（轻工技术与工程专业论文）光子晶体的相关理论分析和实验研究.pdf

堑塑丝塑墼坠丝堡磐 光子晶体的相关理论分析和实验研究 摘要 光子晶体是八十年代末提出的新概念和新型光学材料，迄今取 得异常迅猛的发展，是一门正在蓬勃发展的有前途的新学科。光子晶 体不仅具有很高的理论价值，更具有非常广阔的市场应用前景，这 个领域已经成为国际学术界的研究热点和新的产业亮点。 光子晶体是一种存在带隙的周期结构的人造材料，其特点是光 子晶体能够完全反射频率处于带隙内的电磁波或者能够完全抑制频 率处于带隙内的自发辐射。由于光子之间的相互作用可以忽略，因 此光子的能带理论是一种精确的理论。所以，在光子晶体的研究过 程中，其理论研究工作就具有了特别重要的意义。 本文详细介绍了新型光学材料一一光子晶体的概念及其光子带 隙、光子局域、抑制自发辐射、偏振特性等光子晶体的重要特性， 详细介绍了光子晶体的一些主要理论研究方法：平面波法、时域有 限差分法、转移矩阵方法、n 阶法、超元胞法和格林函数法。同时， 本文利用量子力学的观点，从量子的角度也对光子晶体作了一些理 论分析，并做出了一些理论预言。最后简单介绍了光子晶体的最新 发展应用，并对光子晶体的发展前景作了展望。 关键词：光子晶体，光子能带，光子带隙，光子局域态，自发辐射， m a x w e l l 方程组，薛定谔方程 墼墅丝垄墅基堂磐 t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n de x p e r i m e n t a l r e s e a r c ho fp h o t o n i cc r y s t a l s a b s t r a c t t h ep h o t o n i cc r y s t a l si st h en e wc o n c e p tt h a tt h ee n dp u t sf o r w a r d i n8 0 sw i t ht h en e wm a t e r i a l o b t a i n i n gaf a s tf i e r c ed e v e l o p m e n to f a b n o r m a l i t yu pt ot h ep r e s e n t ，i sai sd e v e l o pr a p i d l yo fh a v ep r o s p e c t o fn e wa c a d e m i c s t h et h e o r i e sr e s e a r c ho ft h ep h o t o n i cc r y s t a l sn o t o n l yh a st h et h e o r i e sv a l u e ，b u ta l s oh a sv e r yv a s ta p p l i e df o r e g r o u n d ， t h i sr e a l mh a sa l r e a d yb e c o m et h er e s e a r c hh e a to ft h ei n t e r n a t i o n a l a c a d e m i cc i r c l e st oo r d e r t h ep h o t o n i cc r y s t a li sak i n do fa r t i f i c i a lp e r i o d i cs t r u c t u r ew i t h p h o t o n i c b a n d g a p ，w h i c h c a ne l i m i n a t e e l e c t r o m a g n e t i c w a v ei n p h o t o n i c b a n d g a p b e c a u s ep h o t o n i c b a n d t h e o r y i s a c c u r a t e ，t h e t h e o r e t i c a lm e t h o di sv e r yi m p o r t a n ti ns t u d y i n gp h o t o n i cc r y s t a l s t h et h i st e x ti n t r o d u c e st h ec o n c e p ta n di t s1 i g h ts o no ft h en e w o p t i c a lm a t e r i a l p h o t o n i c b a n d g a p ，l o c a l i z a t i o n o f p h o t o n ， s