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华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 混沌理论可用来理解脑中某些不规则的活动，混沌动力学为人们研究神经网络 提供了新的契机。本文对混沌神经网络做了深入的研究，从网络的拓扑结构和网络 的学习和工作规则这两个方面着手对混沌神经网络进行研究。将基于混沌噪声的混 沌神经网络模型和非单调转换函数的混沌神经网络模型二者的思想相结合，提出了 一种改进的暂态混沌神经网络模型，激励函数采用非单调转换函数，并引入了混沌 噪声。将混沌理论应用于网络学习算法，提出一种改进的混沌遗传算法，利用混沌 的遍历性和内在随机性避免遗传算法陷入局部最优、收敛速度慢的缺陷。而遗传算 法这种有导向的而不是盲目的进行随机搜索的启发式机制又恰恰弥补了混沌优化 的盲目搜索问题。 关键词：人工神经网络，混沌，混沌神经网络 a b s t r a c t c h a o t i ct h e o r yc a ne x p l a i ns o m ei r r e g u l a rt h i n g si nb r a i n s oc h a o t i cd y n a m i c so f k r an e wc h a n c ef b rs t u d y i n gn e u r a ln e t w o r k t h er e s e a r c ho fc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k b e c o m e san e wt a s kf o ru s a ni n d e p t hr e s e a r c hi sd o n et oc h a o t i cn e u r a ln e t w o r ki n t h i sp a p e r t h i sa r t i c l em a d ear e s e a r c ho nc h a o t i cn e u r a in e t w o r kb e g a nf r o mt w o a s p e c t so ft o p o l o g yo fn e t w o r ka n dt h er u l eo fn e t w o r ks t u d ya n dw o r k c o m b i n e dt h e t h o u g h t so ft h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r km o d e l sb a s e do nn o n m o n o t o n o u st r a n s f e r f l u n c t i o na n dc h a o t i cn o i s e ，at y p eo fi m p r o v e dt r a n s i t i o nc o n d i t i o nc h a o t i cn e u r a l n e t w o r km o d e lw a sp r o p o s e d t h en e wm o d e la d o p t e dt h en o n m o n o t o n o u st r a n s f e r f i u n c t i o na n di n t r o d u c e dt h ec h a o t i cn o i s e 。t h ep a p e rp r o p o s e dat y p eo fi m p r o v e d c h a o t i cg e n e t i ca l g o r i t h m i tu s e dt h ec h a o se r g o d i c i t ya n dt h ei n t r i n s i cr a n d o m n e s st o a v o i dt h es h o r t c o m i n g so fg e n e t i ca l g o r i t h mw h i c hi s e a s yt ob ef a l l i n gi n t ol o c a l o p t i m i z a t i o na n dt h es l o ws p e e dt oc o n v e r g e n c e m o r e o v e rt h eg u i d a n c em e c h a n i s m i n s t e a do fr a n d o ms e a r c h i n go ft h eg e n e t i ca l g o r i t h me x a c t l ym a d eu pt h eb l i n d s e a r c h i n go ft h ec h a o t i co p t i m i z a t i o n g a ow a n q i n g ( c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt 色c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o fm e n gj i a n l i a n g k e yw o r d s ：n e u r a in e t w o r k ，c h a o s ，c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 混沌理论可用来理解脑中某些不规则的活动，混沌动力学为人们研究神经网络 提供了新的契机。