（应用数学专业论文）强de+morgan三元组下的模糊偏好结构.pdf

添6 2 0 2 5 0强d em o r g a n 三元组下的模糊偏好结构摘要偏好结构是偏好构模理论的基本工具，它由三个基本关系严格偏好关系、无区别关系和不可比关系所组成的三元组本文对模糊偏好结构的定义，基本性质及几种特殊的偏好结构进行了系统全面的讨论具体研究内容与结果归纳如下：首先，通过对目前存在的模糊偏好结构的几种定义：公理化定义、d eb a e t s 等人的定义、b u f a r d i 的定义、l l a m a z a r e s的定义及v a nd ew a l l e 等人的定义进行一一分析，指出了它们的相互关系从中我们可以看出：公理化定义是最一般的定义，它几乎包含所有其它定义作为自己的特殊情况；而v a nd ew a l l e 等人对模糊偏好结构的定义具有较强的理论基础本文以v a nd ew a l l e 等人的模糊偏好结构的定义为基础，研究公理化定义的一个特殊情形，即特例三其次，以特例三为基础，详细讨论了模糊偏好结构的一般性质主要包括p ，j ，z r 之间关系的具体表现、j = 0 的充要条件，在w 乞意义下，兄的传递性、负传递性、半传递性、f e r r e r s 性质与p 1j 的相关性质之间的联系，得到了与普通情形下相平行的一些结果最后，我们对三种特殊的偏好结构进行了模糊化，我们给出了模糊全区间序、模糊全半序及模糊偏序的定义，讨论了三种结构的等价条件，研究了每种偏好结构的基本性质同时，我们引入了各类模糊序关系的定义，通过这些序关系可以非常简洁地刻画模糊化后的偏好结构例如：我们指出，( 只，j ) 是模糊全半序结构等价于r 是w ；一w 2 全半序关系，且等价于p 是严格w 名w 名全半序关系等得出了一些比较满意的结果总之，该研究对目前存在的模糊偏好结构的定义进行了全面的讨论，对了解各种定义的优缺点、明确目前模糊偏好结构定义的研究状况具有一定的指导意义对三种常见偏好结构的模糊化，提供了一种对常见的偏好结构进行模糊化的方法关键词：模糊偏好结构，模糊全区间序结构，模糊全半序结构，模糊偏序结构，d em o r g a n 三元组i if u zz yp r e f e r e n c es t r u c t u r e sw i t ht h es t r o n gd em o r g a nt r i p l e t sa b s t r a c tp r e f e r e n c es t r u c t u r e ，w h i c hi st h ee l e m e n t a r yt o o lf o rp r e f e r e n c em o d e l i n gt h e o r y , c o n s i s t so fs t r i c tp r e f e r e n c er e l a t i o n ，i n d e f e r e n c er e l a t i o na n di n c o m p a r a b i l i t yr e l a t i o n i nt h i sr e s e a r c h ，w es y s t e m a t i c a l l yd i s c u s st h ed e f i n i t i o na n db a s i cp r o p e r t i e so ff u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e ) s o m ep a r t i c u l a rf u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e s t h em a j o rr e s e a r c ha s p e c t sa n dr e s u l t sa r ea sf o l l o w s 。f i r s t l y , w er e v i e wt h ed e f i n i t i o n se x i s t i n gi nt h el i t e r -a t u r ei n c l u d i n gt h ea x i o m a t i cd e f i n i t i o n ，d eb a e t s sd e f i n i t i o n ，b u f a r d i sd e f i n i t i o n ，l l a m a z a r e s sd e f i n t i t i o na n dv a nd ew a l k sd e f i n i t i o no n eb yo n e a n dp o i n to u tr e l a t i o n s h i p sa m o n gt h e m f r o mt h i s ，w ek n o wt h a tt h ea x i o m a t i cd e f i n i t i o ni sm o s tg e n e r a l ，b e c a u s ea l m o s ta l lt h eo t h e rd e f i n i t i o n sc a nb er e g a r da