（计算机软件与理论专业论文）一般有理参数曲线到有理bézier曲线转化问题的研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 由于n u r b s 方法可以用统一的方式表示由初等曲线曲面和其它自由曲线曲 面复合成的复杂曲线曲面，同时具有局部调整性及连续阶可调性等诸多优点，大 大增强了c a d c a m 系统的曲面造型功能，逐步成为几何造型的核心技术。有理 b e n e r 曲线作为n u r b s 曲线的特殊形式，得到了更为广泛的使用。 在曲面造型中，经常需要对曲线形状进行调整。用一般有理参数形式表示的 曲线缺乏控制点和权因子等控制信息，交互性差，而有理b e 2 i e r 曲线可以直接 通过改变控制点或权因子来调整曲线的形状，在形状调整方面直观而方便，因此， 将一般有理参数形式曲线转化为有理b e 2 i e r 表示是曲面造型中具有实际意义的 研究课题。 本文首先对n u r b s 曲线曲面的发展、有理b z i e r 曲线和一般有理参数曲线 的定义和性质等基本概念作了介绍，指出了将一般有理参数曲线转化为相应的有 理b e l i e r 曲线的必要性和可行性。 然后本文对一般有理参数曲线到有理b e l i e r 曲线的转化问题进行了讨论， 并且提出了一种一般有理参数曲线到有理b 6 z i e r 曲线转化的方法一升阶法。 一个，7 次一般有理参数曲线一般情况下不能转化为权值都不为0 的n 次有理 b e l i e r 曲线。本文对转化得到的月次有理b e 2 i e r 曲线进行升阶。求出了，7 次一般 有理参数曲线对应的有理b e l i e r 曲线，得到的有理b e 2 i e r 曲线的每个控制顶点 都能对曲线的形状产生影响，即每个控制顶点的权值都不为零，并且次数最低。 本文第二章中详细介绍了升阶法的思想、具体的转化步骤以及算法描述，并给出 实例说明。 本文在讨论了有理参数多项式转化成有理b e n e r 曲线的一般方法后，对小 于等于5 次的一般有理参数曲线到有理b e 2 i e r 曲线的转化给出了具体的转化结 果，以供查阅。更高次数的曲线转换可依法得到。 本文还讨论了升阶法用于将一般有理参数曲线转化成权值大于0 的有理 b d z i e r 曲线的可行性，拓宽了适用范围。 本文最后指出未来的研究方向，即一般有理参数曲线的次数和满足限制条件 的有理b e l i e r 曲线的次数之间是否存在一个直接而确定的对应公式，当给定了 山东大学硕士学位论文 任一条有理参数曲线就可以直接得到满足条件的有理b e 2 i e r 曲线。 关键词：n u r b s ：一般有理参数曲线：有理b 6 z i e r 曲线：升阶；曲线转化： 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t b e c a u s en u r b sc a ne x p r e s st h ec o m p l i c a t e dc a l v e sa n ds u r f a c e sc o m p o s e d w i t he l e m e n t a r ya n do t h e rc u r v e sa n ds u r f a c e su n i f o r m l y ，a n di th a st h ea d v a n t a g e so f l o c a lr e g i o na d j u s t i n ga n dc o n t i n u o u sr a n ka d j u s t i n g ，n u r b se n h a n c e st h ea b i l i t yo f s u r f a c em o d e l l i n gi nt h es y s t e mo fc a d c a m ，a n di sb e c o m i n gt h ec o r eo fg e o m e t r y f o r m a t i v et e c h n o l o g y a st h es p e c i a lf o r mo ft h en u r b s ，r a t i o n a lb d z i e rc u r v eh a s b e e nu s e dm o r ew i d e l y a d j u s t i n gt h es h a p eo ft h ec u r v ei sn e e d e di nt h es u r f a c em o d e l l i n g b e c a u s ea g e n e r a lr a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v ei ss h o r to fw e i g h t sa n dc o n t r o lp o i n t s ，i t si n t e r a c t i o n i sp o or ，w h