显，根据推论2 1 ，s s p t 群的子 群也是s s p t 群，由g 的极小性，我们知道g 的每个真子群都是p 幂零群根据引理2 4 ，我们 可以得到g = p q ，这里p 是g 的正规s y l o w p - 子群，o 是g 的循环s y l o w q 一子群，下面我们分两 种情况讨论： 情形1 ： p 不是循环群，这时任取z p 因为p 中没有与( z ) 阶互素的s y l o w 子群，所以缸) s 一 半拟正规于p ，又因为p s - 半拟正规于g = p o ，所以( z ) 5 一半拟正规于g 所以( z ) q g 。= l 满足 i g h g i i = 群，i = 1 ，8 所以，结论成立 根据上述定理，s s 尸t 一群关于能整除群阶数的最小素因子p 是p 幂零的，从而由引理2 1 0 知，s s p t 群关于能整除其群阶数的最小素因z j = p 是p 正规的，下面本文证明了此结论不但 对整除群阶数的最小素因子p 成立，对一切整除群阶数的素因子p 均成立，为此，需要证明以 下关于s s p t 群次正规子群的一个结果 定理2 3 设群g 是有限s s p 丁- 群，子群日q qg ，则任给z g ，n - ( i h i ，d ( z ) ) = 1 ，有x n c ( 日) 成立 证明根据次正规定义，存在正规群列 h 璺h 1 璺- 2g 塑里g 中山大学硕士毕业论文 1 5 从而h s 半拟正规于日l ，h i s 半拟正规于日2 ，日n s 半拟正规于g ，因为g 是有限s s p t 一 群，所以日s - 半拟正规于g 故任给p s v t p ( g ) ，并且( 1 日i ，p ) = 1 ，有日p g ，所以： h = h1 3h p 塑研n 日p 笪笪日击n 日p 塑日p = gn 日p 故日qqh p ，而( i h i ，i h p ：h i ) = ( i h i ，i h p i i h i ) = ( i h i ，i p l 1 日np i ) = ( i h i ，p ) = 1 ，故日是日尸的h a l l 一子群，因为( 1 日i ，i h inh p ：h i ) ( 1 日i ，1 日p ：h i ) = 1 ，所以日也 是研n 日尸的h a l l 子群，又日塑风n 日p ，所以根据s c h u r - z a s s e n h a u s 定理【2 4 1 ，h 是凰n 日尸唯 一的h a l l 子群，故hc h a r 既nh p ，而皿n 日p 司飓n 日p ，所以日塑玩n 日p ，同理可证 得h 笪h p ，故p n g ( h ) ，现任取。g ，且( i h i ，d ( z ) ) = 1 ，不妨设 o ( x ) = n = 西1 p ；2 硝，慨，1 日i ) = 1 ，1 i t 一0 ( n p 7 1 ，n 催2 ，n p 7 。) = 1 ，存在整数x l ，x 2 ，x t ，使得x l 礼p n l + x 2 n 储2 + + 观n 解t = 1 于是z = x 1 = 矿t 咖；1 + 沈n 佛2 + 相伸肼= ( z n p a l ) 扎( 矿1 1 拳) 乳，其 中矿1 1 , 7 是矶元素，必属于& 勖k ( g ) ，于是也有( 矿i p 7 ) 瓤，而由上面证明过程知 诸( z n p a 。) z t n o ( h ) ，所以z n o ( h ) 群 定理2 4 设群g 是有限s s p t 群，p 是整除群g 的阶数的任意素因子，则g 为p 正规 证明用反证法，假设群g 对某个p 整除群i g i y 昨t l z p - t t 规，根据引理2 2 知，尸非交换， 故z ( p ) 尸，且对p s v t ( a ) ，存在g g ，使得 z ( 尸尸p ，z ( p ) g z ( p ) 因为z ( p ) c h a rp ，根据引理2 3 有z ( p ) g 必p ，若不然则z ( p ) g = z ( p ) ，矛盾；令p 1 = p ，则1 z ( p ) 鱼p ，z ( p ) p 1 ，但z ( p ) 碧只，根据引理2 1 ，存在z g 使d ( z ) = 矿，其 中q 素数，q p ，并满足： ( 1 ) z 岳n a ( z ( p ) ) ， ( 2 ) j ：( z ( p ) ，z ( p ) 茁，z ( p ) x q b - ) 是汐群， 1 6s 半拟正规传递群研究 ( 3 ) z n o ( j ) c g ( j ) 贝j j z ( p ) j ，而，是p 群，但有限p 群的任意子群皆为次正规子群【2 4 1 ，故z ( p ) qq ，而j 塑 n a ( j ) ，所以z ( p ) q qn o ( j ) ，由于( d ( z ) ，z ( p ) ) = 1 ，根据定理2 3 中结论知，z g ( z ( p ) ) ，矛 盾! 综上，结论成立 对于s s p t 一群g ，推论2 2 指出g 存在超可解型的s y l o w 塔，根据可解的定义知g 为可解 群，但是，可解不一定超可解，超可解一定可解故下面本文首先用数学归纳法给出了区 别于利用推论2 2 指出g 存在超可解型的s y l o w 塔得到g 为可解群的证明，并进一步证明 了s s p t 群的超可解性 定理2 5s s p t 群g 是超可解群 证明分两步证明： ( 1 ) 证明对g 是可解群： 对群g 的阶数作归纳法，g 是有限s s p t 群，所以鳓l 是整除群g 的阶数的最小素因 子，则由定理2 2 知g 有正规p 1 - 补，而是s s 刀群，由归纳假设可解，而c y 是p 1 群， 亦可解，所以g 是可解群 ( 2 ) 证明g 是超可解群： 对群g 的阶数作归纳法，设m 是g 的极小正规子群由( 1 ) 知g 可解，不妨设： 7 r ( g ) = v i ，p 2 ，p s ，p l 耽 p 。 