si t ss p e c i a lc a s e s m e a n w h i l e ，v a nd e 、v a l l e sd e f i n i t i o no ff u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r eh a ss o l i dt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n t h e r e f o r e ，i nt h i sr e s e a r c h ，w ec h o o s ev a nd e h l l e sd e f i n i t i o na n ds t u d yo n es p e c i a lc a s eo ft h ea x i o m a t i cd e f i n i t i o n ，i e t h et h i r dc a s e h ts e c o n d l y , b a s e do nt h et h i r dc a s e ，w ec a r r yo u tad e t a i l e di n v e s t i g a t i o ni n t ob a s i cp r o p e r t i e so ff u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e s w ep r e s e n tc o n c r e t em a t h e m a t i c a le x p r e s s i o n sc o n c e r n i n gr e l a t i o n s h i p so fp 1j ，ja n d 兄，as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fj = 0 a n dr e l a t i o n s h i p sa m o n gt r a n s i t i v i t y ，n e g a t i v et r a n s i t i v i t y , s e m i t r a n s i t i v i t y ，f e r r e r sp r o p e r t i e sb e t w e e nra n dpa n d1w i t h 矾a st h et - n o r m s o m ed e s i r e dr e s u l t sa r eo b t a i n e df i n a l l y ，w ef u z z i f yt h r e ec r i s pp r e f e r e n c es t r u c t u r e s w ep r o p o s et h ed e f i n i t i o n so ff u z z yt o t a li n t e r v a lo r d e rs t r u c t u r e ，f u z z yt o t a ls e m i o r d e rs t r u c t u r ea n df u z z yp a x t i mo r d e rs t r u c t u r e b a s e do nt h ed e f i n i t i o n s ，w es y s t e m -a t i c a l l yd i s c u s sp r o p e r t i e so fe v e r ys t r u c t u r ea n dg i v es o m ee q u i v a l e n ts t a t e m e n t so ft h et h r e ef u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e s a tt h es a m et i m e ，s o m ef u z z yo r d e r sa r ed e f i n e ds ot h a tw ec a nd e s c r i b et h et h r e ep r e f e r e n c es t r u t u r e sc o n -c i s e l y f o re x a m p l e ，w ep o i n to u tt h a t ( p 1i ，j ) i saf u z z yt o t a ls e m i o r d e rs t r u c t u r ei f fri s 吼一哪t o t a ls e m i o r d e rr e -l a t i o ni f fpi ss t r i c t 吼一眈t o t a ls e m i o r d e rr e l a t i o n s o m er e s u l t sa r es a t i s f a t o r y t h er e s e a r c hc a ns e r v ea sag u i d a n c et ou n d e r s t a n dt h em e r i t sa n dd e m e r i t so fe v e r yd e f i n i t