（概率论与数理统计专业论文）相依随机变量序列的极限性质.pdf

摘要 本学位论文是我在攻读硕士学位期间，在导师林正炎教授的悉心指导下完 成的全文共分三章，主要研究混合相依随机序列的极限性质 第一章介绍了本论文的背景与本学科的一些发展概况，撰写本文的意义所 在以及相依随机变量在投资组合中的应用 第二章是本文的重点所在，讨论了同分布负坐标相依( n o d ) 随机序列的 加权和的强大数律设 x ，以，竹苫1 ) 是一列均值为0 的随机变量序列，而 口m l s zs ，l ，n 苫1 ) 是常数组列，独立情形下加权和a n i x i 的完全收敛性质已经 被许多学者研究过( 如c h o i 和s u n g ，1 9 8 7 ；c u z i c k ，1 9 9 5 ；w u ，1 9 9 9 ；b a i 和 c h e n g ，2 0 0 0 ；s u n g ，2 0 0 1 等) 本文将证明类似的强大数律对于n q d 随机变 量也成立，在证明过程中我们利用了一个比较有效的方法使得证明过程较独立情 形有所简化同时，在s u n g 的结果中，对o srs 1 情形要求 以；n “4l o g “”4h ( 卢 0 ) ，我们取到屯- n “l o g “n 从而推广并实质地改进了 s u n g 的结果主要结果有： 定理2 2 1 令 z ，z 。，l 1 ) 是一列均值为。的同分布的n q d 序列，且存在卢，1 使 得e i x l 4 t * 令 4 。l i s n ，1 2 1 ) 是满足条件( 2 2 ) ( 对某个a ，1 ) 的常数组列 则有 专；| ；墨一。触( z 4 ) j 姐l p = 1 a + l i f t 相反地，如果对任意满足条件( 2 2 ) 的常数组列都有( 2 4 ) 式成立，则ej 丑1 9 。且e x = 0 定理2 2 2 令 x ，以，h 1 ) 是一列均值为0 同分布的n q d 随机序列，存在 ，0 ， r ) o 使得【e x p q i x m c m 令 口。1 f - e n ，n 1 ) 是满足条件( 2 2 ) ( 对某个 1 5 as 2 1 的常数组列则对于0 1 ，吒- n “l o g “6 ，l 有 口 i 置俄一0 ，a s ( 2 1 3 ) 这里d ：1 一三一2 三一+ 百，r 可取任意小的正数 r上+ a r a 第三章讨论了不同分布p 一一混台变量的滑动平均过程的完全收敛性p 一一 混合的得概念是z h a n g ( 1 9 9 9 ) 年引入的滑动平均过程是时间序歹0 中的重要内 容本文的第三章在l i 等( 1 9 9 2 ) 关于独立随机变量序列的滑动平均过程的完全 收敛性定理的基础上，获得一个关于p 一一混合随机序列的类似结果 定理3 2 1 设 誓；一m t fc m ) 是满足s up f p ( 吲，石) s p ( 陬j ，x ) 的一致随机有界的 p 。一混合随机变量序列又设1 2 o ) t h u s ，o u rr e s u l te x t e n d s a n ds h a r p e n ss u n g st h e o r e m i nt h el a s t p a r t ，w ee x t e n dar e s u l to nc o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rt h em o v i n g a v e r a g ep r o c e s su n d e ri n d e p e n d e n c ea s s u m p t i o n st ot h ec a s eo fp 一- m i x i n gr a n d o m v a r i a b l e ss e q u e n c e s v i a s n o d e x p 么i c o v ( x ，y ) c l v n l o g - l o g l o g n 