（计算机软件与理论专业论文）二次曲面交线的拓扑分类与计算.pdf

“东大学博士学位论文 摘要 二次曲面作为表示形式最简单的一种曲面，在c a d c a m 以及立体造 型中有非常广泛的应用。对两二次曲面交线( q s i c - q u a d r i c s u r f a c e i n t e r s e c t i o nc u r v e ) 的拓扑分类和计算是立体造型系统计算三维物体边界表 示的一个非常重要的操作，同时还可应用在其它的几何处理算法中。因此 关于q s i c 的拓扑分类和计算一直是一个非常活跃的研究课题。 对q s i c 的分类和计算方法已有许多，包括古典的代数几何中的结果和 现代的c a g d 中的算法。古典的代数几何方法对q s i c 的分类在复空间进 行，由于复空间的代数封闭性在复空间对q s i c 的分类己有非常完善的结 果，但其分类结果不能直接应用于实空间中的c a d c a m 问题中。另一方 面，实空间中对0 s i c 的计算方法在c a g d 领域得到了广泛的研究，提出 了许多算法，但这些算法对q s i c 在实空间的拓扑分类都未能给出简单有效 的方法，并因此造成了q s i c 几何计算的稳定性和精确性等方面的问题。 本文提出了一个在三维实射影空间对任意两二次曲面非平面交线的简 单的拓扑分类方法，设计实现了一个能够提供拓扑和几何信息的q s i c 计算 方法。除此之外，本文还给出了两二次曲面形成的二次曲面柬在实射影空 间的两个新的性质。 关于q s i c 在三维实射影空间的拓扑分类，本文注意到q s i c 有如下两 个己知性质：1 ) 两二次曲面与它们形成的二次曲面束中任意两成员有相同 的交线。2 ) 在三维实射影空间，两二次曲面和它们的任意一对射影等价曲 面有相同拓扑结构的交线。本文利用代数上的古典结果一两实对称矩阵的 同时块对角化理论对任意给定的两二次曲面，或者实行相同的射影变换， 或者用它们形成的二次曲面柬中的成员来替代它们，将两二次曲面同时简 化为它们的标准形式。由前面给出的q s i c 的两个性质可知，简化过程中对 两二次曲面进行的两种操作不会改变它们的q s i c 的拓扑形态a 随后本文推 导了两二次曲面特征方程根的实虚及重数的不同导致的q s i c 拓扑形态的 不同，并通过形式化地定义三维实射影空间中两二次曲面特征方程根的分 布形式，得到了特征方程根的分布形式与q s i c 拓扑形态之间的对应关系， 结果见第一章中的附表2 。如本文结论之一为：在三维实射影空间两二次曲 山东大学博士学位论文 面非奇异交线只有一个仿射有限分支当且仅当两二次曲面的特征方程有两 个不同的实根和一对共轭虚根。由于两二次曲面的特征方程实根个数及其 重数可用精确的计算方法得到，本文分类结果可用于实现对任意两二次曲 面的非平面交线拓扑形态的判断。又由于分类结果在获取交线的参数化表 示之前即可得到，因此此判断方法不受复杂的浮点运算带来的潜在的误差 的影响，是非常稳定可靠的。 在对两二次曲面交线的拓扑分类中，本文提出了空间曲线的仿射有限 性这一性质。简单地说，在三维实射影空间，如果一条空间曲线与射影空 间中任意一个平面都相交，那么称这条曲线是仿射无限的：反之是仿射有 限的。如空间中一条直线是仿射无限的，而一条卵形( o v a l ) 曲线是仿射有 限的。据我们所知，已有的算法未见有将仿射有限性与两二次曲面交线的 分类相联系的讨论。 两二次曲面交线无实交点( 即两二次曲面不相交) 是两二次曲面非常 重要的一种位置关系，如何快速而准确地判定这一情况是计算机图形学、 c a g d 等应用中一个非常重要的问题。本文提出的检测两二次曲面交线无 实交点的方法，只需检测二次曲面束中的四个成员即可知道二次曲面束中 是否含有虚二次曲面，从而判定两二次曲面是否有实交线( 点) ，计算上比 起其他方法简单许多，因此更加快速准确。 在对两二次曲面非平面交线进行拓扑分类的基础上，本文提出了计算 任意两二次曲面非平面交线的算法。算法利用s t u r m 序列方法计算求得两二 次曲面特征方程根的分布形式然后利用拓扑分类结果判定交线的拓扑形 态。在己知交线拓扑形态的情况下，计算交线的几何形状，给出其参数化 表示，且对奇异的或可退化的非平面交线，能够给出其有理参数化表示， 使交线的几何表示更加精确。由于算法能够事先判断交线的拓扑形态，使 得计算交线几何形状时的误差不会影响交线的拓扑形态，这在实际的几何 处理应用中是非常有用的。 本文对二次曲面束在实射影空间包含的成员的讨论总结了关于二次曲 面柬的成员组成的一些结论，并给出了非常简洁的证明。它们对直观上理 解两二次曲面交线的拓扑形态有非常重要的意义。 关键词：交线、二次曲面、块对角化、拓扑形态。 