i o no ff u z z yp r e f -e r e n c es t r u c t u r e sa n dt h u st ok n o wt h er e s e a r c hs t a t u si nf u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e s d e f i n i t i o n s i na d d i t i o n jt h ed e f i n i t i o no ft h r e eu s u a lf u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e st vi sg i v e n ，w h i c hp r o v i d e sam e t h o dt of u z z i l yc r i s pp r e f e r -e n c es t r u c t u r e s k e yw o r d s ：f u z z yp r e f e r e n c es t r u c t u r e ，f u z z yt o t a li n t e r v a lo r d e rs t r u c t u r e ，f u z z yt o t a ls e m i o r d e rs t r u c t u r e ，f u z z yp a r t i a lo r d e rs t r u c t u r e ，d em o r g a nt r i p l e tv主要符号说明a普通集r 一模糊关系p 一严格偏好关系j 一无区别关系j不可比关系v 一对于任意的 一存在属于包含一空集合r 自同构u并n 一交v取大 一取小t 模st 余模冗一模糊关系r 的逆关系r c 一模糊关系r 的余关系r a模糊关系r 的对偶关系r ，。见一模糊关系r 。与r 。的合成关系i x第一章绪论在详细叙述模糊偏好结构的意义及研究概况之前我们先来简单介绍一下普通偏好结构。在决策问题中，面对一个备择对象集a ，假如决策者要从中选择一个最好的备择对象或选择一些较好的备择对象，决策者通常会进行两两比较在对两个备择对象。与b 的比较过程中有以下几种可能：a 好于b ；b 好于。；n 与b 无区别；a 与b 不可比我们用p 来表示“好于”关系，好于b 记作a p b 或( 吼p ；b 好于n 记作a p 。b 或( a ，b ) p 相应地，分别用j ，j 来表示“无区别关系”和“不可比关系”，若。与b 无区别，记作 2 i b 或池b ) f ；。，b 不可比，记作a j b 或( q6 ) j 根据以上假设，显然关系p ，p 一，j ，j 覆盖了a 2 ，即：p u p _ 1 u i u j =a 2 自然，我们还希望关系p ) j ，j 具有以下属性：p 非白反：决策者不能认为a 好于a ；j 自反：对决策者来说，o 与。是无区别的；t ，非白反；n 与n 不能是不可比较的；p 非对称：决策者不能同时认为。好于b 且b 好于a ；j 与j 是对称的；p n i = 0 ，p n 了= 0 且f n j = 0 ：( 8 ，砷不能同时属于p ，j ，了中的任何两个满足以上属性的三元组j ，j ) 就是r o u b e n s 和v i n c k e 于1 9 8 5 年在【1 】2太原理工大学硕士研究生学位论文中所提出的普通偏好结构在【1 中r o u b e n s 和v i n c k e 首次提出了偏好构模理论他们以三种普通二元关系：严格偏好关系、无区别关系和不可比关系为基础，给出了普通偏好结构的定义和一些基本性质在此基础上又提出了九种常见的偏好结构：竞赛、全序、弱序、全区间序、全半序、偏序、拟序、偏区间序、偏半序结构，并详细讨论了它们的性质可见，偏好结构是偏好构模理论的基本工具，偏好构模理论通过研究不同类型的偏好结构为实际中可能出现的各种两两比较过程进行构模，从而为决策者面临类似问题时提供分析及最终决策依据该理论被广泛应用于经济学、心理学、社会学、运筹学、决策理论等领域中随着决策科学的发展，所讨论的决策系统复杂性增加，精确的数据往往很难获取，同时决策过程又离不开人的主观因素的参与，许多数都是专家打分或估值得到的，而传统数学面对这类数据却无能为力。因此，一些研究者认为：用普通关系来构模实际中的两两比较远远不够，因为当面临比较两个备择对象时，对任意一个都有一定的偏好程度为此，o r l o v s k y 将模糊关系引入了决策中以构模偏好程度的概念【2 这种思想为用模糊数学研究模糊性存在的条件下的决策问题奠定了基础此后，研究者们利用模糊关系理论对各种模糊偏好进行了广泛深入的讨论【3 - 1 1 其中一些人通过模糊关系来描述普通偏好构模中的严格偏好、无区别及不可比关系并对之进行探讨，相应地产生了一些模糊偏好构模模型 1 2 - 1 5 与普通偏好结构一样，模糊偏好结构是模糊偏好构模的基本工具。