p o n t a n e o u sr a d i a t i o na n dp o l a r i z a t i o nc h a r a c t e r i s t i ci nd e t a i le t c t h e i m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i ct h eo ft h ep h o t o n i cc r y s t a l s ，t h ea n a l y z et h e t os t u d yt h eat h em e t h o da n dt h es o m et h em a i nt h et h e o r i e so ft h e r e s e a r c hp h o t o n i cc r y s t a l s ：t h ef l a tt h es u r f a c ew a v et h em e t h o d ，t h e h o u rt h ea r e ai st h e l i m i t e dt h et ot h ed i f f e rat h ec e n tt h eat h e m e t h o da n dt h e t r a n s f e r t h em a t r i xm e t h o d ，t h enr a n km e t h o d ， s u p e rd o l l a ra f t e r b i r t hm e t h o da n dg r i l l a g ef u n c t i o nm e t h o d i nt h e m e a n t i m e ，t h i s t e x tm a k e su s eo ft h e s t a n d p o i n t o ft h e q u a n t u m m e c h a n i c s ，a l s om a k i n gs o m ea n a l y s i st ot h ep h o t o n i cc r y s t a l sf r o mt h e a n g l e o ft h e q u a n t u m ，a n dd i d s o m et h e o r i e st o p r e d i c t ，t h e e n d i n t r o d u c e dt h es i m p l ea p p l i c a t i o no fp h o t o n i cc r y s t a l si nb r i e f i i k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ；p h o t o n i c s p o n t a n e o u se m i s s i o n ；l o c a l i z a t i o n o fp h o t o n ， s c h r o d i n g e re q u a t i o n b a n d g a p ( p b g ) ； m a x w e l l e q u a t i o n s ， 光子晶体的相关理论分析和实验研究 1 引言 2 0 世纪，在物理科学发展史上可以被称作为“电的世纪”，电子已经走进我们现代生 活的每一个角落。在过去的5 0 年里，对半导体物理技术的深入研究和广泛应用已经大大 的推动了电子工业和信息产业的迅速发展。半导体微电子技术正日益影响着我们生活的 各个方面，从日常生活的电视、电话等家电用品到工作中的电子计算机、传感器以及各 种电子测试设备，无不渗透着半导体技术的影响，可以说半导体技术已经日益成为我们 工作和生活中不可缺少的组成部分。目前，在量子物理学等基础物理知识的基础上，半导 体技术的发展正向着高速度、高集成化方向发展，为了获得更小的电路体积和更高的信息 交换速度，科技人员进行了不断的研究与探索，但是一系列问题也摆在了人们的面前。比 如线路越细电阻就越大，电路中能量损耗也越大，从而导致集成电路发热。此外，信息传输 速度越高对信号同步的准确性要求也更高，半导体器件的发展潜力已接近了极限。 在全球化迅速发展的今天，对信息科学地发展是个千载难逢的机遇，但半导体技术 似乎已经到了发展的劲头，而这一切的根本原因是半导体器件的工作载流子是电子，由 于电子是费米子，具有静止能量，同时电子之间有库仑相互作用，这就使得微电子的进 一步发展受到电子速度、容量和空间相容性方面受到了很大的限制对信息业来讲，它最 大的梦想之一，就是由光子替代电子传递信息，因为光子具备了电子所不具备的许多优 势，如振幅、相位、频率、偏振等。