（水利水电工程专业论文）水电站引水发电系统无压隧洞水力过渡过程研究.pdf

y 7 7 8 8 9 3 水电站弓| 水发电系统无压隧洞水力过渡过程研究 零裂瘩毫工舔专韭 研究生张建梅指粹教师 鞠小明 承电菇弓| 承缴电系统无疆隧洞中豹水力过渡过程是撩年来电蛄设计中出现 的个新课题，特别是流域梯缴电站开发中经常遇到。在引水发电系统无压隧 洞中，正常运行时如何确定纛服隧洞中的水面线，电站安弃负荷后如何确定无 压攀 窳隧溪孛豹灞波承建，魏 霉避受无垂隧溺中夔鞠溅交替零滚，在滚诗霹运 行殿有无压引水隧洞的水电站时应注意哪些工程问题，以及如何合理布置水工 建筑物等，这些都是设计人员和电站运行人员十分关心的问题。鉴于引水发电 系统笼压隧漏鼹其蠢豹特臻墼蔓秘雩l 求发电系统 恒定濂瘩力褒象静复杂瞧，存 必簧对其进行水力过渡过程磷究，为该类黧电站工程的设计和建设掇供科学研 究的依据和成果。 本文结合湾一水电站的实际工程布置和工程资料，浆用模型试验j b 数值模 叛诗舞程结合豹方法磺究了弓| 零发毫系统必覆邃潺孛豹窳力遥渡过糕溪象。逶 过模裂试验，解决了湾一工程无压引水隧洞内的局部水流流态以及特殊水力学 问题，得到了湾水电站无压隧洞内的水流特性及机组麓弃负荷后相关断面的 东鬣变化过程试验藏线，著对湾一毫蛙无疆瓣溺魏设诗遴孬了谨绘黟改逡，提 出了工程改进的鼹体措施和建议。同时，应用无压隧洞稚恒定流计算理论和边 界数学模型的处理方法，成功建立了水电站引水发电系统无压隧洞水力过渡过 程计算的整体数学模型，编制了相应的j 憾定流计算程序，研究了各秘计算工 况，对湾一承电嫔霉| 承发电系统无匿隧漏水力过渡遥程避行了详缨谤舞研究。 研究表明，数值模拟计算成果和模型试验成果具有很好的一致性，光胝隧洞非 恒定流数值模拟计算成果能基本反映实际电站无压隧洞内的水位波动过程t 验 证了论文采趸鹣数学模型夔含疆经，鞋及诗冀方法帮诗舞器彦夔正确靛，荛今 后直接采用数学模型进行炎似电站工程设计计算提供了科学依据。 论文特别对梯级电站无压隧洞设计中滏流弃水耀的不同在置位置和无压隧 洞非恒定流各种计算方法进行了计算比较研究，研究表明，弃水堰布置在无压 隧洞下游方向能够有效抑制机组丢弃负荷后隧洞内的摄高涌波水位，有效避免 无压隧洞内产生涌浪封顶现象或产生明满交替水流，提出了今后设计梯级电站 引水发电系统无压隧洞时，在地形地鹱条件允许於前提下，彝承堰应尽可能靠 近下游布置的观点。 关键词：水力过渡过程无压隧溺引承系统模型试验数僮模毅彝水堰 h y d r a u l i ct r a n s i e n t sr e s e a r c ho nf r e e f l o wt u n n e l o fc o n d u i t s y s t e mo fh y d r o p o w e rs t a t i o n m a j o r ：h y d r o e l e c t r i ce n g i n e e r i n g p o s t g r a d u a t e ：z h a n gj i a n m e i a d v i s o r ：j ux i a o m i n g h y d r a u l i ct r a n s i e n t so nf r e e f l o wt u n n e lh a v et ob eat i c k l i s ht a s ki ns o m e c o n n e c t e dc a s c a d eh y d r o p o w e rd e v e l o p m e n t t h e r ea r es o m ep r o b l e m si nt h e c o n d u i ts y s t e mw i t hf r e e - f l o wt u n n e lf o rd e s i g n e r sn e e d e dt ob er e s o l v e ds u c ha s h o wt oe n s u r et h ew a t e rs u r f a c ei nt h et u n n e li no r d i n a r yo p e r a t i o n ，h o wt ol i m i t w a t e rf l u c t u a t i o n st oap e r m i ts c o p ew h e nl o a dr e j e c t i o no c c u r s ，h o wt oa v o i dt h e f r e es u r f a c e - p r e s s u r i z e df l o w si nt h i sc o n d u i ts y s t e ma n dw h a ti st h eb e s tl a y o u to fa c o n d u i ts y s t e m b e c a u s eo f t h ep a r t i c u l a r i t ya n dt h ec o m p l e x i t yo fw a t e rp o w e rp l a n t h y d r a u l i ct r a n s i e n tp h e n o m e n a ，i t sn e c e s s a r yt om a k es o m ed e t a i lr e s e a r