（电力系统及其自动化专业论文）地区电网改进潮流计算的研究和应用.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 潮流计算是电力系统各种安全分析和计算的基础，在线潮流计算由于系统规模 大，且运行状况不断变化，使它在不同程度上存在着不收敛和速度较慢的问题。本 文成功研究和开发了一个在线运行的地区电网潮流计算程序，采用i e e e 系统1 4 节点、 3 0 节点、1 1 8 节点、某仿真变电站和兰州地区电网在线断面数据进行测试，收敛性 和计算速度达到在线的要求，与b p a 的计算结果对比，偏差在误差允许范围内。本 文提出一种改进最优乘子法，应用在带二次项的牛顿拉夫逊潮流算法中，实例证明这种 方法可以减少迭代次数，提高收敛速度。为了提高收敛性和速度，程序采用了节点类 型的转换，及很多稀疏技术，如三角检索存储格式，节点优化编号，稀疏矩阵的因子分 解，稀疏矢量法解方程等。针对兰州地区电网实际情况，考虑了两种变压器模型。 关键字：最优乘子，潮流计算，牛顿拉夫逊算法，非线性算法 a b s t r a c t p o w e rf l o wc a l c u l a t i o ni st h eb a s eo ft h es y s t e ms e c u r i r i e sa n a l y s ea n dc a l c u l a t i o n ， b e c a u s eo ft h el a r g es c a l eo fs y s t e ma n dv a r i a t i o n a li n s t a n c e s ，t h e r ea r es o m ed i f f i c u l t i e si n c o n v e r g e n c ea n de f f i c i e n c yt os o m ee x t e n tf o ro n l i n ep o w e rf l o wc a l c u l a t i o n ar e g i o n a l n e t w o r kp o w e rf l o wc a l c u l a t i o np r o g r a mi sr e s e a r c h e da n dr e a l i z e di nt h i sp a p e r , i e e e l 4 一b u s ， i e e e 3 0 - b u s ，i e e e l l 8 - b u s ，s o m es i m u l a t i o no fs u b - s t a t i o na n dt h ed a t u mo ft h el a n z h o u r e g i o n a lp o w e rs y s t e ma r ec o n v e r g e n ti nt h i sp r o g r a m a n dt h er e s u l t sa r eg o o dc o m p a r e dw i t l lt h a to f b p a t h en e w t o nm e t h o dw i t hn o n l i n e a ri t e mi su s e di nt h ep r o g r a m t h ei m p r o v e do p t i m a l m u l t i p l i e rm e t h o dp r e s e n t e db yt h i sp a pe r ，w h i c hh a sb e e np r o v e dt ob ee f f e c t i v ei nr e d u c i n g t h ei t e r a t i v et i m e sa n ds a v i n gt i m e ，t oi m p r o v et h ec o n v e r g e n c ea n de f f i c i e n c y , t h ep r a g r m r t m u t i l i z ea n dc o n v e r s i o nb e t w e e np qa n dp vn o d e s t os a v et i m es o m es p a r s em a t r i x t e c h n i q u e s ，s u c ha st r i a g g l es t o r a g e ，n o d eo r d e r i n ga l g o r i t h m ， e t c a r eu s e d t a k ea c c o u n to f t h ed i f f e r e n tm o d e l sb e t e e nt h er e a li n s t a n c eo ft h el a n z h o ur e g i o n a lp o w e rs y s t e ma n dt h es t a n d a r d s y s t e mo fi e e e ，t h i sp