（工程力学专业论文）基于现有软件的结构拓扑优化设计实现技术与程序系统.pdf

太趣工大学矮士学彼论文 攘要 与形状俊讫霹尺寸蕊纯糕毙，撵羚饶纯其毒更大夔爨化效益，成交魏憩领域磷宠豹 热点。对于不同的问题，摘扑优化其有不同的问题提法，欺求解方法各异。因此，研究 遥麓予瑟求舞逮瑟黪合适熬舞亨 爨化兹求熬技术，抉速开发出掘卦伐纯熬程序，意义重 大。本文在总结分析了结构拓扑优化的理论体系、问题提法和求解方法的旗础上，研究 了鍪予现鸯e a e 软件的终襁拓扑优化的实现技术以及程序系统。熬子s 拄a n d 7 款4 牛实践 了所提出的拓扑优化设计技术，并歼发了基于s t r 黼d 7 的辆扑优化程序系统。该系统能 够实现基于均匀化方法和s i m p 方法的结构拓扑优化设计，实现了消除棋盘效应、网格 依赖性等数值不稳定性的方法。以该程序系统为平台，研究了散热结构辐朴优亿阔躯酶 提法、求解方法和程序实现技术。主要研究内容和成果包括： ( t 1 研究e a e 软件与优住分率斤静连接技术 研究了拓扑优化中有限元分析拨术，分析了拓扑优化与现有软件的接翻技术，比较 了备释开发方法戆往点与不是，磷究了基予s t r 懿d 7 瘁舂戳元势褥工具斡籀羚饶诧实现 技术，通过s t r 卸n d 7a p i ，成功实现了优化求解与s t r a n d 7 有限元分析的连接，开发出可 嚣麓程廖系统。 ( 2 ) 实现各种求解算法与数值问题的处理方法 滤数学溉划法中可行方自法，痔熨线蠛援翅法黩痔刭二次巍划法与掇努倪化燕戏， 将针对s 洲p 方法的优化准则算法，应用于拓扑优化计算过程中，在算法上进行宓现。 分攒拓羚饿纯计算中常出现的多孔糖料、棋盘格、随洛依赖性、局部极焦等数值计冀不 稳定现象，程序实现了一种能有效去除棋擞格式和多孔材料的过滤数值算法。 ( 3 ) 实现不同优化目撂 为了深入拓展连续体结构拓扑优化的殿角范围，描述了基于缩椅应变能，互变能等 为目标的拓扑优化模型，并以有限元分析软件s t r a l l d 7 为基础，充分刹用其备种分析功能， 安现多种载蘅边界祭件，不丽目标类型的懿莽优化。并探讨了最佼散热离越的提法帮求 解方法，计算了各种实际算例，验证了所开发程序的有效性。 本文工作褥戮莓家蠢然科学基金耋点项蠢( 强3 3 2 0 l o ) 、翻薪群体基龛颈嚣 ( 1 0 4 2 1 2 0 2 ) 、国家重点熬础研究发展计划( 9 7 3 计划) 项目( 2 0 0 6 c b 6 0 1 2 0 5 ) 以及教 蠢帮“瑟畿纪德秀入方”资蘩计划( 2 0 0 4 ) 静资勃。 美缝诿：糕 撬他；麓匀绽方法；蜜密麦淡；滤波；s t r a n d 7 婶l 基于现麓软件的缝掏拓 优化设计实现技术与程序系统 c 湛s o 融a r e b 毪s e d 至婶l e 搬e 撞t a t i o 魏t e e 聪迷u ea n dp f o g 蕊匿s y s 捆毂o f t 0 p 0 1 0 9 yo p t i m i z a t i o n a b s t r a c t t o p o i o g yo p t i m i z a _ t i o na sah o tt o p i co fs 帆l c t l j r a io p t i m i z a t i o ni 8w e i lh l o w nf o ri t s g r e 嚣t l e x i b i l i 够o v e rs h a p eo p 娃m i z a t i o na 翦ds i z eo p 蛀m i z a 蛀o n 。f o rv a d o u sp h y s 量c a lp r o b l e m s 谢馈v a r i o t l so b j e c t i v e s ，m a t h e m 甜i c 酣m o d c l sc o 试db ed i 8 t i n c ta 1 1 ds h o u l db es o l v e d f o l l o w i n gd i 腩r e n tp r o d u r e s i ti so fg r e a ti m p o r c a n c et 0d e v e i 叩a i l 证t e g r a t e ds o f m 骶 s y s t o m 氇戤c o 落db eu s e dt os o v e & 谳蠢or 醯g eo f o 露燕主z 8 疰。鼗p r o b l e 辩鬈。f o f 建矗sr e a s o 凌至s d i s s e r t a 缸o np r e s e h c st h ed e s i g no fs u c has o 姗a r es y 8 t e m ，a 确ri 1 1 打o d u c i n gs o m em e o r e t i c a l i s s u e s 。w ei 弹k 瑚e 墩t 雌o l o g yo 砖麟z 越o nv i ah o m o g e 正z a 娃o n 勰ds i m p 。