（计算机软件与理论专业论文）量子安全通信研究——基于纠缠交换的量子密钥分发和量子直接通信.pdf

东南大学硕士学位论文 摘要 量子通信是量子信息基础理论应用的主要研究内容之一。量子安全通信将保密通信体系建立在 量子力学理论之上，为信息的安全传输提供了新的方法。量子力学在研究微观粒子的状态和运动方 式时给出了微观粒子具有不可克隆、测不准和可相互纠缠等物理特性，这些特性可以保证利用微观 粒子载荷信息的量子通信具有理论上的无条件安全性和对窃听的可检测性，使得量子安全通信具有 良好的性能和光明的前景。自从b b 8 4 量子密钥分配方案以来，许多科学家加入量子安全通信研究 领域，取得了大量的令人瞩目的研究成果。 本硕士论文的研究内容主要涉及了量子安全通信中的量子密钥分配和量子直接通信两方面。第 二章主要讲述了量子安全通信的量子力学基础。第三章重点介绍和分析了现有的一些经典的量子安 全通信协议，即b b 8 4 量子安全通信协议、“p i n g - p o n g ”协议、“二步”量子直接安全通信协议和量 子对话协议。其中b b 8 4 协议和“二步 量子直接安全通信协议具有良好的安全特性；“p i n g - p o n g 协议虽是一种存在若干漏洞的量子通信协议，但它引入了量子直接通信的思想；早期的量子对话协 议可能泄漏部分信息，与单向通信协议相比较并没有提高量子传输信息的效率，但它带来了双向量 子通信的思想。第四章详细分析了安全通信中贝尔态粒子纠缠交换物理现象中的一些关键性质，并 利用这些性质提出了安全可靠、编码解码简单的量子密钥分配协议、量子直接通信协议和双向量子 直接通信协议；通过提出一种身份验证的方法，从而确保通信双方的合法性，随后分析并证明了所 提方案的安全性。第五章的要点在于将二维贝尔态纠缠交换推广至高维情况，使之具有一般性，分 析了高维贝尔态及高维单粒子酉算子的一些性质，基于高维纠缠交换的性质，提出了相对应于二维 情况的高维量子安全通信协议。 关键词：量子安全通信；量子密钥分发；量子直接通信；纠缠交换；贝尔测量；高维 东南大学硕士学位论文 a b s t r a c t q u a n t u mc o m m u n i c a t i o ni so n eo ft h ei m p o r t a n tp a r t so fq u a n t u mi n f o r m a t i o n q u a n t u ms e c u r e c o m m u n i c a t i o nw h i c hb a s e ss e c u r ec o m m u n i c a t i o ns y s t e mo nt h eq u a n t u mm e c h a n i c st h e o r yp r o v i d e sa n e ww a yf o rt r a n s m i t t i n gm e s s a g es e c u r e l y d u r i n gt h er e s e a r c ho nt h es t a t e sa n dm o t i o nm o d eo f m i c r o s c o p i cp a r t i c l e s ，q u a n t u mn o - c l o n i n gt h e o r e m ，h e i s e n b e r g e ru n c e r t a i n t yp r i n c i p l ea n dq u a n t u m e n t a n g l e m e n tw e r ep r o p o s e d t h e s ep r o p e r t i e sg u a r a n t e et h a tq u a n t u mc o m m u n i c a t i o nw h i c hu t i l i z e s m i c o s c o p i cp a r t i c l e st oc a r r yi n f o r m a t i o nh a s t h eu n c o n d i t i o n a ls e e u r i t ya n dt h ea b i l i t yo fd e t e c t i n g e a v e s d r o p p e r , w h i c hm a k e sq u a n t u ms e c u r ec o m m u n i c a t i o np o s s e s st h ee x c e l l e n tc a p a c i t ya n dt h e a t t r a c t i v ef o r e g r o u n d m a n yr e s e a r c h e r sa n ds e i e n t i sh a v eb e e np a r t i c i p a t i n gi nt h i sf i l e ds i n c et h eb b 8 4 q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n , a n dm