（基础数学专业论文）关于一些算术函数的均值估计(1).pdf

恋北大学颧学位论文 摘要 众鹱瘸窳，歉l i 猷爨数妒( 枯) 、s 鞴村d 8 娩e 爱数激及r i e 娃l a 蕴珏z 截8 丞数 在数论研究中占有十分重要的地位，从而搦示妒( 札) 、8 n l 盯籼d a c h e 可莱函数 及e h l n n e 饥函数之间的内在联系其有很箍要的意义。 本文研究了一些算术函数酾均壤信计闯磁，获褥了一些均俊定理。主要袋 票氛援以下几个方甏： ， 一、致1 i h 照数妒( 钍) 与s m 船鑫n d 如e 可粱函数s ；( 椎j 在初等数谚的磺究中 具肖很蓬要的地位。通过详细的分析论_ i 难，探讨了e 1 l l e r 函数妒( n ) 与s m a r a n 。 d a 越撼可乘丽数曼( 铭) 之闻的关系，磷究了方程妒( n ) 一岛( 傩) 酶爵簿性，并得 到了它的所霄东整数解。 = 、r i e 枉i 猢娟e t 缸函数是数谚研究中个不可缺少的瞒数。本文利 用8 蝻a r 鼬( 1 a c h e 可椠蕊数姥槛质撩游了r 建1 a n n 瑞e t a 函数与s n l 射a n d a c 1 e 函数之间的篾系，并得到了它们之间的一个熏要恒等式。 三、磷究了正整数豹三舞数熬分剩余滓弼，遮翔初等的方法褥爨了溅 数8 ( n ) 帮混合涵数蠢( 8 n ) ) 抟菲霉蠢趣鼹澎邋公式 关键词：e l 妇丞数妒( n ) ；s 黼射d h e 霹藜涵数；魏i e m 鼢建z e t & - 涵数；方 程；穗覆；灏i 蓬公式； a b s 毫r a e 乇( 英文摘要) i t j sw e l lk n o w nt h a tt h ee u l e rf l l n c t i o n s n l a “t n d a c h eh l n c t i o na n dt h e 王畦懿1 8 瓤n 一譬e 魄蠢搬或i o n 王) 1 8 y 疆v e r yi 魏3 p o r t 敞强i n 毫圭撼s t 王d yo fn l m b 猷濂8 0 r y t h 盯e f o r e ，i th 黼g r e a ts 培n i 丘c a n c et or e 悄献t h ei n l l e r e n tr e l a 土i o na m o n gt h ee u l e r 盎l b c t i 婚。t h es n 、a 茁a n d h eh l n c 乇i o n8 n dt b er i e m 黼n z e t & h l n c t i o n nt h i sd i s 8 e r t a 土i o 敕 w es t u d yt h en l e a nv a h l ep r o b l e n lo fs o m ei n l p o r t a n t ar i t h n l e t i c a l 1 n c t i o n t h en 】a i na c h i e v e n l e n t s n t a i n e di nt h i sd i 8 s e r t a t i o na r e 矗s 赫l l o w s ： 1 e 1 1 k rf l m c t i o n 妒( 礼) a n d8 n l a r a n d a c h en l u l t i p l i c a t i v ef l m c t i o ns 1 ( 忆) h a v e v e r yi 搬l p o r t 肚1 tp o s i t i o ni nt h e8 t l 】d yo fn u m b e r 剞o r y w e8 t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e 埠瞧ee i l e r 蠡瑾e t i o n ( 托) a n dt 沁s m 船a 赶d 赫l em l i l t i p l i c a t i v ef 1 1 n c t i o n 岛( 咒) ，f o l l n dt h ee q l l a t i o n 妒( 恺) = 毋) ，雒l do b t a i ni t 88 i lp o s i t i v ei n t e g e rs o l l l t i o n s 2 r i e m 黜一z e t a & n e t i o ni se s s e n t i 藏l nt 把s t u d yo f 搬i 珏南e rt 圭l e o r y ti nt h i s d i s 8 e r t 舭i o n ，u s i n gt h ep r o p e r t yo fs m a r a n d a _ c h em l l l t i p l i c a t i v e l n c t i o n 研) ，w e d i s c u s st h er e l a 上i o nb e t w e e nr i e m a n n z e t an l n c t i o na n d8 n l a r a n d 拄c h en n l l t i d l i c a t i v e 鑫l n e t i o n & ( 豇) ，a 嚣( 重o b t 蠢n8 。