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山东大学硕士学位论文 对n u r b s 曲线曲面进行形状调整的研究 硕士研究生：孙利君 指导教师：张彩明教授 捅要 作为c a d 系统国际工业标准之一的n u r b s 曲线曲面在计算机辅助几何设 计( c a g d ) ，计算机图形学( c g ) 和几何造型( g m ) 等应用领域中都具有非常重要 的作用随着这种几何模型的广泛应用，尤其是在交互式设计中，对n u r b s 曲线曲面形状进行调整是一个十分重要的环节，本文研究了以往对n u r b s 曲 线曲面进行形状调整的方法，同时提出了一种新的调整方法一导矢叉乘法。 本文首先对n u r b s 的发展和一些基本概念作了比较简短的概括性介绍，指 出了对n u r b s 曲线曲面进行形状调整的可行性和必要性。接着综叙了多种以往 应用于n u r b s 曲线曲面调整的方法：通过节点向量、控制顶点、权因子、几何 性质的变化以及通过扰动法来调整曲线曲面。总结并且指出了它们存在的不足 与需要改进的地方。比如：设计者在修改曲面时，通过间接的调整顶点、权因 子和节点矢量进行形状修改既繁琐、耗时又不直观，难以既定性又定量地修改 曲面的形状。局部调整控制顶点难以保持曲面的整体特性，如光顺性。但从这 些方法中看出目标函数的定义和求解最为重要，这也是本文方法的突破口。 另外，对于衡量n u r b s 曲线曲面形状调整结果好坏的标准也作了阐述。根 据应用范围的不同衡量标准主要分为两类：一类是以最接近原来的曲线曲面为 准，即以偏离原来曲线的程度来衡量；另一类是基于光顺的原则，即使得调整 后的曲线曲面看上去更加平滑和光顺。 接下来，本文实现了一种对n u r b s 曲线进行形状调整的新方法导矢叉 乘法。新方法用新旧曲线上对应点的两个导矢叉乘平方的积分定义目标函数， 通过极小化目标函数使新曲线偏离原曲线的程度最小，从而求出控制点的变化 量，进而得到所求的n u r b s 曲线。这一方法的主要工作包括： 1 ) 约束条件的定义：根据n u r b s 曲线的定义，以及调整曲线上某点或者多 山东大学硕士学位论文 点处的及和性质，这些几何性质转化成相应的数学表示，形成一个或多个约束 条件。 2 ) 目标函数的确定：用调整后曲线同原曲线同一参数对应点处的导矢叉乘 平方的积分来定义此函数，并且极小化此目标函数，再加上前边定义的约束条 件，共同形成一个线性方程组。 3 ) 目标方程的解法：经过一系列的推导，得到此线性方程组的解，从而求 得控制定点的变化量。 最后通过实际的侧子对此方法和以往三个有代表性的方法：m i n - l e n g t h 法、 折弯能量法、拉伸能量法产生的结果和误差进行了比较，结果证明了这种方法 的有效性和实用性，即新方法生成的新曲线偏离原曲线的程度最小，从而更具 有原曲线所定义的形状。在计算机辅助设计的其它应用中，新方法是否也能构 造出较为理想的目标函数，将是我们以后进一步研究的课题。 此方法可以推广到n u r b s 曲面上，直接通过改变曲面上点的几何属性来调整 曲面的形状，而且在满足给定约束条件的情况下，使调整后的曲面偏离原曲面的 程度最小，从而为n u r b s 曲面的交互式设计提供一种有效和灵活的调节手段。 关键词： c a g d ；c a d ；c a m ：b 样条；n u r b s ；r a i n l e n g t h 法；折弯能量法；拉伸能量法；l a g r a n g e 函数 山东大学硕士学位论文 s h a p e m o d i f i c a t i o no f n u r b sc u r v e sa n ds u r f a c e s g r a d u a t es t u d e n t ：l i j u ns u n d i r e c t o r ：p r o f c a l m i n gz h a n g a b s t r a c t a so n eo fi n t e r n a t i o n a li n d u s t r i a ls t a n d a r d so fc a d ( c o m p u t e ra i d e d d e s i g n ) s y s t e m s ，n u r b s c u r v e sa n ds u r f a c e sh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si n c a g d ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) ，c g ( c o m p u t e rg r a p h i c s ) a n dg m ( g e o m e t r i cm o d e l i n g ) w i t ht h ew i d ea p p l i c a t i o n so ft h i sg e o m e t r i cm o d e l ， e s d e c s h a d e e x l s t a l l yi ns o m ei n t e r a c t i v ed e s i g n s ，i