相似常见题型.doc

_图形的相似模块一 成比例线段1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段，的长度分别为，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即：。其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么，或.2. 比例的性质：基本性质： 反比性质：更比性质: 合比性质：分比性质： 合分比性质： 等比性质： （其中k为正整数，且b1b2b3bk0）1. 若 ，则 ;2.已知 ，则 .4. 已知，则下列等式成立的是( ) ABCD2. 已知a，b，c为非零的整数，求k的值.已知，则 .模块二 三角形相似的判定1.两角分别相等的两三角形相似如图，在ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DEBC，EFAB。若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为 .2.如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，CEAB于E。求证：ABDCBE.3.如图，点在等边的边上，为等边三角形，与交于点.证明：.除了外，请写出图中其他所有相似的三角形.4.如图，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ。（1）若BPQ与ABC相似，求t的值。（2）连接AQ，CP，若AQCP，求t的值。（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上。如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，AD垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证ABFCAF如图，已知ABBD，CDBD。（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由。（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长。（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长。（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置（1）求证：BEFCDF；（2）求CF的长2.两边成比例且夹角相等的两三角形相似1.如图，若给出下列条件：（1）B=ACD；（2）ADC=ACB；（3） ；（4）。其中能独立判定ABCACD的条件有（）。A: 4个 B: 3个C: 2个 D: 1个2.如图所示,两对角线AC,BD相交于O点,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形,若OA:OC=OB:OD=1:2,则此四个三角形的关系,下列说法中,正确的是()A.甲、丙相似,乙、丁相似 B.甲、丙相似,乙、丁不相似C.甲、丙不相似,乙、丁相似 D.甲、丙不相似,乙、丁不相似3.已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.4.已知,如图,求证: .如图，和为等边三角形，、分别为两个等边三角形的高，求证：如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AED=B。射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且。（1）求证：ADF ACG 。（2）若，求的值。如图,ACB为等腰直角三角形,点D为斜边AB上一点,连CD,DECD,DE=CD.连AE.求证:（1）ACFEDF;（2）AFECFD;（3）AEBC;（4）ACEOCD如图，在ABC中，B90，点D，E在BC上，且ABBDDEEC求证：（1）ADECDA；（2）ADBAEBACB90如图,A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上.(1)判断PBA与ABC是否相似,并说明理由;(2)求BAC的度数;(3)在线段BC所经过的格点上是否存在一点Q(点P除外),使得以A、C、Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请标出点Q的位置,并证明;若不存在,请说明理由.已知：点C、A、D在同一条直线上，ABC=ADE=，线段BD、CE交于点M（1）如图1，若AB=AC，AD=AE问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；求BMC的大小（用表示）；（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为(_)，BMC=(_)（用表示）；（3）在（2）的条件下，把ABC绕点A逆时针旋转180，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M则BMC=(_)（用表示）3.三边成比例的两三角形相似如图,四个44的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1),每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上),是相似三角形的为()A.(1)(3) B.(1)(2) C.(2)(3) D.(2)(4)4.如图，点的坐标分别是，以为顶点的三角形与相似，你能找出几个点总结二、相似的基本图形【模型一】金字塔模型【模型二】8字或X字型模型【模型三】双垂直模型【模型四】一线三等角【模型五】旋转型模块三 利用相似三角形测高1.兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为 米. 2.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米。已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）。A:（6+）米B:12米C:（4-）米D:10米3.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD.（结果精确到0.1m）4.小红家的阳台上放置了一个晒衣架.如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm.求垂挂在衣架上的衣物的总长度小于多少时，才不会拖落到地面上？模块四 相似三角形的基本题型根据相似求线段长如图，已知ABC，DCE，FEG，HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1。连接AI，交FG于点Q，则QI=_。