本文对混沌神经网络做了深入的研究，从网络的拓扑结构和网络 的学习和工作规则这两个方面着手对混沌神经网络进行研究。将基于混沌噪声的混 沌神经网络模型和非单调转换函数的混沌神经网络模型二者的思想相结合，提出了 一种改进的暂态混沌神经网络模型，激励函数采用非单调转换函数，并引入了混沌 噪声。将混沌理论应用于网络学习算法，提出一种改进的混沌遗传算法，利用混沌 的遍历性和内在随机性避免遗传算法陷入局部最优、收敛速度慢的缺陷。而遗传算 法这种有导向的而不是盲目的进行随机搜索的启发式机制又恰恰弥补了混沌优化 的盲目搜索问题。 关键词：人工神经网络，混沌，混沌神经网络 a b s t r a c t c h a o t i ct h e o r yc a ne x p l a i ns o m ei r r e g u l a rt h i n g si nb r a i n s oc h a o t i cd y n a m i c so f f 色r an e wc h a n c ef o rs t u d y i n gn e u r a ln e t w o r k t h er e s e a r c ho fc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k b e c o m e san e wt a s kf o ru s a ni n d e p t hr e s e a r c hi sd o n et oc h a o t i cn e u r a ln e t w o r ki n t h i sp a p e r t h i sa r t i c l em a d ear e s e a r c ho ne h a o t i c 芏l e u r a ln e t w o r kb e g a nf r o mt w o a s p e c t so ft o p o l o g yo fn e t w o r ka n dt h er u l eo fn e t w o r ks t u d ya n dw o r k c o m b i n e dt h e t h o u g h t so ft h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r km o d e l sb a s e do nn o n m o n o t o n o u st r a n s f e r f h n c t i o na n dc h a o t i cn o i s e ，at y p eo fi m p r o v e dt r a n s i t i o nc o n d i t i o nc h a o t i cn e u r a l n e t w o r km o d e lw a sp r o p o s e d t h en e wm o d e la d o p t e dt h en o n m o n o t o n o u st r a n s f e r f - u n c t i o na n di n t r o d u c e dt h ec h a o t i cn o i s e t h ep a p e rp r o p o s e dat y p eo fi m p r o v e d c h a o t i cg e n e t i ca l g o r i t h m i tu s e dt h ec h a o se 唱o d i c i t ya n dt h ei n t r i n s i cr a n d o m n e s st o a v o i dt h es h o r t c o m i n g so fg e n e t i ca l g o r i t h mw h i c hi s e a s yt ob ef a l i i n gi n t ol o c a l o p t i m i z a t i o na n dt h es l o ws p e e dt oc o n v e r g e n c e m o r e o v e rt h eg u i d a n c em e c h a n i s m i n s t e a do fr a n d o ms e a r c h i n go ft h eg e n e t i ca l g o r i t h me x a c t l ym a d eu pt h eb l i n d s e a r c h i n go ft h ec h a o t i co p t i m i z a t i o n g a ow a n q i n g ( c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt 