（基础数学专业论文）群环上的可检验码的研究.pdf

l i n ll ll ll l li i ii ii iiiii y 18 9 7 815 t h es t u d yo fc h e c k a b l ec o d e sf r o mg r o u pr i n g s 4 吼e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s 0 r t h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y x i ex i a o l i p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：l i uh o n g w e i a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o r s i g n a t u r e ： a p p r o v e d m a y , 2 0 1 1 f 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 巾小卅 日期：珈i 年歹月7j 日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和 借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其 它复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 导师签名： 吲鹰啼 日期：汐l1 年r 月冶日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人 的学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的规定享受相关权益。回意途塞握銮卮溢卮! 旦坐生；旦二生；旦三生蕉查! 储娩巾小卅 日期：弘j1 年歹月了j 日 导师签名： 壶- 净啼 日期：汐11 年r 月踢旧 摘要 在本文中，我们讨论了群环上的一类比较特殊的码一零因子码，这类码存在至 少一个唯一的检验元特别地，当所给群是有限交换群、环是有限域的时候，我们 给出了一个判断这个群环上的码是否可检验的判别法则文章第四部分还给出了 一些例子来具体解释本文的主要定理，计算这类码的生成矩阵和检验矩阵、导出码 的相应参数以及验证码的可检验性 关键词：群环；检验元；群码；s y l o w p 子群 i a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sac l a s so fp a r t i c u l a rc o d e - - z e r od i v i s o rc o d e ，w h i c h h a v eo n es i n g l ec h e c kc l e m e n to v e rg r o u pr i n g s w e 百v eac r i t e r i o nt oc h e c kt h a t w h e t h e rag r o u pc o d ei sc h e c k a b l eo rn o tw h e nt h eg r o u pi saf i n i t ea b e l i a ng r o u pa n d t h er i n gi saf i n i t ef i e l d s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oe x p l a i no u rm a i nr e s u l t ，c o m p u t e t h ec o r r e s p o n d i n gg e n e r a t o ra n dc h e c km a t r i c c sf o rt h i sc l a s so fg r o u pc o d e 、d e r i v e t h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r so ft h ec o d e sa n dc h e c kt h e s ec o d e sw h e t h e rt h e ya r e c h e c k a b l e k e yw o r d s ：g r o u pr i n g ；c h e c ke l e m e n t ；g r o u pc o d e ；s y l o wp - s u b g r o u p i i 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 