i l et h er a t i o n a lb 6 z i e rc u r v ec a na d j u s ti t ss h a p ec o n v e n i e n t l yb ya d j u s t i n g i t sw e i g h t so rc o n t r o lp o i n t s s oh o wt oc o n v e r tag i v e ng e n e r a lr a t i o n a lp a r a m e t r i c c u r v et oar a t i o n a lb 6 z i e rc h i v ei sd e s e r v e ds t u d y i n g f i r s t l y , t h ep a p e ri n t r o d u c e s t h ed e v e l o p m e n to fn u r b s ，t h eb r i e fc o n c i s e c o n c e p t so fn u r b s ，b 6 z i e rc u r v e ，r a t i o n a l b f z i e rc u r v ea n dg e n e r a lr a t i o n a l p a r a m e t r i cc u r v e t h ee s s e n t i a l i t ya n dt h ef e a s i b i l i t yo fc o n v e r t i n gt h eg i v e ng e n e r a l r a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v et oar a t i o n a lb 6 z i e rc h i v ea r ep r e s e n t e d t h e nt h i sp a p e rd i s c u s s e st h eq u e s t i o no fc o n v e r t i n gag i v e ng e n e r a lr a t i o n a l p a r a m e t r i cc u r v et oa r a t i o n a lb 6 z i e rc u r v e ，a n dp r e s e n t sam e t h o d - - e l e v a t i o nm e t h o d i ng e n e r a l ，ar a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v eo fd e g r e enc a n n o tb ec o n v e r t e di n t oar a t i o n a l b z i e rc u r v eo fd e g r e enw i t hn o n z e r ow e i g h t s u s i n gt h em e t h o do fd e g r e e e l e v a t i o nt ot h er a t i o n a lb d z i e rc u r v eo fd e g r e en ，w ec a ng e tt h ec o r r e s p o n d i n g r a t i o n a lb 6 z i e rc u r v e ，a l lc o n t r o lp o i n t so ft h i sr a t i o n a lb d z i e rc u r v ec a r te f f e c tt h e s h a p eo ft h ec u r v e ，t h a ti st os a y ，t h ew e i g h t so fa l lp o i n t sa r en o n z e r oa n dt h ed e g r e e i st h el o w e s t a f t e rd i s c u s s i n gt h eg e n e r a lw a yo fc o n v e r t i n gag e n e r a lr a t i o n a lp a r a m e t r i c c u r v et oar a t i o n a lb & i e rc u r v e ，t h ep a p e rp r e s e n t st h ec o n v e r t i n gr e s u l t so fg e n e r a l r a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v e so f d e g r e en ( 疗2 2 ，3 ，4 ，5 ) 山东大学硕士学位论文 t h ee l e v a t i o nm e t h o da l s oc a nb eu s e dt op r o d u c et h er a t i o