相应地模糊偏好结构由模糊严格偏好关系、模糊无区别关系及模糊不可比关系三个基本关系组成目前对模糊偏好构模的研究还仅仅停留在如何定义模糊偏好结构这一问题上，许多研究者都对其进行了探讨【1 2 2 4 以下我们简要回顾一下近年来这方太原理x - 大学硬士研究生学位论文3面的研究内容在普通偏好结构中，我们若从自反关系r 出发，构造关系p = r n 冗d ，= r n 兄一1 ，j = r c n r 4 ，则所得三元组( 只j ，j ) 是一个普通偏好结构然而在模糊情形，f o d o r等在文【1 3 中证明了：不存在d em o r g a n 三元组( t ，s ，n ) ，使得：p ( o ，b ) = t ( r ( a 加) ，n ( r ( b ，o ) ) )( d ，b ) = t ( r ( a ，6 ) ，r ( b ，o ) ) ：，s ( p ( a 加) ，i ( a ，) = 冗( d ，b )成立，这正是定义模糊偏好结构的困难所在为了探讨合理定义模糊偏好结构的方法，1 9 9 2 年，f o d o r 首先对模糊偏好进行了较为系统的讨论，提出了模糊偏好构模的公理化定义 1 2 在该公理化定义中f o d o r 引入了三条公理该公理化定义把三种基本关系：模糊严格偏好关系、模糊无区别关系和模糊不可比关系用三个满足一定条件的函数式子来表示，形象地刻画了这三种关系的某些特质，同时有效地克服了上述所说的困难这种定义是目前最广的一种定义偏好结构的方法，但这种定义也存在一些弊病：第一，该定义没有要求的自反性及l ，的非自反性，而这正是偏好构模理论中无区别关系和不可比关系的本质属性第二，该定义要求过弱，从而无法进行行之有效的讨论f o d o r 本人也注意到了第二点，于是在进行具体讨论时，他引入了反映严格偏好关系、无区别关系和不可比关系与大偏好之间联系的两个条件，并在这些条件下，对模糊偏好结构的性质进行了广泛的讨论另外，值得注意的是：当大偏好关系r 为强完全时，可得不可比关系j = 0 ；但反过来当j = 时，只能推出r 为彬：强完全( 在本文中我们将会给出反例与证明) 而在普通偏好构模理论中j ：0 与r 强完全是等价的，这正是普通偏好结构的一条非常重4太原理工大学硕士研究生学位论文要的性质f o d o r 的偏好结构包含以下的一些特殊情况：( 1 ) ，2 r n ，r ，p = r n n ，r l ，j = ，a n ，r ；( 2 ) j = r n r 一，p = r n 肌砘，j = 兄n 冗丸；( 3 ) ，= r n k r - 1 , p = r n r 刍，j = 矗n r 屯1 9 9 5 年，d eb a e t s 等提出了模糊偏好结构的另一种定义 1 5 】，但容易证明，该定义实际上就是f o d o r 的公理化定义的特例二在该定义中要求严格偏好关系p 非对称，即对v a ，b a ，p ( n ，6 ) 与p ( b ，o ) 中至少有一者为0 这是一个非常强的条件，它将许多有意义的模糊偏好结构排除在外1 9 9 8 年，v a nd ew a l l e 等人在 2 0 】中，对于选择什么样的d em o r g a n三元组来定义模糊偏好结构这一问题进行了深入的探讨他们的结论是：强d em o r g a n 三元组是定义模糊偏好结构的最佳选择此后，d eb a e t s 等人又在文中进一步论证了这一结果1 9 9 9 年，b u f a r d i 在【17 】中提出了模糊偏好结构的另一种定义此定义以文【2 0 】为基础，选用了强d em o r g a n元组来定义在此定义中没有选用类似普通情形下的p u p u l u j = a x a ，即：p u 耽p _ 1 u w , ；i u w $ j =a x a 这一条件，而是采用了更强一点的条件：p u w ；。p _ 1 = 侃n w 碍。来定义偏好结构随后，b u f a r d i 又在【1 8 j 中以【17 j 的定义为基础，对p j ，j的两种构造进行了探讨，这两种构造也是f o d o r 公理化定义的三种特例中的特例二和特例三他的结论是：选用p = r n r 丸，j = r n w , pr 一，j =甄c 1 w 。, 哦比选用p = r n 瓯，j = r a r - i , j = 甄n 要好，即特例三比特例二更适合定义模糊偏好结构2 0 0 3 年，l l a m a z a r e s 在 1 9 】中采用了分割的思想，定义了p 模糊偏好结构( 妒- f p s ) ，其实它与b u f a r d i 在 2 1 】中的定义并无二致在【1 9 的结尾t h e o r e m3 2 ，l l a m a z a r e s 证明了：在条件p u w ；i u w , ；p - 1 = r u w , ；r 。太原理工大学硕士研究生学位论文下，t - f p s 与特例三：p = r n 礤。价5f = r n - r - 1 , j = r 白。n w ，冗青。