（电工理论与新技术专业论文）一维连续小波函数与小波变换的时频域综合.pdf

a b s t r a c t t h e h e o r i e sa n dt h em e t h o d so fv l 。s ii m p l e m e n t a t i o no fo n e d i m e n s i o r l c o nc i 九u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ( c w t ) ，w h c hb a s e so ns t a t e s p a c el o g d u m a i n f ijt e r a r ed e v e l o p e di nt h ep a p e r a tf i r s t ，t h ef u n d a m e n t a lp r i n c i p l e so n a v e l e tt r a n s f o r m ( w t ) a n di t sr e c o f l s t f u c t i o i l ，s p e e i a l l yo no n e d i m e n s i o n c w t ，b i n a r yd i s c r e t e 口，fc w ta n dt h e i rr e c o n s t r u c t i o n ，a r ep r o v i d e d n e x t ， t h ed r i n c i p l e so nv l s ir e a l i z a t i o no fo n e d i m e n s i o nc w ta r ee x p o u n d e d ，a n d t h er e l e v a n tm e t h o d so ft h ei m p l e m e n t a t i o na r ec l a s s if i e da n dc o m p a r e dwi t h e a e ho t h e r as y s t e m a t i ca l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t i n gt h ew a v e l e tf u n c t i o n a n dae x a m p l eo fc a l e u l a t i o na r eg i v e d i ti sd e m o n s t r a t e db yt h ee x a m p i e t h a tt h ea l g o r i t h i ni ss i m p l e ，e f f e c t i v e ，1 0 we f r o r l e o u sa n dc a l lb ea p p l e d t oa p p r o x i m a t in gt h ew a v e l e tf u n c t i o nw t ha n a l y t i ce x p f e n s o no re q u a i i n t e r v a ls a m p l e si nt i m e d o m a i n t h e n ，t h ef u n d a m e n t a p r i n c i p l e s o n l o g d o m a i ni n t e g r a t o r ，t h ei n f l u e n c e so fr e l e v a n tn o n i d e a lf a c t o r sa n dt h e w n y s o fe o m p e n s a t i o na r ed is c u s s e d in d e t a ，s i m u l t a n e o u s l y ，p s p ic e s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ep r e s e n t e d ，t h er e s u l t sa r e i na c c o r dw i t h t h e o r e t i c a la n a l y s i s b a s eo na b o v ed i s c u s s i o n s ，t h esr a t es p a c es y n t h e s i s m e t h u do fl o g d o m a i nf i l t e ri si n t r o d u c e di nl e n g t h ，i ti ss h o w e dt h a tt h e m e t h u dh a saa d v a n t a g e ，i et h e r ei so n e t o o n em a pb e t w e e nt h em a t h e m a t i c a l f o r m u i a t i o na n dc i r o a i tr e a l i z a t i o n a n dt h a tt h em e t h o di ss