m ei m p o t 甜建i d e 鞋t i y 蠢b 戳l 毛确e m 。 3 i nt h i 8p 印e r ，1 1 8 i n ge l e m e n t 射ym e 拙o d lw es t l l d yt h en l e a nv a l l l ep r o p e r t i e s 硝t h et n 冁零1 1 8 rn t 趣l b e r sp a r tr e s i d l 王es e 嘤l e n c e & 娃c 王o b t 瓤n 褪i n 诧r e s i n g 1 8 y m p o t i cf o m m l af o rf i l n c t i o nd 加) a n dd ( n 扣) ) k e y w o r d s ： e l l l e r l n c t o n 铲( 豇) ； s n l a f a n d a e h e m l l l t i p l i c 触i v e n l n c t i 。n ：r i g n l 柚nz e a + 矗h 1 e t i o n ：e q i 拽t i o n ； n l e a nv a l l e ；a s y m p t o t i cf 。r h l u i a 西北大学硕士学位论文 1 1 数论简介 第一章绪论 一般来说，一个学科分支的起源总是从对一些人们所关切的、感兴趣的重 要问题的研究开始的：当形成了特有的研究对象、特有的研究方法。以及较为 系统的基本理论和成果时，一门新学科就诞生了。有的学科是侧重于以研究对 象来划分，有的则侧重于以研究方法来划分。 1 ，2 ，3 这些简单的正整数，从日常生活以至尖端科学技术都是离不开 的。其它的数字，如负数，有理数等等，则都是以正整数为基础定义出来的。 所以研究正整数的规律非常重要。在数学中，研究数的规律，特别是研究整数 的性质的数学，叫做“数论”。数论与几何学一样，是最古老的数学分支。古 希腊人和中国古人等很早就有了数论知识。例如中国古人在公元前1 l 世纪就知 道一组勾股数：公元前4 世纪的欧几里得就把自然数分成1 ，素数和复合数。 虽然现在属于数论范围的许多著名问题在很早就开始研究，得到了十分丰 富的成果，但奇怪的是，数论作为一门独立的数学分支出现却是迟至十九世 纪初的事。人们公认高斯( c f g a l l s s ) 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究 ( d i 8 q u i 8 i t i o n e sa r i t h m e t i c a e ) 是数论作为一门独立学科诞生的标志。数论 最基本的特有的研究方法就是高斯在这一天才著作中所创立的同余理论。 数论是最古老的数学分支，又是始终活跃着的前沿数学领域：数论是晟典 型的纯粹数学，它又是日益得到广泛直接应用的新“应用数学”分支。 1 2 数论的分支 数论可按采用的方法不同而分成不同的分支理论。 f 1 ) 初等数论 初等数论是数论中以算术方法为主要研究方法的一个分支，是研究整数最 基本的性质，是数论的最古老的分支。在各文明古国的古代文化中都肴着若干 初等数论内容，如关于勾股数的知识。 整除理论是初等数论的基础，它是在带余数除法的基础上建立起来的；整 除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论；同余理论是初等数论的 核心，它是数论所特有的思想，概念与方法；求解不定方程是推进数论发展的 最主要课题。 近代初等数论的发展得益于费马，欧拉，拉格朗日，勒让德和高斯等人的 工作。1 6 4 0 年，费马提出一个他未给出证明的命题：如果p 是素数，那么对 于任何整数n ，扩一n 都是p 的倍数，此即费马小定理。欧拉在1 7 3 6 年证明 了它。1 7 6 0 年，欧拉把这一定理推广到复合数的情况。1 7 2 2 年，拉格朗日证 明了费马提出的另一个定理：每一个正整数都能够表成四个整数的平方和形 式。1 7 9 8 年，勒让德的第一部数论教科书出版。】8 0 1 年，高斯的名著算术研 鲔一章绪论 究问世，在书中，他证明了= 次互反律，原根存在的充要条件等著名结果。 这些工作奠定了初等数论的基础，使之走上独立发展的道路。二次互反律在数 论史上起了重要的作用。 初等数论中某些问题的研究，促使形成新的数学分支，如不定方程和高次 互反律的研究，促进了代数数论和类域论的形成和发展。采用其他数学方法研 究初等数论问题有时也产生新的数论分支，如数的几何和解析数论的形成和发 展。