（理论物理专业论文）核子—核子散射与非微扰重整化的进一步分析.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：塑l 生 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 刮毛卜 导师签名：扣 罄锋 摘要 摘要 有效场论方法在核子相互作用中的应用开始于9 0 年代初。因为中低能的核 核相互作用是非微扰的，1 9 9 0 年w e i n b e 玛提出了由手征微扰论来逐阶构造核子 相互势，并利用l i p p m 锄s c h 谢n g e r 方程计算非微扰的t 矩阵来研究核核相互 作用。接下来的十几年的时间里，有效场论方法在核子相互作用领域取得了很大 的成功。核子体系的研究已经进入了有效场论时代。然而，在这个非微扰框架下 出现的紫外发散处理很难沿用微扰重整化方案。因此，从一开始，核子有效场论 的重整化就成为一个重要的理论课题，产生了很多争论。 通过适当的转换l i p p m 锄一s c h 谢n g e r 方程，我们能得到t 矩阵的非微扰表 达式，其中一个重要的非微扰因子多被引入。进一步分析可以看到，这个因子9 有很强的重整化方案依赖性。换言之，9 既依赖于势能，也包含有重要的非微扰 重整化信息。这意味着，微扰框架下的概念和方法不再适用，与学术界近期的认 识一致。但具体如何处理非微扰的问题，学术界仍未达成完全的一致。基于严格 解情形的分析和数值模拟g 的结果，我们采用非微扰近似( p 涨逼近) 展开多 来参数化非微扰重整化依赖性。在分离出分波因子1 p 2 后，我们数值计算核子 各分波的物理量，从而考察、评估我们的非微扰重整化参数化方法。通过拟合低 能量区间n i j m e g e n 分波相移数据，得到因子的p a d e 系数，然后应用这些系数 去预测高能端相移行为。并在新的重整化方案下，通过唯象的分析和处理提出了 一套新的低能参数。 与以往数值的，或是微扰的工作相比，我们的方法找到了更精确的处理方法， 并能应用于其他势能形式和分波。对于其他非微扰体系问题，我们的工作或许也 有所帮助，对研究非微扰框架下的重整化的概念问题有一定的理论意义。 关键词：核子散射，有效场论，非微扰重整化，p 础逼近， a b s t r a c t a b s t r a c t t h ea p p i i c a t i o n so fe 侬c t i v e6 e l dt h e o r ym e t h o di nn u c i e a rs y s t e m sb e g a ni n e a r l y1 9 9 0 s i n1 9 9 0 ，w e i n b e r gp r o p o s e dt oh a n d l et h en o n p e r t u r b a t i v e n u c l e o n n u c l e o n s c a t t e r i n gu s i n gl i p p m a n n - s c h w i n g e re q u a t i o n w i t ht h e n u c l e o n n u c i e o np o t e n t i a l ss y s t e m a t i c a u yc o n s t r u c t e df r o mc h i r a lp e n u r b a t i o n t h e o i ya c c o r d i n gt ot h ec h i r a le x p a n s i o np o w e rc o u n t i n g t h e ni nt h ef o l i o w i n g d e c a d e st h ee f ta p p r o a c hp r o d u c e dm a n ys i g 尹i 6 c a n tr e s u l t si nn u c i e a rf o r c e s ， m a r k e dt h ea d v e n to ft h ee f te r ao fn u c l e a rp h y s i c s h o w e v e bt h e r ea l s oa p p e a r n o n p e i t u r b a t i v ed i v e r g e n c e st h a ta r eh a r dt ot a m ew i t h i nt h ep e r t u r b a t i v e p r o g r a m so fr e n o m a l i z a t i o n t h u s ，e v e rs i n c et h eb e g i n n i n go fe f tm e t h o di n n u c i e a rs y s t e m s ，t h en n o m a l i z a “o ni nn o n p e n u r b a t i v er e 酉m eh