n a lb 6 z i e rc u r v ew i t h p o s i t i v ew e i g h t s ，w h i c hw i d e n st h ea p p l i c a b i l i t y a tl a s t ，t h ep a p e rp r e s e n t st h ef u t u r eo fs t u d i n g ，t h a ti sw h e t h e rt h e r ee x i s t sa c e r t a i nc o n v e r t i n gf o r m u l af r o mag e n e r a lr a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v et oar a t i o n a l b 6 z i e rc u r v e k e y w o r d s ： n u r b s ：g e n e r a lr a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v e ；r a t i o n a lb e l i e r c h i v e ；e l e v a t i o n ：c u r v ec o n v e r t v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：期：兰里! 拿：生复 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅：本人 授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：獐函导师签名： 日 期：兰翌里至：垒多 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景和意义 1 1 1n u r b s 曲线曲面的发展历史 c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) c a m ( c o m p u t e ra i d e dm a n u f a c t u r e ) 是随着航 r r 空、汽车等现代制造工业发展与计算机出现而产生和发展起来的，主要用途是描 述工业产品的几何形状。在航空工业中，由于飞机的外形复杂，含有复杂的曲面， 在制造上又要求较高的精度，因此对c a d c a m 提出了更高的要求，n u r b s 曲线 曲面由此产生，在国内外无数科研工作者几十年的努力下，不断得以完善和发展， 成为c a d $ 口c a g d 系统中最重要的一个概念。 6 0 年代初，f e r g u s o n 首先在飞机设计上应用了参数三次曲线1 1 1 ，引入了参 数方法表示的自由曲线曲面。1 9 6 2 年，b 6 z i e r 设计了以逼近为基础的曲线曲面 造型系统u n i s u r f ，其核心思想是用控制网格来定义曲线曲面的b 6 z i e r 方法【2 】。 随后，f o r r e s t 3 1 ，g o r d o n 和r i e s e n f e l d l 4 ，5 1 等对b a z i e r 方法做了进一步的研究， 揭示了b 6 z j e r 方法与b e r n s t e i n 多项式之间的联系。f a u x 和p r a t t 于】9 7 9 年最 先给出二次曲线弧的有理b 6 z i e r 表示，1 9 8 3 年，f a r i n l 6 更进一步给出了有理 b e z i e r 曲线的算法，该曲线能够统一表示圆锥曲线与自由曲线。 b 样条的概念最初是 扫s c h o e n b e r g 于1 9 4 6 年首先提出来的1 ”。c a r k 8 ，。 d eb o o r ( 1 0 ，1 1 和c o x 1 2 1 对b 样条曲线做了进一步的研究。7 0 年代初，g o r d o n 和 r i e s e n f e l d 等人研究了非均匀b 样条5 ，1 3 , 1 4 ，并首次将b 样条应用到外型设计 s l 。 在8 0 年代初期，l a n e 和c o h e n 提出了离散b 样条和分割技术”】。 1 9 8 2 年，b o e h m 提出了b 样条曲线的节点插入算法【i8 1 。首先将有理参数曲线曲面引入 形状设计的是波音公司的r o w i n 和麻省理工的孔斯，后来，b a l l 在c o n f u r f 系 统中构造了两类特殊的有理参数三次曲线：广义二次曲线弧和简单线性参数段。 v e r s p r i l l e 最先研究有理b 样条，并于1 9 7 5 年发表博士论文l l 川。随后，t i l l e t 论述了有理b 样条曲线曲面的具体应用。l p i e g l 和w t i l l e r 更系统地 探索了有理b 一样条曲线曲面的构造和形状调整问题，并系统论述了n u r b s 山东大学硕士学位论文 ( n - u n i f o r mb - s p l i n e ) 方法 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 】。