（计算机应用技术专业论文）粒子系统及其sph方法应用的研究与实现.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 我们生活在一个多姿多彩的世界里，这里有白白的云、淅沥的雨、缤纷的 烟火、熊熊的火焰，而这一切如何在计算机的虚拟世界中来实现呢? 不用 担心，用粒子系统可以实现它们。而且随着计算机图形学领域的高速发展，人 们对计算机所产生的视觉效果要求越来越高，不但追求真实性而且交互性也要 不断提高。在这种推动力下，粒子系统也势必要朝着更高的目标发展，不只要 讲求“形似”，更要有“神似”，这就要求系统中所采用的物理模型要越来越精确， 选择适合的模型并且在系统中实现它，以满足人们越来越高的视觉要求成为研 究的重点。 论文首先对涉及到的基础知识，如数学、计算机图形学、流体力学等相关 知识作了比较详细的介绍，对下面要用到的重要公式都有相应的推导过程，尽 量使下文的论述更轻松。 接着介绍了粒子系统的基本理论，着重讲解粒子系统构造模型的基本方法， 把粒子系统实际运作分为粒子属性确立、粒子产生、粒子更新、粒子绘制等几 个步骤，并对每个操作步骤进行详细说明；将粒子系统分为质点系模型系统和 流质系模型系统，阐述这两种模型系统的特点；列举了两个质点系模型粒子系 统的例子，对这两个例子按照前面所讲粒子系统运作步骤一步步讲解，展示每 一步的操作细则；最后论述在粒子渲染时所用到的图形学技术。 然后对流质系模型粒子系统进行说明，着重是在将流体力学物理模型应用 到粒子系统的过程。作为过渡和对比，本章首先讨论了一个用欧拉法实现流体 运动的例子，此例虽然也涉及到物理模型，但也仅仅是参考物理公式，只用相 关算法代替了公式，并没有真正进行求解；这之后开始粒子系统模拟流体运动 的论述，首先提出模拟中所依据的力学物理模型，纳维一斯托克斯连续方程； 接着采用s p h 方法对方程进行推导，将连续方程转换为离散形式，以便应用进 粒子系统；并对具体实现中遇到的主要问题一一加以说明，希望能通过此展示 一个大致的思考过程；最后也将涉及到的关键图形学技术原理进行了阐述。 最后是对全文脉络布局安排的说明，并指出其中的创新点及有待改进的地 方。 【关键词】粒子系统，纳维一斯托克斯方程，流体，s p h 方法 武汉理工大学硕十学位论文 a b s t r a c t w ea 1 1 l i v ei nag o r g e o u sw o r l d ，i th a sw h i t ec l o u d ，l i g h tm i i l f h l l ，m u l t i c o l o r e d f i r e w o r k s ，n 锄yb l a z e ，b u th o wc a nw er 印r e s e n tm e s ep h e n o m e n o ni no u r v i r t u a lc o m p u t e rw o d d ? d o n tw o r r y ，w ec a nr e a l i z ct h e mt h r o u 曲p a r t i c l es y s t e m ， w i t hh i 曲s p e e dd e v e l 叩m e n ti nc o m p u t e r 掣a p h i c s ，t h ed c m a n do fv i s i o np r o d u c t e d b yc o m p u t e rb e c o m e s 上l i g h c r p u r s u e sb o t l lt 1 1 ea u 也e 确c i t ya l l di n t e r a c t i o n u n d e rt l l i s k i n do f m o t i v ef o r c e ，t 1 1 ep a n i c l es y s t e i nc e r t a i l l l y 淅ub ed e v e l o p e dt o w a r d sh i 吐e r g o a l ，s h o u l dn o tm e r e l yr e q u e s t “s i m i l 盯t o ”，f m h e rr c q u i r e s “a l i k ei ns p i r i t ”，也i s c a l l sf o rt h ep h y s i c a lm o d e la d o p t e di nt h es y s t e ms h o u l db em o r ea f l dm o r ea c c u r a t e i no r d e rt om e e tp e o p l e sh i g hv i s i o nd e m a n d ，c h o o s i n gs u i t a b l em o d e la n dr e a l i z i n g i tb e c o m e st h cp i v o to f r c s c a r c h + i nt 1 1 i st h e s i s 蠡r s t l y ，w ep r e s e n t e dt h en 】d i m e n t a 叮k n o w l e