c h e sf o c u s o nt h ef r e e f l o wt u n n e lo f h y d r o p o w e rp l a n t a p r a c t i c a la p p l i c a t i o nm o d e lw i t hf r e e f l o wt u n n e lo fw a n y ip o w e rs t a t i o ni s b u i l ta n dt e s t e di nl a b o r a t o r ya n dam a t h e m a t i c a lm o d e li se s t a b l i s h e db ye x p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o da l s oc a l l e dd i f f u s i v es c h e m em e t h o d b ye x p e r i m e n t ，s o m e s p e c i a lp r o b l e m so nf r e e - f l o wt u n n e la r er e s o l v e d ，a sw e l l a st h ec u r v e so ft h e v a r i a t i o np r o c e s so fw a t e rf l u c t u a t i o na r eg a i n e d b a s e do nt h ep r o d u c t i o no fm o d e l e x p e r i m e n t ，s u g g e s t i o n sa r eg i v e nt om e n dt h ep r o j e c td e s i g n f o rm a t h e m a t i c a l m o d e lk i n d so fd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sr e l a t e dt ot h ef r e e f l o wt u n n e la r e d i s c u s s e da n dt h ec o m p a r i s o no fe x p l i c i ta n di m p l i c i tf i n i t e d i f f e r e n c ei st a k e n c o r r e s p o n d i n gc a l c u l a t i o np r o g r a m sa n dm a n yc a l c u l a t i o ni t e m sw e r ed e v e l o p e d t h er e s u l t so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ev e r i f i e db yt h ee x p e r i m e n tt e s t s ot h e m a t h e m a t i c a lm o d e la n dt h ec a l c u l a t i o nm e t l o dw eg i v ea r ep r o v e dr e a s o n a b l e t h ed i f f e r e n tl a y o u t sf o ro v e r f l o ww e i ra r es t u d i e ds p e c i a l l y c o m p a r e dw i t ht h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t s ，t h ec o n c l u s i o nc a nb ed r a w at h a tt h eo v e r f l o ww e i rf o r c a s c a d eh y d r o p o w e rp l a n ts h o u l dl a yi nt h ed o w n s t r e a mo ft h ef r e e - f l o wt u n n e li f l a n d f o r ma n dg e o l o g ya r ei na g r e e m e n t k e y w o r d s ：h y d r a u l i ct r a n s i e n t s m o d e le x p e r i m e n t f r e e f l o wt u n n e lc o n d u i ts y s t e m n u m e r i c a ls i m u l a t i o n o v e r f l o ww e i r 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 1 绪论 1 1 水力过渡过程研究的历史概况l l 】【2 】 对水力过渡过程的研究最早是从探讨声波在空气中的传播和波在浅水中 的传播以及血液在动脉中的流动开始的，并且主要集中在封闭的有压管道中， 直到弹性理论、微积分学以及解偏微分方程的方法建立以前，过渡过程的本质 问题，即压力和流速的非恒定过程都未能获得精确的解决。