n u r b s 方法在理论和实用上逐步趋向成 熟。由于n u r b s 方法可以用统一的方式表示由初等曲线曲面和其它自由曲线曲面 复合成的复杂曲线曲面，同时具有局部调整性及连续阶可调性等诸多优点，大大 增强t c a d c a m 系统的曲面造型功能，逐步成为几何造型的核心技术。鉴于 n u r b s 在形状定义上的强大的功能和潜力，产品模型数据交换的国际标准s t e p ( s t a n d a r df o rt h e e x c h a n g eo fp r o d u c tm o d e d a t a ) 把n u r b s 作为自由型曲线 曲面的唯一表示方法【2 4 j 。n u r b s 己日益成为众多c a d c a m 系统的基本几何描述 和数据交换的国际标准。 1 1 2 一般有理曲线到有理b e l i e r 曲线转化的必要性及研究现状 n u r b s 曲线曲面可用一个统一的表达式同时精确表示标准的解析形体( 如 圆锥曲线、旋转面等) 和自由蓝线、曲面，在计算机辅助几何设计( c a g d ) ，计 算机图形学( c g ) 和几何造型( g m ) 等应用领域中都获得越来越广泛的应用。 n u r b s 主要具有以下优点： ( i ) 可通过调整控制顶点和权因子，来修改曲线曲面的形状，具有较大的灵 活性。 ( 2 ) 计算稳定，速度快。 ( 3 ) n u r b s 曲线曲面在线性交换下是几何不变的。线性交换是指缩小、旋转、 平移、剪变、平行与透视投影等。 ( 4 ) n u r b s 具有强有力的几何配套技术，包括节点插入与删除、节点加密、 升阶、分割等的算法与程序。这些工具可用于整体设计、分析、加工和查询等各 个环节。 有理b e l i e r 曲线作为n u r b s 的特殊形式，具备了n u r b s 的优点，并且得 到了更为广泛的使用【2 4 】【2 5 】【2 6 】。 在曲线造型中，形状调整是经常而必要的。用一般有理参数形式表示的曲线 几何特征不明显，从调整的直观性和简易性考虑，并不适用。而有理b e l i e r 曲线 具有控制点和权因子，可以直接通过改变控制点或权因子来调整曲线的形状，在 曲线形状调整方面直观而方便，因此，将一般有理参数形式曲线转化为有理 b e l i e r 表示是曲线造型中具有实际意义的研究课题。 山东大学硕士学位论文 目前，对于一般有理参数形式曲线到有理b e l i e r 表示转化问题的研究很少。 1 2本文的目的和主要成果 本文的目的是将给定的一条”次有理参数多项式曲线： 转化成川( 肌 ) 次有理b & i e r 曲线，记为： w l b 7 ( t ) p s p ( t ) = 号_ 一 z w i 。b t ( t ) i = 0 ( 0 t 1 ) 其中只( f ：o ，i ，m ) 为控制顶点，w i ( ，= 0 ，i ，m ) 为控制顶点对应的 权因子。要求2 式的分母大于0 ，控制顶点p ，的权值7 ( i = 0 , 1 ，m ) 都不为 0 ，且，) ( ，) 的次数m 最小。限定w ，都不为零的原因是希望曲线升阶后p ( t ) 0 0m + 1 个控制点都对曲线的形状有影响。 本文首先讨论了有理参数多项式转化成有理b e k i e r 曲线的一般方法，一条一 般有理参数曲线一般不能转化为同次的权值都不为o 的有理b e k i e r 曲线，本文 采用升阶的方法，求出了该有理曲线对应的满足限制条件的有理b e k i e r 曲线的 最低次数以及该有理b e l i e r 曲线的控制点和权值。从而得到满足条件的有理 b d z i e r 曲线。 然后对小于等于5 次的一般有理参数曲线到有理b e k i e r 曲线的转化给出了 具体的转化结果。更高次曲线的转化结果可依法得到。该方法也可得到权值大于 0 的有理b e ：f i e r r 曲线。 1 3 各章安排 第一章绪论中介绍了n u r b s 曲线曲面的发展历史，一般有理参数曲线到有 理b e z i e r 曲线转化的必要性、研究现状以及本文的研究目的和成果。 娑r 塑 山东大学硕士学位论文 第二章主要介绍了一些基础知识，包括b 6 z i e r 曲线、有理b 6 z i e r 曲线以及 一般有理参数曲线的定义和性质。 第三章详细介绍了升阶法的基本思想、转化步骤以及算法描述。并讨论了该 方法用于得到正权值有理b 6 z i e r 曲线的可行性，最后给出了实例说明。 第四章给出了2 次、3 次、4 次、5 次有理参数多项式转化为满足条件的有 理b 6 z i e r 曲线的结果。 第五章对全文做了总结，指出了研究的不足，讨论了未来的研究方向。 