（电路与系统专业论文）连续流混沌解析预测方法的研究.pdf

一一 摘要 摘要 连续流混沌解析预测方法研究领域中，m e l n i k o v 方法和s h i l n i k o v 方法是世界公认的 经典然而，s h e l n i k o v 方法要求寻找通过鞍焦点的同宿轨道，精确地找到它的难度可能 不亚于求解系统的全部解集；m e l n i k o v 方法也需要对同宿轨的横截点进行估计，由于只 有保守系统的同宿轨易于得到因而限制了m e l n i k o v 方法的应用范围该方法适用于非 线性保守系统的微扰系统 丘水生老师提出的混沌吸引孑细胞模型理论( 一融周期轨道理论) ，能很好地解释 混沌运动的机理，并基于这一理论框架又提出了一个混沌吸引子存在定理该定理在可 实际应用性上有明显的优势；而且既适用于弱非线性系统也适用于强非线性系统 本文致力于对该定理的理论方面的拓展研究，研究工作和主要结论包括： 1 对定理的直接应用： ( 1 ) 将三阶弱非线性系统的运动变换为二维系统进行研究得到一个新的解析预测方 法：当鞍焦点满足s h i l n i k o v 不等式条件时，关键是寻找变换后的二维空间中对应于周期 轨道的鞍性不动点。 ( 2 ) 给出了可应用于周期激励的二阶非线性自治系统混沌参数预测的数学条件 用该条件对典型v a nd e r - 。o l - d u f f 2 n g 系统进行预测，与m e l n i k o v 方法和文献1 8 7 1 等提出 的方法得出的结果进行比较，表明该条件的应用结果更逼近数值运算结果 2 给出了上述混沌吸引子存在定理在流形意义下的等价表述，并运用动力系统理 论等数学原理进行证明 3 ，受上述混沌吸引子存在判定定理启发，提出了另一个混沌存在判定定理： 运用封闭引理等动力学原理证明了命题：紧致光滑流形上向量场仅有半稳定的双曲 临界元时，对概周期轨道的微扰将产生可数无穷多的双曲闭轨，并进一步推导出：紧致光 滑流形上向量场仅有丰稳定的双曲临界元时，向量场或者对向量场的微扰具有s m a l e 马 蹄集合此定理并不需要s h i l n i k o v 不等式条件，所以可应用于三阶以上的自治系统 4 通过扭扩和嵌入将上述新的判定定理推广到二阶及高阶非自治系统 关键词：双曲临界元；混沌吸引子细胞模型；解析预测 a b s t r a c t a b s t r a c t m e l n i k o vm e t h o da n ds h i l n i k o vm e t h o da r eu n i v e r s a l l ya c h o w l e 电e dt ob e c l a s s i c si nt h ef i e l do nt h eg e n e r a lm e t h o do fa n a l y t i c a lp r e d i c t i o no f c o n t i n u o u s f l o wc h a o s b u tm e l n i k o vm e t h o dr e q u i r e ss e a r c h i n gf o rt h eh o m o c l i n i co r b i to f s a d d l e - f o c u sp o i n t ，w h i c hi sa sd i f f i c u l ta sc a l c u l a t i n gt h ew h o l es o l u t i o ns e to f s y s t e m s i m i l a r l y , m e l n i k o vm e t h o dr e q u i r e s f i g u r i n g o u tt h et r a n s v e r s a l h o m o c l i n i co ft h eh o m o c l i n i co r b i t ，a n di ta l s od i f f i c u l t s om e l n i k o vm e t h o di s g e n e r a l l yr e s t r i c t e d t ot h ep e r t u r b a t i o ns y s t e mo fa p p r o x i m a t e l yh a m i l t o t s y s t e m ，a n dt h er e s u l to f p r a c t i c a la p p l i c a t i o nw a sf o u n dt ob en o tg o o de n o u g h h o w e v e r , t h et h e o r yo ft h ec e l lm o d e lo fc h a o t i ca t t r a c t o rp r o p o s e db y p r o f q us h u i s h e n g c a l le x p l