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太原理工大学硕士研究生学位论文 具强阻尼非线性弹性梁方程的初边值问题 摘要 非线性发展方程是许多非线性问题在数学中的表现。近年来，由于数学自 身的发展及物理、化学、生物、力学等学科实际问题的推动，非线性发展方程 的研究已经成为数学领域中重要的研究课题之一。由于非线性发展方程形式的 多样性与复杂性，大多数方程不可能或很难求出其解析解，因此，人们只能利 用数值求解方法或根据方程本身的特点来判断非线性偏微分方程解的性质。然 而，在实际应用的数值求解过程中，人们往往不考虑方程的解是否存在和唯一， 这样就不能保证从无穷维空间到有限维子空间约化的合理性，甚至可能会导致 错误的结论，所以研究非线性发展方程解的存在性和唯一性是保证数值求解合 理性的前提和理论基础。为此，在本文中我们将以s o b o l e v 空间为工具，利用 g a l e r k i n 法来研究一类特殊的非线性发展方程非线性弹性梁方程 萨c 3 2 u + 窘一p + k j o u ；g ，) 2 嘶) 等= 急+ 仃( x x ( o ，) ( 1 ) 在初始条件 u ( x ，o ) = l d 。g ) ，疗( x ，o ) = 1 , 1 1 ( x ) ( 2 ) 和齐次边界条件 z ，( 0 ，) = z ，( ，) = ( 2 ) ( o ，) = z ，2 ( ，) = 0 ( 3 ) 下的初边值问题，其中， 0 ，为任意常数，k 为大于o 的任意常数。 具体研究内容如下： 首先，文章简单介绍了国内外当前对非线性弹性梁方程的研究现状。 太原理工大学硕士研究生学位论文 其次，文章给出了一些重要概念和引理，并对部分符号做了说明。 第三，在c r ( s ) ec 1 ，口( s ) 下方有界的条件下，利用g a l e r k i n 方法证明了初边 值问题( 1 ) 一( 3 ) 弱解的存在唯一性以及弱解对初始条件的连续依赖性。 第四，证明了问题( 1 ) 一( 3 ) 强解的存在性。 关键词：非线性，弹性梁方程，强阻尼，g a l e r k i n 方法 太原理工大学硕上研究生学位论文 i n i t i c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r ac l a s s0 fn o n l i n e a re l a s t i cb e a me q u t i o n a b s t r a c t n o n l i n e a rd e v e l o p i n ge q u a t i o ni sak i n do fr e p r e s e n t a t i o no fm a n yn o n l i n e a r p r o b l e m si nm a t h e m a t i c s r e c e n t l y ，d u et ot h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i ca n d p r o m o t i o no fp h y s i c s ，c h e m i s t r y ，b i o l o g ya n do t h e rm e c h a n i c s ，t h es t u d yo f n o n l i n e a r d e v e l o p i n ge q u a t i o n h a v eb e e nb e c o m e i m p o r t a n ts u b j e c t i nt h e m a t h e m a t i c a lr e s e a r c hf i e l d s i n c et h ec o m p l e x i t yo ff o r m so fn o n l i n e a rd e v e l o p i n g e q u a t i o n s ，a sar e s u l t ， i ti sd i f f i c u l to re v e n i m p o s s i b l et oa c q u i r ea n a l y t i c s o l u t i o n sf o rm o s tn o n l i n e a r e q u a t i o n s s on u m e r i c a lm e t h o d sh a v e t ob e e m p l o y e do rp r o p e r t i e so ft h ee q u a t i o n a r ef i g u r e do u tb a s e do ft h e e q u a t i o n h o w e v e ro