4 山东大学硕士学位论文 第二章基础知识简介 2 1b 6 z i e r 曲线的定义和性质 线 在空间给定n + 1 个点只，只，只，称下列参数多项式曲线为”次b 6 z i e r 曲 p ( ，) = p ( ，) ，o ，l ( 1 1 ) 其中以( ，) 是b e r n s t e i n 基函数，即 以。( ，) 商“1 - 矿1 _ o ，1 ，一，” ( 12 ) 称折线r 鼻只为e ( t ) 的控制多边形 称只，鼻，e 各点为p ( ，) 的控制顶点。 控制多边形最印只是对b 6 2 i 。r 曲线 图ll 。次b 6 ：i 。，曲线及控制多边形 p ( ，) 的大致勾画，p ( t ) 是对控制多边 形的逼近。如图1 1 是n 次b 6 z i e r 曲线和它的控制多边形。 b e r n s t e i n 基函数( 如图1 2 ) 具有如下性质： ( 1 ) 非负性。( f ) o ( 2 ) 权性以。( f ) ；1 ( 3 ) ( 4 ) 大值。 ( 5 ) 对称性 j j 。( f ) = 以。( 1 一t ) ，i = o ，l ，n 最大值 z 。( ，) 在参数，= 一l 时，达到最 门 导函数 图1 2 四个3 次b e r n s t e i n 基函数 山东大学硕士学位论文 以。( f ) = n ( 以吐h ( r ) 一，l ( r ) ) ，i = o ，1 ， ( 1 3 ) ( 6 ) 递推公式 以。( f ) = ( 1 一f ) 以川( f ) + 以吐h ( f ) ，i = o “1 。，n ( 1 4 ) 其中厶。( f ) ；1 。 ( 7 ) 升阶 啪) = ( 1 一嘉) l ( r ) + 熹，) 由b e r n s t e i n 基函数的性质，可得到b 6 z i e r 曲线的性质如下： ( 1 ) 端点的位置 b 6 z i e r 曲线开始于点最，结束于点只，即 p ( o ) = 最，p ( 1 ) = 只 ( 1 5 ) b 6 z i e r 曲线j d ( ，) 在起点只处与边最鼻相切，在终点只点处与边只一，只相切， p ( 0 ) = 一( 月一只) p ( 1 ) = 月( 只一只一。) ( 1 6 ) ( 3 ) 端点的曲率 b 6 z i e r 曲线p ( ，) 在点矗和鼻处的曲率分别为 聃孚簪脚盟n 匦t w w l s ( 1 7 ) l r 0 li 。ij 一l 这可由式( 1 6 ) 和下式得到 p 。( o ) = n ( n 一1 ) ( 马一2 e , + 昂) p ”( 1 ) = n ( n 一1 ) ( 只一2 t 一l + 只一2 ) 由此可见，b e z i e r 曲线在端点处的r 阶导矢是由相邻的r + 1 个点决定的，与其 它的点无关。 ( 4 ) 仿射不变性 b 6 z i e r 曲线具有仿射不变性，也就是说b 4 z i e r 曲线的形状和位置仅与它的 控制顶点的位置有关，而与仿射坐标系的选择无关。仿射不变性的含义可解释如 下：给定”+ 1 个点只，鼻，只，设p ( t ) 是i 挞n + 1 个点构造的 次b 6 z i e r 曲线。 山东大学硕士学位论文 把p ( f ) 经仿射变换后在新的坐标系o x y 中的曲线记为声( f ) 。另一方面，设盯+ 1 个数据点经仿射变换后在新坐标系似_ y 中分别为耳，i ，耳，由它们构成的” 次b 6 z i e r 曲线记为卢( ，) ，仿射不变性的含义是户( f ) = 卢( ，) 。 ( 5 ) 凸包性 点集 p l i = o ，1 ，”) 的凸包是指包含这些点的最小凸集。由于以，。( f ) s 1 ， i = o 且0 0 ，。( ，) 1 ， 0 ，1 ，这说明对某个，值 p ( ，) 是各个控制顶点p 的加权平均，权因子依 次是以。( f ) ( i = 0 ，l ，n ) ，这意味着b 6 z i e r 曲线尸( ，) 位于其控制顶点蜀，鼻，只的凸包之 内，如图1 3 所示。 ( 6 ) 交互能力 控制多边形只只只大致勾画出了b 6 z i e r 曲线e q ) 的形状，因此可以通过改变控 图1 3 睢2 i e r 曲线的凸包性 制多边形的形状来改变p ( ，) 的形状，如图1 4 图1 4 雎z i e r 曲线陋控制多边形而变 所示，将控制顶点只移到亏处，j p ( ，) 的形状发 生了变化。 另外，移动p ( ，) 的第个控制顶点p ，将对p ( o 上参数为仁j 的点p ( j n ) 的影响最大，对远离t = j n 的点的影响越来越小，这种性质也称为拟局部性。 ( 7 ) 变差缩减性 如果b6z i e r 曲线p ( ，) 的控制多边形 只鼻p i 是一个平面图形，则平面内任一直线与 e ( t ) 的交点的个数不多于该直线与控制多边形 p o p , 只的交点的个数，这一性质叫做变差缩减 图1 5 畦。i 。，曲线的保凸性 性。此性质反映了b 6 z i e r 曲线比控制多边形波动的小，即b 6 z i e r 曲线比控制 山东大学硕士学位论文 多边形更光顺。 ( 8 ) 保凸性 如果平面上的凸控制多边形能使所产生的曲线为凸曲线，则称这种生成曲线 的方法具有保凸性。