第一章绪论 1 1 1 关于群环码的研究现状1 1 2 研究背景及研究意义 2 1 3 本文主要解决的问题 2 1 4 本文的结构安排3 第二章预备知识， 4 2 1 环和群环4 2 2 群环上的码 7 第三章主要结果9 3 1 两个引理 9 3 2 主要定理j 1 1 第四章例子1 3 4 1 半单情况1 3 4 2 非半单情况1 6 参考文献1 8 致谢2 0 第一章绪论弟一早珀t 匕 在这一章，首先介绍了国内外关于群环码的研究现状和本文的研究背景以及 研究意义 1 1关于群环码的研究现状 b l a k e ( 见 2 】，【3 】3 ) 和s p i e g e l ( 见【1 3 】，【1 4 】) 最先讨论了有限环上的线性码随 后，f o r n e ye ta 1 ( 见f 4 1 ) 和h a m m o n se ta 1 ( 见f 6 1 ) 发现了一些更加重要的结果， 他们证明了这样一个事实：一些好的非线性码可以看成是z 4 环上线性码在g r a y 映射之下的二元象，这里z 4 是模4 的剩余环在这之后，很多专家学者开始致力于 研究环上的线性码( 见【5 1 ，【1 6 1 ，【1 7 】) ，发表了很多这方面的文章 作为一类特殊的环，群环有着更多的代数结构和一些比较好的性质，而且我们 知道，一个群环码通常被定义为群代数砸g 的理想，这罩，砸是一个有限域，g 是 一个有限群当g 是一个循环群时，这些码即为域f 上的经典循环码一般地，当 g 是一个交换群时，它们被称作交换码( a b c l i a nc o d e s ) ，并且曾经有很多学者研究 它们( 见f 2 】，f 3 1 ，【5 1 ，1 0 ，【1 1 】) 近来，一些学者们又提出了在群环r g 上构建码的一些新的方法例如在文献 8 1 中，t h u r l e y 和p h u r l e y 通过研究其零因子和单位，给出了利用r g 中的编码( e n c o d i n g ) 来构造码的方法，并得到了两种类型的码：零因子码和单位导出码而 且，他们还证明了这两类码实际上是r g 的子模，只有在某种特殊情况下，零因子 码才是冗g 的理想，而不管在什么条件下，单位导出码都不可能是r g 的理想此 外，当冗g 有限的时候，通过群环r g 和冗上的矩阵环之间的单同态，他们很容易 地由零因子和检验元得到了码的生成矩阵和检验矩阵 假定是r g 的一个子模，也是r g 的一个零因子，我们称码c = w u 是一 个由u 生成的与w 相关的零因子码从而存在0 v r g 使得u v = 0 因此， 对于任意的c c ，有0 1 1 = 0 当然，对于码c 而言，还可能出现由上述元素v 完 全决定的情况，即c = 【可r giy v = o ) = a n n ( v ) 也就是说，可c 当且仅 当y v = 0 ，此时我们称码c 是可检验的，称元素v 为c 的检验元我们称群环冗g 是可检验的，若冗g 的每一个非平凡码都是可检验的 特别地，当r g 是循环群环时，文献f 8 1 给出了以下结果： 命题1 - 1 1 似引理z 钏循环群环上的每个理想都是主理想 1 在文献【8 中，t h u r l e y 和p h u r l e y 给出了群环上的一种编码方法：令c = w u ，这里，w 是r g 的一个b 子模，u r g ；他们还讨论了这种编码方法的一些 相关问题下述命题是他们的主要结果之一( 见【8 】) 命题1 1 2 循环群环上的任意一个零因子都是主零因子，进而，任意一个循 环群环都是可检验的 1 2 研究背景及研究意义 众所周知，循环群代数f g 上的码都是砸g 的理想，此外，对于更特殊的情 况，当r 特征为p 的有限域，g 是死阶循环群的时候，这里( 咒，p ) = 1 ，我们知道 冗g 笺r m ( 扩一1 ) 是一个主理想环，这里，r m 是冗上的多项式环因此，冗g 的每个非平凡理想都是主理想，进而，r g 上的每个循环码c 都是一个可检验的零 因子码，并且某个适当的让，钉恰好是码c 的生成多项式和检验多项式这样我们可 以很简单地用一个检验多项式来刻画它类似地，我们开始试图寻找群环码具有唯 一检验元的判别条件，从而找出码的检验矩阵，这样我们便可以更具体地把握这个 码的所以元素以及整体性质 本篇文章的想法主要来自文献f81 ，我们知道，任意一个群环都包含零因子和 单位特别地，当群环中的元素个数有限的时候，除了零元之外，该群环中只包含 零因子和单位两类元素在文献【8 】中，作者t h u r l e y 和p h u r l e y 正是从这两类 元素出发，构造了两类群环上的码：零因子码和单位导出码，且进一步研究了这两 类码的对偶码以及一般检验条件，得到了以下结论： 命题1 2 1 假定让是r