n ef r e q u e n t l yi g n o r e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n si nt h e p r o c e s so fs e e k i n gn u m e r i c a ls o l u t i o n s i nd o i n gs o ，r a t i o n a l i t yf o rs i m p l i f y i n ga n f i n i t e d i m e n s i o n a ls y s t e mc a n n o tb ee n s u r e d ；o re v e nw o r s ei n c o r r e c tc o n c l u s i o n s m a yr e s u l ti n c o n s e q u e n t l yo f n o n l i n e a rd e v e l o p i n ge q u a t i o n si sap r e r e q u i s i t ea n d t h e o r e t i cf o u n d a t i o nf o rj u s t i f y i n gn u m e r i c a ls o l u t i o n s i nv i e wo ft h i s ，i nt h i st h e s i s w ew i l lm a k er e s e a r c ha b o u tt h ei n i t i c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fac l a s so f n o n l i n e a rd e v e l o p i n ge q u a t i o n n o n l i n e a re l a s t i cb e a me q u t i o n 豢+ 窘一( 卢+ “；( 静) ! d 亭) = 磊0 3 1 1 + 口。) i ( 列) ( 0 ，f ) ( 。，) ( 1 ) 太原理工人学硕士研究生学位论文 b ym e a n so ft h eg a l e r k i nm e t h o di nt h es o b o l e vs p a c e ，u n d e rt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s a n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s h ( z ，o ) = u o b )，正o ，o ) = “。g ) u ( 0 ，f ) = u ( 1 ，f ) = h ( 2 ( o ，f ) = 比2 ( ，f ) = 0 w h e r el 0 ，i saa r b i t r a r yc o n s t a n t ，ki saa r b i t r a r yp o s i t i v en u m b e r ( 2 ) ( 3 ) t h ed e t a i l sw i l lg oa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ec u r r e n ts t u d ys i t u a t i o na b o u t n o n l i n e a re l a s t i cb e a me q u t i o ni s i n t r o d u c e d s e c o n d l y ，w ep u tf o r w a r ds o m ei m p o r t a n td e f i n i t i o na n dl e m m a ，s i m u l t a n e i t y e x p l a i ns o m em a r k s t h i r d l y ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o no ft h e p r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) u n d e rt h ec o n d t j o n ：盯o ) c 1 ，d o ) c f o u r t h l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es t r o n g l ys o l u t i o n o ft h ep r o b l e m ( 1 ) - ( 3 ) k e yw o r d s ：n o n l i n e a r ，e l a s t i cb e a me q u t i o n ，s t r o n gd a m p i n g ， g a l e r k i n sm e t h o d l v 太原理工大学硕上研究生学位论文 符号说明 王2 = ( u ，) ； 西( x ，f ) 一函数u ( x ，) 对t 求一阶导； 西g ，f ) 一函数u ( x ，) 对t 求二阶导数； 万k ，) 一函数u ( x ，f ) 对f 求三阶导数； 材( x ，f ) 一函数“( x ，f ) 对x 求k 阶导( 1 后) ； c ”) 一q 上m 阶连续可导函数空间； c 。