a sb e c o m ea n i m p 0 1 t a n tt h e o r e t i c a lt o p i c t h r o u g hap r o p e rt 豫n s f o r m a t i o n ，w ec o u l dt l l mt h el i p p m a n n - s c h w i n g e r e q u a t i o ni n t oan 仰p e r t l l r b a t i v ep a m m e t r i z a t i o o ft h et - m a t r i x ，w h e r eac 川c i a l f a c t o rgo fn o n p e r t u r b a t 量v en a t u i si n t m d u c e d f u r t h e ra n a l y s e s 始v 锻i e dt h a t t h i sv e n 7f a c t o ri sn o n t l 如i a l l yd e p e n d e n tu p o nr e n o n 皿a l i z a t i o np i e s c r i p t i o n s i n o t h e rw o r d s ，t h i sf a c t o rc a r r i e si m p o i r t a n ti n f o m a t i o na b o u tr e n o m a l i z a t i o n 淞 w e ua si n t e r a c t i o n s t h ep r e s e n c eo ft h i sf a c t o ri m p h e st h a tt h ep e i t u r b a t i v e n o 珊a l i z a t i o nw i s d o m sc e a s et oa p p l yh e r e ，a si sr e c o g n i z e di n c e n tl i t e 豫t u u n f o i t u n a t e l y t h e r ei sn oc o n s e n s u sa b o u th o wt od e a lw i t hn o n p e r t u r b a t i v e d i v e r g e n c e s b a s i n go nr i g o r o u ss o l u t i o n so ft 二m a t r i xa n dn u m e r i c a la n a i y s i so f t h e9 f a c t o bw ee m p l o y e dan o n p e r t u r b a t i 、r es c h e m e “i ap a d 6a p p r o x i m a n t ) t o e x p a n d9 t op a r a m e t r i z et h en o n p e r t u r b a t i v ep i e s c r i p t i o nd e p e n d e n c e a f t e r s e p a r a t i n go u tt h ep a r t i a lw a v ef a c t o r1 p 甜，w e c o u l dn u m e c a l l yo b t a i n p h y s i c a lo b s e r v a b i e si nv a r i o u sp a n i a lw a v e s ，w h i c hi nt u ms e r v ea st e s ta n d e v a l u a t i o no fo u rp a 豫m e t r i z a t i o ns c h e m e t h ep a 雎c o e 伍c i e n t sa r e6 t t e dt ot h e l o w e n e r g ye n d so ft h ep a r t i a lw a v ep h a s es h i f t sp r o v i d e db yn i j i m e g e na n dt h e n e m p i o y e dt op 心d i c tp h a s es h i f t sa th i g h e re n e r g i e sa n do t h e rq u a n t i t i e s an e w s e to fl o we n e r g yc o n s t a n t sf b rc h i r a lp e r t u r b a t i o nt h e o r yi so b t a i n e dt h r o u g h p h e n o m e n o l o g i c a la n a l y s i sa u g m e n t e db yo u rn o n