已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC,CD上的点,且EFBD,AE、AF分别交BD与点G和点H,BD=12,EF=8.求:(1) 的值;(2)线段GH的长.在矩形ABCD中，点E是BC边的中点，点F，G分别在AB，CD上，且FEG=90，若BF=1，CG=3，试求FG的长。如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的长如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，垂足为，若，则线段的长为 . 如图，在菱形中，,相交于点（1）求边的长；（2）如图，将一个足够大的直角三角板角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板角的两边分别与边，相交于点连接与相交于点判断是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中，当点为边的四等分点时，求的长已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，求如图，在矩形纸片中，点是中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点与点重合，如图，折痕为，连接、；则 ；第二次折叠纸片使点与点重合，如图，点落到处，折痕为，连接，则= .如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于两点若，则线段的长为 .求线段的比值如图,在ABC中,E,F是边BC上的两个三等分点,D是AC的中点,BD分别交AE,AF,AC于P,Q,D,求（1）BP:PQ:QD（2）AP:AE（3）AQ:FQ在ABC中，AD：BD=1：1，AE：CE=1：2，BE与CD交于点P，则BP：PE=（ ）如图，在ABC中，点D为AC上一点，且CD:AD=1：2，过点D作DEBC交AB于点E，连接CE，过点D作DFCE交AB于点F。若AB=15，则EF=_。如图,AD为ABC的中线,BE交AC于点F,DHBF,则= .如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC, A=36 ,BD平分ABC.（1）ABC和BCD相似吗？（2）证明（3）求AD:AC（4）若以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长;(2)求证: ;(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?如图,在矩形ABCD中,点E为AD的中点,将ABE沿BE折叠后得到GBE,点G恰好在矩形ABCD的对角线AC上,延长BG交CD于F,连接EF.求的值.如图，在ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且 ，DGAB，求证：AD=EB。找相似三角形的组数如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）。A:2对 B:3对C:4对 D:5对如图,在ABC中,CEAB于点E,BFAC于点F,则图中相似三角形共有()A. 5对 B.6对C.7对 D.8对如图，已知ABC中，EFGHIJBC，则图中相似三角形共有_对如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果45，AB4，AF3，求FG的长相似三角形的性质在ABC，ED交AB于E，交AC于D，且ABC的面积与ADE的面积差是64cm2，求ABC和ADE的面积.若ABC的周长与ADE的周长差是16，求ABC和ADE的周长.如图，在中，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连接.（1）求证：.（2）若四边形的面积为，的面积.如图，矩形内接于，且边落在上.若，那么的长为 .【变式】如图，是一张锐角三角形的硬纸片.是边上的高,.从这张硬纸片剪下一个长是宽的倍的矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为.求证：.求这个矩形的周长.如图:已知中,点在上(与不重合), 在上.当的周长是周长的一半时,求的长.当的周长与四边形的周长相等时,求的长.试问:在上是否存在点,使得为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出的长. 如图,小红作出了边长为的第个正,算出了正的面积,然后分别取三边的中点,作出了第个正,算出了正的面积,用同样的方法,作出了第个正,算出了正的面积,由此可得,第个正的面积是 .相似三角形解决折叠问题如图在RtABC中, C=90,翻折C使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上).(1)若CEF与ABC相似,当AC=BC=2时,AD的长为.AC=3,BC=4时,AD的长为(2)当点D是AB的中点时,CEF与ABC相似吗?请说明理由.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B、F、C为顶点的三角形与ABC相似,那么BF的长度是巧用中点构造相似三角形1.三点定形法如图， ABC中，点D在线段BC上，且 ABC DBA，则下列结论一定正确的是（ ）A、 B、C、 D、1.如图，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分别为M、N，(1)求证：AMBAND；(2)求证：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且BACBDCDAE求证：BEADCDAE2.如图2517，在RtABC中有正方形DEFG，且E，F在斜边BC上，D，G分别在AB，AC上，求证： =BEFC四边形为正方形，是对角线，平分交于点，交于为延长线上一点，且 求证： 求证：.3.如图,已知CE是RtABC斜边AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,BGAP垂足为G,交CE于D,求证: .如图所示，已知E为 ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F求证：（1）ABOCEO（2）BO2OFOE如图，在ABC中，已知CAB90，ADBC，AEEC，延长ED交AB的延长线于F求证：AB:AC=DF:FA.如图，在中，平分交于点，过点作交于点 求证：； 如果求的长如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.(1)求证: ADP=EPB;(2)求CBE的度数;(3)当的值等于多少时, PFD BFP并说明理由.4.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.求证：（1）AG=CG；