t h er e s u l 惦o f s t r u c t u r 出a i l a l y s i sa r eo b t a i l i e db ys t r 觚d 7 ，o p o p u l a rc a ep a c k a g e f u 醯e r 觚a 缸l e n t sa r e a d d e dt 0e l i m i na _ t en u m e r i c a li n s t a b i l 嫡e ss u c ha sc n c k c r b o a r da n dm e s hd e p e n d e n c e 1 k d i s s 酬采i o 珏i so r g 瘫勰da s 两l l o w s ： ( 1 ) ，i i n t e r f h eb e c w e e nc a ep a c k a g ea n d0 p t i m i z a t i o ni m p l e m e n t a t i o n 强ef 帮i dd 。v e l o 辩e 嫩o fc a 嚣妇s 越l o w e d 潞t ot 威ea d v 鞠糖g eo f m m 削c 强 p a g 妊a g e st op e r f o m l8 t n i c t l 瞄a la n a i y s i si ns o l v i r 培o p t i m i z a t i o np r o b i e m s a 懿ra n a l y z 协g8 1 1 d c o 埘l p a r i n gv a r i o u gi n t e r f 缸e sb 曲鹏e nt o p o l o g yo 埘m i z a t i o na de x i s t i n gp a c k a g e s ，w e s t u d e d 氇oi m p l e m e n 掘矗o no ft o p o l o 豺o p t i 麟z a t i o n 诵斑s 柏藏d 7a s 聩l ef e m 鑫n a l y z 。r b y u t i l i z i n gs t r a n d 7a p i ，o p t i m i z a t i o np a c k a g ei si m e g r a t e dw i t h8 咖d 7 ，a n das o 舳哪es y 8 t e m i ss 黼e e s s 是l | yd e v o | o p e d 。 ( 2 ) t 1 1 露i m p i e m o n t a t i o no f a l g o r i t h m sa n d 廿e a t m e n t gf o r e r i c a | p r o b l e m s i n 虹1 i ss y s t e m ，i ti s $ m p l o y e dm a 嫩e n l a t i c a lp r o 寥a h m l i n gm e 如o d ss u c ha sf e a s i b l e d i r e c t 至o nm e t h o d ，s e q u e n t i 舔l i n e a rp r o g f 删i n ga n ds e q u e n 畦a lq u a d r a t 王cp r o g r 煳i n g ，a n d o c ( o p t i m i z a t i o nc r i t e r i a ) m e 也o db a s e do ns i m pa p p r o a c h n u m e r i c a li n s t a b i l i t i e si n c l u d i n g e 聚呔e 南0 8 r d 鑫矗d 拜鞴s 魏d e p e 砖鼬e ec 勰k 嚣嚣嬷强据鑫e 貔蕊v e 净w i 氇a 蠡l 据薮珏g 撞遥。馥魏辍。 ( 3 ) t h es o l u t i o no f o p t i m i z a t i o n 埘t hd i 髋r e mo b j e c t i v ef u n c t i o t l s t oe x e 藏d 也ba p p l i e 敷i o n 昱o fo u rs o 盎w 毅es y s t e m ，t o p o 王o g yo p t i m i z 融i o ni s 妇p k m e n t e d w i t l lt 1 1 e o b j e c t i v e so fs t r t l c n i r a l s t r a i i le n e r g y ，n l u t u 啦s t r 8 抽e n o 糟ya n dt e m p e r a n l r e p r o b l e m sw i 也m u l t il o a dc a s ea r ea l s od i s c l l s s e d t h ep r o p o s e ds o f h v a r es y s t e mi s 1 i d a t e d b ya 琏啦b o fo f n 强e r 至c a le x 箍l n p l e s ， t 1 i sr o s e a r c hw a ss u p p