它是一种以光速运动的玻色子，具有静止质量为零 且光子间相互作用很弱的特点。光子的传播速度快，在介电材料中的传播速度以达到1 0 8 m s 数量级。而电子在金属中的传播速度只能达到1 0 4 1 0 5 m s 数量级，这一特点使的 光子作为信息载体具有响应时间短电子器件的响应时间在1 0 。秒，而光子器件的响应 时间可达1 0 12 秒以上，可并行处理的优势。其次，光作载体每秒可以携带更多的信息，而 且在电介质的传输带宽要远大于金属导线：光纤系统的带宽可能达到l o ”hz 数量级，而 金属导线( 如电话线) 的带宽只能达到1 0 5 hz 数量级。另外重要的一点是，光子之间没有 电子之间那么强的相互作用，使之传输时极大地降低了能量损耗。因此，光子学已经成为 一门新的重要的学科领域，受到了各国科技工作者的广泛重视。 目前我们对光的通信传输、处理和应用还十分有限，虽然我们在利用光传输信息的研 究方面迈出了可喜的一步，即光纤的使用，但信息输入和输出光纤仍然依靠传统的电子器 件，从而大大限类似功能的光学器件的难度很大，使能够集收集、处理、传输于一体的光 学系统无法广泛使用。2 0 世纪8 0 年代末光子晶体的出现可能改变这种现状。光子晶体 的研究已不仅仅是通信领域的问题，它同时对其他相关产业都将产生巨大的影响。 墼墼邕垄垫基墅垄窭 现代电子学的基础是电子能带和带隙。它是由于电子波函数与晶体周期场相互作用 的结果。根据固体物理学理论，晶体中周期性排列的原子产生周期性电势场，该电势场 对其中的电子产生的约束作用使得电子的能量正只能取一些特殊值，在其它能量状态下， 电子无法存在，即电子的能量不可能落在其它的能量区间，该区间通常称之为禁带，该 理论是半导体电子学的基础。到二十世纪末，以电子禁带为基础的电子器件，已经广泛 的应用于生活和工作的各个领域，尤其是促进了通讯和计算机产业的发展，但由于半导 体的工作载体是电子，电子具有静止质量并且相互之间存在库仑相互作用，电子本身的 性质决定了半导体技术的发展具有难以突破的限制。使得电子器件的进一步小型化和低 能耗变得越来越困难，人们转而把目光投向了光子。与电子相比较，同样具有波动性的 光子具有许多优点：传播速度极快而且没有相互作用，用光子代替电子作为信息的载体 将会大大提高信息传输速度和信息处理能力，有可能在信息领域获得突破性的进展，希 望以光子作为信息载体代替电子的作用，希望做出像半导体材料那样的半导体器件一样， 做出可以完全受人们控制得的用光子材料做成得光子器件，这样的光子材料叫做光子晶 体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 。或叫做光子带隙材料( p h o t o n i cb a n dg a pm a t e r i a l s ) ，也有人把 它叫做电磁晶体( e l e c t r o m a g n e t i cc r y s t a l s ) 。 光子晶体被认为是一种介电常数随空间周期性变化的新型光学微结构材料。1 9 8 7 年， e y a b l o n o v i t c h 在研究材料的辐射性质时和s j o h n 在研究光子局域态时。1 几乎同时发现 介电常数呈周期性变化的结构会使材料中光予模的性质发生变化，从而提出了光子晶体 ( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 的概念。研究表明，当电磁波在这种周期性结构的材料中传播时， 电磁波的色散曲线同样会形成类似于半导体能带和带隙结构的光子能带和光子带隙这一 结构，在光子晶体中，只有那些频率对应在光子能带中的光才能在光子晶体中通过，而 那些频率和光子带隙不对应的光则被完全禁止通过。光子的晶体的这种特性具有较高的 理论研究价值和潜在的应用前景。随着光子晶体的深入研究，我们相信，正如半导体材 料的发展极大地推进了微电子学和电子产业的发展一样，对于光子晶体的研究也将会在 光子学和光电子学的发展中产生巨大的影响，并且极大的促进光予产业以及光电子产业 的发展。 2 光子晶体的特征 2 1 光子带隙 我们知道在半导体材料中，由于周期势场的作用，电子会形成能带结构，带与带之间 有能隙( 如价带与导带) ，使电子的能谱具有带状结构。在光子晶体中，由于介电常数存在 空间上的周期性，对在其中传播的光波的折射率同样有周期性分布，光波的色散曲线也会 形成带状周期性结构，带与带之间可能出现类似于半导体禁带的“光子带隙”( p h o t o n i e 堑堡丝墅壁些丝堑垫磐 b a n dg a p ) 。所以，对光子晶体的研究，可以采用和半导体材料相似的方法来进行。 光子晶体的一个重要特征是存在“光子带隙”( p h o t o n i cb a n dg a p ) 。