均方差分析.docx

第1章 均方差分析学习目标学习目标用思维导图表示投资组合数学的基本概念投资组合投资组合是将资金按照一定比例（权重）分配，分别投资到其他不同股票（或其他资产）的投资管理模式。尽管我们研究更广意义的资产，但是为了表述方便，理解直观，我们仅以股票作为投资标的。投资组合将是我们主要研究对象。事实上正是Markowitz的现代投资组合理论使得金融学从经济学科中独立出来，Markowitz也因此而获得了诺比而经济学奖。可见投资组合理论的重要意义。投资组合涉及三个基本概念，资金总额、权重和一揽子股票。权重是一组数值，我们设定股票i的权重是xi，那么xi=投资股票i的资金资金总额对于存在卖空的情况下，权重可以小于零，其意义是卖空该股票。所谓卖空，可以简单理解为“先收钱，后还钱”的交易，比如卖空股票，就是从其他机构比如经纪人借入一定数量的股票，并以一定价格卖出，通常是现价，于是获得现金，未来再买入相同数量的股票，归还经纪人，如果未来股票价格下跌，那么扣除手续费后，这笔卖空即可赚钱。不管是否卖空，投资组合权重相加应当等于1。即inxi=1其中n是投资资产种类数。这是因为资产是充分配置的，即每一种资产都有一个权重，包括留存现金也是一种配置，也有相应的权重。投资组合两种计算方法比率法RP=期末投资组合价值期初投资组合的价值-1投资组合加权平均法详细内容见下节总资产100000万元，可以投资于A、B两只股票，由于B股票看跌，所以30%的资产卖空股票B（借入2000股B，并以每股15元价格卖出），80%的资产投资于股票A，持有现金资产由两部分构成，购买股票A的剩余资金，以及卖空股票B获得的现金。未来股票B价格跌至13元，则可以买入同样股数B，归还2000股B股票。如果股票B未来超出预期上涨至每股16元，那么该投资组合的收益率会是怎样呢？投资组合方差和收益率投资组合收益率投资组合的收益率表示为：RP=x1r1+x2r2+xnrn=i=1nxiriRp是投资组合收益率，ri是第i个股票的收益率。投资组合收益率和统计学中期望概念和计算方法类似。其统计学意义在于将收益率的波动消除，或者形象地说成将波动“熨平”。投资组合的期望收益率表示为：ERP=Ex1r1+Ex2r2+Exnrn=x1Er1+x2Er2+xnErn=i=1nxiE(ri)投资多元化的作用的例证组合方差、标准差和协方差现实中收益和风险总是相伴而生的。投资者关注收益率同时也关注风险，表示风险的统计量有很多，在均方差分析理论中，将风险定义为收益率的方差。方差定义为：Varr=E(r-E(r)2 我们可以用Excel方便的计算方差，其步骤是：l 计算期望收益率；l 计算每个收益与期望收益的平方和 通常称之为离差；l 计算每个期望收益概率与对应“平方和”的加权平均。我们可以用多种方法计算本章的结果，其中有根据定义计算，这样便于读者了解每个统计量的定义和计算方法；还可以通过Excel的内置函数计算，这样很简便可靠。协方差表示两组数据之间的相关关系，协方差定义：Covx, y=Ex-Ex(y-Ey)关于协方差的理解我们有时也用xy表示X和Y的协方差。计算协方差步骤：l 分别计算两个变量各样本数据与期望之差l 计算两个变量差值乘积l 计算概率与对应差值乘积的加权平均。原则上讲，协方差是有量纲单位的，但是我们通常需要无量纲的标准化分析，这就得出了相关系数的概念，相关系数是协方差的标准化，也就是去除量纲单位，并调整在-1,1范围内的一种特殊协方差。相关系数通常用表示，定义是：=Cov(x,y)VarxVar(y)该公式表明了将协方差转换为相关系数的方法。在本章中我们经常会用到这个公式的变形Cov(x,y)=VarxVar(y)这一变形表明了根据相关系数转求协方差的方法。期望收益、方差和协方差的计算都需要计算期望，对于离散情况下，期望表示为两组数的对应乘积之和。Excel有专门的函数计算，关于sumproduct的使用见附件。例 1：有股票X和Y其收益率和概率如下表所示，计算其期望收益率、方差和标准差。图表 11首先根据定义计算期望收益率，用A列中的每个概率，分别乘上B列的X的每个收益率，并将这些数值相加，即EX=0.211%+0.29%+0.225%+0.27%+0.2-2%本例中使用sumproduct函数计算X和Y的期望收益其公式是：=SUMPRODUCT($A$2:$A$6,B2:B6)和=SUMPRODUCT($A$2:$A$6,C2:C6)。