（计算机应用技术专业论文）浮点除法开方算法研究与电路设计.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 木课题的任务是为 l x - 1 1 6 4处理器芯片开方浮点处理器 ( f p u )中的超高 速浮点除法/ 开方运算器 ( f d i v ) o 当前评价一个处理器性能的重要指标之一就是其浮点性能的好坏， 而浮点 除法单元又 f p u中的重要部件。本文探讨了当前使用较多的一些浮点除法/ 开 方算法，并在设计中采用了改进的牛顿迭代来计算开方、 使用 g o l d s c li m i d t 算法 来实现除法。 在浮点处理单元的硬件实现上，采用 a s i c的全定制电路设计方法，使用 先进的e d a ( 设计工具进行逻辑设计与仿真。完全支持 工 e e e 7 5 4 标准。在设计 上突破传统思想的约束， 采用了可重构技术， 用相同的硬件来实现浮点除法和 升方两种运算。 关键词:浮点除法/ 开方 算法 电路设计 牛顿迭代法 g o l d s c h m i d t 算法 abs tract t h e t a s k i s t o d e v e l o p a h i g h - s p e e d u n i t o f fl o a t i n g - p o i n t d i v i s i o n a n d s q u a r e - r o o t f o r f p u w h i c h b u i l d i n l x 1 1 6 4 g e n e r a l c p u . t o d a y , a i m p o r t a n t g u i d e l i n e f o r e v a l u a t i n g a c p u s p e r f o r m a n c e i s i t s fl o a t i n g - p o i n t o p e r a t i o n c a p a b i l i t y . f l o a t i n g - p o i n t d i v i s i o n u n i t i s a m a i n c o m p o - n e n t o f f p u. t h i s p a p e r d i s c u s s e s s o me a l g o r i t h m o f d i v i s i o n a n d s q u a r e r o o t . i n m y d e s i g n , i u s e i m p r o v e d n e w t o n a l g o r i t h m f o r s q u a r e r o o t a n d g o l d s c h m i d t a l - g o r i t h m f o r d i v i s i o n . t o h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n , i u s e a s i c d e s i g n me t h o d a n d u s e a d v a n c e d e d a t o o l s t o d e s i g n l o g i c a n d s i m u l a t o r . t h i s u n i t i s a b s o l u t e l y c o m p a t i b l e w i t h i e e e 7 5 4 . i n t h i s u n i t ， w e a d o p t r e c o n f i g u r i n g t e c h n o l o g y . y a n j i a n g y u ( c o m p u t e r e n g i n e e r i n g ) d i r e c t e d b y p r o f . q u j u n h u a k e y wo r d s : f l o a t i n g - p o i n t , d i v i s i o n , s q u a r e - r o o t , a l g o r i t h m , c i r c u i t d e s i g n 华北电力大学硕士学位论文 摘要 木课题的任务是为 l x - 1 1 6 4处理器芯片开方浮点处理器 ( f p u )中的超高 速浮点除法/ 开方运算器 ( f d i v ) o 当前评价一个处理器性能的重要指标之一就是其浮点性能的好坏， 而浮点 除法单元又 f p u中的重要部件。本文探讨了当前使用较多的一些浮点除法/ 开 方算法，并在设计中采用了改进的牛顿迭代来计算开方、 使用 g o l d s c li m i d t 算法 来实现除法。 在浮点处理单元的硬件实现上，采用 a s i c的全定制电路设计方法，使用 先进的e d a ( 设计工具进行逻辑设计与仿真。完全支持 工 e e e 7 5 4 标准。