ti sak e ys t e pt oa d j u s tt h e o ft h en u r b sc u r v e sa n ds u r f a c e s t h i sp a p e rs u m m a r i z e ds o m e n gm e t h o d st oa d j u s tt h es h a p eo fn u r b sc u r v e sa n ds u r f a c e sa n d p r e s e n t san e wm e t h o dw h i c hi s n a m e dac r o s sp r o d u c to ft a n g e n tv e c t o r s m e t h o d 。 f i r s t l y ，t h ep a p e r i n t r o d u c e sab r i e fc o n c i s ec o n c e p t sa n dt h e d e v e l o p m e n to f n u r b s t h ef e a s i b i l i t ya n dt h ee s s e n t i a l i t yf o ra d j u s t i n g t h es h a p eo ft h en u r b sc u r v e sa n ds u r f a c e sa r ep r e s e n t e d i nt h ef o l l o w i n g s e c t i o n s ，s o m ee x i s t i n gm e t h o d sa r ei l l u s t r a t e d ，s u c ha sa d j u s t i n gk n o t v e c t o r s ，a d j u s t i n gc o n t r o lv e r t e x e s ，a d j u s t i n gw e i g h t s ，a d j u s t i n gt h e c h a n g e so fs o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e sa n dg i v i n gs o m ep e r t u r b a t i o n sf o r t h o s ec o n t r o lp o i n t s m o r et h eo v e r ，t h i sp a p e rs u m m a r i z e st h ea b o v e m e t h o d sa n dp o i n t so u tt h ed e f i c i e n c i e sa n di m p r o v e m e n t sn e e d e df o rt h e m f o re x a m p l e ，w h e nd e s i g n e r sa d j u s ts u r f a c e su s i n ga b o v em e t h o d s ，t h e y f e e lt h a ti t i st r i v i a l ，c o s t i n gt i m e ，d i f f i c u l ta n di n d i r e c t i t i s d i f f i c u l tt om a i n t e n a n c et h e t o t a lp r o p e r t i e sb ya d j u s t i n gc o n t r o l p o i n t sl o c a l l y b ya n a l y z i n ga b o v em e t h o d s l w ed r a wac o n c l u s i o nt h a t i ti si m p o r t a n tt od e f i n ea no b j e c t i v ef u n c t i o na n ds o l v et h ee q u a t i o n s ， w h i c ha r ef o c u s e do ni no u rn e wm e t h o d 山东大学硕士学位论文 i na d d i t i o n ，t h i sp a p e rd e s c r i b e st h es t a n d a r d sf o re v a l u a t i n gt h e s h a p eo fn u r b sc u r v e sa n ds u r f a c e s t h es t a n d a r d sa r ed i v i d e di n t ot w o t y p e s t h ef i r s tt y p ed e f i n e st h ep r i n c i p l ew h i c hi sb a s e do nt h ed i s t a n c e b e t w e e nt w oc u r v e sa n dt h eo t h e rd e f i n e sp r i n c i p l ew h i c hi