色c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f m e n gj i a n l i a n g k e yw o r d s ：n e u r a in e t w o r k ，c h a o s c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文混沌神经网络及其收敛性问题的 研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：高蚤晡日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不 同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：查必导师签名 日 日期： 华北电力大学硕士学位论文 1 1 课题研究背景 第一章引言弟一早 ji 百 人类对脑的探索已有漫长的历史，脑科学在人类社会进步中正起着越来越重要 的作用，受到越来越广泛的支持。自本世纪9 0 年代被命名为“脑的十年 以来， 脑科学的面貌更是日新月异，已经成为一门自分子水平扩展至行为水平的统一的学 科。 神经网络的基础在于神经元，神经元是以生物神经系统的神经细胞为基础的生 物模型。在人们对生物神经系统进行研究，以探讨人工智能的机制时，把神经元数 化，从而产生了神经元数学模型。 大量的形式相同的神经元连结在一起就组成了神经网络。神经网络是一个高度 线性动力学系统。虽然每个神经元的结构和功能都不复杂，但是神经网络的动力学 行为则是十分复杂的。因此，用神经网络可以表达实际物理世界的各种现象。神经 网络模型是以神经元的数学模型为基础来描述的。神经网络模型由网络拓扑节点特 点和学习规则来表示。神经网络对人们的巨大吸引力主要在下列几点：并行分布处 理：高度鲁棒性和容错能力；分布存储及学习能力：能充分逼近复杂的非线性关系。 利用神经网络的学习能力，使它在对不确定性系统的控制过程中自动学习系统特 性，从而自动适应系统随时间的特性变异，以求达到对系统的最优控制，显然是一 种十分振奋人心的方法。 神经网络理论是巨量信息并行处理和大规模平行计算的基础，神经网络既是高 度非线性动力学系统，又是自适应组织系统，可用来描述认知、决策及控制的智能 行为。它的中心问题是智能的认知和模拟。从解剖学和生理学来看，人脑是一个复 杂的并行系统，它不同于传统的n e u m a n n 式计算机，更重要的是它具有“认知”、 “意识”和“感情 等高级脑功能。以人工方法模拟这些功能，毫无疑问，有助于 加深对思维及智能的认识。8 0 年代初，神经网络的崛起，已对认知和智力的本质的 基础研究乃至计算机产业都产生了空前的刺激和极大的推动作用。 然而，由于人类对真实神经系统只了解非常有限一部分，对于自身脑结构及其 活动机理的认识还十分肤浅，当今的神经网络模型实际上是极为简略和粗糙，并且 是带有某种先验的。譬如，b o l t z m a n n 机引入随机扰动来避免局部极小，有其卓越 之处，然而缺乏必要的脑生理学基础。毫无疑问，人工神经网络的完善与发展有待 于神经生理学、神经解剖学的研究给出更加详细的信息和证据。 近年来，人们发现人脑中存在着混沌现象，混沌理论可用来理解人脑中某些不 华北电力大学硕士学位论文 规则的活动。建立在这个基础上，混沌动力学为人们研究神经网络提供了新的契机。 用神经网络研究或产生混沌以及构造混沌神经网络成为摆在人们面前的又一新课 题，它使得人工神经网络的动力学特性更接近于人脑，这将会产生更加有效的计算 工具，增强人工神经网络的快速处理大规模信息的能力和存储空间。事实上，经典 的神经网络一般依赖于不动点吸引子的动态特性，因此限制了中小规模网络的搜索 能力。而混沌动力学有丰富的远离平衡点的动力学行为，具有各种共存的吸引子， 不仅有不动点和周期轨道，还有奇异吸引子。混沌神经网络的这种复杂的动力学特 性是一种能在信息处理和优化计算等方面有广泛应用前景的技术。由于混沌神经网 络的自抑制效应的积累，混沌神经网络的状态游动仅为相空间上的某种分形结构， 可以在相空间中以一种不可预测的方式任意游动，其大小是非常小的，它相对与整 个空间的测度几乎等于零。这种特性使得混沌神经网络具有全局搜索能力，并且具 有更高的计算效率，并已经在联想记忆和最优化领域获得了成功应用。利用神经网 络的混沌特性的最大困难就是决定何时结束混沌特性和怎样控制混沌行为，使网络 收敛到一个最优的或近似最优的稳定平稳点。 1 2 国内外研究现状 混沌神经网络( c n n ) 的概念是f r e e m a n 等人在1 9 8 7 年研究兔子的嗅觉系统时 首先提出的。他们认为在兔子的嗅觉球中，准极限环活动可感觉到特定气味，混 沌活动想起新气味。因此混沌动力并不认为是杂乱的、随机的，而是具有自发搜索 机理的一种新的信息处理系统。1 9 9 1 年，a i h a r a 等人在经典的m c c u l l o c h p i t t s 神 经元中引入时问延迟而构造出一个混沌神经网络模型1 2 】，该混沌神经网络模型是传 统h o p f i e l d 神经网络模型的一种推广，而传统的h o p f i e l d 神经网络模型是该混沌神 经网络模型的一个特例。