（应用数学专业论文）竞争型nicholson飞蝇模型的动力学性质.pdf

t h ed y n a m i c sp r o p e r t i e so ft h en i c h o l s o nb l o w f l i e sm o d e l w i t hc o m p e t i t i o n j i a n gj i a n p i n g b s ( h u a n g g a n gn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o r t a i s h a n a p r i l ，2 0 1 1 咖8川8舢9舢6 09 m肌y 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含仃何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者躲融气 嗍刈年易月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密田。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签 导师签 e l 期：沙1 年 e l 期：1 一d 、- 1 年 易月1 日 6 月日 硕- 1 学f ? i 论文 摘要 本文研究了一类具有竞争型n i c h o l s o n 飞蝇模型，获得了该模型解的非负性、存 在性、唯一性、持久性、整体存在性、平衡解稳定性，周期解稳定性及其相关动力 学行为的一系列结论全文的内容共分为六章； 第一章，简述问题产生的历史背景、问题的研究状态、最新进展及本文的主要 工作同时我们给出了本文所使用的基本的记号、定义和预备知识 第二章，用数学分析知识得到了竞争项型n i c h o l s o n 飞蝇模型平衡点等价方程 及其正平衡点与边界平衡点存在性的若干结论 第三章，结合第二章平衡点存在性的结论，利用泛函微分方程的定性与稳定性 经典理论，得到了竞争项型n i c h o l s o n 飞蝇方程平衡点稳定性与吸引性的若干结果， 从而揭示了竞争项型n i c h o l s o n 飞蝇模型所反映的临近地区间两种生物数量的变化 规律 第四、五章，在前几章研究的基础上，结合泛函分析知识和中心流形理论，进一 步获得了竞争项型n i c h o l s o n 飞蝇模型平衡点的h o p f 分支的一些性质和解的一致持 久性动力学性质 第六章，利用数学软件m a t l a b 对所得的结果进行了数值模拟，以验证理论结果 的正确性 关键词：稳定性；中心流形；h o p f 分支；一致持久性；n i c h o l s o n 飞蝇模型；不变集 硕士学位论文 a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yac l a s so ft h en i c h o l s o nb l o w f l i e sm o d e lw i t hc o m p e t i - t i o n ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e so fs o l u t i o n s ：e x i s t e n c e 、u n i q u e n e s s 、n o n - n e g a t i v i t y 、p e r m a n e n c e ，a n dt h e e x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o n s ，t h es t a b i l i t i e so f t h es t e a d y s t a t e ，t h es t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n ，a n das e r i e so fc o n c l u s i o n s r e l a t e dt od y n a m i c s t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ； i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eb r i e f l yr e c a l lt h eb a c k g r o u n do ft h i sm o d e l ，w o r k st h a t h a v eb e e nm a d e ，t h el a t e s td e v e l o p m e n t si nt h i sm o d e l m e a n w h i l