a n yr e s e a r c h e so nq u a n t u mc o m m u n i c a t i o nh a v e b e e nd o n e m ys t u d yi n v o l v e st w oa r e a so fq u a n t u ms e c u r ec o m m u n i c a t i o n , i e ，q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ( q k d ) a n dq u a n t u md i r e c tc o m m u n i c a t i o n ( q d c ) i nc h a p t e r2 ，q u a n t u mm e c h a n i c sb a s i so fq u a n t u ms e c u r e c o m m u n i c a t i o ni si n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，s o m ee x i s t i n gc l a s s i cq u a n t u ms e c u r ec o m m u n i c a t i o n p r o t o c o l s ， i e ，t h eb b 8 4q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o np r o t o c o l ，t h e ”p i n g - p o n g ”p r o t o c o l 。t h e t w o - s t e p q u a n t u ms e c u r e d i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o la n dt h eq u a n t u md i a l o g u ep r o t o c 0 1 a r ei n t r o d u c e da n da n a l y z e d t h eb b 8 4 q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o np r o t o c o la n dt h e t w o - s t e p ”q u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o l p o s s e s se x c e l l e n ts e c u r i t y t h o u g ht h e r ea r es o m es e c u r i t yb u g si nt h e ”p i n g - p o n g ”p r o t o c o l ，i tb r i n g s t h o u g h to fq u a n t u md i r e c tc o m m u n i c a t i o n t h ee a r l yq u a n t u md i a l o g u ep r o t o c o ll e a k so u ts o m e i n f o r m a t i o n , a n dt h u si td o e sn o ti n c r e a s et h ee m e n c yo fi n f o r m a t i o nt r a n s m i t t i n gc o m p a r e dw i t h c o r r e s p o n d i n gq u a n t u md i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o l s ，b u ti tb r i n g st h o u g h to fb i d i r e c t i o n a lq u a n t u m c o m m u n i c a t i o n i nc h a p t e r4 ，s o m ek e yp r o p e r t i e sa b o u te n t a n g l e m e n ts w a p p i n go fb e l ls t a t ep a r t i c l e sa r e d e s c r i b e d ，a n daq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o np r o t o c o l ，aq u a n t u md i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o la n da b i d i r e t i o n a lq u a n t u md i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o lw h i c hh o l de x c e l l e n ts e c u r i t ya