（基础数学专业论文）广义hirotasatsuma型耦合kdv方程的精确解.pdf

摘要 本文通过对三个位势的广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k o r t e w e g - d ev r i e s 方程的 l a x 对做规范变换，成功地构造出了上述方程的d a r b o u x 变换，从而为我们求解 上述方程给了一个系统的代数算法作为应用，本文求出上述方程的显式解 关键词，孤立子，达布变换，规范变换，h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k o r t e w e g - d e v r i e s 方程，精确解 a b s t r a c t b yi n t r o d u c i n gg a u g et r a n s f o r m a t i o no ft h el a xp a i ro ft h eg e n e r a l i z e d h i r o t a - s a t s n m ac o u p l e dk o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o nw i t ht h r e ep o t e n t i a l s ， w ep r o p o s ead a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no fi t t h e nas y s t e m a t i ca l g e b r a i c a l g o r i t h mw h i c hi su s e dt os o l v et h eg e n e r a l i z e dh i r o t a - s a t s u m ac o u p l e d k o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o ni sg i v e n a sa n 印p l i c a t i o n ，e x p l i c ts o l i t o n s o l u t i o no fi ti sg i v e n k e yw o r d s ：s o l i t o n ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；g a u g et r a n s f o r m a t i o n ； g e n e r a l i z e dh i r o t a - s a t s u m ac o u p l e dk o r t e w e 争d ev r i e se q u a t i o n ；e x p l i c t s o l u t i o n 一引言 孤立子理论是非线性科学一个重要方向自从1 8 3 4 年英国科学家j s c o t t r u s s e l 观 察到流体上的孤波，到1 8 9 5 年荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 在对上述 孤波进行分析的基础上，导出了k d v 方程至此，人们对孤子理论有了第一次亲密接触 由于对孤立子方程的研究，不仅反映一类非常稳定的自然现象，体现了一大类相互作 用的若干特征，为许多应用问题( 如光孤子通讯) 提供启示，而且孤立子方程作为一类特 殊的偏微分方程，它又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法所以，从2 0 世纪七 十年代以后，一个研究非线性发展方程与孤立子的热潮在学术界蓬勃地开展起来 随着研究的深入，大批具有孤子解的非线性波动方程在物理各领域不断被揭示出来， 其中包括等离子体中的非线性s c h r s d i n g e r 方程，振子运动t o d a 链与二维流体的k p 方 程等研究表明，这些方程具有如都存在l a x 对和无穷守恒德，都存在等谱流与非等谱 流，且相关的等谱方程族构成无穷h a m i l t o n 系统等共同性质此外，对孤子方程的求解技 术也取得了长足的进展，产生诸如反散射法，h i r o t a 双线性导数法，b 茜c k l u n d 变换法， 代数几何法，极点展开法，p a i n l e v 6 方法，f 展开法，d a r b o u x 变换法等方法 1 2 1 】 下面简单介绍一下d a r b o u x 变换法1 8 8 2 年，g d a r b o u x 9 】研究了一个二阶线性 常微分方程( 现在称为一维s c h r s d i n g e r 方程) 的特征值问题； 一九。