p e n u r b a t i 、，en n o r m a l i z a t i o n t r e a t m e n t c o m p a r i n gt ol n o w nn u m e r i c a lw o r k sa n dp e r t u r b a t 沁ea p p r o a c h e s ，o u rp r e s e n t t 1 e a t m e n ti sm o r ea c c u r a t ea n da p p l i c a b l et ow i d e rr a n g e so fp o t e n “a l sa n d p a r t i a lw a 、，ec h a n n e b o u ra p p i o a c hm i g h tb eh e l p f u it oo t h e rn o n p e n i i r b a t i v e i s s u e s ，a sw e na st ot h ec o n c e p t u a li s s u e so fn o n p e n u r b a t i v er e n o r m a i i z a t i o n k e y w o r d s ： n u c l e o n n u c l e 姐 s c a t t e r i n g e 仃e c t i v ef i e i d t h e o 啦 n o n - p e r t u r b a t i v er e n o l l m a l i z a t i o n ，p a d 6a p p i o x i m a n t 2 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文背景介绍 核子碰撞发生散射是有效探究核子内部性质的方法。1 9 1 1 年e r u t h e r f - o r d 用a 粒子轰击金箔发生大角度弹性散射的实验，证实了带正电的原子核的存在、 原子内部结构和荷电分布，并从此展开了对于物质内部结构和性质的探索和研 究。目前，已有许多核子散射的实验数据，并且将会越来越充分和准确，特别是 随着欧洲大型粒子加速器的使用。因此，相应的理论工作也变得越来越重要了。 十九世纪二十年代，w k h e i s e n b e r g ( 矩阵力学) 和e s c h r 6 d i n g e r ( 波 动力学) 严格定义了量子力学的基本原理。( 矩阵力学和波动力学是完全等价的， 是一种力学规律的两种不同形式表述 1 。) 约二十年后，e f e y n i i l a n 提出了量 子力学的第三种理论形式，路径积分理论。如果说矩阵力学、波动力学是与经典 力学的h a m i l t o n i a n 有关，路径积分则与经典力学的l a g r a n g i a n 形式有密切关 系 2 。而散射态，从量子力学理论的角度来看，是一种非束缚态，涉及到体系 能谱的连续区部分，人们可以自由的控制入射粒子的能量。散射理论的主要兴趣 在于散射粒子的角分布，以及散射过程中粒子各种性质的变化，波函数在无穷远 处的渐进行为( 与入射粒子能量，入射粒子与靶粒子的相互作用等有关) 。以下 简单介绍在核子散射中几个重要的物理量和算符： 如果入射粒子波束沿z 轴入射，近似用平面波描述，缈，= e 妇，可以论证，散 射波为= 吉( 秒弦洳，r 是入射粒子与靶粒子的相对坐标，厂( 9 ) 为散射振幅： 仃( 9 ) = l 厂( p ) 1 2 为散射截面； 对于任意势能，后c 。s 磊= 上+ 要j i z + d ( j | 。) ，其中后：掣墨 佩 z乃 民为散射相移，为散射长度，为有效力程( 在有效力程外无相互作用) ； 定义散射算符s ，s i 缈( 嘲) ) = i 驴( 佃) ) ，且具有幺正性； 4 第一章绪论 跃迁矩阵t ，t = s 一1 。当口，= 。 3 在处理方法上，对于中心力场的低能散射可以应用分波法：有把入射粒子与 靶的相互作用看成微扰的b o r n 近似；又比如为了形式上的方便，经常采用相互 作用表象和质心坐标系等。而对于不同能标下处理物理问题的方法会有所不用。 比如，质子和光子碰撞。在能量很高的情况下，我们需要以夸克作为基本自由度 来考虑；可当能量很低的情况下，上面的方法不会比把核子作为一个整体来考虑 得到的结果更满意。以下根据散射核子所携带的不同能量区间，分别介绍对应的 理论方法： 目前物理学家对于不高于量子色动力学能标的、除引力之外的三种基本相互 作用的有效理论描述为“标准模型 ，用群论语言表达为：s u ( 3 ) s u ( 2 ) u ( 1 ) 。 其中s u ( 3 ) 部分对应于通常的量子色动力学理论( q u a n t u l i lc h r o m o d y n a m i c s ， q c d ) ，而其余的则代表弱电统一理论。由于历史的原因，量子色动力学和电弱统 一理论被称为标准模型，它的特征是量子场的规范理论。