坐查查兰堕主兰垡堡奎 a b s t r a c t q u a d r i cs u r f a c e sa r et h es i m p l e s tc u r v e ds u r f a c e sa n da r ew i d e l yu s e di nc a d c a mo rs o l i d m o d e l i n g c l a s s i f y i n g a n d c o m p u t i n g aq s i c ( q u a d r i cs u r f a c ei n t e r s e c t i o n c u r v e ) a r e i m p o r t a n to p e r a t i o n si nc o m p u t i n gt h eb o u n d a r yr e p r e s e n t a t i o no fas o l i di ns o l i dm o d e l i n g s y s t e m ，a n d a l s oa r e a p p l i e d i no t h e r g e o m e t r i cp r o c e s s i n g t h e r e f o r ec l a s s i f y i n g a n d c o m p u t i n g t h eq s i cr e m a i na sa c t i v er e s e a r c ht o p i c sa l lt h et i m e t h el i t e r a t u r eo nt h ei n t e r s e c t i o no ft w o q u a d r i c sa b o u n d s ，i n c l u d i n gb o t hc l a s s i c a lr e s u l t si n a l g e b r a i cg e o m e t r ya n dm o d e m o n e si nc o m p u t e ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g n t h ec l a s s i c a lw o r k u s u a l l ya s s u m e st h es e t t i n go fc o m p l e xp r o j e c t i v es p a c ei nf a v o ro fi t sa l g e b r a i cc o s e d n e s s ； t h u st h ec l a s s i c a lr e s u l t sc a n n o tb ea p p l i e dd i r e c t l yt ot h es e t t i n go fr e a l p r o j e c t i v es p a c e a s s u m e di nm o s tc a d c a m a p p l i c a t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，al o to fm e t h o d sh a v eb e e n r e s e a r c h e da n d d e v e l o p e di nc a g d f o rc o m p u t i n gq s i ci n3 dr e a lp r o j e c t i v eo re u c l i d e a n s p a c e t h em a i np r o b l e mo ft h e s em e t h o d si st h el a c ko fas i m p l ea n de f f e c t i v ec l a s s i f i c a t i o n o fq s i ci n3 dr e a lp r o j e c t i v es p a c ea n dt h e nl e a dt ot h e i rw e a k n e s s e so nr o b u s t n e s sa n d a c e u r a e y am e t h o df o rc l a s s i f y i n gt h em o r p h o l o g yo fan o n p l a n a ri n t e r s e c t i o nc u r v eo f a n yt w og i v e n q u a d r i c si sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s a na l g o r i t h m ，w h i c hi sc a p a b l et op r o v i d eb o t ht o p o l o g i c a l a n dg e o m e t r i c a li n f o r m a t i o no ft h ei n t e r s e c t i o nc h i v e ，i sa l s oi m p l e m e n t e d b e s i d e s ，t h r e e n e w p r o p e r t i e so f t h ep e n c i lf o r m e db yt w oq u a d r i c sh a v ea l s ob e