a i nt h em e c h a n i s mo f c h a o sv e r yw e l l f u r t h e r m o r e ， b a s e do nt h et h e o r yh ep r o p o s e dt h et h e o r e mo fe x i s t e n c eo fc h a o t i ca t t r a c t o r s ， w h i c hh a sa d v a n t a g eo fp r a c t i c a la p p l i c a b i l i t y , a n dc a nb ea p p l i e dt ob o t h w e a k l ya n ds t r o n g l yn o n l i n e a rs y s t e m s i nt h i sp a p e r , t h ee x p a n s i o n a r ys t u d yo nt h et h e o r e mw a sd o n et h e o r e t i c a l l y t h em a i nr e s e a r c h e sa n dc o n c l u s i o n sa r el i s t e da sf o l l o w s ： 1 t h ed i r e c ta p p l i c a t i o no f t h et h e o r e m ： ( 1 ) an e wa n a l y t i cp r e d i c t i o nm e t h o dw a sp r o p o s e db a s e do nt h es t u d yo f t h en l o t i o ni nt h et w o o r d e rw e a kn o n l i n e a rs y s t e mo b t a i n e db yt r a n s f o r m i n g t h a ti nt h et h r e e o r d e ro n e i ft h es a d d l e f o c u sp o i n to f t h r e e o r d e rs y s t e ms a t i s 匆 华南理t 大学r 学博十学位论文 t h ec o n d i t i o n so fs h i l n i k o vi n e q u a l i t y , t h ek e yi st os e e kt h es a d d l ep o i n ti nt h e t w o o r d e rs y s t e m ，w h i c hi sc o r r e s p o n d i n gt ot h ep e r i o d i co r b i ti nt h et h r e e o r d e r s y s t e m ( 2 ) an e wa n a l y t i cp r e d i c t i o nm e t h o do ft h ec h a o t i cm o v t i o n si nt h e p e r i o d i c a l l ye x c i t e d t w o o r d e rh e t e r o n o m ys y s t e mw a sp r e s e n t e d i tw a s a p p l i e dt ot h et y p i c a lv a nd e rp o l d u n n gs y s t e m ，a n dt h e r e s u l t sa p p r o a c h i n g t h en u m e r i cc a l c u l a t i o nv a l u ea r eb e t t e rt h a nt h a to fa p p l i c a t i o no fm e l n i k o v m e t h o do rt h em e t h o dp r e s e n t e di nt h er e f e r e n c e 8 7 】 2 at h e o r e mi sp r e s e n t e dt h a ti st h ee q u i v a l e n ts t a t e m e n to ft h et h e o r e m o fe x i s t e n c ec h a o t i ca t t r a c t o r si nt h es e n s eo fm a n i f o l dw a sp u tf o r w a r da n d p r o v e db yt h em a t h e m a t i cp r i n c i p l e ss u c ha sd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r