一( 霉) 砂= a 砂( 1 1 ) 其中，u ( x ) 是给定的函数，称为势函数，a 是常谱参数d a r b o u x 发现：设u ( x ) 和毋( z ，a ) 是满足( 1 1 ) 式的两个函数，对任意给定的常数知，令f ( x ) = ( z ，知) ，即，是( 1 1 ) 式 当a = x 0 的个解，则由 旧善躲啼 z ， 所定义的函数露，( z ，a ) 一定满足 一无。一面( z ) = a 西( 1 3 ) 这样，借助于特解f ( x ) = ( z ，a o ) ，由变换( 1 2 ) ( ，0 时，它是有效的) 得到( 面，西) 是( 1 1 ) 的新解，( 1 2 ) 式称为d a r b o u x 变换七十年代后期，人们把它引入到孤立子和可 v t = 兰- - v x z x + 掣3 u v ：e , 毗 4 ， 卜- - 氧v x z 。+ 3 6 u 啦v x , ) + 3 s ， 2 二 广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k d v 方程的达布变换 本节考虑广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k d v 方程 巨兰咄 从文献【2 9 】中，我们知道它可以从下面的l a x 对的相容性条件得到 谱问题及时间发展式为： 其中： u = 吒= u ( 8 ，a ) 垂， 包= y ( 8 ，a ) 西 y ：f ；札。+ 。伽口兰三+ a “+ 。a 。 o 0lo 0 o01 缸+ a钉00 伽 “一a0 o 一 j 一u + 2 a 2 w 一。+ “钉 一 “z - - w x $ + u w u 砧+ 2 w v u 2 一a 乱+ 2 a 2仇 垂= ( 1 ，锄，也，机) f ，s = ( 仳，口，叫) ? ，a 是常谱参数通过直接计算零曲率方程 就可以得到方程( 2 1 ) 仉一k + 慨= 0 3 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 2 v 一2 a 一； 奎梅_ 面粼粥讨论谱问题( 2 2 ) ( 2 3 ) 的达布变换首先弓入谱问题( 2 2 ) ( 2 3 ) 的规范 变换： ”一八“，“，耽7 巳 其中，t 由下式确定； 雪= t 垂 ( 2 4 ) 乃+ ? u = 观 ( 2 5 ) 正+ r 矿= 髓 ( 2 6 ) 黧在凳黑篡：，咖z 具衲鼢诋不同位躲喇肿为 规范变换，并从( 2 5 ) ( 2 6 ) 中得到达布叠换 。 一一 竹。刀 假定 ? = ( 秽+ a 蹬) 4 4 ， 通过对比( 2 5 ) 中的各个元素中a 的各次幂系数，通过观察和计算，我们特别选取； t ：。：a n 二a 。d ：) i + 如+ a d 咖+ k + 如+ a6 f ( 2 。7 k 知十岛一d u + a d c 一口一也+ aj 其中，6 ，c ，d 是z ，t 的函数 7 个甚= 芝黑竺竺一，：嘲2 3 是a 咄，2 3 f 4 啡。姗 个基本解，则由( 2 4 ) 可知，存在常数乎) ，使得 ”“”卜。州心 i 盏( ( 。+ ) 咖p 蝣洲一错棚) ：o ， j 叠桫( c 声一( 叶如) 妒+ 硝) ：0 j 手艺：“+ 如+ 猢硝埘汹十k ) 硝棚一。+ 以+ 柚硝棚一6 毋棚：o ， l 善乎一如+ 岛) 妒p 一( 一如+ 旧谚。硝棚一( 一。一或二a ) 硝二) ；。， 4 特别的我们取括= 1 ，此时，上述系统可写为 其中， n + + 砖6 + 孝d = 0 c + ( 一口+ b ) 盯p 一毋d = 0 ， n 。+ d u + d + 盯p ( d 口+ k ) + 毋a 十d z + ) + 毋b = 0 ( 一d 叫+ ) 十口p ( 一一如+ d ) + a 2 0 ) c + 毋( 一。