根据定义计算方差，先计算X和Y的离差，利用先前计算的预期收益率，可以很容易计算离差，如图表 11所示区域E1:F6是离差，方差计算公式分别是：=SUMPRODUCT($A$2:$A$6,E2:E6)和=SUMPRODUCT($A$2:$A$6,F2:F6)。区域E12:G16是计算协方差的中间步骤，分别表示计算协方差步骤中的X-E(X)、Y-E(Y)和(X-E(X)(Y-E(Y)，最终在此基础上计算协方差，具体公式是：=SUMPRODUCT(A2:A6,G12:G16)。相关系数的计算直接利用定义即可得出：=B16/SQRT(B12*C12)，协方差分别处以两种收益的方差。有了以上计算基础，我们可以模拟各种可行的投资组合（可行投资组合），利用Excel的模拟运算表功能可以很方便的进行这种模拟。1.1.1.1 两种股票构成的投资组合的方差。两种股票的收益r1和r2，方差1和2，投资权重为x1和x2，其投资组合的方差为：Varx1r1+x2r2=x1212+x2222+2x1x21212是两种股票收益的协方差。例 2：续例 1，在不考虑买空的情况下，我们在0-1之间任意设定X的权重，Y的权重就等于1减去X的权重，再利用已经计算出来的协方差，套用两种股票投资组合方差计算公式和标准差方差关系就可以计算出投资组合的标准差了。B19公式=1-A19C19公式=SQRT(A202*B$12+B202*$C$12+2*A20*B20*$B$16)，括号内的就是投资组合方差公式，SQRT是对方差求平方根得出标准差。D19公式=A19*$B$9+B19*$C$9，是投资组合期望收益公式套用。对于任意给定的x权重，Y的权重会自动计算，并且计算出标准差和期望收益。1.1.1.2 多种股票构成的投资组合方差。由n种股票构成的投资组合的方差计算公式是：是股票i和j之间的收益协方差。但是公式相对而言不易记忆而且计算量较大，当数量巨大的时候，不用软件编程很难通过公式实现。但如果用Excel计算，可以大大简化计算量。我们构建了基于Excel的都种股票构成投资组合的方差计算方法，步骤是：l 构造权重乘积矩阵l 构造协方差矩阵l 将两个矩阵中对应元素相乘l 将乘积相加既是投资组合方差。例 3 有1、2、3三只股票，其方差分别是0.04、0.06、0.09，协方差分别是1和2的协方差0.002，1和3是0.001，2和3是0.005，组合权重是1/3、1/6和1/2，求该投资组合方差。第一步构造权重乘积矩阵。如图将权重纵横围绕在33的矩阵区域。可以先在A3:A5区域输入权重值，然后选中B2:D2区域，输入公式=TRANSPOSE(A3:A5)，按住ctrl+shift，再按enter（即三键齐按），则自动将数据“横”过来了。也可以通过复制A3:A5数据，然后选中B2，再选择“选择性粘贴”，选择“转置”，Excel可以自动将数据转置 读者可以从数据的维护性等角度比较两种方法的优劣。然后在B3单元格输入公式=$A3*B$2，然后横向拖动复制公式至D列，再纵向拖动复制公式至第5行。这时计算结果B3:D5区域显示的就是权重乘积。“$A3”表示在拖地复制公式过程中，单元格引用坐标列不变，行可以变；“B$2”表示列可以变动，而行号不变。第二步构造协方差矩阵。在此题目给出了协方差和方差，我们只需要根据顺序将数据排列成如图的协方差矩阵即可。协方差矩阵的左上到右下对角线是方差。这是因为方差是协方差的“退化”。其他单元格是协方差，如G2单元格表示股票1和2的协方差。第三步，计算两个矩阵相对应元素的乘积。如图：第四步，计算这些乘积的和。其公式是=SUM(B7:D9)，结果是0.03.如果读者对矩阵有更多的理解，可以使用Excel的矩阵函数，更加方便地计算多种股票组成的投资组合的方差。可以将公式转化为矩阵形式：通过Excel命名A3:A5为w，B2:D2为wt，将区域G矩阵计算3:I5定义为V，则可以通过矩阵计算投资组合方差，公式是=MMULT(wt,MMULT(V,w)。MMULT函数是计算两个矩阵的乘积，返回结果是一个矩阵。计算三个矩阵乘积，则需要先计算两个矩阵乘积，再将得到的矩阵与第三个矩阵相乘。投资组合收益率与股票收益率的协方差我们考察一种股票和一个包含该股票的投资组合构成的投资组合。在计算这种投资组合的方差之前，我们先计算这个股票和投资组合之间的协方差，然后利用这个结果计算新投资组合的方差。相关系数和投资组合风险分散化一种股票和一个投资组合的收益协方差投资组合之间的协方差两个包含n个股票的投资组合，投资组合的权重分别是(x1,xn)和(y1,yn)，则两个投资组合收益率的协方差是：矩阵表示形式为：所以计算两个投资组合的收益协方差可以通过Excel的矩阵函数实现。