e np u tf o r w a r di n3 dr e a l p r o j e c t i v es p a c ei nt h i st h e s i s w i t hr e g a r dt ot h ec l a s s i f i c a t i o no ft h eq s i ci n3 dr e a l p r o j e c t i v es p a c e ，w en o t i c et h e f o l l o w i n g t w o p r o p e r t i e so f q s i c ： 1 ) a n y t w om e m b e r si na q u a d f i cp e n c i ls h a r et h es a m e i n t e r s e c t i o nc h i v e 2 ) t w oq u a d r i cs u r f a c e sh a v et h es a m et o p o l o g i c a lq s i ct h a tt h e i rp r o j e c t i v ee q u i v a l e n t f o r m sh a v ei nr e a lp r o j e c t i v es p a c e u s i n gt h e c l a s s i c a l t h e o r y i n a l g e b r a ，s i m u l t a n e o u s l yb l o c kd i a g o n a l i z a t i o n o ft w or e a l s y m m e t r i cm a t r i c e s ，w er e d u c et w og i v e nq u a d r i c st ot h e i rc a n o n i c a lf o r m st os i m p l i f yt h e a n a l y s i so ft h em o r p h o l o g yo f t h eq s i c t h e r ea r em a i n l yt w oo p e r a t i o n si nt h er e d u c t i o n p r o c e d u r e o n e i s a p p l y i n g as a m e p r o j e c t i v e t r a n s f o r m a t i o nt ot h et w o q u a d r i c s s i m u l t a n e o u s l y ；a n o t h e ri sr e p l a c i n go n eq u a d r i cs u r f a c ew i t ha na p p r o p r i a t em e m b e ro f t h e p e n c i lf o r m e db yt h et w oq u a d r i cs u r f a c e s f r o mt h et w op r o p e r t i e so fq s i c d e s c r i b e da b o v e w ek n o wt h a tt h et w oo p e r a t i o n si nt h er e d u c t i o np r o c e d u r ed on o tc h a n g et h et o p o l o g i c a l s t r u c t u r eo ft h eq s i c w h e r e a f l e rw ed e d u c et h ed i f f e r e n tm o r p h o l o g i e st h a tt h eq s i c s 1 1 1 山东大学博士学位论文 p r e s e n tw h e n t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h et w oq u a d r i c sh a v i n gd i f f e r e n tr o o t sa st ot h e i r m u l t i p l i c i t i e sa n dr e a l n e s s e s a f t e rg i v i n gaf o r m a l i z e dr e p r e s e n t a t i o no f t h ep a t t e r ni nw h i c h t h er o o t so ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nd i s t r i b u t e ，w ec o n c l u d et h ec l a s s i f i c a t i o nr e s u l t si n a p p e n d i xt a b l e2i nc h a p t e r1 f o re