（计算机应用技术专业论文）混沌、分形及在生物医学中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要涉及了非线性理论的中有关混沌和分形学若干问题的研究，其中包括一 维、二维和高维不同非线性映射中混沌现象及其普适特征分析，广义m - j 集嵌套拓扑分 布定理的讨论以及混沌学与生物医学工程相结合的多学科交叉研究。 本篇论文在实验分析的基础上，详细讨论了当非线性映射中控制参数改变时，系统 的演变规律。计算出l o r e n z 系统、二维l o g i s t i c 映射等非线性系统从规则运动转化到混 沌运动所具有的普适特征，并且详细讨论了二维l o g i s t i c 映射中所含有的自相似现象。 推广了m i c h e l i t s c h 和r 6 s s l e r 所提出的由一个简单非解析映射所构造j u i a 集和 m a n d e l b r o t 集的方法，构造出一系列实数阶的广义m - j 集。利用复变函数理论和计算 机制图相结合的实验数学的方法，对两者的结构和演化进行了研究，结果表明在所分析 的映射中：广义j 集的几何结构依赖予参数口、五和c ；广义m 集则依赖于参数口和 r 广义j 集和整数阶广义m 集具有对称性和分形特征；小数阶广义m 。，集出现了错 动和断裂，且其演化过程依赖于相角主值范围的选取。 作者对缺氧窒息而引起的中枢神经损伤实验中仔猪的脑电信号进行了混沌特性分 析，根据该实验得出如下结果：仔猪的e e g ( 脑电图，e l e c t r o e n c e p h a l o g r a m ) 信号中存在 混沌性信号中的混沌性随仔猪的生理状态而改变，并实验表明在正常的生理状态下 e e g 的混沌性较强，而在损伤状态下趋于有序。， 作者对由l i l e y 等人提出的脑电动力学模型进行了分析与计算。分析结果如下： 该模型是按p o m e a u - - m a n n e v i l l e 途径通向混沌的，且该途径与h o p f 分岔、倍周期分岔 和逆分岔有关； 支持了e e g 中存在混沌运动的观点。 以上研究内容的相关论文已被力学学报、数学物理学报等刊物录用或发 表。 关键词：混沌：分形：分岔：e e g ( e l e c t r o e n c e p h a l o g r a m ) ；m a n d e l b r o t - j u l i a 集 混沌、分形及在生物医学中的应用 一 c h a o s ，f r a c t a la n d t h ea p p l i c a t i o nt ob i o m e d i c i n e a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n c e r n ss t u d i e so fc h a o sa n df r a c t a l o fn o n l i n e a rt h e o r y ，i n c l u d i n g a n a l y s i s o nc h a o t i ca n dg e n e r a lf e a t u r e so fd i f f e r e n td i m e n s i o n a ln o n l i n e a rm a p p i n g s ； d i s c u s s i o no f g e n e r a l i z e dm - j s e t sa n da n a l y s i so ne e g s i g n a l sb yu s i n gc h a o st h e o r y ( 1 ) b yu s i n gp h a s es p a c er e c o n s t r u c tt e c h n i q u ef r o mal i m es e r i e sa n d t h eq u a n t i t a t i v e c r i t e r i o na n dr u l eo fs y s t e mc h a o s ，d i f f e r e n tn o n l i n e a rm a p p i n g sa r es t u d i e d a tt h eb a s eo f c a i c u l a t i o na n da n a y l i z eb yu s i n gp h a s eg r a p h i c s ，b i f u r c a t i o ng r a p h i c s ，p o w e rs p e c t r a ，t h e c o m p u t a t i o no f t h ef r a c t a ld i m e n s i o n a n dt h el y a p u n o ve x p o n e n t ，t h eg e n e r a lf e a t u r e