1 9 9 2 年，n o z a w 利用e u l a r 近似将h o p n e l d 网络离散化【3 j ， 通过在输入偏差加入负的自反馈连接产生混沌，构造了混沌神经网络。并用于解决 1 0 城市旅行商问题( t s p ) ，结果表明了混沌神经网络搜索全局最优的有效性。i n o u e 等人在1 9 9 1 年提出用耦合的混沌吸引子作为神经元构造混沌神经网络的方法【4 1 ，耦 合的混沌吸引子的同步和异步分别对应神经网络神经元的激活和抑制两个状态。接 着，他们在1 9 9 2 年又用一个混沌吸引子作为神经元来构造混沌神经网络i5 1 ，混沌吸 引子的混沌态和周期3 对应于耦合吸引子的同步和异步。进而，i n o u e 等人又将上 述情况推广到模拟态，进一步研究混沌神经元计算的本质及神经元模拟特性和网络 亚稳态间的关系1 6 】。后来，他们又进一步分析了脑的动力学特性，用波动谱理论研 究了解决t s p 时h o p f i e l d 能量的时间序列，认为时间序列与脑波有关。如果选择合 适的参数，模型可有效地找到解，还观察到了这时的间隙“脑波”。 与常规的离散型h o p n e l d 神经网络相比较，混沌神经网络具有更丰富的非线性 2 华北电力大学硕士学位论文 动力学特性，主要表现如下：在神经网络中引入混沌动力学行为；混沌神经网络的 同步特性；混沌神经网络的吸引子。当神经网络实际应用中，网络输入发生较大变 异时，应用网络的固有容错能力往往感到不足，经常会发生失忆现象。混沌神经网 络动态记忆属于确定性动力学运动，记忆发生在混沌吸引子的轨迹上，通过不断地 运动( 回忆过程) ，一一联想到记忆模式，特别对于那些状态空间分布的较接近或者 发生部分重叠的记忆模式，混沌神经网络总能通过动态联想记忆加以重现和辨识， 而不发生混淆，这是混沌神经网络所特有的性能，它将大大改善h o p 6 e l d 神经网 络的记忆能力。混沌吸引子的吸引域存在，形成了混沌神经网络固有容错功能。这 将对复杂的模式识别、图像处理等工程应用发挥重要作用。混沌神经网络受到关注 的另一个原因是混沌存在于生物体真实神经元及神经网络中，并且起到一定的作 用，动物学的电生理实验已证实了这一点。 国内对于混沌神经网络模型的研究起步较晚，主要有东南大学无线电系何振 亚、张毅峰、谭营、王保云等人提出一维双向祸合神经网络【7 j 、具有暂态混沌和时 变增益的神经网络、用于灰度图象的联想记忆的混沌神经网络等，1 0 j 。余群明、王 耀南等研究了时空混沌控制在联想记忆中的应用【l l 】和基于振荡型混沌神经网络的 智能信息处理【l2 1 。电子科技大学李薪宇、吕炳朝等分析了暂态混沌神经网络( t c n n ) 模型的动力学特性对自反馈连接权值的敏感性，研究了退火函数对优化过程中的准 确性和计算速度的影响。给出种对模拟退火策略的优化算法。由于混沌的特性， 可以避免局部最小。混沌神经网络在智能信息处理中显示了广阔的应用前景。上海 交通大学任晓林、胡光锐、徐雄等利用混沌系统的初值敏感性，基于语音信号的时 变特性，研究了神经网络语音识别的方法。把混沌特性引入到神经元，构造了一种 新的多层混沌神经网络结构。 尽管混沌神经网络的研究历史并不长，然而它是建立在人脑存在混沌这个前提 上的，因而也就有了生理学的基础和生命力。因此，混沌神经网络已在信息处理方 面显示出巨大的潜力，到目前为止研究人员已提出了多种混沌神经网络模型，并在 联想记忆和优化计算等方面取得了很大的成功。然而，混沌神经网络的研究工作还 刚起步，其理论还不成熟。混沌神经网络在最优化领域的应用主要局限于t s p 和少 数的几类优化问题，如何利用混沌神经网络求解其它复杂的优化计算问题，特别是 n p 完备问题，以及混沌神经网络理论的深入研究均是此领域今后的研究方向。混 沌神经网络由于其复杂的动力学特性，在动态联想记忆、系统优化、信息处理、人 工智能等领域受到人们极大的关注。为了更好的应用混沌神经网络的动力学特性， 并对其存在的混沌现象进行有效的控制，仍需要对混沌神经网络的结构进行进一步 的改进和调整，以及混沌神经网络算法的进一步研究。 华北电力大学硕士学位论文 1 3 本文的研究内容 本文做了以下几方面工作： 第一章文献综述。许多动物实验表明生物的神经系统中存在混沌现象，混沌动 力学为人们研究神经网络提供了新的契机。本章回顾了神经网络与混沌学的发展， 详细介绍了混沌神经网络的产生与发展过程，阐明了课题研究的意义和本文的研究 内容。 第二章介绍了混沌动力学的有关内容，给出了混沌的概念与定义以及混沌的特 征和测度，包括l y a p u n o v 指数、拓扑熵与测度熵、分形与分维，列举了两种最为 典型的混沌系统一l o g i s t i c 映射和洛伦兹方程，并进行了详细分析。 第三章从混沌神经网络的原理出发，介绍了混沌神经网络的4 个主要模型，包 括：a i h a r a 的混沌神经网络、藕合混沌神经元网络、基于模拟退火策略的混沌神经 网络和带有混沌噪音的神经网络。对各模型的结构、机理作了较系统的总结，并对 各模型的特性进行了详细分析。 第四章首先对基于混沌噪声的混沌神经网络模型和非单调转换函数的混沌神 经网络模型以及各自的改进模型作了介绍，将二者的思想相结合，激励函数采用非 单调转换函数，并引入混沌噪声，通过耦合提出了一种改迸的暂态混沌神经网络。 