a p e rp r a g r a m mw i t ht w ot r a n s f o r m e rm o d e l s i na d d i t i o n ，t h i sp r a g r a m mc a l lb eu s e d i nt h ep o w e rf l o wc a l c u l a t i o no fs u b s t a t i o n ss i m u l a t i o na n dt r a i n i n gs y s t e m k e y w o r d s ：o p t i m a lm u l t i p l i e r , p o w e rf l o w n e w t o n - r a p h s o nm e t h o d ，n e w t o nm e t h o dw i t h n o n l i n e a ri t e m 声明 y 8 6 7 99 l 本人郑重声明：此处所提交懿硕_ = 学位论文地区电网故障恢复系统在线应用的研 究与实现，是牟人在华北电力大学攻读硕上学位期间，在导师揩导下进行拘研究工作 商取得的研究成果。据本人所知，除了文中哮别加吼标注和致谢之处外，论史中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力尢学或其他教育机构的 学位或证书可使用过的材料。与我罔上作的同志对本研究所做的任勺贡献均已在论文 中作j ，蚶确鼬说明井表示了谢意。 学位论文作者整名：盘l 盟超日期：盈多 关于学位论文使用授权的说明 本人完垒丁r 解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件、学校可阻采用影印缩印或其它复制手 段复制并保存学传论文：学校玎允许学位论立被查阐或借阅；学校可h 学术交流为 目的复制蜡送和交换学位论文 同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名 日期 捌 3 血，f 、p 导师整名：；逢蔓! 羹 日期：2 翻l z 毋 华北电力大学硕士学位论文 1 1 电力系统潮流计算的意义 第一章绪论 电力系统潮流计算是进行电力系统稳态运行分析的一项基本计算，用以确定系 统的稳态运行情况。在电力系统暂态运行分析中，也要利用潮流计算来提供系统初 始运行状态的有关数据。潮流计算又是电力系统安全分析的基础，在进行预想事故 的静态安全评定和动态安全评定时，首先由潮流计算提供初始运行状态。对每一种 预想事故进行元件( 如支路，发电机) 开断模拟的分析时，为加快计算速度，也常 应用潮流计算的某些中间结果。对可能引起不安全的预想事故并按其对系统导致后 果的严重程度排序后，也需要进行精确的潮流计算来复核。 电力系统不断发展，运行的复杂程度日益增大，在线潮流计算由于系统一般比较 大，且运行状况不断变化，使得潮流计算不同程度上存在着不收敛和速度较慢的问 题。丽潮流计算又是电力系统各种安全分析和计算的基础，所以研究和开发一套在 任何情况下都不发散，且速度有保证的在线潮流计算程序具有重要意义。 1 2 国内外研究动态及发展趋势 潮流计算的算法主要有6 0 年代提出的牛顿拉夫逊法“1 和7 0 年代提出的p - q 分 解法”3 。近3 0 年来，潮流问题算法的研究仍非常活跃，但是大多数研究是围绕着 改进牛顿拉夫逊法和p q 分解法进行的”“3 。此外，随着人工智能理论的发展，遗 传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐引入潮流计算。“。但是，到目前为止这 些新模型和算法还不能取代牛顿法和p - q 分解法的地位。由于电力系统的不断扩大 和对计算速度要求的不断提高，计算机的并行技术也引起一些研究人员的兴趣。 对潮流计算的要求可以归纳为下面三点“： 计算方法的可靠性或收敛性： 占用内存少，计算速度快； 计算的方便性和灵活性。 1 2 1 收敛性 一直以来，为了解决潮流计算中的收敛问题，人们做了各种努力，首先要保证 输入正确的数据，这样才可以使潮流收敛“。有不少研究是对基本的牛顿拉夫逊法 l 华北电力大学硕士学位论文 和p q 分解法的改进。 在牛顿拉夫逊算法中，应用矩阵分块求逆方法对阶数较高的雅可比阵求逆计算 进行改进，使阶数较高的雅可比阵的求逆变为阶数较低的四个子阵的求逆”“，可以 提高收敛速度。也有文章讨论通过对雅克比矩阵的简化“6 “”，提高计算速度。 在p 一0 分解法中，b 和+ 的不同组合形式会直接影响潮流的收敛性，文献 1 8 ： 详细分析了对地并联支路导纳在形成f 时的作用，并且通过多个系统的潮流计算结 果验证了：在形成b 时考虑支路电阻，在形成f + 时忽略支路电阻，并且将节点的并 联电纳和线路的并联电纳做2 倍处理时，蛐分解法收敛最快。 针对病态系统，出现了最优乘子”和线性规划法n ”，有些文章还讨论了潮流计 算中对负荷电压静特性的考虑，迭代中p v 节点无功越限问题，以及不平衡功率的 分配等问题”“。 