so f c h a o s a n d “a p p r o a c h t oc h a o s a r ed i s c u s s e d ( 2 ) t h em e t h o dc o n s t r u c t i n g t h ej - ms e t sf r o mas i m p l en o n a n a l y t i cm a p p i n g d e v e l o p e d b ym i c h e l i t s c ha n dr s s s l e r w a se x p a n d e d a c c o r d i n gt ot h ec o m p l e xm a p p i n ge x p a n d e db y t h ea u t h o r as e r i e so ft h eg e n e r a l i z e dj - ms e t sf o rr e a li n d e xn u m b e rw b f ec o n s t r u c t e d u s i n g t h e e x p e r i m e n t a lm a t h e m a t i c s m e t h o dc o m b i n i n gt h et h e o r yo fa n a l y t i cf u n c t i o no fo n e c o m p l e xv a r i a b l ew i t hc o m p u t e ra i d e dd r a w i n g ，t h ef r a e t a l f e a t u r e sa n de v o l u t i o n so ft h e g e n e r a l i z e d j - ms e t s 钲es t u d i e d t h er e s u l t ss h o w ：ot h eg e o m e t r ys l m c t u r eo f t h e g e n e r a l i z e d j u l i as e t sd e p e n d so nt h ep a r a m e t e r so f 强ra n dc ；a n dt h em a n d e l b r o ts e t sd e p e n d so n口 a n dr t h e g e n e r a l i z e dj - s e t sa n d t h eg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e t sf o ri 眦g c ri n d e xn u m b e r h a v es y m m e t r ya n df i a c t a lf e a t u r e ； t h eg e n e r a l i z e dj ms e t sf o rd e c i m a li n d e xn u m b e rh a v e d i s c x m l i n u i t ya n dc o l l a p s e ，a n dt h e i re v o l u t i o n sd e p e n do n t h ec h o i c eo ft h ep r i n e i n r a n g eo f t h e p h a s ea n g l e ( 3 ) t h ea u t h o ra n a l y s e se e g ( e l e c t r e e n c e p h a l o g r a r a ) s i g i 试so fp i g l e t si nt h eh a l ( h y p o x i c - a s p h y x i ci n j u r y ) e x p e r i m e n t s t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n sa r cs h o w n ：n ea n a l y s e s r e f l e c tt h ew h o l e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so f t h eb r a i n s ，a n dt h e ym a y b l 潮m f l ean 蝴m e t h o do f r e s e a r c h i n g e e g q u a n t i t a t i v e l y t o e a r l yd i a g n o s e o fb r a i nd i s e a s e u n d e rn o r m a l p h y s i o l o g i c a lc o n d i t i o n s ，t h ee e gs i g n a l sa r ec h a o t i