在设计 上突破传统思想的约束， 采用了可重构技术， 用相同的硬件来实现浮点除法和 升方两种运算。 关键词:浮点除法/ 开方 算法 电路设计 牛顿迭代法 g o l d s c h m i d t 算法 abstract t h e t a s k i s t o d e v e l o p a h i g h - s p e e d u n i t o f fl o a t i n g - p o i n t d i v i s i o n a n d s q u a r e - r o o t f o r f p u w h i c h b u i l d i n l x 1 1 6 4 g e n e r a l c p u . t o d a y , a i m p o r t a n t g u i d e l i n e f o r e v a l u a t i n g a c p u s p e r f o r m a n c e i s i t s fl o a t i n g - p o i n t o p e r a t i o n c a p a b i l i t y . f l o a t i n g - p o i n t d i v i s i o n u n i t i s a m a i n c o m p o - n e n t o f f p u. t h i s p a p e r d i s c u s s e s s o m e a l g o r i t h m o f d i v i s i o n a n d s q u a r e r o o t . i n m y d e s i g n , i u s e i m p r o v e d n e w t o n a l g o r i t h m f o r s q u a r e r o o t a n d g o l d s c h m i d t a l - g o r i t h m f o r d i v i s i o n . t o h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n , i u s e a s i c d e s i g n m e t h o d a n d u s e a d v a n c e d e d a t o o l s t o d e s i g n l o g i c a n d s i m u l a t o r . t h i s u n i t i s a b s o l u t e l y c o m p a t i b l e w i t h i e e e 7 5 4 . i n t h i s u n i t ， w e a d o p t r e c o n f i g u r i n g t e c h n o l o g y . y a n j i a n g y u ( c o m p u t e r e n g i n e e r i n g ) d i r e c t e d b y p r o f . q u j u n h u a k e y wo r d s : f l o a t i n g - p o i n t , d i v i s i o n , s q u a r e - r o o t , a l g o r i t h m , c i r c u i t d e s i g n y7 ! 3 2 3 5 二丝. o口 沂 口明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体， 均 已在文中以明确方式标明。 特此 申明。 、 名 二 1取壑 一 日 期 : 洲 华( 之 . 乙 。 关于学位论文使用授权的说明 1 .本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即: 学校有权保管、并向 有关部门 送交学位论文的原件与复印 件; 学校可以 采用影印、 缩印或其它复制手段复制并 保 存学位论文; 学校可允许学位论文被查阅或借阅; 学校可以 学术交流为目 的 ， 复制赠送和交 换学位论文; 同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、 传播学位论文的全部或部分内 容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定 ) 作 者 签 名 : t ; z 导师签名: 日期 : 丫什 . ( 2 - iv 日期: 华北电力大学硕士学位论文 第i 章引言 随着科技的进步和社会的发展，计算机已经在我们的日常生活、工农业生产和 科学研究中取得了广泛的应用。 c p u是计算机的核心， c p u的性能决定着计算机的 性能、 进而决定着整个系统的性能。 在 c p u所处理的数据主要有两种表示方式:定 点数和浮点数。其中定点数表示范围小，但其实现简单，主要包括一些文档字符处 理，普通数值计算以及以及生产管理系统等。