光子晶体指的 是这样一类微结构材料，这种材料的结构是周期变化的。具体到大多数由非磁性、电介 质构成的光子晶体上，则这种人造微结构材料的材料周期性就可以表示为其介电常数的 周期性变化。当波长为a 的电磁波入射到这种材料上时，如波长2 可以和这种变化的周 期性相比拟时，则由于多光束的干涉现象，一般会产生所谓的“光子带隙”，就是指在 一定频率范围内的光子，在这一频率的电磁波模在光子晶体内的某些方向是被禁止严格 传播的。换句话说，对于这种微结构材料，可能存在某些频率范围。在这些频率范围内， 入射的电磁波被全部反射掉，从而无法透射过这种材料。通过解这类材料中的电磁波所 满足的m a x w e l l 方程，就可以得到这类材料的能带结构。光子晶体和半导体材料具有相 似的结构，介电常数随空间周期性变化产生了一定的“势场”，当两种材料的介电常数 相差足够大时，在电介质界面产生了光子带隙，光子能量落在带隙的光将不会传播过去。 同时，光子带隙不仅与光子的能量有关，而且与电磁波的传播方向有关。光子禁带的出现 依赖于以下几个因素：一是光子晶体的结构，二是介电常数的配比，三是光子晶体的几何 构形。一般说来，如果光子晶体中两种介质的介电常数的差异足够大，在介质交界面就会 发生布拉格散射，而且介电常数比值越大，入射光被散射的越强烈，出现光子禁带的可能 就越大。 所谓能带、带隙指的就是在求解m a x w e l l 方程中所得到的电磁波频率与波矢之间的 色散关系。而波矢在这里有两方面的含义：电磁波的波长以及它的传播方向。光子带隙 可以分为不完全光子带隙和完全光子带隙，所谓不完全光子带隙，就是随着光在晶体传 播方向的改变，可能在某一方向被禁止传播的光线在其他方向却能传播，这种光子带隙 被叫做不完全光子带隙；而完全光子带隙，就是在各个方向上都存在带隙。这种带隙也 称为绝对带隙。 考虑到作为玻色子的光子和费米子的电子的不同，光子带隙与电子带隙的能带结构 也有着本质的区别，这种区别体现在：电子的基本色散关系是抛物线状的，而光子的 基本色散关系是线性的；电予的自旋角动量是1 2 ，其能带结构可以形成标量波近似。 光子的自旋角动量是1 ，而矢量波的特性在能带的形成中起主要作用；由于电子一电子 的库仑排斥作用，电子的能带理论只是近似理论，而光子之间的相互作用可以忽略，认 为光子之间没有相互作用，因此，光子晶体的能带理论是精确的。 光子晶体的应用以及光子晶体的主要特性，全部建立在光子晶体的这种对电磁波的 反射、透射特性基础之上，因此，光子晶体的研究的一个重要工作就是确定光子晶体的 能带结构，或称色散关系。 通过对光子晶体能带的深入研究，人们发现影响光子晶体能带和带隙的主要因素包 - 一坤! t 墼墼墼垄墼甚笪鳖 括：( 1 ) 组成光子晶体材料的介电常数比。通常情况下，这个值大于3 时，才会出现绝 对带隙。( 2 ) 高、低介电常数材料在点阵中的占空比。( 3 ) 光子晶体的几何结构。( 4 ) 对称程度，为了获得绝对带隙，应该尽可能使光子晶体的布里渊区成为球形，但对称性 的加大反而会引起带隙的简并，从而减小带隙。 对于二维的密堆积排列和三维面心立方结构，通过改变晶格常数和对称性，可以使 所有方向的能隙重合，就得到了完全光子带隙，此时晶体的电容率对比值还要大于2 o 。 要得到完全带隙的光子晶体材料，应从以下两个方面进行：( 1 ) 周期性电介质的电容率 比值要足够大，既要有高的折射率差；( 2 ) 从结构上消除对称性引起的能带简并。 圈l 一地兜乎矗体镫阪坫鞫 f i g 1t h eb a n dg a ps t r u c t u r eo fl dp h o t o n i cc r y s t a l 2 2 光子局域 光子晶体的另一个重要性质是“光子局域”( p h o t ol o c a l i z a t i o n ) 。是j o h n 于1 9 8 7 年提 出的，所谓的光子局域，就是如果在光子晶体中引入某种杂质或缺陷，将会在光子带隙中 产生相应的缺陷能级，在带隙中将出现局域态。1 ，和缺陷态频率相同的光予可能被局限 在缺陷位置或只能沿缺陷位置传播，一旦偏离缺陷位置光就将迅速衰减，这种缺陷模形 成的局域态给光学领域带来全新的应用。 正如在半导体的应用中，掺杂站着极其重要的地位一样。在光子晶体的应用中，缺 陷的引入同样占着很重要的作用。所谓缺陷，就是指在周期性变化的光子晶体中，引入 非周期性因素。引入缺陷的目的，一般是为了研究带隙内以及带边上的透射行为，也就 是所谓的缺陷态问题。在光子晶体中，如果引入点缺陷，那么在光子晶体内将形成高品 质的激光谐振微腔，如果引入线缺陷，那么在光子晶体内将形成光波导，如果引入面缺 陷，那么在光子晶体内将形成一个完全镜面。