x a m p l e ，o n eo f o u rc o n c l u s i o n si st h a tan o n s i n g u l a r q s i c h a so n ea f f i n e l yf i n i t ec o m p o n e n ti fa n do n l yi ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h et w o q u a d r i c sh a st w od i s t i n c tr e a lr o o t sa n d a p a i ro fc o m p l e xc o n j u g a t er o o t s s i n c et h en u m b e r o ft h er e a lr o o t so ft h ec h a i a c t e r i s t i ce q u a t i o nc a nb ec o u n t e dr o b u s t l yw i t he x a c ta r i t h m e t i c ， o u rr e s u l t sc a nb eu s e dt oo b t a i ns t r u c t u a li n f o r m a t i o n r e l i a b l y b e f o r e c o m p u t i n g t h e p a r a m e t e r i z a t i o no f t h ei n t e r s e c t i o nc u r v e ；t h u se r r o r si nt h es u b s e q u e n tc o m p u t a t i o nt h a ti s m o s tl i k e l yd o n eu s i n g f l o a t i n gp o i n ta r i t h m e t i c w i l ln o tl e a dt oe r r o n e o u s t o p o l o g i c a l c l a s s i f i c a t i o no ft h eq s i c i nt h ec l a s s i f i c a t i o no f q s i c ，t h en o t i o no f a f f i n ef i n i t e n e s so fas p a c ec u r v ei sp u tf o r w a r d b r i e f l ys p e a k i n g ，as p a c ec u r v ei sc a l l e da f f i n e l yi n f i n i t ei fi t i si n t e r s e c t e db ye v e r yp l a n ei n t h e3 dr e a lp r o j e c t i v es p a c e ；o t h e r w i s e ，i ti sc a l l e da f f i n e l yf i n i t e f o re x a m p l e ，al i n ei s a f f i n e l yi n f i n i t ew h i l ea no v a ls p a c ec u r v e i sa f f i n e l yf i n i t e t oo u r k n o w l e d g e ，w e a r et h ef i r s t t oc o n s i d e rt h i sp r o p e r t yo f t h eq s i ca n dt or e l a t ei tt ot h ec l a s s i f i c a t i o no f t h eq s i c t h ec a s eo ft h eq s i c h a v i n gn o r e a lp o i n t sr e f l e c t sav e r y i m p o r t a n tp o s i t i o nc o n f i g u r a t i o no f t h et w oq u a d r i cs u r f a c e s h o wt od e t e c tt h ec a s ee f f i c i e n t l ya n dr e l i a b l yi st h u sa ni m p o r t a n t p r o b l e m w i t ha p p l i c a t i o n si nc o m p u t e r g r a p h i c sa n d c a g d am e t h o d b r o u g h tf o r w a r di nt h i s t h e s i sf o rd e t e r m i n i n gs u c bac a s ej u s tn e e dt od e t e c tw h e