对于b 6 z i e r 曲线j p ( f ) ，把控制多边形只一只的终点只和 起点r 连接起来，如果昂弓只是个闭的平面凸多边形，则b 6 z i e r 曲线p ( ，) 是 一段凸的平面曲线，该性质称为b 6 z i e r 曲线的保凸性，如图1 5 所示。 2 2 有理b 6 z i e r 曲线的定义和性质 定义m 次有理b e 2 i e r 曲线： w ：矽( 鸺 p ( ，) = 号- 一( o f 1 ) w i b f ( t ) 其中只( i = 0 , 1 ，m ) 为控制顶点，w i ( i = 0 , 1 ，啪) 为控制顶点对应的权 因子， b 7 ( f ) ) 为b e m s t e i n 基。 有理b e l i e r 曲线有下列性质： ( 1 ) 凸包性：图形包含在由控制点 只) 形成的凸包中。 ( 2 ) 变换不变性：对控制点进行旋转、平移、按比例伸缩等变换下，有理 b 6 z i e r 曲线不变。 ( 3 ) 变差缩减性：任何给定的直线与该曲线的交点数均不超过它与该曲线控 制多边形的交点数。 ( 4 ) 端点插值条件：e ( o ) = r ，p ( 1 ) = 巴。 ( 5 ) 端点处的导数：在端点f = 0 和f = 1 处的七阶导数，依赖于起首肛1 个 控制点和权系数。特别地，p + ( 0 ) 和p ( 1 ) 分别平行于只一r 和圪一只一 2 3 一般有理参数曲线的定义和性质 定义一条n 次一般有理参数多项式曲线 山东大学硕士学位论文 q 广 _ o 一般有理参数多项式具有几何不变性和透视投影不变性。 墼 山东大学硕士学位论文 第三章升阶法 给定一条1 2 次一般有理参数多项式曲线： 喘筹倏阁， 要将其转化成m ( m 月) 次有理b e l i e r 曲线，记为 w i b ，( t ) p i 尸( f ) = 艺一( o 阁) i v ，卵( f ) i = 0 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 要求( 1 9 ) 式的分母大于0 ，控制顶点b 的权值w l ( i = o ，1 ，m ) 都不为0 ， 且j ) ( ，) 的次数m 最小。 3 1基本思想 先将( 1 9 ) 式的分母爿( f ) = a i f “转化成同次函数b e i e r 曲线 m ( f ) _ w i + 邵( f ) i = o 的形式，这里w ：为控制点，判断求得的权因子一是否都不为零，如果存在某个 权因子为o ，则将肘( f ) 升阶，直到所有的权因子w l ( i = o ，1 ，m ) 都不为零。 再将( 1 8 ) 式的分子b ( ，) = 6 。f 转化成川次有理b e ：i e r 曲线分子 w ；b ，( f ) o 的形式，求出控制顶点，即可完成有理参数多项式曲线到有理 i = 0 b e i e r 曲线的转化。 o 山东大学硕士学位论文 3 2转换方法步骤 3 2 1确定有理b 6 z i e r 曲线的次数和权值 将( 1 8 ) 式中的分母爿( ，) = 1 2 i f 转化成函数b e l i e r 曲线m ( ，) i = 0 m = w ：b 7 ( t ) ( 2 o ) 其中w ：( i = 0 , 1 ，m ) 为b e l i e r 曲线的控制顶点。根据参数，的系数相等，计 算得到w j 如下： ) 一w l c n l c n - i ( 一旷1 - w ：_ 1 c c ：+ 1 ( 一1 ) 对a ( t ) ，有 t = 0 f = l 因己限定爿( ，) 0 ，由( 2 1 ) 式知权因子w ：0 ，w ：0 。若存在= 0 ( i = 1 。2 一，”一1 ) ，即 次有理b e l i e r 曲线不能满足限制条件，需要用高于h 次 的有理b e l i e r 曲线来表示。因此需要提高n 次有理b e j i e r 曲线的次数，将 ( f ) = w ，+ b t ( t ) 升阶。b e ：i e r 曲线的升阶公式为： i = 0 瓦- ( 1 一寿) w 寿w 二，圳，1 ，川 ( 2 2 ) 其中，w ：l = w r + + l = 0 ，w 麓口w ；- 1 是，次b e l i e r 曲线第j i 和第i 个控制顶点，w i 为升阶后r + 1 次b e l i e r 曲线的第i 个控制顶点。 h 口+ 2 口+口+ n o d 口 ，、l = 、j f ，l 彳 山东大学硕士学位论文 对，次b e 五e r 曲线m ( r ) = 可口j ( r ) r ”) ，若权w w h + q 之间都是零权， 且个数最多，则对m ( f ) 升阶g 一1 0 ：，m ( f ) ：篁? + ，- 1 ( f ) ，由升阶公式( 2 2 ) 可得丽的值如下： c ；一h c ：“+ c i - i 斗。c ：w ：+ + c 宁+ ，i - n - 1 - 。c ：w ： 由于在升阶过程中有可能产生新的值为0 的权因子，再对升阶后得到的 彳( ，) 进行 上述判断及操作，直到m ( f ) 中所有权因子都不为0 ，升阶结束。 