o n e db y 也em 萄o rp r o 斟a n l ( 1 0 3 3 2 0 1 0 ) o ft l l en a t i o m ln m r e s c i e 羲c ef o 豫随i 鼹o fc 撼融，也em 毒o r s e 戮hp l a l 7 3p l 嘲q 6 c b 秘1 2 泌x 她 大连理工大学硕士学位论文 i f h l o v a t i o nt e ( 1 0 4 2 1 2 9 2 ) f 刚a t i o no fc h i n a 蚴dm ee x 舢e n ty o u l l gt o a c h e r s p r o 餐a mo f m o 嚣o f c b i n a ( 2 0 0 4 ) k e yw 0 r d s ：t o p o l o g y0 p t i m i z a t i o n ；h o m o g e n 妇a t i o n ；s i m 畔；f i i t e r ；s t r 拜n d 7a p i l ! i 一 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 乍及取得磺究成暴。尽我鼹知，除了文孛特剿加以糠注謦援致谢黢遗方外， 论文中不包含其他人已经发表绒撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过盼材料。与我一同工作的阉志 对本研究所做的贡献讶汪在论文中徽了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：z 马趣钽 导师签名：型堕! 塑 二巫年月堑日 大连麓互大学颈士肇波论文 1 绪论 1 薯 富 隧饕瓣鼗泰警懿麓懿发展，火舔越工程中掰傻趱黥器黪零部转提窭了蹩蠢浆整爝要 求。魏 霹焱滤鼹约束象件躲基戳上，受捋地对缱擒进行优化设诗，一蠹怒工援爨不蟥努 力遥求的嚣标。戆擒伐豫设诗，因炎滚鳆宥限、工程技术的激烈巍争翻环境麓题变褥越 来越堂耍。遥霉采，铙化澄经虢续应嗣翔建筑、造船、化工、冶众、嶷遴、虢空、枫械 制造、爨渤控臻l 等领域。阉为缝掏优纯静嚣弱怒敷最少豹橱瓣，鼹德翡遗价，矮篱擎耱 工艺，实现结掏的溉优性能，氨搬强廉、剐度、稳定性蟹茸标。实跤液明，将优化方法 纛两予设计，不仪霹疆太大琏缭麓设计周麓，鼹麓趣撼离设诗矮爨，褥鼠还 蕞解决搀 娩设计方涟无法群决酶复杂浚计融繇。 绣稳谯健按黻设诗交蠢静爨鬃程求麟瓣鬻鹣溱荔稷壤冒分淹尺寸稳健( 尺寸交鬟) 、 形状谯倦( 形状变羹) 帮襁羚统纯 臻拎炎羹) 三个骚墩，分裂辩液予兰令不藏瀚产赫 设诗羚羧，瑟镡缁设诗、蒸本莓诗及缀念设诗三个黔黢。 足寸筑纯( s i 勰。躐戚黯羲o n ) ：它蕊程鬣纯墩嚣逡麟串，取缝梅豹足专参数终羹滚 诗变嚣，毽搔耱絮熬横截嚣足寸、援载辱凌褰禁黧关键尺寸，在满足络秘戆力学控铡方 惑、邃器祭舞以及谗多褴泰鳃焱条搏熬蒋疆下，罨求缀避筑拣缝稳尺寸参数，馊缮美 予结穆性能豹麓转搓挺蘧数遮剿簸悦。 骧翰耢莱壤褐) 焱寸铙稼嚣黯精优耩粱绻掏 整 + l 疋弩蕊纯零意燮 f 毽t js i 娥n g 啦 m i z 越 o n 澎状谯傀( s h 神e 婶t i 搬i z a t o 搬) ；它惩撞簌优纯邃毽中t 鬻霹菠变络梅擎元鹣尺寸， 叉可馥燮结构的形状，寻求结构羧遵想黝逑界和几何澎状，猩骨柴结构串表现魏优化节 点豹澄德使鬣，谯实髂蘸稳中裹蜣魏对缡梅靛迭舞形状遴行德化。 基于蕊有软彳牛翁结构耀扑优化设计实现技术与程序燕统 一 _ 静 q_ 蠡o 。崖蜀。巨 嚣赡骖姨( 酵形状优化后黪爨往形状 圈1 2 彩状优化示意图 f 培1 2 幽a p eo p t i m 攥a t i o n 描辛 钱亿( 薯o p o l o 鐾y 婶t 妇i z 艇。琏) ；不露于尺度优化和形状优化，拓卦优化是捂邋 避寻求终鞫夔最傀菝羚蠢爨，惫搔连续俗续梅内鸯无毳濑，孑l 溺装数爨、镦嚣，榜絮结 构内杆件的有光以及相飘联接方式等，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移 譬劈象条锋翡德澎下，将乡 荮载馇遂虱支糜，鹾辩使褥终抟款慕秘瞧戆指梅达到最筑。 辐扑优化是一种比尺寸优化、形状优化熙高层次的优化方法，也是结构优化中最为复杂 驰一类阏题。l 羲接饶纯处予结梅的壤念设计除段，其饯纯鳞果楚一切爱续设计数基础。 当结构的初始拓孛卜不是最优拓宁卜时，尺寸和形状优化可髓导致次优结孝句的产生，因此程 期始概念设计阶段需要确定结拨的最佳拓扑形式。 霉 ( 拄) 设计空问 圈 3 掇 抗纯示意垂 f 墉1 3t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ( b ) 娥优拓扑鳐构 连缀体结构据孙优化是建立在拓扑学、计冀机技术和优化方法基础上的结构优化理 涂，涉及到虚雳数学、诗冀力学、往化策略等领域，势强不断融入遗传簿法、图像处理 技术、辩学计算n 视亿铎新兴学辩和技术。随着拓芥伉亿理论和工程研究的逐劳进展， 据扑优化憋霹戏为新产品设计积开发靛稳力工累。 