t h e ro n eo ff o u rm e m b e r si nt h e p e n c i lf o r m e db yt h et w oq u a d r i c si s av i r t u a lq u a d r i co rn o t c o m p a r e dt ot h ee x i s t i n g m e t h o d s ，o u rm e t h o d h a sab e t t e rp e r f o r m a n c ei ne f f i c i e n c ya n dr e l i a b i l i t y b a s e du p o n t h ec l a s s i f i c a t i o n o ft h e q s i c ，a na l g o r i t h m f o r c o m p u t i n g a n o n p l a n a r i n t e r s e c t i o nc u r v eo f a n yt w oq u a d r i cs u r f a c e si sp r e s e n t e d i nt h i st h e s i s f i r s t l yt h ea l g o r i t h m o b t a i nt h ep a t t e r no ft h er o o t so ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nb yu s i n gs t u r ms e q u e n c em e t h o d ， t h e ng o tt h eq s i c st o p o l o g i c a ls t r u c t u r ed u et ot h er e s u l t so ft h ec l a s s i f i c a t i o no fn o n p l a n a r q s i c a f t e r k n o w nt h eq s i c st o p o l o g i c a ls t r u c t u r e ，t h ea l g o r i t h mc o m p u t e st h eg e o m e t r i c a l i n f o r m a t i o na n dg i v e so u tt h ep a r a m e t e r i z a t i o no ft h eq s i c ，w h i c hc a nb e i nr a t i o n a lf o r mi f t h en o n p l a n a rq s i ci s s i n g u l a ro rr e d u c i b l e t h ec a p a b i l i t y w i t ht h ea l g o r i t h mt h a tt h e m o r p h o l o g y o f t h eq s i cc a r lb ea c c e s s e db e f o r et h ec o m p u t a t i o no f i t sg e o m e t r i ci n f o r m a t i o n i s v e r y u s e f u li n a p p l i c a t i o n s o fg e o m e t r i c p r o c e s s i n g 、b e c a u s e e r r o r si n 也eg e o m e t r i c c o m p u t a t i o nu s i n gf l o a t i n g p o i n t a r i t h m e t i cw i l ln o tl e a dt oe l t o n e o u s t o p o l o g i c a l c l a s s i f i c a t i o no f t h eq s i c p r o p e r t i e s t oc o n f i n et y p e so ft h eq u a d r i c si naq u a d r i cp e n c i li nr e a lp r o j e c t i v es p a c ea r e s u m m a r i z e da n db r i e f l yp r o v e di nt h i st h e s i s i ti sv e r yh e l p f u lt oi n s t i n c t i v e l yu n d e r s t a n d t h e m o r p h o l o g yo f t h eq s i c s u c haq u a d r i cp e n c i lh a s i v 山东大学博士学位论文 k e y w o r d s ：i n t e r s e c t i o nc u r v e s ，q u a d r i c s u r f a c e s ，b l o c kd i a g o n a l i z a t i o n ，t o p o l o g i c a l m o r p h o l o g i e s v 一 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：! 