1 2 2 减少内存占用量 自1 9 6 7 年美国学者wf t i n n e y 将稀疏矩阵技术引入电力系统潮流计算用于 牛顿潮流计算中，不仅减少了内存占用量，还大大提高了潮流计算的速度。虽然随 着计算机技术的不断发展，计算机的内存不断增加，但是稀疏存储在节省运算量和 计算机内存还是有其必要性的。 文献 2 2 提到的三元素牛顿拉夫逊法是基于这样的假设，各节点只与2 个相邻 节点连接，且在取节点号时可假设节点1 仅和节点2 ，3 连接，节点2 仅和节点3 ， 4 连接，以此类推，其它节点之间的连接被忽略。这样进行高斯消去时，只需对偶数 行消元，且只需消去一个元素，消元计算量将大大减少，但是这种算法节点编号麻 烦，需要重新进行节点编号。 动态形成十字链表，同时存储网络的拓扑结构信息和参数信息，适合于电力系 统中运行方式变化及故障等情况下的对网络结构的修改”3 ，与之相应的要增加存储 空问，列于网络结构不经常变化的系统，没有必要采用这种存储方式。 1 2 3 计算的方便性和灵活性 完善的潮流程序应该可以重复应用，可移植性高。为了使程序的可复用性虽大 化，以便软件的维护和升级所需费用和时间降低，文献 2 4 采用了c b d ( 基于构件 的开发) 和o o p ( 面向对象程序设计) 技术。0 0 p 技术的应用主要集中在通过其继 承特性重复应用已经存在的类。 另外，还出现了。些对传统算法的综合和改进的算法。 电力系统松弛算法”就是综合了时间增量松弛法与波形松弛法的优点，得到的 华北电力大学硕士学位论文 一种改进的新方法。 针对牛顿拉夫逊法对初值要求严格，迭代速度快的特点，利用电力网的结构特 点，使用高斯塞德尔迭代法的第一次迭代结果作为牛顿拉夫逊法的计算初值”。这 样既解决了牛顿拉夫逊法对初值要求高的问题，又提高了收敛速度。 随着g p s 技术的出现，出现了一些应用p m u 的潮流计算的方法。根据p m u 测量 精度和配置的不同，可以采用不同的方式将p m u 的测量结果应用于潮流计算中0 7 _ 2 。 但是由于p m u 的配置还没有普遍，兰州电网也没有配置，故该方法并不实用。 1 3 本文的主要工作 本文针对兰州地区电网实际情况，成功研究和开发了一个在线运行的地区电网 潮流计算程序，本程序是故障诊断程序、故障恢复程序、电网静态安全分析程序及 故障操作票程序的基础，经测试，已经基本达到了要求，程序可靠收敛，且计算速 度也达到在线的要求。 本文具体内容如下： 第二章本文应用的稀疏技术，包括稀疏存储格式：节点优化编号技术；稀疏矩 阵的因子分解方法和稀疏矢量法解方程等一系列的稀疏技术。 第三章介绍了非线性牛顿拉夫逊潮流计算算法的原理并编程实现这种算法。 第四章提出了对最优乘子的改进，使其不只是修芷迭代步长，根据保留非线性 的牛顿拉夫逊算法本身的特点用最优乘子修正迭代量本身。经过实例比较，改进后 的算法比原来的方法迭代次数少，又不增加计算量，可以提高计算速度。为了解决 收敛性问题，程序中还考虑了节点类型的相互转换问题。 第五章程序在实际系统中的应用，包括对兰州实际系统变压器模型的考虑，在 变电站仿真培训系统中的应用，和考虑节点类型转化后在兰州实际系统中的应用。 第六章对本文所做的工作做了总结。 华北电力大学硕士学位论文 第二章稀疏技术的应用 稀疏矢量和稀疏矩阵的存储特点是排零存储，即只存储其中非零元素和有关的 检索信息。存储的目的是为了在计算中能方便的访问使用，这就要求所采用的存储 格式既节省内存又能够方便的检索和存取，同时还要考虑网络矩阵结构变化时能方 便地对存储信息加畎修改。 2 1 稀疏矩阵的存储格式 稀疏矩阵的存储格式主要有以下几种：散属格式、按行( 列) 存储格式、三角 检索存储格式和链表存储格式，它们各有优缺点，可根据实际情况选择不同的存储 格式。 2 1 1 散居格式 对于稀疏矩阵a ，按散居格式存储的话需要三个数组以表示矩阵a 的信息。 v a 一存储a 中非零元a i j 的值； i a 一存储a 中非零元a i j 的行号； i u 一存储a 中非零元a i j 的列号。 散居格式的特点是a 中的非零元在上面数组中的位置可任意排列，修改灵活。缺点 是因其存储顺序无一定的规律，检索起来不方便。 2 1 2 按行( 列) 存储格式 这种存储方式按行( 列) 顺序依次存储a 中的非零元，同一行( 列) 元素依次 排在一起。可以用三个数组表示矩阵a 的信息。 v a 一按行( 列) 存储a 中非零元a ij 的值； j a 一按行( 列) 存储a 中非零元a ij 的列( 行) 号； i a 一记录a 中每行( 列) 第一个非零元在v a 中的位置。 这种按行( 列) 顺序的存储格式，查找第i 行( 列) 的非零元素十分容易，但 是如果要查找第i 列( 行) 的非零元就很不方便。 华北电力大学硕士学位论文 2 1 3 三角检索存储格式 三角检索的存储格式特别适合稀疏矩阵的三角分解计算格式。本文中采用的就 是按行存储稀疏矩阵a 的上三角部分非零元，按列存储稀疏矩阵a 的下三角部分非 零元。令a 为n xr l 阶方阵。 