浮点数由于其表数范围大，精度高， 实现复杂，最初主要应用在需要使用精确数值进行计算的科学研究领域，比如气象 预报、工程计算和图像处理等。随着计算机的应用日益广泛和集成电路制造工艺的 发展，浮点数据的应用范围也越来越广，不仅在科学研究，而且在工业生产和日常 生活中的许多方面都需要浮点数来增强运算能力。现在很普遍的 3 d电脑游戏、多 媒体播放，图像图形处理等都是浮点数在日常生活中的典型应用。 因此浮点运算能力成为继频率后评价c p u性能的又一指标， 浮点运算能力的高 低不仅决定了该 c p u的性能，而且决定了该 c p u的应用领域。在早期的 c p u中， 浮点运算单元 ( f p u)并不是集成在 c p u内部，而是作为一个单独的芯片浮点协处 理器于c p u协同工作。随着v l s i 制造工艺的发展， 在一块硅片上可以集成更多的 电路，从8 0 4 8 6 d x c p u开始，f p u就集成到了c p u内部。目 前市场中的各种通用 处理器中都集成了浮点运算单元，甚至某些嵌入式处理器中也支持浮点运算。下表 是目前常用的高端c p u在每个时钟周期能执行浮点运算的次数: 巨 一 吧pa 一卜一 膘_ 一煎 丁 诬 萨_ 画 一 f 咒 一 c 一 一:件 臀 鳄竺 缨 竺 e npart 22 _一 i b m p o we r 4 h p q p a - r i s c h p q 灿p l a a l s 6 mi ps i n t e l i n t e l ita n u m (p e n ti u m f lo p sc : c l e 442 一i2 2 i t 一 图 1 我国的通用 c p u产业目 前还处子起步阶段， 许多专家学者都在致力于研究自己 特色的 c p u。去年，中科院计算所发布了他们研制的龙芯 2通用 c p u，主频为 s o o mh z ， 性能达到了pln 的水平。 北京凝思科技有限公司在总裁宫敏博士带领下研 制基于安全服务器的6 4 位通用处理器l x-1 1 6 4 a凝思公司是以承担国家8 6 3 信息 安全项目而设立的高新技术企业。公司的目标是设计和生产出具有完全自主知识产 权的处理器和操作系统的高安全服务器系统，填补我国在信息安全关键技术领域的 空白。 首先让我们简要回顾一下浮点单元及浮点乘、除法器的发展历史和现状. 华北电力大学硕士学位论文 1 . 1 i n t e 1 8 0 8 7 , 8 0 2 8 7 , 8 0 3 8 7 , 8 0 4 8 6 这四种算术协处理器芯片皆由美国i n t e l 公司设计生产。8 0 8 7协处理器是 1 9 7 9 年引入 8 0 8 6 / 8 0 8 8 微处理机系统。1 9 8 2 年又把 8 0 2 8 7引入 8 0 2 8 6 微机系统。三年以 后， 继8 0 3 8 6 3 2 位微处理机问世一年后， 8 0 3 8 7 也随之问世。 上述几种c p u均采用 c i s c体系结构，且 . f p u是单独的芯片。1 9 8 9 年4 月，i n t e l 公司推出了向r i s c体 系结构转型的新产品8 0 4 8 6 . 8 0 4 8 6 在c p u芯片中集成了浮点运算单元f p u ，使其 浮点处理能力是 8 0 3 8 7的 3 - 5 倍。8 0 8 7 , 8 0 2 8 7 , 8 0 3 8 7 及 8 0 4 8 6 都使用 8 0 位内h is 结构，实现了i e e e浮点格式， 包括3 2 位单精度、 6 4 位双精度和 8 0 位扩展精度等。 其中8 0 8 7 , 8 0 2 8 7 支持推荐的i e e e 7 5 4 标准; 8 0 3 8 7 支持最终的i e e e 7 5 4 标准; 8 0 4 8 6 支持i e e e 7 5 4 与8 5 4 标准。下面我们再对f p u中的乘、除法器 ( f mu l )的运算性 能进行一下分析并列于表 t o 表 1 浮点单元名称浮点乘法器运算所需周期数 浮点除法器运算所需周期数主频 ( mh z ) 8 0 2 8 7 8 5 一1 1 0 1 9 8 一2 2 51 6 8 0 3 8 7 2 7 一5 78 9 - 9 4 2 5 8 0 4 8 6 1 9 -2 73 9 5 0 i n t e l p e n t i u m 1 9 9 3 年3 月i n t e l 公司推出了新一代产品p e n t i u m此产品采用0 . 8 t m c mo s 工作主频6 0 - 6 6 mh z 。内含算术协处理器，支持 i e e e 7 5 4 与8 5 4 位内部结构。p e n t i u m在浮点部件上与 8 0 4 8 6相比，做了重大改进。 标准，使用8 0 由于引入流水 勺乙， l.艺 线技术， 其浮点单元f p u一般可每个周期接受一条浮点操作指令。 f p u共有 8 级流 水级，包括预取指令 ( p f ) :指令译码 d 1 ) :地址生成 ( 1 3 2 ) ;读存储器和寄存器 ( e x) ;浮点执行级 1 ( x l ) ;浮点执行级 2 ( x 2 ) ;舍入和回写 ( wf ) ;报告出错 及更改状态字 e r ) . 