标准模型理论中三代夸 克( u ，d ) 、( c ，s ) 、( t ，b ) 以及三代轻子( ，e ) 、( 叱，) 、( 咋，f ) 构成了物 质最小的单位。 1 9 6 7 年，s w e i n b e r g 和a s a l 锄提出了弱相互作用与电磁相互作用统一 理论，并预言了z o 及w 的存在；1 9 8 3 年，c e r n 实验组发现中间玻色子z o 及w 。z o 及w 粒子都是在电弱理论建立之后有目的的找到的，是规范理论成功的 重要证据。s u ( 3 ) 对称性相对应的规范玻色子是八种胶子，由胶子传递的相互作 用就是强相互作用，描写夸克和胶子之间的相互作用的规范理论称为量子色动力 学。 强子是由夸克组成。1 9 6 3 年，在实验上已发现的基本粒子( 包括共振态) 的 种类增加到上百种，因而使得m g e l l 一m a n n 提出，产生对称性的基础就是构成 所有强子的构造单元，它们共有三种，并命名为夸克。夸克的自旋为圭，它的 5 第一章绪论 两个分量为丢，组成自旋为半整数的重子和自旋为零的介子；用电子或质子所 带电荷作为单位，夸克所带的电荷就是分数电荷：u ，c 、t 夸克为詈p ，d 、s 、b 夸克为一三p ，组成电荷为正负整数或零的强子；正反六种夸克称为六种味道， 每味夸克又有三个相互作用性质相似的不同类型，称为三色，加上反夸克一共 3 6 种；夸克之间通过交换胶子发生相互作用。 胶子是一种负责传递强核力的玻色子。它们把夸克捆绑在一起，使之形成质 子、中子及其他强子。胶子共八种，电荷为零，但自旋是1 ，具有色荷( c 0 1 0 r c h a r g e ) 。它们通常假设为无质量，但亦可能有大至几百万电子伏特( m e v ) 的质 量。胶子是维持原子核稳定的重要一环。在量子色动力学中，具有色荷的夸克之 间的强相互作用是通过交换胶子而实现的，当两个夸克交换胶子时，它们自身的 颜色亦会同时改变；胶子会携带发出者的反颜色以补偿发出者的色变，它亦会携 带接收者的颜色。因胶子本身有色，故它们亦能与其它胶子互相作用，胶子之间 也有强相互作用，胶子本身可放出或吸收胶子。实验上还未发现自由状态的胶子， 但1 9 6 8 年电子对质子的深度非弹性散射实验中，显示质子中有着点状结构，质 子的能量只有一半由带电的点状物质所携带，另一半则由中性的无电磁作用的组 分所携带。按照夸克模型，这带电的点状结构是夸克，中性的组分就是胶子，实 验结果提供了可能存在胶子的迹象。1 9 7 9 年，丁肇中小组证实了胶子的存在并 测定了它的自旋，从而证明了与此相联系的量子色动力学的巨大成功。 4 9 总之，核子是由夸克组成，其相互作用属于强相互作用。而量子色动力学理 论是当前大家公认的处理强相互作用的s u ( 3 ) 规范理论，该理论以夸克和胶子 为基础。对于渐进自由、比较高能量的问题，可以用微扰量子色动力学处理，此 时系统可以视为理想状态，因此夸克可以认为是没有质量的，理论呈现手征对称 性。在手征极限下，量子色动力学理论拉氏量为， 6 第一章绪论 = 抑( 丸+ 诚鲁嘭) g 一丢嚷g 掣y + 乞嗍燃 = 巩脚十瓦伽r 一丢嘭旷g 掣y + k 删 ( 1 1 1 ) q r = 三c - 以，g ，g = 蓍 广是狄拉克矩阵，嚷= a 群一乱鬈一器厂咖鬈，口= 1 ，2 ，8 是胶子场强张 量，式中厂咖是s u ( 3 ) 群的结构常数，鬈是胶子场。 系统呈现球对称，s u ( 以) 己s u ( 以) r u ( 1 ) y u ( 1 ) 彳 ( 1 1 2 ) 、- - - _ - _ _ - 、，_ _ _ _ _ - c h i m l g r o u p g 同位旋对应，= 2 ，味对应以= 3 。当强子为有效自由度，夸克数对称u ( 1 ) 矿被 认为是强子数。当量子为有效自由度，由于阿贝尔不规则，轴向u ( 1 ) 4 不对称。 1 2 有效场论和手征微扰论 而当能量比较低，比如只有几百g e v 甚至更低时，夸克相互作用非常强， 出现色禁闭，( 带色荷的夸克和胶子被牢牢禁闭在强子内，不能自由存在，形成 色中性的系统，这种现象称为夸克禁闭，或是色禁闭。) 这些强予自由度可以认 为是基本的自由度，其相互作用用量子色动力学来描述是十分复杂和艰巨的。有 效场论( e f f e c t i v ef i e l dt h e o r y ，e f t ) 方法中，代替了夸克和胶子为自由度的 量子色动力学，人们发展了以介子和重子为基本场自由度的手征微扰论( c h i r a l p e r t u r b a t i o nt h e o r y ，c h p t ) ，尽管有时存在微扰理论无法应用的局限。 首先介绍核子之间的相互作用力核力： 随着原子物理学的发展，发现除了已知的引力相互作用和电磁相互作用之 外，还存在两种新的相互作用强相互作用和弱相互作用。而核力，比电磁力 强1 0 0 多倍，就是一种强相互作用力。事实证明核力约比库仑力大一百倍。参与 强相互作用的粒子称为强子，强子分为介子和重子，前者是玻色子，后者是费米 子。除核子( 中子和质子) 外，其余重子统称超子。 