垒竖! ! i日期：狸i ：兰丝 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：匕讧已巧二导师签名：( u 东大学博士学位论文 第一章引言 二次曲面( q u a d r i cs u r f a c e s ) 作为表示形式最简单的曲面，在c a d c a m 中有着非常广泛的应用。这一是由于二次曲面在设计过程中形状容易控制， 再者它也是设计中( 特别是机械设计中) 最常用的一种曲面s a m u e l e ta l ，1 9 7 6 ； h a k a l ae ta l ，1 9 8 0 a c a d c a m 实际应用中关于二次曲面最基本的操作是对两二次曲面交 线( q s i c q u a d r i cs u r f a c ei n t e r s e c t i o nc u r v e s ) 进行拓扑分类和几何计算。 q s i c 的拓扑分类和几何计算是实体表示模型由c s g ( c o n s t r u c t i v e s o l i d g e o m e t r y ) 到b r e p ( 边界表示模型) 的转换过程中非常重要的一步 s a r r a g a ， 1 9 8 3 1 。在实体造型系统中，c s g 和br e p 是最常用的两种三维实体表示模 型，两种模型在实体表示和处理方面各具优势，实体造型系统内核经常需 要将其相互转换。一方面，q s i c 的计算作为c s g 模型到br e p 模型的转换 过程中的核心算法，其可靠性( r o b u s t n e s s ) 和精确程度( a c c u r a c y ) 对实 体造型系统的整体性能有非常大的影响：另一方面，仅仅有q s i c 的几何计 算是不够的，因为几何计算中一个非常小的误差可能带来整个实体模型拓 扑结构的错误。因此在实体造型系统中，不仅要研究精确可靠的q s i c 的几 何计算方法，而且还要研究q s i c 的拓扑分类方法。 q s i c 的分类和计算还可应用在其它许多几何处理过程中，如计算二次 曲面片形成的凸包问题 h u n g & i e r a r d i ，l9 9 5 ，碰撞检测问题等。 一个二次曲面可对应代数上的一个二次型( q u a d r a t i cf o r m ) ，对二次 型性质的研究是代数理论中一个非常古老而重要的问题。后来出现的代数 几何理论使二次型和二次曲面有了更紧密的联系。在一些经典的代数几何 教科书 b a k e r ，1 9 2 3 ；s o m m e r v i l l e ，1 9 4 7 ：s e m p l e & k n e e b o n e ，19 5 2 中有许多 在三维复射影空间关于二次曲面交线的拓扑分类结果。s e g r ec h a r a c t e r i s t i c b r o m w i c h ，1 9 0 6 ；f a r o u k ie ta l ，1 9 8 9 就是其中之一，它刻画了在三维复射 影空间不同拓扑形态的q s i c 所具有的不同的特征，给出了一个完整的分类 结果( 见表1 ) 。但在c a d c a m 以及其它一些几何计算应用中，对q s i c 的处理都要求在实空间( 实射影、仿射或欧几里德空间) 中进行，而q s i c 山东大学博士学位论文 在实空间的拓扑形态与其在复空间有很大不同( 见表2 本文结果) 。例如由 表2 知道，在三维实射影空间非奇异( 1 i o n s i n g u l a r ) 的q s i c 可被分成四 种不同的拓扑形态：1 ) 两个仿射有限的分支，2 ) 无实交点，即两二次曲 面不相交，3 ) 一个仿射有限分支，4 ) 两个仿射无限分支( 空间曲线的仿 射有限性在第二章给出了定义。简单地讲，如果一条空间曲线和三维实射 影空间的任一平面都相交，则称它是仿射无限的，如空间中条直线是仿 射无限的，否则称它为仿射有限的，如空间一卵形( o v a l ) 曲线) 。而在表 1 中都归结为【1 1 1 1 】一种情况，即非奇异的q s i c 在三维复射影空间不再加 以细分，均被看作是第一类( f i r s ts p e c i e s ) 空间四次曲线。因此研究在三 维实空间中对q s i c 的分类不仅有实际的应用意义，而且还是对古典的代数 几何结果的一个理论上的补充。 1 1q s i c 的拓扑形态及拓t l 、分类的含义 为了清楚q s l c 拓扑分类的概念，首先让我们来重温一下已知的关于 q s i c 的拓扑形态的一些知识a 我们分别用聆3 ，隙3 和a 孵代表三维复射影空间，三维实射影空间和 三维实仿射空间。在盹3 中，一般地，q s i c 为一条非奇异的空间四次曲线。 