1 . 3 i n t e l 8 0 8 6 0( 1 8 6 0 ) i n t e l 8 0 8 6 0 是i n t e l 公司于8 0 年代末开发的超标量r i s c芯片。 采用1 g m c mo s 工艺，工作主频 4 0 mh z 。其浮点单元 f p u主要由浮点控制部件、浮点加法部件和 浮点乘法部件组成。支持i e e e 7 5 4的单精度和双精度两种数据格式，并有两种操作 方式，标量方式或流水线方式。在标量方式下，需六个周期完成一个单精度浮点乘 法，需九个周期完成一个双精度浮点乘法.在流水线方式下，一个时钟周期即可完 华北电力大学硕士学位论文 1 . 1 i n t e 1 8 0 8 7 , 8 0 2 8 7 , 8 0 3 8 7 , 8 0 4 8 6 这四种算术协处理器芯片皆由美国i n t e l 公司设计生产。8 0 8 7协处理器是 1 9 7 9 年引入 8 0 8 6 / 8 0 8 8 微处理机系统。1 9 8 2 年又把 8 0 2 8 7引入 8 0 2 8 6 微机系统。三年以 后， 继8 0 3 8 6 3 2 位微处理机问世一年后， 8 0 3 8 7 也随之问世。 上述几种c p u均采用 c i s c体系结构，且 . f p u是单独的芯片。1 9 8 9 年4 月，i n t e l 公司推出了向r i s c体 系结构转型的新产品8 0 4 8 6 . 8 0 4 8 6 在c p u芯片中集成了浮点运算单元f p u ，使其 浮点处理能力是 8 0 3 8 7的 3 - 5 倍。8 0 8 7 , 8 0 2 8 7 , 8 0 3 8 7 及 8 0 4 8 6 都使用 8 0 位内h is 结构，实现了i e e e浮点格式， 包括3 2 位单精度、 6 4 位双精度和 8 0 位扩展精度等。 其中8 0 8 7 , 8 0 2 8 7 支持推荐的i e e e 7 5 4 标准; 8 0 3 8 7 支持最终的i e e e 7 5 4 标准; 8 0 4 8 6 支持i e e e 7 5 4 与8 5 4 标准。下面我们再对f p u中的乘、除法器 ( f mu l )的运算性 能进行一下分析并列于表 t o 表 1 浮点单元名称浮点乘法器运算所需周期数 浮点除法器运算所需周期数主频 ( mh z ) 8 0 2 8 7 8 5 一1 1 0 1 9 8 一2 2 51 6 8 0 3 8 7 2 7 一5 78 9 - 9 4 2 5 8 0 4 8 6 1 9 -2 73 9 5 0 i n t e l p e n t i u m 1 9 9 3 年3 月i n t e l 公司推出了新一代产品p e n t i u m此产品采用0 . 8 t m c mo s 工作主频6 0 - 6 6 mh z 。内含算术协处理器，支持 i e e e 7 5 4 与8 5 4 位内部结构。p e n t i u m在浮点部件上与 8 0 4 8 6相比，做了重大改进。 标准，使用8 0 由于引入流水 勺乙， l.艺 线技术， 其浮点单元f p u一般可每个周期接受一条浮点操作指令。 f p u共有 8 级流 水级，包括预取指令 ( p f ) :指令译码 d 1 ) :地址生成 ( 1 3 2 ) ;读存储器和寄存器 ( e x) ;浮点执行级 1 ( x l ) ;浮点执行级 2 ( x 2 ) ;舍入和回写 ( wf ) ;报告出错 及更改状态字 e r ) . 1 . 3 i n t e l 8 0 8 6 0( 1 8 6 0 ) i n t e l 8 0 8 6 0 是i n t e l 公司于8 0 年代末开发的超标量r i s c芯片。 采用1 g m c mo s 工艺，工作主频 4 0 mh z 。其浮点单元 f p u主要由浮点控制部件、浮点加法部件和 浮点乘法部件组成。支持i e e e 7 5 4的单精度和双精度两种数据格式，并有两种操作 方式，标量方式或流水线方式。在标量方式下，需六个周期完成一个单精度浮点乘 法，需九个周期完成一个双精度浮点乘法.在流水线方式下，一个时钟周期即可完 华北电力大学硕士学位论文 成一个乘法运算。其六个流水级为:取指令级 ( f ) ;译码级 ( d) ;三个浮点执行级 ( el 、e 2 , e 3 )以及写回结果 ( w) 。在执行双精度乘法运算时，执行级需加倍。 1 . 4 1 . 4 . 1 p o we r p c系列处理 由 美国i b m, a p p l e 和m o t o r o l a 公司联合开发的微处理器芯片。 p o we r p c 6 0 1 采用。 6 p m c mo s 工艺，工作主频5 0 1 6 6 m h z o f p u采用五级流水，包括取指 级 ( f i ) :译码级 ( f d ) :乘法执行级 ( f p m) :加法执行级 ( f p a ) ;规格化/ 舍入 及回写级 n o r m a l iz e r , r o u n d e r , f w a ) o这样把乘 法和加法作为两 个流水级，可高效 地完成a x + b运算，且只进行一次舍入，不仅速度快且精度高。