例 4具体例子如下：已知协方差矩阵，且两个投资组合的权重分别为（1/3,1/6,1/2）和(1/3,1/3,1/3)，求其收益协方差。将两个投资组合的权重分别输入区域L2:N3，在L5中键入公式=MMULT(MMULT(L2:N2,V),TRANSPOSE(L3:N3)，并按组合键shift+ctrl+enter，即可求得协方差。L5公式的含义是计算三个矩阵乘积。均值-标准差图均方差图概念由于投资者往往同时关注收益和风险，而收益和风险是用均值和标准差度量的，因此我们有必要同时研究均值和标准差之间的关系。这种关系可以形象的表示在一种图中，这中横坐标显示标准差，纵坐标显示均值的图形，称之为“均值-标准差”图。根据例 2的数据，选中标准差和期望收益两列，选择插入图表，选择“XY（散点图）”，即可很容易绘制一张均值-标准差图：图表 12 均值方差图如果存在卖空，图表 12显示的曲线会发生怎样的变化呢？图表 13存在卖空均值方差图对于图表 13显示的两种资产的投资组合，我们考虑存在卖空的情况下的均值方差变化关系。计算方法是类似的。我们增加了一个可调按钮调整资产X的权重，随着X权重的变化投资组合收益方差的变化体现在“变动组合”中，该点会沿着均方差曲线移动 这种图形称之为“可调图形”即相对于传统“静态图形”，通过界面控件操控数据引起整个图形相对应变化。图中标出来100%投资X或Y的投资组合的位置，在这两个位置之间的部分就是图表 12的曲线。超过这个位置时就是卖空时投资组合的收益风险。可以直观解释这个图形，因为X的收益率大于Y所以，“全部投资X”的投资组合收益要大于“全部投资Y”，所以“全部投资X”点应当在上方（读者思考风险位置，谁在谁的左边？）。类似的，当卖空X的时候（减少X，增加Y），投资组合的收益会降低，但是因为Y的风险小于X，所以卖空X会降低投资组合风险，所以卖空X会使投资组合收益风险向右下方移动。你可以尝试改变Excel文件中X或Y的收益风险值，看看图形如何变化，从而加深理解。无风险资产和风险资产的均方差图当存在无风险资产时，如果将无风险资产作为一种选择和风险资产一起考虑在投资组合内，会产生什么样的结论呢？设定一个无线资产的收益率是rf，另一种风险资产的收益率为r2，标准差是2。x1和x2分别是无风险资产和风险资产的投资权重，那么投资组合收益率和标准差分别是：如果是单纯的理论推导，为了绘制均方差图，我们需要求出收益和标准差之间的函数关系，可以用消元法消去x1和x2得到：我们注意到，只要风险资产和无风险资产确定，rf、r2和2就已经确定，是常数，所以RP和P是线性关系。如果是Excel得到均方差图，我们可以转变一下思维，直接在Excel中利用XY散点图得出。如图14所示，通过无风险资产与风险资产的权重数据，计算出标准差和期望收益数值。C6公式是=B6*$B$3，D6公式是=A6*$B$1+B6*$B$2。就是上述公式对应转换成Excel公式而已。通过C6:D16数据可以绘制均值方差图14 存在无风险收益的组合收益方差15 存在无风险资产的收益风险关系图我们发现投资组合的风险收益曲线是一条直线，纵轴截距是无风险收益率的数值。直线斜率随着风险收益和无风险收益的差值而变化。通过解析式我们很容易发现，决定了直线斜率。当风险收益率大于无风险收益率时，斜率为正，直线向上倾斜；小于时为负，直线想下倾斜；等于时为零，直线水平。图15绘制过程使用了模拟运算表。具体操作过程是，在F10单元格=B8，然后选择模拟运算表，并如图进行设置。该表的意义是模拟出当风险收益率B2和无风险资产权重B5，发生变化时，投资组合收益率B8的变化。相关性和投资组合的均方差图投资组合资产相关性会对投资组合的风险和收益产生怎样的影响呢？传统财务管理或金融教科书中常出现的不同相关系数下两种资产投资组合的均方差图是怎样绘制的呢？我们通过Excel的计算实现过程能够更好地理解相关系数的影响，以及对投资组合理论的意义。在“投资组合基本统计量计算.xls”文件中，有三张工作表，用相同方法分别计算了完全正相关、完全负相关和一个正相关的例子。并根据三种情况下的数据，绘制了“相关系数对投资组合风险收益影响图”。出于篇幅考虑，在此仅以完全负相关为例，做详细操作解释。例 5 有资产X和Y之间的收益关系是X=-1.037*Y+0.18296，已知Y的收益分布，求X和Y的均值方差关系。