夫连瑾工犬学碟士学位论文 1 2 撅扑钱他的硬究现状 结襁强羚饶傀没诗鹣磺究鬃晕怒扶椽絮缡臻瑟始凝，英理谂鳃爨方法胃逡溺熬 | 9 0 4 霉醮e 疑l i 豁掇妇l i 榜皴毯谚。浆撼经疑力学趱毒 ，挝艇糖 譬瓣效率爨寒，凝双 麸亳季糕麴攫惩效零上说，勰馥e l l 黪蘩缨糖镬枣葶辩逸到舞效嘎 1 9 7 3 年r o s s o w 瓤t 8 y l 列撮氆麴变厚度擞的饯戳设计，靛开了遮续俸缨浆撼季 魏 他的序罄。盎予犒羚俊纯潜在黪黢济效藏，诧爝，对逡一骠域瓣醛究变褥非攀活凝。 l 鳃1 年，c 鞋e n g 嗣o l l 搽绀j 趁磷究最丈粼魔交蟛度板最伉设计嚣雩，发现缀德簿巾 馥含诲多麓释糟料的鸯鞋强麓，遮意嚎饕在避优竣诗中必颓罨| 入复食楗祺，将褪糕徽结穗 的模墅引入到缔构优化设计中，辩展优化设计斑间。 农i 9 9 4 每，e s c 莪黼# 醒r 、k o b e l 。v 耱s c h u 娃撼婊嚣溺提窭缭褥蒴矜优徒静溉泡法 ( 嚣浦b l om e 畦l o d ) ，萁器躺是麓了解决形状德纯方法不熊激变络擒豁羚黪酒嚣。浇灌法 瓣基本愚想是稷警兹终鞠孛爱凝臻入掰孔( 稼蕊滚泡) 露实琉绦椽辜嚣释静变受，达至l 德 纯设计懿瓣豹。 瓿臧料a 襄g e l l 瓣y 羧攒熊枸黪努攀特髓挺臻了溅疲力浃、黢变毙簸法等最傀瞧蕊 粼法。簸魏准粼法寒潦予工程实黢，它是释藏麓戆黪醚麓蠡，熬瀵藏力准瑙蒸予疑步 失效骧毽，等巍袭眈怒萋予最大纛交憝器疆。猴测法戆爨点是羧敛抉、计葵塞枣、蒌裳 u 熏分辑豹浚鼗黢与竣诗变量瓣羧莲没多大美寨，逢套予大鍪绦捻戆貔戴设诗。魏不弱 性蒺憋约寒要熠到不戮照准慰，慰元转熬剐度与变量之越戆美纛瞧蠢一定墨袋，黼且潦 裂法缓程缺乏严掺粒数学壤论镀攘，褥烈瓣解势不一是愚壤德解。 均匀纯方法怒由b e n 娃s o e 鞠女魄黼h 羽予1 9 8 8 年提出，拖们蓠次将矍台辛考辩鹣多孔 介质概念萼 掇害 谯纯中，透道森结褪枣孝辩中萼| 入带方形空涌酾徽结穗旗墅，将鬻赡浆 掇扑设计阍题转换为栩对简单豹尺寸伉化问题。然后采用均匀他方法求腾不同微绐稳构 袋下稚缮稳宏溉材精特睡，从舔镄巍孝葶精宏戏姆愁与镦蘸构尺寸闻静黼数关系，褥通过 优纯激结构尺寸熬缀台交化就爵班得到缡祷宏聪掰翳分京。鹭髓莲s o e 孝鼙8 l g m 撼 7 j 稽出， 在缀多 毒嚣下遮个掰壤斡久工褥释差德旗鍪煞够蓬徽臻搦来搂羧，疑要浇燕黼肇黪条 件，就能镍证解的存在往。壬 豁s a 城和h i 狂t o n 雕螂总结了璃匀亿方法酌瑷论及菸维等j 建 狡，绘囊了不鬻鹣捞辩穰鬻驽驾讫方糕鹣理谂歉英绩鬈，并稳逡了珐匈徽方法瓣据矜魏 纯豹数学模墅。魏嚣 珏】绦蹬了一耱精糕徽缝鞠箍述藩矜铙纯熬数学模黧，其中麓攀魏尺 寸、稳穰参数黢强凄臻数袭簦辫瞧摸爨黪漕捡滤，并爨铸逡缀好鹣续祭。 大遵淫工夫举翁书爨f 珏1 3 j 黢程歇东4 l 璎究了豫镯纯方法在麓舍毒喜科弹毽剐攫强爨 硬浏、热膨浆熬数强爨联溺鞍鼯熬系数张蕊裴测，潼菠邃莓孛方法褒殡寇裁帮瘦力耱彼移 努京餐方嚣妻冬寝麓。戆们擞撂复会模籽熬撇终褥焱暴帮虽璃鬟瞧菠者= i 廷龟臻溪裁，陵分毒瓣 蒸予瑗宥软 宁滟结掩播矜优化设诗翼鞴技术与程序系统 姆点，将土嚣撼剿熟套力学参数、物理参数接遮藏徽鼹襄塞鹱薅群尺凄嫩橡拣竭数，戮 擞戏鞠察鼹嚣耪尺浚眈傻疗为小参数，裂弼摄动穗论建立了两耱尺菠上的均匀讫阕题。 研究了凝含材辩宏瓣注缝秘徽结搀的关系以及勰力鞠像移躲局部变化谤况，探讨了均匀 纯方法在糍蛰馕纯帮瓣料设诗中灏艇蘑怒邋。 密篪惩罚拣魑连续体缱构掇扑优化中努一种奔皴的物瓒描述方法，落魁在均匀化方 法酾蒸鞠上獾岛瓣。其蕤本愚怒逶不弓；入徽绐橡，鬻是人魏建鲶蕊一个摹霞斌戳令稚 对辩震变鬣x ，x 程0 1 中鬻取值，它蔽敬均匀化方法中煞经验耱藏采，粮擐攀元密度 德，寒搂骰定谈诗楗辩中每个挚露豹宏鼷弹性楼薰毽与密囊敕静线馁荧鬈。这耱褪瓣最 早涵b o n d o s e 和羚联葫n 呔疆邂，寤予箕模澄筒蕈，猫予壤解，或为疆嚣连续钵缩穗搭扑 继纯爵象藏方法。焱寨稳蚴给爨了嚣耱纛歉式冀滚翅予连续俸馥稳摄 魏锻二，并曼取箨 了缀鳋静效莱。一楚交密畿法，骑擎嚣黥爨凄楚设诗交爨，搜缭枣鼋熬黎颓瞧校，l 、偬。二 蘧变器浚搂翟，逶蠲子貘投绩秘熬拳蓦羚魏绽，疆霉菠为设诗变鬃，考建鏖力绞裘，叛璧 爨最小势翳嚣鲍舔梅拓羚傀诧稿题。曼於，还绘出涟续捧辫状缆纯酌方法，该方法建遴 过控裁逸器上缝蕊躲爨烬改变终搦的形状，设计变潼建互糕设计尺寸参数，设计器振函 数考感黧鬣最轻裙凝大寝力承乎壤_ ，l 、纯。 澎泼结绱貔纯法 嚣v o l 谢。黼搿s 糖j c 舡l 燃0 p n 戚z a 主i o 现嚣s o ) 跫近年求兴趣的一秘 商效算法，它憝交x i e 辩s e v 秘【1 7 】在i 9 懿年蕾次挺爨寒魏，英恩怨筒单，郢避遭将嚣 效绒低效的材料一步一步去掉，馒结构渐趋于优化。该方法易予和肖限元分析软件褶绐 合，通道遮代道褥蜜现。针对避纯葵法只涮滁攀元盼缺点，髓鼷q u e r i n 等”蹲l 又发 展了这稀箨法为砹禽避绽嚣法嚣嚣s 0 i _ 鼢o l 强o n 3 r ys 瓣拣辨o 测妇i z 叠主i g 衅，馁耀在德 记过程中，既霹驻搿豫糖瓣擎懋，又胃澈添燕褥辩攀嚣，宠善了这一方法。 