但同样也使单独的 乘法和加法运算产生了冗余。浮点乘法阶段f p m每个时钟周期完成2 7 位 x 5 3 位 的计算。因为双精度乘法要求5 3 位 x 5 3 位，所以，有关双精度的乘法及加乘运算 在该阶段均占用两个周期。不仅如此，双精度的乘法及加乘运算在f d和f p a阶段 同样需要两个成功的周期。双精度的除法运算需要在f d , f p m和f p a阶段循环往 复。也就是说，完成一个单精度浮点乘法运算需要5 个周期，完成一个双精度浮点 乘法运算需要8 个周期，除法运算需要多个乘法周期。 1 . 4 . 2 p o we r p c 6 0 3 采用。 . 5 p m c m o s 工艺， 工作主频8 0 m h z . p o w e r p c 6 0 3 的浮点功能与p o w e r p c 6 0 1 基本一致， 只是把低能耗技术应用到了f p u上。 在硬件上支持所有i e e e 7 5 4 浮 点数据类型 ( 规格化、反规格化、非数 n a n,零和无穷大) ，消除了软件异常例程 引发的执行时间。 1 . 5旧m r s 1 6 0 0 0 r s / 6 0 0 0 的全称是r i s c system/6000。它是i b m公司1 9 8 6 年开始实 施的第二 代r i s c产品系列。它实现了i e e e 7 5 4 二进制浮点标准，执行一条乘加指令共需8 个周期。 华北电力大学硕士学位论文 成一个乘法运算。其六个流水级为:取指令级 ( f ) ;译码级 ( d) ;三个浮点执行级 ( el 、e 2 , e 3 )以及写回结果 ( w) 。在执行双精度乘法运算时，执行级需加倍。 1 . 4 1 . 4 . 1 p o we r p c系列处理 由 美国i b m, a p p l e 和m o t o r o l a 公司联合开发的微处理器芯片。 p o we r p c 6 0 1 采用。 6 p m c mo s 工艺，工作主频5 0 1 6 6 m h z o f p u采用五级流水，包括取指 级 ( f i ) :译码级 ( f d ) :乘法执行级 ( f p m) :加法执行级 ( f p a ) ;规格化/ 舍入 及回写级 n o r m a l iz e r , r o u n d e r , f w a ) o这样把乘 法和加法作为两 个流水级，可高效 地完成a x + b运算，且只进行一次舍入，不仅速度快且精度高。但同样也使单独的 乘法和加法运算产生了冗余。浮点乘法阶段f p m每个时钟周期完成2 7 位 x 5 3 位 的计算。因为双精度乘法要求5 3 位 x 5 3 位，所以，有关双精度的乘法及加乘运算 在该阶段均占用两个周期。不仅如此，双精度的乘法及加乘运算在f d和f p a阶段 同样需要两个成功的周期。双精度的除法运算需要在f d , f p m和f p a阶段循环往 复。也就是说，完成一个单精度浮点乘法运算需要5 个周期，完成一个双精度浮点 乘法运算需要8 个周期，除法运算需要多个乘法周期。 1 . 4 . 2 p o we r p c 6 0 3 采用。 . 5 p m c m o s 工艺， 工作主频8 0 m h z . p o w e r p c 6 0 3 的浮点功能与p o w e r p c 6 0 1 基本一致， 只是把低能耗技术应用到了f p u上。 在硬件上支持所有i e e e 7 5 4 浮 点数据类型 ( 规格化、反规格化、非数 n a n,零和无穷大) ，消除了软件异常例程 引发的执行时间。 1 . 5旧m r s 1 6 0 0 0 r s / 6 0 0 0 的全称是r i s c system/6000。它是i b m公司1 9 8 6 年开始实 施的第二 代r i s c产品系列。它实现了i e e e 7 5 4 二进制浮点标准，执行一条乘加指令共需8 个周期。 华北电力大学硕十学位论文 1 .6 mi p s ( m i c r o p r o c e e s s o r wit h o u t i n t e r l o c k e d p i p e d s t a g e e s ) 系列产品 由美国mi p s公司设计生产的当今世界上较流行的一种r i s c处理器。 1 . 6 . 1 m i p s 8 2 0 1 0 其浮点处理器 f p a有六级流水，包括取指令 ( i f ) 、读取指令 ( r d ) 、两个浮 点执行级 ( e l , e 2 ) 、处理异常 ( me m wb )和回写 ( f wb ) 。相对于 8 2 0 0 0所增 加的f p a流水线工序可以 在f p a与主处理器之间更好地协调异常响应。 1 . 6 . 2 mi ps 8 3 0 1 0 与8 2 0 1 0 基本相似， f p a六级流水线， 取指 ( i f ) 、 读数据 ( r d ) 、 执行 1 ( e i ) , 执行 2 ( e 2 ) 、处理异常 ( wb ) 和回写 ( f wb ) . 