另外，二维晶体对入射电场方向不同的 t e ，t m 两种偏振模式的光具有不同的光子禁带。 2 3 抑制自发辐射( p u r c e l l 效应) 垄塑堡些踅墼垡堡墼塑 8 0 年代以前人们一直认为自发辐射是一个随机现象，不能人为控制。它将不可避免 的与受激吸收与受激辐射共存。p u r c e l l 在1 9 4 6 年提出自发辐射可以人为改变和控制，但 是他的观点没有受到足够的重视。直到光子晶体概念提出来以后，人们才改变了这个看 法。自发辐射不是物质的固有性质，而是物质与场相互作用的结果。自发辐射几率由费 米黄金定则给出： w = 警- i v l 2 p o ) ， ( 1 ) ， 式中l v i 称为零点r a n 矩阵元，是光场态密度。自发辐射几率与态密度成正比，据此可以 看出，光子晶体可以抑制自发辐射。将自发辐射原子放在光子晶体中，而其自发辐射频 率如果刚好落在带隙中，则因带隙中该频率之态密度p ) 为零，自发辐射几率也就为零， 这样就可以拟制了自发辐射。反之，若光子晶体中加入杂质，光子带隙中就会出现品质 因子很高的缺陷态，具有很高的态密度，这样就可以增强自发辐射，这种控制自发辐射 的现象称为p u r c e l i x 应。 艇 翻 褥 叶 浆 ( a ) 嫠 黼 糙 斗 誓 ( b ) 缺陷态 璇翠 4 | 门 顿率 f i g 2 ( a ) p e f e c tp h o t o n i cc r y s t a l ( b ) d e f e c tp h o t o n i cc r y s t a l 图2 ( a ) 抑制自发辐射( b ) 加强自发辐射图 2 4 偏振特性 以二维光子晶体为例，垂直于周期平面( x ，y ) 的方向为z ，对于i n p l a n e 传播， 当电场方向平行于z 方向时，称为p 偏振态( t m 模) ，当磁场方向平行于z 方向时，称为s 偏振态( t e 模) ，这两个偏振模式是独立传播的。对于一维光子晶体，还有一些独特现 象，如超折射现象一对入射光速展宽和分光等效应，时间延迟效应，带边激光，超强光 学双折射现象，负折射现象，非线性光学现象等。 另外，光子晶体和普通光学材料不同，它还具有特殊功能。这些主要功能为：具有 超棱镜效应、超校直效应、超透镜效应、复折射效应以及绝缘性、弯曲性等。利用光子 晶体的这些特性可以做出尺寸很小而功z 日, 。e , 很z 强的光予器件。 3 光子晶体的分类和结构 ” ，一+ 墼墅堕垄垫生墅墼 根据光子晶体的能带结构及其空间分布的特性，光子晶体可以分为一维光子晶体 ( i d ) 、二维光子晶体( 2 d ) 、三维光子晶体( 3 d ) 需要指出的是，在带隙排列的方向并不等同于带隙出现的方向，在一维光子晶体和二 维光子晶体中，也可能出现全方位的三维带隙结构。 3 1 一维光子晶体 一维光子晶体是指在一个方向上具有光子频率禁带特性的材料，它是有两种介质交 替叠加而成这种结构在垂直于介质片的方向上介电常数是空间位置的周期性函数，而在 平行于介质片的方向上介电常数不随空间位置而变化这样的光子晶体在光纤和半导体 激光器中已得到了应用。所谓的布拉格光纤和半导体激光器的分布反馈式谐振腔实际上 就是一维光子晶体。 1 一dp h o t o n i cc r y s t a l f i g 3t h es t r u c t u r eo fi dp h o t o n i cc r y s t a l 图3 一维光子晶体结构图 3 2 二维光子晶体 二维光子晶体是指在二维空间各个方向上具有光子频率禁带特性的材料，它是有许 多介质杆平行而均匀排列而成。这种结构在垂直于介质杆的方向上( 两个方向) 介电常 数是空间位置的周期函数，而在平行于介质杆的方向上介电常数不随空间位置而变化。 有介质杆阵列构成的二维光子晶体的横截面存在很多种结构，如矩形、三角形、和石墨 的六边形结构。横截面积不同，获得光子频率禁带宽窄也不一样，三角形和石墨的六边 形结构的光子频率禁带范围较宽。为了获得更宽的光子频率禁带范围，还可以采用同种 材料但直径大小不同的两种介质圆杆来构造二维光子晶体。 2 - dp h o t o n i cc r y s t a l f i l l 4t h e l 嘲钟h f e 臼f 昼dp h o 怡n l 。毒憎l 嘲 圈4 二维光子晶体结构 3 3 三维光子晶体 三维光子晶体是指在三维空间各个方向上都具有光子频率禁带特性的材料。第一个 具有实际可行性的光子晶体结构是由依俄华州立大学的k m h o ，c t c h a n 和c m s o u k o u l i s 等首先从理论上提出来的，美国贝尔通讯研究所的e y a b l o n o v i t c h 创造出世界 上第一个具有光予频率禁带的三维光子晶体，它是一种由许多面心立方构成的空间周期 性结构，也称为钻石结构。 