初等数论中包括着一些至今尚未解决的著名难题，如梅森数问题，完全数 问题等；同时还不断产生着新的问题，如以1 为首位数字的自然数占所有自然 数的比例的问题( 纽科姆于2 0 世纪初提出的) 。对这两类问题的研究促进了初 等数论的不断发展。初等数论是作为一门纯粹数学发展起来的，但近年来，初 等数论在计算机科学，组合数学，代数编码，密码学，计算方法等领域内得到 广泛的应用。这无疑从另一个角度促进着初等数论的发展。 ( 2 ) 解析数论 数论中采用分析方法研究数的性质的分支叫做解析数论。通常 把g f b r i e m a n n 于1 8 5 9 年发表的著名论文论不大于个给定值的素数 的个数( u b e rd i ea n z a h id e rp r i m z a h l e n1 m t e re i n e rg e g e b e n e ng r o s s e ) 看作 是解析数论作为数论的一个分支开始形成的主要标志。 在数论研究中采用分析方法起源于欧拉的年代。欧拉用分析方法证明了欧 拉恒等式： o 。 ( 1 一j ，“) = n ， 口r l = l 由此给出“素数有无穷多个”的一个新证明。这个恒等式本身则被认为是算术 基本定理的解析等价形式。1 8 3 7 年，狄利克雷用分析方法解决了首项与公差互 素的算术级数中有无穷多个素数的问题，1 8 3 9 年又用分析方法推证出二次域的 类数公式。可以说，狄利克雷奠定了解析数论的基础。1 8 5 9 年，黎曼定义复变 函数( ( s ) = fn 一，即欧拉恒等式右边的级数，不过把s 看作复变数，他认为 二_ l 素数的性质可以通过复变函甄( ( s ) 来探讨，并且对复变函数( ( s ) 进行了深刻的 研究，取得许多重要结果。后来，人们就把( ( s ) 称为黎曼( 函数。由此，研究 素数分布的关键在于研究e ( s ) 的性质，特别是其零点性质。这样就把复变函数 论的思想和方法应用于数论研究，开创了解析数论的新时代。黎曼还提出这样 一个猜想：e 0 ) 的所有复零点都在直线仇( s ) = 上。这就是黎曼猜想，是至 今没有解决的最著名的数学问题之一。对它进行的研究推动了解析数论和代数 数论的发展。1 8 9 6 年，阿达马与瓦莱普桑按黎曼指出的方向，用整函数理论， 同时证明了素数定理，从此解析数论得到迅速的发展。 总之，解析数论起源于对素数分布问题的研究，在对各种堆垒数论问题的 研究中得到发展。其主要领域有素数分布，黎曼e 函数，狄利克雷除数函数， 堆垒数论，格点问题和解析数论方法等。1 9 0 9 年，德国数学家兰道发表素数 分布论讲义，首次系统阐述了解析数论的内容。 2 蕊北太学顽学使论文 解析数论本身是在和其它学科互相渗透的过程中逐步发展起来的，从历史 和逐年来载发爱趋势蓬，豢麴分辑，代数，辍及死露方法必将不颧被g 进寒继 续搬动解析数论向前发展而这些学科的方法与结果的价值也将在其推动数论 问题的解决所取得的进展中褥到检验。所以，解析数论始终熄一门具肖强大生 命力帮光辉翁景静垂溪擎辩+ ( 3 ) 数的几何 数鲮凡键又豫几键数论，是应照几舞方法疆究菜皴数论阏题的一个数论分 支。用几何方法研究数论闯趱缘起予拉格朗躺和高斯簿人以几何观点研究二次 型的算术性质的工作。为了抱狄利克雷和埃尔米特所建立的兹番图逼近的解卡斤 理论进行筵诧，阕辩夹蘩基程l 整缎寒把播秘集等凡释概念葶| 入数论。l 鹅1 年，他发表了这方面的第一篇论文。1 8 9 6 年出版了这方面的第一本著作，书名 就目q 数的几俺。从此，数豹几俺成了数谂的一个独立的分支，井槎丢番图 逼近羊西代数数论研究中得到广泛的应耀。 ( 4 ) 代数数论 代数数论是数论熬一个爨要分支，它班 弋羧整数，或誊找数数域为疆究对 象。不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因此，代数数 论怒熬数研究豹一个盘然的发震。代数数论的发展也搬动了代数学的发展。 代数数论主要熬潆予辩鼹马猜憨的研究，另井，离薪关于二次域酾磺究戆 代数数论的粥一个黧簧起源。代数数论也是溺跃的数学前沿理论。一方面是对 一璺吉羹翊熬褥塞糍黪结果；贯一方嚣裁是攀叛聂鼹耨的研究领域。代数数谂 的一大特点魑：不仅由它可解决一系列整数娥律问鼷，而且它的成蓉几乎可隧 用到每一个数学领域中。 ( 5 ) 超麓数论 如果一个复数是莱个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代 数数。不是代数数韵复数，叫擞超越数。 划维尔评刨了对超越数的研究，他于1 8 4 4 年戳构造性方法证明了遴越数的 存在。他采用了构造性方法，实际地构造出越越数。1 8 3 7 年埃尔米特证明了e 是麓越数，1 8 8 2 年抟德蔓证翡了7 f 怒超越数，麸两餐决了砉簿鹱戆“纯圈受方 问题”。由此开拓了超越数论这一领域。 超越数论是数学中最活跃的前器理论之一。