文中部分缩写及符号说明 几乎必然地 负坐标相依 随机变量x 的数学期望 随机变量z 的方差 随机变量x 与y 的协方差 表示一个正常数，其值在上下文中可取不同值 随机变量 正整数集 l o g n - l o g ( nve 、 l o g l o g n = l o g l o g ( nv 矿1 u l 浙江大学硕士学位论文第一章论文背号与意义 第一章论文背景与意义 概率论起源于1 7 世纪中叶人们对机会性游戏的数学规律的探讨这个学科的 发展与数学史上一些伟大的名字相联系，如帕斯卡、费尔马、惠更斯、高斯、拉 普拉斯、詹姆斯伯努利、棣莫弗等他们对这个学科的研究做出了重要的贡献 在十八世纪以前，概率的对象主要限于赌博和一些离散的有限数目集合的研究， 所用的数学方法主要是组合数学的方法十八世纪，伯努利和棣莫弗的著作大大 引起了人们对概率论在其它领域的应用的兴趣，例如，用于在观察判断中错误的 估计，预测人口组成的改变等，由此吸引了许多纯粹数学家的目光，他们纷纷将 更多的数学方法，如分析的方法和几何的方法，引进概率论；另一方面，由于统 计学的发展和十八世纪社会和知识氛围的改变，人们对于概率论应用于政治和社 会领域中的规律性研究的兴趣日趋浓烈，尤其是在孔多塞等人的倡导下，概率论 应用于社会科学的热潮方兴未艾 概率论既是观察世界的一种基本方法，也象几何、代数和分析一样是一门核 心数学学科最近几年，作为科学探索的一种独具特色的方法，概率推理的显著 功效已经导致了概率理论在科学研究中的重要性的爆炸性增加数十年来一直在 统计学中起中心作用的，在物理学、遗传学和信息论中所常见的概率方法，最近 已经在许多其他学科，包括金融、地球科学、神经学、人工智能和通讯网络中成 为不可缺少的方法概率论的影响愈来愈大概率极限理论是概率论的主要分支 之一，也是概率论的其它分支和数理统计的重要基础 关于独立随机变量的经典概率极限理论在2 0 世纪3 0 年代和4 0 年代已获得完 善的发展概率论的现代极限理论，如概率测度弱收敛和强逼近等理论自2 0 世 纪5 0 年代以来已被很多数学家所研究弱相依随机变量和的极限分布理论也开 始被深入地讨论了随机变量的相依性概念不仅在概率论与数理统计的某些分 支，如马氏链、随机场理论以及时间序列分析等中被广泛讨论，而且出现于许多 实际问题中虽然独立性假设在某些时候是合理的，但要验证一个样本的独立性 浙江大学硕士学位论文第一章论文背号与意义 却是很困难的，而在大部分的实际问题中，样本也并非是独立的观察值 负坐标相依( n q d ) 的定义首先由e l k h m a l l n ( 1 9 6 6 ) 所引入n q d 相对负 相伴( n a ) 而言是一个更广泛的定义随着n a 序列在可靠性理论，渗透理论 及多元统计分析中的广泛应用，关于n q d 的极限理论研究也就显得十分重要了 在本文的第二章将对此种类型的相依随机变量的加权和的强大数律展开讨论 p 混合的概念是由k o l m o g o m v 和r o z a n o v ( 1 9 6 0 ) 引入的p 一一混合的得 概念是z h a n g ( 1 9 9 9 ) 年引入的由于p 一一混合变量包含通常见到的n a 和p 一混 合变量，从而对它进行讨论有着更为广泛的意义相依概念说明当随机变量的指 标之差趋于无穷时随机变量是渐近独立的滑动平均过程是时间序列中的重要 内容本文的第三章在【j 等( 1 9 9 2 ) 关于独立随机变量序列的滑动平均过程的完 全收敛性定理的基础上，获得一个关于p 一一混合随机序列的类似结果 在讨论负坐标相依随机变量序列的加权和的强大数及p 一一混合变量序列的 滑动平均过程的完全收敛性之前，我们先来看一下相依随机变量在现实生活中的 应用 一般来说，风险是一柄双刃剑既想利用风险来获取收益，又担心风险会造 成较大的损失，这是投资者普遍面临的矛盾心理状态同时，风险承受的能力也 因人而异，这种差别与很多因素相关，如公司规模、经营策略、管理制度以及责 任人的心理状态、道德观念等投资者方面要对自己现有的投资组合进行风险 监控，另一方面还要根据自己的风险承受能力来构建合适的投资组合然而，目 前国外学者认为风险就是不确定性，这是一种比较流行的认识从用方差度量风 险始于马科维茨定理，后来的c 衄m 和多因子模型，到b l a c k s c h o l e s 公式，都 离不开方差 在现代投资理论中，资产组合的风险主要是以可能收益率的分布的方差 来度量的，即盯2 = ( 一) 2 ， 其中。