一也+ ) 一0 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 当我们适当选取，( k ，若j 七) 时，( 2 9 ) 一( 2 1 2 ) 的系数行列式非退化，此时 a ，b ，c ，d 可由( 2 9 ) 一( 2 1 2 ) 唯一确定 另外，( 2 9 ) 一( 2 1 2 ) 还表明d e t t ( a ) 是a 的四次多项式，且d e t t ( a j ) = 0 ，故， 即是d e t t ( ) l ) 的根 4 d e t t ( a ) = i i ( a 一) ，( 2 1 6 ) j = l 引理1 在上述规范变换t 的作用下，由( 2 5 ) 确定的矩阵驴和矩阵u 具有相同 的形式，即驴可表示为； u = oo1o 0oo1 磊+ a矛00 面 面一a0 0 5 器 一兀 丝卯撑一穆 二一坚 撑一撑 二一 坐 = 球 一 端坐卯 丝妒葛裕 一矿端 仁菱 通过计算我们可以得到 ( e + 弼) = 其中t ( e + 孔，) p = f = ( 厶( a ) ) 4 4 ， + 如+ a dd v + ka + 如+ a 如+ 一一砒+ a d h 3 1h 3 2 h 4 1 h 4 2 c 7 h 4 3 - - a 一如+ a h 3 4 h 4 4 ( 2 ，1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) h s l = a z z + a u + b w + ( 如k + 如牡+ a ( 8 + 2 以) + a 2 ， h 3 2 = k 。+ ( d r ) 。+ d 。臼+ a v + b u + a 0 6 ) ， 7 = d x 。+ 2 + 如+ a d ， 坂=咖+2k(220 h 4 1 = t 一( d w ) 。一如伽a w + 观+ a ( 叫+ c ) ， h 4 2 = 一。一a l l + 倒一( 如k d ：“+ a + 2 如) 一a 2 ， 4 3 = 一d 曲+ 2 ， 札= 一如。一2 a z d u + a d l 盯镪= 毋一盯p 毋， 巨蒜尝， ( 2 2 1 ) 6 这时，对( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 分别对z 求导并由( 2 2 1 ) ，得 即 0 = 吼。+ a u + b w + ( 砒k + 如+ x j ( a - 4 - 2 d 。) + 碍 + 哼：6 “+ ( 咖k + 如口+ 彻+ 阮+ b 扣一砷)( 2 2 2 ) + 孝( d 。+ 2 a 。+ d u + d ) + 毋( 如+ 2 b x ) ， o = 一( 托) t d ：删一a w + c u + ( 埘+ c ) + 盯1 u 。) ( - a x x - - a u + 例一( d 缸) z d ：乱+ ( 口+ 2 以) 一h 1 ) ( 2 2 3 ) + 孝( 一d w + 2 白) 、。 + 毋( 一屯一2 a x d u + d ) ， 通过直接计算可得 五l = 2 = 五3 = + d u + a d c + d u + a d d 叫+ a + a + d u + m 如+ d u + a d d 叫+ a + a c + 砒+ a d d 叫+ 岛 咖+ k - a + a d + 如 一一d u + a d b 幽+ k d 口+ k 一口。一d u + a d b n + a 如+ k - a 。一d u + a d 7 a + 如+ a 0 a + d ：+ a b d b c- - a 一如+ a d a + 也+ a a + 也+ a c d 0 n + d 。+ a c 0 b b - a 一以+ a 0 一d b - a 一以十a ( 2 2 4 ) o 0 | | = m “ h 愚 孝孝 + + 站 蛆 h 毋毋 + + 敏 让 危 尼 “uu 盯 盯 十 + 札 缸 愚 ，_，、i-il ，2 1 = 局= 助= 1 3 1 = 4 = a + a c + d u + a d a + d u + m 一如+ c 。 c + d u + a d 一咖+ c j a + a d 札j + 岛 + 如+ 一咖+ 屈= b n + a 幽+ k d 口+ k 一一d “十a d - a + a 面+ k 一一砒+ a d b 一一如+ a d 咖+ k 一一砒+ a d a + a c d 叫+ 一d 叫+ d 0 0一d a + 以+ a b a + 如+ a b c 0 a + 也+ a c d c a + 如+ a c b o + a - - a 一砒+ m o ，一d u + a d - a 一如+ a d b - - a d 。+ a 0 - - a 一如+ a b - a 一也+ a d0 0一d c - a 一如+ a c - - a d z + a a + ab d0 c + 砒+ m 一础+ h a l c + d u + a d 一胁+ - a + a 咖+ k 一一d u + a d 3 2 - a + a 咖+ k o 。一d 钍+ a d 8 0 a + 以+ a c h a 3 0 a + 也+ a c d b - a 一蟊+ a h a 4 一d b - a 一如+ a 厶2 = 五l = f 4 2 = 巨o - d 妻十a 氏= f 一一三二a d 喜一- ! 