g 的一个零因子，u 是让的相应的r g - 矩阵，且 r a n k ( u ) = r ，是r g 的一个由s g 生成的r 一子模，其中lsl = r 且s u 线 性无关，则存在v i r g ，i 二l ，扎一，使得，y c 当且仅当y v i = 0 上面这些元素地称作码c 的检验元，但是我们知道，在实际应用中，具有一个 唯一检验元的零因子码会更有用途，即c = 秒r giy v = o ) 例如，若码c 的 检验元唯一，我们可以根据检验元 的r g - 矩阵y 很容易计算出码c 的检验矩阵 1 3本文主要解决的问题 在本篇文章中，我们继续研究群环上的码，这里的码即群环的理想，主要讨论 一个码是否可检验的更进一步的条件而当码c 是一个单位导出码的时候，情况比 2 较简单，并且已经研究得非常透彻与全面，相对而言，零因子码的情况要复杂得多 接下来，我们将主要考虑群环r g 中的零因子码并将上述结果推广到了群代数 f g 上，这里，f 是一个有限域，g 是一个有限群并得到了如下定理： 定理3 1 若g 是一个有限交换群，砸是一个特征为p 的有限域，p 是素数，那 么群代数 g 可检验当且仅当g 的某个s y l o w p 子群是循环群 此外，我们给出了一些例子来具体解释上述主要结果，并且介绍了如何计算可 检验码的生成矩阵和检验矩阵的方法我们还证明了一些m d s 码可以看做是群环 上的零因子码，而且在很多情况下，它们都是可检验的 1 4 本文的结构安排 本文主要研究群环上的可检验码，并给出了特定情况下判断群环码是否可检 验的一个充分必要条件文章共分为四章，具体安排如下： 第一章是绪论部分分别介绍了关于群环码的国内外的研究现状、本文的研究 背景及研究意义以及本文所要解决的主要问题和结构安排 第二章介绍了一些预备知识主要包括环与群环的一些概念、符号以及基本结 果，并且还介绍群环上的码的构造方法、定义以及一些基本性质 第三章是主要结论部分在这一部分，我们给出了本文的主要定理及其证明 第四章给出了一些例子我们分别列举了半单和非半单情况下的一些例子来 具体解释第三章所得到的主要定理，找出它们的生成矩阵、检验矩阵，计算码的相 应参数，从另外的角度来判断码的可检验性 最后是本文的参考文献和致谢 3 飞 第二章预备知识 弟一早 耿宙大u 以 在给出主要结果之前，我们先介绍一些本篇文章将要用到的符号、概念以及基 本结论 2 1环和群环 我们先回顾一下有关环和群环的一些必要的定义和性质，对于更多的相关知 识，读者可以参见参考文献【9 】，f 1 2 】，【1 3 】，【1 4 】 设r 是一个交换的含单位元1 的可结合环，称元素让冗是一个单位，若存在 元素 r 使得伽= l = 钉让称非零元u r 是一个零因子，若存在非零元钉r 使得u v = 0 若s 是r 的任一非空子集，令a n n ( s ) = f z rix 8 = 0 ，v s s ， 它是r 的理想特别地，若s = f s ，那么a n n ( s ) = a n n ( s ) = z rix 8 = o 称环r 的理想j 是非平凡的，若 o cicr ；称j 是主理想，若，可以由一个元 素生成我们称冗是一个主理想环，若冗的每一个理想都是主理想；称交换环冗 是a r t i n 环( 见【1 1 ) ，若r 满足降链条件：每一条理想降链 j 1 2 毛2 都会 终止，即，存在亡1 使得厶= 厶+ 1 = i t + 2 = 称r 是局部环( 见【9 】) ，若冗只有 唯一一个极大理想称环r 是半单环，若的任意一个理想都是嗣拘一个直和项 下面，我们将介绍半单环和a r t i n 环的两个基本结果 定理2 1 1 ( 1 4 ，a r t i n w e d d e r b u r n 定理j 每个半单环r 都是一个直和，即，r 笺 螈，( d 1 ) o om n 。( 砜) ，这里，佻1 ，且每个皿都是可除代数，m 、n i 以及每 个可除代数d t 都由冗唯一确定 引理2 1 2 仇，命题占8 刃若r 是一个交换的局部的a r t i n 环，且r 的唯一 极大理想m 是主理想，那么，冗的每一个理想都是m 的幂 接下来，我们主要介绍关于群环的一些基本知识( 见【1 0 】) ，这些知识将会在第 三章被用到 假定兄是一个含单位元1 的可结合环，g 是一个扎阶有限乘法群，定义群环 r g 如下： r g = o l g ；g i ia g t r ，9 i g l 4 且满足以下运算： 。