r a j e e v 秘酶i 8 h 蝴o r 曛l y 【 9 j 麓震了络拇优他懿遗传算法，并将途稀薄法成淤媳盥爝 子络鞠黥尺寸臻纯。e o 畦孙筹鳓蒸予遗蕊算法瓣理论，剥矮簸套簸失窈髓珏鹾8 鹋筑往援 念，褥熏豢最小、嶷力滠犬、鬣移簸太作魏爨偬瓣标，簸藤只专斑设诗变蕊霹褡麓缮鞠 遴行了多嚣耩糖佬。并与数学惑斑方法寒蒸毽黎予遗传冀法戆方渡避行了魄较，逐襄锼 们戆方法露辩、胃撵。 零乎懿方法 、戴精嚣馋蓥焱壤嚣 ( 狰4 2 1 2 龆) 、鞭家鬟意蒸蘧磷炭发袋诗裂( 9 7 3 诗划) 蹶瑟 缓謦：2 0 0 6 e 嚣繇1 2 0 5 ) 强爱教育整“胬熬纪伐秀a 才”褒劈谤矧( 2 0 泓) 熬炎韵。 基子糯有软件的结构拓扑优化设计实现技术与程序系统 2 拓扑优化理论与求解方法 本章酋先说明了结梅拓扑的摇述方法，以及目前辆扑优化使用的方法，包括均匀 讫方洼、s l m p 方法等，避两遴骥? s i 黔方法在述续俗缝梅拓扑优化上的矮体实越过稳。 然后进一步介绍了主要的几稀数学求解方法，最餍对拓扑优化中的数值不稳定性问题和 处理方法作了分镪。 2 1 拓孛 、优化数学模型 逢绥傣绪橡辐芥优纯出予粪甓佬搂鍪灞透懿懑难帮数蘧算法秘匿大诗算塞，霾 嚣发 凝不快。目藩的方法大多都是程凝结构鏊础上的接述方法，包稻几何 尺寸) 搂透霜耪 糅( 秘透) 终述方式，辩蓬2 1 。箕方法就是把绘定憨勰殆设诗蠛离教蔽遴当黪、足够 多的子墩计域( 翻嗣用甯限元醐格来离散时，每个单元獭成一个予设计域，其设计变辙 数等予霄限单元数) ，澎戏耄骜予子设计域疑惑的基缝稳，然藉霉按篆耱策略翻疆剩寒 从中册4 除菜些单元，用傈留下来f 臼单元籀述结构的最优拓扑。 囤2 1 据挣糖纯溢述 f i 蜉1t o p o l o g yo 衅i m i z a l i o n 大遴璎工大学硬学德论文 应用数学方法竣究据孙优化婀簇，营毙必须建立其数学模型，然爱在她模裂蒸戳上 进行实际问题的理论分析和科学研究。建立的数学模型必须精确蛾逼近实际问题，所以 建立一个会瑾魏数学模型怒解抉翘题鲍关镶。下蘑将奔绍籀孙谯纯的均匀化窝交密瘦模 型。 2 拓孛| 、优化豹均匀姥穷法 b e n d 8 0 e 和麟c k u c h 拶糯结构拓扑优化归结为材料在定区域内的优化分布黼题， 建立了基予徽缝拣壤念襄均匀化瑷谂豹撩羚筑化瑷论。假设爨考虑瓣材零萼在宏戏尺度 ，邑烧均质的，僵在绷观尺度上是 均矮的，这耱饕均质慷蜀虫材糕的圈磷缨戏镰构一 单胞表示。瑕设材料在细溉尺度上具有髑期性特点，材料结构分布豹周煺性和单胞如 图2 2 ，圈2 3 所示。 鹜2 2 均匀化秘辩模型 f i 9 2 2 “o m o g e n i z a t i o nm o d e 霾2 + 3 均萄豫方法中擞结构税裁 f 迫2 3h o 脚g e n i 酬i o nf o ft 0 p o l o g y 脚t 妇 z a t o n 基予游驾诧旃挣优化方法煞纂本愚憨辩下：灞带裔空濑翡穰褥梅觞革麓搦造设诗区 域，微结构的尺寸是固定的，因丽幽微结构构成的设计区域是不变的。在进行结构拓扑 优化时，滔箍运徽结构蕊我漏大小懿豆 莓尺寸佟巍设诗交麓。在德纯逡嚣瀚_ 过程中，如 果孔洞变大以致充满整个徽结构，则该微结构消失；如果孔洞变小以致消失，剡该徽结 稳为实嚣材辩黪壤兖 强荣说诧蘩寒霹，还存褒徽结棱，掰试先该区壤是蠹菜耱簧会誊孝 料构成。但是，在结构拓扑优化后得到的娥优结构中，希槊微结构或者为孔洞鲅卷为实 基于现有软件的结构拓 优化设计实现技术与程序系统 材料组成。这榉最优结构的拓扑产生变更，从丽获褥符合霸标邈数的、性能饯良的结构 新形式。拓扑优化问题描述成材料在给定区域( 设计区域) 内的最优分布问题。 在优化过程中，为了计算舀标函数，需要对带有孔洞的微结构所组成的设计区域进 行有限元分提。首先，对微结构进 亍分析，以褥到表援微绒掏的宏双力学龄援的量，均 匀化方法便是有效的方法之一；其次，根据均匀化后的力学量对结构按“连续介质”的 方法进行有限元分析，得到结构目标函数的响应。 提据以上理论，霹以知遂，均匀纯方法拓扑优化的数学摸型为： 倒：4 芝 嘎，d ：，- - ，r ，6 = 骢，如，r ，毋= 酸，最，最f( 2 1 a ) m i n ：f ( 口，6 ，鳓= k z 酶d q + l t “，d f ( 2 1 b ) 叭l c 二o ) 豢熹d n = 他拥+ f 弛d r ( 2 1 。) 如州、7 舰知 如七。 ”。1 ” 出 ( 1 一嚷8 包) 一q o ( 2 1 d ) o q 帆 l ，o 晚践 l( 2 1 e ) 其中，q 蔗体积约束条件盼给定值，口。，k 是变量的上限值，它保证在优化计算 过程中调用有疆元计算酵，雕度矩阵非奇异。 从数学模型可知，相对于离散体结构优化设计而言，对于稍微复杂的连续体结构 拓扑优化，其模烈离散后单元数较多，导致设计变量数目庞大，从而计算量较大，严重 影响其在结构设计中的应用。下一节给出s 戳p 模型，可以从一定程度上减少设计变爨 的个数。 2 1 。2 拓扑优化的变密度方法 鉴于拓扑优化的工程意义，备国学者纷纷致力于对结构拓扑优化的均匀方法进行改 进，以期获得清渐的拓扑，进一步提高其计算效率。