e ，w es h o wo u r m a i nc o n t r i b u t i o n so nt h i sm o d e l m o r e o v e r ，w ew o u l dl i s tm a t h e m a t i c a lb a s i c n o t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n dp r e l i m i n a r yu s e di nt h ep a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，as t e a d y - s t a t ee q u a t i o nw h i c hi se q u i v a l e n tt ot h ee q u i - 1 i b r i u mp r o b l e mo ft h ep r o p o s e dm o d e la n ds e v e r a lc o n c l u s i o n sa b o u tt h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n db o u n d a r ye q u i l i b r i u mw i l lb ea c h i e v e db yu s i n gt h e t e c h n i q u eo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i s i nt h et h i r dc h a p t e r ，b yt h er e s u l t so fc h a p t e rt w oa n dt h ec l a s s i c a ls t a b i l i t y t h e o r e mo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w es h o wt h es t a b i l i t ya n dt h ea t t r a c - t i v i t yo ft h es t e a d y - s t a t eo fo u rm o d e l ；t h u s ，o nt h ev i e w so fm a t h e m a t i c s ，o u r m o d e lr e v e a l st h ec h a n g el a wo ft h en u m b e ro ff l y i n gf l yi nt w on e a ra r e a i nt h e t h i r dc h a p t e r ，b a s e do nt h er e s u l t so ft h ee x i s t e n c eo fs t e a d y - s t a t e ，a n dt o g e t h e r w i t ht h ec l a s s i c a ls t a b i l i t yt h e o r e mo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s e v e r a lc o n - c l u s i o n sc o n c e r n e dw i t ht h es t a b i l i t ya n dt h ea t t r a c t i v e n e s so ft h es t e a d y - s t a t eo f t h ep r o p o s e dm o d e lh a v eb e e nm a d e ，a n dt h e nr e v e a lt h er e g u l a r i t yf o rn u m b e r c h a n g eo ft h et w oc r e a t u r e si nt w o n e a rp a t h e s i nt h ef o l l o w i n gt w oc h a p t e r s ，b a s e do nt h es t u d yo fp r e v i o u ss e c t i o n s ，t o g e t h e r w i t ht h ef u n c t i o n a la n a l y s i sa n dt h ec e n t e rm a n i f o l dm e t h o d ，w eh a v eg o tm o r e p r o p e r t i e so fh o p fb i f u r c a t i o na tt h es t e a d y - s t a t