8 3 0 1 0 充分利用内部操作的并行性， 可允许几条f p a指令重叠执行，以提高流水线效率。 1 . 6 . 3 mi p s 8 4 0 0 0 mi p s 8 4 0 0 0 把整个浮点部件 ( f p u) 做在芯片上。 f p u支持i e f e 7 5 4 标准的单 精度和双精度算术运算。一个完整的单精度乘法运算需要7 个周期，双精度乘法运 算需要 8个周期。一个完整的单精度除法运算需要 2 3个周期，双精度除法运算需 要 3 6 个周期。 1 . 7 s u p e r s p a r c 美国德州仪器公司 ( t i )为 s u n微系统公司生产的第四代 s p a r c ，采用超标 量 r i s c体系结构。其浮点部件 ( f p u )实际上是一个流水线的浮点处理器，可对 单双精度数进行操作。它包括一个浮点控制器f p c ，以及两个独立的流水线:浮点 加法器 ( f a d d e r )和乘法器 ( f m u l t i p l i e r ) 。所有的浮点指令都是在这两个独 立部件中的一个中执行。 浮点乘法器 ( f mu l t i p l i e r )是完全流水线结构，包括以 下四个流水级: ( 玲f r d :译码和读出; ( 2 ) f m:执行乘法: ( 3 ) f n / f r :规格化和舍入; ( 4 ) f wb :写回到浮点寄存器堆。 f mu l t i p l i e r执行乘法和除法运算。每个周期它可启始一次单精度或双精度 华北电力大学硕十学位论文 1 .6 mi p s ( m i c r o p r o c e e s s o r wit h o u t i n t e r l o c k e d p i p e d s t a g e e s ) 系列产品 由美国mi p s公司设计生产的当今世界上较流行的一种r i s c处理器。 1 . 6 . 1 m i p s 8 2 0 1 0 其浮点处理器 f p a有六级流水，包括取指令 ( i f ) 、读取指令 ( r d ) 、两个浮 点执行级 ( e l , e 2 ) 、处理异常 ( me m wb )和回写 ( f wb ) 。相对于 8 2 0 0 0所增 加的f p a流水线工序可以 在f p a与主处理器之间更好地协调异常响应。 1 . 6 . 2 mi ps 8 3 0 1 0 与8 2 0 1 0 基本相似， f p a六级流水线， 取指 ( i f ) 、 读数据 ( r d ) 、 执行 1 ( e i ) , 执行 2 ( e 2 ) 、处理异常 ( wb ) 和回写 ( f wb ) . 8 3 0 1 0 充分利用内部操作的并行性， 可允许几条f p a指令重叠执行，以提高流水线效率。 1 . 6 . 3 mi p s 8 4 0 0 0 mi p s 8 4 0 0 0 把整个浮点部件 ( f p u) 做在芯片上。 f p u支持i e f e 7 5 4 标准的单 精度和双精度算术运算。一个完整的单精度乘法运算需要7 个周期，双精度乘法运 算需要 8个周期。一个完整的单精度除法运算需要 2 3个周期，双精度除法运算需 要 3 6 个周期。 1 . 7 s u p e r s p a r c 美国德州仪器公司 ( t i )为 s u n微系统公司生产的第四代 s p a r c ，采用超标 量 r i s c体系结构。其浮点部件 ( f p u )实际上是一个流水线的浮点处理器，可对 单双精度数进行操作。它包括一个浮点控制器f p c ，以及两个独立的流水线:浮点 加法器 ( f a d d e r )和乘法器 ( f m u l t i p l i e r ) 。所有的浮点指令都是在这两个独 立部件中的一个中执行。 浮点乘法器 ( f mu l t i p l i e r )是完全流水线结构，包括以 下四个流水级: ( 玲f r d :译码和读出; ( 2 ) f m:执行乘法: ( 3 ) f n / f r :规格化和舍入; ( 4 ) f wb :写回到浮点寄存器堆。 f mu l t i p l i e r执行乘法和除法运算。每个周期它可启始一次单精度或双精度 华北电力大学硕士学位论文 乘法操作。除法按非流水线机制执行，占若干个乘法周期。f mu l t i p l i e r支持非 规格化数，但会有多达五个周期的时间代价。乘法运算需要 3 个周期完成，单精度 除法运算需要 6 个周期完成，双精度除法运算需要 9 个周期完成。 从上面的介绍中，我们可以看到，目前国外一些大的计算机厂商所生产的c p u 的浮点单元的浮点乘、 除法器的主要性能指标。目 前我国c p u还没有形成产业， 只 是处在研究阶段。 为了发展民族的c p u工业， 许多专家学者都在致力研究有自己特 色的 c p u。本人有幸在夏宏副教授的指导下参加这一工程，承担凝思公司 l x 1 1 6 4 c p u的 i u , f p u的一些功能部件的逻辑设计与仿真工作。其中一项重要工作就是 研制高性能的浮点除法/ 开方运算器 ( f d i v ) o 我们所研制的f d i v ， 采用0 . 