等以上便是近些年来关于模糊偏好结构的定义的研究概况，从中我们可以看出对于模糊偏好结构的定义人们已经作了很多工作但是目前对于常见的偏好结构的模糊化的研究还非常少1 9 9 6 年，d eb a e t s ，v a nd ew a l l e 在文【16 】中研究了弱和强模糊全区间序结构，但该文是在文 1 5 】中定义的模糊偏好结构的基础上来完成的，要求p 非对称，条件非常强2 0 0 3 年b u f a r d i 在【2 2 中给出了t s 全区间序关系和严格t s全区间序关系的定义，此文是以【1 7 】中对模糊偏好结构的定义为基础的此外，再无研究具体偏好结构的相关文献本文以f o d o r 的特例三为基础来定义模糊偏好结构，对模糊偏好结构的性质作了详细研究同时，定义并讨论了模糊全区间序结构、模糊全半序结构、模糊偏序结构这三种模糊偏好结构论文的组织方式如下：第二章我们将介绍本文所涉及的一些基本概念，包括t ( 余) 模，d em o r g a n 三元组，各种传递性概念以及各种序关系等；第三章我们详细讨论了目前存在的各种模糊偏好结构定义的优缺点，并从中选出较为合理的定义作为我们讨论的基础，进一步研究其性质；第五章我们将定义模糊全区间序结构、模糊全半序结构、模糊偏序结构，并详细讨论这些偏好结构的有关性质二第二章基本概念本章给出了文中所用到的一些基本概念及记号，其中包括：模糊逻辑运算，d em o r g a n 三元组；模糊关系的一些基本性质及其运算；各种传递性的概念同时为了我们讨论方便，定义了一些序关系定义2 1 设_ p ： o ，川_ + kb 】，若妒是严格单调增加的连续函数且满足：妒( o ) = n ，妒( 6 ) = 6 ，则称妒是a ，b 】上的一个自同构例如：妒( 。) = 。及l p ( z ) = z 2 均为【0 ，1 上的自同构本文所涉及的自同构均为【0 ，1 上的自同构定义2 2 设n ： o ，1 】_ + 【0 ，1 ，若n 单调减少，且n ( o ) = 1 ，n ( 1 ) = 0 ，则称n是一个非若非n 严格减少且连续，称n 为严格非若n 是严格非，且成立复原律： 0 ，l 】，n ( n ( $ ) ) = z 则称n 为强非通常我们用n 来表示强非给定b 1 1 上的一个自同构惦易证( z ) = 妒_ 1 ( 1 一妒( z ) ) 是一个强非反过来，对任一强非，一定存在【o ，1 上的一个自同构妒，使得：( 。) = 妒_ 1 ( 1 一妒( $ ) ) ( 【13 ) 在下面的讨论中，我们将记n ( x ) = l p _ 1 ( 1 一妒( 。) ) 为( z ) 易验证( z ) = 1 一z 是一个强非，通常称该强非为标准非，心通常称为标准非的妒变换定义2 3 设t ： 0 ，1 x 0 ，1 】- + 【o ，1 】，若t 满足：俐协 0 ，1 ，t ( 1 ，) = z ；俐妇，y o ，1 】，t ( x ，y ) = t ( y ，z ) ；f 圳若札，y sv ，贝1 it 0 ，y ) t ( u ，”) ；例v 。，y ，g 【0 ，1 】，t ( t ( x ，) ，# ) = t ( 。，t ( y ，；) ) 则称t 是一个t 模若t 是连续的，则称t 为连续的t 模；太原理工大学硕士研究生学位论文7若t 满足：比，9 ( o ，1 ) ，t ( x ，口) 0 ，则称t 是正模；若t 满足：比( o ，1 ) ，t ( $ ，) g ，则称t 是a r c h i m e d e t 模；若t 满足：孔，( o ，1 ，使得：t ( x ，) = 0 ，则称t 有零因子定义2 4 设s ：【0 ，1 【0 ，1 _ + 0 ，1 ，若s 满足；比 0 ，l 】，s ( o ，。) = z ；r 甜比，y 【0 ，1 ，s ( 。，”) = s ( v ，z ) ；俐若z 冬“，y ”，则s ( z ，”) s ( u ， ) ；“，y ，g 0 ，1 l ，s ( s ( z ，掣) ，z ) = s ( 茹，s ( u ，z ) ) 则称s 是一个t 余模若s 是一个余模且存在$ ，9e ( 0 ，1 ) ，使得s ( z ，”) = 1 ，则称s 是幂零的t 余模t 模及t 余模的概念是本文所用到的重要概念，其定义及相关研究在许多文献中均可找到，例如t 可参看【2 5 3 1 本文用到的t 模有：( 1 ) t ( z ，) = m i n ( x ，) ，简记为t = m ，m 是最大的t 模( 2 ) t p ) = m b 。杠+ ”一1 ，o ) ，该t 模通常称为l u k a s i e w i c z t 模，筒记为t = w ；( 3 ) t ( 为y ) = x y ，简记为t = i i 对任一t 模t ，是一个强非，定义t “( z ，”) = ( t ( ( g ) ，( ”) ) ) ，则易证t w 为一个t 余模，称该t 余模为t 的对偶t 余模特别地，当n 为标准非时，易验证t 。( z ，掣) 1t ( 1z ，1 一可) ，我们用r 来标记，称r 为t 的对偶t 余模对于上述提到的t 模，其对偶t 余模分别为：( 1 ) s ( x ，g ) = m 。