爰0 + al， h 4 = 口+ a c + d u + ) t d h 3 1 舰l c + d u + ) t d d 叫+ 白 a + a h 4 1 十d u + a d 加十岛 in + a 五3 = b n + a 咖+ k h 3 2 h 4 2 一口+ a 如+ k 一口z d u + ) t d b h 4 2 如+ k 一一d u + ) t d b d 0 n + 如+ a h 3 3 4 3 o a + d ：+ 入 c d h 4 3 a + 也+ 入 c d 0 - d b h 3 4 一d b - - a d 。+ a 0 h 4 4 b o d ：十a oi c- - a + a0 一d h 4 1h 2h 4 4 - d w + 岛一一砒+ ) t d c o 一如+ a 9 ! 醯 a + a c + d u + a d h l 则从( 2 9 ) 一( 2 1 2 ) 及( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 可知， b n + a d v + h 4 2 d o 0 一d n + d ：+ a b 蚝h 4 4 厶l ( ) = 0 ， 1 8 ，z ，4 ， 另外，通过计算可知 1 = 2 = f 1 4 = f 2 1 = f 2 2 一，2 4 = 0 ，1 1 3 = ，五= d e t l ，3 1 ，f , 2 是a 的五次多项式，厶2 ，五1 是a 的四次多项式，而，3 3 ，五4 ， 3 ， t 最高是a 的三次多次式， 又有，j = 1 ，2 ，3 ，4 是f , l 的四个不同根，故厶3 = 丘= 厶一凡= 0 ，进而有 其中p ( a ) 具有如下形式 p ( a 、= ( e + t u ) t = ( d e tt ) p ( a ) 0ol0 o0o1 捌a + 艘艘 oo 捌础a + 趔00 通过对比( 2 2 5 ) 中a 5 和”的系数，可以得到 础= 1 ， 础= 口一2 b 羽：一1 ， 对比( 2 5 ) 和( 2 2 5 ) ，易得驴= p ( a ) 证毕 p l o ) = “+ 2 以， 础= w + 2 c ， p 髫= + 2 以， ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 注：通过对( 2 2 5 ) 中a 的系数对比，我们可以得到； d x = = 2 d d = 一2 ， k = d b d 口， 岛2 胁+ d c ， ( 2 2 7 ) a = 2 a 如一u d 一b w 一( 如) + 口c 一2 b c ， 。 k 。= 2 d x b 一( d v ) 。一2 a v + 2 a b d x v ， = 2 如c 十( d w ) 。+ 2 w a 4 - 2 a c + 如留 引理2 在上述规范变换t 的作用下，由( 2 6 ) 确定的矩阵矿和v 有相同的形式， 即将( “，口，t t ，) 映射为新位势( 面，雷，面) ，且和( 2 1 7 ) 具用同样的式子 证明：设t _ 1 = 7 * d e t t ，t 是t 的伴随矩阵，且 + t y ) t = g = ( 舶l ( a ) ) 4 4 ， 并记五十t v = m = ( 仃( a ) ) 4 x 4 ，通过计算我们可以得到 ( 2 2 8 ) m l l = 2 a 2 d + a ( 托+ 乱。) 4 - n b w = + ( j “托+ 2 w v 一札2 ) d + 吼， m 1 2 = 一a t 岛一+ 加b + d ( - v = # + 甜口) 4 - b t ， m 1 3 = 2 舻4 - ( 2 a u ) 入叫+ 2 b w 一 乩z + 也， m 1 42 a ( 黝一2 十2 8 移一阮+ d 磁， f 2 2 9 ) m 2 1 = 一a + o 忱+ j 乩。十d ( 毗。一u w ) 4 - c t ， m 2 2 = 一2 a 2 d + ) ! ( d u 4 - ) 一 如口一c 如一( t 4 - 2 w v 一牡2 ) d a t ， m 船= 2 a ( 钳+ c ) 一c 钍一2 a w d 删。， m 2 4 = 一2 a 2 4 - a ( 2 一t 正) 4 - a u + 2 v c 4 - d 一也， 1 1 m 3 1 = 2 a 3 + a 2 ( 2 也+ 2 a + 札) + a ( “+ 2 w v u 2 + o n + 如u + d + 也) + z ( + d u ) 。( 咖+ k ) 一咖+ b u w + ( 口+ d ：) ( 踮+ 2 w v u 2 ) + n 。