sb a s e do nt h e f a i r n e s so ft h en e wc u r v e i nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s ，t h ep a p e rp r e s e n t san e wm e t h o dt oa d j u s t t h es h a p eo fn u r b sc u r v e s ，i ti sa l s on a m e dc r o s sp r o d u c to ft a n g e n t v e c t o r s t h en e wm e t h o dd e f i n e dt h eo b j e c t i v ef u n c t i o nb yt h ei n t e g r a l o ft h es q u a r e dc r o s sp r o d u c to ft h et w ot a n g e n tv e c t o r so ft h eo r i g i n a l a n dn e wc u r v e s ，t h e no b t a i n e dt h ec h a n g e so fc o n t r o lv e r t e x e sa n do b t a i n e d t h ed e s i r e dn u r b sc u r v e s t h em e t h o dm a i n l yc o n c l u d e s ： 1 ) t h ed e f i n i t i o no fc o n s t r a i n tc o n d i t i o n s ：a c c o r d i n gt ot h e d e f i n i t i o no fn u r b sc u r v ea n dg e o m e t r i cp r o p e r t i e sa ts o m ep o i n t so nt h e c u r v e ，t h ec o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c se x p r e s s i o n sa r eo b t a i n e d ， c o n s t r a i n tc o n d i t i o n sa r es e t u p 2 ) t h es e t t i n gu pt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ：t h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni s d e f i n e db yt h ei n t e g r a lo ft h es q u a r e dc r o s sp r o d u c to ft h et w ot a n g e n t v e c t o r so ft h eo r i g i n a la n dn e wc u r v e s c o n s e q u e n t l f ，t h eo b j e c t i v e f u n c t i o ni sm i n i m i z e d t h e nw eg e tt h el i n e a re q u a t i o n st o g e t h e rw i t h a b o v ec o n s t r a i n e dc o n d i t i o n s 3 ) t h es o l u t i o no ft h eo b j e c t i v ee q u a t i o n s ：w ec a ng e tt h ev a l u e so f t h e e q u a t i o n sb yc o m p u t i n g s ot h ec h a n g e so ft h ec o n t r o lp o i n t sa r e o b t a i n e d i nt h el a s t ，t h ee x a m p le sf o rc o m p a r i n gt h es h a p e sa n de r r o r so ft h e c u r v e sb yt h en e wm e t h o da n do t h e rt h r e em e t h o d sa r ein c l u d e d t h et h r e e m e t h o d sa r em i n l e n g t hm e t h o d ，b e n d i n g e n e r g ym e t h o da n ds t r e t c h e n e r g y m e t h o d w ed r a wac o n c l u s i o nt h a tt h en e wm e t h o di sm o r ee f f e c t i v ea n d p r a c t i c a l i ts h o w st h a t t h