y s t e m a t i ca n d s u i t e df o rd e s i g n i n gt h en e t w o r kf u n cl i o nw i t hz e f o sa n dh i g h o r d c r “l t e e a t a s t t h el i m i t a t i o na n da p p li e df i e d s o ft h em e t h u d sf o r r c a ii z i n go n e d i m e n s i o nc w tb a s e do ns t a t es p a c ei o gd o m a i n f i l t e ra f e p o in t e do u t ，i ti sa l s op r o v e db yt h et h e o r e t e a la n a l y s i sa n dc a lc u l a t i o n f e s u lt st h a tt h em e t h o d sa r es u i t e df o rs y n t h e s iz i n gt h ew a v e l e tf u n c t i o l 3 s w it hv e r ys i n a ils c a l eo ft h ef r e q u e n c e t r a n s l o c t i o nv e r s i o no ft h em o t h e r w a v e | e t ( w i t hm u c ht r a n s l o c n t i o ninf r e q u e n c e d o m a in ) b a s e do nt h a t ，t h e p a p e rp r o p o s e sam e t h o do fi m p l e m e n t a t in go n e d i m e n s i o nc w i w h ic hisb a s e d o nl o g d o m a i nsl a t e s p a c ef i ll e t t h ec ir c u icc o n s t r u e t i o na n dt h ef c l e v a n t s c h e m e s ( ) f t h er e a i iz a t j e no ft h ec if c u i ta r c l is o pf o v id c d ， s i m u l t a n e o u s l y ，t h es o u r c e o fe r r o r sa n d t h ec o m p e n s a t i o nm e t h o d sa r e d i s c u s s e d a 1 lo f a n a l y s i s e s ，c a l c u l a t i o n r e s u l t s a n ds i m u l a t i o n s d e m o n s t r al et h all h em e t h o d sp r e s e n t e di nt h ep a p e ra r ef e a s i b l e ，t h e a l g o r i t h mise f f e c t iv e ，t h er e a l i z a t i o no fc i r c o i ti ss i m p le ，t h ep r o c e d u f e s o ft h ed e s i g na r es t a n d a r d ，t h ec i r c u i ti se a s yt ob ef a b r ic a r e d0 1 3 a m o n o l i t h i c a n dt h es y s t e mc a l lb eu s e df o rp r o c e s s i n gm i d d l e h i g hf r e q u e n c e s i g n a la n db ea p p iie d inlo w v 0 1r a g e 1 0 wp o w e ra n da th i g hs p e e d k e yw o r d s ：l o g d o m a i ns t a r e s p a c e f i le e ro n ed i m e n s i o nc o n t i n u o u s w a v e lelt f a n s f o r mv l s i i m p l e m e n t a t i o n t h ea p p r o x i m a t i o na i g o r i t h m0 f w a 五1e f u n c t i o n l o w - r e i t a g e1 0 w p o w e ra n a l o g in t e g r a t e dc i r c u i t s 第一章绪论 小波变换i ( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是自1 9 8 6 年以来发展起来的应用数学分 支。