eo ft h ep r o p o s e dm o d e la n di t s u n i f o r mp e r s i s t e n tp r o p e r t yo fi t sd y n a m i c s i nt h el a s tc h a p t e r ，u s i n gt h em a t l a b ，w ep r o c e e dw i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so fo u rt h e o r e t i c a lr e s u l t si nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：s t a b i l i t y ；c e n t e rm a n i f o l d ； n i c h o l s o n sb l o w f l i e sm o d e l ；i n v a r i a n c e h o p fb i f u r c a t i o n ；u n i f o r mp e r s i s t e n c e ； i i i 硕十学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 研究背景及意义1 1 2 本文研究的问题4 1 3 基本的记号、定义及相关预备知识5 第2 章正平衡点的存在性1 0 2 1 正平衡点存在性等价变换1 0 2 2 边界平衡点的分布1 0 2 3 正平衡点存在性条件1 1 第3 章平衡点的稳定性和吸引性1 4 3 1 不同时滞平衡点的稳定性和吸引性1 4 3 2 同时滞平衡点的稳定性2 0 第4 章不变集与类一致持久性2 7 4 1 不变集2 7 4 2 一致持久性2 9 第5 章同时滞平衡点处的h o p f 分支3 1 5 1 平衡点处的h o p f ( r 子支3 1 5 2 分支的稳定性3 1 第6 章数据模拟4 0 6 1 数值模拟4 0 结论4 8 参考文献5 0 致谢5 3 硕十学伊论文 第1 章绪论 1 1研究背景及意义 泛函微分方程的发展可以追溯到人们研究几何问题时提出的个古典几何学 问题：是否存在一种曲线，可通过平移、旋转运动后与其渐缩线重合1 7 7 1 年，c o n - d o r c e t 研究了该问题，得到了历史上第一个泛函微分方程： r ( s ) d r ( s ) ：r ( g + 兄( s ) ) a s 其中s 表示弧长，冗( s ) 表示其曲率半径，仍为常数自从这个泛函微分方程问世后 的一个世纪里，b e r n o u l l i 、l a p l a c e 、p o i s s o n 及b a b b e g e 等著名数学家也都提出了 类似方程但鉴于这类方程的复杂性，2 0 世纪3 0 年代前，相关学者们对泛函微分 方程的研究仅限于某些特殊类型方程的特殊性质，未曾对其进行系统研究1 9 2 8 年 和1 9 3 1 年，v o l t e r r a 1 2 1 讨论了更一般的泛函微分方程，他定义了能量函数来研究系 统在短时间内的渐近行为，这是泛函微分方程理论发展中的里程碑2 0 世纪5 0 年 代泛函微分方程系统的研究工作开始展开，经过几十年的发展，泛函微分方程在理 论和应用方面取得了长足进步( 详见文献 3 ，4 1 ) 由于泛函微分方程充分考虑到历史因素( 即时滞) 对系统的影响，比常微分方程 更精确地描述实际现象因此在近代科技的许多科学领域研究中都有着广泛的应 用，如物理学、生物数学、经济数学、自动控制、通讯理论等总之，对它的研究既 有理论意义，也有实用价值随着泛函微分方程理论的日趋完善，有关生物种群动 力学的理论研究也日益迅速发展在生物动力系统的研究中，人们最感兴趣的就是 研究生物种群数量的变化及相关动力学性态生物种群动力学的研究在数学上主 要是通过采用泛函微分方程中的时滞微分方程或时滞差分方程来建立适当的模型， 由此研究生物种群数量变化的动力学性态，以此来揭示其生物运行的机制在经典 生物种群模型的动力学研究中，应用最广泛的泛函微分方程模型( 详见文献 5 】) ： ，7 鼍= b ( x ( t 一7 - ) ) 一d ( z ( 】 ) ) ( 1 1 ) u 厶 z ( 亡) 为人口总数，出生函数b 与成熟时滞7 相关，死亡率d 仅仅依赖于当前人口水平 并考虑如下初始条件： z ( s ) = 妒( s ) ，s 【- - t ，0 1 ， 其中妒为连续的非负函数广即 妒c ( - t ，o 】，r + ) ，妒( o ) 0 一1 一 竞争刑n i c h o l s o n 匕蝇模型的动力学r l ：质 在实际的生物背景下，出生率和死亡率满足如下假设： ( a 1 ) b ( o ) = d ( o ) = 0 ，且对正充分小的z 有s ( x ) d ( z ) ( a 2 ) 存在k 0 使得b ( k ) = d ( k ) ( a 3 ) ( z k ) 【b ( z ) 一d ( z ) 】 5 0 或者p q 5 0 ，分别满足所有( a 1 ) 一( a 3 ) 条件，这些条件已被广泛用到渔业中【6 1 注意到文献【7 】也用到函数b 1 来模拟c h 盯g a s 疾病 当我们考虑b ( x ) = p x e 咱。