( q ) 一c 。( q ) = nc ”( q ) ； 册= l g ( c o 一支集为q 中紧集c 。( q ) 的函数的全体； r ( q ) 一q 上平方可积的实值函数的全体； r ( q ) 一q 上本性有界的实值函数的全体： 日”( q ) 一 材l 甜( 口) r ( q ) ，口mj ； 埘( q g ( q ) 在h ”( 渤中的闭包； ( , ) 一h i l b e r t 空间l 2 ( c o 上的内积； l | | i h i l b e r t 空间r ( q ) 上的范数； ”i x b a n a c h 空间x 中的范数； r ( o ，t ；h ) - - 从( o ，丁) 到h i l b e r t 空间日的本性有界函数全体。 v l 声明尸刚 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：孑秀是卜 日期：趔盛l 么二 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：豸幺鸟 嘶 勒签名：趣 嗍 z 蕊j “ 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 非线性梁方程概述 第一章绪论 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程，广义的说，是包含时间参数 f 的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或其它自然学科中用来描述随时间而演变的 状态或过程。狭义的说，它是指可以用半群方法化为一个b a n a c h 空间中的抽象常微分方程 的c a u c h y 问题来处理的那些数学物理方程。波动方程、热传导方程、反应扩散方程、k d v 方程、流体动力学方程组等等以及由这些方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合方程组， 都属于发展方程的范畴。发展方程总的来说可分为线性发展方程和非线性发展方程。 自然界中的许多现象，可以说都是非线性动力系统问题，只是人们无力用非线性模型 预言这些现象，于是出现了众多的线性简化模型。而线性系统只是真实的动力系统的一种 理想模型，当影响系统运动规律的非线性因素很小时，它在一定程度上能近似地描述系统 的真实运动规律。但是，对动力系统的这种理想化并非总是可靠的，当系统的非线性因素 的影响不可忽略时，线性模型就完全失效。这就促使人们去认识和研究各种非线性因素对 系统性态和运动规律的影响，随着社会的不断进步和科学技术的不断发展，非线性现象在 社会科学、自然科学和工程技术领域的作用越来越重要，人们对于非线性问题的关注越来 越大，物理、力学、化学、生物、工程技术、甚至社会的经济问题等都存在着大量的、重 要的非线性问题，当这些问题随着时间而不断演化时，对这些问题的研究和解决最终都归 结为求解非线性发展方程( 组) 的问题。在本文中我们将研究一类特殊的非线性发展方程 非线性弹性梁方程的初边值问题。 l9 7 4 年f e r m i ，p a s t a , u l a m i l 】提出了著名的f e r m i p a s t a u l a m ( f p u ) 问题。 l9 8 3 年 k r u s k a l ，z a b u s k y l 2 从连续的观点出发，研究了f p u 问题，利用一系列变换提出了如下的方 程 太原理工大学硕士研究生学位论文 鲁一彩2 万2 窘一留2 瓦0 u 窘窘= 。 ， 其中g 0 ，g 2 ，- 比a w , 为强阻尼项，一2 万【勺w ，v w t ) d r a w 为粘滞项， = g ，i ) 为横向载荷， 同年呼青英在文献【2 4 】中研究了方程 + ”一+ k g l x x 。t - 口+ 反j ：“；出) “+ 攻i l 甜以，出) 2 + 1 “。+ 咖， p u t = g p r ” 的如下初边值问题 z ，( 0 ，f ) = “( 1 ，f ) = “。