虽然从历史上追溯，在此之前已有一些学者零散地做过一些工作但在理论 上形成较系统的构架则主要是法国数学家y m e y e r ，地质物理学家j m o r l e t 和理 论物坪学家a ( ；r o s s m a n 的贡献。而把这一理论引入工程应用，特别是信号处理领 域，法陶学者s m a l1 a t 及i d a u b e c h i e s 等功不可没。 小波变换的含义( 详见第二二章) 是：把某一被称为基小波( 母小波) 的函数 “，) 作位移f 后，再在不同尺度a 下与待分析信号f ( t ) 作内积： 弓仅习= 去肌) 矿黔= ( 丸1 ( f 口 。 ( 1 t ) 等效的频域表示是： w r a a r ) = 芝f d 咖+ ( 础一锄 ( 12 ) ，u p ，- ) 和甲妇) 分别为- ，( ，) 和( ，) 的傅氏变换，：标“$ ”表示取共轭，即母 小波可以是复函数。 小波变换的特点是： l 、 具有多分辨率( 多尺度) 的特点，可以由租及精地逐步观察信号。 2 、小波变换的作用也可以看成是用基本频率特性为甲b ) 的带通滤波器在不 同尺度口下对信号作滤波。由傅氏变换的尺度特性：若y o ) 的傅立叶变换是甲b ) ， 则l f ，( r 加) 的傅立叶变换为i a l 甲( ) ，即时域扩展对应频域压缩，因此这组滤波器具 肯品质因数( 带宽与中心频率之比) 恒定的特点。 3 、 适当地选择基小波，使得( ，) 在时域上为有限支撑，中) 在频域上也比 较集巾，便可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，因此 有利于检测信号的瞬态值或奇异点。 正是由于小波变换有上述特点，它被人们誉为分析信号的数学显微镜。 在小波变换的发展过程中，学者们发现它与工程技术上的一些已发展起来的 问题密切相关，这些问题都可以用小波变换作为理论基础，看成是从不同角度应 用小波的特例。例如g a b o r 在1 9 4 6 年提出的g a b o r 变换：b u r r 在1 9 8 2 年提出的 金字塔式图像压缩编码概念；通信及语言处理中的子带编码( s u b b a n dc o d i n g ) ： 数字信号处理中的多采样率滤波器组；计算机视觉中的多分辨率分析等，这些工 词l 南入学颤士学似论文 程应用领域大大地丰富了小波变换的实用意义，也促进了小波分析理论的进一步 发展。现在，小波变换已由一维发展到多维，在二维情况下它除了“显微”能力 外还具有“极化”能力( 方向选择性) ，因而十分引人注意。近年来，小波变换在 语音、图像、通信、雷达、水声、地震、生物医学、机械振动、化工、湍流分析 等领域都有广泛应用，是多学科关注的热点，是信号处理的前沿课题。国内、困 际上成立了专门从事小波分析与小波变换研究的机构，各种有关小波分析与小波 变换理论与应用的文献更是多不胜数，甚至象华尔街杂志，纽约时报都给予重视 和报道。由此，小波变换理论与应用的重要性可见一斑。 小波变换的崛起是有着深刻背景的。众所周知，传统的信号分析是建立在傅 立叶( f o u r i e r ) 变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局变换，要 么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表示信号的时频局域性质，而这种性 质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们 对傅立叶分析进行了推广乃至根本性革命，提出并发展了一系列新的信弓分析理 论：短时傅立叶变换、g a b o r 变换、时频分析、小波变换、r a n d o n w g n e r 变换、 分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅一调频信号分析等。 其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理 的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗 函数g 的一个短时白j 间隔内是平稳的( 伪j 严稳的) ，移动分析窗函数，使 f ( t ) g ( t r ) 在不同的有限时问宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功 率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为 它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在不可 逾越的缺陷。