假设 取，) 升阶至m 次满足要求，升阶结束，得到权因子w ：的值如下： w 0 = w o c 二一。c o w j + c i - ic ：w i + + c i - nc 。n w ： ( 汪l ，2 ，m 1 ) ( 2 4 ) n 肘 从而将( 1 8 ) 式的分母爿( ，) = 1 2 i f “转化成( 1 9 ) 式分母w i 缈【f ) 的 i = 0i = 0 形式。 3 2 2 确定控制顶点只( i = 0 , 1 ，m ) 月 m 将( 1 8 ) 式中q ( f ) 的分子b ( f ) = 6 ，f 转化成( 1 9 ) 式分子w ；卵( r ) f 的形式，将式( 2 4 ) 带入w ；矽( f ) 只，得到控制顶点尸( i = o 1 ，m ) 如下： 山东大学硕士学位论文 r ：耸 w 0 p ：! 二塑 ii ! w i ! i - 1 2 i - il w l l i - 1 型i ! ! 二! 堡 w i c ；, 厶：生鱼# 垫 w m 。f b 州 其中，拈1 0 1 f s 胛 玎 o 的 j e 0 b e l i e r 曲线，升阶几次后将成为控制点都大于零的b e $ i e r 曲线，将是今后我们要 讨论的问题。 3 4实例 给定三次有理参数曲线尸c d = c x c 咄y c 啪= c 号i ；i 鲁，五荨j ；兰点， 将其按照上述方法转化成满足限制条件的有理b e i e r 曲线的形式。 首先，将坝f ) 、h f ) 的分母彳( f ) = 噩3 + f2 3 t + 1 转化成( 2 0 ) 式 由式( 2 1 ) 得以= 1 ，w ：= o ，w ：= 一：2 ， j 4 因为w ? = o ，x c m ( t ) 升阶f1 次，得m ( ，) = 硇? ( ，) 。由式( 2 3 ) 知一w 0 = 1 ， i = o 百：去，石：一 ，一w 3 ：o ，一w 4 ：2 。 ”1 _ 百，”2 一j ， 2 0 ，2 2 。 由于w 3 = 0 ，再对m ( f ) 升阶1 次， 5 得m ( f ) = 硇? ( o 。由式( 2 3 ) 知 f = 0 2 1 1 2 2 1 ，”l2 了，w 25 一而，w 32 一j ，w 42 j ，w 5 。2 ，权值都不为。 升阶结束，即p ( t ) 可转化为5 次有理b e 2 i e r 曲线。 再由式( 2 5 ) 求得转化得到的有理b e l i e r 曲线的六个控制顶点分别为 ( 2 ，- 1 ) 、( 3 ，o ) 、( “，- 1 0 ) 、( - 5 ，川) 、( 8 ，罢) 、( 4 ，3 ) 。 式形的 霹。竹 ，瑚 i i )m 山东大学硕士学位论文 第四章门( 肝= 2 ，3 ，4 ，5 ) 次一般有理曲线到有理b e 2 i e r 曲线的转 化结果 为书写方便，记w ，= w ；c ：( ，= 0 , 1 ，2 ，) 。下面分别给出2 次、3 次、4 次、 5 次有理参数多项式q ( f ) 在w f = w ；c ：( f ：o ，1 ，2 ，”) 取不同值时转化成的权因子 都不为0 的有理b e l i e r 曲线p ( r ) 的次数，再由( 2 5 ) 式、( 2 6 ) 式求出尸( ，) 的控 制点及其权值，从而可得到尸( f ) 的表达式。 4 1 p ( ，) 为2 次有理参数多项式 w l = 0 时3 次否则2 次 4 2 h ，) 为3 次有理参数多项式 ( 一) , e 1 7 i = 7 2 = 05 次 。二姐咿。：卜飞 善蒜7 次 【否则4 次 。删且肾。：卜- w f 款7 次 i 否则4 次 ( 四) w 0 a w ，0 ：3 次 4 3 e ( 0 为4 次有理参数多项式 ( 一) w l = w 2 = w 3 = 07 次 山东大学硕士学位论文 ( 二) w l = w 3 = o 且w 2 05 次 。三，w ：w ：。且w ，。：u = 一圭w 。或 1名孟一w，3=-2w41 次8 次( 三) w ：w ：o 且w 3 o ： u2 一i w 一或砉则7 次 悟则6 次 c 四，屿= = 。且“w i 一羹或。- 2 w 0 姜盂一该8 次 ( 五) w l = 0 且”2 0 且w 3 0 ： w 2 = 一w 3 且u = 一w 4 w 2 = 一u 且w 3 一w 4 w 2 w 02 7 次 一吾w 。或w 3 = 一3 w 4 8 次 7 次 8 次 w o 一w ：且w ，：一2 w 。jw o = _ 2 w 2 或w o = 一j 1 w z1 0 次 i 否则7 次 w o 一w 2 且w 3 - 2 w 4 6 次 w o2 一w 2 且w 2 一 7 次 w 2 一w 3 目l w 3 一w 45 次 9 次 w2一 = 或 w 1 3 一 = 则否 ，f【 = 则 m 否 ，j【 w w 一 = 或 2 w 一1j m 产侧 _ 否 =j1i铲，刮【 函 ： 叫 户 毛。