y 3 w i t ht h ei n s p i r a t i o nf r o mt h et h e o r e mm e n t i o n e da b o v e ，w ep r e s e n t e d a n o t h e rc r i t e r i o nt h e o r e mo fc h a o t i cs y s t e m f i r s to fa l l ，c l o s e dl e m m aa n ds oo nw e r eu s e dt op r o v et h et h e o r e m ：i f t h e r ei so n l yt h es e m i s t a b l eh y p e r b o l i ce q u i l i b r i u mp o i n ti nt h ev e c t o rf i e l do n t h ec o m p a c ts m o o t hm a n i f o l d ，t h ep e r t u r b a t i o no fg e n e r a l 。p e r i o do r b i t w i l l g e n e r a t ec o u n t a b l ei n f i n i t eh y p e r b o l i cc l o s e d o r b i t s t h e nt h en e wc r i t e r i o nt h e o r e mw a sp r e s e n t e d ：i f t h e r ei so n l yt h e s e m i s t a b l eh y p e r b o l i ce q u i l i b r i u mp o i n ta n dh y p e r b o l i c c l o s e do r b i t s i nt h e v e c t o rf i e l do nt h ec o m p a c ts m o o t hm a n i f o l d ，t h ev e c t o rf i e l do rt h ep e r t u r b a t i o n o ft h ev e c t o rf i e l dh a st h es m a l es l e v i ss e t t h u s ，t h et h e o r e mn e e d n t t h e c o n d i t i o n so fs h i l n i k o vi n e q u a l i t y , a n dc a nb ee x p a n d e dt oh i g h e r 。d i m e n s i o n a b s t r a c t a u t o n o m o u sa n dh e t e r o n y m o u ss y s t e m 4 t h en e wc r i t e r i o nt h e o r e mw a se x p a n d e dt ot w oo rm o r eo r d e r h e t e r o n o m ys y s t e mb yu s i n gs u s p e n s i o na n de m b e d d i n g k e yw o r d s ：h y p e r b o l i ce q u i l i b r i u ma n dc l o s e do r b i t s ；t h ec e l lm o d e lo f c h a o t i ca t t r a c t o r ；a n a l y t i c a lp r e d i c t i o n 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 协责1 1 日期：卫肋；年6 月，仁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权华南理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：鸣矽叫 导师签名：丘7 i 士 日期：加? 