而小波变换在时、频两域都有表征局部特征的能力，是一种窗口大 小( 面积) 不变但其形状可以改变，而且时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化 分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频 部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，这就是它优于经典的傅立叶变 换和短时傅立叶变换的地方，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移 等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许 多困难问题。原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方，现在都可以使用小波分 析取代。不过，小波分析仍是傅立叶分析思想方法的发展与延拓，它自产生以来， 就一直与傅立叶分析密切相关，两者是相辅相成的。 小波变换需要大量的计算，通常由计算机完成，难以实时处理，这足限制小 波变换应用的瓶颈。近年来人们开始致力于用硬件实现小波变换的 ：f 】 究，置要肯 第一章绪论 三个方向：一是基于超大规模集成电路( v l s i ) 芯片设计的实现方法；二是基于 数字信号处理器( d s p ) 硬件电路实现方法：三是采用声表面波器件的实现方法。 三种实现方法各有优、缺点：v l s ii 卷片设计的方法既可进行离散时间信号处理， 又可进行连续时间信号处理。而且，小波变换通常是作为一个处理单元而存在， 在此单元前后必然有预处理和后续处理单元，采用芯片设计实现小波变换便于与 其他电路集成在一个芯片内构成个信号处理的系统，在某些场合f 也可作成单 片。这种方法形式灵活，但是电路设计较为复杂，价格较声表面波器件实现法昂 贵。采用数字信号处理器硬件电路实现小波变换的结构相对简单，但是算法复杂， 只能处理离散时间信号且成本较高。采用声表面波器件是用硬件实现小波变换中 成本最低的一种方案，不过，当小波变换作为一个子系统时，声表面波器件不便 与其他电路形成一体化系统，占用较大体积；声表面波器件设计较为复杂，尤其 是声电再生、叉指电极的反射和三次行程反射、波形失真以及体波的激发等等问 题需要仔细考虑，并且这种方法只能用于处理连续时间信号。从对各类实现方法 的研究情况来看，v l s i 实现小波变换的研究工作从_ 二个| j 纪九十年代中期开始， 至今已经有不少文献出现。2 “，但绝大多数注意力集中在离散小波变换( d w t ) 的 数字电路实现方面( 即处理离散时间信号) ：国内的清华大学微屯子所、中科院半 导体所、西安交通大学等都有相关的论文发表。1 ”，提出，各种结构及算法，对 所提出的结构用一系列数字高通、低通滤波器及控制单元实现，并对所设计的电 路进行模拟、验证。国外在这方面的论文也比较多“。，且大多制作出了实际芯片。 与此形成鲜明的对比，连续小波变换的v l s i 实现研究工作大大滞后，这主要是由 于用模拟电路或模数混合电路实现连续小波变换时结构相对复杂一些，而且模拟 电路的设计相对于数字电路设计而言其难度要大得多，有许多因素需要考虑，设 计自动化程度也不高，这些因素限制了它的发展；加之对小波函数的近似问题研 究不够，没有提出一套系统的方法来构造小波函数：实现方法也仅限于用开关电 容滤波器和跨导电容滤波器。前者尽管能实现高精度，但和标准的c m o s 工艺不兼 容，只适用于处理低频信号：后者虽应用频率范围广、参数电可调，可达到低电 压、低功耗的要求，但其线性动态范围窄，并需要额外的片上自动调节电路来补 偿工艺、温度对跨导值的影响。基于数字信号处理器的实现方法只是由通用型d s p 向专用d s p 的一个过渡，加之算法的复杂性，日静研究进展缓慢。至于采用声表 面波器件实现小波变换的方法，是我国科研工作者首次提出的。= 2 ”，它为小波变 换及重构硬件实现开辟了一条新的途径，对它的研究还刚刚起步，还有许多问题 亟待解决。 湖南大学硕士学位| 岳丈 由于连续小波变换( c w t ) 是分析非平稳信号的有力工具，并且连续小波变 换的算法在数据压缩方面的性能优于离散小波变换：采用设计超大规模集成电路 的方法实现小波变换不仅实现方式灵活、便于与其他信号处理单元构成系统，更 重要的是用模拟或模数混合电路实现连续小波变换相对于用数字电路实现离散小 波变换而言具有明显的优势：模拟电路实现连续小波变换不需a o 和o a 变换， 处理速度商；它避免了由于两次变换和数字电路开、关引起的波形畸变：采用模 拟方法处理信号的频率范围宽，可以达到高频领域，而功耗却不因开关活动频繁 而增加；用模拟法实现的连续小波变换电路便于制成一体化集成芯片。因此，这 方面的研究更加具有吸引力。 前已提及，用设计超大规模集成电路芯片的方法法实现连续小波变换时，采 用开关电容滤波器和o t a c 滤波器都存在一些严重的缺点。对数域滤波器不但能 克服这些缺点，并还有一些可贵的优点：对数域滤波器利用了瞬时压一扩技术， 即在同一瞬时，对信号先进行压缩，待处理后再进行扩展，从而在低电压下提供 高的动态范围：直接利用双极型晶体管的集电极电流与基射电压的指数特性或利 用工作在亚闽值区的m o s 管漏极电流随栅压呈指数变化的特性来实现输入一输出 线性传递函数，避免由于将非线性器件线性化所引起的功耗增加和工作速度的降 低：采用对数域滤波器技术可在低电源电压下处理信号，最低电源电压等于晶体 管的一个结电骶加上两个使集电极电流为最大信号电流的饱和电压；此外，由于 信号绎对数尺度压缩后，处理时要求的供电电压也很小：由于经压缩处理的信号 在对数域滤波器内部动态范围窄( 扩展前) ，沿信号路径的阻抗小，电容充、放电 速度快，使得对数域滤波器非常适合高速工作的场合。