n da r ee a s yt oe n c o d e a n dd e c o d ei n f o r m a t i o na r ep r o p o s e db a s e do nt h e s ep r o p e r t i e s a ni d e n t i t ya u t h e n t i c a t i o nm e t h o di sp u t f o r w a r d ，w h i c hc a ne n s u r et h et w ou s e r sa r el e g i t i m a t e i ts h o w st h a tt h e s ep r e s e n t e dp r o t o c o l sa r es e c u r e b ya n a l y s i s i n gt h e i rs e c u r i t y t h eo u t l i n eo fc h a p t e r5i st h a tw ee x t e n dt ot h et w o - d i m e n s i o ne n t a n g l e m e n t s w a p p i n go fb e l l s t a t e st ot h eg e n e r a ls i t u a t i o no fh i g hd i m e n s i o n ，a n da n a l y s i st h ep r o p e r t i e so f h i g h - d i m e n s i o nb e l ls t a t e sa n dh i g h - d i m e n s i o ns i n g l eu n i t a r yo p e r a t o r s t h r e eh i i g hd i m e n s i o n a lq u a n t u m s e c u r ec o m m u n i c a t i o np r o t o c o l sc o r r e s p o n d i n gt ot h et w od i m e n s i o n a ls i t u a t i o na r ep r o p o s e da c c o r d i n gt o t h ep r o p e r t i e so fe n t a n g l e m e n ts w a p p i n go fh i g h - d i m e s i o nb e l ls a t e s k e yw o r d s ：q u a n t u ms e c u r ec o m m u n i c a t i o n ；q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ；q u a n t u md i r e c tc o m m u n i c a t i o n ； e n t a n g l e m e n ts w a p p i n g ；b e l lm e a s u r e m e n t ；h i g hd i m e n s i o n i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意 研究生签名：日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 以电子信息形式刊登) 论文的全部内容或中、英文摘要等部分内容论文的公布( 包括以电 子信息形式刊登) 授权东南大学研究生院办理 躲多降是一名： 眺2 a o99 弓 ， 第一章绪论 1 1 研究意义 第一章绪论 在现实通信过程中，信道往往是不安全的，它是整个通信的物理过程中最易受到攻击软肋，通 信的内容可以被窃听，传输的信号可能被截取。如何确保通信过程的安全可靠一直是人们追求的目 标，也是通信系统商业化的必备条件。由于信道的物理属性决定其不安全性无法回避，于是人们考 虑对传输在信道中的信息进行各种编码加工，例如利用加解密技术试图阻止窃听者得到任何有用信 息，保证合法用户间的安全可靠通信就是最常用方法之一。于是现实通信过程中如何生成安全实用 的密钥，对于通信的安全和高效起着至关重要的作用。一旦密钥被窃取或被破解，基于加解密技术 的通信，毫无安全可言。 到目前为止理论上唯一证明绝对安全的经典加密体系是一次一便笺加密体系( o n e - t i m e p a d c r y p t o s y s t e m ) 1 1 1 。在一次一便笺体系中，密钥与传输信息等长，且通过一次一更换的方法确保对窃 听者而言传输的密文是完全随机的，这样就保障了该密钥体系的安全。然而，由于密钥不能重复使 用，使得更新密钥相当频繁，加之每次使用的密钥长度等于消息的长度，使得基于一次一便笺密钥 体系的安全通信在通信之前就需要共享大量的密钥，如何分配和维护这些密钥在经典通信体系中相 当困难，这样困难的因素弱化了一次一便笺经典密钥体系的实用性。于是，实际流行的经典密钥体 制的设计一般不采用基于一次一便笺的方法，而往往是基于数学难问题的，这样更易实现和维护。 