将模型应用于6 节点的电力基建施工p e r t 网络，对改进的混沌神经网络的收敛性 作了仿真分析。 第血章着重研究神经网络的学习算法，将混沌理论与遗传算法相结合，构造了 一种混沌遗传算法。利用混沌的遍历性和内在随机性避免遗传算法陷入局部最优、 收敛速度慢的缺陷。而遗传算法这种有导向的而不是盲目的进行随机搜索的启发式 机制又恰恰弥补了混沌优化的盲目搜索问题。文章对改进的两群迭代多轨道混沌优 化算法进行了收敛性的理论证明，并进行了仿真实验分析，用改进的优化算法训练 神经网络，大大提高了网络收敛速度。 第六章总结了本文所做的研究工作，并对进一步工作进行了展望。 4 华北电力大学硕士学位论文 2 1 混沌的起源和发展 第二章混沌理论 混沌是不含外加随机因素的完全确定性的系统表现出来的界于规则和随机之 间的内秉随机行为【1 3 l 。混沌有随机性、规律性、遍历性、对初值敏感等特点。 人们对混沌的研究是从6 0 年代开始的。1 9 6 3 年，美国气象学家e l o r e n z 发表 了“决定性的非周期流 一文，说明了混沌具有“对初始条件的敏感性的基本特 征，提出了著名的“蝴蝶效应 。7 0 年代，混沌学诞生。1 9 7 0 年，美国科学家t s k u h u 撰写科学革命的结构，推动了混沌理论的发展。1 9 7 5 年，中国科学家李天岩和 美国数学家j y o r k e 在a m e r i c am a t h e m a t i c s 上发表了“周期三意味着混沌”的 著名文章，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。1 9 7 6 年，美国生物学家r m a y 在n a t u r e 发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”，提出了由简单的确定 论数学模型可以产生看似随机的行为。8 0 年代，混沌科学进一步发展。1 9 8 0 年， 美国数学家b m a n d e l b r o t 用计算机绘制了第一张五彩缤纷的m a n d e l b r o t 集的混沌图 像。1 9 8 3 年，加拿大物理学家l g l a s s 在p h y s i c s 上发表了著名的文章“计算奇 异吸引子的奇异程度”，开创了全世界计算时间序列维数的热潮。在我国，混沌科 学的研究也越来越受到重视。1 9 8 4 年，中国著名的混沌科学家郝柏林编辑了混沌 一书。1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开。9 0 年代，混沌科学与其它科学 相互渗透，在很多领域发挥着重大的作用。第一次混沌国际会议主持人、物理学家 j f o r d 认为混沌是2 0 世纪物理学第三次最大的革命1 1 4 j 。 混沌理论( c h a o st h e o d ，) 是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态 系统中( 如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等) 无法用单一的数据关系， 而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测的行为。混沌学在科学上，如 果一个系统的演变过程对初态非常敏感，人们就称它为混沌系统。研究混沌运动的 学科，称为混沌学。研究发现，出现混沌运动这种奇特现象，是由系统内部的非线 性因素引起的。一般，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随 机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微 弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。而 一些动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰 如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。 而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。混沌理论的研究指出：混 沌条件下系统行为具有长期的不可预测性，但混沌并非无序，混沌可以由简单的确 定性系统产生，混沌中存在有吸引子，吸引子具有吸引性和小扰性的稳定性，它作 华北电力大学硕士学位论文 为一个整体是运动不变量。这表明，混沌条件下的系统行为具有可以预测的一方面。 目前，对混沌理论的研究可分为综合混沌( s y n t h e c h a o s ) 和分析混沌 ( a n a l y t i c c h a o s ) 两方面。前者根据简单的确定性规则，采用人工产生混沌并从混沌 动力学系统中获得可能的功能，如人工神经网络的联想记忆、逃离局部最小、机器 人的路径规划等；后者分析隐藏的确定性规则，并由复杂的人工和自然系统中获得 混沌信号，如时间序列数据的非线性确定性预测、系统的诊断和控制等。混沌不是 偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事 万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相 依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。 