以上优点表明把对数域滤 波器应用于连续小波变换的7 l s i 实现拥有广阔前景。 本项研究工作就是在上述背景下展开的。论文分为七个部分，第一章绪论部 分简略地介绍了小波变换的重要性和硬件实现小波变换的研究情况以及本项工作 的意义。第二：章讨论小波变换特别是一维连续小波变换与二进离散a 、t 栅格下的 连续小波变换与重构的基本原理，给小波变换的v l s i 实现提供理论基础。第三章 介绍了连续小波变换v l ，s i 实现的基本原理、方法与研究现状。第四章给出了一种 系统地近似一维连续小波函数的算法，并绘出了m a r r 小波的计算实例。第五章以 一种b i c m o s 对数域积分器为例比较详细地讨论了对数域积分器的基本原理，对非 理想因素对对数域积分器、滤波器的影响及其补偿措施进行了讨论，并给出了相 关的p s p i c o 仿真结果：在以上讨论的基础上，洋细地介绍了对数域滤波器的状态 空间综合法，并给出了，一些优化对数域状态空间滤波器的措施。第六章给出了一 旃争拼淹 维a rr 小波函数的行为级仿真结果，分折j 用对数域状态空m 滤波器实现小波函 数冉勺限制条件、府用范围：提j i ；了螭于对数域状态空间滤波器实现一维连续小波 变换及其重构的策略与结构，讨论r 实现过程中各种误差的来源与减小误差的相 _ 哭措施。最后是结束语。 鉴于目前将对数域滤波器应用于连续小波变换v l s i 实现方面的研究工作还 足空门，本论文具有相当的理论与实际意义。 湖南大学砸士学位论文 第二章小波变换的基本理论 小波变换的基本理论是应用小波变换的基础。本章简要地介绍了小波变换及 其逆变换的定义、分类、和相关定理并从信号处理的角度来看待小波变换，为硬 件实现小波变换提供必要的预备知识。鉴于小波变换是傅立叶变换和短时傅立叶 变换思想方法的发展与延拓，本章在开始也对它们进行了扼要介绍。 2 1傅立叶变换与短时傅立叶变换 2 1 1 傅立叶变换 从物理意义上说，一个函数的傅立叶变换就是把它分解成许多不同频率的正 弦波的加权和，如果这些正弦波叠加起来可恢复为原来的函数波形，那么我们就 确定了这个函数的傅立叶变换。一旦求得了该函数的傅立叶变换，我们就可以把 对原函数厂( ，) 的研究转化为对组成该波形的各正弦波权系数的研究。所以，傅立 叶变换的本质在于用不同频率的正弦波来逼近待分析的函数，数学卜看就是选取 正交规范基p 问，求信号厂在这组基上的投影一一信号与e ，“作内积。傅立叶变换 的定义简述如下： 设f ( t ) l 1 ( r ) ，则f ( t ) 的连续傅立叶变换为 f ( ) = l ( f ) q 7 “) d t = lf ( t ) e - j w t d t ( 2 i 1 ) 倒m 其中：“ ”表示复共轭：l 1 ( 尺) 表示由可积函数组成的函数空间。 由傅立叶变换的定义可以看出它是有界的，而目可以证明它是变量的连续 函数。如果f ( t ) l 1 ( r ) 且f ( c o ) ( r ) ，则逆傅立叶变换为： 巾) = 寺e ，( 咖如 1 2 ) 从式( 2 1 2 ) 可以看出，函数八，) 被分解成为幅度为( 1 2 ，r ) f ( c o ) d c o 的无限多个 正弦波之和。如果，( ，) 属于平方可积函数组成的函数空间l 2 ( r ) ，即( ，) l 2 ( r ) 但 ，( i ) 诺( j r ) ，则，( ，) 的傅立叶变换不能用式( 2 1 1 ) 来计算，因为f ( t ) e m 不可 积，但可以利用0 ( r ) n l 2 ( 凡) 中函数的傅立叶变换之极限束定义_ ，( ，) 的傅立叶变 换，从而把傅立叶变换稠密扩充到l 2 ( 凡) 。同时，可利用内积的概念：，( ，) l 2 ( r ) ， g ( t ) 2 ( 脚，则( ，) 与g ( t ) 的内积为： 第章小波变换的基本理晓 ( 厂，g ) = e 厂( ，) g ( 咖 ( 2 l 3 ) f ( t ) l z ( 月) 的范数为： i l s l l 2 = ( 厂，厂) = e 1 2 d t ( 2 1 4 ) 并且有p a r s e v a i 等式：如果，h l l ( 尺) n l 2 ( r ) ，则 e ( o h + ( o d t = 去亡f 如) h ( ) 如 ( 2 1 5 ) 及p l a n c h e r e l 等式：如果厂= h l 。( r ) n 2 ( r ) ，则有 e t s ( 0 1 2 d t = d r ；i , ( 0 1 2 d ( 2 1 6 ) 在傅立叶变换扩充到三2 ( r ) 后，p a r s e v a l 等式和p l a n c h e r e l 等式仍然成立。 e ，“是所有线性时不变算子的特征向量。若我们把一个线性时不变系统看作 一个算了并用表示，而输入、输出信号分别构成两个空间，则该系统对信号的 处理可以看作是该算子作用于输入信号而把它映射到输出信号空间的过程。