u 一按行依次存a 的上三角部分的非零元的值； j u 一存a 的上三角部分的非零元的列号； i u 一存a 的上三角部分每行第一个非零元在u 中的位置( 首地址) ； l 一按列依次存储a 中下三角部分非零元的值； i l 一存a 中下三角部分非零元的行号； 儿一存储a 的下三角部分每列第一个非零元在l 中的位置( 首地址) ； d 一存储a 的对角元素的值，其检索下标不需要存储。 当a 是对称矩阵时，j u 和i l 相同，i u 和儿相同，只要5 个数组就可以存储a 阵的所有信息。三角检索存储格式在矩阵a 的稀疏结构已确定的情况下使用是十分 方便的。但在计算过程中，如果a 的稀疏结构发生变化，即其中非零元素的分布位 置发生变化，相应的检索信息也要随着变化，很不方便，一般情况下有两种办法处 理这类问题。 第一种办法是事先估计出在随后的计算中a 的哪些位置可能产生注入元素( 即 原来是零元素，在计算过程中变成非零元素) ，在存储时事先留下位簧，即把这个 原来是零元素的也按非零元素一样来存储。这样在计算中该元素由零元素变成非零 元素时就不必改变原来的检索信息。 第二种方法就是用链表存储格式。其特点是当矩阵a 的结构发生变化时修改灵 活，不必事先存储这些零元素，也不必在产生非零注入元素时进行插入等处理。 在本课题的程序中，导纳阵和雅可比矩阵均采用这种三角检索存储格式，但是 并没有按照第一种方法所说的那样提前预留位置，解决的办法是利用c + + 中向量 v e c t o r 的特点，进行中间数据的插入和删除，解决了雅可比矩阵在因子分解表形成 过程中稀疏性发生变化的情况。 2 1 4 链表存储格式 与按行存储格式相比，用链表存储格式存储要增加以下两个数组： l i n k 一下一个非零元素在v a 中的位置，对每行最后一个非零元素，该值置为0 ； n a 一每行非零元素的个数。 这种存储格式可以特别方便地进行插入元素操作。当新增加一个菲零元素时， 可把它排在最后，并根据该非零元在该行中的位置的不同来修改其相邻元的l i n k 5 华北电力大学硕士学位论文 值。 稀疏矩阵的这几种存储格式各有优缺点，根据存储内容的不同要求选择适合的 存储格式，本文采用的是适合因子分解的三角检索存储格式。 2 2 节点优化编号 稀疏技术的核心有两点，一是排零存储和排零运算，二是节点优化编号。排零 存储和排零运算有效的避免了对计算结果没有影响的存储和计算，大大提高了程序 的计算效力。节点的编号顺序对于计算效力的影响也是至关重要的，它直接影响到 矩阵a 的因子表矩阵的稀疏度。 2 2 1 节点优化编号方法 严格的说，最优编号是一个组合优化问题，求其最优解是困难的，但在实际应 用中，有许多实用的次优的编号方法得到了广泛的应用。下面介绍节点优化编号的 三类方法： 2 2 1 1t i n n e y - - 1 - 编号方法 这种方法也称为静态节点优化编号方法。这种方法在有向a 图上统计每一个节 点的出线度，即该节点和其他节点相连接的支路数，然后按节点出线度由小到大按 顺序进行编号。对于出线度相同的节点，哪个排在前面是任意的。这种编号方法的 出发点是认为在图上因子分解的过程中出线度小的节点消去时产生的新边的可能 性也小。 这种编号方法简单，但编号效果较差。由图上因子分解过程可知，在图上对某 点进行消去运算，只影响该节点发出的边的对端节点，而对指向该节点的边无影响， 因为它们己在前边的因子分解过程中被掩盖掉了。因此，这些被掩盖掉的边在后面 统计出线度时不应计入，这种思想就引出了半动态节点优化编号。 2 2 1 2 t i n n e y - - 2 编号方法 这种方法首先统计所有节点的出线度，然后选出出线度最小的节点进行编号。 编号过程中，按图上因子分解的办法消去该节点，只进行网络结构变化的处理，而 不进行边权计算，最后遮盖住这个已编号的节点及其发出的边。在剩下的子图上重 复上述过程。 这种方法也较简单，图上因子分解产生的新边以及遮盖住己处理过的边，这些 华北电力大学硕士学位论文 变化可以在原来的图上修正来实现。这种方法可使有向因子图上的新添边数大大减 少，而程序复杂性和计算量又增加不多，是一种使用广泛的编号方法。本文采用的 就是这种方法。 2 2 1 2t i n n e y 一3 编号方法 还有一种编号方法，称为动态节点优化编号方法，它是按产生新边最少作为 准则来编号的。它与半动态编号的不同之处是对所有待编号的节点，统计消去该节 点时产生的新边的数目，并以该数目最小为优先编号的准则。某节点编号完成之后， 也应立即修正因子图并做有关边的遮盖。 这种方法在每步编号前都要对所有待编号节点统计消去后产生的新边数，程序 的复杂程度和编号时的计算量都很大，而最终编号结果相对于半动态节点优化编号 的结果略有改善，效果不是很明显，所以应用受到限制。 2 2 2 节点优化编号方法应用 本文采用半动态节点优化编号，这种节点编号的流程框图如图( 2 1 ) 所示，在节 点优化编号函数中，程序采用了v c 的s t l 库中的向量v e c t o r 标准函数，其中待消节点 集n o d e s 就是v e c t o r 类型的。与数组比起来，v e c t o r 类型有许多优点，它的大小是可 以变化的，且可以像链表存储格式那样灵活地插入和删除元素，但是又不用像链表存储 格式那样还要修改其它存储信息，所以本程序的几个函数中都用到了这种类型的数组。 