( 0 ，) = ( 1 ，) = 0 ，0 u ( x ，o ) - - u o ( x ) lz g ，0 ) = “，b ) l 0 t 1 的整体弱解的存在性和渐近性，其中r e r ，k ，盘，p ，万，r ，届，p 2 0 为常数，嘲 l ，m 2 o 为罄数。 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 李桂莲在其博士论文1 2 5 1 中，以s o b o l e v 空间为工具，利用g a l e r k i n 法和局部延拓法研 究了一类更具一般性的非自治梁的方程 矿0 2 u + 萨0 4 u + 卜一剖旷2 _ 窘+ 风，x 丽0 2 u = ) 整体解的存在性唯一性和正则性，其中口 0 ，q 0 。 2 0 0 4 年牟佩红f 2 6 】在梁方程的基础上研究了一类具有阻尼项和力源项的非线性梁方程 + 箬+ + 旷1 = w _ + 矿+ + 喇2 州 在一定初始条件和边界条件下的初边值问题，利用半群理论证明了m i l d 解的局部存在性， 并通过引进修改的能量函数并结合连续性原理证明了局部m i l d 解可延拓为整体解。 柴玉珍在文献【2 7 】中研究了一类具有线性阻尼项的非线性梁方程 + 一m ( j ：k g ，】2 西k + 张= o 在非线性边界条件下，整体解的存在唯一性。 2 0 0 7 年闫思青【2 s l 在不考虑约化方程的情况下，研究了方程 窘v - + 口窘+ 7 鲁= 仃“夫矿艳丽+ 7 + 丽珂心夫 在一定初始条件和齐次边界条件下，整体弱解的存在唯一性及正则性，并证明了古典解的 存在性。其中口为大于0 的实数，厂为小于0 的实数，仃( 叱l 是一个非线性项。 以上是关于梁方程研究的一些成果，但到目前为止，还没有关于既具有非线性本构关 系又具有强阻尼项的非线性弹性梁方程的研究。 1 2 本文的工作 在本文中，我们将在借鉴前人研究成果的基础上讨论一类比方程( 1 1 3 ) 更具一般性 的非线性弹性梁方程，即 碧+ 可0 4 u p + 七f 皓，) 2 鸳) 窘= 孬0 3 u + 仃o 。l 2 - 1 ) 其中七 o ，为任意常数，在这个梁方程中，梁的长度设为，材g ，) 表示在时刻，位移x 处 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 的位移，丢誊为强阻尼项，万g ，x 是一个非线性项，在力学上表示一个具有非线性的本构 关系。 本文在具备轴向力作用下的梁方程研究的基础上，再考虑强阻尼项和非线性项盯0 ，) r 的作用，从s o b o l e v 空间的重要定理一嵌入定理入手，在如下的初始条件 u ( x ，o ) = z o g ) ，舀( x ，0 ) = g ) ( 1 2 2 ) 和齐次边界条件 u ( o ，f ) = “( ，f ) = 甜。( 0 ，) = 甜2 o ，f ) = 0 ( 1 2 3 ) 下通过选择合适的s o b o l e v 空间的基函数，利用g a l e r k i n 方法，证明了整体弱解和强 解的存在唯一性以及弱解对初始条件的连续依赖性。本文的主要结果如下： 在第二章中我们给出本文涉及的一些主要概念及主要引理，并对本文的一些符号进行 了说明，而在第三章中我们主要讨论了问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 弱解的存在唯一性问题。第三 章主要的结论有： 定理1 设 1 ) 口( s ) c 1 , o - 7 ( s ) 下方有界，即存在常数，使盯( s ) c o ， 2 ) 甜o ( x ) s 2 ，u l ( x ) l 2 ( f 1 ) 。 则问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 存在下面意义下的弱解= u ( x ，f ) ，即对于任意的伊s 2 ，满足方程 i l j ，缈) + 刑一( + k l u ( i ) l | 2 ) ，缈) = 缈) + b ( 甜：1 ) ) ( n ，伊) 及初始条件 u ( x ，0 ) = u o ，西( x ，0 ) = l l i 并且 r ( o ，t ；s 2 ) ，西r ( o ，丁；r ( q ” 定理2 设z f 、1 ，是满足( 1 2 1 ) 式的两个解，且 甜、v r ( o ，t ；s 2 ) ，西、帝r ( o ，丁；r 心) ) 及玑1 ，满足初始条件 u ( x ，0 ) = 甜o ，西( x ，0 ) = “l ，v ( x ，0 ) = v o ，t ( x ，0 ) = v l 5 则当4 0 = v o 、= m 时，有 定理3 问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 的弱解”g ，) 满足能量方程 m 1 2 + i 俐2 + + k 粉1 1 2 + 私1 1 4 + 2 j ：脚2 ) 出+ 2 职陬 = 蚍0 ) f | 2 + 眇( o ) | 2 + 归+ 桫( o ) 卜舟( o ) 1 1 4 + 2 r ，( 甜知) ) 出 在第四章我们首先定义了问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 强解，并讨论了强解的存在唯一性。 