和o ( x ) = 5 x 时方程( 1 1 ) ，即下面的模型： 等= p x ( t 一丁) e 印( 一q z 一7 - ) ) 一6 z ( 亡) ( 1 2 ) 这里p 0 为最大平均每天产蛋率，= 1 0 为其最大虫口生育率，5 0 是成虫平均 每日死亡率，下为发育成熟时间或者从出生到成熟所用的时间 n i c h o l s o n s l 用方程( 1 2 ) ( 后文称n i c h o l s o n - $方程) 来模拟实验室飞蝇虫口， 随后，文献f 9 ，1 0 对其进行了动力学研究n i c h o l s o n 花了近两年的时间记录了飞蝇 的虫口并观察到大约3 5 - 4 0 天为一个基本周期振荡他总结出振荡的根本原因是刺 激和密度相关反应之间的时滞应用经典的逻辑h u t c h i n s o n 方程： 筹= r 删1 _ 1 n ( t 广- - t ) 】， ( 1 3 ) 将导致在估计时滞值时的一些差异在1 9 3 5 年方程( 1 3 ) 首次被应用到经济学中研究 经济周期稳定性在1 9 4 8 年，h u t c h i n s o n 将该方程应用到模拟依赖植物的草食动物 的研究中，模型中7 表示植物恢复时间方程( 1 3 ) 代表着非常粗糙的一阶逼近，只纳 入了有关系统最少的必要的生物学信息文献 1 0 】说明了n i c h o l s o n 观察到的波动现 象就是极限环，极限环的周期主要由时滞7 - 决定 作代换n ( t ) = q z ( 亡) ，方程( 1 2 ) 口- f i l 转化为如下方程： 了d n f ：p n ( t 一丁) e 印( 一( 亡一7 - ) ) 一5 n ( t ) ( 1 4 ) 一2 一 硕士学位论文 对具有两阶段结构的单物种种群，可将方程( 1 4 ) 修改为如下方程： _ a l i v = p e 一1 下( 亡一丁) e 一( 。一r ) 一5 n ( t ) ， ( 1 5 ) t 占山 这里1 为未成年阶段的死亡率 在过去4 0 多年里，n i c h o l s o n 飞蝇模型理论取得了显著进展，其主要结果在众多 的研究论文可见，详见文献【1 2 4 6 】本文只列出部分经典n i c h o l s o n 模型及一些推广 形式所得概述性结果，尤其是该模型的定性分析，如正解的存在性、持续性、持久 性、振动性以及稳定性 最近l i u 3 6 1 在考虑多种群合作情形时，研究了高维合作时滞系统： z 他) = ，( 耽) 其中，：n 羔1c ( h ，r j - 】) _ 舻满足局部l i p s c h i t z 条件，且满足，( ) = ，( 争) ，争全 0 ；，z ；，x n ) i n t ( 僻) ，r i 财 o ) ，i = 1 ，2 ，扎得到了高维合作时滞系统 平衡解全局收敛的条件，并在文献应用中研究了多种群n i c h o l s o n 飞蝇模型： 在满足如下条件d 0 ，p 【e ，e 2 】，( r l ，r 2 ，r n ) i n t ( 砰) ，a = ( ) n n 是合 作不可约矩阵且满足j 和a i j = 一a i i h v 亍，得到系统平衡解的全局收敛性随后l b e r e z a n s k y , l i d e l s 和l t r o i b l l7 】在考虑多种群的m a r i n ep r o t e c t e da r e a s 和b c e l l c h r o n i cl y m p h o c y t i cl e u k e m i a 渔业种群模型时，研究如下自治二维n i c h o l s o n - 嘲 型时滞系统： iz j q ) = - a l x l ( t ) + b l x 2 ( t ) + c lx l ( t 一7 ) e 一以( 扣， 【磁0 ) = 一a 2 x 2 ( t ) + b 2 x a ( t ) + c 2x 2 ( t 一丁) e 一现( 卜， 其初值条件为： ( 1 6 ) x i ( s ) = 妒i ( s ) ，s 【- - t ，o 】，妒( o ) 0 ，( 1 7 ) 其中忱c ( 【_ 丁，0 】，【0 ，+ ) ) ，a i ，玩，q 和7 为非负常数，i = 1 ，2 得到了系 