由于该类的安全性依赖于计算复杂性，也就是说基于现有计算机的计算能力有限的情况下求解一个 数学难问题是不可行的，于是在实际应用过程中保证了现阶段经典密钥体制的安全。但是，随着现 代计算机的计算能力的不断提高，特别是并行计算机和超级计算机的快速发展，经典密码体系受到 了严重挑战。更糟的是，量子计算理论的发展使得数学难题具有量子破解可能性和可行性。1 9 9 4 年， s h o r 提出了多项式时间求解大数因子量子算法【2 】，这对经典安全密钥体制构成了很大的威胁，特别 是对基于大整数分解困难性的r s a 公钥密码体制p 1 。1 9 9 7 年，g r o v e r 提出了量子快速搜索量子算 法 4 1 ，通常称之为g r o c e r 量子搜索算法。在该算法中，对一个拥有个记录的无序数据库中，搜索 记录的时间复杂度为d ( ) ，而经典算法算法的复杂度为伙) 。g r o v e r 量子搜索算法加快了对经 典公开密钥体系中密钥的搜索，提高了计算机利用暴力攻击方法破解经典密钥的效率，加重了对经 典密钥体制的威胁。于是，研究新的密钥分配体制，开拓新的安全通信途径，成为广大安全通信研 究工作者迫在眉睫的任务。 量子力学的基本原理为信息的安全传输提供了一套全新的思路，使得实用的无条件安全通信成 为可能。量子力学基本原理和传统密码学相结合的产物量子密钥分配( q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n 简称q k d ) ，能在理论上保证密钥分发的无条件安全，可以对抗量子计算机等具有强大计算能力的 工具的密码破译。所谓量子密钥分配，就是以量子态为信息载体，通过量子信道传输，在保密通信 双方间建立安全共享的密钥的方法，其安全性是由量子力学中的“海森堡测不准关系”( 或叫测不准 原理) 及“量子不可克隆定理”( 非克隆定理) 或量子纠缠等特性来保证的。量子密钥分配在保密通信 双方分配密钥，俗称量子密码通信。量子密钥分配解决经典通信的密钥分发问题。在如今以经典通 信为主的时代，为了保证通信安全，研究量子密钥分配方法生成安全不可破解的密钥具有非常重要 的意义。 近年来，一种全新的量子通信方式量子直接通信( q u a n t u md i r e c tc o m m u n i c a t i o n 简称q d c ) 被提出来。量子直接通信不需要通信双方事先共享密钥来加密信息，而是基于量子力学的基本原理， 根据所需要传输的信息来编码、解码量子态从而完成信息的传输。显然，量子直接通信比量子密钥 分配要求有更高的安全性。这是因为消息是确定的和不可重复的，如果部分消息一旦被窃听者获得 l 东南大学硕士学位论文 必将造成损失，而密钥是随机生成的，如果发现此次密钥泄漏了部分消息通信双方可以丢弃本次产 生的密钥或者去掉泄漏信息的那部分密钥而不蒙受任何损失。于是。量子直接通信要求即使量子信 道被窃听也不能泄露任何信息，否则不能用来量子直接通信。量子安全通信不需要事先共享密钥， 舍弃了经典安全通信中不可避免需要密钥的条件，为以后实用的无密钥安全通信指明了方向。它极 大地引起了广大相关研究者的兴趣，具有很高的研究价值和很好的应用情景。 总之，量子安全通信将保密通信建立在客观物理规律之上，具有基于计算复杂性的经典通信无 法比拟的优越性，实现了无条件安全通信。对量子安全通信进行研究具有非常重要的理论和现实意 义。本文正是基于此，将对量子安全通信做一些研究。 1 2 研究现状 二十世纪八十年代兴起了一门融合了量子力学和信息学科的新型科学量子信息学。量子信 息学主要研究利用微观粒子的量子态作为信息载体，凭借着量子力学所特有的一些性质，如不确定 性、相干性和纠缠特性等，来完成一些经典通讯、计算机科学和密码学无法实现的任务。量子安全 通信为信息的安全传输提供新的思路和方法，是量子信息学中将首先走向实用化的热点研究方向， 是一个具有重要意义的研究课题。它把保密通信建立在量子物理客观规律基础上，具有基于求解数 学问题困难性的经典保密通信无可比拟的优越性和安全性，主要包括量子密钥分配、量子直接通信、 量子隐形传态( q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ) 和量子秘密共享( q u a n t u ms e c r e ts h a r i n g 简称q s s ) 等。本文将研 究量子安全通信的量子密钥分配和量子直接通信方面，对量子隐形传态和量子秘密共享不做研究， 故下面将重点描述量子密钥分配和量子直接通信的研究现状。 历史上，首先想到将量子力学用于信息保密的人是美国哥伦比亚大学科学家w i e s n e r 。w i e s n e r 于1 9 7 0 年指出，可以利用单量子态制造不可伪造的“电子钞票，【习。但这一思想当时并没有引起足 够的重视。1 9 8 4 年，i b m 公司的b e n n e t t 和加拿大蒙特利尔大学的b r a s s a r d 在研究中发现，单量子 态可以用于传输信息，提出了第一个基于单量子态的量子密钥分配方案，通常称为b b 8 4 量子密钥 分配方案【6 j ，简称b b 8 4 q k d 方案。