定义若甜g ，f ) 满足： 1 ) 材r ( 0 ，丁；s ) l 打r ( 0 ，；l 舀r ( 0 ，乃r ( n ) ) n f ( o ，死训( q ) ) ， 2 ) 对任意缈g ，) c 。( 0 ，丁；r q ) ) ，都有下式成立。 工7 ( m f 4 ) 一( + 七p 咿劲卅一仃n ，p p = o 3 ) ”g ，o ) = u o ( x ) 在s 中，五g ，o ) - - ( x ) 在s ：中。 则称函数甜g ，f ) 为问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 ，3 ) 的强解。 定理4 若 1 ) 盯( s ) c 1 ，一( j ) 下方有界，即存在常数，使仃( s ) c o 2 ) u o ( x ) s ，, t t l ( 砂& 。 则问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 存在唯一的强解“，在r ( 0 ，丁；r 心) ) 中，满足方程 i i + u o ) - ( , o + 走m 2 p = ) + 盯p 及初始条件 u ( x ，0 ) = u o ，矗( j c ，0 ) = 并且 甜r ( 0 ，t ；s ) 西r ( 0 ，t ；s ：) 。 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 1 函数空间 第二章预备y h , l - i 识 弟一早 耿亩以 在本苹中主要给出本文涉及到的一些主要概忿及主要引理，i 司时对又中出蚬的一些记 号给出了说明。 记r ( q ) 为q 上实值l e b e s g u e 可测函数厂= g ) ，满足州l o ) 上本性有界可测实值函数类，r ( o ，r ) 是b a n a c h 空间，其模为 i l s l l 删= 舞b s u 卜p 岛i e or l 删) c l o ， 7 设c ”( q ) 为q 上所阶连续可微实值函数类，并记c ”( q ) = n c ”( q ) ，令d ( q ) 为c ”( 哟的 研= l 子集，它由具有q 中紧支集的那些函数组成，d ( q ) 中的拓扑为严格诱导的极限，即若所有 的纯的支集在一个共同的紧集k 内，而且对任何m 有s u pf 方州( x ，y ) l 专0 成立，则称 j y j e k 吼一0 ( d ( 哟) ，d ( f 1 ) 的对偶空间用d ( q ) 表示。记q = q ( o ，t ) ，用同样的方式定义空间 r ( q ) 、c ” ) 、d ( 0 ，丁) 及d ( o ，丁) 。若g c ”q ) ，我们定义其模为 恬k 倒制2 出丁 设e ”( q ) 为使恻l 。 0 0 的那些函数g 组成的c ”心) 的子集，我们定义s o b o l e v 空l n - h ”) 为 。”心) 在模| j j l 下的完备化，艮i n ”( q ) 是由甜r 心) 中，具有强导数窘r ( q ) 的一切函 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 数组成，其中o 后m 。d q ) 在h ”心) 中的闭包记为饿m q ) ，h ”( n ) 2 更n o ( q ) 都是h i l b e r t 空间，用h - 肘q ) 表示日f 心) 的对偶空间，我们把r q ) 与其对偶空间视为恒同，则 d ) cn o q ) cr 心) ch 。卅心) cd 心) h i i b e r t 空间h ”( q ) 可类似的定义，其元素厂的一种模为 i l f l l - o ，= ( ，毛县 l 、- 出协1 ) m l ( 。，) 0 。，则称属于p ( 0 ，r ；x ) ，其模为 妙忆唧驯惚i n f s黧upi i f ( x i o 儿1 = 【露璀，p 丁卜岛 1 u 。 