i g i + 阢吼= ( 啦+ 玩) 仇；啦俄缈= ( b j ) g , g j i = li = li = li - - - - 1 j = li , j = l 很显然，r g 是冗一子模且以g 为基，我们可以定义数量乘法如下： r a 9 9 ：= ( r o z g ) g g gg e g 对于任意的r r ，r 0 1 9 9 r g 当兄是一个域f 时，f g 通常被称作是一个群 g e g 代数值得注意的是，当群g 是交换群时，群代数f g 也是交换的 假定g 是一个n 阶群， g l ，9 2 ，肌) 为群g 元素的一个固定序列记m n ( r ) 为环r 上的死扎矩阵环，对于让= ：1o z g 。g i r g ，我们定义相应的矩阵u 如 下： f = 酊 u ：iq 酊 i ； q 丽 q 行1 卯 a 西1 9 z a 丽1 9 2 o z 9 7 q g ； ： o l g i g n l l 鼽l ( 2 1 ) j g n 由文献【j 7 】和【8 ，定理2 2 】可知，群环r g 可以以如下单同态嵌入m n ( r ) 中， 口：r g 叫心( 冗) ，让hu 注2 1 2 1 对于任意的元素让冗g ，与之相应的r g 矩阵u 在研究群环上的 码的过程中起着非常重要的作用上述讨论表明，群环与r g - 矩阵环是可以相互交 换的，并且根据这个关系可以很容易得到码的生成矩阵和检验矩阵 设r g 是一个群环，称下述同态 e ：r g r ，g 一， g e gg e g 为r g 的增广映射，映射的核记做( g ) ，称为r g 的增广理想容易得到， ( g ) = o t g ( g 一1 ) ：g g ，g 1 ，砧 g e g 5 篝j 我们用s ( c ) 表示g 的所有子群的集合，用z ( r g ) 表示r g 的所有理想的集合若 h s ( g ) ，我们用r ( g ，h ) 表示r g 的由集合 h - 1 ：h 日) 生成的左理想，即 a r ( g ，日) = o r h ( h 一1 ) ：口 r g h 6 g 一般地，当环r 固定的时候，为了简单起见，我们将r ( g ，h ) 记做( g ，日) 值 得注意的是，由上述定义知，( g ，g ) = ( g ) 若日是g 的正规子群，那么，自然同态p ：g _ g h 可以被扩张成满同态 p + ：r g _ r ( g h ) 使得 矿( q 猡) = p ( 9 ) 9 6 gg e g 有了以上这些符号，我们可以得到如下性质： 命题2 1 3 伊驯符号如上，若日是群g 的一个正规子群，则有 ( 1 ) k e r ( p ) = ( g ，日) ( 2 ) ( g ，h ) 是r g 的一个双边理想，并且r g a ( g ，h ) 型r ( g h ) 上述命题给出了s ( c ) 和z ( r g ) 之间的一个映射，将群g 的正规子群映射成 r g 的双边理想现在我们试图构造反方向的映射若i z ( r g ) 是一个左理想， 考虑集合 v ( i ) = d g ：g l j ) 易知，v ( i ) 是g 的一个子群进而，我们得到如下命题： 命题2 1 4 似舅命题3 3 e 1 ) 符号如上，若h s ( g ) ，那么v ( a ( g ，日) ) = h 记r a d ( f g ) 为f g 的所有极大理想的交，我们得到以下引理： 引理2 1 5 伊幺推论9 7 若f 是一个特征p 的有限域，g 是一个p 群那 么，f g 是一个局部环，且r a d ( f g ) = ( g ) 引理2 1 6 仍& 习题3 2 彳若r 是一个交换环，g ，日是群，那么有r ( g h ) 竺r gq rr h 6 2 2 群环上的码 在文献【8 】中，作者已经介绍了任意一个群环上的群环编码( g r o u pr i n g e n c o d i n g1 的概念，我们先来回顾一下设s 是群g 的一个子集，w 是r g 的一个 子模，且s 是w 的一组基一个群环编码是指这样一个映射：，：w _ r g ，使得 y ( x ) = x u 或，( z ) = u x 对于前一种情况，称，为右群环编码( r i g h tg r o u pr i n g e n c o d i n g ) ；而对于后一种情况，称，为左群环编码( 1 e f tg r o u pr i n ge n c o d i n g ) 在本篇文章中，我们只考虑右编码的情况，而左编码的情况完全类似 我们定义：上述映射，的像称作由群环编码导出的码，记作c ，即，对于任意 的让r g ，c = z uz w = 乱那么，称c 是一个由让生成的零因子码， 若让一个是零因子；称c 是一个单位导出码，若他是一个单位并且我们称元素u 是码c 的生成元 因此可知，一个零因子码c 由一个零因子让，r - 子模w ，以及一个右编码所构 成 给定零因子码c = w 也，则存在0 秽r g 使得u v = 0 ，因此，对于任意 的e c ，有印= 0 当然，对于码c 而言，还可能出现由上述元素v 完全决定的 情况，即c = 箩r giy v = o ) = a n n ( v ) 也就是说，y c 当且仅当y v = 0 ， 此时我们称码c 是可检验的，称元素口为c 的检验元值得注意的是，一个码的检 验元并不一定是唯一的我们称群环r g 是可检验的，若r g 的每一个非平凡码都 是可检验的 假定u 是r g 的一个零因子，w 是冗g 的一个以s g 为基的子模，且s u 线性无关若lsi = k ，则r a n k ( u ) = k 当且仅当码c = 彤乱是咒g 的理想，即 c = r a u ( 见f 8 ，定理7 4 1 ) 为了判断r g 是否可检验，只需要考虑在w u = r g u 的情况下冗g 中的零 因子码由此可知，码c = r g u 的生成矩阵可以定义为矩阵u 的任意k 个线性无 关行 给定零因子乱r g ，我们称零因子u r g 是主零因子，若存在0 口r g 使得伽= 0 ，且r a n k ( v ) = n r a n k ( u ) ，这里以y 分别是让，u 相应的r g 一矩阵 由文献【8 】，我们可知如下性质： 引理2 2 1 似推论名j 假定u 是r g 的一个零因子，则零因子码r g u 是 可检验码当且仅当u 是主零因子 7 。 | 在这种情况下，很容易知道相应的元素钉即是码c 的检验元因为删= 0 ， 从而有u y = 0 因此，由秩条件可知，码c 的检验矩阵可以定义为矩阵y 的任意 佗一k 个线性无关行 8 岔= 喜士面争士甲 弟二早土芰三石禾 在这一部分，我们通过两个引理导出本篇文章的主要结果及其证明 定理3 0 2 若g 是一个有限交换群，f 是一个特征为p 的有限域，p 是素数， 那么群代数f g 可检验当且仅当g 的某个s y l o w p 子群是循环群 接下来，为了证明定理3 0 2 ，我们先给出两个引理 3 1两个引理 引理3 1 1 有限交换环冗可检验当且仅当它是主理想环 证明：假定环r 可检验，设，是冗的任一非平凡理想，则存在一个零因子 0 u r ，使得i = a n n ( u ) 从而有， r a n n ( u ) 笺r u( 3 2 ) 下面证明，是主理想因为0 r u 里r ，由条件可知，存在0 v r ，使得 r u = a n n ( v ) 断言：r v = a n n ( u ) 事实上，r a n n ( u ) 又由( 3 2 ) 口- - t 得， i r a n n ( u ) i = i r u li r a n n ( v ) i = l r v l 因为冗有限，从而有 i r v i = l r i i i a n n c v ) i = i r i i r u l = l a n n ( u ) 1 故i = a n n ( u ) = r v ，即r 是主理想环 反过来，假定冗是主理想环，令j = ，ii 塑r ) ，由于r 是有限环，从而 l j i o o 我们定义如下映射， 盯：j _ zr aha n n ( a ) 先证明映射的合理性显然，v c r ，有a n n ( r c ) = a n n ( c ) 因此，若r a = r b ， 则有 a n n ( a ) = a n n ( r a ) = a n n ( r b ) = a n n ( b ) 下证口是单射若a ( r a ) = 盯( r 6 ) ，即a n n ( a ) = a n n ( b ) 由于r 是主理想环， 故存在0 u r ，使得 9 a n n ( a ) = a n n ( b ) = r u ，s or a = a n n ( u ) = r b 又因为i j i o o ，故盯为双射进而可知，r 的任一非平凡理想，可检验 口 引理3 1 2 若冗1 ，见均为含单位元1 的交换环，那么r 1o o r 。是主 理想环当且仅当皿是主理想环，i = 1 ，8 证明：对任意的i ，1 i s ，我们有如下满同态 p i ：r 1o or 。一尼，( ，1 ，) hn ( 3 3 ) 这里，核k c r ( p i ) 是r 1o o 见的一个理想，i = 1 ，s 现假定r lo or s 是主理想环，由理想对应定理及( 3 3 ) 式可知，r io o 忍) k e r ( 胁) 是一个主理想环又因为， r 1o or 。k e r ( p i ) 型尼 从而，尼是主理想环，i = 1 ，s 反之，若忍是主理想环，i = 1 ，s ，设，是r lo or 。的任意一个理想， 且五= 风( ，) ，由于胁是满同态，则五是冠的理想。