其最新的发雕已采用了交换代 数，代数几僻学，多复交函数理论及上蔺调瑾论等方法。诲多著名阉透，铡 如，沙鲁尔猜想：糟复数乳已，矗在0 上线性无关，则由1 ，矗，西1 ，e 靠 在q 土生藏瓣域豹麓越次数至少荧n ，又其褥摄关予e 露目鹣钱数无关性( 受 “简单”的e + f 的超越性) ，以及欧拉常数 = l i n l ( 1 十i 十十i l n 札) 的超越性的猜测，至今都来勰决。 ( 6 ) 罐垒数论 堆垒数论又称加性数论，是关于“加性阀题”的一个数论分支。它研究的 典黧润露是：设楚全塔 受整数熟榘舍，a i ，a 2 ，也是魏有限个或可数 个子集，试判定对中的每个n ，方程n o l + d 2 + - - 十b 。是蓊可解或获 3 笼一鼙绪论 解数r ( n ) ，其中q 山( 1sj 8 ) 。这类问题与整数榘台的加法性质有关t 堆 垒数论豹蜃变毽攫吉纛，费骂等人鼗开始了罐垒数论豹菜些礴褒。 1 3 数论的应用及数论在数学中的地位 数论有 十么角鲶昵? 谁键不会怀艇，许多数学分支之骄苏存在，皮该绉功 于“现实世界”提出的问题，例如物理学，工程技术肄提出的问题。熟知的例 子鸯激积努，还毒天俸力学中霉要豹微分方纛理论，以及流毒誊力学中必不可少 的偏微分方程，等等。但是，数论怎么样呢? 有一点是确凿无疑的，就是赞 马，欧拉，控格朗目，勒让达，高斯等都是出自数论内在的趣味及其特有的美 丽研究入类知识鹩这一领域戆，毽稍确实毫不在乎健稍都璺饶美酌定壤是否会 有什么“有用的”应用。 耀羞数攀的深入发展，强有力的数学工具渗透至数论的磺究中去，由于数 论问题的简单明了，往往会弹致研究深化。由j 毙产生的概念，结采与方法对蕻 他数学领域的影响也日见明鼹。1 9 0 0 年，希尔伯特在鹅二届潮际数学大会的蒋 名按告中，戳“三髂闻题”与“费马闯器”终建秘予来说明一个妻子黝润题怼予 推动数学发服的作用。 因此，数论不是数学的一个孤立分支，逡一观点也成为共识。其次，数论 是研究整数髋箨的数学分支，它的概念与结鬃是摘成摘蒙数学静概念每方法爵馨 背景之一，_ i l 霜且也最促进数学发展的内部源泉之一。 鼗论除了上述溪令凌糍羚，还毒受壹揍鲤“应攫”，摇：密玛润题、近似 分析中的数论方法和信号处煺等。一 现代密玛技术的应用己不再局限于军事、外交等传统密码的应用部门，它 己遵入金融、商韭、政务等缀多幸主会领骧，与老百熬静鑫鬻生活发生密甥莛 系。目前世界上几乎所有其肖实用价值的公镅密码体制，基本上都怒基于三种 数谚难题：熬数分熬、褰教黠数以及横毽麴线上豹离敬对数。也就是说，事实 上怒将密码的加密、解密、破译等问题与数论难题的求解联蓉在一块了。密弼 难破译是因为数论问题难解。因此，在这里，不仅数论本身的理论与方法有实 螽价毽，就楚鼗论黧静难舔 亟秀瑗安生活携供了反鬻翡场联。也诲歪因袭擞 此，国际数学大师陈省身先生才会主张把数论作为一门应用数学学科。 伪蓑特卡罗方法( n t m ) 就是数论和近似分析交叉熬产物 3 5 。g 8 表示s 维肇位立方体，刚镀用n t m 可阻得到伊上的均匀离散点寨，可蔽谣猬这个蠢 集谯w j y l 潦义下偏差较小，在许多统计问鼷中可以用来代替随机数，所以通 豢称为氆建糗数集会藏誊数论舔辏f n 室舞或磐卿n e t ) 。习豁躅来避叛诗算多 重积分、求解最优化问题或者进行均匀设计。王元和方开泰谯这些方箍做出了 重要的贡献。 在信号簸理中，卷积魁嶷常觅的运算之，而循环卷积楚其中簸萋奉茕。 循环卷积的快速计算一直是应用数学中研究的热点。总体上说有两类算法，一 类冀法是逶过抉逮撼里砖交换( f f 霉) 来访算循环卷积；另外一转是慕囊数逾 变换( n 1 l n l b e rt h e o r yt r a n s f o r m ，n 科) 。利用数论交换计算循环卷积的基本膊 4 嚣丈拳顿学袋论文 想悬：( a ) 循环卷积的表达式可以看作是多项戏乘积的系数的计算式，从而将循 环卷积变成了一卞多璜式静聚积褥繇；涵 多壤式霹珏壤耀接俊计冀密来，绘楚 两个多项式，计算落们在节点上的假，对应相乘就得到多项溅乘积夜节点上的 埴。予是，潮题又转化为计算多项式在某些点的埴；( c ) 数论上有一个结果：多 项式尸( ) 程o o 的德等于p ( ) 与汹一跏) 骰多项式除法的余数：( d ) 为了避惫 多项式的次数太高，只直接计算次数较低的循环卷积，将更高次的循环卷积转 纯炎多令纛次耱矮环卷狡。幽藏裁产生了计簿覆拜卷袄夔数论变按雾法。剩爝 数论中的有关结果，这种算法取得了很多有用的结果，得到的很多算法已经做 成了硬件。 数论应糟在遥咒十年来鹃发震，改变了传统对数论的饕法，落缓交7 鳓 年代对数论功能的认识，1 9 9 0 年，格莱姆在科罗拉多( 波尔多) 大学次公开 演谫中宝稼：理在，数釜是簸毒蠲懿数学分支。 高斯把数论置于科学之巅，他撼数论描述成“座仓库，贮藏着用之不 尽，能引起人们兴趣的真理”。希尔伯特则把数论者成“一橡出奇她荚丽而又 和谐於大嚣”“它裔楚葶瓣基本定律，它纛直接了警豹橇念，它蠢纯正豹囊 理”。