3 dp h o t o n i cc r y s t a l f i g 5t h es t r u c t u r eo f 2 - dp h o t o n i cc r y s t a l 图5 三维光子晶体结构 4 光子晶体的理论研究 关于光子在光子晶体中的运动规律与电子在固体品格中的运动规律类似，人们通过 类比套用了许多固体物理的概念，如倒格子、布里渊区、色散关系、布洛赫波、缺陷态等 来讨论光子的运动规律。因此在固体物理中适用的解薛定谔方程的方法都可用于光子晶 体的理论计算中，例如平面波展开法、紧束缚方法、有效差分时域法、多重散射法、格林 函数法等，另外还有转移矩阵法、界面响应理论方法、超原胞近似等一些方法。与电子的 能带计算不同，由于光子之间没有相互作用，因此解方程得到的光子能带几乎是完全准确 的。 光子晶体中研究对象是玻色子一光子，光子能带理论是矢量波满足m a x w e l l 方程组， 无源m a x w e l l 方程组 h = s o o w ( ，) 掣, a x e = - , u o x o ) 掣 对于频率为国的定态波场，e h 上式可以得到 ( 2 ) 照笪堇垒塑兰邀 羽1 舣2 等川 若设口= a x 去为一算符，则与哈密顿方程比较，上式就是光子的本证方程， 占扩j h o ) 就是一个特征向量，筹就是一个本证值，采用傅立叶变换将其变换到波矢空间， 则上式可以变为 k e = n w o e ，x = 一s o 盯纠， ( 4 ) 后协删 一等日 s f r l 是具有空间周期性的宏观介电常数，h 的解完全由s t 的对称性和强度决定，若 盯呈现无缺陷的完美周期性，则此解由波矢和能带指数疗表征，所有被允许的波矢区 域被称为简约布里渊区，所有解的集合及未能带结构。 ( 3 ) 和( 5 ) 是表征的光子本征方程具有两个特点：1 ) 光子之间没有相互作用。在 光子晶体中，光子除受晶格一介质交界面的散射外，它们之间没有相互作用，晶体的散射 由占( ，) 的周期性表示，光子磁场可以精确求解。2 ) 没有基本的长度标准。m a x w e l l 方程 没有长度标准，若s ( r ) 与无关，则晶格常数口之光子晶体在频率为时的能带结构与 晶格常数兰之光子晶体在频率为2 缈时的能带结构相同：即在长度标度为m m 下设计的光 子晶体，其禁带宽度为爿，则在另一长度标度为，删下设计的光子晶体，其禁带宽度为 1 0 3 4 ，这对设计制作光子晶体带来了极大的方便。 如何求解光子晶体的本征方程，至今已发展了很多方法，下面做一简要介绍。 4 1 平面波法 它的基本思想是：将电磁场以平面波的形式展开，可以将麦克斯韦方程组化成一个 本征方程，求解该方程的本征值便得到传播的光子的本征频率。这种方法的不足之处是 当光子晶体结构复杂或处理有缺陷的体系时，可能因为计算能力的限制而不能计算或者 难以准确计算。而且如果介电常数不是常数而是随频率变化，就没有一个确定的本征方 程形式，这种情况下根本无法求解。 1 9 9 0 年，美国的何启明、陈子亭和s o u k o u l i s h d x 组便是利用平面波法第一个成功地预 言了在一种具有金刚石结构的三维光子晶体中存在完整的光子禁带，禁带出现在第二条 和第三条能带之间。电磁场在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，可以将麦克斯韦方程 组化成一个本征方程，求解的本征值便得到传播光予的本征频率。但是这种方法有明显的 缺点：计算量几乎正比于所用平面波数的立方，因而受到严格的约束，对某些情况显得无 能为力。如当光子晶体结构复杂或处理有缺陷的体系时，需要大量平面波，会因计算能力 的限制而不能计算或难以准确计算。如果介电常数不是恒值而是随频率变化，就没有一个 确定的本征方程形式，展开中可能出现发散，导致根本无法求解。 4 2 时域有限差分法 时域法是解麦克斯韦的时域方程形式 a x h ：望+ ， a t e ：塑 a 时域有限积分法，f d t d ( f i n i t e d i f i e r e n c et i m e d o m a i n ) 是1 9 6 6 年y e e 首先提出的。 该方法是将一个单位原胞划分成许多网状小格，列出网上每个结点的有限差分方程，利用 布里渊区边界的周期条件，同样将麦克斯韦方程组化成矩阵形式的特征方程。该矩阵是准 对角化的，其中只有少数的一些非零矩阵元，明显减少了计算量，节省了计算机内存。该方 法的缺点是没有考虑晶格点的形状，遇到特殊形状格点的光子晶体时，难以求得精确解。 