2 2 定义及引理 记q = ( o ，) ，q = q ( 0 ，r ) ，其中0 2 r ，0 o ，口( f ) o ，y ，( f ) 口o ) + g o 涉( ，) ，则 y y ( 。) + 批胁) 抄 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 以下为g r o n a w a l l 不等式的其它两种形式： 则 则 ( 1 ) 设厂r ( o ，r 工后0 ，白为常数，若对一切，【o ，r 】，有 几) + 七j = g 协， 儿) c o e h ( 2 ) 设所( f ) 在( o ，丁) 可积，r e ( o 0 ，妒c b ，r 】，c 0 ，且v ，【0 ，丁】，有 o 伊( f ) s c + j ：所g ) 缈g 协 妒( f ) 卯肌v ，【0 ，丁】 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 1 弱解的存在性 第三章弱解的存在唯一性 定理1 设 1 ) 仃( s ) c 1 ，盯7 ( s ) t y y ：f f 界，即存在常数，使盯( s ) c o ， 2 ) ”o ( x ) s 2 ，甜l ( x ) l 2 ( f 2 ) 。 则问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 存在下面意义下的弱解材= u ( x ，f ) ，即对于任意的缈& ，满足以下 方程 ，妒) + 刑一( + 啦。| 1 2 ) ，缈) = 伊) + b ( 川，伊) ( 3 1 1 ) 及初始条件 并且 证明：设n g ) j 为问题 u ( x ，0 ) = 甜o ，五( x ，o ) = u l ( 3 1 2 ) 甜r ( 0 ，t ；s ：lz j r ( 0 ，丁；r q ) ) 一一2 k 乃_ ，_ ( 0 ) = _ ( ，) = o 的特征函数，则1 一g ) 在r q ) 中构成正交完备系，_ g ) c 。傅) n 叫( q ) ，且_ g ) 的任 意线性组合在叫( q ) 中稠密， w ，b ) 在h 2 ( q ) 中的闭线性扩张为h 2 ( n ) n 础( q ) ，显然 w ，g ) j 构成是的基。设问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 的近似解可表示为 u r n g ，) = g j ，( ，) _ ( 力 j = l 其中g 朋( f ) 为未知函数，l g , r , g ，f ) 简记为”，u m b ，o ) 简记为u m ( 0 ) ，_ ( x ) 简记为_ 。因为 w j 最，所以有叫，：o j = o ，( 3 1 1 ) 作如下关于甜。的方程 太原理工大学硕士研究生学位论文 记 乜，_ ) + o ) ，以2 ) 一( + 七陋2 2 ) g 等，一) = g 等，_ ) + p ( 甜2 ) m ，_ ) ( 3 1 3 ) 记是g ) 在s ：中展开成f o u r i e r 级数时的系数，所以- - ( 甜o ，_ 七：，_ ，= 1 ，2 , 3 坍， 同理取是g ) 在r ( q ) 中展开成f o u r i e r 级数时的系数，可以取 _ 同时为r ( q ) 的正交 基，故上面的收敛性变为 g 加( o ) = a 朋，g j m ( o ) = 司以看出上式和( 3 1 3 ) 一( 3 1 4 ) 式是一个关于( f ) 的非线性二阶常微分方程组的初值 问题。由常微分方程中p e a n o 定理知，存在，肿 0 ，使得在 o ，乞 上存在唯一的逼近解( ，) 。 用( f ) 乘( 3 1 3 ) 式，并对j = l ，2 ，3 册求和，得 ，丸) + 蟛) 一( + 七啪黔蚝) = 如) + b n ，蚝) ( 3 1 5 ) 设f ( s ) = r q ( z ) a z ，其中q ( s ) = 伊( s ) 一k o s 一仃( o ) ，= m i n c o ，o ) ，由假设1 ) 及q ( s ) 的 定义可得叫( s ) = g ) 一k o 0 ，q ( 0 ) = 0 ，从而得 ，( s ) = r 仃。( z 珐o 因为 o - ( “：，) c = 仃( 甜2 ，) 甜，= p ：0 2 ，) + 毛) ，= 叫g ? ，- ，+ z 鬈，= q 0 ，y d + z 搿， 所以( 3 1 5 ) 式可以改写为 。，历，) + 列- 。( 2 ) 一( 侧叫2 弦，“) = 丸) + b ( 甜缈，虬) + 虬) 即 ，矗，) + 矗) 一( + + 七蚓1 2 ) 似) ，“) = 鼢屯) + h ( 蜊n ，“) ( 3 1 6 ) 又因为舀。i 咖，= o ，所以有 1 2 蛰 太原理工大学硕士研究生学位论文 同理可得 0 ，西。) = f o u 西。d x = j ：矗。d u 。o ) = 材1 1 ，一肫西2 出= 一甜- 。0 ) = 一互l d 玎 m 缈丸) = 一m 跏：) = 一“蜘物= 一f ( 丢f 乒= 一丢m k 又因为 g ，矗，) = j ：西箸，西。出= j ：舀。幽：) - 西：西，瞄一j ：西2 砌。= 一似) ，z i 2 ) = 一陋驯2 所以( 3 1 6 ) 式又可以改写为 0 ，西，) = 芝l 沙d 。