en e wm e t h o dm a k e st h ed e v i a t i o no ft h en e w c u r v ef r o mt h eo r i g i n a lo n el e a s t ，w h i c hm a k e st h en e wc u r v eh a v et h es h a p e 山东大学硕士学位论文 d e f i n e db yt h eo r i g i n a lc u r v ew h i l es a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n sr e q u i r e d b yt h em o d i f i c a t i o n i nt h ef u t u r e ，w ew i i id om o r er e s e a r c hw o r kt of i n d o u tw h e t h e rt h en e wm e t h o dc a ng e ts a t i s f y i n go b j e c t i v ef u n c t i o n si no t h e r a p p ic a t i o r so fc a g d t h ism e t h o dc a nb ee x t e n d e dt ot h en u r b ss u r f a c e s t h em e t h o da d j u s t s t h es h a p eo fs u r f a c eb yc h a n g i n gg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fs o m ep o i n t so n i ta n dm a k e st h ed e v i a t i o no ft h en e ws u r f a c ef r o mt h eo r i g i n a lo n el e a s t s a t i s f y i n gt h eg i y e nc o n d i t i o n s t h em e t h o dc a nb eu s e da sa ne f f e c t i v e a n df l e x i b l em e a s u r et oa d j u s tn u r b ss u r f a c e si n t e r a c t i v e l y k e y w o r d s ： c a g d ；c a d ；c a m ：b - s p l i n e ；n u r b s ；m i n l e n g t hm e t h o d ；b e n d i n g e n e r g y m e t h o d s t r e t c h e n e r g ym e t h o d ：l a g r a n g ef u n c t i o n 山东大学硕士学位论文 原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：蛰：剑焘日期： 弘。垆、l ，b 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：盈! 垒! j 簋芝导师签名： 日期：礁! ! ：! ：3 啦 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 n u r b s 曲线曲面的发展历史 c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) c a m ( c o m p u t e ra i d e dm a n u f a c t u r e ) 技术起源 于航空工业由于飞机的外形复杂，含有大量的曲面，因此，c a d c a m 技术从一 开始就与曲线曲面造型技术紧密联系在一起作为c a d 系统中和c a g d ( c o m p u t e r a i d e dg e o g r a p h i cd e s i g n ) 中最重要的一个概念，n u r b s 曲线曲面理论的发展与 完善是国内外无数科研工作者几十年的努力的结果 6 0 年代初，f e r g u s o n 首先在飞机设计上应用了参数三次曲线“，引入了参 数方法表示的自由曲线曲面b 6 z i e r 在1 9 6 2 设计了以逼近为基础的曲线曲面 造型系统u n i s u r f ，其核心思想是用控制网格定义曲线曲面的b 6 z i e r 方法。1 随后，f o r r e s t 。3 ，g o r d o n 和r i e s e n f e l d “5 1 等对b 6 z i e r 方法做了深入研究，揭 示了b 6 z i e r 方法与b e r n s t e i n 多项式之间的联系，从而使其具有更坚实的理论 基础1 9 8 3 年，f a r i n “更进一步研究了能统一表示圆锥曲线与自由曲线的有理 雎z i e r 曲线 b 样条的概念最初是s c h o e n b e r g 于1 9 4 6 年首先提出来的”1 c l a r k 。