1 9 9 1 年，英国牛津大学的e k e r t 提出了一种基于两粒子最大纠 缠态( 即贝尔态，通常称为e i n s t e i n - p o d o l s k y r o s e n 对1 7 1 ，简称e p r 对) 的量子密钥分配方案，通常称 之为e 9 1 方案【8 】。1 9 9 2 年，b e n n e t t 又提出基于两种非正交粒子态的量子密钥分配方案，通常简称 b 9 2 方梨9 1 。此后，科学界掀起了一股研究量子密钥分配的热潮，大量的量子密钥分配方案被提出 【1 眦1 1 。从各方案的量子态特征来看，可以分为单粒子量子态方案与多粒子系统量子态方案；前者主 要是基于量子不可克隆定理和非正交量子状态不可区分定理，使用单粒子来当作量子信息传输的载 体，如单原子、单光子等，利用它们不同的量子态来传输不同的密码信息；后者主要基于纠缠的特 性，以多粒子系统的各量子态来传输密码信息，其典型的代表如双光子纠缠态( 如e p r 对) 、三光子 纠缠态( 如g r e e n b e r g e r - h o m e - z e i l i n g e r 态，简称g h z 态) 等。为了确保量子密钥分配在合法用户间 进行，一些具有身份验证功能的密钥分配协议1 2 2 2 别被提出来，它们能有效防止伪装攻击。在量子密 钥分配实验方面也获得了巨大的突破，甚至接近于实用。 量子直接通信相对于量子密钥分配来说，事先不需要共享密钥。它按照是否需要经典辅助位可 以分为两类：量子安全直接通信( q u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o n ，简称q s d c ) 和确定型安全量 子通信( d e t e r m i n i s t i cs e c u r eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ，简称d s q c ) 。2 0 0 2 年，b e i g e 提出了第一个量 子直接通信协议1 2 6 1 ，该协议基于单光子两量子比特态，每个量子比特信息的解码需要一位经典信息 的辅助，因此它属于确定型安全量子通信协议。随后不久，b o s t r 6 m 和f e l b i n g e r 提出基于e p r 态的 “p i n g - p o n g ”协议【2 7 l ，协议基于纠缠粒子对由传输量子比特发送过程和回收过程组成，解码无须经 典信息辅助，因此，它是第一个量子安全直接通信协议。然而，w 6 j c i k 证明“p i n g - p o n g ”协议在有 损量子信道情况下是不安全的【2 8 】；同时，c a i 等人也指出该协议无法抵抗“拒绝服务”( d e n i a lo f s e r v i c e ，简称d o s ) 攻击1 2 9 j 和不可见光子木马攻击1 3 0 1 。2 0 0 3 年，d e n g 等人提出了“二步”协议1 3 1 1 ， 该协议采用分块传输的思想并将e p r 态分为两阶段传输，其信道安全性检测也分两次抽样进行，被 2 第一章绪论 认为是安全性较好的一种q s d c 方案。从此，各种量子直接通信协议不断被提出，其中包括利用量 子纠缠态( 如e p r 态，g h z 态，w 态，c l u s t e r 态等) 的量子直接通信方案l 业铘j 、利用非纠缠态( 即单 光子) 的q d c 方案【4 3 1 。同时一些基于高维粒子态的量子直接通信协议被提出【3 4 1 1 3 9 1 1 5 4 1 。为了提高量 子传输效率，n g u y e n 在2 0 0 4 年首次提出了双向通信的思想，结合“p i n g - p o n g ”协议给出了第一个 双向通信协议，即量子对话( q u a n t u md i a l o g u e ) l 撤i 1 。但是，在该方案中，窃听者e v e 利用截获重 发攻击策略，可以盗取所有传输者传送的信息，而不被发现【5 6 1 。由此，m a n l 5 6 】和n g u y e n t ，7 】修改了 量子对话协议，各自提出新的量子对话协议。随后，一些量子对话协议或双向通信协议被不断提出 1 5 8 - 6 3 1 。2 0 0 8 年，g a o 等人【6 4 1 从信息论的观点出发，指出n g u y e n t 5 5 】【5 7 】、m a n | 5 6 1 提出的量子对话协议 存在部分信息泄露漏洞，不满足安全通信要求，同时我们也发现其他量子对话或者双向量子直接通 信协议p 3 i 都存在信息泄露问题。 以上协议事先假设所有通信方都是经过验证的合法用户，事实上，如何验证通信各方的身份从 而确保通信在合法用户间进行在现实通信中是一个不可忽视的问题。2 0 0 6 年，l e e 等人提出了两个 基于身份验证的量子直接通信协议【6 5 1 ，随后，z h a n g 等人惭】指出，不诚实的参与方t r e n t 能通过截 获测量或直接单光子测量攻击获得发送者的信息，并给出了相应的改进协议 6 6 j ，最近，y e n 等人i o 指出z h a n g 改进后的协议，仍不能抵抗t r e n t 的准备多量子态的攻击。