c ，w h i l eu n d e rm j u r yc o n d i t i o n st h es i g n a l s a p p r o a c hr e g u l a r i t y a n a l y s e sa n dc o m p u t a t i o n sa l ec o n d u c t e do ne e g d y n a m i c sm o d e l ，t h e f o l l o w i n gc o n c l u s i o n sa l es h o w n ：oc h a o t i cp a t t e r n so ft h ed y n a m i c sm o d e lm a ye m e r g eo u t o fp o m e a u - m a n n e v i l l er o u t e ，a n dr e l e v a n tt od o u b l e - p e r i o d i cb i f u r c a t i o n , h o p f b i f u r c 觚o u ， a n d r e v e r s e b i f u r c a t i o n ； t o f u r t h e rs u p p o r t t h e v i e w t h a t c h a o s e x i s t i n e e gs i g n a l s k e y w o r d s ：c h a o s ；f r a c t a l ；b i f u r c a t i o n ；e e g ( e l e c t r o e n e e p h a l o g r a m ) ；m - j s e i s i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 储魏盈堑日期地型厶兰 大连理工大学硕士学位论文 引言 非线性科学是- - l - 研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以来，在 各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为2 0 世纪 自然科学的“第三次大革命”【1 】。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学 意义，而且具有广泛的应用前景，它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并正 在改变人们对现实世界的传统看法。在非线性科学的研究中，己涉及对确定论与随机 性，有序与无序，偶然性与必然性，量变与质变，整体与局部等范畴和概念的重瓤认 识，它将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。一般 认为非线性科学的主体包括：混沌、分形、孤子。本文的研究重点是混沌与分形理论及 其与相关学科的交叉与应用【2 1 。 本文分为四章。第一章主要介绍了混沌与分形的定义、特征等非线性基础理论以及 文章中主要使用的研究方法。第二章介绍了非线性映射中的混沌与分形研究，分四节依 次介绍了一维b a t r a c h i o n 序列映射、二维l o g i s t i c 映射、三维l o r e n z 系统的混沌与分形 的研究，通过对不同非线性映射的混沌普适特征计算分析，深入研究了不同维度下映射 自身所固有的混沌和分形特性，并在此基础上探讨了“通向混沌道路”的不同方式。第 三章介绍了广义m - j 集嵌套拓扑分布定理，推广了m i d a e l i t s e h 和r ds s l e r 所提出的由简 单非解析映射z4 - - - 0 0 2 ) 一c 构造j t l i a 集和m a n d e l b r o t 集的方法。并由推广的复映射 z 卜 ( z 8 ) 一c 够且) ，构造出一系列广义j 集和m 集。第四章介绍了混沌理论在生物 医学工程领域的应用，使用混沌学的计算方法分别对仔猪e e g 信号真实数据和e e g 动 力学模型产生的模拟数据进行了分析，对了生物体信号中所包含的混沌特性进行了研 究，将混沌、生物学和计算机应用相互结合，为疾病的早期诊断进行了新的探索。 混沌、分形及在生物医学中的应用 1 非线性理论概述 1 1 混沌理论概述 1 1 1 混沌理论的产生和发展 非线性混沌与分形理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后， 发展壮大于2 0 世纪8 0 年代。混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学，2 0 世纪 人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命 1 】。 