， d eb o o r “1 和c o x “2 3 分别对b 样条曲线做了研究7 0 年代初，g o r d o n 和 r i e s e n f e l d 等人研究了非均匀b 样条”“1 ，并首次将b 样条应用到外型设计 “3 v e r s p r i l l e 完成了有关有理b 样条的博士论文“在8 0 年代初期，l a n e 和c o h e n 提出了离散b 样条和分割技术”6 1 7 1 9 8 2 年，b o e h m 提出了b 样条盐线 的节点插入算法“：t i l l e r 论述了有理b 样条曲线曲面的具体应用“此后，l p i e g l 和w t i l l e r 更系统地探索了有理b 一样条曲线曲面的构造和形状调整问 题，并系统论述t n u r b s ( n o n u n i f o r mb - s p l i n e ) 方法“2 2 由于n u r b s 方法 可以用统一的方式表示由一次，二次曲线曲面和其它自由曲线曲面复合成的复 杂曲线曲面，同时具有局部性及连续阶可调性，所以它在外形设计方面具有强大 的功能与潜力，逐步成为几何造型的核心技术n u r b s 方法的引入大大增强了 c a d c a m 系统的曲面造型功能，因而得到了日渐广泛的应用目前，产品模型 数据交换的国际标准s t e p ( s t a n d a r df o rt h e e x c h a n g eo fp r o d u c tm o d e ld a t a ) 己选用n u r b s 作为几何描述的主要方法”“n u r b s 己曰益成为众多c a d c a m 系统 一些查奎堂堡主兰垡堡奎 的基本几何表达形式和数据交换的国际标准 1 2 n u r b s 曲线曲面的相关概念简介 1 2 1 b 样条曲线的定义和性质 设矗，日，曼，只为空间中给定n + 1 个点，称下列参数曲线 月 、 p ( f ) = 只e ，。( r ) ， 一，t o 。 为k 阶( 或七一1 次) 的b 样条曲线，折线昂墨b 只为p q ) 的控制多边形，点集) 为p ( t ) 的控制顶点，见图1 1 。 由置。( f ) 的性质知b 样条曲线 e ( t ) 具有以下性质 ( 1 ) 局部调整性 由于b 样条基函数置j ( f ) 只在 图1 1 8 样条曲线及其控制多边形 ，+ 。) 上不为零，曲线p ( f ) 在区间h t + 1 ( 女一1 i 聍) 上的部分只与控制顶点 卫一，# “+ 2 ，只有关。反过来，如果只变动某一个控制顶点霉( o i ) 曲线p ( f ) a z r n - - n 黻毁4 l ( 对应于t + 。的那一段) ，p o ) 的其它部 分均不发生变动。这就为设计曲线时修改某一局部的形状带来了很大方便。 ( 2 ) 几何不变性 和b z i e r 曲线一样，b 样条曲线也具有几何不变性，即曲线p ( f ) 的形状和位 置与坐标系的选择无关。 ( 3 ) 分段参数多项式 p ( f ) 在每一区间i t , ，+ ， ( k - 1 i 九) 上都是次数不高于七一1 次的参数f 的 多项式曲线，p ( t ) 在阮+ 0 + 。 上是关于参数f 的分段多项式曲线。 山东大学硕士学位论文 ( 4 ) 连续性 p ( t ) 在，重节点r ( f n ) 处的连续阶不低于k l z 。整条曲线p ( t ) 的连 续阶不低于k - 1 - i m 。，其中。表示位于区间 1 k - i , + ，】内节点的最大重数。 ( 5 ) 凸包性 曲线p ( t ) 在区间哦，t i + 。】( k - 1 i - ) 上的部分位于k 个控制顶点异。， 只+ ：，只的凸包c i 内。整条曲线p ( r ) 则位于各凸包c l 的并集u e 之内。 ，。一l ( 6 ) 保凸性 b 样条曲线和b 6 z i e r 曲线一样，也具有保凸性，即当连接昂后，如果 昂置昱形成一个平面凸的闭多边形，则p ( f ) 是一条平面凸曲线，参见图1 2 。 图1 2b 样条曲线的保凸性 ( 7 ) 变差缩减性 设p ( r ) 的控制多边形昂弓昱只是一平面多边形，则该平面内的任意直线与 p ( f ) 的交点个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数。 ( 8 ) 造型的灵活性 设计曲线时，有时希望在曲线某一点处形成角点，或将某一段变成一直线段， 或要求曲线与某一直线相切。b 样条曲线提供了实现这些要求的手段。灵活地选 择控制点的位置和节点f 的重数，可形成许多特殊形状，以满足设计的要求。 ( 9 ) 导数曲线 由b 样条基函数的导数公式得到b 样条曲线的导数曲线为 p ( f ) ：( ) 窆善粤( r ) ，。f t n 。 ( 1 2 ) i - 1 l j + 女一1 一i i 它是一条k 一1 阶( 或k 一2 次) 的b 样条曲线。 山东大学硕士学位论文 b 样条曲线p ( r ) 一般不经过只和只两点，如果要使曲线经过只和只两点 只需定义t o = t 2，一t k 一1 和乙“= 0 + 2 一_ t + k 即可。 