数学 上，这个过程就是用这个算子与信号作内积。该算子完全由其特征值h ( e o ) ；e l j 划， 而实际上h ( c o ) 就是系统冲激响应的傅立叶变换： v r ，lp 7 ”= h ( o ) p ” ( 2 1 7 ) 设厂是系统的输入，要计算输出厶厂，首先将厂分解成正弦波备脚 甜e 月之和：即 式( 2 1 2 ) 。若将l 作用于厂，利用线性时不变系统的性质和式( 2 1 7 ) 可得： ir + l f ( t ) 2 寺j 一。，( c o ) h ( c o ) e j 6 * d c o ( 2 1 8 ) 由上式可见，算子将组成的各个正弦波分量依国放大或缩小h 沏) 倍，这一过 程可看作是对r 的频率滤波。 虽然傅立叶变换能够将信号的时域承i 频域特征联系起来，能分别从时域和频 域观察信号，但却不能把两者有机地结合起来。这是因为：为了通过傅立叶变换 研究一个信号的潜特性，必须获得该信号在时域中的全部信息，甚至包括将来的 信息。如果信号在某个时刻的一个小的邻域中变化了，其整个频谱都受到影响。 实际上，信号的时域波形中不包含任何频域信息。傅赢叶频谱是信号的统计特性， 从其表达式( 2 1 j ) 中可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信 号的功能，完全不具备时域信息也就是说，对于傅立仆 i 频谱中的某一频率，不 知道这个频率是什么时候产生的。 湖南大学硕上学位论文 在实际的信号处理过程中，尤其是在非平稳信号的处理中，信号在任一时刻 附近的频域特征都很重要，或者说信号的频谱是随时间而变化的。对这种信号仅 从时域或频域上来分析是不够的。因此，如何找到一种新的方法，能将时域和频 域结合起来描述所观察信号的时频联合特征而构成信号的时频谱就成为解决问题 的关键。这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化方法。 2 1 2 时频原子与海森堡( h e i s e n b e r g ) 测不准原理 如果能够构造一个函数厂，使得它的能量集中在局部时间上，而它的傅立叶 变换f ( o j ) 的能量也集中在某个小的邻域上，用它对信号进行处理( 滤波) 就能将 信号的对域和频域特征结合起来观察。因为频率特征随时问变化的信号其局部频 率不是单一的，而是彼此接近的频率包，所以选用有较好时频局部化的类函数 来转换和分解信号可以揭示原信号的时频特征，我们把这一类函数称作时频原子。 考察一般的时频原子类溉l 。，y 可以是多重指标参数。假定砟r ( 月) 且有 慨0 = l ，中，为其傅立叶变换。因为力( f ) 的范数( 能量) 为：帜0 = 口力( 叫2 d t = 1 ， 我们可以将舾，( 刮理解为中心在： f ，= d l 庐0 1 2 d z ( 2 1 9 ) 的概率分布( 疵在时域的能量均值) ，它沿，。，的范围可由方差( 反映咖能量在时 域的集中程度) 测量： a 地) = e ( ，一，) 2 眵( r ) f 2 d t 由p l a n c b e r e l 等式( 2 1 6 ) 可知e p ，1 2 d e e = 2 厅忱8 2 = 2 石。那么中，的频率中 心( 庐，在频域的能量均值) 定义为 c o * r = 去e 托( ) 2 如 它沿，的范围可由方差( 反映力能量在频域的集中程度) 测量： 。m = 去j = ：- - ( d y 叫2 咖 相应地，f p ( 尺) 的线性时频变换定义为： 矾，) = e ，( f ) “r ) 出= ( 厂，庐，) 抟? 章小波变换的基本理论 由p a r s e v a l 等式( 2 l5 ) 可知： 矿) = d ( f ) 棚) 出= 去驴( 卵m 如 如果咖( r ) 在t + 的某邻域外几乎为零，则( 厂，屯) 仅与f 在该邻域的值有关，即 ( 厂，以) 揭示了厂( r ) 在r 的邻域内的性质；类似地，如果对远离的国，中，b ) 的 值可以忽略不计，那么( 厂，或) 就揭示了f 佃) 在+ 的邻域内的性质。因此，( 厂，以) 提供了信号的时一频局域信息，这一局域可以表示在时频平面( f ，一- 0 ) 内的某区域 上，该区域的位置和宽度依赖于屯的时频范围，即：可以用( ，甜，) 为中心，时 宽为2 盯，( r ) 频宽为2 盯。( y ) 的h e is e n b e r g 盒将，( t ) 的时频分辨率表示在时频平面 ( f ，珊) 上。 一个关键的问题是，如何找到一个合适的时频原予。信号处理的基本理论指 出：函数在时域上的压缩对应于其频域上的扩展，只有当，在时域上变化缓慢时， f ( 1 才会在高频快速衰减。为了减小f 的能量在时问域上的分布范围，我们可以 利用伸缩变化( 但保持能量恒定) ，即当a 0 。如此，对基小波矿必须有一定的限制，附 加在v ：的条件是： f 掣咖：e 掣址乒， 0 。 4 、冗余性：小波变换具有冗余性，即：在口一r 半平面上各点小波变换的值 是相关的。，r 0 ) 处的小波变换值( 矽地，而) 可以表示成半平面- e 凡+ ，fe 月) 上其 它各处w t 值的总共献： 式叶 ( 嘿低，弓) = f 氛( 车胞概心而4 触 k rf i f o ，t o ，a , t ) 。