特殊情况下，它可能是由某些直线，二次曲线( c o n i e s ) 或者空间三次曲线 ( s p a c e c u b i cc u r v e s ) 作为分支组成的( 所有分支的次数相加之和为4 ) ， 这样一些q s i c 被称为可搿纪的( r e d u c i b l e ) ，否则被称为不可搿纪的 ( i r r e d u c i b l e ) 。一条可简化的q s i c 包含的直线或二次曲线可以是实的，也 可以是虚的，但当q s i c 由一条直线和一条空间三次曲线组成时t 直线和空 间三次曲线只能为实的。当q s i c 只包含直线或二次曲线作为其分支时这 些分支可能只落在一个或两个平面上，这时q s i c 被称为乎面的( p l a n a r ) ， 否则被称为班乎面的( n o n p l a n a r ) 。非平面的q s i c 包括所有不可简化的 q s i c 和可简化的情形中那些由一条直线和空间三次曲线组成的q s i c 。 如果一条q s i c 包含个奇异点( s i n g u l a rp o i n t ) ，那么它被称为奇异的 ( s i n g u i a r ) 。对隐式表示的空间曲线f ( x ，y 。z ) ，所谓奇异点，是指曲线上这 样的点，在这一点上o f o x ，o f o y ，a f t o z 同时为0 。所有可简化的q s m 都是 奇异的，不可简化的q s i c 可以是奇异的，也可以是非奇异。一条不可简化 山东大学博士学位论文 的奇异q s i c 只可能包含一个二重奇异点( d o u b l es i n g u l a rp o i n t ) ，奇异点 可以是孤点( a c n o d e ) ，叉点( c r u n o d e ) 或尖点( c u s p ) 。对一条包含孤点 的奇异q s i c ，只有孤点为实点( 其它部分为虚的) 是可能的。一条不可简 化的奇异q s i c 具有有理参数化表示形式，而一条非奇异的q s l c 没有有理 参数化形式，只能被参数化为带平方根的形式或一个椭圆函数( e l l i p t i c f u n c t i o n ) f a r o u k ie ta l ，1 9 8 9 】。在豫3 中，非奇异的q s i c 可以有一个或两 个连续分支( c o n n e c t e dc o m p o n e n t s ) 。 综上所述，已知的q s l c 的拓扑形态涉及其奇异性( s i n g u l a r i t y ) ，可 简化性( r e d u c i b i l i t y ) ，平面性( p l a n a r i t y ) 和连续分支个数。根据己知的 q s i c 的拓扑形态，可有如下简单地分类： r 平面的：由直线或二次曲线组成。 r 可简化的 t 非平面的：由一条实直线和实空间三次曲线组成。 q s i c lr 奇异的：包含一个孤点、叉点或尖点的空间四次曲线。 l 不可简化的t 非奇异的：在三维实射影空间有一个或两个连续的分支。 由于q s i c 在p 政3 空间有更加丰富的拓扑形态，因此在腿3 空间对q s i c 的拓扑形态分类应该有更加细致的标准。并且，只知道q s i c 具有哪些拓扑 形态是不够的一个完整的对q s i c 的拓扑分类应包含标准和过程两重含 义：分类标准是指对q s i c 所有可能的拓扑形态有一个刻划：而分类过程是 指对任意给定的一q s i c ，能够判断出它具有什么样的拓扑形态。 本文的主要研究内容是研究实现一个完整的在豫3 空间对非平面的 q s i c 进行拓扑分类的方法，并在拓扑分类的基础上，研究实现一个稳定精 确的二次曲面交线计算方法。 1 2 相关工作 为了下面叙述方便，我们这里简要介绍一下二次曲面及二次曲面束的 概念，更为系统的介绍可见第二章预备知识。 三维空间中二次曲面可由一个4 x 4 的实对称矩阵 表示。它在p r 3 的表示形式为： q ( x ，y ，z ，矿) = p r q p = 0 ， ( 1 2 ) 其中p = ( ，y ，z ，矽) 7 。 两个不同的二次曲面a ：x 7 删= o 和1 3 ：x 7 b x = 0 定义的二次曲面集s ： x 7 ( t a b ) x = 0 ，丑r ， ( 1 3 ) 被称为4 和8 形成的二次曲面束：且 f ( 2 ) = d e t ( 2 a b ) ( i 4 ) 被称为二次曲面4 和b 的稃荭多项j e ，f ( a ) = 0 被称为一4 和舀的静荭方程。显 然，它们分别是关于五的四次多项式和四次方程。如果f ( a ) ；0 ，则称二次 曲面束为奇异的。一4 和嚣形成的二次曲面束中任意两成员与一4 和召有相同的交 线因此4 和b 的交线又称为它们构成的二箔曲面痢的基线( b a s ec u r v e ) 。 1 2 1 s e g r ec h ar a c t e r i s t i c 及q s l c 在咒空间的分类 早在十九世纪五、六十年代，数学家s y l v e s t e r 和w e i e r s t r a s s 就开始了 对二次型族( f a m i l yo fq u a d r a t i cf o r m s ) 在复空间的分类研究。