和b 6 z i e r 曲线一样，从图形上看，可用控制多边形大致勾画b 样条曲线的形状， 再通过局部修改方便地调节曲线，使曲线的形状满足设计要求，因此b 样条蓝 线是很适合用作人机图形交互的一种曲线。 1 2 2b 样条曲面的定义和性质 设节点向量u = “) ：二二。，v = h ) ：( “，“。，v j v i + 。) 分别是对参数“v 平面 的“轴和v 轴的分割，见图1 _ 3 。称下列张量积形式的参数益面为k h ( k h ，h m 1 阶的b 样条曲面 e ( u ，v ) = 弓置， ) 哆 ( v ) ， “l “蝴+ 1 ，v v v m + 】( 1 3 ) 其中只是空间中给定的( h + 1 ) ( m + 1 ) 个点，通常称为p ( u ，v ) 的控制顶点。b ，女( “) 或( v ) 分别是关于节点向量u ，矿的豇阶和厅阶的b 样条基函数a 由两组多边形 e o f , 。只：p , m ( f = o ，1 ，2 ，竹) 和最，只，最，- - 岛( ，= o ，1 ，2 ，研) 组成的网格( 见图 1 4 ) 称为p ( u ，v ) 的控制网格，且记为 弓 。 圈13 “v 平面的分割 图1 4b 样条曲面及其控制网格 与b 6 z i e r 曲n - - f 4 ，( b 是对曲面尸( “，v ) 的大致形状的勾画；p ( “，v ) 是对 只) 的逼近。b 样条曲面也具有局部调整性、凸包性、几何不变性等：它的控制 网格也是人机交互的手段。 山东大学硕士学位论文 1 2 3n u r b s 曲线的定义和性质 n u r b s 曲线。”为一分段的多值有理多项式函数。设最，暑，县，为空间中给 定的i 1 + 1 个点，称下列参数曲线 p ) = 只置，i ( “) i “”+ l ( 1 4 ) i = 0 为k 阶( 或t 一1 次) 的b 样条曲线，折线晶只最只为p ( “) 的控制多边形，点集 只) 为p ( “) 的控制顶点，r i , k ( “) 为节点矢量u = ( “。，“。l d n + k ) 上由权函数形和k 阶 b 一样条基函数骂。( “) 定义的基函数 ，、形e ，t 和) r 础( ) = i ! 二二。 w s b j , ( “) j = o n u r b s 曲线同b 样条一样，也具有局部调整性、凸包性、几何不变性等性 质。同时由于权因子的加入，使得对于它的调整更增加了灵活性。 1 2 4n u r b s 曲面的定义和性质 n u r b s 曲面。”的定义同b 样条曲面类似，由式1 5 定义 h b 础 ) b j 一( v ) 弓 p ( u ，v ) = 立竿专一 “l 材“n + 1 ，v 扣l v v 珊州( 1 5 ) e ，。( u ) b j ，。( v ) i = o j = o 其中只是空间中给定的0 + 1 ) ( 脚+ 1 ) 个点，通常称为p ( u ，v ) 的控制顶点。e ，* ) b j 。( v ) 分别是关于节点向量u ，v 的i 阶和矗阶的b 样条基函数，为权函数。 n u r b s 曲线曲面具备多项式b 样条方法所具有的一切特性。 1 3对于n u r b s 曲线曲面形状进行调整的必要性和可行性 作为c a d 系统国际工业标准之一的n u r b s 曲线曲面在计算机辅助几何设计 ( c a g d ) ，计算机图形学( c g ) 和几何造型( g m ) 等应用领域中都具有非常重要的作 山东大学硕士学位论文 用，它的作用主要基于以下优点： 1 可用一个统一的表达式同时精确表示标准的解析形体( 如圆锥曲线、旋 转面等) 和自由曲线、曲面。 2 为了修改曲线曲面的形状，既可借助调整控制顶点，又可利用权因子 因而具有较大的灵活性。 3 与多项式b 样条一样，n u r b s 方法的计算也是稳定的。 4 n u r b s 曲线曲面在线性交换下是几何不变的线性交换系指缩小、旋转、 平移、剪变、平行与透视投影等。 5 已经具有功能完善的几何计算工具，其中包括节点插入与删除、节点加 密、升阶、分割等的算法与程序。这些工具可用于整体设计、分析、加 工和查询过程中。 基于这些优点，我们看出对于n u r b s 曲线曲面形状进行调整是可行的，而且 能够进行局部调整，调整的方法也有多种，比如；借助于控制顶点、权因子等等 属性。我们为何要对n u r b s 曲线曲面进行形状调整呢? 因为在工程设计中，比如c a d 种设计一个模具的几何造型，首次设置的参数 ( 比如：控制点和权因子) 不够合适的话，产生的形状与想象中的可能会差距很 大，为了使设计者能够更好地设计出想要的产品，必须对得出的曲线曲面进行修 正，最好能够从直观上直接进行修正和调节，这是十分必要的。如何更快更好更 有效地满足设计者调节曲线曲面的要求显得十分迫切，各种调整方法正是基于此 而提出并且不断完善的。 1 4 n u r b s 曲线曲面形状调整在曲面造型中的重要性 曲面造型( s u r f a c em o d e l i n g ) 是c a g d ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) $ c g ( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对 曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放 样工艺，由c o o n s 、b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。