牛顿( n e w t o n ) 和 拉格朗日( l a g r a n g e ) 对声波在空气中的波速作了理论分析以及试验测试。欧 拉( e u l e r ) 建立了更为详细的弹性波传播理论并导出波传播的偏微分方程。1 7 8 9 年，蒙吉( m o n g e ) 提出了偏微分方程的图解法【1 “，并提出了特征线法。杨 ( y o u n g ) 研究了血液的流动、阻力损失、弯曲损失和压力波在管中的传播。 赫尔姆合尔茨( h e l m h o l t z ) 首先正确指出，水在管道中的压力波速较其在无围 限的水中高是由于管壁有弹性引起的。韦伯( w e b e r ) 研究了弹性管中的不可 压缩流体的流动并做了决定压力波速度的试验，他建立了运动方程和连续方程， 这些方程是我们研究的基础。但是，首先对水锤问题进行研究的是意大利工程 师门那布勒( m e n a b r e a ) ，他在1 8 5 8 年所发表的文章中，不同于前人只注意波 速，而把着眼点放在由波传播引起的压力变化上面。他利用能量原理，考虑了 管壁和流体的弹性，导出了波速公式。同时，美国、俄国和意大利的学者分别 发表了比较全面和系统的有关水锤理论的著作。1 8 9 8 年，美国工程师弗里泽尔 ( f r i z e l l ) 发表了论文“管道中流速变化所产生的压力”，导出了水锤波速和由 于流速突然变化所产生的水锤压力的公式，同时还讨论了分岔管、波的反射以 及连续波对速度的影响等问题。俄国空气动力学家儒科夫斯基( j o u k o w s k i ) 于 1 8 9 7 年在莫斯科用不同尺寸的管道对水锤现象做了大量的试验，根据试验和理 论研究，他发表了关于水击基本理论的经典报告【坦j ，提出了同时考虑水流和管 壁弹性的波速公式，并导出了速度减小与压力升高之间的关系式，即著名的儒 科夫斯基公式，还讨论了压力波沿管道的传播和压力波在出流端点的反射等问 题。意大利工程师阿列维( a l l i e v e ) 于1 9 0 2 年发表了关于水锤理论的论文。他 在理论分析的基础上，解决了间接水锤的问题。从1 9 世纪初至2 0 世纪5 0 年代 末，伍德( w o o d ) 、洛威( l o w y ) 等人提出了图解法，伯格龙( b e r g e r o n ) 、帕 马京( p a r m a k i a n ) 等对图解法做了全面系统的发展。2 0 世纪6 0 年代初期，美 国著名流体力学专家斯特里特( s t r e e t e r ) 教授连续发表了几篇论文，系统地介 堕型查堂璧生堂堡堡兰! ! ! ! ! ! 绍了他们遮用电子计算机进行水锤计冀的研究成果。求解非恒定流问题运用计 算爨进入了一个褒叛翡瓣麓。其磊，夔萋诗算懿懿簧及蠢发震， 攥定滚诗簿 研究不断完善和向纵深发展。 在明渠不恒定流方灏，远在1 5 0 年前的法国数学家拉普拉斯p 】和拉格朗冈 h 就开始了嘲渠不恒定浚麴研究。挝格鹈目的浅水波波速公式麓先促进了遨努 面兹研究。h l 。稻梯突符1 5 l 作为一个蠢然现象靛麓溺者蕊测了游e i 潮渡豹运秘， 为后世开辟了这一水力举领域。拉塞尔f 6 】及巴津f 7 】谶行了渠道水波运动的试骏， 为日后验证波速及波浪变形理论的公式收集了资料。布西内斯巍 s l 9 1 在1 8 7 1 颦 秘1 8 7 2 年燕嚣发表了美予疆立波建谂器渡滚理论瓣涎麓论文。然瑟，关予鞠菜 不恒定流较深入的数学处理，是随着两个偏微分方程的发展开始的。1 8 7 1 年， 法国科学院的学会会刊第7 3 卷刊登了圣维南的两篇文章1 1 0 1 ，题目是明渠不恒 定滚理论农淫道洪承秘涎遴潮波传援中的应用。这嚣麓文章绘燃了明渠不憾定 漉的理论秘通用方程，这就是著名的“圣维南不憾定流理论帮通用方程”黥簇 本论著。作为工程师和数学物理学家，他认识到威该像研究物理学和其他学科 棒，把数学用于水力学中最好的办法是以公理和假说为基础，推导出数学寝 达式，这稳菠是圣缍鸯方程获褥袋魏瓣重要添霆。之蓐，在土器年里，诲多学 者在修改、改进圣维南方程的应用方酾做了大量工作，给出了更多的应用方獠， 但这些方程实质上并无大的变化，只是给出的方穰照完善了，而一旦为了实用 露对它靠j 避行楚位受g 又溅到圣维南方糖，这也再次诞暖7 圣维麓方程的成功。 近年浆，对鹱渠菲憾定流的毒亍冀，国内送行了大量豹研究。林秉南在2 0 世纪4 0 年代，最早提出了两种指定时段构造特征线网法，并提出了当时属予先 进的明渠不恒定流计算法，被分别收入美国h r o u s e 编工程水力学( 1 9 4 9 年) 蠢v t c h o w 著竣凝承力学( 1 9 5 8 年) 及强本零蠢 二帮安芸获一壤纺 部水理学( 1 9 6 2 年) 三部专著中。在不恒定流方面他率先在国内开展溃坝 波的实验和理论研究，1 9 5 8 年首先应用大模型研究三峡水库水体突泄对下游广 犬遗区的霹耱影响。对大嚣获海湾稠潺日，在国内酋先应用二绫特征理论秘破 歼算予法，建立了符合实灏资辩静浚涟计算方法。随着研究豹深入，有关秘渠 水力过渡过程研究的方法、模型和计算成果越来越多。例如：“明渠弯道复式断 蕊流动中二次漉的数值模拟方法研究”、“含自由表瓤湍流和端流逆扩散的数傣 模叛疆究”等【l “。 