统平衡解的存在唯一性条件，一致持久性及平衡解的局部和全局收敛性条件 我们发现以上文献所考虑的多种群模型中各种群之问都是合作关系我们知 道生物种群之间的竞争和合作往往都可能出现，遗憾的是，目前还未见文献研究具 有竞争关系多种群的n i c h o l s o n 飞蝇型时滞系统随着人们揭示自然规律过程的不 断深入，有关具有竞争关系多种群的n i c h o l s o n 飞蝇型时滞系统研究必将让我们更 客观地了解现实世界的生物种群发展的真实规律，这也将有助于进一步完善和发 展泛函微分方程与生物种群动力学的理论和应用因此研究具有竞争关系多种群 的n i c h o l s o n 飞蝇型时滞系统的各种动力学性态意义重人 一3 一 n 磊 l l | 如一 一 o 戤 e n 一 z g+ n 触 = z 竞争_ 耍f ! n i c h o l s o n 琶蝇模犁的动力学性质 1 2 本文研究的问题 如前所述，由于n i c h o l s o n 飞蝇方程及其对应多种群的n i c h o l s o n 飞蝇型时滞系 统很好的模拟了一类种群数量的变化，有关其具体动力学性质的研究引起了人们 普遍关注众所周知，时滞微分方程描述的生物种群动力学模型可能具有以下三种 动力学行为： 1 收敛性：当时间t 趋于无穷大时，部分轨道收敛到某个平衡点或稳定状态， 一部分轨道趋于平衡点集( 某平衡点集可能是稳定的，也可能是不稳定的，即轨道 远离它) ； 2 振荡：轨道渐近地趋于一个周期轨道( 该轨道可能是稳定的，也可能是不稳 定的) ； 3 混沌：通常比较粗略地规定其轨道在有界的范围内长期对初值极端敏感依 赖地游荡运动 针对上述三种动力学行为，人们结合n i c h o l s o n 飞蝇方程的实际生物学背景，已 经获得了有关其平衡点，正周期解或正概周期解的存在性，稳定性以及全局收敛性 的众多动力学结果然而这些结果往往局限在单个种群的n i c h o l o s n 飞蝇方程上，有 关多种群n i c h o l o s n 飞蝇方程的结论就只限定在种群之间具有合作关系的情形( 详见 参考文献 3 1 ) 有关竞争模式下多种群n i c h o l o s n 飞蝇方程的平衡点的存在性，稳定 性以及解的全局收敛性还未见文献研究由于生物系统中种群之间的竞争总是会 出现，这就使得继续研究有关竞争模式下多种群n i c h o l s o n 飞蝇方程的动力学性质 既有理论价值又有实际意义针对n i c h o l o s n 飞蝇方程的上述研究背景，我们考虑两 个相邻地区两种生物种群，它们之间存在资源竞争，为竞争资源彼此间会出现相互 侵略的竞争行为，为此提出如下具有竞争的两个生物种群的n i c h o l o s n 飞蝇模型： 喜 ：；三一- 6 6 z y ( t 3 ：a 口y z ( t 亡二r r 2 1 ) e b k y ( ：r n 2 ) 二k 七2 1 x z ( t t ) y 可( t t ) ( 1 1 。) l 雪( 亡) =) + 一 一 扣 一 、7 考虑到生物模型本身的意义，系统满足以下初值条件： z 蚴2 砂1 1 ( 亡? o ，亡h ，o 】，l c ( 咱，o 】，风) ，( 1 1 1 ) 【秒( 亡) = 也( 亡) ，2 ( 亡) 0 ，t 卜r 2 ，0 】，2 c ( - r 2 ，o 】，r + ) 、7 其中7 1 、r 2 、6 、a 、b 、k l 、k 2 均为常数z ( 亡) ，可( t ) 分别表示t 时刻两区域的生物数量， n 表示成年个体最大日繁殖率， 表示以最大繁殖率所繁殖的数目，6 为成年个体牛 物的日平均死亡率，r 1 、r 2 表示从出生到成年所需时间k 1 、表示彼此间由于竟 一4 一 硕 j 学位论文 争资源相互侵略而造成的死亡的比例系数定义连续映射，：g _ 兄2 ，如下： 形) = ( 一- 删a 1 ( 0 ) + 0 ) + n a 似咖1 ( - 咱r 1 ) e _ ) e - 却 l ( - r r 2 ) ) 一_ m a l 矽1 ( ( 。0 ) ) 螂咖2 ( 0 ；) ( 1 1 2 ) 记 z ( t ) = ( z ( 亡) ，可( ) ) t ， 其中z t = ( 兢，犰) t c ，则观( 0 1 ) = x ( t + e 1 ) ，y t ( 0 2 ) = x ( t + 如) ，对v 侠 - r l ，0 】 则( 1 1 0 ) 一( 1 1 1 ) 就简化成下面的系统： j 童( 亡) = m ，忍) ，( 1 1 3 ) 【z o2 瞄 。 