令 五= ( 0 ，五，o ) ， i = 1 ，s 明显地，五i 设( a 1 ，a 。) i ，则有 ( a l ，a 。) = ( a l ，0 ) + + ( 0 ，啦，0 ) + + ( 0 ，吼) ， 其中，啦= a ( 口1 ，) 因此，j + + 以进而可知，i = + + 以又 由于 五n g k = 0 ，i = 1 ，s k # i 故，= 五o o 以，这里五兰五是冠的理想由于尼是主理想环，从而五是主 理想，进而得，是主理想，从而，r 1o o 见是主理想环 口 1 0 3 2主要定理 在给出主要结果之前，我们先考虑比较特殊的情形，即g 是交换p 群的情况 引理3 2 1 若砸 是特征为p 的有限域，g 是一个有限交换p 群，则f g 是主 理想环当且仅当g 是循环群 证明：假定f g 是主理想环，由有限交换群的结构定理知，若g 是有限交换p 群，则g 是循环群当且仅当g 只有唯一一个p 阶子群接下来，我们只需要证明g 只有唯一一个p 阶子群 若只，马是g 的任意两个p 阶子群，由引理2 1 5 和引理2 1 2 ，我们可设 a ( g ) = f g z ，z f g ，且( g ) 是f g 的唯一极大理想，从而存在整数r ，s ( 假 定r s ) 使得 a ( g ，1 1 ) = 砸 g x ra ( g ，1 2 ) = f g 矿 由命题2 1 3 中的( 2 ) 式，可得， f g a ( g ，p 1 ) 皇f ( a p 1 )f g z ( a ，局) 竺f ( g p , ) 由于1 只i = i b i ，故i f ( g i p l ) l = i f ( a l p ，) l ，从而由上述等式可知i a ( g ，r ) i = i a ( a ，岛) i 另一方面，由7 s 知a ( a ，只) a ( g ，p 2 ) 从而，a ( a ，p 1 ) = ( g ，马) 由命题2 1 4 得只= v ( ( g ，p 1 ) ) = v ( z x ( g ，p 2 ) ) = p 2 反过来，假定g 是循环群，由引理2 1 5 和引理2 1 2 知，f g 的唯一极大理想 m = f g z ，z f g ，且对于砸 g 的任一理想，存在正整数r 使得i = f g 矿从 而，砸 g 是主理想环 口 由引理3 1 2 易得以下推论 推论3 2 2 若f 是特征为p 的有限域，g 是一个有限交换群，则f g 是主理想 环当且仅当g 的一个s y l o w p 子群是循环群 证明：设p 是群g 的一个s y l o w p 子群，则存在g 的极大，子群日使得 g = p h 因为pt1 日l ，从而群代数f 日是半单代数，由a r t i n - w c d d e r b u r n 定 理， f h = f 1o 0f 。， 1 1 这里，致是f 的一个扩域进而有， f g = f ( p h ) = f p 圆f f h = ( f pf ) 。( f p 圆ff s ) ， 假定f g 是主理想环，由引理3 1 2 知，觋p = f p 圆f 玑是主理想环，i = 1 ，2 ，s 因此，由引理3 1 1 得，p 是循环群 反过来，假定g 的s y l o w p - 子群p 是循环群，由引理3 2 1 得，f p 圆r f t = r p 是主理想环，i = 1 ，2 ，8 从而，f g = ( f po f 砸1 ) o o ( f p 圆ff 8 ) 是主理想 环口 最后，我们给出定理3 0 2 的证明 定理3 0 2 证明：因为群代数g 是交换的，又引理3 1 1 知，群代数f g 是可 检验的当且仅当砸g 是主理想环又由推论3 2 2 知，砸g 主理想环当且仅当群g 的 某个s y l o w p 子群是循环群进而可得，群代数f g 可检验当且仅当g 的某个 s y l o w p 子群是循环群 注3 2 2 1 易知，当f g 是半单代数时，f g 是主理想环，从而可知，f g 是可 检验的 1 2 第四章例子 接下来，我们将给出几个例子来具体地解释本篇文章的主要定理3 0 2 ，并计 算相应的码的生成矩阵和检验矩阵 4 1半单情况 例4 1 1 已知z 2 g 是一循环群代数，这里，z 2 是模2 剩余域，c 7 = ( z ) 是由z 生成的7 阶循环群 假定u = z 3 + z - i - 1 因为存在臼= - i - z 2 + z + 1 使得 u v = ( z 3 + z + 1 ) ( z 4 - i - z 2 + z + 1 ) = z 7 + 2 x 5 + 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 = 0 从而u 是一个零因子从而，c = a n n ( v ) = ( z 2 c 7 ) u 是一个由u 生成的码，它是 z 2 岛的一个理想，并且口= x 4 - - i - z 2 + z + 1 是c 的一个检验元由c 的生成元和 检验元，我们可得到c 的相应的生成矩阵和检验矩阵 在第二章中，我们介绍了群环元素的r g - 