如今经 过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理b 样条曲面( r a t i o n a lb s p l i n e s u r f a c e ) 参数化特征设计和隐式代数曲面( i m p l i c i ta l g e b r a i cs u r f a c e ) 表示这两类 山东大学硕士学位论文 方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手 段为骨架的几何理论体系。 首先简单回顾一下它的历史，1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提 出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线。从此曲线曲面的 参数化形式成为形状数学描述的标准形式。1 9 6 4 年美国麻省理工学院的c o o n s 发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一 块曲面。但这种方法存在形状控制与连接问题。1 9 7 1 年法国雷诺汽车公司的 b e z i e r 提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。这种方法不仅简单易用，而且 漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面 造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但b e z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改 问题。到1 9 7 2 年，d e - b o o r 总结、给出了关于b 样条的一套标准算法，1 9 7 4 年 g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应用于形状描述，最终提出了b 样条方法。 这种方法继承了b e z i e r 方法的一切优点，克服了b e z i e r 方法存在的缺点，较成 功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题， 从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，b 样 条方法显示出明显不足秉不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产 品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理 混乱。为了满足工业界进一步的要求，1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 首 次提出有理b 样条方法。后来由于p i e g l 和t i l l e r 等人的功绩，终于使非均匀有 理b 样条( n u r b s ) 方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。从它的发展 历史我们可以看出n u r b s 方法的提出和广泛流行是生产发展的必然结果。所以 它的重要性也就不言而喻了。 从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面 拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性。这其中 曲碰的变形是最基本也是最广泛应用的方法，传统的n u r b s 曲面模型仅允许调 整控制顶点或权因子来局部改变监面形状，至多利用层次细化模型在曲面特定点 进行直接操作；一些简单的基于参数曲线的曲面设计方法，如扫掠法( s w e e p i n g ) 、 蒙皮法( s k i n n i n g ) 、旋转法和拉伸法也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状。计 算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状 山东大学硕士学位论文 调配方法，于是产生了自由变形( f f d ) 法、基于弹性变形或热弹性力学等物理模 型的变形法、基于求解约束的变形法、基于几何约束的变形法等曲面变形技术， 以及基于多面体对应关系或基于图像形态学中m i n k o w s k i 和操作的曲面形状调 配技术。 1 5对于n u r b s 曲线曲面形状进行调整的研究现状和存在的弊端 在c a d c a m c a g d 中，对n u r b s 曲线曲面的形状进行调整的历史由来己久， 设计者在修改曲面时，往往要求面向形状的修改。通过间接的调整顶点、权因子 和节点矢量进行形状修改既繁琐、耗时又不直观，难以既定性又定量地修改曲面 的形状。