4 3 转移矩阵方法 将磁场在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成转移矩阵形式，同样变成本征 值求解问题。转移矩阵表示一层格点场强与相邻另一层格点场强的关系，它假设在构成的 空间中在同一格点层上有相同的态和相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从 一个位置外推到整个晶体空间。该方法有效地解决了介电常数随频率变化的金属系统， 计算量正比于实空间格点数的平方，因而计算量比前种方法也大大降低，精确度非常好， 而且能计算反射系数及透射系数。 4 4n 阶法 该方法引自电子能带理论的紧束缚近似，是由y e e 于1 9 6 6 年所提出的时域有限差分 法发展而来。该方法的基本思想是：从定义的初始时间的一组场强出发，根据布里渊区的 边界条件，利用麦克斯韦方程组可以求出场强随时间的变化，最终求解出能带结构。该方 法计算量只与组成系统的独立分量数目n 成正比。但是在处理a n d e r s o n 局域和光子禁带 中的缺陷态等问题时，计算量剧增。 4 5 超元胞法和格林函数法 引入缺陷的光子晶体在激光或光学回路中有广泛应用。计算有缺陷、多点缺陷、线 缺陷以及表面态的光子晶体能带时可以用超元胞法进行平面时展开。当混有多种缺陷时， _ f 。1 0 墼型垄璧堡壁丝 可以采用格林函数法。格林函数法已经用的相当成熟和准确这一方法早先首先用于研 究电子导体和晶格振动系统的杂质模，后来用于研究磁系统中的单个磁杂质，现在直接用 来研究光子晶体中的杂质能级。 4 6 利用薛定谔方程求解一维光子晶体中的禁带 考虑到一维光子晶体是由两种不同相对介电常数( 昏) 的薄层交替构成，相对介 电常数为的材料厚度为a ，相对介电常数为毛的材料厚度为b ，空间周期为d = a + b ， 如图6 所示 f i g61 - dp e r i o d i cd i e l e c t r i cs 扫瑚n 图6 维光子晶体结构 当一束频率为c o 的光正入射到一维光子晶体材料中时，其电场强度矢量所满足的 m a ) ( w e l l 方程为：一v 2 e + v ( v e ) 一等乞( r ) e = 等岛e 其中8 0 为介质的平均介电常数。e a ( r ) 扰动介电常数，在如图3 的示意图中周期性介 质的介电常数满足关系： 乞( r ) = 乞( r + d ) 对于光子晶体所满足的上边两个方程式，类似于电子能带理论中的薛定谔方程， 眠 l 一- - = v 2 + v ( r ) 卜 其中等效势场v ( r ) 具有周期为晶格常数b 的周期性 v ( r ) = y ( r + r ) 比较上边的式子，可以发现他们的形式十分相似：7 ( 0 2 巳( r ) 类比于y ( r ) ，等岛类 比于e 。因此可以看出，光子在一个折射率周期变化的结构中的运动规律类似于电子在 周期性势能变化下的运动规律：具有能带结构，在一定条件下，具有光子能隙。因此把 具有光子能带和能隙的周期性介电材料成为光子晶体。实际晶体的概念和运动规律也可 以推广到光子晶体中去。 考虑到电子是费米子，光子是玻色子，忽略光子的非线形效应，考虑到光子在周期 性折射率结构材料中的行为和电子并不完全相同，且认为s ( ) = 岛，则光子所满足的 m 删l 方舸以简慨一百v 2 e ( x ) 一学( 垆0 ) 2 e e ( x ) m a ) 【w e l l 方程可以简化为： 一矿一二_ 二广 【x j =( x j 其中介电常数s ( x ) 具有周期 占( x ) = 毛 s ( x ) = ( 一a 2 + n d 石 a 2 + n d ) ( a 2 + n d t 7 4 。其次，胶体晶体的有序度可以容易地控制，有利于研 究晶体的有序度与带隙宽度的关系。第三，可通过胶体颗粒的粒径和排列方式灵活地设计 晶体的点阵参数，使光子带隙的位置有很宽的变化范围( 从可见光到红外、微波区等) 。 第四，可得到大面积的样品。第五，胶体颗粒有较光滑的表面、球形几何及较小的分散度 ( 5 ) ，因而对光呈几乎完美的散射，而且其光吸收系数十分小，光散射几乎是弹性的。 胶体晶体中单分散二氧化硅( s i 0 2 ) 和聚苯乙烯( p s t ) 颗粒是目前最广泛使用的制各光 墼墼丝笪堡垄雀 子晶体的材料。胶体颗粒的聚集过程主要包括重力沉降、扩散和结晶等 2 0 。人们已 采用了许多方法来制各高质量的胶体晶体，目前主要有以下几种： 5 2 1 准平衡蒸发法 当样品池的底面积远大于其高度时，在室温和室内相对湿度下，水的蒸发速度太快， 悬浮颗粒来不及弛豫到其正常的点阵点处。s u n 等提出了用准平衡蒸发沉降技术来得到 高质量的晶体结构。