7 第一章绪论 核力近似地与核子是否带电无关，在质子与质子间、质子与中子间、中子与 中子间，核力的大小和特性都大致相同。1 9 3 8 年，n k e 姗e r 4 基于实验上发 现的核力的电荷无关性的事实，发展了稍早些时候出现的同位旋的概念，建立了 核力的对称性理论。( 把质子和中子视为核子的两种不同状态，核子的同位旋定 为i = 1 2 ，两个分量圭分别对应质子和中子。) 1 9 3 4 年，y u k a w ah i e d k i 为解释核子之间的强作用力，基于同电磁作用的对 比，提出这种力是由质子和( 或) 中子之间交换一种具有质量的基本粒子介子 引起的。在实验上，1 9 3 6 年c d a n d e r s o n 和s h n e d d e 瑚e y e r 在宇宙线中 发现了一种新粒子，其质量是电子质量的2 0 7 倍，其他性质几乎与电子完全一样， 这就是后来被称为u 子的粒子。i l 子是不稳定的粒子，它衰变成电子、一个中微 子和一个反中微子，平均寿命约为百万分之二秒。但是，u 子不是y u k a w ah i e d k i 所预测参与强相互作用的介子，而是一种轻子。1 9 4 6 ，p a u l i 5 预言了存在同位 旋矢量的赝标量粒子。1 9 4 7 年，实验上观测到了与y u k a w ah i e d k i 预言相符的万 介子，分别是矿，矿，聊：为电子质量2 7 3 3 倍，聊：为电子质量2 6 4 倍 6 。而 后，陆续发现了其他介子，一共1 2 个。 只有核子间的距离为小于l f m ，核力才显示出来，核力是短程力，只作用于 相邻核子。所谓的短程概念，是由m t a k e t a n i ，s n a k a m u r a ，m s a s a k i ，1 9 5 1 年提出 7 ：核子间相互作用根据核子之间距离r 不同分为三种，长程( ，2 砌) ， 中间区域( 1 加，2 加) ，短程( ，1 加) 。y u k a w ah i e d k 指的核力，是由交 换质量正比e x p ( 一i l l r ) ( i i l r ) 的粒子得到。一般来说，交换比较重的粒子，就 是短程。而长程对应一个万介子的交换；中间区域对应两万介子和重介子的交换。 在对原子核结合能、核子散射截面、角分布和相移( 表征粒子运动状态的位 相的变化) 等实验数据，进行包括对称性考虑的理论分析的基础上，建立核子间 相互作用势对核子间距及其它力学量的函数关系式，使之最大限度地符合实验事 实，以阐释核力的性质及其表现，能较精确符合二体散射数据的核力势，和两核 8 第一章绪论 子距离、自旋耦合状态及两核子系统空间波函数的宇称有关，称为唯象真实核力。 由于形式复杂，不便计算，往往采用形式较简单的唯象核力势函数，在计算中调 节其中一些可调参数，以符合实验结果，称为唯象有效核力。 下面简单介绍下有效场论的理论思路。当我们考虑涉及两能量范围的物理系 黼缈= 僦搿 ( 1 2 1 ) 其中矽是系统所依赖的自由度，人是划分系统两个能量范围的截断参数。有效场 论方法可以通过“积分掉重自由度( p a ) ，而只计入相关的轻自由度( p 人) ， 从而把一系列关于轻自由度的相互作用项整理为按“能量人 的幂次的展开。 配分幽裂日j 以田跆俭积分得剑，开作迸一步的简化。 z = 、脚l 、脚he x p 心、d d 地婶h 9 = 胁e x p ( f p 。嘞( 纯) ) 其中称为有效拉氏量，仅是纯的函数，可以表示为， p 。嘞( 吼) = 一f l np 饥e x p ( f p 。也( ，吼) ) = p 。x q q ( 吼) 其中算符d 和系数c 。可由具体所讨论的物理体系给出。 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 算符q 是定域算子，但对它做适当的分解，就能得到高能部分的对称性和 变换性质。即使出现对称性破缺，也同样可以体现在有效拉氏量中。在能量展开 的给定阶，低能有效理论包含有限个耦合参数g ，称为低能参数( l o we n e r g y c o n s t a n t s ，l e c s ) 。e 体现了高能下自由度被积掉了的效果，也是截断参数a 的 函数。但是c i 对人的依赖受重整化群不变性的限制。 9 第一章绪论 借助易处理问题的物理思想就是有效场论。一般处理这种问题分为以下几 个步骤：1 ) 找到所要处理问题的相关自由度和对称性。2 ) 在此基础上构造拉氏 量。3 ) 用标准场论的方法处理该拉氏量。 3 8 有效场论不同于通常意义的可重整化的量子场论，它是只在低能范围有效 的理论，并且是解决核物理和原子物理学中各种问题低能问题的重要工具，比如， 手征微扰论，重夸克有效理论，非相对论性量子色动力学。其中，这里的“低能 是相对于一个指定的能量标度a 而言的，比如，在手征微扰论中手征破缺的能量 标度，即截断参数一般取人4 硝1 g 洲，称为手征对称性破缺的能标，这里 疋是孔介子的衰变常数。在核子散射中，夸克是有质量的，对手征对称性产生 了软破坏。