相对密度法【2 2 1 是对拓扑优化均匀化 方法的改进与篾化，它以连续的密度函数形式显示地表达单元耦对密度与材料弹牲摸量 之间对应关系，这种方法基于各向同性材料，不需要引入微结构和附加均匀化过程，它 以每个单元的相对密度作为设计变量，人为假定相对密度和材料弹性模量之间的关系， 程序实现简单，计算效率离。变密度法中常见的插值模型有s i 鹾p ( s 0 1 i di s o t r o p i e m i c r o s t r u c t u r e sw i t hp e n a l i z a t i o n ) 模型署日r a m p ( r a t i o n a la p p r o i m a t l o no f m a t e r i a ld r o 口e r t i e s ) 模型。s i m p 或r a m p 通过引入惩罚因子对中间密度进行惩罚，使 大连理工大学硕士学位论文 中间密度德向o 1 两端聚集，使连续变量的拓扑优化模型很好地逼近o l 离激变量的 优化模型，这时中间密度单元对应一个很小的弹性模量，对结构刚度阵的影响变得很小。 本文主要使用s i m p 模登，其算学描述如下： 旒础艘+ 鼢 ( 2 2 a ) s u b j e c tt o ： l ( 劫( x ) 勺( “) f “( v ) d q = p “d q + f ，f “出v 母u ( 2 2 b ) c ( x ) = 理( x ) i c ? ( 2 2 c ) 舯 ：簇烹筑 呱。a ， p 匆z ( q ，) = l z ( d q 矿 ( 2 2 e ) 般情况下，按下面的函数取慎， 珂( z ) = p ( x ) 庐 ( 2 3 ) 与均匀亿方法不同的是，s m 伊模垄认为材料的弹性模量岛构成材料的密度星指数 关系，从 嚣减少了设计变爨的个数，扶三个减少到一个，不需要均匀亿方法掰需的细观 结构计算宏观物理、力学参量，提高了计算效率。对于某魑问题，述可以得到全局最优 解。所以，s i m p 方法以算法的概念清晰、实现方便和计算效率高而取得广大研究工作 者和结构设计工程拜的普遍瘦翔。 常用的s i m p 模型是指数模型，郎按式( 2 。4 ) 所承， e ( x = 凰p ( x ) 9 ( 2 4 ) y ( p ) = ( 2 5 ) s i m p 模型的物理意义是很明显的，当单元密度p 为l 酵，单元是出实体材料组成， 可以承受和实体材料组成的结构同样的荷载；当单元密度p 为0 时，可以认为该单元没 有材料，即不承担任何荷载。 21 3 拓扑优化的基本流程 拓矜优化的基本过程，可以描述如下： 基于现有软件的结构拓扑优化设计实现技术与程序系统 ( 1 ) 确定设计区域，选择合适的设计变量、目标函数以及约束函数等其他边界条件； ( 2 ) 结构离散化，进行有限元分析，获取目标函数、约束函数及设计变量对目标函 数变化的敏度信息； ( 3 ) 根据得到的信息，用合适的优化方法计算，计算出当前的设计变量的新值； ( 4 ) 审查收敛性，根据终止准则，如果不收敛，重复2 4 ；如果收敛，则终止迭代； ( 5 ) 拓扑优化后处理，得到最优拓扑的形式。 图2 4 给出了拓扑优化的基本流程。 图2 4 拓扑优化基本流程图 f i g 2 4b a s i cf l o wc h a r to f t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n 2 2 拓扑优化中的优化求解数值算法 拓扑优化的特点是：设计变量多，计算规模大，目标函数和约束函数一般为设计变 量的非线性、非单调函数。故一般的数学规划算法并不能适用于拓扑优化过程的求解。 目前应用于连续体结构拓扑优化计算的优化数值算法主要包括两类：优化准则法【2 3 。2 5 】 和数学规划算法2 6 。3 1 。优化准则法收敛速度快，但其一般适用于单约束条件下的问题优 大连理工大学硕士学位论文 化，盥不同优化问题簧推导不同的优化准则。数学规划算法包括可行方向法，序列线性 规划方法、序列二次觏划算法以及移动近似算法。 2 2 1 准则法 攀凝款结糖( 娉裂是舷空缝梅) 设诗镬弱麓是妻燮豹准粼法，懿溃应力竣诗、霹辩 破坏模式和均匀能量密度方法。准则法不需要导数信息，对设计变量的增加不敏感，迭 代次数少，计箨效率窝。还垂予概念籀单，容易编程，特别邋含予工程实际熬应熙。在 结构优化设计中，准则法比数学规划法应用更为广泛，因为准则法的收敛速度快，且它 魄重分褫次数与设计变量的多少关系不大，款在大型缨孛每上得到了广泛应用。但另一方 面，准则法需簧建立准则和相应的迭代公式，而建立准则和迭代公式的理论依据尚欠充 分，耐且与研究问题的特点有关，缺芝通用性l 准则法不能保证收敛列最优解，甚至不 能寝敛到局部嫩优解，或不牧敛。这黧都阻褥了其更广泛的应用。 2 。2 ，2 改进的弼 亍方向法 可行方向法口2 羽1 怒求解约束化问题比较有效的方法之一，遥用于目标函数和约束函 数都是n 维空阀的吩可微迄续函数，且可行域是连缕 l l 集躲蠖提。 设x ”是用户给定的设计变量的初始值，可行方向法典型的设计变量迭代公式为： 趸4 “；夏4 十甜。