1 9 0 3 年p o i n c a r e 在他的科学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想。他指出三体问 题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而 p o i n c a r e 成为世界上最先了解混沌存在的可能性的第一人。2 0 世纪的2 0 、t 3 0 年代，g d b i r k h o f f 紧跟p o i n c a r e 的学术思想，建立了动力系统理论的2 个主要研究方向：拓朴 理论和遍历理论。到1 9 6 0 年前后，非线性科学研究得到了突飞猛进豹发展， a n k o l m o g o r o v 与v i a r n o l d 及j m o s e r 深入研究 ：了h a m i l t o n 系统或保守系统) 中的运 动稳定性，得出了著名的k a m 定理，k a m 定理为揭示h a m i l t o n 系统中k a m 环面的 破坏以及混沌运动奠定了基础。给出混沌解第一个例子的是1 9 6 3 年美国数学家e n l o r e n z 的在美国大气科学杂志上发表的文章”确定性的非周期流”【3 。在他的天 气模型中，l o r e n z 看n t 比随机性更多的东西，看到了一种细致的几何结构，发现了天 气演变对初值的敏感依赖性。l o r e n z 提出了个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶煽动几 下翅膀，可能会改变3 个月后美国得克萨斯州的气候”。这被称为“蝴蝶效应i 。用混 沌学术语表达就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。1 9 7 5 年，t y l i ( 李天岩) 和j a y o r k 提出“周期3 蕴含混沌”的思想，被认为是混沌的第一次正式表述，c h a o s 一 词也自此正式使用【4 】。现如今，混沌已成为各学科竞相注意的一个学术热点。 1 1 - 2 混沌的特征与定义 混沌的主要特征有【2 】： l 、敏感初始条件 经典学说认为：确定性的系统( 微分方程或映射) ，只要初始条件给定( 边界条件 通常也需给定) ，方程的解也就随之确定了。但混沌现象的出现表明：初始条件的微小 差别将最终导致根本不同的现象，像l o g i s t i c 映射这样的系统，初始迭代值的微小差别 使得迭代一定次数后的结果已无法说清了，也就是说初值的信息经过若干次迭代后已消 耗殆尽，结果己与初值没有什么关系了。这就是混沌敏感初始条件的性质。这种性质绝 不是计算误差形成的，而是非线性系统的固有特性。 一2 大连理工大学硕士学位论文 2 、伸长与折叠 从l o g i s f i c 映射形成混沌的过程看到，混沌具有伸长和折叠的特性。这是形成敏感 初始条件的主要机制，伸长是指系统内部局部不稳定所引起的点之间距离的扩大；折叠 是指系统整体稳定所形成的点之间距离的限制。经过多次的伸长和折叠，轨道被搅乱 了，形成混沌。 3 、具有丰富的层次和自相似的结构 从l o g i s t i c 映射形成混沌的过程来看，混沌绝不能等同于随机运动，混沌所在的区 域中具有很丰富的内涵。混沌区内有窗口( 稳定的周期解) ，窗口里面还有混沌， 这种结构无穷多次重复着，并具有各态历程和层次分明的特征。同时，伸长和折叠使混 沌运动具有大大小小的各种尺度，而无特征的尺度，这些都称为自相似结构。 4 、非线性耗散系统中存在混沌吸引子 。 这是整体稳定和局部不稳定相结合的产物，通常的吸引子都有负的( 且无正的) l y a p m a o v 指数，唯独混沌吸引子具有正的l y a p u n o v 指数，而且混沌吸引子只能用分数 维来表征。 关于混沌，至今没有一个统一的数学定义，1 9 8 9 年，d e v a n e y 给出的混沌的一种定 义是目前用得较多的一种，它把混沌归结为三个特征：第、不可预测性，第二、不可 分解性，第三、具有规律性行为。d e v a n e y 的定义具体如下： 定义1 1 设a 轫是一紧致的度量3 e n ；f ：x - - x 是连续映射，称厂在z 上是混沌 的，如果：( 1 矿具有初值敏感依赖性，( 2 矿在x 上拓扑传递，( 3 矿的周期点在x 中稠 密。 其中，f 具有对初值敏感依赖性是指： 3 y 仨( x ) 及n 兰。使d ，”，f “) d ； u , v c x , 3 k 0 l s 吏f ( u ) n v g 。 3 6 0 ，使v x x ，及x 的邻域n 。总 而，在x 上拓扑传递是指：v u , f 开集， 除了上述对混沌的定义之外，还有诸如s m a l e 马蹄、横截同宿点、拓扑混合以及符 号动力系统等定义。 1 1 3 混沌理论主要研究方法 1 、相空间重构：可采用p a c k a r d 等人提出【5 】，并由t a k e n s 为之奠定了可靠的数学 基础的相空间重构技术 6 】。