但是在这个能量范围内，即能量远远大于夸克质量，则回到了手征极 限，夸克质量仍可以认为是零。另一方面，能量要小于核子质量，以保证核子和 万介子成为系统的自由度，此时色禁闭。 下面就来简单介绍下前面说到手征对称性破缺和手征微扰论。首先，它们之 间的关系是：手征微扰论是一种有效场论，并且它的基本假定是存在手征对称性 破缺。手征对称破缺是处理低能强子相互作用的基础。文献 8 】对手征微扰论做 了简单的介绍。 在量子场论中，根据真空态如何对应对称转换，经典对称理论分为两派。对 于n 。e t h e r 流本身内部对称( 与电荷的关系是q = p 3 。( x ) ) 和真空态的转 换不变性这两个问题，两派有着不同的观点。最终，n 锄b u g o l d s t o n e 的非线性 思路，g o l d s t o n e 玻色子对应的自发对称性破缺通过历史的检验。 若对夸克场q 作变换， g 专弘e 哪口哇们9 g _ g - - e x p ( 讥口圭名口) g l o ( 1 2 4 ) 第一章绪论 通常，称这两种变换为规范变换。根据n o e t h e r 定理【9 】，相应这两种变换的流为 向量流磁= 芴以巧口吼和轴向流鬈= 玩以以z 口吼，对它们做微商可得， 曙= o ，扩群o ，所以哆为守恒量，对应味道对称性；矿鬈o 对应轴流不 守恒。按照g o l d s t o 定理，由于真空对称性破缺，产生了8 个质量不为零的赝 标量粒子万，k ，又称g o l d s t o n e 玻色子【1 0 】。其中石介子不仅是最轻的强子， 也是手征对称性自发破缺下的g o l d s t o n e 粒子。其质量为， 蟛= ( 朋甜+ ) b ， ( 1 2 5 ) 坂是万介子的质量，7 吃，是组成万介子u ，d 两种夸克的质量，b 表示手 征对称性自发破缺的影响。【1 1 】 而手征微扰论的基本假定是存在如下手征对称性的自发破缺矢量子 群：g 兰s u ( 3 ) l s u ( 3 ) rj 日兰s u ( 3 ) 矿，并且主要依赖量子色动力学手征 对称性的自发破缺来构建有效场论。 在量子色动力学理论发展之前，手征拉氏量已经研究的非常透彻，但由于不 能重整化，除了树形图，并没有得到广泛的关注。重整化理论几乎同时在手征拉 氏量止步。十多年后，w 宅i n b e 唱的一篇极具影响力的文章 1 2 】，提出了以物理赝 标量g o l d s t o n e 玻色子为自由度的理论，特别是通过g a s s e r 和l e u t 、) v y l e r 的系统 的分析【1 3 】，发展完善了有效拉氏量( e c l ) ，使之再次成为热点。尽管有效拉氏 量仍然不可重整，但他们对量子场论的基础形成共识。虽然那时量子色动力学理 论已很完善，但面临标准模型在低能近似区域，对称性自发破缺和色禁闭等基本 疑难问题，将强作用的量子色动力学直接应用到强子和核领域几乎是不可能的。 此后几年提出了解决低能区域中标准模型的不同的方法，可以大致归为三类：在 量子色动力学基础上得到的夸克模型；格点量子色动力学；手征微扰理论。量子 色动力学的低能理论可以用有效场论方法系统地给出，依据手征对称性和核子自 由度，在具体构造出有效拉氏量后，在低能范围表述为基于g o l d s t o n e 玻色子的 动量和轻夸克质量的幂次自发展开，这样的理论方法称为手征微扰论 1 4 】 1 5 】。 第一章绪论 而最终，手征微扰理论成为标准模型在低能近似区域内大家公认的有效理论。 手征微扰论要满足量子色动力学的手征对称性质，其基本自由度仍是赝标 g o l d s t o n e 玻色子，主要思想是把核子场分解为“重 和“轻”两部分。事实上， 在手征极限下，轻场是无质量的。重场与其他重自由度不同，被积分掉。这个分 解是依赖理论框架，但却可以达到妾求的目标：最后，我们得到的有效手征拉氏 量只有轻自由度，核子质量与能量成反比，只出现在拉氏量的高阶项。 吻= 轰( 安九安九畿) 疗皤) g 彬 2 舢 其中，c 埘聊是有效场论中未知参数，可以通过拟合实验数据得到，色，见是万 介子和费米子的协变导数，万和沙是万介子场和费米子场。在手征极限下， g o l d s t o n e 定理要求，当他们的能量趋于零，g o i d s t o n e 玻色子动量转移时相互 作用消失。换而言之，无论潜在的相互作用多强，当能量减小g o l d s t o n e 玻色子 的相互作用都变的任意小。这意味着理论应具有纯微商耦合结构，并在低能可以 基于小动量p 0 ) ，s 矩阵采用s t a p p 参数形式 4 8 。占为耦合角， 州裁黝= ( 群蠢群慨， 以3 b 一3 g 3 为例( j = 3 ，s = 0 ) ，由上式( 3 1 7 ) 可以得到， 磺= 等( 盼耻等旺篡禽= 鬟，)p p f s i n ( 2 s ) p 2 “ ( c o s ( 2 占) p “口4 一1 ) ， 由科学软件m a t h e m a t i c a 计算得到t 逆， 第三章9 的形式的猜测与验证 厂，妒( 一c o s ( 2 岛) s i n ( 谚3 一司3 ) + s i n ( 趟3 + 西3 ) ) r e 一= l 睇孝喇瓷器砰心2 鲫 8 ( o o s ( 莲3 + 霹3 ) 侧避3 一魂3 ) c o s ( 2 白” h n r l = 嚣j ， t 的虚部很简单，正比于单位矩阵，也就是说t 逆的矩阵非对角元为实数。