古k ( f ) y + m n ( ，印 士( ，( n 。( z ) ) ，足小波y 。( ，) 与。( ，) 的内积，它反映两者的相关程度，称为重建核，式 ( 2 2 1 4 ) 称为重建核方程。正如容许性条件指出并不是任意时间函数都可以充当 基本小波一样，从口一r 域看也不是任意，= ( “，r ) 都可以用作w t ( a ，r ) ，它必须满足 重建核方程。如果把式( 2 2 1 4 ) 巾的( 夥) ( 屿) 取为任意，( 以r ) 带入计算，其结果 朱必恰为 h ，而) ，换者之小波变换的可逆性是不可交换的。即任意( ，) 先作小波 正变换厉将所得的结果再作反变换，将仍得，( ，) 。存这一次序下小波变换是可逆 的。但是，任意，1 ( 以f ) 先作小波反变换再将其结果作正变换最终结果未必等于 f ( a ，r ) 。，反映的是。0 ) 与。o ) 的相关性，当a = a o ，f = r 0 时，达到最大 值。若( 以r ) 偏离，r o ) 时。衰减较快，两者的相关区域就越小。如果 k ，= 占( 卜一t o ，口一) ，此时，“一f 半平面上各点小波变换的值互不相关，小波变 换所含的信息是没有冗余的，这就要求不同尺度与位移的小波相互正交。不过， 当以r 是连续变量时，这种情况很难出现。因此，当( ，) 被变换成( 唰c 刁后， 信息是有冗余的。 5 、 小波变换的内积定理( m o y a l 定理) ：以基小波o ) 对i ( ，) 和厶( ，) 作小波 变换，则两变换结果之间的内积等于z ( ，) 和五( ，) 的内积的( 0 倍，即： ( ( 聊；厂) 0 ，以( 聊j x a 0 , f 0 ) ) = q “( ，l ( ，) ) 6 、 能量的比例性：由l o y a l 定理能引出一个类似于p a e s e v a l 等式的关系， 叩小波变换幅度平方的积分和信号的能量成比例： 析 弘 o 工 = 1 上q m i | rd 力 ) 0 旷 e 出一矿 皂_ b 第章小波瘦换的摹本理硷 2 2 2 离散a ，r 栅格下的连续小波变换与小波框架 2 2 2 1 离散口，r 栅格下的连续小波变换 前面提到一维信号厂( ，) 作小波变换后成为二维的( 臁) ，其信息是有冗余 的。因此，从压缩数据及节约计算的角度 看，希望能只在一些离散的尺度与位 移下计算小波变换，而又不丢失信息。为达此目的必须对尺度与位移进行离散化， 但保持1 仍为连续变量，因此可以称这类小波变换为离散a ，f 栅格下的连续小波变 换。对于尺度，目前多采用对它按幂级数作离散化，即令n 取口。7 ，z 。此时 相应的小波函数是： ，( ，) = 二2 矿 a o 一，( f r ms z 。 对于位移，当口= l ( 即= 0 时) ，f 可以以某一间隔o 作均匀采样。应适 当选择使信息能覆盖全r 轴而不丢失( 例如不低于n y q u i s t 采样率) 。在其余尺度 卜i 巾于y - 。一，) 的宽度是的a o i 倍( 相当于其频率降低了，倍) ，因此采样间隔 可以扩大“。侪，亦即在某一j 值下沿- 轴以d 。为间隔作均匀采样仍可保证信息 小丢失。这样，t 。( ，) 就被改成： 孑p ”i 一，f o l = “。子矿卜h f 0 价排。( ，) 。 在这些点卜计算得到的小波变换记作：。 ( 啊煽，) = f 丸矿e 印，七e z 实际工作中最常见的情况是取= 2 ，在= 2 ，时沿r 轴的相应采样间隔是 2 7 ，印_ ，每增加，采样间隔扩大一倍。可见此时缈。0 ) 变成： 2 - 2 t 2 - , t _ t 记作。( ，) _ ，七z 若把f 轴用f 0 归一，便有： 雎( ，) = 2 一；妒【2 一，一】 ，七z 相应的小波变换为： ( 蹄0 ，沁，女) = f i f 扩肚( f 妞j ，k z 很显然这里的小波族的尺度“与r 都离散化了， ( 2 2 ，2 3 ) 但待分析信号与基小波中的时 湖庸大学硕| 学位论文 间变量f 并没有被离散化，所以可以称这种小波变换为离散a 、r 栅格下的连续小 波变换或者称为二进离散栅格小波变换。围绕、r o 的选择，还存在以f 两个问 题：l 、( w t 洲a o j ，) 能否完整地表征( ，) ，即能否由( d 衫，) 数值稳定的重建 ( ，) 。2 、是否任意函数( ，) 都可以表示成以。( ，) 为基本单元的加权和： 丸) = j e z k e g 既舢0 ) 如果是，如何求得权重c 。则两个问题的答案是统一的 的基础上。 2 2 2 2 框架与小波框架 它们建立在“框架理论” 定义线性变换【矽】，= ( 厂吩( f ，简记作( ，) ；，：a ( 若p ，= 吼。o ) ，则 此变换就是小波变换。) 如果要求能用矿表征，则此变换应至少能满足以下条 件： i 、唯一性：如果z = 厶，则弧也必等于矾： 2 、 j e 变换的连续性：如果：铋很接近，则强也必须与玩很接近。表示成 数学形式即： 厂，矿刊2 b f | _ | 2 ， o 占 。