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 1 2 水力过渡过程研究的现状 众所周知，任何水流的运动规律都是由以下三种定律为基础的，它们是质 量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。这些基本定律可由微分方程来描 述，如e u l e r 方程、s a i n t v e n a n t 方程和n a v i e r s t o k e s 方程等。采用数值计算方 法，将连续问题离散化，通过计算机求解这些数学方程组，从所得的数值解来 研究水流运动特性，给出水流运动的时空变化规律，这样的学科就是计算水力 学，计算水力学的兴起推动了水力学研究工作的发展。自从1 6 8 7 年n e w t o n 定 律问世以来，直n - 十世纪5 0 年代初，研究水流运动规律的方法主要有三种： 它们是现场观测、物理模型试验及理论分析。三种方法既密切联系，又各有特 点，不可替代。现场观测不仅可为物理模型试验提供极为珍贵的原始资料，而 且是检验物理模型试验成功与否的主要依据，同时是验证理论或界定理论适用 范围的主要依据。但现场观测不仅要投入大量的人力物力，而且受自然条件、 仪器设备的精度、仪器设备对流场的干扰及人为因素的限制。物理模型试验可 以弥补现场观测因时空布置和人员设备调配等客观因素限制而造成的不完整 性，并对理论分析的完善和发展起着积极的促进作用。但物理模型试验受到相 似率的制约和比尺的限制，试验周期一般较长，且需要投入大量的人力物力。 理论分析在研究水流运动规律的基础上，建立了各种类型的主控方程，提出了 各种简化流动的数学模型，奠定了计算水力学的基础。很多计算方法仍是i i 前 解决工程实际问题最有效的手段和措施。然而实际的问题通常是复杂的非线性 的，理论分析在寻求这类问题的解析解时显得无能为力。 电子计算机作为一种计算方法和计算手段的延伸，具有强化人的思维和智 能的功能，它的出现极大地影响了自然科学技术领域，包括水流运动规律的研 究。它刚诞生时，著名的数学家v o n n e u m a n n 就深刻地指出了这一新工具的巨 大潜力，并预见数值计算方法必将作为一项新的科学方法而有广阔的发展前景。 五十年来人类社会发展和科学技术进步的历史证明了这位天才科学家的预言是 完全正确的。今天，计算机的飞速发展正把数值计算方法推向人类科学活动的 前沿，使它上升成为一种重要的科学研究方法，同时也使得水流运动规律的数 值模拟成为现实1 3 】【1 4 l 。 应用计算机进行水力过渡过程数值模拟计算和试验中采用计算机进行数 据采集和处理，不仅消除了繁重的计算劳动，所得结果也更加精确，而且使研 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 究复杂系统的水力过渡过程成为了可能。不少学者、专家和工程师从工程实际 出发，积极探索，大到水力过渡过程对整个工程设计优化的影响，小至某一计 算方法中差分格式的选取。 总之，随着计算机的发展，我们对水力过渡过程的研究也向更全、更精确 的方向发展。 1 3 本文的研究对象和主要内容 水电站引水发电系统无压隧洞中的水力过渡过程是近年来电站设计中出 现的一个新课题，特别是流域梯级电站开发中经常遇到。一些复杂的电站引水 系统既有无压引水隧洞又有有压引水隧洞，正常运行时如何确定无压隧洞中的 水面线，电站丢弃负荷后如何确定无压引水隧洞中的涌波水位，如何避免无压 隧洞中的明满交替水流，在设计和运行具有无压引水隧洞的水电站时应注意哪 些工程问题以及如何合理布置水工建筑物等，这些都是设计人员和电站运行人 员十分关心的问题。本文结合湾一水电站明流引水系统布置，运用明渠非恒定 流水力瞬变基本理论，建立数学模型，采用模型试验和数值模拟计算相结合的 手段，从无压隧洞非恒定流水位波动过程入手，研究了引水发电系统无压隧洞 中的水力过渡过程计算方法及其水力过渡过程的特点，得到了一些有益的启示 和研究成果，供工程设计人员参考。 本文的主要研究内容如下： 1 模型试验 1 ) 建造物理模型 根据湾一电站基本资料和引水明流段的布置特点，按照原型与模型水力相 似要求，模型水流必须处于阻力平方区，综合考虑试验流量和测量精度等要求， 确定适当的线性比尺，并根据相似原理得到模型试验的主要参数比尺，采用透 明有机玻璃建造物理模型进行模型试验。 2 ) 模型试验成果 通过模型试验，得到湾一电站无压隧洞相关断面在机组丢弃负荷后的水位 变化过程试验曲线，对湾一电站工程无压隧洞的设计进行评价和改进，提出工 程改进措施和建议。 2 数值模拟计算 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 1 ) 建立数学模型 针对采用无压隧洞引水水电站的特点，应用明渠非恒定流理论，建立引水 发电系统无压隧洞水力过渡过程计算的数学模型，采用显式有限差分法求解数 学模型方程，并编制相应的程序进行计算。 2 ) 水力过渡过程计算研究成果 结合湾一水电站的工程实际资料，讨论引水发电系统无压隧洞水力过渡过 程计算的工况选择，对主要工况的过渡过程进行计算，得到各种控制工况下的 无压引水隧洞的水位波动过程。 3 ) 边界条件的计算研究 通过改变湾电站无压隧洞明流段的边界条件，特别是对无压隧洞设计中 溢流弃水堰的不同布置位置进行数模研究，为今后类似电站工程设计和建设中 溢流弃水堰最佳布置位置的选择提供有力的依据。 3 模型试验成果和计算成果的比较 比较模型试验成果和数值模拟计算成果，验证数学模型的合理性和正确 性，检验求解数学模型计算方法和计算程序的正确性。