量子直接通信成为科学工作 者研究的热点，还在持续发展中。 总之，虽然量子安全通信领域是一个刚发展起来的新兴研究点，但是，它由于光明的情景和广 阔的用途，使得越来越多的研究人员涉入其中，迅速成为研究热点，发展越来越快。 1 3 论文结构 根据量子通信的研究现状及最新的发展动态，本文将对量子安全通信中最热门的两个方向 量子密钥分配和量子直接通信进行一些探索。将身份认证的思想纳入量子密钥分配和量子直接通信， 提出一些安全有效的量子通信协议。具体来讲，全文共分为六章。第一章为绪论部分，主要介绍本 课题的研究意义及背景；第二章将阐述量子安全通信的量子力学知识，这章是本论文的理论依据和 基础；第三章将将陈述和分析一些具有里程碑意义的量子密钥分配协议和量子直接通信协议；第四 章将分析贝尔态纠缠交换的属性，基于这些性质提出量子密钥分配协议、单向的量子通信协议和双 向的量子直接通信协议，并分析这些协议的安全性和效率，同时提出一种身份验证方法，验证通信 双方身份的合法性；第五章将分析高维贝尔态的纠缠交换特性，基于这些性质提出高维量子密钥分 配协议、量子直接通信协议及双向的量子直接通信协议，使之具有通用性和一般性；第六章为结束 语。 3 东南大学硕士学位论文 第二章量子安全通信的量子力学基础 当今信息时代，信息科学在改善人类的生活质量以及推动人类社会科技进步发挥着至关重要的 作用。随着人类对信息需求的日益增加使得人们不断地致力于信息技术的进一步发展。二十世纪初 发展起来的量子力学在推动人类社会的发展中发挥了巨大的作用。量子力学与信息学结合产生了一 门新的学科一量子信息学，近几十年来，这门学科无论在理论上还是在实验上，发展都非常迅速， 成为国际上研究热点。量子安全通信是量子信息学一个重要分支，使得通信的安全性建立在量子力 学物理规律上，具有无条件安全性。因而，本章将讲述量子安全通信过程中主要依赖的量子力学理 论基础及基本原理。 2 1 量子力学基础 量子力学是研究微观粒子运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质， 以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。 量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等相关学科和许多近代技术中也得到了广 泛的应用。 量子力学是物理理论发展的一个数学框架。量子力学本身不能告诉我们物理系统服从什么定律， 但它却提供了研究这些定律的数学和概念的框架。量子力学的基本假设把物理世界和量子力学的数 学描述联系了起来。 2 1 1 状态空间 量子力学第一假设：任一孤立的物理系统都有一个称为系统状态空间的复向量内积空间与之联 系，系统完全由状态向量所描述，这个向量是系统状态空间的一个单位向量。 复向量内积空间：一个维数为n 的复向量空间c 。= ( q ，口2 ，) 是一个具有加运算、标量乘运算、 内积运算的向量空间，满足： ( 1 ) 任取口j ，口，c ”，都有加运算口i + 口，c “； ( 2 ) 任取复数c e c ，口c “，都有标量乘运算c 口c “； ( 3 ) 复向量空间c ”上的内积定义为一映射：对于任意的一对向量q ，口，c “，都有一个复数c = ( q ，乃) 与之对应，称为呸和口，的内积。其中， ( q ，乃) = “口，- ，口i ：，) ，( 巳l ，乃：， 内积满足以下条件： ( i ) ( 口j ，口j ) 0 ，当且仅当q = 0 时取等号； ( i i ) ( 口l ，a j ) - - - ( q ，q ) ： 4 ”= 【，反，】i - 2 ( 2 1 ) 墨三兰墨王室全望笪盟墨王查兰茎型 ( 1 1 1 ) ，c j a j ) = c j ( a , ，q ) ，勺c 。 ti 量子信息中遇到的有限维数复向量空间类中，l t i l b c ：r t 空间与内积空间是一回事。量子力学系统 所处的状态称为量子态，由h i l b e r t 空间中的列单位向量描述，该向量通常称为态向量，常用1 ) 来表 示，符号i ) 是d i r a c 符号，用来表示该对象为一向量。例如i ”表示量子态，其中杪表示状态的标号。 缈l 表示f ) 的对偶向量，也称为左矢，由h i l b 耐空间的行单位向量描述。似l 西表示向量i ”和i 神的 内积。 由量子力学的第一假设，可以推出态叠加原理：如果i ) ，l ) ，i ) 是量子系统的可能 的态，那么他们的任意线性叠加态l 力= qf ) ，也是系统的一个可能的态，其中q c ，且满足 i = i 吲2 = l 。当系统处于叠加态l ”= q i ) 时，处在l ) 的概率为i q f 2 。 li = 1 量子力学中态叠加原理在量子信息学中有着广泛的应用，也给量子信息赋予了与经典信息截然 不同的丰富内容。在对量子比特的操作过程中，各态的叠加振幅可以相互干涉，这样的叠加态具有 量子相干特性。在量子信息科学的各个领域，量子相干性起着非常重要的作用。 量子力学第四假设：复合物理系统的状态空间是分物理系统状态空间的张量积。若将分系统编 号为l 到厅，系统，的状态被置为1 ) ，则整个系统的状态为i ) o l 虬) 。 