d g ei n v o l v e di nd e t a i l ， s u c ha sm a t h e m a t i c s ，c o m p u t e rg r 印l l i c s 趾dh ) ，d r o d y n 锄i c s t h ei m p o n a mf o r m u l a u s e db e l o wh a dc o r r e s p o n d i n gc o l l r s eo fd e r i v i n g ，i no r d e rt om d k et h ea r g u m e n t a t i o n b c l o wm o r ee a s i e r n e n ，w eh a v ei i l 拓o d u c e d 恤eb a s i cm e o r i e so f 恤p a n i c l es y s t e m ，e x p l a i n e dt l l e b a s i cm e t h o do fs 仇j c t 嘶n gm o d e le m p h a t i c a l l yw ed i 、r i d c d 山ea c t u a lo p e m t i o no f t h ep a n i c l es y s t 锄i m os e v e r a ls t e p s ，i n c l u d i n gp a r t i c l ea t t r i b u t ee s t a b l i s l l i n 吕p a r t i c l e p r o d u c i n g ，p 枷c l eu p d a t i n g ，p a n i c l er e n d e r i n g ，a n de x p l a i n e de a c ho p e r a t i o ns t e pi n d e t a i l ；c l a s s i 丘e dp a n i c l es y s t e m 嬲p a r t i c l em o d e ls y s t e ma n dn u i d i t ym o d e ls y s t e m ， i m e r p r e t e dt l l ec h a r a c 矧s t i c so fm e s et 、oh n d so fm o d e ls y s t e m s ；h a v ee n u m e r a t e d t w oe x a n l p l e so fp a r t i c l em o d e ls y s t e m ，t h ee x p l a n a t i o no ft h e s et w oe x 锄p l e s a c c o r d e dt om ep r o c e s sa b o v e ，s h o w e dt l l eo p e r a t i o nr u l e sa i l dr e g i l l a t i o n so fe a c h s t e p ；f i n a l l yp 叩e rd i s c u s s e dm eg r a p t l i c st e c h n o l o g i e so f p a n i c l et e n d e r i n g h 1s u c c e s s i o n ，w es 觚e dt or e s e 甜c h 协en u i d i 哆m o d e ls y s t c m ，e x p l a i n e dt 1 1 e c 0 1 】r s et h a tp mh y d r o d y n 锄i c sf o n n l l l ai n t op 删c i es y s t e m a st r a n s i t i o na n d c o n t r a s t ，t l l i sc h 印t e rf i r s t l yd i s c u s s e dae x a n l p l e 也a tr e a l i z e dd l ef l u i dm o d o nw i t h e u l e rm e t h o d 1 1 1 i se x 锄p l ei n v o l v e dm ep h y s i c a lm o d e l ，b u to n i yc o l l s u l t e dt h e i i 武汉理工大学硕士学位论文 f o r n l u l aa i l dr e p l a c e di t 讲mr e l e v a n ta l g o r i t h m s ，n o tr e a l l ys o l v et h ef o m u l a ；t h e n 、v es t a r t e dt oi n t e r p r e th o wt os i m l l l a t et h en l l i dm o t i o nu s i n gp a n i c l es y s t e m ，f i r s t l y w ep u tf o r 、v a r dt h ep h y s i c