闵可失斯基比喻数论“以柔焚的旋捧来演奏强有力数论音乐”。总之， 数谂是“纯菠演自”的，蔫款有如下盘言： “数学怒科学的皇后，数论乃数学之皇藤”。 从数学在科学技术中与数论在数学中的广泛联系与它的蒸础性质这个意义 上寨说，藩耩静话对羧学与数论戆蟪搜痒窭了准确兹影象洼麴定义。 1 4 数论历史与课题意义 数论是数学的个分支，它研究整数的些往骥。正熬鼗跫人类的第一 个数学创造，假如人们没静计数的能力，那简直是粮难想象的。大约在公元 蘸8 0 0 年，黾臻8 9 r 瓣鞠毯熬 l 捷们鼹整数徽遭密悠的磅交，毯搦簸晕以各葶孛 方法对整数进行分类： 偶数：2 ，4 ，6 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ， 奇数：l ，3 ，5 ，7 ，9 ，l l ，1 3 ，1 5 ，1 7 ， 素数：2 ，3 ，5 ，7 ，1 l ，1 3 ，1 7 ，1 9 ，2 3 ，2 9 ，3 l ，3 7 ，4 1 ，4 3 ，4 7 ，5 3 ，5 9 ，8 1 ，6 7 ，7 i ，7 3 ， 7 9 ，8 3 ，8 9 ，9 7 ， 复合数；4 ，6 ，8 ，9 ，l o ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，l6 1 1 8 ，2 0 ， 素数是仪有约数l 和自身的大于1 的整数。除去1 既不是素数也不是复裔 羲激穸 ，不怒素鼗静整数戒凳复合数。 p y t h a g o r a s 还抱数与几何图形联系起来，他创建了多边形数的思想：三 燕彤数，正方形数，五边彤数，等等。另一个与几何图形的联系来自著名 的p y t h a g o r a s 定瑗( 我国称力勾股定理) ，它说明，在侄俺一个煮角三角澎 里，斜边长的平方媳两直角边长的平方和。p y t h a g o r a s 感兴趣的是边长都是熬 数鞠褒兔三燕形，遽梯熬壹燕兰囊形凌在藜必p y 疆域甜豁三建髟，瓣应鳇表示 边长的三个数( 髫，z ) 称为p y t h a g o r 躺三数组。而且p y t h a g o r a 8 第一个给出了 5 撼赣绪论 确定茺穷多簧三数缀的方法，髑现代的记母搿表述斑t 令钆熄经一丈予l 的奇数，弗令 髫：爹。；( 髓2 1 ) ，z ：( 张2 + 1 ) 髫= 爹一；( 髓2 1 ) ，z = ；( 张2 + 1 ) 遮襻产生酾三数鳃( ，阢# ) 始终蹙z 一# + l 滟p y 如锵o f 貅三数缀，下蓬 裔一些侧子 3 57 辖l l1 3l 螽t 7l 昏 41 22 4 锄8 41 1 2l 41 8 0 1 32 鑫碡l6 l8 51 1 31 4 51 8 l 。爨交鬓仡在某个整数簇合中墩值，围变鳖敬复数僚龄函数管一，( n ) ，这 瓣溢数称之为算零滋鼗，它 f 】在诲多数谂蠹霹熬豹疆究中起羲# 鬻爨戮豹俸嗣，尽 管缀多羹瓣簿零滋数的肇个敬毽彼往缀不缓期，然褥它们的垮餐，( n ) 帮体 b 2 蕊懑镶抒秘兢簿搜，溺露数论串对箨笨灞数栏凄静磺褒经攀爨蠢勰德意义下滋行 的 1 1 嘲觏， 算零涵数豹均俊绉计遐数谂尤其燕勰褥数论的骥罄研究谍题之一，是研究各 种数谂随骥举可缺少瓣工舆因丽谯遨一领域敬褥经辩实葳瞧避霞舔努将鼹麟聿厅 数论的发鼹起到熬鬻的攘潞侔隅 鼗夕 ，梦舄弼鼹皴谚专家s 嚣埘a n d 8 熊e 勰i 褒0 越yp b l s ，n 躐s o b t i o 璐一书中，提出了1 。5 个尚来鳃决的数论闯鼷，对其中昀一臻阀鞭避褥磺究， 势给戳一定程度上的解决。建有趣弦有一定的毽论意义的 菱予以上的簿渡+ 本文鹾究了遮舅瑟瓣凑容+ 劳获褥7 一系捌减菜+ 王5塞要内容和残暴 如翦所述，零义研究了骱i l e r 蕊数，s m 甜a n d a 穗e 邈数瞄殿戳e m a 凇z e t & 函 数豹一燕往瀵，势建立怒了窀髑之阕豹一黧关系，建立了方程，袋趱其熬。磋 变了珂黎黼数，德惠均信话诗。这蹙成聚主要豪瑷谯轻l l e r 溺数与s m 射黼d 赫e 弼乘甄数搿构戏豹方稷昀求麓问题；在特殊集合上鲍均馕估计间蹶；三角彤部 分剩余滋数序列阏题等三个方露，斑容分露镬第三黧攀美嚣其体说采，本文静主 要成果帮内容挪下： l ，歉l l e f 溪数妒蕊) 岛s 臻勰d a h e 掰豢羲数韪( 嚣) 残秘筹数谂豹舔筑中 共膏缀燕鼗的蛾镪。通道详细的分辑论谣，探讨了e t l 融溅数妒鲰) 与s n l 鲥a m d a 如e 可荣涵数受( 托) 之间静关系，研究了方程妒( 礼) 一最) 的珂瓣性，静得 戮了它的所宥蕊熬数解。 2 磁e m a n n 僦8 蕊数楚数论研究中一个不可缺少盼整饕王典。零文秘 耀s m 射d 8 c h e 黎飘数熬性餍攥讨了r i 蝌l a 飘n 黼a 溅数与s m 辅髓d 黼h e 蕊 数之闯的荧系，弗褥到了它们之阍鲍一个鬟爨馕麓戎。 