且i m i = p d ，根据推论2 1 知g m 为s s p t 一群，根据归纳假设，i g m i i g i ，g m 为超可解 群，所以若能证明im l = p l ，n g 是超可解群，下证之： 由( 1 ) 知g 可解，故根据引理2 i i ，g 存在s 们删系s = ，g p j ) ，因为 n = l ，i j 所以1 i = 一i 阮g p t i h 1 g 巧t l l - = lg p i i i ，同法可证i g p 。g p i = i q ，l j j i i ，故g = 因为mqg ，故mqq ，且mnz ( g p l ) l ，故 取1 夕m nz ( g p 。) ，这里o ( g ) = p l ，则( 夕) m n z ( g ；。) z ( m ) ，所以( 夕) 塑m ，x m 里 g ，故( 9 ) qq g ，根据定理2 3 知，对一切z g ，且( d ( z ) ，j ( 9 ) 1 ) = 1 均有z 6 ( ( 夕) ) ，而又( 9 ) 笪 中山大学硕士毕业论文 1 7 q ，因此任取z = x l x 2 x 。g = g p 。g p 2 g t ，戤，有( g ) 霉= ( 夕) z 甜“z = ( 夕) 锄“z = ( 夕) 霉= ( g ) ，所以( 夕) 望g ，因为m 是g 的极小正规子群，所以m = ( g ) ，l m i = p 1 综上所述，g 是超可解群 定理1 1 8 给出了有限群g 成为s p t 群的充要条件，用作判断一个群是否为s p t 群的 准则，下面本文利用定理2 5 中s s p t 群必可解的结论和可解群白e j s y l o w 系性质给出了有限 群g 成为s s p t - 群的充要条件 定理2 6 设群g 是有限群则下列结论等价： ( i ) g 是s s p t 群； ( i i ) g 的每个素数幂阶子群8 半拟正规于g ； ( i i i ) g 的每个子群8 半拟正规于g 证明( i ) 号( i i ) 假设： 丌( g ) = d 1 ，沈，孙) ，p l p 2 g n = 1 满足 i g i 一1 g i i = 霹，i = 1 ，n 设只是g 一1 的s y l o w p i - 子群，i = 1 ，2 ，礼，比较群的阶数可以发现： g n 一1 = r g n 一2 = 户k f k 一1 g 1 = r r 一1 马 g = g o = r r 一1 只 s 半拟正规传递群研究 下证：任给z g ，矸仍是g i l 的s y l o w p l - 子群 成立； 砰= r ( r 一1 p ) 茁= 路1 片= 鼍1 r = r 一1 p = g n 一2 所以跟1 仍是g n 一2i 约s y l o w p 一1 一子群； ( r 一2 r 一1 p ) 茁= 雉2 难l 焉= 焉2 r 一1 r = r 一2 r 一1 p = 瓯一3 所以景2 仍是g n a 的s y l o w p n 一2 - 子群；再同理可得上述结论成立 在此结论的基础上，我们若能证明诸只皆8 一半拟正规于g ，则群g 的一切s y l o w p i 子 群皆s 半拟正规于g 下证明之： 因为r = g n 一1qg ，所以r 自然和群g 的阶与其互素的s y l o w 子群可乘，所以根据定 义，r s 半拟正规于g ；而r 一1 r = g 一2 塑g ，同上知r 一1 p s 半拟正规于g ，但群r l r 中 阶数与r 一1 互素的s y l o w 子群只有r ，因为r s 半拟正规于g ，r 一1 是g 的s y l o w p n 一1 子群， 所以r 和r 一1 可乘，故r 一1 s 半拟正规于r 一1 r ，由于g 是s s p t 群，所以r 一1 s 半拟 正规于g ；同理可证上述结论成立注意到对只的任意一个子群k 而言，只没有阶与其互素 的s y l o w 子群，所以根据定义，k s 一半拟正规于只，故g 的每个s y l o w 子群的子群都s - 半拟 正规于g ，所以根据引理2 7 知，g 的每个素数幂阶子群都含在一个s y l o w 子群中，所以必 定s 半拟正规于g 结论成立 ( i i ) 号( i i i ) 任取h g ，s s p t 群可解，故日可解，根据定理2 5 ( 2 ) 的证明过程知： h = h n h 舰h p 。 这里月- p t s y l p 。( 日) ，组成h 的s y l o w 系 7 r ( 日) = ( p l ，p 2 ，仇) ，p l p 2 p a 根据( i i ) 中条件，诸缉。皆为素数幂阶群，从而均8 - 半拟正规于g ，任给g 的阶与日互素i 抢s y l o w t 中山大学硕士毕业论文 群a 因为 所以 所以 h = 耳。曰之珥。，( 川，1 日i ) = 1 ( i a i ，1 日p t i ) = 1 ，i = 1 ，s h a = 。玩a = i - 1 , 。a = 日p 。a 如一。= = a 1 - i , 。珥。= a h 结论成立 ( i i i ) 兮( i ) 明显成立 综上所述，结论成立 推论2 3g 是s p t 群号g 是s s p t 群 证明由定理1 1 8 知：由g 是s p t 群等价