a lf o r n l u l au s e d ，n a v i e r _ s t o k e sc o n t i n u o u se q u a t i o n ，t h e n a p p l i e ds p hm e t h o dt om ee q u a t i o n ，d e r i v e d ，c h a n g e dc o n t i n u o u se q u a t i o nt o d i s c r e t ef b r n l ；i ns u c c e s s i o n ，w ee x p l a i n e d 协ep r o b l e m se n c o u m e r e dd u r i n gt h e c o l l r s eo fr e a i i z a t i o no n eb yo n e ，w i s h e dt oe x p r e s sm yt h o u 曲tt h e n ；f i n a l l yw ea l s o d i s c u s s c d 也eg r 叩h i c st c c h n o l o g yp r i n c i p l e si n v o l v e d t h e1 a s t ，w e i m e r p r c t c d t l l e l a y o u t o ft l l i s p a p e r ，a l l dp o i n t e d o u tt h e m s u 伍c i e n c i e sa n dj n n o v a t j o n 【k e y w o r d s 】p a n i c l es y s t e m n a v i e r s t o k e se q u a t i 0 1 1 ，f l u i dp a n i c l e ，s p hm e l o d i i i 武汉理t 大学硕士学位论文 1 1 问题的提出 第1 章绪论 自然景物的模拟是计算机图形学中最具挑战性的问题之一，这主要是因为 自然景物的表面包含丰富的细节或具有随机变化的形状，造型相对困难，而这 些在计算机游戏、影视、广告甚至在某些科学研究中都有着广泛的应用。不过 自从提出粒子系统后，人们发现粒子系统是解决这一难点的有效方法。并且随 着计算机图形学领域的高速发展，人们对计算机所产生的视觉效果要求越来越 高，不但追求真实性而且交互性也要不断提高。在这种推动力下，粒子系统势 必也要朝着更高的目标发展，不只要讲求“形似”，更要有“神似”，这就要求系统 中所采用的物理模型要越来越精确，选择适合的模型并且在系统中实现它，以 满足人们越来越高的视觉要求成为研究的重点。而粒子系统怎样描述出物体又 是如何将复杂物理模型应用进系统则是本文所要叙述的【”。 1 2 课题来源 所选课题来源是分布交互三维视景行为一特征建模方法研究：行为特征 建模工具的开发。本课题得到国家自然科学基金和中国科学院计算技术研究所 智能信息处理开放研究实验室项目资助。 1 3 国内外研究动态和水平 粒子系统在视频游戏和计算机图形学中已经有很长的历史了。二十世纪6 0 年代早期的视频游戏中已经使用2 d 像素云来模拟爆炸的效果。在粒子系统用于 动画s t a r 仉ki i 中模拟引起星体爆炸和火焰喷发之后，第一篇关于在计算机图形 学中使用动态粒子系统的文章由r e e v e s 在1 9 8 3 年发表。这时的粒子系统只是被定 义为一系列移动的点，各个点独立受力，粒子之间没有相互作用力。经过多年， r e e v e s 所阐述的粒子的基本运动和基本数据结构都没发生什么大的变化【3 】。 武汉理工大学硕士学位论文 而在近些年，粒子系统已经被广泛用于模拟非弹性形变和流体。这方面，国 外的众多学者做了很大的贡献，他们采用很多不同的方法对物理模型进行简化 从而模拟出粒子间的相互作用力。其中提出了光滑质点流体动力学s p h ( s m o o t h e dp a n i c l eh v d r o d v n 锄i c s ) 方法，基于这种方法大体上可以对任何一 种流体进行模拟，这是近2 0 年发展起来的一种新的纯l a g r a l l g e 方法，它将系统 离散为一系列携带各自的物质属性并遵循控制方程运动的粒子。s t a m 和f i u m e 在1 9 9 5 年首先将s p h 模型引入图像领域来模拟火焰和其它气态的现象。随后， d e s b r u j l 使用s p h 模型描述出可高度变形的物体。近几年来m a t 1 i a sm n l l e r ， d a v i dc h a 聊a r 、m 刊b sg r o s s 等人对s p h 模型进行扩充改进，使它更适合对 流体进行模拟。虽然这样，基于s p h 模型的粒子系统的计算量仍比较大，在速 度方面有时会不尽人意，今后需要研究出更好的算法来兼顾速度和视觉效果两 方面 4 。 在这方面国内的研究比较少，发展也比较慢。 1 4 研究的目的和意义 粒子系统能充分体现模糊物体的动态性和随机性，能很好地模拟风中飘摇 的树枝、流云、浪花、薄雾、雨水和雪花等三维复杂自然景物，可是它经过多 年发展虽然已经可以动态的显示一些现象，但之中存在着不少问题，其中最明 显的就是画面不真实。