为数学模型用于类似电 站工程计算提供依据。 4 计算方法的比较 介绍隐式有限差分法计算无压隧洞非恒定流的过渡过程，比较隐式有限差 分和显式有限差分的计算结果，归纳这两种方法各自的优缺点，得到两种计算 方法所适用的计算条件。 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 2 水电站引水发电系统无压隧洞非恒定流研究的基本原理及计 算方法 2 1 概述 无压隧洞中的水流具有自由表顺，正常流动时属明渠恒定流。当某个断丽 豹流量或水位受到撬秘浚变压，在无艨隧漏中就产生过渡状态的农浚，发生纛压 隧漏中静嘲渠菲恒定流。对于采用茏压隧洞弓i 永的水电瑟，最常见的扰动就是 负荷发生变化后的流量改变，典型工况就是机组豢弃负荷或增加负荷，对茏胍 隧洞而言，该扰动总是发生在无压隧洞的下游，= 次扰动断面为无压隧洞岛有 压隧漏懿交赛瑟瑟。羧鼗无匿弓l 永瓣漏承力遘踱避程鹣诗雾纛楚明渠 瞧是流 计算在无聪引水隧洞中的具体应用。本章主要介绍明渠中非恒定流研究的慕本 原理和计算方法。 2 2 明渠巾的菲 亘定流1 7 1 1 8 l 黼1 1 2 1 】f 3 7 】 2 2 1 基本方程 明渠中鲍非恒定流用圣维南方耧缀进行描述。即运动方程鄹连续方程”在 雅导这垫方程薅捧了戳下徭设： 1 】渠道底部的倾角很小，因此s i n o t a n o 0 ，而c o s 6 1 ； 2 ) 断面上的压力按静水压力分布。水流铅獭方向加速度微小，即水简变 健缓浸，这楚铃合实际懿； 3 ) 瞬变状态的摩黻损失，可以用恒定流态的摩阻损失公式来计算； 4 ) 渠道横断面上的流速分布是均匀的； 5 ) 粢邀为顺直棱柱状渠道。 穰爨渡上簇设，幽牛顿第二运鞠定律秘矮堂守恒定律，霹攘导- t 3 q i 渠嚣餐 定流的基本方程： 1 ) 逑续方程 塑+ 曼竺+ y 塑。0( 2 一1 ) 0 t熬瓠瓠 2 ) 逡动方程 g 塞+ 詈+ y 警= g ( s o 吲( 2 - 2 ) 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 式中 y 一明渠水深，m ： v 一明渠中水流流速，m s ： a 一过水断面积，m 2 ： b 一渠道水面宽，m ； s 0 _ 一渠底坡度： s 厂阻力损失引起的能量坡度，由下式计算： 驴警，肚量 岱。， 式中n 一曼宁粗糙度系数； r 一水力半径，m ； z 媪周，m 。 2 2 2 求解方法【1 4 】f 3 8 】【3 9 】 圣维南方程是二对非线性偏微分方程组，圣维南方程组中的两个因变量水 深y 和流量q 就是明渠非恒定流计算中待求的未知量( 或称未知函数) ，在一 般情况下不存在解析解，要得到完整的圣维南方程组的解。只能采用数值计算 的方法。 但在计算机问世之前，以及在早期计算机的运算速度相对较慢、存贮量相 对较小的时候，人们只能求解简化形式的圣维南方程组，对圣维南方程组进行 各种简化的方法包括： 1 1 纯经验方法【4 0 】：通过对某一河段的入流和出流大量充足的观测资料来 率定基本的经验关系及参数，这种方法仅适用于无侧向入流无回水且 涨落变化较小的河段； 2 ) 线性化方法【4 l 】：略去次重要的非线性项或是将非线性项线性化，得到 可进行积分的简化方程组，通过积分求解。简化的方法包括下列简化 方式和假设：( a ) 略去动量方程的第二项；( b ) 定常截面，通常是矩 形截面；( c ) 常数底坡，通常为平坡；( d ) 摩阻项与流速及水深成线 性关系；( e ) 无侧向入流：( f ) 洪水波形具有简单的形状，可以用解析 式子给出。 3 ) 水文学方法【4 2 】：随着2 0 世纪初各国大规模河道整治工程的开展，提出 赳川i 大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 了一系列的简化洪水演进方法，这就是基于质量守恒方程的水文学方 法，但所有的水文学模型都受到单一水位流量关系的制约，因此由潮 汐作用引起的回水，旁侧流，坝或桥及水位流量为绳套曲线关系时均 不适用。 4 ) 简化形式的水力学方法【4 3 】：基于质量守恒方程并对动量守恒方程进行 不同形式的简化，包括运动学模型和扩散模型。运动学模型和扩散模 型有着较广的应用，它们适用于缓变底坡情形，但对许多缓变底坡与 洪水波形相结合的情形，就不适合用这两种模型来近似，而应该用完 整的圣维南方程组来处理。 自从s t o k e r ( 1 9 5 3 ) 【4 4 】首次尝试将完整的圣维南方程组用于o b i o 河流的洪 水计算以来，出现了大量的针对完整的圣维南方程组的数学模型( 动力波模型) 。 正是由于动力波模型的建立与完善、数值计算方法的发展以及运算速度越来越 高的计算机的出现，对完整的圣维南方程组的求解才变成现实。 2 _ 2 2 1 数值模拟的基本步骤【加j 数值计算的离散方法很多，但基本步骤基本一致： 1 1 问题定义：建立数学模型( 方程和定解条件) ，界定计算区域，预选参 数( 如糙率n 等) ； 2 ) 离散化：首先选择离散方法，将方程离散和区域几何离散( 划分网格 或单元) ，离散后的方程转化为以结点未知量表示代数方程组； 3 ) 解代数方程组：选定一种解法，编制计算程序，求出结点解值； 4 ) 结果整理：列表，绘图，显示计算结果，必要时进行第二级计算。 