1 8 p m c m o s 工艺; 工作主频4 0 0 m h z ; 硬件完全 支持i e e e 7 5 4 浮点标准。 单精度除法运算7 个周期完成， 双精度除法运算9 个周期 完成;双精度开方运算 1 2个周期完成，单精度除法运算 9个周期完成。在支持反 规格化数方面不需要额外的时间代价。 f d i v将采用a s i c ( a p p l i c a t i o n s p e c i f i c i n t e g r a t e d c i r c u i t ) 的全定制电 路的设计 方法，使用先进的e d a ( e l e c t r o n i c d e s i g n a u t o m a t i o n ) 设计i具进行逻辑设计与仿 真。 华北电力大学硕士学位论文 第2 章 i e e e 7 5 4浮点标准介绍 我所设计的浮点除法、 开方运算器是以1 9 8 5 年由i e e e ( i n s t i t u t e o f e l e c t r i c a l a n d e l e c t r o n i c s e n g i n e e r s )制定的浮点标准a n s i / i e e e s t d . 7 5 4 - 1 9 8 5( 简称i e e e 7 5 4 ) 为依据的。 i e e e 7 5 4 标准是目前使用最广泛的浮点标准，它应用于当代所有处理器 和算术协处理器中。 i e e e 7 5 4 浮点标准包括浮点数的格式、 算术计算精度以及异常情况处理等三个 方面。 2 . 1浮点数的格式 i e e e 7 5 4 标准定义了四种浮点标准:3 2 位单精度、扩展单精度、6 4 位双精度 和扩展双精度。 2 . 1 . 1 单精度格式 单精度格式:即二进制浮点数的3 2 位格式， 如图 2 所示。 此格式由一 位符号 s . 8 位的偏码指数 e以及2 3 位的原码尾数f组成。指数偏码的偏移量为 1 2 7 .单 精度浮点数的值 v 有五种情形。 n 号 叫移 码 叫原 码 尾 数 图 2 3 2 位单精度格式 如果e =2 5 5 ，且f :p l- 0 ，则v =n a n ，即v是非数; 如果e = 2 5 5 ， 且f = o ， 则v = ( - i ) s x -，即v =1 -; 如 果。 e 2 5 5 ， 则v = ( - 1 ) s x 2 e - 1 2 1 x i .f ， 则v 是正 常的 浮点 数; 如果e = 0 ， 且f # o ， 则v = ( - 1 ) s x 2 e - 1 2 6 x o .f ，即v 是反规格 化数; 如果e = 0 ， 且介 。 ， 则v = ( - 1 ) s x o ， 即v = 士 。 。 为了保持高精度，以上定义中采用基数为 “ 2 ，并且尾数f的最左有效位不表 示规格化数，这样可使指数场中的位数增加一位，由小数点左边的一个显示 ( 运算 时 ) 或隐 式( 存储时， 又叫隐 含位) 前导位( 0 或1 ) 与小数点右边的尾数f 组成的一个二 进制数部分，叫做有效数( s i g n i f i c a n d ) 。即 华北电力大学硕士学位论文 第2 章 i e e e 7 5 4浮点标准介绍 我所设计的浮点除法、 开方运算器是以1 9 8 5 年由i e e e ( i n s t i t u t e o f e l e c t r i c a l a n d e l e c t r o n i c s e n g i n e e r s )制定的浮点标准a n s i / i e e e s t d . 7 5 4 - 1 9 8 5( 简称i e e e 7 5 4 ) 为依据的。 i e e e 7 5 4 标准是目前使用最广泛的浮点标准，它应用于当代所有处理器 和算术协处理器中。 i e e e 7 5 4 浮点标准包括浮点数的格式、 算术计算精度以及异常情况处理等三个 方面。 2 . 1浮点数的格式 i e e e 7 5 4 标准定义了四种浮点标准:3 2 位单精度、扩展单精度、6 4 位双精度 和扩展双精度。 2 . 1 . 1 单精度格式 单精度格式:即二进制浮点数的3 2 位格式， 如图 2 所示。 此格式由一 位符号 s . 8 位的偏码指数 e以及2 3 位的原码尾数f组成。指数偏码的偏移量为 1 2 7 .单 精度浮点数的值 v 有五种情形。 n 号 叫移 码 叫原 码 尾 数 图 2 3 2 位单精度格式 如果e =2 5 5 ，且f :p l- 0 ，则v =n a n ，即v是非数; 如果e = 2 5 5 ， 且f = o ， 则v = ( - i ) s x -，即v =1 -; 如 果。 e 2 5 5 ， 则v = ( - 1 ) s x 2 e - 1 2 1 x i .f ， 则v 是正 常的 浮点 数; 如果e = 0 ， 且f # o ， 则v = ( - 1 ) s x 2 e - 1 2 6 x o .f ，即v 是反规格 化数; 如果e = 0 ， 且介 。 ， 则v = ( - 1 ) s x o ， 即v = 士 。 