统计网络未编号节点的出线度 给最小出线度的节点编号 消去己编号节点 否 鬣篓嬖、二厩 编号节点? 竺! 二! ：! 是 修正各节点出线度 图2 1 节点编号的流程框图 华北电力大学硕士学位论文 2 3 稀疏矩阵的因子表分解 对于n n 阶矩阵a 可以通过l u 分解的方法将它分解成一个单位下三凭矩阵l ， 和一个上三角矩阵u 两者的乘积，即a = l u ；进一步分解上三角矩阵u 为一个对角 矩阵d 和一个单位上三角矩阵，这就是l d u 分解。 l u 分解可分成两步：( 1 ) 按行规格化运算；( 2 ) 消去运算或更新运算。对稀疏 图2 - 2因子表分解程序框图 华北电力大学硕士学位论文 存储格式应按所采用的存储格式的要求进行计算。下面以三角检索存储格式为例， 介绍其计算流程( 假定已对矩阵a 进行了符号分解，即在后面可能产生非零元素的 位置上预留了存储单元) ，如图2 2 所示。三角检索存储格式中开始时存分解前矩 阵的值，分解后则存因子分解的结果。 在形成雅可比矩阵过程中，为了使雅可比矩阵保持与导纳阵相同的稀疏结构， 以保证节点优化编号后的稀疏格式不变，把 l h m lj i 和 月h s n l 一个整体，其中 日：等，_ ：要，m ：塑，上：塑，r 地黔s ：2 f , ( o ) 。e l茸l j& i 一, ：a e | ： 一 所以要用到分块矩阵的拟l u 分解，下面是对拟l u 分解的说明。 设爿r ，将a 分裂成4 2 l l a 4 1 2 l ，爿a ：1 2 2 j ，其中4 l 是n l 阶的矩阵，a 2 z 是n 2 阶的矩阵 ( n l + n 2 = n ) o 若 可逆，构造拟。阵：匕i n 如1 爿膏；。： ，。左乘a 可得： 一i n _ ：，一爿? 。： j ：! ： = 孑n a 4 1 ：2 ：一爿：，a 矗爿，： c z 一， 相当于对a 进行了n ，个倍加的初等变换，则可得拟l u 分解公式： 彳a “。4 a 2 2 = j = 2 ，爿膏0 ，。： ：”4 a 1 。2 一爿：。彳矗4 ，： c z z ， 进一步提出对角线上的矩阵，可以得到l d u 分解的公式： 彳a ：l l 。a 彳：x 2 ： = 。1 ：1 。，0 。， 孑，! ：一a ：，4 矗彳，： ；m 爿1 i 2 1 爿t ： c z s ， 这样把 z 和 h r s 看成一个整体，采用拟- 。u 分解方法，使节点优化编号可 以发挥作用，在因子表分解中产生较少的注入元。 对于矩阵方程a x = b ，因子表分解完毕后，可以表示为 华北电力大学硕士学位论文 l d u 工= b 其中： l 一存储因子分解后的下三角矩阵： u 一存储因子分解后的上三角矩阵； d 一存储因子分解后的对角线上的矩阵； 那么，解向量x 就可以通过以下三步得到解： l z = b d y = z u x = v ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 其中( 2 - 4 ) 式是前代公式，( 2 6 ) 式是回代公式。 稀疏矢量法要解决的问题就是在前代回代过程中，哪些计算步骤是必不可少 的，哪些计算是多余的，根据前代回代过程中矢量的稀疏性，避免不必要的计算， 进一步提高计算速度。 在前代过程中，如果前代之前独立矢量b ，即方程右边的矢量中只有少数是非 零元素，那么就可以采用快速前代法，我们取一种极端的情况来说明，假设b 只有 一个非零元，那么在前代过程中只要进行该非零元所在行的计算就可以了，这行之 前的计算过程可以省略。在回代过程中，如果在解矢量x 中，我们只对其中的少数 几个元素感兴趣，也就是说解矢量中大多数元素尽管回代后数值不等于零，但我们 对它们不感兴趣，则在回代过程中与这些待求元素无关的回代操作也是多余的，可 以省略。 华北电力大学硕士学位论文 第三章非线性牛顿拉夫逊潮流计算方法 3 1 保留非线性潮流算法原理 保留非线性潮流算法的主要特点是采用了更加精确的模型，即计入了泰勒级数 的高阶项或称为非线性项，这样理论上会提高算法的收敛性能和计算速度。这也成 了这种算法产生的原因。本文对应程序在直角坐标下保留泰勒级数的二阶项，由于 潮流方程是二阶齐次的方程，用泰勒级数展开时，二阶项系数已经是常数，也就是 说二阶以上的高阶项为零，所以泰勒级数只要前三项就能得到一个没有截断误差的 精确展开式。理论上，只要设法求得修正量来修正初值，一步就可以得到方程组的 解。 下面我们来对该算法的原理进行介绍。 3 1 1 数学模型 直角坐标形式下的潮流方程表示为： p l = 姬v ee ej b4 e ? j j + gu f t f i + b 4 碱) j e i q = u f , e i bu ，j f j - g j e l f j - b o e f ej 、 j ( 3 一1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 由以上表达式可见，潮流方程右端是齐次二项式，我们知道，齐次二项式有一 个非常重要的性质，就是它的泰勒级数展开式只有前三项，常数项、一阶项、和二 阶项，二阶项以后都是零。 