其原理为：由系统某一可观测量的时间序列 3 一 混沌、分形及在生物医学中的应用 i k = 1 , 2 ，n 重构m 维相空间，得到一组相空间矢量x 。= 一，t 。，+ ( 。棚， i = i ，2 ，mx r ” f 是时间延迟：埘2 d + 1 ，d 为系统自变量个数；m 小于，并与有相同的数 量级。相空间重构是相图分析、分维和l y a p u n o v 指数计算的关键。 2 、功率谱分析法：研究复杂非线性系统的运动常用到功率谱，它是由相空间中坐 标的f o u r i e r 变换求得的。可以利用a r 参数模型法或w e l c h 所提出的平均周期图等方 法来计算混沌信号的自功率谱估值。 系统的功率谱在频率，及其高次谐波2 f , 3 f , 一处有艿函数形式的尖峰。每个尖 峰的高度指示了相应频率的振动强度。特别当发生分岔时，功率谱将改变它的特征。基 频为刀、刀、”毋的准周期系统的功率谱在刀、刀、”毋及其线性组合处有涵数形 式的尖峰。对于混沌系统，尽管其功率谱仍可能有尖峰，但它们多少会增宽一些( 不再 相应于分辨率) ，而且功率谱上会出现宽带的噪声背景。可见功率谱分析对周期和准周 期现象的识别以及研究它们与混沌态的转化过程是非常有力的。 3 、关联维数：混沌体系是由称为奇怪吸引子的不规则轨线来描述的，奇怪吸引子 为分形结构。分维数可对吸引子的几何特征及集于吸引子上的轨道随时间的演化情况进 行数量上的描述。分维数有多种定义，其中g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 在1 9 8 3 年提出了一 种易于从实验数据中提取分维数即关联维数的算法 2 。 4 、l y a p u n o v 指数：奇怪吸弓i 子的一个明显特征就是吸引子邻近点的指数离析。因 为相空间中的点表示整个物理系统，所以邻近点的指数离析意味着初始状态完全确定的 系统在长时间情况下，会不可避免地发生变化。这种行为就是系统对初始条件具有敏感 依赖性的反映。而引入的l y a p u n o v 指数恰可定量表示奇怪吸引予的这种运动性态。 对于盯维相空间中的连续动力学系统，考察一个无穷小，l 维球面的长时间演化。由 于流的局部变形特性，球面将变为撵维椭球面。第i 个l y a p u n o v 指数按椭球主轴长度 p 伪定义为【2 ：1 i m 三l n 旦婴 。“。f p 【0 j 1 2 分形理论概述 1 2 1 分形理论的产生和发展 分形起源可以一直追溯到十九世纪末，1 8 7 5 年，德国数学家k w e i e r e s t r a s s 构造了 处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人g c a n t o r 构造了三分康托集。1 8 9 0 年， 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 意大利数学家g p e a n o 构造了一种平面环绕曲线，这条曲线能充满整个平面。1 9 0 4 年， 瑞典数学家h v o nk o c h 设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 将前人的结果进行总结，集其大成，以“分形：形状、机遇和维数”为名发表了他的划 时代的专著。在此专著中，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。 此专著的发表标志分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到一个 更为迅猛发展的阶段 7 。 自1 9 7 5 年以来，分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都有快速发展。由于 分形几何极强的应用性，它在物理的相变理论，材料的结构与控制，力学中的断裂与破 坏，高分子链的聚合，模式识别，自然图形的模拟，酶的生长等领域取得令人瞩目的成 功。由于应用学科和计算机制图的刺激与推动，分形的数学理论也得以迅速发展，并且 目的更明确，思想更深入。 1 2 2 分形的定义与研究方法 ( 1 ) 目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是 对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。m a n d e l b r o t 最先引入分 形( f r a c t a l ) - - 词，意为破碎的，不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种 意义下的对称性或自相似的集合【8 】。 一般地，称集f 是分形，即认为它具有下述典型的性质： f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 f 是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。 ( 2 ) 构造分形集的逃逸时间算法： 己知动力系统 x ，f ，给定视窗w 及逃逸半径r 和逃逸时间限制n ： 定义逃逸时间函数 m ) = 。k 髟：爿主：曼哆。譬1 ：= r ；三i 妻：1 意s 对视窗内的点x i j 计算1 i ) 【i i ) i 如果t ( x u ) 2 0 ，则x u e a ( 分形集) 如果t ( x u ) ；曲，则x i i j 。 由于逃逸时间算法的简捷及易实现性，常被用来构造各类奇特的分形集，本论文中 的m 集、j 集分形图都是用该方法绘制豹。 一5 混沌、分形及在生物医学中的应用 2 非线性映射中的混沌与分形 2 1b a t r a c h i o n 序列中混沌现象的研究 1 9 8 0 年，h o f s t a d t e r 9 首次提出了b a t r a c h i o n 序列 “( ”) = 盯g 一口0 一1 ) ) + 口0 一口o 一2 ) ) ，”3 ，d ( 1 ) = d ( 2 ) = 1( 2 1 ) 式( 2 1 ) 给出的序列口0 ) ”的图像轨迹像青蛙跳动一样，非常复杂。1 9 8 8 年 c o n w a y 1 0 ，1 l 】在对贝尔实验室所做的演讲中提出了另一种b a t r a c h i o n 序列 口0 ) = a ( o ( n 一1 ) ) 十d o 一口0 一1 ) ) ，n 3 ，口( 1 ) 。d ( 2 ) = 1( 2 2 ) 并称之为“疯狂的序列”。1 9 9 1 年，m a l l o w s f l 2 】又构造出一种新的b a 缸a 出o n 序列 。如) = 口0 如一2 ) ) + 口如一d g 一2 ) ) ，姐 - 3 ，日( 1 ) = 口( 2 ) = 1( 2 t 3 ) 1 9 9 5 年，p i c k o v e r 发现序列( 2 2 ) 的轨迹图像在一定尺度下可呈现自相似的分形特征 【1 3 。 混沌系统由相空间中的奇怪吸引子来描述。奇怪吸引子具有无穷层次结构，即自相 似性【1 4 】。本文采用一维时间序列相空间重构技术和系统混沌的定量判据准则，分析了 以上三个b a t r a c h i o n s 序列中的混沌现象。 2 1 1b a t r a c h i o n 序列的分形机制 ( a ) h o f s t a d t e r ：痧d ( b ) h o f s m d t e f 序列 6 s s h 1 0 一 ( c ) h o f n a d t e r 序列 大连理工大学硕士学位论文 ( d ) c o n w a y 序列( e ) c o n w a y f 帮d c o n w a y 序列 忍 m a l l o w s 序列 t h ) m a l l o w s 序列 1 0 ( j ) m a l l o w s 序列 图2 1 b a t r a c h i o n 序列的矗( 五衫疗玎的曲线图 f i g 2 it h e 口( n ) 刀hc u r v eo f b a t r a c h i o n s e q u e n c e s 图2 1 为分别取肛22 0 0 、2 0 0 0s n2 0 0 0 0 所绘制 b a t r a c h i o n 序列的口0 ) n 肝的曲 线图。可见b a l r a e h i o n 序列是以种复杂的方式波动，并且在三种不同数量级的尺度上 存在自褶似性，即有分形特征。 2 1 2b a t r a c h i o n 序列的混沌普适特征 1 ) 相图分析 a ( n ) n ( a ) h o f s t a d m r 序列 口 + s 、 口 + 3 q a ( n ) n c o n w a y 序列 拿 逻 拿 普 图2 2 b a t r a c h i o n 序列的吸引子 f i g 2 2t h ea t t r a c t o r so f b a t r a c h i o n s e q u e n c e s 一7 o ( , o n ( c ) m e l l o w s 序列 混沌、分形及在生物医学中的应用 2 ) 功率谱分析 据平均周期图法选取采样频率为i h z ，计算b a t r a c h i o n s 序列a ( n ) n ( n = 1 , 2 ，3 ，) 的 功率谱( 如国2 3 ，其中图2 3 ( d 卜3 ( f ) 为图2 3 ( a ) - 3 ( c ) 的对数坐标表示) 。分析中所用的 参数为：f f t 长度 矾1 0 2 4 ，窗形：矩形窗，窗长l ：1 0 2 4 ，数据总量n ：2 0 0 0 0 ，分 段数目足：3 8 。由图2 3 ( d ) - - 3 ( 0 可见，对数功率谱上的点在一1 5 ( o 0 3 h z ) 以下基本是 在一条直线上。用最小二乘法进行直线拟合可求得直线斜率如表2 1 。 