2 2 混沌的概念 关于混沌的概念，确切的定义很难给出，般认为，混沌就是指在确定性系统 中出现的一种貌似无规则的类似随机的现象。对于确定性的非线性系统出现的具有 内在随机的解，就称为混沌解。这种解在短期内可以预测而在长期内却不可预测， 因此与确定解和随机解均不同( 随机解在短期内也是不可预测的) 。混沌不是简单的 无序而是没有明显的周期和对称，但却是具有丰富的内部层次的有序结构，是非线 性系统中的一种新的存在形式。 非线性动力学对混沌的研究是迄今为止最为系统、最为严密的，在非线性动力 学中提出了一些可供理论判定的定义和实际测量的标度。尽管这些还只是从数学和 物理学的角度给混沌下定义，但它却给混沌学的建立和发展打下了个基础 1 5 】。其 中l i y o r k e 定理是比较公认的、影响较大的混沌数学定义。 l i - y o r k e 定理：设厂( x ) 是 口，6 上的连续自映射，若( x ) 有3 周期点，则对任何 正整数肌厂( x ) 有刀周期点。 混沌定义l ：闭区间，上的连续自映射厂( x ) ，如果满足下列条件，便可确定它有 混沌现象： ( 1 ) 厂 ) 的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足： 对任意x ，y s ，当x y 时有： 对任意石，y s ，有： l i m s 叼，i f3 c ) 一，y o 公式她l 、) 田 厅删，矿l ”r x j 一厂”r ，y 爿= 口 公式( 2 2 ) 月j 6 华北电力大学硕士学位论文 对任意z s 和厂( x ) 的任一周期点y ，有： ，锄5 印l 厂4 似j 一广f ，y 纠 d 公式( 2 3 ) h - + 根据上述定义和定理可知，对于闭区间上的连续函数厂( x ) ，如果存在一个周期 为3 的周期点，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。 混沌的定义方式还有很多种，但本质上是一致的，尽管逻辑上并不一定等价。 下面给出一种更直观的定义i l 6 1 。 混沌定义2 ：设嘿一个紧度量空间，连续映射厂：卜咖果满足下列三个条件： ( 1 ) 对初值敏感依赖：存在万 d ，对于任意的f d 和任意x y ，在x 的f 邻域 内存在y 和自然数，l ，使得l 厂”f ，x j 一厂“f ，j ，川 万。 ( 2 ) 拓扑传递性：对于肚的任意一对开集义，】，存在七 o ，使得广似，r 、j ，o 。 ( 3 ) 厂的周期点集在y 中稠密。 则称厂是在迪万尼( d e v a n e y ) 意义下肚的混沌映射或混沌运动。 对于初值的敏感依赖性，意味着无论x 。y 离得多么近，在厂的作用之下两者 的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x 附近都可以找到离它很近，而在厂的 作用下终于分道扬镳的点y 。对这样的厂，如果用计算机计算它的轨道，任何微小 的初始误差，经过若干次迭代后都将导致计算结果的失效。 拓扑传递性意味着任一点的邻域在厂的作用之下将“撒遍”整个度量空间矿， 这说明厂不可能细分或不能分解为两个在厂下相互影响的子系统。 上述两条一般说来是随机系统的特征，但第三条周期点的稠密性，却又表 明系统具有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，形似紊乱而实则有序。 2 3 混沌系统的主要参数 2 3 1 l y 印u n o v 指数 混沌运动的基本特点是运动对初值条件极为敏感。两个很靠近的初值所产生的 轨道，随时间推移按指数方式分离，l y a p u n o v 指数就是定量描述这一现象的量【1 7 1 。 下面先考虑一个最简单的线性常微分方程： d x = 口x d f 公式( 2 4 ) 其解为：x = 而，它是以指数规律增减的。如果口 d ，在初始时刻相邻的两条轨道， 在下一时刻就要按指数速率分离开；如果口 o 可以作为混沌行为的判据。负 的l y a p u n o v 指数表明轨道在局部也是稳定的，对应周期运动。a 由负变正，表明运 动向混沌的转变。图2 一l 说明了l o g i s t i c 映射的l y a p u n o v 指数随参数的改变而变化的 情况。 2 3 2 分形和分维 一一，一_ _ 厂y 一 图2 1l o g i s t i c 映射的l y a p u n o v 指数曲线 如果说混沌是在时间尺度内反映了世界的复杂性态，那么与它密切相关的分形 和分维则重在空间尺度上反映了世界的复杂性态。为了从另一侧面理解混沌，这里 对分形和分维作一个简单的介绍。 分形( f r a c t a l ) 是美籍法国数学家曼德布罗特( b m a n d l b r o t ) 用拉丁词根拼造的单 词。传统的几何语言只能处理规则、光滑的形态，科学家们一直探索着从欧氏几何 体系中解放出来的道路。经过近一二十年的努力，一个新的几何学，即关于自然形 态的几何学，或者说分形几何学已初具雏形【1 8 ，坶】。