年占月，乒e t 日期：沙7 年6 月，7e t 第一章绪论帚一早三；酉化 1 1 课题研究历史与现状 2 0 世纪下半叶，非线性科学得到蓬勃发展其中对混沌的研究占了极大的比重人 们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现已经有十分丰富的认识【】混沌 ( c h a o s ) 这个迷人的“奇异吸引予”，不仅将人们探索自然的好奇之心吸引和凝聚到探索 混沌奥秘的科学前沿，而且它像极具生命的力的种子，撒遍自然科学和社会科学各个领 域的沃土它将简单与复杂，有序与无序，确定与随机，必然与偶然的矛盾统一在一幅 美丽的自然图景之中，它的发现和研究推动了人类科学的发展【7 1 混沌研究最早的历史可以追溯到1 8 9 8 年法国数学家阿达马似s 、h a d a m a r d ) 的论文 “负曲率曲面上的测地流”f 8 】，阿达马研究了无摩擦情况下质点在扭曲的负曲率面上的 运动，发现质点的轨迹形成所谓“测地流”，并证明了负曲率面上的测地流存在对初始 条件的敏感依赖性实质上就是给出一个混淹存在的判定条件 法国数学家、物理学家彭加勒( 鼠p o i n c a n f 厮究天体力学，以三体问题为背景，证 明了周期轨道的存在，并详细研究周期轨道附近流的结构，发现双曲点附近存在着无限 复杂的精细“栅栏结构”，三体引力产生惊人的复杂行为，得出了确定性动力学方程的 某些解具有不可预见性的结论彭加勒对于混沌理论的贡献还在于在当时的数学水平不 足以解决天体力学的复杂问题的情况下，着力发展新的数学工具，为现代动力系统理论 提供了一系列的重要概念和工具，与当时的李雅普诺夫( l y a p u n o v ) - - 起奠定了微分方程 定性理论基础其主要遗产包括如下几个方面：( 1 ) 定性动力学，整体上流的行为，相 图的分类：( 2 ) 遍历理论，概率思想，回复性定理；( 3 ) 周期轨道的存在性，近周期轨 道处流的结构分析；( 4 ) 分岔理论这一系列的成就对混沌学的建立及混沌预测研究的 发展所产生的广泛而深刻的影响一直延续到今天【1 。” 从上世纪6 0 年代起，s s m a l e , d a n o s o v 廖山涛等 9 - j o 一大批的拓扑学家将拓扑学 和常微分方程定性理论结合起来，在拓扑空间引入可微性、微分结构、微分流形、游荡 性与非游荡性、结构稳定性等概念，建立了门新的数学分支学科微分动力系统理 论成为混沌理论研究和混沌预测研究有效理论工具 1 9 6 2 年，美国气象学家洛伦兹饵工。形n 力发现第一个奇异吸引子- l o ，跏z 吸引 子 1 13 1 9 7 1 年法国数学物理学家茹勒( d r u e l l e ) 和荷兰物理学家ft a k e n s 发表论湍流 的本质c 1 2 ) ，提出利用混沌来理解湍流形成机理的观点，并首先提出“奇异吸引子” 华南理丁大学工学博士学位论文 iii 这一术语1 9 7 5 年，美籍华人李天岩的他的博士导师约克y o r k e ) 发表了周期3 蕴含 着混沌【l3 1 ，提出了具有周期3 的连续映射就意味着混沌，并为混沌学研究领域确定了 中心概念名词混沌( c h a o s ) 从此，在世界范围内掀起了混沌学理论与应用研究的热 潮，近二、三十年每年都有成千上万的文献，在讨论着混沌的规律与运用【1 4 1 虽然l f y d 础关于混沌的定义深刻地刻画了混沌运动的复杂性和本质特征：混沌运动 的拓扑传递性和拓扑强混合性3 然而根据l f 一物成定义人们仍然难于认清混沌吸引子 的内部结构以及运动复杂性的内在根据从定义本身出发也难验证复杂系统是否处在混 沌态中 仿照面包师的工作，s s m a l e 给出了s m a l e 马蹄映射1 6 3 1 人们发现s m a l e 马蹄映射下 的双曲不变集同胚于有限移位映射也同胚于c a n t o r 集合它的三个重要特征是： ( 1 ) 一条具有拓扑传递性的( 遍历) 稠轨道； ( 2 ) 可数无穷多周期闭轨道； ( 3 ) 不可数无穷多的非周期轨道 于是混沌吸引子有了较为清晰的图象而系统是否具有s m a l e 马蹄( 集合) ，就成了判定 系统是否具有l i y o r k e 意义下的混沌运动的出发点 然而直接推断系统是否具有s m a l e 马蹄也是相当困难的 4 8 1 ，条重要的定理应运而 生，即s m a l e b i r k h o f f h o m o c l i n e 定理3 【州寻找双曲周期点的横截同宿点，从而就可 以断定系统具有s m a l e 马蹄( 集) 我国科学工作者钱敏、严寅等人又将这一方法推广到“n 横截环” 尽管s m a l e b f 抽h d h 同宿定理和n 横截环定理对混沌机理和混沌判定的研究是举 足轻重的，且由这两个定理而延伸出的诸多结论【1 0 1 2 1 1 ，如m e l n i k o v 方法1 5 1 1 2 ”等具有广 泛的应用价值但是，对于非线性系统而言，一个基本的事实：通过解析的办法企图得 到周期点的同宿轨道却几乎是不可能的，即使对于近似线性系统也是如此，从而对一个 复杂系统( 混沌系统就是复杂的) 要直接应用上述二条定理，从解析方法的角度来讲， 仍然还是难度相当大的 运用s m a l e 马蹄映射理论和根据横截同宿点及n - 横截环通过解析方法来预测非线性 系统混沌存在的判据目前得到世界公认的主要成就有两个：梅尔尼科夫( m e l n i t o v ) 方法 和什尔尼科夫( s h i l n i k o v ) 方法 梅尔尼科夫方法的核心思想，是把所讨论的系统归结为一个二维映射系统，然后推 导该二维映射存在横截同宿点的数学条件，从而证实映射具有斯梅尔( s m a l e ) 马蹄意义下 的混沌性质这个方法是1 9 6 3 