量子力学第四假设给出了如何将不同量子系统的状态空间组合成复合系统。设v 和形分别是维 数为m 和刀的h f l b e r t 空间，则v w 是一个m l l 维的h i l b m 空间。v o w 中的量子态都可表示为张量 积( 直积) i 仍) p l 仍) 的形式，简记为l 仍) l 讫) 或l 仍仍) ，其中l 识) 是矿中的量子态，l 仍) 是形中的量子 态。张量积操作的定义如下： la t l b q 。bl 爿o b = i ii l 。 ( 2 2 ) l a m l b o 。p 2 1 2 完备正交基和量子比特 设线性无关的态向量组m ) ，l 吃) ，1 ) ) 是刀维h i l l 弛r t 空间c “的一组基，若其中的向量两两相 互正交( 即内积为0 ) ，则这样的一组基称为完备正交基。根据线性代数知识，我们可以采用 g r a m - s c h m i d t 正交归一化过程由空间的任意一组基构造一组完备正交基。 ，1 、厂n 、 如在空间c 2 中， i o ) = k ) = lii ) 是一组完备正交基，为了简单起见我们称它为z 基。另外， v j1 | + ) = 去q o ) + 1 1 ) ) ，i _ ) = 去q0 ) 一1 1 ) ) 也是一组完备正交基，称为x 基。 v i - - 相对于经典信息的基本存储单元比特( b i o ，量子信息的基本存储单元称为量子比特( q u b i t ) 。 在经典信息处理过程中，经典信息的二进制存储单元比特由经典状态( 如电压的高低) 1 和0 表示。 从物理角度讲，比特是一个两态系统，它可以制备为两个可识别状态中的一个。对于量子信息而言， 5 堡曼奎兰堡主兰堡丝茎 量子信息的基本存储单元为量子比特。一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量，他的两个 极化状态为1 0 ) 和1 1 ) ，分别对应经典状态的0 和1 。 量子比特和比特的区别在于，一个量子比特的状态可以处于状态lo ) 和1 1 ) 之外，即量子比特的 状态可以是状态i o ) 和1 1 ) 的线性组合，称为叠加态。如量子比特的状态i 沙) ， l 妒) = 口i o ) + p l i ) ， ( 2 3 ) 其中口和是复数，且满足归一化要求h 2 + 例2 = 1 。在量子体系中，我们无法准确测量量子比特处 于哪一个本征量子态上，也就无法确定口和的准确值。我们只能说l ) 为1 0 ) 的概率为h 2 ，l 杪) 为 1 1 ) 的概率为俐2 ，这个量子比特的态可介于l o ) 和1 1 ) 之间的任何量子态上。 2 1 3 量子系统演化和常用的酉算子 量子力学第二假设：一个封闭量子系统的演化可以由一个酉( 幺正) 变换来刻圆。即系统在时刻 的状态l 杪) 和系统在f 2 的状态l 沙) ，可以通过一个仅依赖与时间，jt 2 的酉算子溯联系： l y ) = ( s l w ) a ( 2 4 ) 量子力学第二假设描述了封闭量子系统的量子状态在两个不同时刻的关系，对于在连续时间上 的演化可以用s c h r o d m g e r 方程来描述： j 唔) ) = 雷) ， ( 2 5 ) 式中壳称为p l a n e k 常数，詹= o ( x ，只f ) 是系统的h a m i l t o n i a n 算子。 本论文中，并不关心量子演化的时间，只关心初始态和终止态，此时认为酉算子与时间无关。 经典信息处理是对经典比特进行操作，与之类似，量子信息处理是对编码的量子态进行一系列 的控制操作和测量等。与经典操作不同的地方是量子操作通常是可逆操作，遵循酉演化规律。任何 一个酉操作( 即酉算子) 都对应一个有效的量子门，酉操作和量子门是两个等价的概念。理论和实践 表明，如何构造一种能实现量子逻辑运算的所谓量子逻辑门是实现量子通信一个关键问题。根据量 子信息理论，我们知道只要能完成单比特的量子门操作和两比特的控制非门操作，就可以构建对量 子系统的任意酉操作，因此了解一些基本的酉操作显得尤其重要。 由于酉算予可以用酉矩阵来表示，故在介绍常用的酉算子之前先介绍p a u l i 阵。p a u l i 阵指四个 常用的酉矩阵，它们是2 2 矩阵，如下所示： ，= ( 三： ，q = ( ：) ，q = ( ? o l ，吒= ( ：三) 。 c 2 q p a u l i 阵写成外积的形式如下： ，= io ) ( o l + 1 1 ) ( 1 i ，吒= 1 0 ) 0 1 + 1 1 ) ( o i ，q = - * 1 0 ) ( 1 1 + ，1 0 ( o i ，吼= 1 0 ) ( 0 1 - 1 0 0 i ， ( 2 7 ) 驯0 ) _ ( 1 1 ) n 6 东南大学硕士学位论文 驯o ) = 焉14 0 ) + 1 1 ) ) = l + ) v 二 n i l ) = 去q 0 ) 一1 1 ) ) = i - ) ( 2 1 2 ) v z 何 l o ) + i 1 ) 所= 忑l 位+ 历io ) + 忑1 位一) 1 1 ) ) 日操作的矩阵表不为： 日= 击( = 击何悃。 