数值解的收敛性、稳定性和与实际水流的符合程度，很大程度上取决于数 学方程的离散形式，即采用的数值解法。因而数值计算中，计算方法选择得是 否合理是数值计算成败的关键。 2 2 - 2 2 数值计算方法 现有的数值计算方法可以划分为两类：有限单元法和有限差分法。 有限单元法1 4 5 】【4 q 是在2 0 世纪7 0 年代开始应用于计算水力学解决非线性问 题的一种研究方法，有限单元法是在积分最小值原理的基础上建立起来的。其 凹查堂堡兰堡堡苎! ! ! ! ! ! 基本思路是：将计算区域任意划分为适当形状( 如三角形、四边形) 的许多微 小单元( 称为子域) ；各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理( 变分原 理或加权原理) ，将微分方程化为控制所有单元的有限元方程；把总体的极值作 为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数 方程组；求解该方程组就得到各节点上待求变量的数值。有限单元法是离散方 法的一种，由于离散的概念是由对于试函数和未知函数妒的不同安排方法， 相对于谱方法( 谱方法【3 0 l 【3 l 】是7 0 年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的 方法，它具有“无穷阶”收敛性，可采用快速算法，现已被广泛用于气象、物 理、力学等诸多领域，成为继差分法和有限单元法之后又一种重要的数值方法) 而提出的，同样的离散方法可与不同的权函数相配合，构成加权余量法，所以 有不同的有限单元法，如最d , , - - 乘有限元法、配置法等。 有限差分【45 j 是最早提出的方程离散方法，但真正应用于流体力学的计算是 在2 0 世纪6 0 年代后，最初多用正规网格和松弛解法。1 9 6 8 年引入交替方向隐 式差分法，7 0 年代末提出上游加权有限差分法，至今已形成许多成熟的算法格 式和软件。目前的研究前沿是非线性问题的有效算法及理论分析。 有限差分的基本思想是将空间划分成许多小网格，时间分成许多小时段； 每一个网格中心点处的未知量视为该网格上的平均值，用差商代替微商，用差 分方程逼近微分方程；并根据原问题的初始边界条件合理地给出离散化代数方 程的初始边界条件，从而求出控制方程的数值解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖 分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为 了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的形 态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一 个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够 任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终 要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此 外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计 算过程是逐层推进的，在计算第n + 1 层的近似值时要用到第”层的近似值， 直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果 误差的影响越来越大，阻致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在 这种情形下，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近微分方程的精确 解。关于差分格式的构造一般有以下3 种方法。最常用的方法是数值微分法， 比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微 分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外 还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 2 2 2 3 数值计算方法的选择 在有限单元法中，把系统划分成若干单元，接着在这些单元节点上积分偏 微分方程。由于有限单元法的计算工作量大且程序复杂，仅有少数研究者采用。 与有限单元法相比，有限差分法具有计算工作量小，程序简单的优点，因 此在实际工程计算中得到广泛采用。在有限差分法中，用有限差分方程代替偏 微分方程，然后求解所得到的代数方程来确定过渡过程状态。有限差分法进一 步可以划分为：特征线方法( w y l i e 啪1 ，g o l d b e r g 和w y l i e 。“，h u a n g 和s o n g 。” 等) ，显式差分法( c h a u d h r y ”) 和隐式差分法( 普里斯曼( p r e i s s m a n ) 。3 ，h m e i n 和c h u ”“，j o l i f f e “”等) 。 在隐式差分法中，未知量呈隐函形式，在得到的代数方程中，通常是非线 性的。这些代数方程的求解比显式法更复杂，不易编制程序计算。