1 1 2 西睁翱剜2 丢( o 西。1 1 2 + 1 1 材1 1 2 + ( + 七。) i l 甜：1 1 2 + 鲁。甜：1 4 + 2 f f ( “：) 出) + 2 i i 舀：1 1 2 = 。 从0 到f 积分，得到能量方程 i l u 1 1 2 + 弦1 1 2 + + 后。1 1 圳2 + 舭| 1 4 + 2j = 脚) 出+ 2 舭陬 屯( o ) | 1 2 + 眇( 。) 1 1 2 + + 帅焖n l | 4 + 2 f 脚焖) 出 ( 3 1 7 ) 由定理1 假设2 ，知 卧0 ) 1 1 2 + 渺( o ) | | 2 + 够+ 讳焖+ 舭) ( o ) i | 4 - , i1 2 + i | 甜圳2 + + 帅剐2 + 狮1 0 4 又由( 3 1 4 ) 式及引理1 ，知甜2 ( x ，o ) 在q 上一致收敛于甜f ( x ) ，9 , i 而：f f 记 则有 ( f ( z ，翔) 协寸( f ( “5 i ) ) d x k 嘏( o ) | | 2 + 妙( 0 ) 1 1 2 + + 帅卜争焖1 1 4 + 2 f m 边 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 即 又因为 故可得 i i 西1 1 2 + 陋纠2 + p + 壮驯2 + 刳“圳4 + 2 f ， ) 出+ 2 驯厅圳2 如= i i - 1 1 2 + 例2 + 主( f 蝌+ 华) 2 + 2 胁9 出+ 2 舭陬吐+ 百( f l + k o ) 2 恕k = 厅啪i i 1 1 2 + 弦1 1 2 + + 讳5 i ) 1 1 2 + 批i j 4 + 2 r 肌5 l 胁 l 西- j 1 2 彬心( 峪0 2 + 州2 + 2 肌黝c i i 础降 o 且j ：f ( “譬) 出o ，得 而 j k 8 ci 睃i i c , 拶l c ， r f ( 材胁 c ，皿玎如 c l 仃0 2 y 。8 = i p 7 g 2 - 等0 l p 7 g 2 翊。忙0 ( o f t ) ( 3 1 8 ) 由0 ”8 c ，l 睇i i c 及引理l ，可得忙0 2 p l if o ，丁及朋一致有界。由于上述有界性 都是关于f 致有界，所以对任意，( o ，丁) 均成立。由删西2 ，1 1 2 j f c ，得函： 在r ( 0 ，丁；r ) ) 有界，又由忙，f f 2 c ，可得函。 在r ( o ，歹；三2 ( 如) ) 有界，也在三2 ( o ，7 ；三2 q ) ) 有界，从而得翻， 在r ( 0 ，t ；h 1 心) ) 中有界。因为 所以：f iu 。b ，= o ，由引理2 ，得 是= 磁心) n 日1 心) i i 1 1 匆础i i c 1 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 综上所述有 k ) 在r ( o ，r ；是) 中有界 伍。) 在r ( 0 ，丁；r 心) ) n r ( o ，t ；h 1 q ) ) 中有界 p 驯2 1 1 。( 2 ，j 在r ( o ，乃r ( q ) ) 中有界 盯0 2 ，r 在r ( 0 ，丁；r ( q ”中有界 i ：h u m 、碟、u m 的有界性，知缸。) 在日1 ) 中有界。因为h 2 ) 为自共轭空间，更是自反的， 而自反的b a n a c h 空间的闭子空间也是自反的。所以是是自反的，记墨为是的对偶空间，从 而得r ( 0 ，丁；逆龌( o ，丁；墨) 的对偶空间。又因可分赋范空间的一致有界泛函序列必可取出 一个弱刈殳敛的子序列饥j ，使得 专“在r ( 0 ，丁；曼) 中弱幸收敛 五专y 在r ( 0 ，r ；r q ”n r ( 0 ，t ；h 1 q ”中弱刈殳敛 l 陂1 1 2 够一z 在r ( o ，丁；r q ) ) 中弱刈复敛 ( 3 1 9 ) 仃y 专在r ( o ，丁；r q ) ) 中弱宰收敛 专在r ( q ) 中强收敛且几乎处处收敛 其中“f 专在r ( q ) 中强收敛且几乎处处收敛是因为，“9 西，在r ( 0 ，t ；l 2 心) ) 中对所 一致有界，从而在r ( 0 ，丁；r q ) ) 中对坍一致有界，由引理3 ，故有子序列缸j 在r ( q ) 强收敛 且于q 几乎处处收敛，而r 的基本列) 可选取子序列几乎处处收敛于厂l p ，故可设 哼缈在r ) 中强收敛且几乎处处收敛。 ( 3 1 9 ) 式中的收敛性具体地讲就是 1 。v g ( 0 ，乃) ，有 j ；z ，。o x g ( ，渺专f 甜( t x g o ) ) c l t 2 。