现实中力的作用关系都相当复杂，如果想要用粒子系统 模拟出逼真的现象，必须能够比较精确的表现出粒子问的相互作用力，也就是 说要选用精确的物理模型。这中间我们必须把这些模型转化为离散的形式才能 将之用于粒子系统，怎样将这些模型离散化成为主要问题，而s p h 物理模型正 好满足要求，国外学者们对基于这种模型的粒子系统做了大量的工作，开辟出 一系列的研究领域，应该说粒子系统在今后仍有很大的发展空间，这方面的工 作是十分必要和有意义的。 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 数学相关知识 第2 章相关基本知识 计算机图形学中要用到许多数学知识，本节就相关概念作一些简要说明。 2 1 1 三维笛卡尔参照系 我们经常将三维笛卡尔参照系称之为右手系，这是因为，当我们用右手握住 z 轴时，手指从正x 轴向正y 轴环绕( 通过9 0 。) ，右手拇指指向z 轴正向。很多 计算机图形软件都是使用右手笛卡尔坐标来描述和处理对象，如o p e n g l 图形 库。 笛卡尔坐标轴另一种是使用左手系。对于这种坐标系，当我们用左手握住z 轴时，左手手指从正x 轴向正y 轴旋转9 0 。，左手拇指则指向正z 轴方向。轴的 这种定向有时便于描述对象相对于屏幕的深度。如果屏幕位置时按左手系的x y 位平面进行描述，坐标原点在屏幕左下标，则正z 值指向屏幕背后的位置，沿正 z 轴较大的值表明离观察者较远。 2 1 2 向量 向量有两个基本属性：长度和方向。 向量的长度叫做向量的模。模等于1 的向量叫做单位向量。模等于o 的向 量叫做零向量。零向量的方向可以看作是任意的。 具有相同的长度和方向的向量被认为是相同的向量。 向量有一维、二维、三维，多维的。不同维数的向量的计算基本是一样的， 除了叉乘之外。 ( 1 ) 向量的模 i 矿1 = 嘭+ 哆+ 吁 ( 2 1 ) ( 2 ) 向量的单位化 武汉理工大学硕士学位论文 单位化后的向量为 ( 3 ) 向量的缩放 矿= i 矿= ( 七圪，女k ，七) ( 2 3 ) ( 4 ) 向量的点乘 产生标量的向量乘法定义为： 矿l 矿2 = i 矿1 | | 矿2 i c o s 臼，o 口石 ( 2 4 ) 其中，口是两向量之间的角。这个积称为两向量的标量积或点积。 我们可以在指定的坐标表示下表达这个积。对于笛卡尔参照系，标量积计 算为： k k = k ，+ k ，+ k ：，( 2 - 5 ) 根据公式( 2 4 ) 可以看出如果两向量都为单位向量，则点积可以求出两向量 之间的夹角余弦，如果其中有一个向量为单位向量，则点积得出的就是非单位 向量在单位向量方向上的投影长度。需要注意的是点乘是个标量，结果是个数 字 ( 5 ) 向量的叉乘 能产生另一向量的两向量乘法定义为： k 砭= “i k lj 砭l s i n 口，o 口厅 ( 2 6 ) 其中，u 是垂直于k 和巧的单位向量( 量值为1 ) 。u 的方向由右手法则决 定：握住垂直于巧和屹所在平面的轴，使右手手指从k 环绕巧，注意是从k 到 k ，右手拇指则指向了u 方向。这个积称为向量的叉积。 在笛卡尔坐标系中，计算叉积的分量为： k y 2 - ( k ，：一k ：屹，k ：吒；一k ；：，k ；，一k ，) ( 2 7 ) 两向量的叉积是垂直于两向量所在平面的向量，大小等于这两个向量形成 的平行四边形的面积，通常用叉乘来求两向量所确定平面的法向量【1 1 】。 4 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 - 3 矩阵 通常，矩阵可以看作行向量或列向量的集合。在图形学中各种操作以矩阵形 式表达时，标准的数学习惯是以列矩阵表示向量。沿用这种惯例，我们将笛卡 尔坐标的三维向量y = ( ，l ，屹) 用矩阵表示为： 矿= ( 2 8 ) 我们使用这种矩阵表示点和向量。 ( 1 ) 转置矩阵 一个矩阵的转置由其行和列交换而来，使其行向量变为列向量。 ( 2 ) 逆矩阵 如果a 为n 阶方阵，若有同阶方阵b ，使得 4 b = b 4 = e ( 2 - 9 ) 则称a 是可逆的，b 为a 的逆阵，记为a 1 。，e 为单位阵，即它所有对角线元素均 为l ，而所有其他不在对角线上的元素均为o 。只有当矩阵为非奇异矩阵( 侧o ) 时，矩阵才存在逆矩阵。对于大多数实际应用，矩阵表示一个物理操作，比如 一些几何变换等，可以期望其逆矩阵存在。如果我们想对物体进行反变换时， 可以通过逆矩阵来实现。 ( 3 ) 正交矩阵 正交矩阵来自于正交变换的定义： 设a 凸靠( 矿) 是欧几里得空间的线性变换，如果a 保持内积，也就是说， 对任意的口，卢矿，有( a ) ，a ( 圆) = ，) 。正交变换是保内积的，也即保长 度和夹角，则变换前后的图形全等。 在向量空间c ”中，任意n 个线性无关的向量都构成它的基；如果基中的诸 向量两两正交( 向量正交是指两向量的点积为o ) ，称为正交基；如果正交基中 的向量都是单位向量，称之为标准正交基。而正交矩阵就是正交变换关于标准 正交基的矩阵，根据标准正交基的性质可证得矩阵是正交变换a 关于规范正交 基的矩阵的充分必要条件是爿7 一= e ，由此可得满足4 7 4 = 五的方阵a 为正交 矩阵 1 l 】。 