第一步，计算利用X、Y之间的关系X、Y的收益分布，。第二步，计算X、Y的期望收益、方差和协方差。计算过程和例 1类似。注意到X、Y的相关系数是-1，根据定义X、Y完全负相关。第三步，根据权重得到投资组合标准差和期望收益表。单元格C19公式是=SQRT(A192*B$12+B192*$C$12+2*A19*B19*$B$15)，其含义是利用两个资产投资组合方差公式计算标准差；单元格D19公式是=A19*$B$9+B19*$C$9，其含义是两个资产收益的加权平均。我们发现图形是一条折线。转折点正在纵轴截距上，这意味着存在着一种投资组合，使得组合风险为零。其实可以通过Excel的“单变量求解”工具精确地求得风险为0的投资组合，具体设置如下：按“确定”后，显示出当X、Y权重为49.09%和50.91%时，投资组合标准差为0。我们得到一个重要的结论，两个完全负相关的资产可以通过适当的投资组合消除风险。读者可以根据示例文件自行思考如果完全正相关的两种资产要使风险为0，应当如何操作？事实上对于确定的两种资产其相关系数也就确定了，均方差曲线也只有一条。这个图形是一个示例而已，将不同资产的曲线放置在同一张图形以求显著的对比效果。如果正相关则需要将其中的资产卖空以达到同样效果。投资组合的边际方差投资组合的边际方差是组合中某一股票权重发生微小变化对投资组合方差产生的影响。简单的数学推导可以证明边际方差就是某一股票收益和投资组合收益之间的协方差插入边际方差的推导过程。对于投资组合，我们调整减少m单位资金的股票1，买入m单位资金的股票2，考查m的变化对投资组合方差的影响。调整后投资组合的收益和方差是：更有意义的是我们可以根据不同股票之间边际方差的大小比较的结果调整股票权重，从而降低投资组合整体风险。例 6我们继续使用以前用过的例子，根据“投资组合基本统计量计算.xls”文件中的不完全相关的股票XY。我们通过研究其边际方差，观察边际方差与股票权重调整怎样影响投资组合的方差。在演示之前，我们补充预备知识：一个股票和包含该股票的投资组合之间的收益协方差的计算。N个股票按照xi构成的投资组合中的任何一个股票k，k与该投资组合收益之间的协方差是该股票与其他股票的收益协方差按照xi的加权平均，即：特别的当只有二种股票时，其情形是：有了上述准备，我们可以进行方便的计算了。对于上述X和Y资产，我们针对任何一种特定投资组合，如X、Y权重为60%和40%的投资组合研究权重微小变动对风险的影响。图表 16中区域A32:D48计算在60%和40%的投资组合基础上进行微笑权重调整（调整幅度1%）对风险和收益的影响。C列计算标准差，D列计算收益。区域F32:G48显示了随着权重的变化，X和Y相对于投资组合的协方差变化情况。计算过程使用了上述预备知识，F32公式是：=A32*$B$13+B32*$B$15，类似的G32公式是=A32*$B$15+B32*$C$13。“需要调整的股票”是指欲想降低投资组合方差应当降低其权重的股票，计算过程如单元格H32公式是=IF(F32G32,X,Y)。将其绘制成图表 17，该图直观显示了随着X权重微小变化，投资组合的风险逐渐下降，XY的协方差之差小于零后（X和投资组合的协方差小于Y和投资组合的协方差），调整X权重反而会使投资组合风险上升。这是因为，边际方差是权重没变动一个单位引起的投资组合风险的方差的变动。减少边际方差大的股票，增加边际方差小的股票，可以降低投资组合风险；反之，亦然。图表 16图表 17资产与投资组合协方差差值与投资组合风险关系最小方差投资组合在给定的资产所组成的所有投资组合中风险最小的投资组合，依照风险定义，就是具有最小标准差的投资组合，习惯上称之为最小方差投资组合或全局最小方差组合。如何确定最小方差投资组合的权重呢？我们可以用两种方法解决这个问题，一种是通过传统的解析方法，利用最小方差投资组合的性质，求出投资组合权重；一种方法是Excel建模的思路，通过Excel自带的规划求解工具（Solver）求解。下面分别介绍。例 7某一公司需要在新兴市场印度、俄罗斯和中国投资，由于资产数量有限，且投资时有风险的，已知三个国家收益风险的协方差矩阵，该公司需要怎样在三个国家安排其资产以使总风险最小？ 这个例题改编自Mark Grinblatt和Sheridan Titman的金融市场与公司战略，人民大学出版社B2:D4是协方差矩阵，B6:D6是投资组合权重，将其命名为weight，E6是权重求和=sum(B6:D6),投资组合方差B8的计算公式是=MMULT(weigh