。 为了保持高精度，以上定义中采用基数为 “ 2 ，并且尾数f的最左有效位不表 示规格化数，这样可使指数场中的位数增加一位，由小数点左边的一个显示 ( 运算 时 ) 或隐 式( 存储时， 又叫隐 含位) 前导位( 0 或1 ) 与小数点右边的尾数f 组成的一个二 进制数部分，叫做有效数( s i g n i f i c a n d ) 。即 华北电力大学硕士学位论文 第种情形说明没有数学解释的操作( 例如 。 = 0 ) 将产生一个非数 n a n ( n o t - a - n u m b e r ) ; 第种情形表示正负无穷大数; 第种情形是规格化数的表示， 它定义为非零的数，且其最左有效数位为 1 。如果最左有效数位是 0 ，则变成第 种情形的非正常 0 .规格化不改变指数采用偏移码，并且偏移码的选择是这样的: 可以表示所有规格数的例数，而不会引起指数溢出。情形中p具有最小的指数， 有效数的显式或隐式前导( 最左) 位是 。 ;这个数不是一个正常零，叫做反规格化 ( d e n o m a i z e d ) 数，反规格化数是给定格式中作为下溢出的违章结果，它不是为扩充 指数范围而设计的，而是牺牲一些精度来换取尽可能长的，允许进一步计算，以判 定该下溢出是否将成为有意义的结果。 因为最小的规格化数为t = 2 - 1 2 6 。 故反规格化 数就是在 。 2 - 1 2 6 之间的数。反规格化数只对单精度与双精度格式定义，对于采用 反规格化数表示下溢值的下溢出，叫做逐级下溢( g r a d u a l u n d e r fl o w ) . 第种情形也具有最小的指数， 而且有效数为0 ， 但符号位可以是正的或负的， 这个数称为正常零。在 i e e e标准中由于浮点有效数采用原码表示，于是就有两个 零: 十 0 与一 0 。 标准中规定0 -0 =十。 ， 而一( 。 ) = 一。 。 于是当x =。 时，-x和0 -x 是不同的。 2 . 1 . 2 双精度格式 双精度格式是二进制浮点数的6 4 位格式，如图 3 所示，此格式由一位符号位 s , 1 1 位的偏移指数e ，以及 5 2 位的尾数f 组成。指数偏码的偏移量为 1 0 2 3 。双精 度浮点数的值也分五种情形: 巨 一 ， “ 一杆一 - .- 二 位 .- 一 符号淤 奖醚一.,_ taat., 图 3 6 4 位双精度格式 如果。 = 2 0 4 7 ，且f -? ,- 0 ，则v = n a n; 如果e = 2 0 4 7 ， 且f = 0 , v = ( - i ) i x -，即v =士 co 如果。 e 2 0 4 7 , v = ( - 1 ) s x 2 e - 10 2 3 x i .f ; 如果e = 0 ， 且f # 0 , v = ( - 1 ) x 2 e - 1 0 2 2 x o .f ; 如果e = 0 ， 且卜 。 ， v = ( - 1 ) s x o , 双精度格式的指数是这样选择的， 起 6 4 位格式的溢出。 即 v = 0 . 使得 8个 3 2位的单精度数的乘积也不会引 华北电力大学硕士学位论文 第种情形说明没有数学解释的操作( 例如 。 = 0 ) 将产生一个非数 n a n ( n o t - a - n u m b e r ) ; 第种情形表示正负无穷大数; 第种情形是规格化数的表示， 它定义为非零的数，且其最左有效数位为 1 。如果最左有效数位是 0 ，则变成第 种情形的非正常 0 .规格化不改变指数采用偏移码，并且偏移码的选择是这样的: 可以表示所有规格数的例数，而不会引起指数溢出。情形中p具有最小的指数， 有效数的显式或隐式前导( 最左) 位是 。 ;这个数不是一个正常零，叫做反规格化 ( d e n o m a i z e d ) 数，反规格化数是给定格式中作为下溢出的违章结果，它不是为扩充 指数范围而设计的，而是牺牲一些精度来换取尽可能长的，允许进一步计算，以判 定该下溢出是否将成为有意义的结果。 因为最小的规格化数为t = 2 - 1 2 6 。 故反规格化 数就是在 。 2 - 1 2 6 之间的数。反规格化数只对单精度与双精度格式定义，对于采用 反规格化数表示下溢值的下溢出，叫做逐级下溢( g r a d u a l u n d e r fl o w ) . 第种情形也具有最小的指数， 而且有效数为0 ， 但符号位可以是正的或负的， 这个数称为正常零。在 i e e e标准中由于浮点有效数采用原码表示，于是就有两个 零: 十 0 与一 0 。 标准中规定0 -0 =十。 ， 而一( 。 ) = 一。 。 于是当x =。 时，-x和0 -x 是不同的。 2 . 1 . 2 双精度格式 双精度格式是二进制浮点数的6 4 位格式，如图 3 所示，此格式由一位符号位 s , 1 1 位的偏移指数e ，以及 5 2 位的尾数f 组成。指数偏码的偏移量为 1 0 2 3 。双精 度浮点数的值也分五种情形: 巨 一 ， “ 一杆一 - .- 二 位 .- 一 符号淤 奖醚一.,_ taat., 图 3 6 4 位双精度格式 如果。 = 2 0 4 7 ，