它把自然形态看作是具有无限嵌 套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，即自相似性与无标度 性。分形成为描述不规则几何形态的有力工具。 维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维的直线，二维的平面，三维的 普通空间都是人们所熟知的。但是如果要问像雪花、云彩、山脉、江河、树枝以及 漩涡、烟圈等复杂的自然构形的维数是多少，用传统的数学是难于回答的，至多只 能作定性描述。而分形论则将给出它们的定量分析，即可用分维( 又叫分形维数、 分数维) 加以表征，在一般情况下它是一个分数( 可以是整数，也可以是非整数) 。 最初，曼德布罗特把那些豪斯道夫( h d u s d o r 维数不是整数的集合称为分形。 这样，某些看来应是分形成员的，例如著名的皮尔( p e a r l ) 曲线： y ：生一 l + 彳e 坤( 一口f ) 公式( 2 1 2 ) 它的维数为2 ，就要被排除在外。1 9 8 2 年，曼德布罗特修改了原来的定义，认为分 9 华北电力大学硕士学位论文 形是那些局部和整体按某种方式相似的集合。它被大部分人所接受。k f a l c o n e r 曾这 样说过，对分形的定义可以用和生物中生命定义同样方法的处理。生物中生命并没 有严格和明确的定义，但却可以列出一系列生命物体所具有的特性，比如：繁殖力、 运动能力、反对周围环境的相对独立的存在能力等等。大部分生物都有上述的特性， 但有一些生物对上述某些性质却有例外。因而，对分形似乎最好把它看成具有一些 例外性质的集合，而不去寻找精确的定义。按照这种观点，称集合f 是分形，是认 为它具有下列典型的性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节； ( 2 ) ，是不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述； ( 3 ) ，通常有某种自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义下的； ( 4 ) 一般地，的某种方式定义下的分形维数大于它的拓扑。 2 3 3 测度熵 混沌轨道的局部不稳定性，使相邻轨道以指数速率分离，如果两个初始点如此 靠近，以致在一段时间里不能靠测量来区分两条轨道，则在它们充分分离后就能够 加以区分。在这个意义下，混沌运动产生信息。信息的概念和概率的概念紧密相连， 它是对一个事件惊奇性的测度。如果一个消息系列是由聆条信息组成的，这咒条信 息也可看作，2 个事件，每个事件出现的概率分别为片，最，每一结果所含的信息 量分别为一kl o g 只，一kl o g 只，一kl o g 只。为方便可取k 为1 ，这样玎个事件都发生时 所含平均信息量为： s = 一只l o g 磊 f # i 公式( 2 一1 3 ) 信息论的主要创立者申农( s h a n o n ) 把上式( 2 1 3 ) 所定义的信息量称为“信息熵”。 1 9 5 8 年，柯尔莫哥罗夫( k o l m o g o r o v ) 进一步将信息熵的概念精确化，用来度量 系统运动的混乱或无序的程度，定义了“测度熵”。因此，“测度熵 又称为 “k o l m o g o r o v 熵”。测度熵的数学定义要求对吸引子进行分割，并且考虑这种分割 在动力学作用下的无穷细分，对细分过程中根据测度算出的信息量进行上确界估 计。这种定义很难实际运用，因此，我们讨论种物理上更为直观的算法。 考虑一个刀维动力系统，将它的相空间分割成一个个边长为f 的聍维立方体盒 子，对于状态空间的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道x ( f ) ，取时间间隔为一 很小量r ，令尸( 乇，f i ，易) 表示起始时刻系统轨道在第乇个格子中，= r 时在第个 格子中，f = 卉时在第屯个格子中的联合概率，则测度熵( 或k 0 1 m o g o r o v 熵) 定义 为： i o 华北电力大学硕士学位论文 k = 一鳃勉恕去点眺，i ：，别加吖，。j 公式( 2 1 4 ) 这里，k 的数值是判断系统运动性质的重要指标：对于规则运动，k = d ；对于纯随 机运动，k ：而混沌运动对应有限的正k 值。并且测度熵与正的l y a p u n o v 指数有 密切关系。对于有限维的可微分的映射， k 对 公式( 2 一l5 ) 即测度熵的上限是所有正的l y a p u n o v 指数之和。 成立，它成为所谓的培津等式： k = 付 在实践中，上式( 2 一1 5 ) 中等式往往 公式( 2 1 6 ) 即测度熵等于所有正的l y a p u n o v 指数之和。 在本节的最后，我们归纳了几种常见的运动形态的主要参数，如下表2 1 所示： 表2 一l 几种常见的运动形态的主要参数 吸引子维数l y a p u n o v 指数测度熵 稳定定态点 0 小于0 o 周期运动闭曲线 l 小于或等于o o 混沌运动奇怪： f 整数 乃 d ，其余五d d k 2 4 典型的混沌系统 混沌理论产生后，从8 0 年代初期人们就开始寻找混沌的应用领域。混沌的类噪 声特性已经被用来产生随机数，用混沌电路就可以比用世界上最强大的计算机更快 的产生随机数。这样的设备对于保密通信而言将是很有前景的随机数产生器。