矩阵的定义，由此可得，让和7 3 的相 应的r g _ 矩阵u 和y 分别如下： u = = v = 1110i10 0 0l11io10 0011；1 01 1001；110 0100i111 l0 10 ；o1 1 1101i 001 1 3 = ( g ) = ( bh t ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) i 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 o 1 1 o 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 o 1 1 0 0 o 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 o 1 又由第二章可知， 1 、 仃：r g 叫( r ) ，让hu 因为u 钉= 0 ，从而有 。一= ( g ) ( b 矿) = ( g ba g 矿h t ) 6 ， 因此，g h r = 0 ，进而有 是码c 的生成矩阵， 是码c 的检验矩阵 g = 1 1 。1 0 1 。1 。0 。0 01101 00 01 10 1 ) i i | 日= 11 。00 l 1110 l 1 0111 l ( 4 7 ) ( 4 8 ) 注4 1 1 1 我们通过上面的方法得到的生成矩阵和检验矩阵与通过生成多项 式和检验多项式得到的结果完全相同 例4 1 2 已知群代数z 3 ( c 2 g ) ，这里c 2 c 2 是由二阶元z ，y 生成的k l e i n 缸元群由定理3 o 2 知，z 3 ( c 2 q ) 上的每一个码都是可检验的 下面以一个具体码为例，我们将验证它的可检验性，计算它的生成矩阵和检验 矩阵，并给出码的相应参数 令 i = a ( c ，h ) = ( 2 + x y ) 这里，h = 1 ，z 可) ，很显然，i i i = 9 因为( 2 + z 可) ( z + 可) = 0 ，从而有j a n n ( x + y ) 另一方面， ( z + y ) = 0 ，z + y ，1 + x y ，2 x + 2 y ，2 + 2 x y ，1 + z + y + x y ， 2 - i - z + y + 2 x y ，1 + 2 x + 2 y + x y ，2 + 2 x + 2 y + 2 x y 1 4 从而i 扛+ 可) i = 9 ，故有 i a n n ( x - f 可) i = 9 ， b yz 3 ( c 2 q ) a n n ( x + y ) 型( z + 可) 因此，i = a n n ( x + y ) ，即z + y 是码i 的检验元 仿照例4 1 1 中的计算方法，易得， g = 呈。1 ) 9 ， 是码i 的生成矩阵， 日= 埘 是码i 的检验矩阵 由以上分析，我们立即可知，i 是一个【4 ，2 ，2 卜码 进而，我们可以同样地计算z 3 ( 岛c 2 ) 上的所有非平凡码，列表如下： 码( 理想)维数码字个数生成元检验元极小距离 厶 13 1 - i - z + y + x y1 + z + y 4 j 1 2 13 1 + 2 x + 2 y + x y2 + z + y 4 厶 1 3 2 + z + 2 y + x y1 + 2 x + y 4 厶 13 2 + 2 x + y - fx y2 + 2 x + y 4 厶 291 + z2 + z 2 厶 292 + z1 + z2 1 1 29 1 + y2 + y 2 厶 2 9 2 + y1 + y 2 局 29 1 + x y2 + x y 2 厶o 29 2 + x yz + 2 厶1 32 7 1 + z + y1 + z + y + x y 2 2 32 7 2 + z + y1 + 2 x + 2 y + x y 2 厶3 3 2 7 1 + 2 x + y2 - i - z + 2 y + x y 2 厶4 3 2 7 2 + 2 x + y2 + 2 x + y + x y 2 由上表所列出的1 5 个码，通过考虑它们的生成矩阵，很容易得出，维数为1 的码彼此 等价，同样地，维数为2 的码彼此等价，维数为3 的码也彼此等价所以事实上，在等 1 5 价意义下，z 3 ( q c 2 ) 上只有3 个非平凡码，即【4 ，1 ，4 卜码，【4 ，2 ，2 卜码，【4 ，3 ，2 卜码 这里，【4 ，3 ，2 】一码是一个m d s - 码 注4 1 2 1 一个可检验码的检验元并不是唯一的，但是检验元相应的检验矩 阵在等价意义下是唯一的而且当礼很大时，我们也可以通过借助m a g m a 软件直 接计算出码的检验元当然，本篇文章中所用到的距离是指h a m m i