只有 t 逆的实部进行非微扰重整化，因此重整化不影响其幺正性。 通过上面的公式的数值计算，得到的多的图像，区间是8 、3 0 0 m e v 。 上图为9 随能量变化的图像，图示参见上图1 砬。 3 2 重整化方案的提出 通过以上图像，我们可以看到在能量低端，g 急剧变化，而过了一个相对的 瑟一 蔻一 纛 i 型舻 第互章g 的形式的猜测与验证 拐点，9 变的很平缓，趋于恒值。可见9 的常数项在能量高端的重要性。根据g 的图像本文采用以下9 ( p ) 的解析表达式形式为， 鼬一。+ 劳+ 知+ 其中，g o ，9 1 ，9 2 为依赖有效场论和重整化方案的耦合参数。 ( 3 2 1 ) 对于崭( p ) 的解析表达式形式，也可能存在参数随分波、势能阶数的不同而 不同。需要注意的是，在非微扰重整化问题理清之前，根据特定的重整化或正规 化方案做出的结论都是不可靠的。也就是说，重整化的选择在非微扰框架下是非 平庸的。我们在此之前也进行了很多其他的猜测。例如，p a d 6 展开， 鼬，= 撒= 爱 在能量更低的时候，还可以展开成： 胁，= 铹 ，= 器 删+ 等 毋c p ，= g ；) + 赫 胁，= 警 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 撕 p酊 枷 = + 2 p科 + 酽 = 、- 、p，l 劬 锄，= 揣 胁广咖嘉 易( p ) = g ；+ = 丽 第三章9 的形式的猜测与验证 结果得到都不如式( 3 2 1 ) 的重整化方案效果好。 ( 3 2 4 ) 对于耦合分波我们在推测9 的形式前，做了变量分析，以从大体上把握重 整化方案思路。我们把通过逆运算的g 的矩阵元的值分别代入，得到的相移的 图像。( 我们用原数据代入，是做了个极限考虑，因为即使再多参数，再准确的 重整化方案也无法拟合到s 的原数据。如果这样的代入无法达到满意的效果， 那么这样的方案必定有问题。) 由此得到的结果不好，甚至有的分波出现严重的 奇异。接着，把g 的矩阵元两两组合代入相移公式，结果仍然不好。这样的一 个分析，我们可以得出，在新的重整化方案中，g 的四个矩阵元位置必须有相应 的拟合参数，至少不能为空。 因此，我们提出耦合分波的重整化方案， r e ( 多) = 以，d 3 一，g 3 为例，取到二阶，r e ( 9 ) ( 3 2 5 ) 6 ) 上式及本节以下公式g 对应的右下坐标代表矩阵元位置，右上坐标代表拟合阶 数，由于9 实部的二、三矩阵元相同，所以写成同样形式。 量笋也了吐了 吐 或 q q 一 血血 吐 醇 + + 26 l 4 8 立矿或一矿 + + 0 2 o 4 g g + + 科一，或一矿 + + o l o 2 g b o ，f。l = 在此之前，基于p a d 6 展开应用于耦合分波作过一些尝试， r e ( 9 ) = 研胁( 人，i g i ) p 2 + 巧跏( a ，l g f ) p 2 ，+ ( 3 2 7 ) 也分别测试了以下几种表达式形式的重整化方案，效果不如式( 3 2 5 ) 的明显 的好。 一悖剖 照妒 薹钟笃 k 卜k 钟+ 引 p ) 。 l沁c9，=g；二暑 眺，= 侈 啪，= 薹 g o 2 0 4 g ： p 6 式 1 + 反l n ( p ) 去+ 薪l n ( p 虿+ 或1 n ( 纠， 3 0 ( 3 2 8 ) 瑚 间 、，j 豉7 蓝矿 + + 第网章相移的计算 第四章相移的计算 4 1n op a d 6 相移公式 我们首先讨论n op a d 6 情况，因为它可以一方面检验我们前边的工作，一方 面为后面的拟合工作结果作一个参照。k a i s e r 曾经采用下面的相移公式，作过 关于l i p p m a n n s c h w i n g e r 方程的树形图的近似 2 1 ，势能近似等于跃迁矩阵t ： = 瓮r e ( 上) ， 勺= 瓮r e ( 川) ( 4 1 1 ) 其中，e = m 2 + p 2 ，此时m 为质心系核子质量9 3 9 om e v 由于只是基于一个微扰的幺正理论，以上相移公式只有在万和s i n 万c o s 万的差别很 小的时候才适用，换而言之，它的适用区间大约为例 3 0 。并且，对于轨道角 动量大于2 ，文中得到了比较满意的结果。 而本文对于对角道情况，采南在以上原有章节的工作基础上，直接在 l i p p m a n n s c h w i n g e r 方程做一阶近似，由上章式( 3 1 7 ) 经过计算可得， t a i l ( ) = 一嫠矿 对于n op a d 6 形式，即i b = 瓦b ，则 矽= 棚( 一器矽) 以对角分波1 砬为例，做出n op a d 6 结果。 ( 4 1 2 ) 第四章相移的计算 1 d 2 p a 如 图像 1 d 2 n op a d 6 为相移随能量的变化图像。其中，绿色实线表示p s a 相移数据，黑色点 线、红色虚线、蓝色点划线分别表示势能l o 、n l 0 、n n l o 对应的相移结果。 用的还是该分波本身的势能。因此，我们在计算中采取一些合理的近似。以 3 b 一3 g 3 为例， 爰；= f ，c o s ( 2 白妒竺一 ，商n ( 2 龟) e 掣3 、f ，1 + 2 2 哦d 3忽毛、 屹4 一b ( 2 啦蹿以3 州2 啦2 砰一l l z 2 乞 1 + 2 礁9 3 j 渊一f 掣= 卜争一警1 断2 l z 笔产争j 8 万z8 万2 岛= 一警 ，= 一訾 ，= 一訾 ， 其中，趔3 = 4 d 3 ，乏3 = 互d 3 ，露3 = 巧d ，。( 为了方便起见，此后也采用同 样的记法) 此时m 为质心系核子质量4 6 9 4 6 ：i c 2m e v 。 以下为3 d 3 3 g 3 的n op a d 6 结果， 3 2 第四章相移的计算 图像 1 砬n 0p a d 6 为相移随能量的变化图像。其中，绿色实线表示p s a 相移数据，黑色点 线、红色虚线、蓝色点划线分别表示势能l 0 、n l 0 、n n l o 对应的相移结果。 4 2 拟合相移公式 如前面所说，在势能部分简单的截断是没有物理意义的，9 表达式里的参数 需通过适当的边界条件来确定。本文采用通过拟合相移低端数据来获得9 表达 式里的参数。不同的重整化方案对应不同的参数，反过来，也可以用这些参数模 拟重整化方案对物理量的影响。 对于对角道的拟合相移公式，非常容易得到，把志= 志吲力代入 散射相移公式矽= 棚( 一参互) 即可。其中9 由拟合结果的参数代入给出。 3 3 第四章相移的计算 同样，耦合分波以3 皿一3 g 3 为例， c1 3 一 o 2 4 一 丁1 3 一 f 2 4 6l t i f4 万2 8 万2 pmt ：= ( s ：；一万，) p 弘 其中，矩阵s 参见式( 3 1 9 ) ，由此， 4 万2 p ht ： ( “) _ f 棼嚣， p弘pp 通过进一步分析， s i n ( 2 = 陋2 妙斛3i _ 等 岛= 扣s ；n ( 筹嘞岛2 虿a 此8 1 n ( 才l ，肖1 ) t a n ( 2 万：3 ) = 一垡s i n ( 2 占。) e ，雹3 + 蛾3 pp 等c 。s ( 2 s i n ( 2 艿：，) ph 等一等( c 。s ( 2 c o s ( 2 艿：，) - 1 ) php r e ( 盟( c 。s ( 2 占，) p ：t 砖3 1 ) ) ph 等一i m ( 等( c 。s ( 2 3 _ 1 ) ) p社pu 。 班扣呱霉亳 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 一黝 ”一酊 一 一 o兰氇 3 一，i”：一“ 口 一 + s 一、，如一d b 2 一 ”2蹬一贮 “一“一x 占 一 占 拈 一幻 文一双 等亚朋 e n 耽 一h 一 一 互础 第四章相移的计算 一垡c 。s ( 2 s ，) s i n ( 2 爿，) t a n ( 2 硝卜毛笔而磊 php 硅 r e ( 丝( c 。s ( 2 毛) p 2 ，础3 一1 ) ) p 毡 一垡一i m ( 丛( c 。s ( 2 占，) p ：，砰一1 ) ) p社p p 卵扣t a n c 嚣 ( 4 2 5 ) 对于其他耦合分波情况，我们必须寻求其他的方法。同样，对于其中的t ， 我们应用拟合后得到参数的代入g 得到。需要注意的是，拟合结果对应的是矩 阵的实部。 r e ( 丁- 1 ) = y 一1 9 v 蛔 = i y ，d ， d 3y 3 g 3 一比3 y e 3 g l g 3 一y f 3 y 3 d 3 矿3 g 3 一k 3 肜f 3 圪d 3 y 3 d 3 匕g 3 一y 占3 y f 3纠 一匕3 圪d 3 吃g 3 一3 圪d 3 圪d 3 圪g 3 一 g 2 一l ( 4 2 6 ) g 4 + 等j 心2 7 这里需要注意一点，根据以上的推导得到的三个相移公式，并不是朴实的公 式，只适用于耦合分波3 d 3 3 g 3 。对于耦合分波的相移公式，很多文献也给出了 3 5 一协 一斛 ，一m d 一 沪一弛 砰一似 m 一 + 以一d + 一 一 0 0 越一斛 双一义 c c 一 岛一 岛 义一义 一 堕静百 e n n h 互 3 占 矿 3 占 y 一 钉 3 矿珩一 y 坦舻 l 1 ， g g 第p n q 章相移的计算 不同的公式。比如， 1 占= 一a r 咖( 一 j 、 2 2 “尺。 砖# 三一( 一丢删协帆等】) 砖弘三一c 埘乎， 兵中一r 。、+ 、”参见文献 4 5 】； 1 一扣s 占= 一a r c t a n ；= = 兰二= j 2 0 s - s t a n 2 硝2 黜2 桊蔫毒 参见文献【5 0 】，瓯一只+ 受为s 矩阵元。 也可以尝试， 1 一f