z ( z ，) ，简记为s = m ，m + 是最小的t 余模( 2 ) s ( x , y ) = m i n ( x + y ，1 ) ，该t 余模通常称为l u k a s i e w i c z t 余模，简记为8太原理工大学硬士研究生学位论文t = w 4 ；( 3 ) s ( z ，g ) = z + g x y ，简记为i i + 另外，若t 是一个t 模，妒是一个【o ，1 上的自同构，定义t 模t 的p 变换：忱，y 【0 ，1 ，巧( z ，) = p 一1 ( t ( 妒( $ ) ，妒( ”) ) ) ，则巧仍为t 模 2 6 】容易证明；( 1 ) ( 善，y ) = 妒一1 ( m ( 妒( z ) ，妒( 分) ) ) = 妒一1 ( m 打 ( p ( z ) ，妒( 分) ) ) = m i n ( x ，彭) ；( 2 ) 矸0 ( z ，) = 妒一1 ( 矸7 ( 妒( 嚣) ，妒( ”) ) ) = p 一1 ( m a x ( 妒( x ) + 妒( 剪) 一1 ，o ) ) ；( 3 )i i p ( z ，掣) = 妒一1 ( n ( i p ( z ) ，妒( 9 ) ) ) = 妒一1 ( 妒p ) 妒( y ) ) 类似，若s 是一个t 余模，l p 是一个【0 ，1 上的自同构，定义t 余模s 的p 变换：，y 1 0 ，1 】，& ( z ，) = 妒一1 ( s ( 妒( z ) ，l p ( ”) ) ) ，则& 仍为t 余模【2 6 】同样可证；( 1 ) 圮( ，y ) = 妒一1 ( f 。( 妒( 茹) ，妒( 剪) ) ) = _ p 一1 ( r n 口z ( p ( z ) ，_ p ( ) ) ) = y 1 1 a z ( z ，可) ；( 2 ) h 0 扛，掣) = 妒一1 ( w ，( 妒( 茹) ，妒西) ) ) = 妒一1 ( m 舌n ( p ( 司+ 妒国) ，1 ) ) ；( 3 ) ：( z ，y ) = 妒一1 ( + ( 妒( z ) ，妒( 掣) ) ) = 妒一1 ( 1 p ( 。) + e ( u ) 一妒( 茹) 妒( 掣) ) 命题2 1 【13 】若? 是一个t 模，n 是一个强非，则：形( z ，y ) =妒一1 ( t ( 妒 ) ，妒( 可) ) ) 例如：a n r ( z ，耵) = 妒一1 ( 且f 4 ( _ p ( z ) ，妒( ”) ) ) = m o z ( 卫，鲈) = m ( z ，掣) ；w r ( z ，”) = 妒一1 ( i 矿+ ( 妒( z ) ，妒( ) ) ) = | p 一1 ( m n ( 妒( 茁) 4 - 妒( 可) ，1 ) ) = h ，；( g ，y ) 定义2 5 设t ，s 分别为t 模和t 余模，且t ，s 连续，n 是严格非若对任意的z ，y n 1 1 ，有：n ( s 0 ，y ) ) = 丁( n ( z ) ，n ( ) ) ，则称亿s n ) 是一个d em o r g a n 三元组在d em o r g a n 三元组( t ，s ，n ) 中，若对任意的。，y o ，1 l 有：t ( z ，y ) = 妒一1 ( w ( 妒( z ) ，妒妇) ) ) = w 0 ( 。，) ；s ( 嚣，) = 妒一1 ( w ，+ ( 妒( z ) ，妒( 材) ) ) = 矸名( z ，封) ；太原理工大学硕士研究生学位论文9n ( z ) = 妒一1 ( 1 一妒( 嚣) ) 则称( t ，s ，n ) 是一个强d em o r g a n 三元组定义2 6 设a ，口为论域，若r ：axb 斗 o ，l 】，则称月是a 到旧的模糊关系特别地，若a = b ，则称r 是a 上的模糊关系本文所涉及的模糊关系均为a 上的模糊关系模糊关系的一些基本运算定义如下：定义2 7 设r l ，恐，r 是a 上的模糊关系，t ，s m 分别是t 模，f 余模和非，对魄，6 ，c a ，一，显l 与岛的模交n t ? ( r if i t 昆) ( d ，b ) = t ( r x ( a ，6 ) ，r 2 ( a ，6 ) ) j例r l 与r 2 的模并k j 8 ：( r 1u sr 2 ) ( a ，6 ) = s ( r l ( o ，6 ) ，r 2 ( a ，6 ) ) j俐r 1 与岛的t 合成o t ：( r lo t 而) ( n ，c ) = s u p t ( r l ( 口，6 ) ，岛( 6 ，c ) ) i“jr 的n 余r ：r ：( o ，b ) = n ( 兄( o ，6 ) ) i例r 的逆r 一17r - 1 ( n ，b ) = r ( b ，o ) j俐r 的n 对偶磁? 磁( 口，b ) = n ( r ( b ，o ) ) 当n 是标准非时，磁和碟分别简记为r 。和r a ；当t = m ，s = m +时，n m ，u 分别简记为n ，u 下面定义本文所涉及的模糊关系的一些基本性质；定义2 8 设t ，s 分别是t 模及t 余摸，r 是a 上的一个模糊关系，r u 若对v a a ，r ( o ，a ) = l ，则称r 是自反的；俐若对v a a ，r ( o ，n ) = 0 ，则称r 是非自反的；俐若对v a ，b a ，t ( r ( a ，b ) ，a ( b ，8 ) ) = o ，则称r 是t 非对称的；例若对v a ，b a ，n b ，s ( r ( a ，b ) ，r ( b ，) ) = 1 ，则称r 是s 完全的；若对y a ，b a ，s m ( 口，6 ) ，r ( b ，o ) ) = 1 ，则称冗是s 强完全的下面定义本文所涉及的模糊关系的一些传递性的有关概念：1 0太原理工大学硕士研究生学位论文定义2 9 例若对v a ，b ，c a ，t ( r ( a ，的，r ( b ，c ) ) 兰r ( a ，c ) ，则称r 是r传递关系；俐若对v a ，6 ，c a ，s ( r ( a 扣) ，r ( b ，c ) ) r ( a ，c ) ，则称r 是s 负传递关系；r 圳若对v a ，6 ，c d a ，t ( r ( a ，b ) ，r ( b ，c ) ) s ( n ( a ，d ) ，r ( d ，c ) ) ，则称r 是t s 半传递关系；俐若对 c a ，6 ，c ，d a ，t ( n ( a ，6 ) ，r ( c ，d ) ) s ( r ( o ，d ) ，r ( c ，6 ) ) ，则称r 是t sf e r r e t s 关系命题2 2 设r 是a 上的一个模糊二元关系，r r 是w 0 传递关系 亭p ( r ( o 一) ) + 妒( r ( b ，c ) ) 一1 妒( r 缸，c ) ) ( v a ，6 ，c a ) ；偿jr 是i 负传递关系 争妒( 兄( o 加) ) + 妒( r ( 6 ，c ) ) 妒( r ( n ，c ) ) ( ，b ，c a ) ；俐r 是矸0 矸艺半传递关系甘妒( r ( o ，6 ) ) 十p ( r ( 6 ，c ) ) 一1sl p ( r ( 口，d ) ) 4 -妒( r ( d ，c ) ) ( v a ，b ，c ，d a ) ；“jr 是w p - i 凡r 他瑚关系 亭_ p ( r ( o ，6 ) ) + 妒( r ( c ，d ) ) 一1 曼妒( r ( d ，d ) ) +妒陋( c ，b ) ) ( v a ，b ，c ，d a ) ；证明：由定义2 9 及矸0 ( z ，) = 妒一1 ( m o $ ( 妒4 - 妒0 ) 一l ，o ) ) 和w ；( 。，) =妒一l ( m i n ( 【i o ( x ) + i p ( ) ，1 ) ) 直接验证即可引理2 1 ( 【3 2 】) 设r 是a 上的一个二元模糊关系，( t ，s ，n ) 是一个强d em o r g a n 三元组，则有：矗，若是是s 完全、t 传递关系，那么r 是s 负传递、t s 半传遂、t sf e r r e t s 关系；俐若r 是t 反对称、s 负传递关系，那么r 是t 传递、t - s 半传递、t sf e t t e r s 关系；太原理工太学硕士研究生学位论文1 1例若r 是非自反、s 完全、t s 半传递f t sf e n 嘲关系，那么r是t sf e , n e r s ( t ：s 半传递) 关系；”若r 是自反、t 反对称、t s 半传递p s f e r r e 吲关系，那么r是t sf e r r e r s ( t s 半传递) 关系为了讨论方便，我们引入下列模糊关系的各种序关系的定义：定义2 1 0 设r 是a 上的一个模糊二元关系，t ，s 分别是t 摸和t余模，御若r 是自反、s 强完全、t sf e r r e t s 关系，则称r 是t s 全区间序关系；俐若r 是自反、s 强完全、t s 半传递、t sf e r r e t s 关系，则称r是t s 全半序关系；俐若r 是自反、t 反对称、t 传递的，则称r 是t 偏序关系；若r 是非自反、t 非对称、s 完全，t af e r r e t s 关系，则称r 是严格t s 全区间序关系；御若1 t 是非自反、t 非对称、s 完全，t - s 半传递、t - sf e r r e t s 关系，则称r 是严格t 。s 全半序关系；俐若r 是t 非对称、t 传递的，则称r 是严格t 偏序关系第三章模糊偏好结构定义研究本章主要讨论模糊偏好结构的定义，第一节介绍了普通偏好结构的定义；第二节详细介绍了近年来对于模糊偏好结构的几种定义，对其一一进行了分析讨论，我们的结论是：v a nd ew a l l e 等人的定义最为合理；最后，对三种特例进行了比较，确定以特例三为基础来讨论模糊偏好结构的具体性质1 普通偏好结构的定义在本文中，丑，r c ，r d 分别表示普通关系r 的逆，余及对偶；。表示普通关系的合成，r 。r 简记为r 2 普通偏好结构的定义如下：定义3 1 ( 1 1 1 ) a 是有限集，只j ，i ，均为a 上的二元关系，若p i j ，j 满足：俐p 非对称；俐，自反、对称；例j 非自反、对称；例p 1 3 i = ，n j = p n j = 0 例p i j i u j 强完全，即p u p 一1 u 儿jj = a a ；则称( p ，j ，j ) 是a 上的偏好结构若f ，t ，) 是a 上的偏好结构，称关系r = p u i 为偏好结构的特征关系( 大偏好关系) ，相应地p 称为严格偏好关系，j 称为无区别关系，j 称为不可比关系当，= o 时，偏好结构( p ，j ，j ) 简记为n太原理工大学硕士研究生学位论文定理3 1 ( 1 ) 若( p ，j ，j ) 是a 上的一个偏好结构，r = p u j ，则有：( 1 ) p = r n r d ；例i = r n r - 1 ；( 3 ) j = r cn rd |反过来，由 上的自反关系r 按上述三个等式所定义的关系p ) ，j 组成的三元组( p ，j ) 是一个偏好结构因此，此定理可看作是偏好结构的另一种等价定义2 模糊偏好结构的定义前面介绍了普通偏好结构，接下来我们看一下近年来关于模糊偏好结构的几种定义( 1 ) f o d o r 等人对只j ，j 的公理化因为在普通情况下，从自反关系r = p