年由梅尔尼科夫提出 嘲，后经h o l m e s 补充和推广，现在 2 已成为判断混沌是否存在的重要判据【1 6 】 梅尔尼科夫方法主要应用于二阶哈密顿( 砌m 饥d h ) 系统的微抗情形，如对带有小参数 的非线性强迫振动系统，其方程： j + f ( x ) = e 吕( 工，j ，f ) ( 1 2 ) 其中，c 为小量，g 是对a g 为周期等于2 ”的周期函数，为满足当e 卸时微分方程 有同宿或异宿轨道条件的非线性函数并设 芏+ 厂( x ) = 0( 1 3 ) 的同宿轨道或异宿轨道为 fx = z + “、 1 _ y ：j ( f ) ( 1 4 ) 由是给出m e l n i k o v 函数 膨( f ) = ry g p 。，y 【f ) ，a l ( t + r ) d t( 1 5 ) 那么当m ( f ) 具有与占无关的单零根时，对充分小的占，稳定流形与不稳定流形横截相交 也即m e l n i l c o v 函数材p ) 如果改变正负号，则稳定流形与不稳定流形横截相交，从而可 以判定系统( 1 2 ) 存在s m a l e 马蹄，说明其具有混沌的可能性 国内一些科学工作者也对梅尔尼科夫方法进行了进一些研究，袁晓风【1 刀讨论7 - - 阶 m e l n i k o v 函数及其应用，并明确给出t - - 阶m e l n i k o v 函数的计算公式；孙建华1 柳用较 简明的方法讨论了一般的高阶m e l n i k o v 数冯贝叶1 9 1 讨论了无穷远同宿环的嬲如渤v 判据；朱德明【2 0 1 把梅尔尼科夫函数推广到高维空间；刘曾荣【2 1 】编写非线性科学丛书混 沌的微扰判据亦介绍了不少梅尔尼科夫方法研究的进展如高阶梅尔尼科夫方法，三 维缓变系统的梅尔尼科夫方法，映射系统的梅尔尼科夫方法等 与梅尔尼科夫方法一样，什尔尼科夫( 跏洳渤v ) 方法的第步也是把所讨论的系统 归结为一个二维映射系统【2 1 1 1 2 2 1 5 1 不同的是什尔尼科夫方法不是直接证明横截同宿点的 存在性，而是通过估计三维的自治系统鞍焦型同宿轨道在鞍焦点附近的p o i n c a r d 映射 具有斯梅尔( s a m l e ) 马蹄变换的性质，从而说明了系统是混沌的 什尔尼科夫方法f 2 3 】【2 棚可以用如下定理描述：给定三阶自治系统 等= ，g ) ( 1 6 ) 口j 这里矢量场厂：r ，_ p 是p 次可微的( p 1 ) ，设x 。是该系统的个鞍焦平衡点即式( 1 6 ) 的线性化方程的j a c o b i 矩阵在x 。的特征值r ，仃歹脚满足 r h 0( 1 8 ) ( 2 ) 存在一个基于平衡点工。的同宿轨道h ，那么 对矢量场厂g ) 任何足够小的c 1 一扰动霹g ) ，扰动系统，记为 等= ，g ) + 瑶0 ) ，x c r 3 ( 1 9 ) 存在斯梅尔马蹄意义下的混沌 注：为了进一步讨论的方便，本文后续章节把t o h 0 合称为s h i l n i k o v 不等 式 梅尔尼科夫方法的适用范围有限，一般适用弱激励的非自治弱耗散平面系统三维 缓变系统亦可以应用此方法1 2 ”，然而一般只能针对三阶自治系统 另外，什尔尼科夫方法要求对寻找鞍焦平衡点的同宿轨，这在分析上却是相当棘手 的工作2 “，因而什尔尼科夫方法的应用尚不如梅方法来得广泛 除了上两种判据方法以外，上世纪9 0 年代由意大利学者r g e n e s i o ，a t e s i 和e v i l l o r j i 等人提出的一种频域的方法1 2 7 2 8 1 1 2 9 1 ，也有相当的影响这个方法主要是通过谐波平衡原 理( t h eh a r m o n i cb a l a n c ep r i n c i p l e ) 及l o e b 判据或其它类似的判据3 0 】【3 l 】【3 3 】等近似方法计 算系统的平衡点和周期解，并判定它们的稳定性，寻找稳定的倍周期分叉韵周期解和同 宿轨道当系统的某系数发生变化，系统在某平衡点发生h o p t 分岔，进而以倍周期分岔 的形式，进入过半稳定平衡点( 鞍型平衡点) 的周期解，即同宿轨道，则认为系统处于混 沌状态，而此时对应的参数域则就是混沌参数域从而达到预测的目的 这个方法所涉及的运算方法，均是传统的频率运算的方法；由转移函数和系统方程， 求解平衡点，由谐波平衡原理求解周期解( 当然亦可以运用n y q u i s t 图求解平衡点和周 期解) ，由l o e d 判定周期解的稳定性等由于该推导方法原始物理模型是如图( 1 1 ) 所示 的反馈系统其中l 是线性时不变动力学系统， n 是非线性时不变的静态无记忆反馈系统，输 入。