几何证明中的最大值问题.doc

_几何证明中的最大值问题1、一根长2a的木棍（AB）、斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行 请判断木棍滑动过程中，点P到点O的距离是否变化？并简述理由在木棍滑动过程中，当滑动到什么位置时ABO的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值由开始若OAB=30，当下滑到ABO的面积最大时，问AB的中点P所经过的路程是多少？ANPOBM2、2012南充 在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由3、2012德州、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由4、2012广州 如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E， 设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的说明理由 2、答案、试题分析：（1）连接OM，由RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点可得OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=45 ，即得PMA=OMB，则可证得PMAOMB，问题得证；（2）根据全等三角形的性质可得PA=OB，则OA+OB=OA+PA=OP=4，令OA=x，AB=y，根据勾股定理可得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88，再根据二次函数的性质即可作出判断.（1）连接OMRtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=45PMA+AMO=OMB+AMOPMA=OMB，PMAOMBMA=MB；（2）AOB的周长存在最小值理由是: PMAOMBPA=OB，OA+OB=OA+PA=OP=4令OA=x，AB=y则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88当x=2时y2有最小值=8从而y2所以AOB的周长存在最小值为4+2点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.3、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解：（1）如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）PHD的周长不变为定值8证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBPAP=QP，AB=BQ又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQHCH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABPA=EMF=90，EFMBPAEM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2解得，又四边形PEFG与四边形BEFC全等，即：配方得，当x=2时，S有最小值6如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的值值 解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=5；（2）存在k=3，使得EFD=kAEF理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，F为AD的中点，AF=FD，在平行四边形ABCD中，ABCD，G=DCF，在AFG和CFD中，AFGCFD（AAS），CF=GF，AG=CD，CEAB，EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），AEF=G，AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AD=BC=5，AG=AF，AFG=G，在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG（对顶角相等），CFD=AEF，EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF；设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2，在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x，CF=GF（中已证），CF2=（CG）2=CF2=（20020x）=505x，CE2CF2