武汉理工大学硕士学位论文 利用正交阵的特性，在图形变换中我们口1 以简化一些运算，如要对旋转变 换进行逆变换时要乘上相应旋转变换矩阵的逆矩阵，直接求逆的话会比较麻烦， 但是在旋转矩阵是正交阵，逆矩阵就是其转置知阵，这样就会简便很多，至于 旋转矩阵为什么会足正交阵，后面22 节三维显示巾会作说明。 2 1 4 线性方程组 k ，z + 圪y j j + k y z = d y ( 2 _ 1 1 ) 其中k ，心，吒和d 是已知的，该方程组可以用矩阵形式表示为埘= d ： 雌= 吲 p 唧 i _ ，蚝，l l y | - l ql ( 2 1 3 ) l k ： ：巧；业z j 【d ：j 工= 旷1 d ( 2 1 4 ) 有说明1 7 j 。 2 ，2 计算机图形学相关知识 这一节首先介绍本文涉及到的计算机图形学相关基础知识，然后介绍开发 本系统所用到的工具之一o p e n g l 技术。 本系统所用到的工具之一o p e n g l 技术。 6 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 1 三维图形学基础 1 平面方程 为了产生一个三维物体显示，必须通过程序对输入的数据表示加以出来。 这些处理步骤包括从建模坐标和世界坐标到观察坐标的变换，然后到设备坐标 的变换；可见面的识别；表面绘制程序的应用。对于上述一些处理步骤，需要 有关物体中当表面部分的空间方向的信息，这一信息来源于顶点坐标值和多边 形所在的平面方程【8 l o 平面方程可以表示为下列形式： 爿x + 置y + c l + d = o( 2 1 6 ) 其中，( x ，y ，z ) 是平面中的任意点，系数a 、b 、c 和d 是描述平面和空间特征 的常数。根据一组三个平面方程可以解出a 、b 、c 、d ，这三个方程使用了 平面中三个不共线的点的坐标值。因此，选择三个连续的多边形顶点( x l ，y ， z 1 ) 、( x 2 ，y 2 ，z 2 ) 和( x 3 ，y 3 ，z 3 ) ，求解下列有关a d 、b d 、c d 的线性平面 方程： 爿= i 蔓兰lb = j 兰i 兰f c z - ，s ， c = i 兰萎1 |。= 一巨萎墨j 尝i 兰二j ：撼乏嚣z 乌 p c = x l ( n 一虬) + x 2 ( 乃一y 1 ) + 屯( m y 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 y 图2 - 1 向量n ，垂直于以方程a x + b v + c z + d ：0 表示的平面，分量为( a ，b ，c ) 因为通常是讨论包含物体内部的多边形平面，因此需要区分平面的两个侧 面，面向物体内部的一面称为“内侧面”，向外的面称为“外侧面”，可以根据需要 来绘制平面的哪一个侧面。我们用法向量来描述平面的朝向，法向量是一个垂 直于平面的向量，它定义了平面所代表的物体表面在空间的方向。如果将多边 形顶点指定为沿逆时针方向，则在右手坐标系中观察平面的外侧时，法向量方 向由里向外。 平面法向量可以通过向量的叉积得到。按顺时针或逆时针方向选多边形中 的三个顶点：v l 、v 2 、v 3 ，这样形成两个向量，一个从v 1 到v 2 ，另一个从 v 1 到v 3 ，以叉积计算法向量n ： n = ( v 2 一v 1 ) ( v 3 一v 1 )( 2 - 2 0 ) 要记住的是，法线向量仅仅表示方向，其长度是无关紧要的，可以将法线指定 为任意长度，但是在计算前必须将其变换为长度1 ( 长度为l 的向量称为单位向 量，或归一化向量) 。至于是用顺时针还是逆时针挑选顶点就看要显示哪一个侧 面了。 我们得出平面参数a 、b 和c 的值后，将多边形顶点之一的坐标值代入公 式( 2 1 6 ) 求出参数d ，就可以通过平面法向量n 和平面上任一点p 来表示这 个平面： n p = 一d ( 2 2 1 ) 平面方程也可以识别空间上的点与物体平面的位置关系，对于不在平面上 的点( x ，y ，z ) ，可以有： a x + b y + c z + d o( 2 - 2 2 ) 也可以根据a x + b y + c z + d 值的符号( 或正或负) 来判断点在表面的内部 翌 武汉理1 二大学硕士学位论文 还是外部 如a x + b y + c z + d o ，则点( x ，y ，z ) 在表面的外部 2 齐次坐标 在三维图形设计和构造中，我们要完成平移、旋转和缩放，从而将图形组 成部分安装到适当的位置。我们知道每个基本变换都可以表示为普通的矩阵形 式： p = m i 尸+ m 2 ( 2 2 3 ) 三维坐标位罱j p + 和尸表示为列向量，矩阵m ，是一个包含乘法系数的3 3 矩 阵，m ，是包含平移项的三元素列矩阵。对于平移，m ，是单位矩阵。对于旋转 或缩放，m ，包含与基准点或缩放固定点相关的平移项。为了利用这个方程产生 先缩放、在旋转后平移这样的变换顺序，必须一步一步地计算变换的坐标。更 有效的方法是将变换组合，从而直接从初始坐标得到最后的坐标位置，这样就 消除了中间坐标值的计算。因此，需要重组公式( 2 2 3 ) 以消除埘，中与平移项相 关的矩阵加法。 