混沌 电路还是用来测试信号接收器的噪声源，这种噪声发生器在测试系统抗干扰性能时 也是一种有用的工具。混沌还被用来增加激光的功率，在化学反应中控制振荡以及 稳定不健康动物心脏的节拍。混沌用来压缩图像的研究也受到很多注意。神经网络 在特定的情况下也会发生混沌。对于电路混沌系统而言，e n d o 、c h u a 和l e z e k i e l 使 用了一个缩相回路( p l l ) ，n e w c o m b 用带r c 反馈的o p a i i l p s 都实现了混沌。在众多 的系统中，l o g i s t i c 映射和洛伦兹方程是最为典型的混沌系统。 2 4 1l o gis tjc 映射一一虫口模型 作为最简单的混沌动力学系统，l o g i s t i c 映射是虫口模型的一个特殊情况。设_ 是某种昆虫第刀年内的个体数目，这个数目与年份有关，刀只取整数值，第疗+ 1 年的 华北电力大学硕士学位论文 数目为二者之间的关系一般可用一个函数关系描述： x 。“= 厂( ) ( 以= l ，2 ，) 由于门是非负整数，式( 2 一1 7 ) 又称为差分方程。 最简单的虫口模型是l o g i s t i c 映射： x 。+ i = 声。( 1 一工。) ，( h = 1 ，2 ，) 公式( 2 一1 7 ) 公式( 2 一1 8 ) 系统刀次迭代表示为”似夕，初值x ，经过甩次迭代变为k ，= ”f ，j ，夕，从而决定了系统 的发展。在这里我们显然可以限定l o g i s t i c 映射的取值范围在【0 ，l 】内。参数决定了 l o g i s t i c 映射的稳定点、周期规律和混沌行为。显然稳定点t 必须满足t ：厂r t 。，。点 集t ，t2 、组成周期为p 的轨道必须满足= 厂川f ，t p ，j 。实际上，稳定点就是周期 为i 的轨道。稳定和不稳定取决于初始条件接近稳定点或者周期点时映射将它们趋 近或者分离。对于l o g i s t i c 映射而言，系统行为为稳定点、p 周期或者混沌的一种取 决于参数的取值。图2 2 是用计算机在m a t l a b 上1 2 0 】得到的变量x 的值随参数而变 化的情况，我们把这种比较常见的由于参数值变化使变量x 取值由周期逐次加倍进 入混沌状态的过程，称为倍周期分岔通向混沌。 l o g i s t i c ( i j = 0 4 )l o g i s t i c 归2 4 ) l 0 9 i s t i c ( f 3 2 ) l o g i s t i c ( i | = 39 9 ) 0 图2 2 初值为o 5 时，l o g i s t i c 映射的时间序列 对于离散动力系统( 2 一1 8 ) ，我们根据参数u 的取值讨论如下： ( 1 ) 当o 5 l 时，系统的动力学形态十分简单，除了不动点而= o 外，再也没有其 1 2 1 8 6 4 2 0 0 0 0 0 华北电力大学硕士学位论文 它周期点，且为吸引不动点。 ( 2 ) 当l l ，系统的动力学形态更加复杂，我们通常不考虑。图2 3 是l o g i s t i c 映射的分形图，表明了当取不同值时，系统由倍周期分岔通向混沌的过 程。 p 图2 3l o g i s t i c 映射的倍周期分岔通向混沌的过程 2 4 2 洛伦兹方程一一大气对流模型 1 9 6 3 年，美国著名气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 在研究天气预报问题时，发现 确定性方程中出现混沌现象。方程如下： x = 一盯( x j ，) 了2 一x z + r x y z = 砂一k 公式( 2 1 9 ) 其中，x 表示对流运动的振幅，与运动强度成正比：y 表示上升流与下降流的温度 差；z 表示垂直温度分布与线性温度廓线的偏差，即垂直温度分布的非线性度；盯称 为普朗特( p r a n t l ) 数；6 为几何因子，没有直接的物理意义；厂是方程( 2 一1 9 ) 的控制参 数，当，：l 时发生对流。 我们固定参数口：l o ，6 ：8 3 ，让，变化。当d 2 4 刀 时，系统的奇点p 和p 一变成不稳定的，系统不可能再有正常的对流，也就是说厂在 1 1 华北电力大学硕士学位论文 2 47 4 后进入混沌区。对混沌区内的参数，值，有时定常态是混沌解，即吸引子是奇 怪的，有时也可能出现稳定的周期解，这时轨线绕p 转儿圈后被甩到p 附近转几圈， 又回到p 附近，而且刚好头尾接上，成为闭曲线。 这种奇怪吸引子就叫做l o r e 眦吸引子它是稳定的、低维的和非周期的。l o r e n z 吸引子中的环和螺线具有无穷的深度，它们之间永不真正靠近，永不自交仅占据 着有限空间，是具有无穷嵌套的复杂结构。它是一条双螺旋的曲线，就像以一种十 分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶翅膀。谁又能预占，今天一只在东京上空的蝴蝶 扇动一下翅膀，在某时刻不会在澳大利亚引起龙卷风呢? 这种对初始条件的敏感依 赖性，在气象预报中被称为“蝴蝶效应”。 根据洛伦兹方程( 2 一1 9 ) ，可知l o r e n z 吸引子当取不同的参数a 、6 和，时，经迭 代运算可得到不同的图像。图2 4 是洛伦兹方程其参数取a = o ，6 ：8