f + ( d u ) t ， r n 3 2 = 2 ) r i b + a ( 一d 一口黜+ 乱口一h i ) 一t k ( o 。+ d u ) + ；( d 钉+ k ) t 2 + + d 。) ( 一+ 口) + 6 ( ；u 一+ 2 w v 一钍2 ) + ( d v ) t + k t ， m 3 3 = 2 a 2 d + a ( 2 0 ；+ d u 一 地) 一( + d 札) “+ 2 ( d t ，十k ) 硼一 “z ( o + d z ) + b w = + d 五+ m ， m 3 4 = a ( 一2 k ) + 2 v ( a = + d u ) 一u ( a v + k ) + ( 口+ 如) 一；乩z + b t ， m 4 1 = 2 a 2 c + a ( 一d w = 一t 。+ c + 锄钍) + 虢( 十如) + ( 一咖+ 岛) + ( o + d 。) ( 枷。一 ) + c ( u 口+ 2 w v 一舻) 一( d w ) t + e = t ， m 4 2 = 2 a 3 一a 2 ( 2 d ；+ 2 a + 留) + a ( 钍托+ 2 w v 一私2 + 蚴+ d 0 钍+ 墨出b + 噍) 一 ( + d u ) + ( d 删一) 一c 。+ 铡t ，一( + d z ) ( ；u 。+ 2 w v 一让2 ) 一吼d 一( d u ) t ， m 4 3 = a ( + 2 岛) 一2 w ( a = + d u ) 一u ( - d w + 岛) 一毗( o + 也) 一；c t b + 龟， m 4 4 = 一2 a 2 d + a ( 2 a 。+ d u 一 “。) + ( 口。+ d u ) u + 2 ( 一d w 十岛) 口+ “。 + d ：) + 删z + d 击+ 0 4 由( 2 2 ) ，( 2 1 3 ) 一( 2 1 5 ) ，当a = ，j = 1 ，2 ，3 ，4 可以得到三个r i c e o t i 方程 盯镏= 一蛾十 盯p u 。+ 2 孝叫一毋( t + 2 a ) 一盯p ( ；一稃+ 孝( 一+ 2 a ) + 2 毋钉) ， 羽= 仃艘： 札。+ 2 叫口一让2 + a “+ 2 a 2 + 盯p ( 一。+ u ) + 孝( 一 ) + 孝 一盯箩( 。一仃p t k + 孝( 一t + 2 a ) + 2 盯箩口) ， 一叫。+ 就口+ 盯p ( j “。+ 2 w 口一u 2 一a u + 2 a 2 ) + 毋毗+ 毋( 一；t 。) 一毋( 一仃p + 孝( 一+ 2 a ) + 2 孝 ) ， ( 2 ，3 0 ) 这时，对( 2 9 ) 一( 2 1 2 ) 分别对t 求导并由( 2 3 0 ) ，得 m 1 1 + 仃p m 1 2 + 毋m 1 3 + 孝m “= 0 ， m 2 1 + 矿p m 2 2 + 孝m 2 3 + 毋m 似= 0 ， m 3 1 + 盯p m 3 2 + 毋m 3 3 + 毋) m 3 4 = 0 ， m 4 1 + ( r p ) m 4 2 + 毋) m 4 3 + 毋) m “= 0 ， ( 2 3 1 ) 和引理1 证明相似，易见g s l ( a j ) = 0 ，1ss ，f ，j 4 ，通过观察舶l 中a 的次数并联立 ( 2 2 9 ) 可得 且q ( a ) 具有如下形式 阢+ t y ) r = ( d e t t ) q ( a ) ( 2 3 2 ) f q u q 1 2q 翟十q 幽 口1 4 1 鲫卜i 删q 2 描1 舻 蚴q 2 2 铷q 2 3 捌刊冲船， i 9 4 。 拶+ 毋a + 拯坤q 4 3似 j q l l 2 蚴= 2 ( d 如一n z ) + ，q x 2 = 一+ 4 d ( b 一口) 一2 k ， g 挈= 一t + 2 以，d p = 2 ， m 4 ：2 钞一4 b ， q 2 1 = 一w z + 2 一4 d ( w + c ) ， 口2 3 = 2 w + 4 c ， 趔= 趔4 a 2 6 ( a d ) 。一4 d 2 仳+ 8 0 d 2 + 6 d 2 也 一4 b e 一2 d ：+ 黜+ 2 w v q 2 十( 砒k + 也一2 d 4 ， ；) ：一叠 ：乱+ 2 元，蠢 ：爹：2 ， ( 2 3 4 ) 铀2 = 一z 2 ( d v ) 。+ 2 ( d b ) 。+ 牡”一2 b u 一4 b d 。 q 3 3 = = ；一，弛= 如一2 k ， q 4 1 = 一$ + i l w + 2 u c 一2 d w 一2 d c x + 2 d c q 4 a = 2 c + 。