n g 距离 4 2 非半单情况 例4 2 1 已知群代数z 2 ( q g ) ，这里，z 2 是指模2 剩余域，岛g 是由二 阶元z ，y 生成的k l e i n 垂元群由z + y + x y + 1 生成的码c = o ，z + y + x y + 1 ) 不是可检验的，从而z 2 ( 岛xg ) 不是可检验的 z 2 ( c 2xc 2 ) = o ，1 ，z ，y ，x y ，1 + z ，1 + 可，1 + x y ，z + y ，z + x y ，y + x y ， 1 + z + y ，1 + z + x y ，1 + y + x y ，z + y + x y ，l + z + y + z 秒) c = o ，z + y + x y + 1 ) = z 2 ( c 2 xc 2 ) ( 1 + z + y + x y ) 是z 2 ( g q ) 上由 1 + z + y + x y 生成的一个零因子码 易知，在z 2 ( c 2xq ) 只有下面6 个元素能够零化码c - 7 3 1 = 1 + z ，现= l + y ，口3 = l + x y ，v 4 = z + 可，u 5 = ：r + x y ，v 6 = y + x y 也就是说，c a 礼n 陬) ，i = 1 ， 2 ，6 接下来，我们证明：对任意的i ，c a 礼扎( 地) ，即c 是不可检验码 记日= ( z ) ，由命题中2 1 3 的( 2 ) 式知， z 2 ( c 2 q ) z x ( c 2x 岛，h ) 竺z 2 ( c 2x 岛i - i ) 从而，i ( 岛c 2 ，i - i ) l = 4 因为z 2 ( c 2x 岛) a n n ( u 1 ) 竺z 2 ( c 2x 岛) 口1 = z x ( c 2 q ，日) ，可得i a n n ( v a ) i = 4 同理，我们有i a n n ( v 2 ) i = l 加n ( ) l = 4 又由于l c i = 2 4 = i a 礼礼( 仇) l ，i = 1 ，2 ，3 ，故c a n n ( 仇) 而且， z 2 ( 岛x 岛) 啦= 扛+ y ) = o ，z + y ，1 + z 可，1 + z + y + z 秒) z 2 ( c 2xq ) 佻= ( z + x y ) = o ，z + x y ，1 + 秒，1 + z + y + z 可) 】6 z 2 ( c ：x6 2 ) v 8 = ( y + x y ) = o ，y + x y ，1 + z ，l + z + y + z 可) 同样地，由z 2 ( c 2 c 2 ) a n n ( v , ) 垒z 2 ( c 2 c 2 ) ，可得i a n n ( v 4 ) i = l a n n ( v 5 ) i = l a n n ( v 6 ) i = 4 2 = i c l 因此，c a n n ( v , ) ，i = 4 ，5 ，6 注4 2 1 1 当然，我们可以直接由定理3 0 2 得到上述结论：因为c 2xc 2 的任 一s y l o w2 一子群都不是循环群，从而z 2 ( c 2xc 2 ) 不是可检验的但这个例子对定 理3 0 2 的重要性和正确性做出了一个很好的解释 1 7 参考文献 【1 】a t i y a h ，m ，m a c d o n a l d ，i g ，i n t r o d u c t i o nt oc o m m u t a t i v ea l g e b r a ，a d d i s o n - w e s l e y , r e a d i n g ，1 9 6 9 【2 b l a k e ，i f ，c o d e so v e rc e r t a i nr i n g s ，i n f o r m c o n t r ，2 0 ( 1 9 7 2 ) ，p p 3 9 6 - 4 0 4 【3 b l a k e ，i f ，c o d e so v e ri n t e g e rr e s i d u er i n g s ，i n f o r m c o n t r ，2 9 ( 1 9 7 5 ) ，p p 2 9 5 - 3 0 0 【4 f o r n e y , g d ，s l o a n e ，j r ，n j a ，t r o t t ，m ，t h en o r d s t r o m - r o b i n s o n c o d ei st h eb i n a r yi m a g eo ft h eo c t a c o d e ，i nc o d i n ga n dq u a n t i z a t i o n ：d l m a c s i e e ew o r k s h o p1 9 9 2