但这种方法 具有无条件稳定的优点。 在显式差分法中，未知量呈显函关系，因此，在某点上时段末的未知状态， 可用时段初的已知状态来表示。因此，显式差分法更容易编制程序，且占用较 少的计算机存储量。但显式差分法必须满足柯兰特。2 ”稳定条件( c o u r a n t ) ， 即必须采用较小的计算时段。显式差分法包括扩散方法，两步腊克斯一温佐夫 ( l a x w e n d r o f f ) 方法和钟克尔( d r o n k e r ) 方法。在这些方法中，扩散方法最 为简单，容易编制程序，并能给出满意的计算结果。 特征线法是将一对偏微分方程求解问题化为解四个常微分方程的问题，先 把基本方程组转化为沿特征线的常微分方程组，然后改写为差分方程组，再结 合初始条件和边界条件进行数解或图解。这种方法意味着未知函数为连续情况， 即几乎沿一切方向的导数均有定义。因而这个方法不适台有大量几何形状变化 的系统，并且由于每当形成涌浪或激波时，特征线就交汇，此法就不适用了， 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 但推导明流边界条件需要特征方程。 综上所述，结合本论文的实际情况，采用扩散方法和特征线法结合进行无 压隧洞非恒定流计算，并与隐式差分法( p r e i s s m a n 法) 计算进行比较。 2 2 3 特征线法【l 】【2 】【1 7 】【2 9 l 【3 2 】 2 2 3 1 特征线方程 将瞬变流的基本方程( 2 - 1 ) 和( 2 - 2 ) 写成如下形式： h ：塑+ 兰竺+ 矿塑：o o tb 西缸 h 2 = g - - 塞+ 百o v + v o 缸v - = g ( s o - s )d f 卿 将方程( 2 4 ) 和( 2 - 5 ) 用因子c , a 进行线性组合得： ：+ c b h ，= 百o v + + c ) 尝】+ 詈岳+ ( y 卅罢】= g ( s o - 已) 即c 彳b h 。= 百o v 州叫掌一骘川叫耶。喝) 式中c 一明流波速，由下式计算： 。：阻 vb 方程( 2 - 6 ) 和( 2 7 ) 即为明流边界特征线方程。 2 2 3 2 特征方程的差分形式 通过定义a 4 d t = v 十c 将方程( 2 - 6 ) 转化成常微分方程，定义a x a t = v c 将方程( 2 7 ) 转化成常微分方程。因为出触= v + c 是在x - t 平面内的正特征线 的方程式，所以方程( 2 - 6 ) 称为前向特征方程或正特征方程。同样，出伽= v c 是在x t 平面内的负特征线的方程式，所以方程( 2 7 ) 称为负特征方程。参照图 2 1 ，将方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 用有限差分表示为： 警”。) 簪+ 毒【孕舭。) 警】_ g ( s o - s y u ) ( 2 9 ) 的 陋 四川大学顿士学位论文( 2 0 0 5 ) 业a t 氓训譬一毒【学帆刊訾凤( 蚋) ( 2 一i o ) 在方糨( 2 - 9 ) 和( 2 - 1 0 ) 中，下标l 、m 、p 和r 衷示在x t 平面中各个点的 变量( 见黼2 - 1 和图2 2 ) 。 t 口 j 、 。 i j 一i 。 上游边界 秭下游边莽 图2 - 1难和负特征方程的符号 方糕2 - 9 ) 秘2 一l ) 戆整理袋f 捌万程： 1 ) 负特征方程( 躅2 - 1 ( a ) ) ： 诈= 已十c o y p 式中 g = 十尝( 一) ( 一) 一i g y u 一尝( 一) ( 欺一) 】+ g 溉一洫 巴= 毒= 偿c ，v 石村 2 ) 菠特征方程( 隰2 - 1 ( 酶) ： 巧= c e c a y e 式中 址 ( 2 一1 1 ) ( 2 - 1 2 ) f 2 1 3 ) 稼* 1 4 ) 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) q j k 零”叫叱， ， + 言一尝( 饥肌仇) 】+ 耶。一) f + 2 2 4 扩散法1 1 】 2 j 【3 3 i 用扩散法求解方程( 2 - 1 ) 和( 2 2 ) ，即方程中的偏导数由下列有限差分所代替 ( 图2 2 ) ： t t o 十t t 0 至：生二如竺：世 a t& a t& 鱼：二丝竺：盟 a x2 ra 譬2 a r 图2 - 2 扩散法的符号 同时0 用代换。m 点的状态由下式计算： v m = 吉( + v r ) ( 2 一1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) 四门l 大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) y “= ( y l + y r )( 2 - 1 9 ) s = ( s 且+ s 胛) ( 2 - 2 0 ) 将方程( 2 - 1 6 ) 和( 2 - 1 7 ) 代入方程( 2 - 1 ) 和( 2 - 2 ) ，经整理可得： 巧= + i 1 石m ( 一) + g ( y l - y r ) + 舶f 吼一i 1 ( + ) ( 2 - 2 1 ) ”2 y ”+ i 1 石a t 瓦1 ( 骁一绋) ( 2 2 2 ) 由上述方程可以看出，点p 的未知状态已用点l 和r 的已知状态来表示。 