， 将( 2 2 7 ) 带入上式，对比( 2 6 ) 和( 2 3 2 ) ，可知引理成立证毕 根据引理1 和引理2 ，d a r b o u x 变换( 2 4 ) 和( 2 a 7 ) 将l a x 对( 2 2 ) 和( 2 3 ) 映射为 l a x 对： 圣。；0 ( 8 ，a ) 西， 蚕。：矿( s ，a ) 面，( z 3 5 ) 并且两个l 衄对通过相容性条件都可以导出广义h i r o t 舡s a t 8 眦a 型耦合k d v ：) y 程( 2 1 ) ， 我们称变换( 圣，u ， ，) ( 面，面，。，面) 是广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k d v 方程的一个 d a r b o u x 变换 综上所述。有以下定理成立； 定理2 1广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k d v 方程的一个解( u ，口，t t ，) 在d a r b o u x 变 换( 2 4 ) 和( 2 1 7 ) 作用下，映射为一新解 ，雷，面) ，其中( a ，b ，c ，回由( 2 9 ) 一( 2 1 2 ) 唯一 确定 1 4 三方程的精确解 以下我们就来求广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k d v 方程的精确解通过计算，我们发 现分别对( 2 ，9 ) ( 2 1 0 ) 求导刚好得到( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ，故我们只用方程( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 就可以求得 a ，b ，c ，d 的值，从而得到广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k d v 方程的新解 求解的过程为；先给出广义h i r o t a - s a t s u m a 型耦合k d v 方程的一组简单基解矩 阵，然后适当选择参数a 1 ，a 2 ，r i ，r 5 1 ，r ，r 【2 ，r ，r 孑通过对( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 计算出 盯i l ) 毋，蠢，盯i 2 ，毋，孝) ，同时要求下面方程组( 以n ，b ，c ，d 为未知数) 的系数行列式不 为零 此时，由g r a m e r 法则得到； 其中， g = 口+ 盯i 1 b + a o ) d = 一a l ， 一盯i 1 ) n - t - c c r 5 1 d = 一a 1 盯i 1 n + 盯 2 6 + 孝d = 一a 2 ， 一盯p 行+ c 一矗2 d = 一a 2 d 2 ) o = g l g ，b = 9 2 g ，c = g s g ，d = 9 4 g 1 盯i 1 0 a ( 1 ) 一盯 n 0 1 一毋 1 盯i 2 0 毋 一盯( 2 01 一毋 9 3 = 1 盯i 1 一盯 1 0 1 砰) 一盯i 2 0 ，乳2 一a 1口i 1 0 以1 ) 一a 1 盯i 0 1 一c r 5 1 一a 2盯( 2 0 孝 一a 2 盯i 2 01 一孝 一a l 以1 一a 。d 一蠢1 一a 2 孝 一a 2 仃( 2 一毋 ，m2 首先我们取 珏= 0 ”= 0 w = 0 1 5 9 22 1 盯i 1 ) 一d 1 0 1 盯i 2 一a i 2 ) 0 ( 3 1 ) 1 a 10 以1 ) 一盯 一a 。盯i ”1 一以1 ) 1 k0 毋 一砰一a 2 盯i 2 1 一毋 0 一a l 1 一a l 盯i 1 ) 0 一a 2 1 一a 2 盯i 2 这组平凡解，此时( 2 3 ) ( 2 4 ) 化为 忙：三瓮，三二： 设a = 瑶，此时方程( 3 1 ) 有基解矩阵； 圣( 1 ) ； e x p ( k l x + 2 研t ) 0 七le x p ( k l x + 2 t ) 0 e x p ( 一k l x 一2 七孓) 0 - k le x p ( - k l x 一2 研t ) o o s i n ( k l z 一2 女 t ) 0 k 1c o s ( k l x 2 七 t ) ( 3 2 ) o c o s ( k l z 一2 k 3 t ) 0 一k 1s i n ( k l x 一2 七2 t ) ( 3 3 ) 当我们取a l = 0 0 1 ；r 1 1 ) = 1 0 ；穆) = 1 1 ；毋= 2 ；a 2 = 0 0 0 0 4 ；r i 2 ) = o 1 ；r t ) = 0 2 1 ；学= 2 ；时，通过计算可得到如下图形的解； s 2 毛 1 “2 “。 