w e i e r s t r a s s 首次提出了二次型族的不变因子( i n v a r i a n tf a c t o r s ) 的概念并利用它对非奇 异二次型族进行正则化。1 9 0 6 年b r o m w i e h 在【b r o m w i c h ，1 9 0 6 】中系统地介 绍了利用不变因子和s e g r ec h a r a c t e r i s t i c 在盹3 空间对二次曲面束的基线进 行分类的方法，结果见本章结尾附表1 。为了理解附表1 的结果，下面针对 二次曲面束简要介绍一下【b r o m w i c h ，1 9 0 6 】中不变因予的概念和s e g r e c h a r a c t e r i s t i c 的含义。 一个二次曲面束可以唯一地被一组不变因子所决定，两个具有相同不 变因子的二次曲面束是射影等价的。二次曲面束的不变因子定义如下： 假设有两二次曲面：z 7 a x = 0 和1 3 ：x 7 b x = 0 ，令丑，“( s 4 ) 代表特 口 ， g h ，kf c ， d 口e h 彳d f g ，l ： q 山东大学博士学位论文 征方程f ( a ) = o 的不同的根，且它们的重数分别为碍，m 。于是有： h o w ，( a ) = d e t ( 2 a b ) = k f i ( a 一4 ) ，其中川，= 4 ， r = lr i l 并且k 0 除非此二次曲面柬是奇异的。对每一个简单根丑， 一五) 是f ( a ) 的 不变因子，对一个重根，或许有多个不变因子。 假设丑是个重数为m ，2 的重根，并且啊，m ，和m ，。分别是其作为 d e t ( a a b ) 的所有3 级，2 级和1 级子式的根的重数，计算 _ 一m ：，所：一耐，砖一舛 ( 1 5 上述差序列遇到0 时结束，那么与重根丑相关的不变因子为( a 一以) 的由式 ( 1 5 ) 依次给出的非零的方幂。 二次曲面束的所有不变因子决定了它的s e g r ec h a r a c t e r i s t i c 。s e g r e c h a r a c t e r i s t i c 是被 括起的一个数字序列。对每个不同的根五，s e g r e c h a r a c t e r i s t i c 用一项( e n t r y ) 来表示( 最多可有4 项) 。对一个单根，对应 项为1 ：对一个重数为删，2 ，且m ：= o 的重根，对应项为m ，：否则对应项为 由式( 1 5 ) 给出的差的序列，序列遇到0 时结束，且被( ) 括起。例如一 个二次曲面束的所有不变因子为：( k - l ) 2 ，( a 一九) ，( a 一九) ，则它的s e g r e c h a r a c t e r i s t i c 为【( 2 1 ) l 】。 利用s e g r ec h a r a c t e r i s t i c 在盹3 空间对二次曲面束的q s i c 进行分类的 结果见本章结尾附表i 。由于【( 1 1 1 1 ) 表示两个完全重合的二次曲面，故表 中未有列出，表中情况【 3 ) l 】表示退化的二次曲面束的情况，其成员都是射 影锥。 1 2 2 实空间计算q s l c 的算法分类 实空间中对q s i c 的计算目前有许多方法，由于目的的不同它们采取的 技术也不同。有些方法侧重于对q s i c 的几何形状的计算和显示，有些则侧 重于q s i c 的拓扑分类。这些方法基于各种不同的假设，提供q s i c 的不同 层次的信息。总的来讲，已有的计算q s i c 的算法传统上被分为两大类，一 类为几何法，另一类为代数法。几何法方法主要是利用二次曲面一些特有 的几何属性来计算q s i c g o l d m a n & m i l l e r ，1 9 9 1 ；m i l l e r g o l d m a n1 9 9 2 ，1 9 9 5 山东大学博士学位论文 p i e g l ，1 9 8 9 ；s h e n e & j o h n s t o n e ，1 9 9 4 ，算法比较稳定，但只能对一些特殊的二次 曲面，如球、圆柱、圆锥等进行q s i c 的计算，这类二次曲面被称为自然二 次曲面( n a t u r a lq u a d r i c s ) 。相对于几何法方法的局限性，代数法方法由于 可以计算任意两二次曲面之间的交线，因此得到了更为广泛的研究。以下 我们简要介绍几种主要的代数法方法。 1 2 3l e v i n 方法 l e v i n 方法【l e v i n ，1 9 7 6 ；l e v i n ，1 9 7 9 是：最早出现的计算两任意二次曲 面交线的方法之一。它主要基于这样一个观察：在两二次曲面形成的二次 曲面束中必然存在一个实的直纹面( r e a lr u l e ds u r f a c e ) ，并且q s i c 一定落 在一个简单的直纹面上。所谓简单的直纹面包