f f ) ：0 因而该方法特别适合于处理控制工 程和电路系统等问题它适用于无激励的自治 系统，在原理上，它可以判定三阶以上的高阶 系统的混沌存在问题但是目前就该方法未能 查到论及三分频进入混沌的具体判定运算方法 【甜，因而计算出系统的混沌参数域或有缺漏， 4 图1 ，1 基本反馈系统 f i g u r e l 1t h ef u n d a m e n t a lf e e d b a c ks y s t e m 从而该方法尚有进一步研究的必要性另外，该方法的计算是对连续变化的系数域的边 界并不十分准确“ 不难发现，上述三种方法的一个共同点，就是：在于寻找周期点的同宿轨或者同宿 点众所周知，混沌运动对于混沌吸引子具有全局结构稳定性关于动力系统结构稳定 性的两个深刻结论【6 3 】【1 0 1 ： ( 1 ) 公理a 系统+ 强横截条件 ( 2 ) 公理a 系统+ 无环条件( q 稳定性) 无论是存在周期点的同宿轨，还是同宿点或n - 横截环，对于公理a 系统而言，显然上 述三种情形都构成q 一环系统一经扰动就必然产生“q 爆炸”进入混沌态 对于向量场砻犷7 ( 廿) 以及微分同胚d 万7 ( p ) 的集合，其中m 为紧致光滑流形，动 力学理论和拓扑流形理论己解决了它们作为b a i r e 空间阎问题，从而拓扑同胚于实数集 r 每个向量场x 砻犷7 ( m ) 或微分同胚，d i f f ，( m ) ，同胚于r 上的一点 无论是关于s h i l n k o v 定理的同宿轨，还是由m e l n i k o v 方法或上述谐波平衡法找到的 周期点的同宿点或者同宿轨它们对应的系统( 向量场或微分同胚) 就对应着r 上的某一 点由于对这一点进行任意微扰就使系统进入混沌从而，这点是混沌系统集合的边 界而且是孤立的因为系统处于这一状态时，任何扰动改变它的结构对这一点若记为 x 。r 那么存在) ( 0 的一个邻域n ( m ) c r ，当x n q 诅) 时，x 是混沌的 前述三种方法原理是相当清晰的，然而对于实际的物理系统而言，由于物理世界的 广泛联系性和偶然性，任何实际物理系统都将随时间而“涨落”既使我们运用无论多 么精巧的控制技术都不可能使系统在一段时间对应于赋范空间的同胚r 上一个精确的 点 从概率论的角度来讲，砀相对于n ( x 0 的概率为0 ，也就是说，系统不会出现在 “) ( 0 ” 而以上三种方法都是要寻找到这个 “”，由上述，不难理解这三种方法运 用上的难度和诸多的限制既使通过一系 列巧妙的方法寻找到这个“) ( d ”，它一定 是近似的也就是说，通过一系列艰辛的 运算和估计， ：导到的仍然不是同宿轨道或 者同宿点 上c 圈1 2 混沌吸引子细胞模型示意图 f i g u r e1 2 t h e 。d lm o d e lo f t h ec h a o t i ca 抽m c t o l 华南理工大学工学博士学位论文 华南理工大学的丘水生老师近年来提出了个混沌吸引子细胞模型理论【3 4 】【3 ，并在 该理论的基础上提出了关于混沌存在的判定定理及若干推论 混沌吸引子细胞模型是关于动力系统的相空间的相点在混沌吸引子( 吸引域) 内运动 的物理模型借用生物细胞的结构与名称刻画动力系统混沌吸引子的相点运动的形象和 机理，是进一步深刻理解、研究和应用混沌的有用工具 混沌吸引子细胞模型理论认为f 3 8 i ：混沌吸弓f 子的根源是混合吸引子，由半稳定的鞍 焦平衡点与半稳定的极限环( 主鞍周期轨道) 共存于混合吸引子中，构成“细胞”的“核” 和“主骨架”，在鞍焦点与极限环附近存在空间分叉区相点在鞍焦点与极限环之间的 螺旋运动构成“细胞”的“细胞体”螺旋运动在空间分叉区发生随机跃变成为单向运 动，单向运动的相轨称为“细胞”的“键带”一段螺旋运动的相轨及其随后的一段“键 带”形成混沌运动的一个循环之后，单向运动又会在空间分叉任发生随机跃变，随即出 现螺旋运动，进入第个二循环相点运动每一循环均不重复，而使吸引子具有随机性， 遍历性和对初值的敏感性特征等，从而使之具有混沌的特征如图1 1 2 该理论还提出了一系列的新概念【1 8 l c l 9 】：空间分叉区，单向运动，主鞍周期轨道，混 合吸引子，同步轨道，组合轨道，n 层周期轨道，随机分叉等，文献【 】还提出了混沌吸 引子的分形分层结构，这对于理解混沌运动的确定性和随机性具有重要意义， 混沌吸引子细胞模型，给予了混沌运动一个机理上的描述，对于人们进一步地理解 和探讨混沌运动的内在规定性是有帮助的。它的一个明显的优势是将混沌运动机理提升 到了动态描述的层次。这是s m a l e 马蹄集，混沌灼自相似结构以及层层嵌套【2 】等理论和 性质对混沌吸弓i 子的描述所没有达到的 根据混沌吸引子细胞模型理论直接提出的混沌存在判定定理( 详见第三章) ，虽然和 s h i l n i k o v 定理有一定的渊源关系一受其启发而得到但是却存在着本质的不同 混沌吸引子细胞模型是客观合理的，首先它描述了一条拓扑传递的轨道，永无休止 永不重复在混沌吸引子内随机遗遍历“细胞”的每一个点其次，在鞍焦点和周期轨的 邻域存在无限多的半稳定周期点( 分叉区的分叉点) ，这就蕴含了混沌吸引子内存在可数 无穷多稠密的周期闭轨和不可数无穷多的非周期轨道( 关于后面的一点，本文第四章、 第七章、第八章有详细论证) 这三个特性说明“细胞”就是一个具有s m a l e 马蹄映射的 双曲不变集 尽管混沌吸引子细胞模型理论在混沌的解析判定 