我们将利用泛函微分方程的定性与稳定性经典理论，结合具有竞争项的平面n - i c h o l s o n 吲t 方程( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 作为生态系统本身的实际意义，展开研究这些系统的 解的非负性、存在性、唯一性、持久性、整体存在性、平衡解及其稳定性、周期解及 其稳定性，从而揭示具有竞争项的平面n i c h o l s o n 飞蝇方程所反映的临近地区间两 种生物数量的变化规律我们希望通过对上述具有竞争项的平面n i c h o l s o n 飞蝇方 程( 1 1 0 ) 一( 1 1 1 ) 的动力学性质的研究，来丰富和完善有关n i c h o l s o n 飞蝇方程生物种 群动力系统的理论，并希望将理论结果应用维持生物种群的生态平衡的研究中具 体的研究工作分五章进行：第二章，讨论系统的边界平衡点和正平衡点的存在性 第三章，研究对应平衡点的稳定性及吸引性第四章，研究系统的不变集及其解的 一致持久性第五章，运用中心流形定理和规范型理论讨论了平衡点的处h o p f 3 子 支，分析t h o p f 分支方向及周期解的稳定性对于多维系统平衡点处的h o p f 3 9 v 支的 研究，中心流形起到了很好的降维作用( 关于中心流行如何降维具体可参阅文献【4 7 】， f 4 8 1 ) 而系统规范型理论则是将所研究的问题从形式上予以简化，从而找到恰当的 坐标系统( 详见文献 4 7 】， 4 8 1 ) 给出决定分支性质的系数的表达式，这样寻找对应坐 标系统的方法已经很完善( 可参阅文献 4 9 - 5 1 1 ) 第六章，利用数学软件m a t l a b 对所 得结果进行数据模拟 1 3基本的记号、定义及相关预备知识 为了研究时滞微分系统( 1 1 0 ) 一( 1 1 1 ) 解的一些基本性质，本节主要介绍微分 方程的基本知识，为此先介绍一些记号 记耳为非负实数的全体，冗车表示所有兄2 中的非负向量，7 = ( r l ，r 2 ) 霹，a 、b 、 6 、r 1 、r 2 、k 1 、k 2 是给定的非负实数定义g = c ( 【- 7 - 1 ，o 】，r ) xc ( 【_ r 2 ，0 1 ，冗) ，其 上赋予范数 | i = s u p i 我( s ) i 一5 一 竞争刑n i f h o l s o nl l 蝇模刑的动，j 学什质 记时= e ( _ 7 1 ，o 】，r ) c ( - r 2 ，o 】，r ) ，则甜为b a n a c h 空间g 中的序锥，从 而钟诱导出g 上的偏序关系 设咖，妒g ， ( i ) 妒妒当且仅当妒一c ， ( i i ) 咖 妒当且仅当咖妒且咖妒， ( i i i ) 妒当且仅当妒一i n t ( c t ) 设a c ， ( i ) a 当且仅当妒，咖a ， ( i i ) a 当且仅当 ”，“若盯o 且名c ( 卜n 盯】，r ) c ( 【一r ，仃】，冗) ，贝4 v t 0 ，o r 】定义( 魂) i ( 仇) = 磊( t + 仇) ，哦【一n ，0 】，i = 1 ，2 又 设q 冗2 ，定义包( 巩) = q t ，v 良【一n ，o 】) ，i = 1 ，2 ，则a g ，设g ，记乙( 妒) = ( x t ( 垆) ，犰( 妒) ) t 为系统( 1 1 0 ) 一( 1 1 1 ) 解 定义连续映射，：g _ 冗2 ，考虑时滞微分方程 也( 亡) = 厂( u t ) ， ( 1 1 4 ) 解的有界性与稳定性，并且对于任意初值咖，我们总假设方程( 1 1 4 ) 过的解在 o ，o o ) 上存在，并用u t ( 矽) 表示方程( 1 1 4 ) 满足钆o ( ) = 驴的解 定义1 1 对于妒g ，如果存在m = m ( 妒) 使得lu t ( 妒) l 0 ，若存在m = m ( 日) ，使得当i i 妒i i h 时，有i iu t ( 妒) l i 0 ，存在6 = 6 ( e ) ，使得当妒i i 0 ，口 o ) 为边界平 衡点 引理1 1 5 1 j 对于方程 2 x 7 0 ) = a o x ( t ) + a j x ( t 一勺) ， ( 1 1 5 ) j = l 其中x ( t ) r 2 ，4 ( 1 j 2 ) f 黾2x2 常数矩阵，乃研设( 1 1 5 ) 的特征方程 2 九( a ，丁) = d e t ( a i 一一如e a 巧) = 0 ( 1 1 6 ) j = l 满足下列条件 ( 1 ) 方程 ( a ，0 ) = 0 的所有根均具有负实部； ( 2 ) h ( a ，i w ) 0 1 则方程( 1 1 6 ) 的所有的根都具有负实部 引理1 2 设6 ，k l ，k 2 为非负的实数，m 1 ，m 2 c ( r + ，珥) ，则初值问题 i圣= 一5 x k ：x y + m 1 ( 亡) ， z ( 毒三- 6 y - x 00 ，硝+ m 2 l ( 1 j 7 ) 1z ( o ) = ， 、一7 【可( o ) = y o 0 ， 的解z ( t ，x o ，y o ) = ( x ( t ，x 0 ，珈) ，y ( t ，x 0 ，珈) ) t 在 o ，+ ) 上存在唯一且非负 证明：i a x ( t ) = ax ( t ，z o ，y o ) 、秒( 亡) = ax ( t ，铷，踟) 令日：也冗2 _ r 2 ，使得 h ( t ，z ，y ) = ( 一如一k l x y + m 1 ( 亡) ，一6 y ( t ) 一k 2 x y + m 2 0 ) ) 丁 显然，h ( t ，z ，可) 满足局部l i p s h i t z 条件，从而可以得知z ( 亡) 局部存在且唯一 设z ( 亡) 在【o ，7 7 ) 上存在且唯一， 0 ，叩) 为其最大右侧存在区间 下证刀= + ，否则叩 o 。，并由延拓定理知 一7 一 i i 示。l z ( 芒) i = + o o 或面i l y ( t ) l = + 。 t - - - , t - t - - - - , t ) - 叩为有限数，m ( 1 1 9 ) 氮i v t 0 ，剜有 | ，z ( 古) = e 一后( 6 - k l y ( 。) ) d s z ( o ) + e 一片( 6 + l 掣( s ) ) 出名e 厝( 6 + 七1 掣( 1 i ) ) 如m l d s 0 ， 【秒( 亡) = e 一后( 6 + b z ( s ) ) 幽y ( o ) + e 一片( 6 + 乜写( s ) ) 幽名e 石( 占+ 幻z ( ) ) 如m 2 d s 0 其中舰2 嚣两m 1 ( 亡) ，尥2 。m 【。a ，x 叩】m 2 ( ) ，te 【0 ，纠从而与 1 i r a 一i x ( t ) l = + o 。或面i l y ( t ) l = + o 。 + 吁一t + 力一 矛盾，故叩= + 引理1 3 设n ，b ，6 ，k l ，为非负的实数，则晰阱初值问题( 1 1 0 ) 一( 1 1 1 ) 的 解z ( t ；) 在【o ，+ ) 存在且唯一 证明：取r = m i n r l ，r 2 ) ，下面证明( 1 1 0 ) 的解z ( 亡；) 在f o ，叫存在且唯一记 夕1 ( ) 竺口z ( 亡一r 1 ) e k ( t - - r 1 ) ，眈( 亡) = an 可( 亡一r 1 ) e 一的( t t ，其中t 0 ，r 】 将9 1 ( 亡) ，眈( 亡) 进行延拓使得对p ，o o ) 有 夕1 ( ) = g i ( r ) ，仍( 右) = 卯( r ) ，t h + o o ) 记f ( t ，z ，y ) = ( ( 亡，z ，可) ， ( t ，z ，可) ) t ，其中 j ， ( 芒，z ，秒) t 厶( 亡，z ，) - 6 x 一后1 z 秒， 一6 y 一启1 z 矽 显然 ( 芒，z ，可) ，如( t ，z ，可) 满足l i p s h i t z 条件，考虑如下初值问题 = ( 亡，z ，y ) + 9 1 ( t ) ， = 如( ，z ，y ) + 9 2 ( 亡) ， = x o 0 ， = y o 0 一8 0 m m 吾叫l 舌叫溉鼢m 吲m 吲 + + 一 一 一 一 p 有 峦 芗 叩，j l 【 p 有 纠 觇 p 对 钒 批 献 附 上 知 由 可 而 此 从 由 0 o z 秒 十+ 丝占监6 一 一 一 一 e e 一 一 1 1 丝占丝6 + + 0 0彬呦 一 一 e e 一 一 、，、， 雄印 ，_、【 宕雪 文“ ，、 硕：l 学位论文 的解虿( 亡) ，则由引理1 4 知乏( t ) 在 o ，) 上存在且唯一又由g l ，9 2 的定义可知z ( 亡，) 在【o ，7 】满足方程( 1 2 0 ) 从而魂( ) = 乏( 亡) ( 耽 0 ，叫) 在 o ，r 】上存在且唯一由数学 归纳法易证旎( ) 在r + 上存在且唯一证毕 引理1 4 设a ，b ，6 ，k l ，k 2 为非负实数，则对于v c 初值问题( 1 1 0 ) 一( 1 1 1 ) 的解厄( 矽) 0 且一致有界 证明：由引理1 2 易知锄( 矽) 钟，从而旎( ) 0 ，v t 皿成立 下面证明解魂( ) 是一致有界的记z ( 亡) = z ( 亡，) ，u ( t ) = 可( t ，咖) ，其中t 4 由名( 亡，) = ( z ( t ，) ，耖( t ，) ) 及( 1 1 0 ) 一( 1 1 1 ) 知，对于v t r + 有 j 圣 ) 一5 z ( t ) + 嚣， 【y ( t ) 一5 y ( t ) + 是 从而由上式及引理1 2 f0 z ( 亡) 彘+ ( z ( o ) 一彘) e 一& z ( o ) + 是， l0 秒( 亡) 彘+ ( 可( o ) 一彘) e 一以y ( o ) + 最。 其中t 皿由此可知解魂( ) 是一致有界的证毕 一9