3 1 2 泰勒级数展开式 将潮流方程在给定的电压初值附近展开成级数，于是有 州眦“) + 萎( - = 爹- - a e j + m 只 ( 3 - 4 ) 华北电力大学硕士学位论文 伊拶) + 否等嵋+ 舡m q ( u ；) 2 = 0 ；。) 2 + ，o ) 2 ) + ( 2 e ( 0 a e ，+ 2 ，o 蟛) + s u ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 式中叱，5 2 ，s u ，为相应的二阶项，并且这几个都是没有截断误差的精确表达式。 把它们写成矩阵形式，对p q 节点有 ； = ： + ： 怎 + 睫s q ，j = 乞! 对p v 节点有： 阱斛+ ；黝谢j = 因 式中h = 等，= 彗肌等小8 q , r = 2 e d e i o e p 扣2 1 巧，印ff 所以，由上列方程可以得到保留非线性法的迭代公式 p q 节点： p v 节点 瞄卜佃：h 剽 瞄： ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) 这便是保留非线性法的主要迭代式，其中p “，q o 可以通过电压初值u o 由式( 3 1 i ) 、( 3 1 2 ) 求得 只= ( g f e 们一月f 。) + ( g ，乃们+ b , e ) 】 口= ( g f p j b l 。) 一p 。( g 。+ 岛e ，。) ( 3 1 1 ) ( 31 2 ) 而p 、q 、u 尾已知的p q 、州节点的功率和电压e 因此我们只需求出皿，s q , ，s u ，便 可以得到完整的潮流计算公式。下面我们就推导s 只，s q ，j u ，的计算公式。由数学公 式，可以推导出下面结论：在直角坐标系下的潮流方程的泰勒展开式中，二阶项 1 2 n i 2 ，v r。l 一 llllj ” 似 u p + _j_，_fl p 矿 仃u 一 ， 华北电力大学硕士学位论文 图3 1 保留非线性法潮流计算主程序框图 1 3 华北电力大学硕士学位论文 有和第一项相同的表达式( 式( 3 - 1 1 ) 和式( 3 - 1 2 ) ) ，仅变量e ，f 分别用p ，v 代而已，所以对p q 节点犯“”，5 科“1 的迭代式为式( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 州”( g f g 一b , j 彬。) + 颤”( g 。彬+ b 。a e l ) 】 j e i s q , 耻“= 【创- - ，( k ( g f 8 一岛斫”) 一e 乳g f 卅”+ b u a e ( j k ) j e l 对于p v 节点皿“1 1 的求取同p q 节点，j u j “1 的求取如下式： j u p + 1 ) = 口2 + 。) 2 ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 一1 5 ) 把式( 3 - 1 3 ) 、( 3 - 1 4 ) 、( 3 - 1 5 ) 代入迭代式( 3 - 9 ) 、( 3 - 1 0 ) 进行迭代，将每次 迭代的结果根据以下判据进行判断，若满足则所得修正值便可以用来修正初始值得 到比较精确的潮流结果。其中，s 是定义的收敛判据，一般设为0 0 0 0 1 或0 0 0 1 。 m a x i p j l 占 ( 3 1 6 ) m a x i 颤l 占 f 最后根据公式 8 j “”= p r + g y ，“= ，2 + 颤 求得所求的节点电压值，然后计算线路功率、网损等完成整个潮流计算。 对应计算框图如图3 一l 所示。 3 2 计算结果的比较 ( 3 一1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 为了验证程序的正确性，本文测试了两个例子，5 节点系统和i e e e l 4 标准系统， 对应程序的计算结果和相应的标准结果的比较见表3 1 和表3 2 ，所有数值均采 用标么值。 表3 一l 对应的5 节点系统是参考文献 3 3 1 p 1 6 4 的一个简单的例题，节点l 为平 衡节点，其它为p q 节点。 表3 - l5 节点系统的结果( 电压实部和虚部) 1 4 华北电力大学硕士学位论文 电压实部电压虚部电压实部电压虚部电压实部偏差电压虚部偏差 11 0 601 0 60o 0 21 0 3 5 3 6 80 0 4 7 7 3 1 0 3 5 3 7 0 0 4 7 7 3 0 0 0 0 0 0 0 20 31 0 0 5 2 0 20 0 8 4 5 41 0 0 5 20 0 8 4 5 40 0 0 0 0 0 2 0 41 0 0 3 2 1 2 0 0 9 0 14 1 0 0 3 2 1 0 0 9 0 1 4 0 0 0 0 0 0 20 50 9 9 6 10 1 0 4 3 90 9 9 6 10 1 0 4 3 9o o 表3 - 2i e e e l 4 标准系统( 电压幅值和相角) 本程序计算结果i e e e 给出计算结果误差比较 电压幅值电压相角电压幅值电压相角电压幅值偏差电压相角偏差 