零9 + 1 ( 2 6 ) 其中，季”为第时1 次迭代的搜索方法，它必须满足： 可丽条件： 审7 妒f 弱季墨0 ( 2 。7 a ) 可行条件： 审7 9 ，( 夏) 蓉o ( 2 。7 b ) 搿为标量魏步长，在确定搜索方避i 惹，程应黪步长g 可经取一耱一维搜索方法浓 得。 螯暹懿霹毒亍方匙法第一步迭代都楚觚菜一可行熬凌始患耍。整发，浍负撵度方嶷 君o ：一渺( 牙o ) ，将设计点移动到某一起作用的约束面( 只有一个起作用的约束时) 或几 个起侔蔫静约束面鹣交集上黥夏4 豹点，然后或继续沿新点趸”患酌负梯凄方向 i ”1 = 一v 彤( 霄”1 ) 继续搜索迭代( 新点在可彳亍域走) ，或沿约柬面进行搜索迭代( 新点 基予现有软件的结构拓扑优化设计实现技术与程序系统 在可行域外，黼耍取酽和约束糯的交点作为新的迭代点孑”1 ) ，所以密易襁墩优点附 近翡錾器终泉帮棼装器缝柬之阕产生虢动薅壤。受了避受运一嚣象麴出臻，参照 z o u t e n d i j k 【3 那的方法，对可行方向法进行了如下改进，即在约束媳界上，搜索方向吾”1 的 逡择是一下予键优海题缒解； 埘敬： ( 2 8 a ) j 彳。： v 毋( s + 只声o ，( 2 8 b ) v 2 形( 茗) s + 0( 2 。8 e ) 西i 1( 2 8 d ) 冀中，毋，称为反雅系数，为一非负常量，它会根据约束违反量的大小修芷蓉的方向， 将设计点推回可行域，参加图2 ，5 。 子耀，可以看到，上述子优化问题的目的就是使符合可用w 行条件的搜索方向i 曼 接近于最陡下降方向，农最优点附近够紧贴豢临界约束并且使星标爨数下降，避免了 普通可行方向法在最优点附近辆界约束和非临界约束之间的跳动问题。 o 垂2 。5 改进豹可行方彝法 f i 窖2 5 【0 d 街e df e 船i b l ed i r e c t i o nm e t l l o d 大连理工大学硕士学位论文 2 2 3 序列线性规划法 把非线性问题线性化，作序列线性规划求解，也是工程设计分析常采用的一条有效 途径。其基本思路是在初始点处将非线性的目标函数与约束条件按t a y l o r 级数展开，取 其线性项，再按线性规划方法求得其解，如所得的解不满足设计精度要求，可将原非线 性规划问题在所得到的近似解处再次进行t a y l o r 级数展开，以求新的线性规划问题。这 样反复进行，直到所得的解满足设计精度要求为止。 假设原来的非线性问题是：求夏，使( 趸) 寸1 i n ，且满足约束条件g ，( 夏) s o ， ( 临界约束集) ，给出某个比较“合理”的初始点x ”，不管它是否是可行点，在该点 将目标函数和约束函数展开为t a y l o r 级数，略去二阶以上非线性项，得到： ( 牙) = 形( 叉”) + v 7 矿( 贾”) 占牙= ( o ( 霄) ( 2 9 ) g ，( 牙) = g ，( 牙”) + v 7 9 ，( 牙。) j 卫= 9 1 0 ) ( 牙) o ，e ， ( 2 1 0 ) 其中艿舅= 趸一露。，v 7 矽( 牙。) ，v g ，( 碧。) 分躐为目标蕊数，翁束函数蠢夏。簸的梯 度。现在原寒的非线性问题变为如下的线性舰划问题： 求夏，使形钟( 浮) 斗戚n ，且满足约束条件：g f 。( 夏) o ，_ ，l ，( 临界约束集) 。我 们预期这个线性规划问题的解比较接近原表翘题的孵，记为穷，在该点将髫标函数和 约柬函数作t a y i o r 级数展开，得： 扩”( 蜀= 暖。) + v 7 舻露1 ) 暖一穷 ( 2 ，1 1 ) g ? ( 碧) = g ，( 芽1 ) + v 7 9 ，( 牙1 ) ( 牙一碧1 ) ，( 2 1 2 ) 然后再解下述线性规划问题；求趸，使( 1 ( 芽) 斗m m ，鼠满足约束条件： g 嘲毋) o ，g 1 ( 夏) e ，歹量，( 稳暴终募集) 。整个诗冀蓬憨藏是这撵不瑟撼添趣薮瓣近 似约束面而进行下去，直到求解过程已经收敛为止。 2 2 ，4 淳弼篡次规划法 序列二次规划法【3 4 。3 5 】的基本思路与上述序列线| 胜规划法相似，阿样采用t a y l o r 公式 对豳标函数和约束条律进行展开，僵其中瓣标函数为二次嫠震开，并置後箱l a 科黼筘 乘予和外点罚函数遴行了缀台，约柬条件为线性展开。于是，搜索方向的寻求可归结为 以下子饶诧潮题斡簿： 基于顼甫软件的结构拓扑优化设计实现技术与程序系统 搬肛： q ( 吾) = ( 牙) + v 7 矽( 牙) 季十当j 7 嚣浮( 2 1 3 a ) 上 j r - ：v 1 毋( 爿) s + 髟( x ) o ， ( 2 1 3 b ) v 3 魄( 四s + 魏( 习= o ，= l ，f( 2 。1 3 e ) 冀中矩阵b 为芷怒矩阵，最初可选用单位贬阵。橱爨参数艿。积否恚戆爨体鲍阉题两定， 可用采消除线性约束之间的不协调，即保证线性约束祭件不完众切断w 行域，般可作 如下的定义【3 4 l ： = 1毋( 臂) o = d 毋 ) o e 否s 以上子问题可以用改进的可行方向法等来求解。 2 3 鞯扑优纯中的数值不稳定往阔题 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 。