o ( 2 2 2 j ) ：若进一步要求此变换的反演也是连续的，必须满足下面的第三个要求： 3 、反演连续性：当弧与矾很接近时，与厂2 也必须很接近，即： ，y ，t 1 2 ：, 1 1 ：1 1 2 o 4 c o ( 2 2 2 6 ) 将( 2 2 2 5 ) 与( 2 2 2 6 ) 两式合到一起便有： 爿2 f ( 厂，”) f 2 l t f l l 2 ( 2 2 2 7 ) 满足式( 2 2 2 7 ) 要求的【l j ：】便称为构成一个框架，a 和b 分别称为框架下界 和框架上界。当a = b 时称为紧框架此时a 或b 称为框架界# l ：- f l ： 阢吩2 = a 岬 如粜不但a = b ，而且a = i ，则有： 兀吩) j 2 = w 兰：壁：! ：垫竺堡塑竺查里堡一一 式( 2 2 2 9 ) 显然是正交变换的能量守恒性质，因此，此时各吩组成一组正交基： ( j , v ) = a ( j 一) 在a = r = i 的条件下，厂可由，及蚧与厂的内积重建 九) ( ，儿k ( ，) 在紧框架的情况下，重建也不困难： 厂o ) = 去( ，渺凡) 九，e ： 在一般框架的情况下，重建比较困难，为了说明这一点，定义算了f 如下： f s = z i ，p 记作g ( 2 2 - 3 3 ) ： 则其逆运算可以形式地表示成： 厂= f - i g = ，“【( ，炒，) y ，】 ，e = z s j v j 妒j 令f - i 妒，= 妒。，则( 2 2 3 4 ) 式义可以写成： 厂= ( 厂，蚧妒。 联系到小波变换i s 对应于。，式( 2 2 3 5 ) 也就是： = ( 1 厂，渺一 l 式的作用在于指出重建时所需要的基本函数是妒和吵业，而不是与妒业。但 此式只有形式l 二的意义，并不能用于计算。因为f 且= 吵”的汁算方法不明，也 不能保证：f ，业可以由一个越本小波痧( f ) 通过位移和伸缩取得： 少斗) ：口。一；矿( 口。一，一 ) ：痧一( ，) 只有在上式成立的条件下才有： i ，= ( ，矽。( ，) ( 2 2 3 7 ) 这样的驴。( 或矿，) 称为斗( 或矿，) 的对偶( d u n i ) 。因此，重建信号的关键在 湖南大学硕士学位论文 于寻找( 或妒) ，d a u b e c h i e s 对此问题作了深入的研究“1 ，其主要研究结果列 举如下： 1 、 孵也构成一个框架，其上下界恰与盯的上下界呈倒数关系，即： r l r 1 2 蔓乃) 卜a - i i l s l l 2 2 、在a 与b 比较接近时，作为一阶近似，可取： 2 y ，2 i 百， 因此， ( f ) 2i 毛丢p ，吩矽，o ) 更确切的说，此时 几) = 蕊2 萎( ，奶k ( f ) + 可 其巾，影表示对厂( f ) 作一阶逼近的残差。恻i 丽b - a = i ( ，= 尝 时残筹的范数州2 i 等陟i i n 若希望把孵求得更精确些，可采用级数展开： 弘忐丢妒， 1 ) 。可见此 式l 。劈b + - 爿a1 。 r _ + b 口十- a 4 l a , l a 是单位算子d = - 厂。 以上讨论可以真接推广到小波变换的框架问题，只要把妒，改成即可得到 卜面的各火系式： j 、小波框架的定义：当由基本小波妒( ，) 经伸缩与平移引出的函数族【( ，) = 2 j 【2 一，一】j ，t z 具有下述性质时便称【业( ，l ，t = 】构成一个框架： 且0 t - a 兰b o o 2 、 妒。( ，) 的对偶函数旷 ( ，) ：2 - ：j 矿( 2 一，一t ) 也构成一个框架，其框架上、下 ， b 一 2 、 陆 妒， ， 。 ， ( 一， 爿 第j 带小波变换的基本理论 界是( f j 框架上、f 界的倒数： 却2 莩莩胁业) 1 2 抑1 2 s 、信号的重建：对于紧框架， 莩莩胁且) l 2 = 4 i i l 2 可见： 饨) 2 ：1 f ，) ( ，) = 专( 暇，) ( j ，) ( f ) ak 对于一般情况，当a 、1 3 比较接近时，作为一阶逼近，可取 ( ，) = 而2 矿业( ，) 所以有： 几) = 志军；( 厂，k ( ，) 逼近误筹的范数为： i i r i i i l s l l 而b - a 可见 与b 越接近，逼近误差越小。 4 、 相似于连续小波变换中的冗余性，离散日，l - 栅格下任意一点( j 0 ，k 。) 的小 波变换值与栅格上其他各点的小波变换值是相关的。在紧框架情况下有( 2 2 4 7 ) 式，又，在( ，。，k 。) 处的小波变换为： ( w 勺；，岛) = j 丸妒聃( f 细 将( 2 2 4 7 ) 式代入( 2 2 5 t ) 式，得： ( ：肌c r j 0 0 ，岛) = 去j 呼莩( 暇，“灿) ( ，渺“b ( ， = 去莩莓( 讳乃) ( ，t ) f ( ，妒瞒( ，枷 湖南兀 母! 卜学f t 沦丈 = 臣，o 。，女。；j , + x w t j ) 0 ，七) 爿 k l 式中k ，( 凡，女o j ，) = ( y 一( f ) ， ；f ，。b ) ，它反映离散n ，r 栅格下任意一a ( j 。，k 。) 的小 波变换值与栅格上其他各点的小波变换值的相关程度，称为重建核，式( 2 2 5 2 ) 为离散口，f 栅格下的重建核方程。 5 、从频域上看，满足小波框架条件的y 。( f ) ，其丛小波矿0 ) 必定满足容：性 条件。这是因为由