l1 0 6o1 0 6 000 21 0 4 5 4 9 9 3 7 2 1 0 4 5- 4 9 9 3 200 0 0 0 5 2 31 0 1- 1 2 7 5 7 41 0 11 2 7 5 6 2o一0 0 0 1 2 41 0 1 1 8 5 9一l o 2 1 9 81 o l l 9一l o 2 1 9 l- 0 0 0 0 0 0 4 10 0 0 0 7 51 0 1 5 7 6 58 7 7 2 3 5 1 0 1 5 8 8 7 7 1 80 0 0 0 0 0 3 5- 0 0 0 0 5 5 61 0 6 9 9 9 9 - 1 4 6 3 8 2 1 0 71 4 6 3 7 3- 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 9 7 1 0 4 0 0 3 41 3 1 5 9 9 1 0 4 1 3 1 5 9 10 0 0 0 0 0 3 40 0 0 0 8 81 0 8 9 9 9 9 1 3 1 5 9 9 1 0 9 1 3 1 5 9 1 - 0 0 0 0 0 0 0 l 一0 0 0 0 8 9 1 0 1 2 7 7 81 4 7 3 9 51 0 1 2 8- 1 4 7 3 8 5- 0 0 0 0 0 0 2 2- 0 0 0 1 1 01 0 1 5 2 0 11 5 0 0 2 51 0 1 5 21 5 0 0 1 60 0 0 0 0 0 0 10 ，0 0 0 9 1 1 1 0 3 8 6 0 3一1 4 9 2 8 l1 0 3 8 6- 1 4 9 2 7 30 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 8 1 2 1 0 5 4 2 9 81 5 2 0 3 41 0 5 4 3一1 5 2 0 2 5- 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 9 1 31 0 4 4 3 1 5 一1 5 3 9 5 1 0 4 4 3 - 1 5 3 9 4 1 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 9 1 41 0 0 8 0 3 4 1 6 0 7 61 0 0 81 6 0 7 50 0 0 0 0 0 3 4一o 0 0 l 由以上表格可以看到，对于5 节点系统，电压实部所得结果与给出结果在误差 允许范围内相同，电压虚部完全一样；对于i e e e l 4 节点系统，电压幅值偏差小于 0 0 0 0 0 1 ，在误差允许范围内相同，由于是在直角坐标系得到的结果，转化成相角 时有个换算，电压相角相差的较大，但最大不超过0 0 0 1 ，在误差允许范围内，这 证明程序是正确的。 1 5 华北电力大学硕士学位论文 第四章最优乘子法的应用及改选 4 1 最优乘子法原理 岩本伸一等提出的直角坐标系下的最优乘子方法，被认为是比较成功的病态 潮流算法，这种方法在数学上被称作阻尼牛顿法，在极坐标情况下，由于潮流方程 的泰勒展开具有高次项，使得最优乘子法的运用存在一定的困难“”。 所谓的最优乘子法，就是在第k 次迭代求得状态变量的修正量缸( ”之后，不直 接用出( 4 去修正x ( “，而是乘以一个标量乘子后再去修正，即用 z ( = x ( ”+ 血( 作为k + 1 次迭代的初值。p 的选取要满足准则 ( 4 1 ) 哮陋”+ 肚”1 ) _ f 2 ( 4 _ 2 ) 就是要使潮流的误差方程的平方和取最小值。这在某种程度上限制了对r p 的修正， 避免产生过修正或者欠修正，保证了潮流算法决不会发散。 这里所谓的绝不发散是指如果“取零值比“取任何其他值使得目标函数的值为 小，则p 就取零值，这时不对x 作任何修正，从而保证潮流计算过程绝不发散。 如果潮流方程有解，则随着迭代的进行目标函数逐渐减小，最后达到零值( 某 一很小的正数) ，如果潮流无解，随着迭代的进行，”值越来越小，p 最后达到零值， 而目标函数无论如何也不下降，保持在一个正的有限值上。此时的x ，可以认为是 潮流方程的最小二乘解。所以最优乘子也是系统病态程度的一个标志，对于正常系 统，最优乘子的数值一般在l 左右。 4 2 在非线性潮流算法中最优乘子的求解 4 2 ，1 在非线性潮流算法中最优乘子的求解原理 本文采用的是非线性的牛顿拉夫逊潮流计算方法，潮流方程可以如下表示 本文采用的是非线性的牛顿拉夫逊潮流计算方法，潮流方程可以如下表示 y ”= y ( x o ) 4 - j a x + y ( 纽) ( 1 6 4 - 3 ) 华北电力大学硕士学位论文 由此，可以得到其迭代计算公式 a m x c k l + 1 ”2 ( y s p - y ( x o ) 一y ( z x x k ) ) ( 4 - 4 ) a x ( + 1 ) = z + x ( t m ) 对于支路有功无功潮流计算式，它们是不含一次项的二次代数方程式，因为 y ( x ) 是不含一次项的二次函数，故它有如下性质，即 y ( ，优) = 2 y ( x )( 4 - 5 ) 式中p 是标量。