u i 出发，构造p = r n r a ，j =r a r 一- 和i ，= _ r c n 掣所得的三元组( p ) j ，) 是一个偏好结构所以，我们自然会想到：在模糊情形下，能否用d em o r g a n 三元组，通过一个自反的模糊关系r 来构造严格偏好关系p ，无区别关系j 和不可比关系i ，从而类似地得到模糊偏好结构( p ，j ，j ) ，但遗憾的是：f 0 d o r 和p m u b e n s 已在【1 3 中证明了下列结论：不存在d em o r g a n 三元组( t ，s ，n ) ，使得：( 1 ) p ( a ，6 ) = t ( r ( a ，b ) ，n ( r ( b ，o ) ) ) ；( 2 ) j ( ，b ) = t ( r ( a ，6 ) ，n ( b ，o ) ) ；( 3 ) s ( p ( a ，( o ，b ) ) = r ( a ，b )同时成立即对于某个自反的模糊二元关系r 来说，p = r a t 碟，j =r n ，r - 和r = p u sj 不能同时成立，这正是定义模糊偏好结构的困1 4太原理工大学硕士研究生学位论文难所在为此，f o d o r 等人在【1 2 】中给出了模糊偏好结构的一个公理化定义：公理i a ( 不相关选择的独立性) ：存在弘 ，j ：【0 1 1 。- + 0 ，1 1 ，使得：p ( 口，b ) = p ( r ( o ，6 ) ，r ( b ，o ) ) ；j ( ，b ) = i ( r ( n ，6 ) ，r ( b ，d ) ) ；j ( a ，b ) = j ( r ( a ，6 ) ，r ( b ，o ) ) 这里r 是a 上的一个模糊关系公理p a ( 正向联系原理) ：函数p ( z ，y ) 对z 单增，对y 单减；i ( z ，口) 对z ，y 均单增；j ( 扎y ) 对y 均单减公理s ( 对称) ：t ( g ) ，j ( 扎”) 都是对称函数，即i ( 毛9 ) = i ( ，2 ) ，j ( z ，”) =j ( y ，o ) 以上提出的公理是f o d o r 等人对p ，l 歹所作的最为合理的限裁，但这些要求过弱，从而无法进行行之有效的讨论f o d o r 等人也注意到了这一点，为了反映p 1 ，j 与大偏好关系r 的关系，他们引入了以下两个条件：条件( 1 ) ：p u sj = r ；条件( 2 ) ：p u sj = 碟这里( t ，s ，n ) 是d em o r g a n 三元组这两个条件实际上建立了大偏好关系r 与p i j ，i ，之间的联系，应该是偏好结构的基本要求此后，为行文方便，我们将满足公理i a ，p a 及s 和条件( 1 ) ，( 2 ) 的p ，t ，所构成的三元组( p ，f ，j ) 称为公理化定义的模糊偏好结构对公理化的偏好结构，f o d o r 给出了以下结论 1 3 】：定理3 , 2 若j ，) 是一个公理化定义的模糊偏好结构，( t ，只n ) 是d em o r g a n 三元组，则存在单位区n - l 9 自同构妒，使得：太原理工大学硕士研究生学位论文1 5t ( x ，”) = 妒一1 ( w 7 ( 妒( 。) ，妒( ) ) ) = h 0 ( 。，”) is ( z ，y ) = 妒一1 ( i 矿+ ( 妒( z ) ，妒( 掣) ) ) = l 坨( z ，可) in ( z ) = 妒一1 ( 1 一妒( 茹) ) = ，( z ) 此定理表明公理化定义的模糊偏好结构( p ，j ) 对应的d em o r g a n 三元组只能是强d em o r g a n 三元组条件( 1 ) ，( 2 ) 相应地成为：p u w ；i = r ，p u w ；j = r 丸定理3 3 若( p ，j ，j ) 是一个公理化定义的模糊偏好结构，( 正s ，n ) 是d em o r g a n 三元组，则：“，p n p 一1 = 瓯印妒( p ( o ，6 ) ) + 妒( p ( b ，口) ) 1 j俐p n w ，i = 叽即妒( p ( n ，b ) ) + 妒( j ( d ，6 ) ) 1 ；p n w 。j = 0 ，即q o ( p ( a ，6 ) ) + 妒( j ( o ，6 ) ) 1 j“ji n w , j = 0 ，即妒( ，( ，) - f v ( j ( a ，6 ) ) 1 j俐p u w ；p 一1u w ；i u w ；j = a a此定理的证明见【1 3 -易证：在定理3 3 下，条件( 1 ) ，( 2 ) 就可以写为：t ( p ( a ，6 ) ) + _ p ( j ( o ，b ) ) = 妒( r ( o ，6 ) ) ，妒( p ，6 ) ) + l p ( j ( ，6 ) ) + l p ( r ( 6 ，o ) ) = 1 在公理化定义的偏好结构( p ，j ，j ) 中，包含以下几个特例 1 3 】：( 1 ) 若存在一个连续的t 模丑，使得丑( z ，y ) = ( $ ，y ) = p ( 。，( ) ) =j ( 坼( $ ) ， 0 ( g ) ) ，则p = r a n ，r 丸，j = r a r i ，r ，j = 婚，a n ，r ；( 2 ) 若p 非对称，则p = r n 吼r