可以通过将3 3 矩阵表达式扩充为4 4 矩阵，从而把三维几何变换的乘法 和平移项组合成单一矩阵表示。因此，只要扩充坐标位置的矩阵表示，就可以 将所有的变换方程表示为矩阵乘法。为了将任何三维变换表示为矩阵乘法，我 们使用齐次坐标四元组( k ，y 。，z 。，w ) 来表示每个三维笛卡尔坐标顶点位置 ( x ，弘z ) 。每一列的向量( x ，y ，：，w ) 7 中，如果至少有一个元素不为零，此列向量 就表示一个齐次顶点。如果实数a 不为零，则( z ，y ，z ，w ) 7 与( 倒，掣，船，口w ) 7 表示 同一个顶点。最方便的选择是简单地设置 = 1 0 ，这样个三维的欧几里得空 间点( z ，y ，z ) 7 变成坐标为( x ，弘z ，1 o ) 7 的齐次顶点，二维的欧几里得空间点( x ，y ) 7 变成坐标为( x ，j ，0 0 ，1 o ) 7 的齐次顶点。 只要w 不为零，齐次顶点( x ，弘z ，w ) 7 就对应于三维空间点o w ，y w ，z w ) 7 。 w 为零则对应于非欧几里得空间点，也可以认为它是某种理想化的“无穷远点”。 3 全局坐标系和局部坐标系 全局坐标系是指不作为整体看待的多个模型所共同参照的坐标系，比如在 一个场景下有多个物体，就必须有一个全局坐标系来确定所有物体的当前位置， 9 武汉理工大学硕+ 学位论文 当然全局坐标系也是一个范围内的全局，在某个场景中的全局坐标系对于另一 个场景来说可能并非是全局的，这是相对而言的一j 。 参考全局坐标系进行变换得到的变换结果一定是正确的，但这样的变换顺 序不太符合我们的思维方式，这时我们采用另一种方法来处理变换的顺序问题。 该方法并不考虑模型变换所在的全局坐标系，相反，可以假象一个与所画物体 捆绑在一起的局部坐标系，所有的变换操作都相对于这一不断变化的坐标系进 行，这样得到的变换顺序就是自然的顺序了。图2 2 中浅颜色的坐标就是经过旋 转后的局部坐标，物体变换的时候，局部坐标也会跟着变的。 ￥ 图2 2 全局坐标系与局部坐标系 在实际变换中是参考全局坐标系还是局部坐标系要根据需要了，有的变换 用局部坐标系理解起来会比较简单，但有些情况下必须要用到全局坐标系了， 比如场景中有很多物体，要想知道这些物体的相对位置信息的话，就最好在全 局坐标系下计算，当然也可以将所有物体都映射到某个物体的局部坐标系下， 但这样做还是要先变换到全局坐标系下，得不偿失。 然而，如果存在缩放变换，尤其是当缩放变换是非归一化( 指在每一个轴 上采用不同的比例进行变换) 的时候，采取局部坐标有可能会产生一些问题。 对于归一化的缩放变换，坐标系上的单位长度间距发生改变，则变换也按相应 比例移动顶点；而对于非归一化的缩放变换，如果存在旋转变换，局部坐标系 的轴与轴之间将不再互相垂直。 4 三维显示 现在来探讨一下三维物体显示的基本原理。 三维场景视图的计算机生成步骤有点类似于拍一张照片的过程。为拍得一 张照片，首先需要在场景中的一特殊点定位相机。然后需要确定相机的方向： 相机朝哪个方向照及如何绕视线旋转相机以确定相片的向上方向，最后，当按 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 下快门时，按相机“窗口”( 镜头) 的大小来修剪场景，光线从可视表面投影到相 机胶片上。这一系列操作其实就对应着将三维场景显示到屏幕上的过程： 第一步，将相机固定在三角架上并使相机对准场景营三维显示中的视图变 换 第二步，使想要拍摄的场景处于取景框中的合适位置三维显示中的模型 变换 第三步，选择相机镜头或调整放大倍数三维显示中的投影变换 第四步，决定最终照片尺寸的大小，比如想要得到的是一张经过放大后的 照片三维显示中的视区变换 执行以上的步骤后，就拍下了图片，或者说是绘制出场景了【10 1 。 ( 1 ) 视图变换 视图变换将场景中物体顶点世界坐标转换到观察坐标系中，这里涉及到观 察坐标系，简单一点说吧，物体在观察坐标系中的位置就是物体从相机镜头中 看到的物体位置。 对场景中物体的坐标描述应用视图变换矩阵，就可以将物体变换到观察坐 标系中了。为了实现这种转换，首先我们要有观察坐标参照系。建立这种坐标 系需要三个步骤，第一，要挑选一个世界坐标点作为观察参考点( 相当于相机 的位置) ，该点是观察坐标系的原点：第二步就通过给定观察平面法向量n 来选 择z 。轴的正方向和观察平面方向；最后，指定一向量v 来选择观察向上向量， 这个向量也只是一个世界坐标向量，用来建立y ，轴的正方向，通常简单地选择 v 为世界坐标系向量( o ，1 ，o ) ，此向量将投影到垂直n 平面方向以建立儿轴。 现在我们就可以利用上面的已知信息得到视图变换矩阵了。对给定向量n 和v ，计算其单位向量： n 归丽。”2 ，”3 j 甜：菩等：( ：，的) ( 2 _ 2 4 ) 甜2 丽_ _ ，“2 ，的) 【2 2 4 j v = 行甜= ( v l ，心，b ) n 、u 、v 三个单位向量分别对应于观察坐标系中的z ，、x 。、儿轴正方向， 这种方法会自动地调整m l v 的方向，使得三个向量会相互垂直。因此，观察变 换的复合旋转矩阵是： 武汉理工大学硕十学位论文 r = 2 f 2 v lv 2 挖l，2 2 o0 “，0 ”3 o ”3 o o1 ( 2 2 5 ) 到这里，我想停一下，先来说明前面留下的一个问题，为什么旋转矩阵是 正交矩阵。