4 2 1 、混沌同步与调制技术【6 “、及扩 频通信1 8 5 】、保密通信【6 6 1 等多方面都有应用但是，该理论考虑的是三阶自治系统的混沌 结构，因此将其推广或发展成为适用于1 3 阶( n 3 ) 系统的理论是一个重要的研究课题 6 另一方面，该判定定理，给出的是充分条件( 不是必要条件) ，所以有可能提出不 以鞍焦点及其满足s h i t n i k o v 不等式作为条件的拓展性定理或新定理，以利于对更高维混 沌系统的进行解析分析 对于非自治系统总是可以被扭扩到高一维的空间之中，而高一维的动力学行为则表 现为“自治的”，从而就有了把关于自治系统的混沌存在判据推广到非自治系统的可能性 1 2 本文研究基本范畴、基本方法及其意义 混沌预测，即对给定的系统通过一定的“观测”手段认定其是否具有混沌的特征其 方法大体上可分为三类：一是通过实验观测确定系统是否具有混沌运动的一般特征，如 连续功率谱，对初值的敏感性等等；二是通过( 计算机) 仿真得到系统在相空间的运动轨 迹( 相圈) ，计算连续功率谱，计算l y a p u l o v 指数，计算周期制度的费根鲍母常数，运算 p o i n c a 庙映射图【2 】等等；三是解析预测，就是通过数学的逻辑推演，给出系统混沌存在 的一般条件 本文研究的基本范畴限制在对欧氏空间上的一般动力学系统一常微分方程的解析 预测，由于对常微分方程解的演化，一般可认为是月“中向量场产生的连续流故本论文 题目定名为连续流上混沌存在解析预测方法的研究 关于混沌解析预测方法研究的重大意义，笔者认为主要有如下几个方面： ( 1 ) 通过解析预测方法的研究，即给出系统混沌存在的一般解析条件，一方面为混 沌的应用提供了有效的工具，为人们构造混沌系统和区分掘沌系统与一般系统给出了理 论上和实践上的依据；另一方面，混沌解析预测方法，作为混沌学研究的一个分支，目 前所拥有的一般方法有限，而且通用性不强。尚有进一步发展的必要； ( 2 ) 研究混沌系统的解析预测的方法，总需要对混沌的机理进行充分解剖，比如， s h i l n i k o v 方法和m e l n i k o v 方法，都是在对于混沌运动的内在本质充分把握的基础上提出 的，因而对混沌解析预测方法的研究，可能会提出一些混沌机理的新观点，如混沌吸引 子细胞模型等 基于对s h i l n i k o v 和m e l n i k o v 等方法的认识，本文的动机之一就是试图对混沌吸引 子细胞模型理论进行拓展或发展研究以扩大其在国内外的影响从而本文研究工作的基 本内容包括： f 1 1 给出基于混沌吸引子细胞模型的判定定理另一种严格的数学证明； 佗) 将丘水生老师提出的混沌吸引子细胞模型理论椎架下的混沌判定定理推广到非 自治系统，从而扩大该定理的应用范围； 7 华南理工大学工学博士学位论文 ( 3 ) 对混沌吸引子的结构，包括对混沌不变集的内部结构分析以及它与外界的联系进 行探讨； ( 4 ) 希望得到能运用于任意阶的自治和非自治系统的通用判据，并使之易于应用 这项研究的一个前提性的工作，就是提出不采用s h i l n i k o v 不等式作为条件的引理或定 理。 ( 5 ) 对混沌吸引子和平凡吸引子( 包括排斥子) 共存的情况作出理论分析，希望通用 判据对完全稳定( 或完全不稳定) 的双曲临界元没有过多的条件限制 对于上述内容研究的意义有如下几点： ( 1 ) 可以扩充对混沌机理的认识； ( 2 ) 是对解析判定一般方法理论的发展； ( 3 ) 为实际应用提供方便的工具 8 第二章混沌的基本理论 第二章混沌的基本理论 2 1 混沌的定义及其主要特征 t 9 7 5 年，李天岩( ty l i ) 和他的导师约克( j y o f k ) 发表了突破性的结果：若连续的 直线映射有一个3 一周期点，则，同时具有一切其它周期的周期点著且第一次从数学 上提出了混沌( c h a o s ) 的精确定义 定义2 2 1 t 3 1 设，：i i 连续，其中i 为实数集r 上的线段，i c 用t 表示映射 的周期点集，若t = n ，为整数集，且在，内存在一个不可数集s c i ，且s = 1 - r ( 1 ) 使 得： ( 1 ) 对于 q x ，y es ，x y ， 溉洫f h 曲一f “p ) 卜o l i m s 一，4 ( 曲一厂”洲 0 ( 2 ) 对v x es ，和v ，t o o ， l i m s u p f ”( z ) - f “( _ ) ，) | 0 则称，具有混沌( c 口叩) 性态 定理2 1 1 f 1 3 】：若3 e t ( ) ，则存在不可数集s c i ，使定义2 1 中的条件( 1 ) 和( 2 ) 得到 满足 其实早在1 9 6 4 年，原苏联数学家沙可夫斯基a 阳捕d 诎囝就发表了更为完美的结 果【4 3 1 ，因为用俄文发表，鲜为人知 沙可夫斯基定理表述如下： 将全体正整数排列成下列s a r k o v k i i 序列 3 ，5 ，7 3 2 ，5 2 ，7 x 2 3 2 2 ，5 2 2 ，7 2 