仁柳 【2 ) 二位门 作用到两个量子位上的所有可能的酉操作中，最常见的的一个子集是io ) ( o f o ，+ 1 1 ) ( 1 i o u ，其 中，为单量子位恒等操作，( ，是单量子酉操作。这样的二位门称为控制u 门，第一量子位称为 控制位，第二量子位称为靶位，也称为受控位或目标位。控制u 门对靶位作用j 或者u 取决 于控制位的状态处于f 0 ) 还是1 1 ) 。当控制位状态为1 0 ) 时，控制u 门对靶位作用，操作；当控制 位状态为1 1 ) 时，控制u 门对靶位作用u 操作。例如控制非门( c 研) 的作用效果为： 1 0 0 ) = l o o ) ，1 0 1 ) = 1 0 i ) ，1 1 0 ) = 1 1 1 ) ，i i i ) = l l o ) 。 ( 2 1 4 ) 当且仅当第一量子位为1 1 ) 时，第二量子位才比特翻转。 根据量子力学第四假设，两量子位态矢空间的基底可以由两个一位量子位的基矢的直积构成， 如： i o o ) = ( 1 0 0 0 ) r ，1 0 1 ) = ( 0 10 0 ) r ，1 1 0 ) = ( o o l o ) r ，1 0 0 ) = ( 0 0 0 1 ) 7 ) 。在这组基下，g 刃可以用矩 阵表示为： 2 1 4 量子测量 g 留= l0 ol 0 0 0 o o 0 o o 0l lo ( 2 1 5 ) 量子力学第三假设：量子测量由一组测量算子 a l 描述，这些算子作用在被测系统状态空间 上，指标m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是i 缈) ，则结果脚发生的 可能性由 p ( m ) = ( w i m t m m , , i i 【f ) ( 2 1 6 ) 给出，且测量后系统的状态为： 测量算子满足完备性方程，有m 厶= j 。 前 8 ( 2 1 7 ) 第二章量子安全通信的量。r 力学基础 一个酉算子也满足测量算子的条件，但是因为只有一个决定性的测量结果，是平凡的测量算子， 实际中一般考虑非平凡算子的情形，即测量算子是非酉的。 ( 投影测量亦称为v o nn e u m a n n 测量，p r o j e c t i v em e a s u r e m e n t ) 投影测量由被观测系统状态空间 上的一个可观测量h e r m i t e 算子朋描述。所谓算子朋是h e r m i t e 的即有m t = m 。该可观测量具有谱分 解， m = ，以， ( 2 1 8 ) 一 其中己是到特征勘的本征空间肘的投影，投影己满足己乞= 瓦一只，且满足完备性关系巴= ， 测量的可能结果对应测量算子的特征值肌。测量状态为i f ，) 时，得到结果研的概率为： p ( 朋) = ( y l 已i ”。 若测定结果为m ，测量后量子系统的状态塌缩为： 只i y ) ，( 历) 容易计算投影测量的平均值为： e 似) = _ ( 杪i m l ”。 从这个平均值公式可导出与观测量胁目联系的标准偏差的一个公式： 【( ，) 】2 = = 一 2 。 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 术语“在基i 研) 下的测量”，就是指使用投影算子己= i 肌) 伽i 的投影测量，其中 i m ) ) 构成一组 完备正交基。 o o v m 测量，p o s i t i v eo p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e m e n t ) 在某些情况下，系统测量后的状态几乎没 有什么意义，主要关心的是系统得到不同结果的概率。称为p o v m 形式体系的数学工具特别适合于 分析这类情况的测量结果。 设测量算子帆在状态为i ) 的量子系统上进行测量，如果定义 e 。= m 二m 。 ( 2 2 3 ) 根据量子力学第三假设，可知瓯满足瓦= ，和p ( 所) = 缈l 已l 缈) 。我们把算子e 称为与测量算子 相联系的p o v m 元，完整的集合 瓦 就是一个p o v m 。 容易看出，投影测量是p o v m 澳 量的特殊情况。 2 1 5 密度算子( d e n s i t yo p e r a t o r ) 一个复合系统中的状态可以用向量表示，但是相当一部分向量不能表示为直积( 张量积) 形式， 我们表示复合系统子系统的状态时，就不能完全用向量形式表示，但可用密度算子来表示这部分状 态。一个开放的量子系统，的确可以看作一个更大系统的子系统，但我们不必知道也很难知道这个 更大系统，我们用密度算子表示开放的量子系统状态可以不必关心与之相联系的系统。密度算子语 言为描述状态不完全已知的量子系统提供了一条方便的途径。 9 东南大学硕士学位论文 设量子系统以概率届处在一组状态 | ) 的某一个，其中i 是一个指标，则称 易，i ) ) 为一 个纯态的系综( e n s e m b l eo f p u r es t a t e ) ，系统的密度算子定义为： p = p t i ) ( i 。 ( 2 2 4 ) j 密度算子常称为密度矩阵，一般不区分这两个术语。显然，在一个密度矩阵中，t r (