其实公式( 2 2 4 ) 是生成旋转矩阵的一种方法，通过计算单位u 向量 并直接形成复合旋转矩阵，这和通过几何旋转变换得到的变换矩阵是样的， 我们从推导中可以看到旋转变换矩阵公式( 2 2 5 ) 的行向量是两两正交，这样矩阵 r 为正交阵，其逆矩阵就是它的转置矩阵。 好，现在我们接着讨论怎样得到视图变换矩阵，上面已经得到了复合旋转 矩阵，但是还要考虑到平移变换t ，这样完整的世界坐标系到观察坐标系的变换 矩阵由矩阵乘积得到： m w m = 月丁 ( 2 - 2 6 ) 最后，对场景中物体坐标描述应用此变换矩阵，就将物体变换到观察坐标 系中。 ( 2 ) 模型变换 将物体变换到观察坐标系中后，可以对物体进行模型变换得到最后想观察 的物体映像。模型变换通过对物体几何平移、旋转、缩放进行，只要将物体顶 点左乘相应平移、旋转、缩放变换矩阵就可以了。 这罩想要着重说明的是，视图变换和模型变换产生的效果是一样的，视图 变换也是最终对物体来进行的，我们可以在两种方法中任选一种来执行变换操 作一或者在一个方向上移动相机，或者向相反的方向移动物体。打个简单比方 来说，平时我们在拍照时，如果想拍某个物体的一个侧面，我们有两种方法， 一是旋转物体使那个侧面面对相机，一是移动旋转相机使相机镜头面对物体的 那个侧面，三维显示中模型变换和视图变换道理是一样的。每种方法都有利有 弊，但在些情况下其中一种方法可能与所期望的变换匹配得更自然些，比如 如果仅仅只想对场景中物体进行变换，采用模型变换比较好，因为如果用视图 变换，物体的场景背景也会跟着改变，这就是为什么大多数游戏中都采用摄像 机变换( 视图变换) ，因为角色在移动的时候，眼睛所看到的景象是不同的。不 过，视图变换和模型变换中的变换顺序是相反的，这一点要注意。 武汉理工大学硕士学位论文 ( 3 ) 投影变换 一旦场景中物体的世界坐标描述变换到观察坐标后，可以将三维物体投影 到二维观察平面上。有两种基本的投影方式：平行投影和透视投影( 如图2 3 和 2 4 所示) 。在平行投影中，坐标位置沿平行线变换到观察平面上；而对于透视 投影，物体位置沿收敛于某一点的直线变换到观察平面。和其他变换一样，每 种投影变换都有相应的投影变换矩阵，物体的观察坐标左乘投影变换矩阵投影 变换就可以完成。两种交换如下图所示： 观察平面 图2 3 平行投影 观察平面 图2 4 透视投影 影 考 ( 4 ) 视区变换1 1 4 j 要理解视区变换首先我们需要介绍一下规格化设备坐标( n o n n a l i z e dd e v i c e c o o r d i n a t e s n d c ) 。在计算机图形学中，世界、观察、投影等坐标描述( 例如观 察坐标、投影坐标等) 系统( 以下称为世界坐标系统) 和规格化设备坐标是两 个同时使用的坐标系统，三维显示中的各种坐标是描述实际世界中物体所用的 坐标系统，其坐标的范围是任意大小的，而n d c 坐标系统是为了将由三维显示 坐标系统描述出的物体在显示设备坐标系统中显示出来，也就是说所有三维显 示坐标描述最后都要转换为n d c 坐标。其实n d c 坐标也不能直接显示在设备 上，它只是一个中介的坐标系统，n d c 定义x 和y 方向上的变化范围均为0 1 。 为什么要有这样一个中介的坐标系统呢? 这是因为不同的图形硬件，显示设备 的坐标系统也不同，为了使图形能在不同的显示设备上显示，我们将物体的坐 标描述都采用n d c 坐标，用n d c 坐标描述的物体在不同设备上显示时相对位 置是不会变的。 我们知道世界坐标系统中的坐标范围是无限大的。为了使n d c 上所显示的 世界坐标中物体有一个合适的范围与大小，首先必须对世界坐标系统指定一个 观察体( 根据需要可以为长方体或棱台等) ，处于观察体内的物体才能被显示出 武汉理工大学硕十学位论文 来，观察体中的物体会投影到观察体的近剪裁面上，通常是个矩形，这个矩形 被称为窗口，为了显示窗口里的内容，我们在n d c 上也要指定一个矩形位置来 与窗口对应，这个在n d c 坐标系统下的矩形就被称为视区，我们根据窗口与视 区的一一对应来实现世界坐标系统的坐标描述到n d c 坐标的转换，这种从窗口 到视区的变换称为规格化变换。这样说来，视区变换其实就是规格化变换，得 到物体最后在n d c 下的规格化设备坐标。 下面来讨论怎样进行视区变换，也即规格化变换。 假设窗口用四元组( x w - m i n ，x w 蚰a x ，y w _ m i l l ，h n a x ) 表示，分别为窗口沿 x 方向和y 方向的最小值和最大值，这些参数值均是世界坐标系统中值，视区同 样用四元组( x v m i n ，x - m a ) 【，y v m i n ，y v m a x ) 来表示，分别为视区沿x 方向和 y 方向的最小值和最大值，这些参数值均使用n d c 。 举例来说吧，窗口为( 一6 5 o ，4 0 2 5 ，7 0 5 ，一2 0 7 5 ) ，视区( o 5 ，0 8 ，o 7 ，1 ) ， 规格化变换如下图2 5 和2 6 所示： 了w 一 少 4 。2 5 一个规格化变换可以用一个3 3 的规格化变换矩阵来实现，它可以从窗口 和视区的参数值中求出，方法如下： 设( ，儿) 是窗口中经过投影变换后要显示的一点，( 石。