利用直角坐标系潮流方程的这一性质可以使最优乘子法的公式简化。 则当血前乘一个标量乘子“时有： ，( 肛缸) = y ”- y ( x o ) 一拙一y ( u a x ) = y ”一y ( x o ) 一j a x , u y ( a x ) 9 2 ( 4 6 ) 令 a = y 。一y ( x o 、 6 = 一j a x ( 4 7 ) c = 一y ( x ) 我们知道在牛顿拉夫逊算法中修正量 f 是通过三角分解雅可比矩阵j 得到的， 它们满足如下公式： tax=y”一y(xo)(4-8) 所以为了不增加计算量，一般采取如下方法得到b ，即令 b = 一口 ( 4 - 9 ) 那么，由第三章的式( 3 - 9 ) 和式( 3 1 0 ) 可得a ，b ，c 三个参数可由两式的中 间结果，所以程序不需要增加任何计算量，直接可以得到。 最终求最优乘子u 转化为求下面的优化问题的解： 呼i i 厂( 肚圳：2 四n ”b , u + c 2i ： ( 4 1 0 ) 令关于乘子扯的标量函数为 砌) = 三( 口+ b j + 掣2 九口b + 掣2 ) ( 4 - 1 1 ) 对乘子“取偏导并令其为零 霉盟：0( 4 1 2 ) 17 华北电力大学硕士学位论文 那么，可得一元三次方程： g o + g l + 9 2 2 + 9 3 3 = 0 其中 g o = a r b 9 1 = b r b + 2 a 7 c 9 2 = 3 b 7 c 9 3 = 2 c 7 c 很容易由上面的元三次方程求出最优乘子u 。 则迭代公式变为 a x “1 = ，一1 ( y 即一y ( x o ) 一_ y ( x 。1 ) x ( = + 弘缸( 4 2 2 关于最优乘子方程的求解 ( 4 1 3 ) ( 4 - 1 4 ) ( 4 1 5 ) 在正常系统中，最优乘子的数值一般在1 左右“。如果潮流无解，随着迭代的 图4 一l 二分法解三次方程的流程图 进行，最优乘子的数值越来越小，最后达到零值。根据这一特点，在求解最优乘子 时可以在某一界定范围内求取最优乘子。本文在求解式( 4 - 1 3 ) 的方程时采用二 分法在0 到2 之间求解。求解流程如图4 一l 。 1 8 华北电力大学硕士学位论文 本文还在程序中采用了公式法直接求解方程( 4 - 13 ) ，结果发现在某些情况下， 方程( 4 1 3 ) 有三个实数解，但是满足条件的解都在o 到2 之间，而且在某些情 况下，方程( 4 1 3 ) 只有一个负根，但是用二分法求解的话，就会停留在0 。所以 本文采用了二分法求解方程。 4 3 程序中最优乘子的应用 非线性牛顿拉夫逊法可以采用定雅可比矩阵和变雅可比矩阵两种方式进行运算，其 中变雅可比矩阵方式具有二阶收敛性，而定雅可比矩阵方式是一阶收敛的，所以对相同 的系统，在都收敛的前提下，定雅可比矩阵方式运行时，迭代的次数理论上说会比变雅 可比矩阵多，但是由于少了每次迭代重新形成雅可比矩阵和重新因子表分解的计算量， 速度上不一定会慢。下面首先比较最优乘予在两种计算方式下的作用，然后再比较两种 计算方式的效率。 4 3 1 最优乘子在定雅可比矩阵非线性牛顿拉夫逊法中的作用 为了说明和显示最优乘子的作用，需要通过比较程序中加入最优乘子计算流程和不 加入时收敛性和收敛速度的不同，下面通过比较迭代次数和计算时间两项来说明最优乘 子的作用，计算机配置情况见附录一，后面的测试都是在相同的环境中测试的，分别运 行相应程序得到如下结果( 收敛精度0 0 0 1 ，时间单位秒) ： 表4 - 1 最优乘子作用的比较( 1 ) i e e e l 4 系统i e e e l l 8 系统 实际兰州3 6 4 节点系统实际兰州3 7 5 节点系统 迭代次数用时迭代次数用时迭代次数用时迭代次数用时 最优乘子 5o 0 16o 1 1 51 0 0 6 2 51 50 7 3 无最优乘子 5o 0 170 1 l1 20 6 4 不收敛 其中，兰州3 6 4 节点系统和兰卅3 7 5 节点系统是是调度智能决策系统在兰州地区 电网在线运行时记录的两个数据断面，兰州3 6 4 节点系统包括5 6 个发电机节点，3 0 台 双绕组变压器，5 2 台三绕组变压器，包括变压器支路在内共计4 1 1 条支路，总的负荷 为2 2 7 7 7 5 8 + j 1 0 2 9 8 8 3 m v a ；兰州3 7 5 节点系统包括5 6 个发电机节点，3 3 台双绕组变 压器，5 4 台三绕组变压器，包括变压器支路在内共计4 1 4 条支路，总的负荷为2 8 0 3 7 2 9 + j11 4 9 7 6 8 m v a 。 由表4 1 可以看出：对于节点少的i e e e l 4 系统，最优乘子的作用不是很明显，但 1 9 华北电力大学硕士学位论文 是节点数越多，最优乘子的作用就越明显，而且最优乘子不仅对病态潮流有改善收敛性 的作用，对于正常的系统也有加快收敛速度的作用。 4 3 2 最优乘子在变雅可比矩阵非线性牛顿拉夫逊法中的作用 同上，为了说明和显示最优乘子的作用，比较变定雅可比矩阵算法下加入最优 乘子计算流程和不加入时收敛性和收敛速度