做 = 则m 否 ，1 w l 一2 l 一2 一 2 w且 2 w一 6 山东大学硕士学位论文 ( 六) w 2 = o r w l o 且w 3 0 w o = 一w ，且u = 一h i f 弋次9 次 w o = 一w 1 且w j 一w 4 。一。，j w ，= 一号w 。或u = 一吾w 4 或w 3 = - 4 w 4 9 次 w ，：一w ， ”32 一j w 一甄u2 一i w 4 马啊) 32 - 4 w 49 次 i 否则8 次 。日一1 。j w l ：一昙或w ：一寻w 3 或一：2 u 9 次 w l 一w 3 且w 3 ：一去w 4 2 一j 或w l2 一j w 3 或一5 2 u9 次 l 否则8 次 。一心且w 3 ：一2 w 。 2 一言w 3 或w 12 一吉w 3 或2 - 4 w 3 1 0 次 w 1 一w 3 目- w 3 一= iw 4 且w 3 一2 w 46 次 w 0 一w 1 且w 3 = 一w 4 。：一w 。= 一言w 、或w 。= 一詈w 。或w o = 一百1w ，。次 i 否则8 次 w 1 一w 3 且w 0 = 一 w l 一w 3 且w 0 = 一 2 。i w 。= - 2 嵋或w 一= 一w 或w ，= 互1w ，9 次 1 否则8 次 三w ，i 否w t 则= - 。2 次w 3 或w l 2 一号w 3 或w i2 一去w 3 1 。次 w 】一且w 。一2 w l j | w o 一= 1w l 6 次 w o - - w i 且w 3 一w 45 次 ( 七) 岵= o 且o 且w 2 0 7 山东大学硕士学位论文 w = 一w ：且w 。= 一w 。 芸盂一3 ，w 次4 或w 2 = 一j 1 w 4 8 次 w l = 一w 2 且w o - - w w ：三一h jw o = 一詈w - 或w 。= 一j 1 s 次 l 否则7 次 w ：一w 。且w o = 一互1w ，l 【否w 2 贝= 4 - 赢1 w 4 或w 2 = 3 w 4 1 。次 w o 一w 2 且w 3 - 2 w 4 6 次 w 1 一w 21 7 4 w 02 一w 1 1f w 一- 3 w 4 2 - - , v 4 或w 2 = 一w 4 9 次 2 - 2 ”：1 否则7 次 4 。 w l + w 2 o 且w o + w i 05 次 4 4 p ( f ) 为5 次有理参数多项式 8 ( ) w 1 w 22 = o 1 1 w 2 o 且w 3 o 且w 4 0 一w 3 且w 3 一w 4 且w 4 一w 5 ( 1 ) w o + w 2 = o 且w 3 + 2 w 4 + w 5 o l ! 1 w 4 + 2 w 5 0 2 w s + 3 w 4 + w 5 = 0 嗽 b ：欲 硎欲 撕 朋 扎 诛 她 山 机 珈 i i w w 山东大学硕士学位论文 蓬) 2 w 3 + 3 w 4 + w 5 o 或w 3 + 3 w 4 + 3 w 5 = 0 f w 3 一w 4 = o 或5 w 3 + 9 w 4 = o 或4 w 3 + 9 w 4 = o 或w 3 + 2 w 4 = 01 0 次 l 否则9 次 2 w 3 + 3 w 4 + w 5 0 j 弓w 3 + 3 w 4 + 3 w 5 0 i ! 1 w + 3 w 5 = 0 f w 3 一w 4 = o 或6 w 3 + 1 1 w 4 = o 或9 w 3 + 1 4 w d = 01 0 次 i 否则9 次 ( a ) 2 w 3 + 3 w 4 + w 5 0 1 j l w 3 + 3 w 4 + 3 w 5 0 n w 4 + 3 w 5 08 次 ( 2 ) 0 + w 2 o 且w 3 + 2 w 4 + w 5 = 0 1 ；t w 4 + 2 w 5 0 q ) 3 w o + w 2 = 0 f 5 w 3 3 w 4 = 0 或5 w 3 + 8 w 4 = 0 或4 w 3 + 7 w 4 = 01 1 次 i 否则9 次 w 0 + 2 w 2 = 0 f 5 w 3 + 8 w 4 = o 或4 + 7 w 4 = 01 1 次 l 否则9 次 w o + 2 w 2 0 且w o + 2 w 2 o 且w 4 + 3 w 5 = 0 f 6 w o + w 2 = o 或4 w o + 3 w 2 = o 或5 w o + 1 3 w 2 = o1 3 次 l 否则9 次 w o + 2 w 2 0 r w o + 2 w 2 o 且w 4 + 3 w s 08 z y , ( 3 ) h + w 2 0 j ；j w 3 + 2 w 4 + w 5 0 且w 4 + 2 w 5 = 0 q ) 3 w o + w 2 = 0 f 5 w 3 3 w 4 = 0 或3 w 3 + 4 心= o 或4 w 3 + 7 w 4 = 0l o z y , 陌则9 次 w o + 2 w 2 = 0 9 次 o 0 i i 4 w 6+ w 5或 o = 4 w+w8 或o = 4 w- 斗+w 或o = 次 _ 9 h 一则心否 ，、，l 山东大学硕士学位论文 f 3 w 3 + 4 w 4 = o 或4 w