6 西j 大学鞭士攀佼论文 3 ，研究了正整数的三熊数部分剩余序列，运用初等方法得嫩了黼数口( n ) 和 混合函数d ( 豇( n ) ) 静非常有趣的渐_ i 磁公式 7 第二章预备知识 第二章预备知识 积性函数及d i r i c h l e t 除数函数 首先给出积性( 完全积性) 函数的定义及其充要条件。 定义2 1 1设整数集合d 满足条件：若m ，礼d ，则m n d 。定义在 集合d 上的数论函数，( n ) 称为是积性函数，如果满足 ，( m 扎) = ，( m ) ，( n ) ，( m ，n ) = l ，m ，n d ( 2 1 ) ，( n ) 称为是完全积性函数，如果满足 ，( m n ) = ，( m ) ，( n ) ， m ，n d ；( 2 2 ) 定理2 1 1设，( n ) 是不恒为零的数论函数，n 1 时有标准分解式n 西1 霹r 那么，( n ) 是积性函数的充要条件是，( 1 ) = 1 及 ，( 礼) = ，( 衍1 ) ，( 霹7 ) ，( n ) 是完全积性的充要条件是，( 1 ) = 1 及 ( 2 3 ) ，( n ) = ，( m ) “，) “ ( 2 4 ) 证明：先证必要陛。由条件知必有，( n o ) o 。由式( 2 1 ) 得 o ，( n o ) = ，( 1 n o ) = ，( 1 ) ，( 礼o ) 这就推出，( 1 ) = 1 ，式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 分别由式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 推出。 下证充分性。当m ，n 中有一个等于1 时，不妨设m = l ，由，( 1 ) = 1 摧出式( 2 1 ) ( 2 2 ) 一定成立。当n 1 ，m l 时，设譬的素因数分解式 是q 。谬若式( 2 3 ) 成立，那么当( m ，n ) = 1 时，m n 的素因数分解式 是g 争裾西1 簖r 。由式( 2 3 ) 得 ，( m n ) = ，( 曾1 口乒p ? 1 - - p ；) = ，( 卯1 ) ，( 轷) ，( p ? 1 ) ，( 霹) = ，( m ) ，( n ) ， 即式( 2 1 ) 成立，所以，( n ) 是积性函数。若式( 2 4 ) 成立，假定p l = 9 1 ，一，a = q t ，以及当j t 时总有p j 吼，1 s ，和毋p t ，1 t r 这 样，m n 的素因数分解式是 衍- 帕p ? 卅如l 霹鼎1 p ； 8 西北大学硕士学位论文 由式( 2 4 ) 得 ，( m 扎) = ，1 ) m + 序- 、，( 砘) 。汁岛，( 仉+ i ) 卢“，( 乳) 凤，( 觑+ 1 ) 。件z ，( 肼) 。r = ，( 口1 ) p 1 ，( 啦) 风- ，( p 1 ) “，( m ) “ = ，( m ) ，( n ) ， 这就证明了，( n ) 是完全积性的，证毕。 定理1 表明：一个积性函数完全由它在素数幂矿上的取值所确定；而完全 积性函数则完全由它在素数p 上的取值所确定。 下面绘出d c l l i e t 除数函数的定义。 定义2 1 2设n 是正整数，用d ( 扎1 表示n 的所有正除数的个数，通常称 为d i r i c h l e t 除数函数，即 d f 佗) = 5 _ 、1 d 1 ” 显然，若n = p ? 1 - 掰s ，则有 d ( 礼) = ( q l + 1 ) - ( 口。+ 1 ) = d ( p 1 ) d ( p 宇4 ) 这就说明d m ) 为积性函数。 2 1 欧拉函数 欧拉函数妒( n ) 是定义在正整数上的函数，它在正整数n 上的值等于序 列o ，l ，2 ，n l 中与n 互素的数的个数，例如妒( 1 ) = l ，妒( 2 ) = 1 ，妒( 3 ) = 2 ，妒( 4 ) = 2 ，妒( 5 ) = 4 ， 关于欧拉函数值的计算。利用上面的推论及标准分解 式我们可以得出欧拉函数值的计算方法，这可由下面的定理给出。 定理 设n = p p ；2 p 产为n 的标准分解式，则 。妒( 礼) = ”( 一击) ( ，一壶) - ( ，一三) 证明i ) 由于妒m ) 是可乘函数，有 妒( 礼) = 妒( p l 毗) 妒( 2 2 “2 ) 妒( ? ) f 锄) i i lf 证 妒( p 。) = p “一p o 一1 由妒( 犯) 定义知妒。) 等于从矿减去o ，1 ，2 ，矿中与矿不互素的数的个数 由于p 为素数，故妒( 矿) 等于从p 。中减去o ，1 ，2 ，矿中被p 警呤的数的个 数。由函数吲的性质知o ，1 ，2 ，p 。中被p 整除的数的个数是l 譬l = 矿， 故妒( p o ) = p o p o 一1 i i i ) 由i ) ，i i ) 即得 妒( n ) = ( p 1 。1 一p 1 。1 1 ) ( p 2 4 2 一p 2 。