方程( 2 2 1 ) * n ( 2 2 2 ) 用于求解内部截面上的水深外和流速。 坚! ! ! 查兰堡主堂些塑兰! ! ! 堕1 3 引水发电系统无压隧洞非恒定流计算数学模型研究 3 1 概述 由第二章介绍可知，方程( 2 - 2 1 ) 和( 2 - 2 2 ) 用于求解内部截面上的水深y ，和流 速k 。而特定的边界状态则是由边界所施加的条件和正或负特征方程联解或同 时和这两个方程联解来确定的。 在本节中，用两个下标来标示各个断面的变量。第一个下标表示渠段：第 二个下标表示断面号数。下标p 是用来表示在时间“+ f 时的未知量( 图2 - 2 ) 。 在本节中，主要推导明渠非恒定流计算中常用的四个边界方程，并建立相应的 数学模型。 3 2 边界数学模型川【2 】【1 7 j 【3 4 】【4 7 3 2 1 上游水库 设水库入口损失是t 2 9 ，由图3 - l 可知： y 。砘郇篆 - ， 式中 y 。一上游水库水深，1 1 1 七一水头损失系数。 联立式( 3 一1 ) 和负特征方程( 2 1 1 ) ，解出，得 n ：二! 型! 二! ：! 鱼里! 兰竺!( 3 2 ) 。- - 2 c 式中 c ：c o o + k )( 3 3 ) z g 于是少日。可由负特征方程确定。 如果水头损失和进口段的速度水头可以忽略，则j ，b = y 。：。可由负特 征方程计算。 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) 仅对正向水流有效，对负向水流可以1 写出类似公式。 图3 1 上游水库边界 3 2 2 下游水库 设水头损失是。唁。2 9 ，由图3 2 可知 y 。，= y 。+ ! ! ! 挚 式中y 。一下游水库水深，m c ，一水头损失系数。 联立式( 3 4 ) 和正特征方程( 2 1 4 ) ，解出。得 = 堂竺掣 式中 c ：c 一( 1 - c v ) ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 四川大学硕士学位论文( 2 0 0 5 ) 图3 - 2 下游水库边界 3 2 3 上游或下游端流量变化 引水发电系统无压隧洞中流量变化往往是由于机组负荷发生变化所引起 的。将流量表示成时间的函数，即函数q = q ( ，) 是已知的，因此 ，= 爿( 砘) ，= q ( 0 ) ( 3 7 ) 式中 a ( y # ，) - - z k n y g y 日。时的面积，m 2 ； q ( t ，) - - t ，时刻的流量， 。 方程( 3 7 ) 和负特征方程( 2 11 ) 迭代求解即可得到上游无压隧洞边界截面 的水深和流速。同样，方程( 3 7 ) 和正特征方程( 2 - 1 4 ) 迭代求解即可得到下游 无压隧洞边界截面的水深和流速。 3 2 4 两个渠道的接头 如图3 3 所示，在两个渠道接头处的能量方程可写成 v 2t ，2 y “+ 等- z 。氓。“1 “) 等 。- 8 ) 式中 七一渠道连接处的水头损失系数； 互渠底上升值或下降值，脚。z j = ( i 十1 ) 段渠道底部高程 一 i 段渠道底部高程 。 由图3 3 可知，两个渠道接头处满足正负特征方程，故 些型查堂堕圭兰垡丝塞! ! 塑! ! 。= e + 气。y 。= c p c o , y p , 。 渠道连接处流量连续，故可写出连续方程，即 爿( y b ，) 。= 爿( y # 。) 。 联立方程( 3 - 8 ) 至( 3 - 1 1 ) ，即可确定渠道接头处的水深和流速， y q ，托。，。和。 图3 - 3两个渠道的接头 ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 1 ( 3 - 1 1 ) 即求出 3 3 初始水面线计算 计算明渠瞬变过程时需要知道系统内所有断面上的初始恒定流状态，即需 要知道无压隧洞每一节点处的水深和流速。计算水面曲线即可知道水深，由流 量连续方程即可计算出各节点的初始流速。 明渠恒定流分为均匀流和非均匀流，现在分别介绍均匀流和非均匀流状态 下水深的计算方法。 3 3 1 明渠恒定均匀流正常水深计算f 1 8 】 3 3 1 1 明渠均匀流计算公式 明渠均匀流水力计算的基本公式基于两个方程式， 程，即 q = a v = 常数 式中 9 一流量，m 3 s ； 其是恒定流的连续方 ( 3 - 1 2 ) 一婴型查兰堡主兰堡垒苎! ! ! ! ! ! 爿一过水断面面积，m ： v 一水流流速，m s ： 另一个是均匀流的的动力方程，即谢才公式，其形式如下 v = c 撕万 ( 3 一1 3 ) 式中 c 一谢才系数，埘v 2 厶： r 一断面水力半径，m 。r = 一1 ，z 为湿周； z ，一水力坡度。 对于明渠均匀流来说，因为j = i ，所以谢才公式可以写成如下形式 v ：c 鬲( 3 1 4 ) 式中 f 一渠道底坡。 谢才系数的经验公式是根据阻力平方区紊流的大量实测资料求得的，所以 谢才系数的经验公式只能适用于阻力平方区的紊流。明渠中的水流多系处于阻 力平方区，目前工程界广泛采用满宁公式或巴甫洛夫斯基公式来确定上列公式 中的谢才系数c 。 3 3 1 2 谢才系数的确定 1 ) 满宁( m a n n i n g ，1 8 9 0 ) 公式 c = t r i 6 ( 3 - 1 5 ) 疗 式中玎一粗糙系数，或简称为糙率。 因