他们是让聚苯乙烯( p s t ) 胶体颗粒的沉降在较高的相对湿度( 约9 0 ) 下进行，待沉降过程即将结束时，其相对湿度再降至与室内湿度接近，这样，表面与内部的 水分被蒸发而不引起晶格点阵变形，得到高质量的p s t 空气型晶体结构，其介电常数配 比比p s t 水大3 0 ，具有较强的光子带隙效果。 5 2 2毛细作用力组装法 这种方法是以两相互不相溶的液体分散形成的珠滴表面为模板，以液一液界面处的 毛细作用力为驱动力使球形液滴表面的固体颗粒自组装成三维有序的微结构。这种方法 不但可以将毫米或亚毫米尺度的微粒自组装成四面体、立方体等微结构，而且还可将亚微 米级的胶体颗粒组装成三维有序较大粒径的球形空心粒子。 5 2 3 胶体外延法 将含胶体颗粒的悬浮液置于一个底部刻有定槽纹的容器中，这种槽纹实际上是由 规则的微坑( 或空洞) 按面心立方结构( 或其它结构) 的某晶体学面排列而成。当胶体悬 浮液中的微球在重力的作用下从底部开始结晶时，胶体晶体将按这种预置的晶体学面取 向或外延生长，这种方法又称为模板定向法。其模板通常是用电子束光刻技术制作，因而 排列微球的尺寸受到了一定的限制。嵌段共聚物等在固态膜中可以形成规则分布的微区 结构，因而，可作为模板进行纳米尺度颗粒的有序自组装。 5 2 4电泳沉积法 该法是在直流电场中，带电的胶体颗粒定向移动并在电荷相反的电极上沉积的过程。 粒子沉积时的“气2 液2 晶”相转变，可通过电流的大小来调节。为了防止水的电解产生的 气泡影响胶体颗粒的有序结晶，其介质采用水2 乙醇混合溶剂。该法可将胶体颗粒的有序 堆积时间缩短至几分钟，而且利用电泳技术还可在形成的三维光予晶体的空隙中填充 c d t e 纳米晶体，以调节其光子带隙。h a s e 等采用介电电泳的方法将悬浮在硅树脂中的二 氧化硅颗粒排列成三维有序结构，加热时，树脂被固化，将形成的三维有序胶体晶体结构 固定。可在形成的三维光子晶体的空隙中填充c d t e 纳米晶体，以调节其光子带隙。 h a s e 等采用介电电泳的方法将悬浮在硅树脂中的二氧化硅颗粒排列成三维有序结 垄墼丝丝蹩塑塑堑墼鲤 构，加热时，树脂被固化，将形成的三维有序胶体晶体结构固定。 5 2 5电( 磁) 流变技术 电( 磁) 流变液是指高介电常数( 磁导率) 的颗粒分散在绝缘油( 如硅油) 基液中形 成的悬浮液。理论计算和实验表明，在外电场( 或磁场) 的作用下，电( 磁) 流变液悬浮的 颗粒能形成链或柱状结构，其基态为体心四方( b c t ) 结构。若该悬浮颗粒是具有高介电常 数( 磁导率) 的单分散微球，则可尝试用电( 磁) 流变技将微球排成三维有序的晶体结构。 对电、磁场作用都有明显 极化响应的固体颗粒与基液混合构成的电一磁流变液，在方向互相垂直的电、磁场作用下 悬浮颗粒会形成三维网状花样结构。若悬浮颗粒为单分散粒子则可形成f c c 与b c t 结构 视外加场的大小而定。该技术提供了一种制备可调节转换晶体结构的独特方法。 5 3反蛋白石结构法 自1 9 9 7 年v e l e v 等首先用经阳离子表面活性剂c t a b 浸泡过的聚苯乙烯颗粒形成的 胶体晶体为模板，合成了含三维有序排列的空气球的二氧化硅反蛋白石材料以来，人们已 相继合成出了各种含三维有序大孔的无机物、有机聚合物等反蛋白石结构，并尝试其作为 光予带隙材料的应用。 5 3 1 无机物反蛋白石结构 除了二氧化硅反蛋白石结构外，ju d i t h 等用离心场形成的聚苯乙烯胶体晶体为模 板，合成了孔径在1 2 0 1 0 0 0 n m 可调的含三维有序空气球的二氧化钛反蛋白石结构，由于 t i 0 2l e s i 0 2 有较高的折光指数，具有更强的光子带隙效果。h o l l a n d 等直接使单分散的 聚苯乙烯颗粒在布氏漏斗上以负压作用有序堆积成胶体晶体，然后向其孔隙中渗入氧化 硅、氧化钛、氧化锆、氧化铝的前驱液，煅烧后制得含三维有序大孔的各种金属氧化物材 料。1 9 9 9 年，v e l e v 等将直径为1 5 2 5 n m 的金胶体粒子渗入到聚苯乙烯胶体晶体中，在 3 0 0 下煅烧得到三维有序大孔的金属金反蛋白石结构。 z a k i h i d o v 等以单分散的s i 0 2 胶体晶体为模板，制得了石墨、金刚石及玻璃态的有 序多孔碳。与蛋白石材料一样，这种材料也会显示出强烈的颜色效应，并尝试用作光子带 隙材料。v l a s o v 等以s i 0 2 胶体晶体为模板，制得了硒化镉( c d s e ) 有序大孔量子点阵固 体材料。类似地，b l a n c o 等以s i 0 2 胶体晶体为模板，用化学气相沉积法向其空隙填入硅， 形成纯硅反蛋白石结构的光子晶体，这两种半导体反蛋白石结构可用作半导体光予带隙 材料，有利于与半导体微电子器件集成。总之，