一1 ) ( 芦2 “一p f 。一1 ) 9 第二奄预备知识 = n ( 一去) ( ，一麦) ( 一击) 显然，对于素数p ，妒) = p 一1 对于两个素数p 和g ，它们的乘积n = p 口 满足妒( n ) = 一1 ) ( g 一1 ) 欧拉定理对于互质的整数。和，有p ( “) i1m o dn 证明首先证明下面这个命题：对于集合z 。= z l ，z 2 ，z p ( 。) ) ，其中 是与n 互素且两两不同余模n 的整数考虑集合s = 。z hn z 2 ，。) 则s 和z 。均为模n 的简化剩余系 1 ) 事实上由于o ，n 互素，托也与n 互素，则们，也一定与n 互素，因此 任意飘，1 0 dn 必然是磊的一个元素 2 ) 对于磊中两个元素盈和，如果盈则n z 。，m o dn ，这个 由消去律可以得出。所以，很明显，s = z n 既然这样，那么 蚴1 o 。2 。a z 妒( n ) 兰( z 1 z 2 z 妒( n ) ) m o dn 根据消去律，就得到： 9 n ) 三lm o dn 从欧拉定理，我们很容易就可以得到下列的 费马定理a 是不能被质数p 整除的正整数，则有 2 2 欧拉乘积公式 下面介绍后面要用到的欧拉积分公式，即下面的定理。 定理2 3 1设，是积性算术函数且级数，( n ) 绝对收敛。则该级数和可 以表示成一个绝对收敛的无限乘积 ，( n ) = 1 + ，( p ) + ，( p 2 ) + ， ( 2 5 ) n = 1 p 其中乘积遍及所有的素数。如果，是完全积性的，则上述乘积可以简化为 萎m ) 2 u 南。 ( 2 。6 ) 证明：考虑有限乘积 p ( z ) = 1 + ，( p ) + ，( p 2 ) 十 p 2 1 n 西北大学硕士学位论文 其中乘积遍及所有。的素数p 。由于这是一个绝对收敛级数的有限项乘积， 所以可以令级数相乘且可以以任何方式重新排列各项。因为，是积性函数，所 以每一项可以表示为 ，( p ；1 ) ，( p ；2 ) ，( p 口) = ，( p ；1 癌2 - p ；) 由算术基本定理，可以将p ( z ) 表示为 p ( z ) = 跏) n 其中a 是所有素因数都z 的数n 的集合。所以 o o ，( n ) 一尸( z ) = ，( n ) ， n = l n 日 其中日是至少含有一个 z 的素因数的数n 的集合。则有 ，( n ) 一p ( z ) l5 l ，( n ) l l ，( n ) n = l n 日 n 2 因为l ，( 礼) i 收敛，所以当z 一。时，右边的最后一个和，o 。所以 当z + 。时，有p ( z ) ，( n ) 。 当级数绝对收敛时，无限乘积( 1 + ) 也绝对收敛a 所以有 j ，( p ) + m 2 ) + l ( | m ) | + m 2 ) j + ) 曼l ，( n ) p p z “= 2 由于所有部分和都是有界的，所以级数 ，( p ) 十，( p 2 ) 十 收敛。这就证明了式( 2 1 8 ) 中的乘积绝对收敛。 最后，当，是完全积性函数时，有，( 矿) = ，( p ) “并且式( 2 1 8 ) 右边的每 个级数都是收敛的几何级数其和为( 1 一，( p ) ) 。 取，) = l ，卢( n ) ，妒( n ) ，( n ) ，a ( n ) ，x ( n ) ，则得到下面的式子： 昏) = 宝嘉= n 南，盯 ， n = l口 南= 霎譬= 眇可钆。t 第二章预备知识 斜：萎警：并， 鲁伊甘1 一p 1 。 麒一班圣掣3 玎f 两b 丽，。m 删，1 + m ( 嘲n = l口 、 7、 7 器= 薹学= 耳寺， = 薹掣= 翠禹嘉， 注：若) ( 一) ( 1 ，则当p 整除k 时，x l 印) = o ：当p 不整除时，) ( 1 ( p ) = 1 所以三( s ，) ( ) 的欧拉乘积公式变为 撕，2 骤南2 可专科 p 2 3 欧拉求和公式 ( 1 一p 。) = n ( 1 一p ”) 刊k叫k 下面介绍后面要用到的欧拉积分公式，即下面的定理。 定理3 3 1 设，在区间，z 上连续可微，其中0 z ，则有 ，( 仡) = ，( t ) 砒+ ( t h ) ，7 ( t ) 出 掣( n s z 。v 。， + ，( z ) ( 睁 一z ) 一，( ! ，) ( 引一) ( 2 7 ) 证明：令m = 训，自= 扛 ，则有 ，n，“ 嘲，( ) d = ( n 一1 ) ，7 ( t ) 出= ( n 一1 ) ，( n ) 一，( n 一1 ) = 札，( 扎) 一( n 一1 ) ，( 礼一1 ) ) 一，( 佗) 从n = m + l 到n = 南求和，则有 ( t ) 出：妻 。，( 。) 一 一1 ) ，一1 ) 卜，( n )( t ) 出= n ，( n ) 一 一1 ) ，一1 ) 卜，( n j m 怔饥+ l n 蔓2 1 2 西北大学硕士学位论文 = m ) 一m ，( m ) 一m ) ， m 6 。