2 2 3 ，2 2 ，2 ，1 并用符号“司”表示勘砌删f 序列中从前到后的顺序关系，则有如下定理： 定理2 1 2 ：设，：r r 连续，i n 司l l ，则 m r ( 力蕴含n e r ( ，) ， 沙可夫斯基定理的证明冗长且繁杂，且有含糊地方，后来p 弓细l 对含糊之处又 9 重新作了证明；另外的一些学者又用图论的方法给出了简洁的新证明【4 3 1 在新证明的基 础上可以得到如下三个命题 4 3 】： 命题2 1 1 ：若r ( 厂) 中依s a r k o v s k i i 序排在最前面的元素m 为奇数，则 ”z + ：h m 或h 为偶数 c r u ) 命题2 1 2 ：若t ( f ) 中依s a r k o v s k i i 序为最小的元素是2 8 m ，其中m 1 为奇数，则 2 7 疗，( 厂) ，其中r = j ，且栉小，或， s ，( ，j z + ) 命题：2 1 3 ：若2 “r 驴) ，则2 “r ( 厂) 显然，命题2 1 1 2 1 3 蕴含s a r k o v s k i i 定理 设x 是紧致拓扑空间，若口和是x 的两个开覆盖，记口v p ( a n b i a 口b ， b 1 为的子覆盖的基数中最小者 定义2 1 2 ：设厂：x x 为连续的映射，令 厂。1 ( 口) = 厂“( 4 ) i a e 口 ， 则 ( 厂) = s u p l i m 三1 0 9 g v f 1 ) v v f 巾“( a ) ) 口r l 称，的拓熵，其中a 取遍x 的开覆盖 用正的拓扑熵定义的混沌称为“拓扑混沌”【2 咤意味着的动力系统的运动含有不规 则的成分 定理2 1 3 i 4 3 】：设f ：，_ j 为线段连续自映射，若2 “p r ( 厂) ，p l 为奇数，则： 二l o g 其中幼为多项式x ，一2 x 一一i 的最大实零点 推论2 1 1 ：若r ( 厂) 含有非2 的方幂，则h ( f ) 0 定理2 1 3 1 4 3 1 ：若，：i _ j 为线段连续自映射，r ( ，) 中元素，全为2 的方幂则 ( 厂) = 0 由上述关于拓扑嫡的两条定理知：满足定义2 1 1 的混沌，或者得说l i - y o r k 意义下 的混沌亦是拓扑混沌 除了l i - y o r k 意义下的混沌外，尚有多种混沌的定义脚1 ，其中最常见的是狄万尼 便三d e v a n e y ) 的混沌定义 设x 为紧致度量空间，x x 为从x 到自身的连续映射，称x 上连续自映射序列 、广。f ，r 为离散拓扑半功力系统，简称为紧致系统1 4 岫记为，力 定义2 1 。2 ：设紧致系缴x ，) 中，如果存在占，0 ，使得对每一点z e x 和工的任意邻 l o 域u ，存在，e u 和一，0 满足： d ( f “( x ) ，( y ) ) 6 则称厂对初值敏感依赖性，占称为敏感常数 定义2 1 3 ：设( 兄力为紧致系统，如果下述三个条件得到满足： ( 1 ) 厂是拓扑传递的 ( 2 ) 厂的周期点在x 内处处稠密，即嗣= x ； ( 3 ) ，对初值敏感依赖 则称厂在狄尼意义下是混沌的 注：对定义2 1 3 可以证明“”条件( 1 ) 和( 2 ) 蕴含条件“”故可去掉一个条件因而 上述定义可修改为： 定义2 1 4 ：如果，满足定义2 1 3 中的( 1 ) 和( 3 ) ，则，是修改意义下的狄万尼意义下 混沌的 定义2 1 5 ：对紧致系统( ) 【，) ，称之为拓扑传递的，如果存在的x x ，使得 o r b ( x ) = x 即x 的轨道在x 内处处稠密 混沌的拓扑传递性，即遍历性，与对初值敏感依赖性质样是刻画混沌的极其重要 的性质 混沌的定义还有很多，这些定义从不同的侧重面描述混沌的本质，如从正的拓扑熵、 正的李稚普诺夫( r y a p u n o v ) 指数、分数维、s m a l e 马蹄横截同宿轨道等从而也导致了 不同的混沌内涵如工i - 场埔意义下的混沌、d e v a n e y 意义下混沌、s m a l e 马蹄意义下的 混沌，度量混沌等在某些条件下这些概念有的具有蕴涵关系，如 4 4 1 ： 工l - y o r k 混沌 拓扑强混合乏修改意义下的d p m ，1 秒混沌 有的具有拓扑等价关系，如 s m a l e 马蹄意义混沌也f 场睹混沌 还有的是真包含关系，如 4 3 j 正拓扑熵定义的混沌l i - y o r k 混沌 这些定义大致上反映混沌的如下主要特征： ( 1 ) 对初值的敏感性和内禀随机性【2 j ； ( 2 ) 存在周期与任意自然数对应的周期轨道( 或周期点) ； ( 3 ) 周期轨道在混沌空间( 如紧致空间x ) 稠密； ( 4 ) 遍历性特征； ( 5 ) 正的拓扑熵等等 2 2 符号动力系统和移位映射 设整数k 2 ，任取k 个不同符号，例如取o ，1 ，2 ，缸1 称： s = o ，1 ，2 , - - - , k 1 为由七个符号组成的状态空间，其中每一个符合亦称作状态。赋s 以离散拓扑，那么s 中的每一个元素，既是开集也是闭集，且