，儿) 是视区中对应的 一点。则有如下关系： 上两式化简而得 鱼二垄! = 塑 x 。一一一j 0 一曲 二墨= 。一 ： 垒二垄! = 也 x ”= 一x v 一“( 2 2 7 ) y ，一e 一。 、7 l m 缸一匕一m m e 一一e 一。 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 其中 x r = s ，( x w x m ) + n f 2 - 2 8 、 y ，= s 。( y 。一k 一。) + e 。 s ，o s ，z + x ，一。i = joss ，一m + 】，。l ( 2 - 2 9 ) lo o 1 j 将投影后的物体坐标描述左乘此变换矩阵即可得到规格化设备坐标，完成 2 2 20 d e n g l 简述 我们的程序都是使用o p e n g l 三维图形库进行显示的，下面来简要介绍一下 0 p e n g k o p e n g l 被严格定义为“一种到图形硬件的软件接口”，从本质上说，它是一 个完全可移植并且速度很快的3 d 图形和建模库。o p e n g l 不是像c 或c + + 那样的 编程语言，它更像c 的运行库，之中封装了很多函数。其实，并不存在“o p e n g l 程序”这样的说法，只是开发人员编写的程序中使用了0 p e n g l 作为其a p i 之一罢 了【9 1 。 0 p e n g l 的工作机制是客户( c l i e n t ) 服务器( s e r v e r ) 机制，由客户( 用o p e n g l 绘制图形的应用程序) 向服务器( o p e n g l 内核) 发送0 p e n g l 命令，服务器则 负责解释这些命令。只是在多数情况下，客户和服务器在同一机器上运行，当 然，也可以在网络环境下使用，所以o p e n g l 具有网络透明性。当一个应用程序 进行o p e n g la p i 函数调用时，这个调用首先被o p e n g l 内核处理，然后传送给 w i n s d l l 作进一步处理，再传给w i n 3 2 设备驱动接口( d d i ) ，最后把处理过的 图形命令送给视频显示驱动程序【1 0 】。 0 p e n g l 是一个状态机，就是说，将o p e n g l 设置为各种状态( 或各种模式) 一一一一一一 = = 踣 邑衅换变e 格 规 到得由 武汉理工大学硕士学位论文 后，这些状态将一直有效地保存再0 p e r l g l 中，直到改变了这些状态的值为止。 不同的状态变量控制相应的状态，许多状态变量都是指一种模式，可以通过函 数来激活或取消。 大多数o p e n g l 应用都采用一个相似的操作顺序，这些一系列的处理阶段被 称为0 p e n g l 渲染管道。我们来简单看看这个管道的处理流程。 需要显示的数据进入管道后，不管它们是几何数据还是像素，都可以被存 储在显示列表中，便于当前或者以后的应用。在这个阶段，所有的几何元素最 后都要以顶点的形式描述，如果显示的是参数化曲面和曲线，可以通过控制点 和多义函数来初始化表示，求值器就是完成这个功能的，它提供了用于从控制 点引出描述表面顶点的方法。对顶点数据处理的下一个步骤，就是进行对每个 顶点的操作和图元组合，并对顶点进行变换和光照处理，对图元进行剪裁以适 合视区大小。 在光栅化过程中，通过点、线段、多边形的二维描述，产生一系列的帧缓 存地址和相关数值。并将所有片段都进行逐个片元操作，然后将处理结果作为 像素存储在帧缓存中。其中的操作主要包括：基于输入和先前存储的z 值对帧缓 存( z 缓存) 进行有条件的更新，混合输入像素颜色与存储颜色、屏蔽等其它对 像素值的逻辑操作。 以上是几何数据在渲染管道中的路径，当进入的数据是像素格式时，它们 有一个与之不同的路径。它们会首先被解压出来转换为正确的元素数组，接下 来对这些数据进行缩放、偏移和像素映射处理，其结果被截取后，然后或者被 写入纹理内存，或者发送到光栅化的步骤中进行进一步处理。 整个流程操作的最后，图形片元都要进行系列的逐个片元操作，这样最 后的像素值被送入帧缓冲器中实现图形的显科” 。 o p e n g l 中显示三维图像的原理如前三维显示中所讲原理是一致的，不管我 们是用哪一个三维图形库( o p c n g l 或d i r c c t ) ( ) ，它们所依据的最基本的图形学原 理都是一致的，只是表现方式不同而已，只要我们将基础知识掌握好，相信能 触类旁通。 2 3 流体力学相关知识 从微观上看，流体分子间存在羞间隙，因此流体的物理量在空间上不是连 武汉理工大学硕士学位论文 续分部的；同时又由于分子的随机运动，空间上一点的物理量对时间而言也不 是连续的。但是在通常情况下，一个很小的体积内流体的分子数量极多，而流 体力学是宏观地研究流体受力和运动的学科，它研究的是流体的宏观特性，即 大量分子的平均统计特性，所以有足够的理由将流体看作是由连续分布的流体 质点组成，即在流体力学中将流体假设为由连续分布的流体质点组成的连续介 质。流体力学研究的是连续介质这一流体的物理模型【l i 】i l ”。 2 3 1 流体运动学 流动性是流体的最基本特征。流体的流动性是流体在存在状态上与固体的 最基本区别。 流体