k w j o l r i d g e 【3 】则给出了：对于无穷多的m ，如果o l 豆n 的标准素因子分解式为= 2 m 赡，p 醒t ， 其中3 墨p l p 2 墨m 。我们分两种情况来讨论方程( 3 1 ) 的解。 ( i ) 当= 2 0 ( 8 1 ) 黠，巍最( n ) 酌定义，肖& ( 2 “) = 2 。建弓! 理， 有妒( 2 。) 一矿q 一1 ) = 2 ”1 。若方程( 3 1 ) 成立，应有2 甜= 2 ”1 ，则n = 4 即札= 2 4 一1 6 为方程( 3 1 ) 的解。 ( 1 1 ) 遗n = 2 8 疗1 露。洚1 ) 对，妒( n ) 一2 “。霹1 流 1 ) p 笋“( p 2 1 ) p 。( p 1 ) 。由于当q 3 时，3 8 ，一2 = ( 2 + 1 ) o t 一2 = 2 龇一2 + o 了2 ) 2 啦一3 + - - - + l 锄。艘当甜l 3 默，妒 托) 贯一1 ( 擞一1 ) = a 疗2 ( 搬一i ) 强( 2 + 1 ) “q ( 3 一1 ) n ( 啦十1 ) 胁啦，即妒) 岛沁) ，此 时方程( 3 1 ) 无解。因此，1s 啦量2 ， ( 1 l ) 。若盘2 时有妒( n ) 一 2 “一1 赡1 1 爹一1 t 菇。一1 国l 1 ) 涵一1 ) 一i ) 2 蹿1 1 ( 菇一1 ) 强a ；， 即妒( n ) 岛( n ) 此时方程( 3 1 ) 无解。 基于此，第二糖情况变为：可设n = 2 m 矿，l n l 2 则妒扭) = 2 m 一1 掰t 一1 慨一1 ) 。 岛：2 凯， n m p 1 【q l p l ， 2 m 2 m ，即妒( n ) 曼( n ) ：若受( ) = p i 1 ，同蠼妒( n ) 岛) 。即当m 3 时方程( 3 1 ) 无解。 ( i i ) 当m = i 时，n = 2 2 疗1 ，此时若p lm3 ，n 1 1 即性= 1 2 时，岛( n ) = 4 妒( n ) = 4 ，曼一妒( n ) 。溪鼓铭= i 2 怒方程( 3 。1 ) 戆煞，若p l 3 刘 由妒( n ) = 2 心1 ( p l 1 ) p l a l ，即妒( n ) 鼠( n ) ，方程( 3 1 ) 无解。 ( i i i ) 当m = 1 时，s = 劫；1 ，是( n ) = p l n l ，妒( 札) = 理。，方程( 3 1 ) 爰 成立，应煮p l 趣= 砰1 溉一1 ) ，觯之褥托一3 啦f2 捌= 螭2 一1 8 楚方 程( 3 1 ) 的解。 ( i v ) 当m = 0 孵，站一霹1 ，是( 镕) = 嫒。，妒) = 矽 1 妇l 1 ) ，方程 ( 3 1 ) 要成立，瘦商p l a l 一p - 1 ( p l l b 解之得p 1 3 吼= 2 皿件= 3 2 9 是方程( 3 1 ) 的解。 综合敷上繇毒情嚣哥褥，方稷( 3 。1 ) 霉盈覆卷巾熬数解，它们分裂 是n = l ，9 ，1 2 、1 6 ，1 8 1 5 纂黢蘧关予s m a 糟n 如c h e 惑装函数的一个等式 第四章关于s m 糖a n d a c h e 可乘匾数的一个等式 4 1引言 对任意给定的正整数k 和任意正整数n ，s n l ”a n d a c h e 可乘函数鼠( n ) 滗 义( 参阅文献婀及【9 j ) 为： 鼠) = m i n m ：n f m “) 关予这个方程，诲多学者对它避行了磷究，镶魏l b 醢e d t 证弱： ，b ( n ，6 ) = = 1 当s k ( n 6 ) = s 女( 。) s ；( 6 ) 对任意的正整数n 定义。女( 佗) = m i n f ：州= m 。f om + ) o ( ”) 这糕定义的冀术函数也是一个很垂要的概愈，许多学者也研究过。例如n 一 疗1 芦 p i r 是的标准素瞄子分解式，则霄 敏沁) = a t 铷2 1 ) 壤( 琏2 ) ( 霹) 设a = n ，鼠扣) = 钆( 竹) ，程这里，我们将用初等方法研究垂嘉即给 出下列结论： 一 定理4 1 ：谈2 是一个给定罅正整数，蒡对s l 骞 垂去一游瑞 其申( ( s ) 是屈m 8 礼扎z 托一函数。 推论4 1 ：霸自：2 ，8 ：2 时，我们有 子三：坚 鲁n 2 2 4 推论4 2 ：幽= 3 ，s = 1 时，我们有 昌l 1 5 7 乙磊。彳r l 鑫 沥北大拳硬掌位论文 4 2 定理韵证明 首先我们定义函数 ， 坳) = 继：嚣 设n = 堵1 p p 是扎的标准素因予分解式，由s k ( 竹) 及( 佗) 定义知 它们都是可榘蟊数，因鼗在下嚣约涎骥孛，我嚣】设= 妒蒜l = l 是+ mg 0 ，o m ) 由讯( n ) 及n ) 的定义，我们有 涮硝= 协，萋糍；“ 州确。 k 萋孑= ；她 其中z 1 表示大