l s ) 拓扑优化中容易出现的数馕计算不稳定现象包括刚掣鼍多孑l 材料( p o r o u s ) 、模擞 格( c h e c k e r b o a r d ) 、网格依赖往( m e s l ld e p e n d e n c y ) 和局部极值等问题( l o c a lm m i m a ) 。 多孔材料和棋擞格导致计算结果的可制造性羞，网格依赖性馒计算结果的可靠性下降， 局部极值海题警致计算得不戮众局最德解或得不掰工稔可行解。拓扑优化中数值计算不 稳定性的消除非常重要，它关系到数值计算的收敛性私计算结果的可制造性阗题。 据扑往纯缭果会旁大量静中闯氇，在榜辩模鍪中弓i 入弱因子，可醵傻结栗向o ，l 逼 近，从而减少中间值的存在。 摸懿硌式韪籀螽矜饶纯孛孝葶精密发瘸勰往商低分帮静一耱臻象，冀表现形式细丽模 盘。 黪终菝羧怒指对瓣一令嵇始设诗嚣域，当袋惩不麓躲秘始瓣貉透了饶纯雾雩，瑟褥静 最优结构的拓扑形式是不同的，即拓扑优化的结果依赖于初始的网格划分。 对予曩一浚毒卡阅题，娄选取靛裙始篷不目霆誊，褥到茨搀势绫据也不霾，帮魏纯缍鬃 收敛于局部极小点，而且初始值的微小改变可能引起优化设计结果的很大改变。局部极 值趣题零致在计冀上缮不到最优勰，或在工程上撂不到可行蛉怒酆极，l 、擅簿。 一般常用的消除棋盘格和网格依赖性等数德不稳定现象的方法有：滤波方法、局部 攥度约束法、周长约束方法等。 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 滤波方法： 由s i g m u n d 提出，用于修改目标函数的敏度信息： 岳= 击缸善， 。矾兰e 鲁“7 。缸r ( 2 1 7 ) 其中e = 。一如女( f ，七) ， 涎i 幽七( f ，后) 名。) ，；。是预先定义的最小单元直径矗。 的一半，挑尼( f ，七) 为邻近单元i 和k 的距离。e 确定的一个圆形区域称为过滤区域， h 的数值在过滤区域之外为零，在过滤区域之内非零。式( 2 1 7 ) 表明：在单元t 影响 区域，m 。之内的单元对响应函数的敏度计算有影响，在单元t 影响区域。之外的单 元对响应函数的敏度计算没有影响。并且当。趋近于0 时，修改的敏度值收敛于原始 敏度，当。趋近于无限大时，各敏度相等。通过对目标函数敏度的修改，可以去除数 值计算中的不稳定现象。 ( 2 ) 局部梯度约束方法： 由p e t e r s s o n 和s i g m u l l d 提出 4 ”，目的是对单元密度局部梯度进行约束，以确保有 限元离散后的精度。在二维网格分划中定义局部单元梯度约束为： + t ，一。，l j ，= 1 ，一1 ，七= 1 ，b + 1 一，l 兰s 矗，= 1 ，一，n ；，= 1 ，0 1 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 这里指标i 和k 表示单元在坐标系中的位置，s 为密度斜坡的上边界，h 为单元网格 尺寸。引入局部梯度约束相当于在模型中引入了2 n 个额外的线性约束。 ( 3 ) 周长约束方法： 即增加一个设计空间的周长的约束。其基本思想是，带有少量的较大的孔的设计空 间与同体积的带有大量小孔的设计空间相比有更小的周长，这样引进周长约束可以只限 制孔的尺寸和数目，不用限制孔的形状和分布。引进的周长约束通常为给出一个周长的 上限，应用这种方法可以使拓扑优化问题成为一种提法较好的问题，即限制了设计空间 的快速振荡。在应用周长约束时，周长法中的周长约束中给定的上限值不易确定，尤其 是对于三维问题，约束的是最优结构的表面积，这在具体实现上有一定的困难。目前， 通常使用的方法是用试算的办法获得其上限值。 另外，b e n d s o e 4 2 4 3 】还提出了全局梯度约束法，z h o um 4 4 】通过引入局部密度梯度的 上下限，提出了改进的局部梯度约束方法，k i k u c h i 【4 5 提出了消除均匀化方法中数值计 基于现有软件的结构拓扑优化设计实现技术与程序系统 算不稳定性现魏的引力函数法。p c t e r s s o n 4 6 】提嫩了一种显式约束方法以控制中间密度单 元斡生成。 采用高阶单元会导致计算求解规模的增加。周长控制法是一种全阅约束，不能对结 构的局部细节拓扑进行限制，优化结粜中可自l 会出现些局部细小结梭。丽局部梯度约 束法和网格过滤法是一种局部约束，能够消除些局部细微结构。周长约束的上限值和 全局梯度约束的上限德需要依靠经验来确定，因为局部尺寸和周长边界间没有赢接的关 系。魏梁桶长约束透界定得太紧，刚可能导致没有计算结果，如果定的太松又这不至日预 期的效果。因此约束边界很难确定，这种情况在三维问题下特别明显。相比较而言梯发 约束帮过滤方法只需定义一个溺部长震足寸，捅对较为容易，在约束足度下静结褐交爨 都被过滤掉。另外，周长约束需器在优化问题中加入额外的约束，虽然一些大舰模数举 蕊划冀法麓够鲶瑾麴入豹颧癸约束，键麓久斡缝束哥簸造或一些毅簸缝稆鼗 蓬诗冀麓 题。局部梯度约束由于骤加入2 n 个额外约柬，因此实用性不好。滤波方法的优点是不 霉要在健