2 、1 。 “2 图1 的图形 。o 。3 0 ” 。o ” v 图2 的图形 ：i 。3 八： 图3 的图形 1 7 参考文献 【1 】a b l o w i t zm ja n ds e g u rh1 9 8 1s o l i t o n sa n d 舭i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ( p h i l a d e l - p h i a ，p a ：s i a m ) p 1 【2 】a b l o w i t zmja n dc l a r k s o npa 1 9 9 1s o h t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n d i n v e r s es c a t t e r i n g ( c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ) 【3 】a r n o l dv ia n dn o v i k o vsp 1 9 9 0 d y n a m i c a ls y s t e m si v ( b e r l i n ：s p i n g e r ) p 1 6 1 f 4 jf a d d e e vld a n dt a k h t a j a nla1 9 8 7h a m 。t t o n i a nm e t h o d si nt h et h e o r yd ，s o t o n s ( s p r i n g e r ，b e r l i n ) 【5 】m a t v e e vv ba n ds a l l ea ma 1 9 9 1d a r b o u zt r a n s f o r m a t i o na n ds o l i t o n ( b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ) p 9 7 【6 】h i r o t ar 2 0 0 4t h ed i r e c tm e t h o di ns o l i t o n ，( c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ) 7 】l iy sa n dz h a n gje2 0 0 1j p h y s l e t t a2 8 42 5 3 【8 1 n e w e hac1 9 8 5s o l i t o n s 协m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ( s i a m ，p h i l a d e l p h i a ) 【9 】9 d a r b o u xg1 8 8 2s u ru n ep r o p o s i t i o nr e l a t i v en 蚴d q u a t i o n sl i n d a i r e s ( c r a c a d ，s c i 【1 0 z a r h a r o vv ea n ds h a b a tab1 9 7 2s o v p h y s j e t p3 46 2 1 1 】o l v e rp j1 9 8 6a p p l i c a t i o n s 吖l i eg r o u pt od i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s p r i n g e r ，n e wy o r k ) 【1 2 d a ih ha n dg e n gx g2 0 0 3c h a o s ，s o f i t o na n df r a c t a l s 1 81 0 3 1 1 0 4 4 【l a g e n gx g1 9 8 9a n nd i f fe q s 53 9 7 【1 4 g e n gx g1 9 8 9a e t am a t h s c i ，92 1 【1 5 】c a o c w l 9 9 0s c i c h i n a a3 35 2 8 1 6 】c a o c wa n d g e n g x g1 9 9 1j m a t h ，p h y s 3 22 3 2 3 【17 】谷超豪等1 9 9 0 孤立子理论及其应用( 浙江科技出版社，杭州) 1 8 【1 8 】陈登远2 0 0 5 孤子引论( 科学出版社) 【1 9 】