局部调整控制顶点难以保持曲面的整体特性，如凸性或光顺性。后来基 于物理模型的曲面造型方法为克服这些不足提供了一种手段。用基于物理模型的 方法对变形曲面进行仿真或构造光顺曲面是c a g d 和计算机图形学中一个重要 研究领域。在这些调整方法中比较有代表性的是lp i e g l 在1 9 8 9 年发的两篇文 章m “1 。后来陆续有多篇论文陋”“1 3 3 ”发表来讨论这类问题，但大致的思路主 要有两类：一类是调整节点向量从控制顶点矿或权因子”；另一类是直接改 变曲线或曲面的几何特性。 对于第一类调整，理论上，通过三者任何一个的改变，都能够达到对曲线或 曲面的调整。实际上，为了便于交互式操作和基于直观性的考虑，主要表现为对 控制点的改变陆“4 “。另外通过改变权因子的操作对n u r b s 曲线或蓝面进行修 改，从某种角度看，等同于控制点的改变啪“，但由于其修改能力十分有限，一 般不采用这种形式。 ， 在几何建模和图形应用中，有时需要改变曲线或曲面的几何特性来调整它们 的形状，这些几何特性是很重要的。比如：曲线上某一点的位置、斜率、曲率等 “。常规的方法一般不能够直接通过调整曲线上任意点的几何特性来达到调整曲 线的目的：但有时可以改变一些特别点的几何属性，比如b e z i e r 曲线，只能够 调整它两个端点的性质，而不能直接控制它的内部点。相似的问题在n u r b s 曲线 曲面上也有体现。b a r r yf o w l e r 对此进行了研究”“，并提出了解决的方法 ( m i n l e n g t h 法) ，但是该方法得到的结果在某种意义下不是最优的，例如：该 方法产生出的新曲线和原曲线的偏离误差并不是最小的。另外，基于精确能量函 山东大学硕士学位论文 数的方法虽然很好，但由于它求解的非线性性，在实际应用中都用它的近似形式 来代替。“3 “3 2 13 “，这样形成了两种方法：折弯能量法( b e n d i n g ) 和拉伸能量法 ( s t r e t c h i n g ) ，但用它们产生的结果在许多情况下也不很理想。 1 6本文的目的和主要成果 鉴于目前n u r b s 蓝线曲面形状调整方法需求的迫切性和以上所述方法的弊 端，本文首先针对这类调整问题的以往方法进行概要的分析和总结，主要是提出 了一种调整n u r b s 曲线形状的新方法导矢叉乘法，并对这种方法进行了比较 详细的论述。 应用该方法对n u r b s 曲线迸行形状调整，可使修改后的曲线与原曲线的偏离 在给定目标函数的意义下尽可能小。方法的基本思想是采用极小化新旧曲线上对 应点的两个导矢叉乘平方的积分，实现使修改后的曲线与原曲线的偏离尽可能 小。瓤方法得到的方程为线性方程，便于求解，适合于c a g d 中的交互式设计。 而且通过和折弯能量法、拉伸能量法还有m i n l e n g t h 法进行比较的结果说明新 方法要好于其它三种方法。 因为n u r b s 曲线的方法可以很方便地向n u r b s 曲面的表示方法扩展，因而本 文提出的方法可以很容易地推向n u r b s 曲面，从而有效地解决n u r b s 曲面的形状 调整问题。由于n u r b s 曲线曲面在几何造型和工程设计中的广泛应用，可以预计 这种方法必能够给c a d c a g d c a m 和几何造型设计添入新的活力。 山东大学硕士学位论文 第二章n u r b s 曲线曲面形状调整方法 2 1 通过节点向量的变化进行形状调整 p i e g l ，l 在文章。”。“中就通过节点向量的变化来对b 样条曲线曲面进行调整 作了比较详细的论述。还有一些论文也提到和论述了相关的结论“。根据b 样条 的定义，以曲线为例，当曲线以相同的权因子，相同的控制顶点进行变换，仅改 变节点向量值的时候。实践结果表明，对于形状调整来讲，很难直观地看出蓝线 改变量和节点向量改变量之间的关系。 2 2 通过控制顶点的变化进行形状调整 关于通过控制顶点的变化来对n u r b s 曲线进行形状调整，以往的文章中有过 比较多的论述。“。3 7 3 ，它们都提到了通过控制顶点来对n u r b s 进行调整，调整的 结果和表现的直观意义，p i e g l ，l 和j a v i e r 给出了比较直观的解释。 按照1 2 3 节中的n u r b s 曲线定义，现在设此曲线为p ( ) ，如果改变其中一个 控制顶点( 比如：p ；) ，变换的形式和相应的蓝线形式为( 式2 。1 ) 。 p ：= p + d k v p ) = p ( 甜) + v d ( u ) ( 2 1 ) 其中：d ( ) = 以也( 甜) ，f v j = l 。通过改变控制顶点，变换前后的图形如图2 1 所示。 山东大学硕士学位论文 ( 图2 1 ) 图中，u = 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，6 ，6 ，6 ) ，权因子相同 2 3 通过权因子的变化进行形状调整 通过权因子的变化只是针对n u r b s 睦线和曲面进行的调整，在以往的研究论 文中既提到了如何调整“2 “嚣8 埘，又指出了调整权因子对应的直观解释，以 及同调整控制顶点的联系。首先根据权因子的特性从物理意义上和重心予以类 比，由于权因子权和为一，每个权因子对应一个控制多边形( 网格) 中