卷六╱线性代数试卷.doc

卷八一.填空题（每小题4分，共40分）1.已知4阶行列式的第2列元素为，且对应的余子式为，则行列式 .2设为4阶方阵, 且, 若将按列分块为, 则行列式 .3. 若互不相同, 则的根为 .4. 设是4阶单位矩阵,. 则 .5. 设均为阶方阵, 且, 则 .6. 设向量组线性无关, 则向量组 (填“线性相关”或“线性无关”).7. 设阶矩阵的各行元素之和都等于零, 且的秩为, 则齐次线性方程组的通解为 .8. 设是不可逆矩阵的一个特征值, 则的一个特征值为 .9. 设3阶方阵满足, 则 .10.已知的秩为2, 则 .二(10分). 设 问为何值时, 向量组线性相关? 线性相关时求出其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.三（10分）. 已知下列两个线性方程组同解, 求 的值. 四（10分）. 设矩阵的伴随矩阵, 且, 其中是4阶单位矩阵, 求矩阵五（10分）. 设. 已知向量是其特征向量. 求的值以及对应的特征值, 并判断是否可以对角化?六（12分）. 设矩阵, 求正交矩阵, 使为对角矩阵.七（8分）. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系, 若 , 其中为实数, 证明也是方程组的基础解系的充分必要条件是.参考答案一. 填空题（每小题4分，共40分）1.已知4阶行列式的第2列元素为，且对应的余子式为，则行列式 -1 .2设为4阶方阵, 且, 若将按列分块为, 则行列式 .3. 若两两互不相同, 则方程的根为.4. 设是4阶单位矩阵, . 则 .5. 设均为阶方阵, 且, 则 .6. 设向量组线性无关, 则向量组 线性无关 (填“线性相关”或“线性无关”).7. 设阶矩阵的各行元素之和都等于零, 且的秩为, 则齐次线性方程组的通解为 .8. 设是非奇异矩阵的一个特征值, 则矩阵的一个特征值等于 .9. 设是3阶方阵, 已知, 则 .10.已知二次型 的秩为2, 则 0 .二(10分). 设 问 为何值时, 向量组线性相关? 当线性相关时, 求出其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.解 令(4分)(1) 当时，, 这时线性相关.一个极大线性无关组为, 且 . (6分) (2) 当时, 则有. 当时, 线性相关, 极大线性无关组为, 且. (10分)三(10分). 已知下列两个线性方程组同解, 求 的值. 解 求出第二个线性方程组的通解为: (5分) 将特解 代入第一个线性方程组得 (7分) 再令, 得解 代入第一个方程组的第二个方程得 (10分)四(10分). 设矩阵的伴随矩阵, 且, 其中是4阶单位矩阵, 求矩阵解: 由得 .用分别左,右乘上式两边, 得即 (4分)由于 故有又因为 , 所以由知, (8分)易知是可逆的, 因此 (10分)五(10分). 设. 已知向量是其特征向量. 求的值以及对应的特征值, 并判断是否可以对角化?解 设特征值为. 由已知得 ,比较两边得到 . (4分)于是的特征多项式为. 因此有一个三重特征值. (7分)若可经对角化, 则相似于矩阵. 即,于是可以推出. 矛盾, 故不可以对角化. (10分)六(12分). 设矩阵, 求正交矩阵, 使为对角矩阵.解 因为特征值为: (4分) 当时, 解方程组, 得两个线性无关的特征向量进行施密特正交化得 再规范化得: (8分)当时, 解方程组 , 得特征向量 , 规范化得. (10分)令, 则即为所求的正交矩阵, 且使得 (12分)七(8分). 已知是齐次线性方程组的一个基础解系, 若 , 其中为实数, 证明也是方程组的基础解系的充分条件是证明 由于齐次线性方程组的解线性组合仍为该线性方程组的解, 故是方程组的解. 因此, 也是方程组的基础解系