v g l v ( o ，丁；r q ”，有 r 卢( t x g ( t ) ) d t = r g 一( ，) ，g ( f ) 切寸r ( ，l g ( ，) 枷= j ：o r v ( t x g ( t ) ) d t 1 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 朋剜2 甜跏( ，归jl r ( z ( t ) ，g ( t ) ) d t j c r g ) ( n ，g o 煽专l r ( q k o ) , g ( t ) ) d t 在引理4 中取x = 篷，j ，= r ) ，则x = ，r = j ，= r ) ，由于是连续且稠密的嵌入 到r q ) 中，再由引理5 ，可得r ) 可以连续且稠密的嵌入到x 中，于是由引理4 ，得y = 五 在r ( o ，丁；r ”中成立。 u ：i 铂l 2 中弱刈殳敛，而专拙 几乎处处成立。 ) 中强收敛且几乎处处收敛，故国= u 毛e q 中 下面证z = 忖1 8 2 1 x ( 2 ) 在r ( 0 ，丁；r ( q ) ) 中成立。 v 伊e ( o ，t ；s 2 ) ce ( o ，丁；r ( q ) ) ，有 r ( z 十。p 孙，伊) 坊=j i r ( z 嘲心，妒弘 +t g ( 1 ) 附轳，伊b + 跏吓书1 啪跏妇 由0 甜圳2 予一脏p ( o ，丁；r 心) ) 中弱奉收敛及伊e ( o ，丁；岛) c _ ( 0 ，丁；r 心) ) ，可得上式右端 第一项趋于0 。又因为 胂1 轳，妒蚌l ；ol l u 叫伊妇l 即以，腓一甜i i 1 1 缈1 1 s ：出1 1 4 。，t 是，0 z 。一“0 r 。口，0 妒0 f 。，r 墨z ， 所以由- - - u 在r ( q ) 中强收敛，知上式右端第二项也趋于o ，又因为 出 g r 即 砒 g 且q r 有q 乎 弘 为因又 太原理工大学硕士研究生学位论文 啪0 | | 2 - j p 眵? ，矽b = l r g 一) ，材譬+ 妇，缈h i i 帕卜一“2 ) 4 - z ( 1 ) 1 慨岐 = j ：o t ( z z - - u ) 4 黟叫慨岐 i i 缈l l a , i i 缈l l e , m k 硒，腓芦一扰i i 畛“2 f i 1 f 伊眦 蚓k k 确，+ i i 叱，枷一甜1 1 陋 c r 批一材j | 1 j 伊胁机一叱叱 鼬，o 从而得r l 一8 4 2 甜( 2 ) ，妒) 斫= o ， 即z = ”1 j 1 2 甜( 2 在r ( 0 ，丁；r ) ) 中成立。 下面再证矽= 盯0 p 在r ( o ，丁；r ) ) 中成立。 v 缈z ( o ，丁；是) c _ ( 0 ，丁；r q ) ) ，有 r 一仃0 ) ，缈b ：r 一盯g 譬，y 1 ) ，缈b + 如f 0 7 1 i 、，i , ，p 一盯0 m y ，缈b 由盯g ：，p 专庐在r ( 0 ，丁；r ( q ) ) 中弱枣收敛， 第一项趋于0 ，又由 及缈c ( o ，t ；s 2 ) c ：l i ( o ，丁；r 心) ) ，得上式右端 * 1 ) - - c 5 n ，妒州 = 旧p 掣砂h l r p 0 ：) 一盯0 m l 妒m 妇 蜘i i 。1 1 1 | i 州陋 17 太原理工大学硕士研究生学位论文 - c r l l ”卜叫1 悟 ， l 。证明、, 户( 2 ) ，哆) 专0 t2 1 ，一2 ) 在r ( 0 ，丁) 弱幸收敛。 即证明v 缈z ( o ，t ) ，有 r g 了，形2 妇_ r 0 2 ) ，q 2 细 r 1 2 = r 妒j ：一2 纠切 其 界 太原理工大学硕士研究生学位论文 = r ( 2 b j ：以叫2 ) = 一j o j o t j o 。1 ( z 一3 ) d x d t r 妒抑帆以= j c r ( 一啡+ 出 = 鬟。，蟛= j c r g p ，w j ( 4 ) 9 ( ，灿 注意到缈o ) _ ( 0 ，丁；r 心) ) c _ ( 0 ，t ；s 9 ，且有心j ”在r ( o ，7 ；岛) 中弱木收敛，可得 r 也，以4 ) 缈( f 灿专r 0 ，e 4 ) 旷( f 渺 从而证得0 7 ，w ，( 2 ，) 寸gc 孙，一2 ) 在r ( 0 ，丁) 弱刈叟敛。 同理0 p ，_ ) 专g 孙，叶) 在r ( 0 ，丁) 中的弱叫殳敛性可以证得。这是因为： 坛，_ ) = ( z ，孑一出= f _ 幽譬 = _ l ：一j = ”2 犯= 一f 彬嘶 一一1 b + j = 州1 ) - r 一2 出= 舶，) 因为v 缈z ( o ，丁) ，有一2 切_ ( o ，丁；r q ”，_ 且l i p 专甜在r ( 0 ，丁；最) 弱收敛，从而有 r 坛，_ 妇= r 0 一，1 2 ，协= r 0 一，形2 切妇 一r 0 ，一2 切枷= r g ，1 2 ，细= r 0 孙，_ 砌 证明( i i 甜纠2 甜譬，_ ) 寸