l f 用z ) ( a ) h o f 蚍t d t e r 序列 i g ( f h z ) ( d ) h a 删t e r 序列 l ，地) ( b ) c o n w a y 序列 i g y h z ) ( c ) c o n w a y 序列 l g c f 奔- i z ) ( c ) m a l l o w s 序列 l 西，用z ) ( om a l l o w s 序列 图2 3 b a t r a c h i o n s 序列功率谱 f i g 2 3p o w e r s p e c t r ao f b a t r a c h i o ns e q u e n c e s 3 ) 关联维数计算 利用c r r a s s b e r g e r p r o c a c c i a 所提出关联维数0 2 的算法，进行掌褚算分析。 一8 大连理工大学硕士学位论文 ( a ) h o f s m d t e r 序列 l 1 ，t = 0 2 _ m = 5 ，3 硼= 7 c o n w a y 序列 1 m = 0 ，2 1 ”= 5 ，3 m = 7 ( c ) m a l l o w s 序列 卜卅= 3 ，2 硎= 5 ，3 叫f 7 图2 4 b a t r a c h i o n 序列吸引子的l n r i n 0 ( ，) 关系曲线 f i g 2 4 t h el n c ( ，) i n r c u r v e o f t h e a t t r a c t o r s o f b a t r a c h i o ns e q u e n c e s 根据b r a n d s t a t e r 和s w i r m e y 对圆c o u e t t e 流系统奇怪吸引子的伤计算时参数的讨论 1 5 】，选取如下参数：采样频率为l i - i z ；嵌入维数m 值是经过多次试算，发现所得吸引 子的d 2 趋于稳定时得到的；数据总薰为1 0 0 0 0 。作者计算出图2 2 。中吸引子的l n r i n c ( r ) 关系曲线如图2 4 所示，伤的计算结果见表2 1 。 2 2 ( a ) 51 7 3 2 3 , 6 e - - 21 8 4 8 如0 5 5 一 ! ! ：墅!j ：2 丝 30 6 1 0 1 1 b - 2 2 2 5 0 6 6 1 1 3 e - 2 1 0 7 1 _ + 0 0 0 4 一7 0 6 9 5 1 , 2 e - 2 30 1 6 3 3 1 e _ 2 2 2 ( c ) 50 2 0 4 3 5 e - 2 1 6 6 4 + 0 0 7 1 一一一! ! ：! ! ! 一i ：堡曼曼 分维数的大小反映了具有分形结构的奇怪吸引子所占空闯的程度：奇怪吸引子的维 数越大，空间被它占有的部分越大，其结构越致密，系统越复杂；反之，则结构越稀 疏，系统越简单。 4 ) l y a p u n o v 指数计算 选取数据总量n 为1 0 0 0 0 ，嵌入空间维数聊通过从2 开始逐渐增加反复试算来确 定，时间延迟f 和长度元演化步长s t e p 也像聊一样经过取不同数值反复试算来确定， 9 混沌、分形及在生物医学中的应用 最大长度尺度s c a l m x 取0 0 1 ，最小长度尺度s c a l m n 取i e - 6 。作者求出图2 2 引子的 l 如表2 2 所示。 2 1 3 讨论与结论 ( 1 ) 观察对数功率谱图2 3 ( d ) - - - 3 ( e ) ，低频段谱的相对能量随频率的增加而减少，表明 b a t r a c h i o n 序列吸引子的频谱遵循反幂律形式，即符合1 f 分布。s h a w 曾指出混沌运动 的功率谱的特征是l 扩宽带谱 1 6 】。再考虑功率谱图2 - 3 ( a ) - - 3 ( c ) ，可见功率谱具有丰富的 频谱成份，尤其是图2 3 c o ) 、3 ( c ) 中出现了噪声背景和宽蜂；又由表2 1 和表z 2 可知， b a t r a c h i o n 序列吸引子的关联维数伤均为分数、最大l y a p u n o v 指数 皆为正值，这表 明b a t r a c h i o n 序列的波动是混沌的，即图2 2 给出的是奇怪吸引予。 圆从频谱分析可知，谱密度表示含有相同信息的自相关程度，l 纩分布意味着系统 有极高的长程相关性或存在某种长时间记忆的机制，、换言之，用不同的时间标度去观察 系统，其时间序列将表现为统计上的自相似或自仿射性。这样，将其时间轴任意扩大也 罢、缩小也罢，其波动的趋势依然不变。如用分形语言来说，即标度不变性。可见图 2 1 给出的b a t r a c h i o n 序列的自相似性与图2 3 ( d - - 3 ( e ) 行显示的l 矿分布是有内在联系 的。同时，图2 3 ( d 卜3 ( c ) 显示出的1 矿分布，也为b a t r a c h i o n 序列的波动提供了一种度量 原理，即可用拟合直线斜率进行量度。 ( 3 ) 近年来，许多学者纷纷从混沌分形现象出发探讨l 矿分布机制，并取得了长足进 展。本文采用一维时间序列相空间重构技术和系统混沌的定量判据准则；分析了 b a t r a c h i o n s 序列中的混沌现象，并从8 a t r a c h i o n s 序列中找到与1 c r 分布有关的奇怪吸引 子。 2 2 二维l o g i s t i c 映射的分岔与分形 ， l o g i s t i c 映射是m a y 在“自然”杂志上发表的篇影响甚广的综述中提出的 17 。后 来f e i g e n b a u m 发现l o g i s t i c 映射是通过倍周期分岔到达混沌的【1 8 】。在此基础上，人们 研究了二维l o g i s t i c 映射盼混沌及其在生态学等领域中的应甩溺。如，k a n e k o 、 s a k a g u c h i 和c h o w d h u r y 等研究了部分参数空闻中二维l o g i s t i c 映射的分岔 1 9 - 2 1 1 ： w e l s t e a d 等构造了h 6 n o n 映射的周期图，确定了参数空间中h 6 n o n 吸引子的位置f 2 2 1 ； s a t o h 等研究t - - 维猪食映射的吸引子的自相似f t 2 3 等。二维映射起着从一维到高维的 j 0 查塑三奎兰堡主堂垡笙奎一 衔接作用。一维非线性映射都是不可逆，对应耗散系统，二维映射随控制参数的改变， 却可从保守( 保面积) 过渡到耗散( 收缩) ，从可逆到不可逆。对二维映射中混沌现象 的研究有助于认识和预澳6 更复杂的高维动力学系统的性态。 2 2 1 二维l o g i s t i c 映射的分岔理论 根据e u l e r 方法，l o g i s t i c 方程i = x ( 1 一x ) 可由差分方程 x 。+ l = x 。+ h x 。( 1 一x 。) ( h o ) ， ( 2 4 ) 经迭代求解。若令“。= 搬。， 0 5 时，2 一周期点 ( ，儿) 和( ，) 是，2 ( x ，y ) 的不动点。可见q 的稳定性由j a c o b i 矩阵j ( 露( ，乩) ) 或 ，( 斤( 此，x a ) 来决定。j a c o b i 矩阵 删也厨5 - 1 0 h 锄+ 2 h 2 蚴：4 霉怠2 矿 ， 其特征值为 彘：5 1 0 h + 2 h z 土厄萨j 丽 ( 2 1 1 ) 由式( 2 1 1 ) 可知：当0 5 h 1 ，q 是不稳定的；当 = 0 6 时，i 彘| - 1 ，则q 将发生第一次分岔【2 。又 ：5 4 3 ( 2 1 2 ) 故，2 ( x ，y ) 的不动点，即2 一周期点( 靠，) 和( 儿，) 失稳，发生h o p f 分岔，出现椭 圆不变曲线( 对应环面上的拟周期流) 或者周期循环。 2 2 2 二维l o g i s t i c 映射的分岔与混沌普适特征分析 1 ) 相图与分岔图分析 参数变化区间分别为艇； - 1 3 5 ，- 4 ) 。9 8 】和h a 0 4 9 7 , 0 6 8 6 ，计算方程( 2 7 ) 最初的 1 0 0 0 次迭代被抛弃，保证系统的轨道已收敛到吸引子上，然后再让力- n ( 2 7 ) 迭代2 0 0 0 0 次，作者构造了系统( 2 7 ) 的吸引子与分岔图。图2 5 、2 6 为具有代表性一组结果。 首先考察参数h 在第一个区间变化时系统行为的演化：- 0 9 9 9 5 h 一0 9 8 时，系 统收敛于一个不动点( 图2 6 ( a ) ) ；减少h ，当- 1 2 2 4 4 5 h - 0 9 9 9 5 1 、一1 2 7 1 9 5 h 一1 ，2 2 4 4 6 、一1 j 2 8 2 1 6 s h s - 1 2 7 1 9 6 、- 1 2 8 4 3 6 s h - 1 2 8 2 1 7 、时，系统发生了倍周 期分岔，依次出现了2 周期、4 周期、8 周期、等( 图2 6 ( a ) ) ；继续减少h ，当 一1 3 1 3 2 7sh 一1 2 8 4 9 8 时，出现了混沌；再减少h ，当一1 3 1 5 1 8 h 一1 3 1 3 2 8 时，出 一1 2 一 一 蚴砌 大连理工大学硕士学位论文 现了6 周期( 图2 6 ( b ) ) ：继续减少h ，当一1 _ 3 1 6 0 8 h 一1 3 1 5 1 9 、一1 3 1 6 3 h 一1 3 1 6 0 9 、一1 3 1 6 3 4 h 一1 3 1 6 3 1 、时，系统再次发生了倍周期分岔，依次出现了 1 2 周期、2 4 周期、4 8 周期、( 图2 6 ) ：再继续减少h ，当一1 3 5 兰h 一1 3 1 6 3 7 时，又出现了混沌( 图2 6 ( b ) ) 。从另一角度看：图2 ，6 ( a ) 又反映出随参数h 增加，周 期不断减半，即二维映射有逆向周期倍化过程。 其次观察参数h 在第二个区间变化时系统行为的演化( 仿照第一区间讨论略) 。 k a n e k o 、s a