是为平均收益率，为收益率观察值， 统计量仃2 度量可能的收益率围绕平均收益率的离散程度离散程度越大，标准差 就越高，投资的风险就越大在现实的投资环境中负相伴( n a ) ，正相伴( p a ) 均表现得比较典型例如在股市中运作的资金总额往往是相对稳定的，当人们 浙正大学硕士学位论文第一章论文背景与意义 纷纷把钱投到某几个板块时， 另外有些板块便会由于资金不足而下跌，它们之 间便是n a 的而在同一板块中的股票，比如同为科技股，则支股票的暴涨 ( 暴跌) 往往带动同类股票的上涨( 下跌) ，它们之间便是p a 的对于风险规避 者来说， 怎样的投资组含才能使得投资风险相对较小呢? 首先，我们来引进几个概念： 定义1 1 f 2 1 称实随机变量x 。，x ：，以0z 2 ) 是n a 的，如果对于 1 ，2 ，_ n ) 中的 任何两个不相交的非空子集4 和4 ，都有 c o y ( f ( 墨，f 4 ) ，占僻f ，4 ) ) s0 其中厂与g 是两个使得协方差存在的且对每个变元均非降( 或对每个变元均非 升) 的函数称随机变量序列 x ，j e n ) 是n a ) 芋y i j ，若对于每个n o = 2 ) ，变量 x ，x ：，x 都是n a 的 定义1 2 称实随机变量z 。，z ：，z 0 2 ) 是p a 的，如果对于 1 ，2 ，月) 中的任 何两个非空子集4 和4 ，都有 c o v ( f ( z _ ，f 4 ) ，g ( z j ，4 ) ) 0 其中，与g 是两个使得协方差存在的且对每个变元均非降( 或对每个变元均非 升) 的函数称随机变量序列 z ，) 是p a 序歹g j ，若对于每个n 加2 ) ，变量 z 1 ，z 2 ，z 。都是p a 的 定义1 3 对随机变量序列x 和y ，若对于所有的凸实函数v 有 e v 僻) 】sz v 叮) 】， 称x 按凸序( c o n v e xo r d e r ) 先于y ，记为xs 。y 由参考文献 1 】我们知道对于e x = e y ，xs 。y 意味着妇，暇】s v a r y ；对 浙江大学硕士学位论文第一章论文背景与意叉 于一x 一了来说，v a r x 】s v a r 旷】也是成立的，这就说明对于损失和收益的风 险都可以用凸序来衡量它的逆命题是不成立的，见b r o c k e t t 和g a r v e n ( 1 9 9 8 ) 参考文献【2 5 】有以下结果： 定理a 现在设有n 个项目，其风险变量分布分别为0 ) ，g ) ，只0 ) ， 它们 的边缘分布相同，也即 ) - 0 ) 一f z ，o ) ；0 ) 其中x 1 ，z ：，并。是n a 的，k ，k ，k 是i i d 的，z a , z ：，z 是p a 的则有 x s ? s ，z 由上面的定理可知，在期望收益率相等的条件下随机选择毫无关联的投资项 目和采取把所有的鸡蛋放在同一个篮子的投资理念都将会增大风险而对于试 图规避风险者来说，采取负相伴的投资组合更有利于减少风险 浙江大学硕士学位论文第二章同分布n q d 序列加权和的强大数律 5 第二章同分布n q d 序列加权和的强大数律 第一节引言与引理 基于强大数律在概率论与数理统计中的重要地位，关于它的研究与文献如汗 牛充栋，关于n q d 的文献相对有限但仍很引人入胜n q d 相对负相伴( n a ) 而 言是一个更广泛的概念随着n a 序列在可靠性理论，渗透理论及多元统计分析 中的广泛应用，关于n q d 的极限理论研究也就显得十分重要了 设 x ，以，lz 1 ) 是一列均值为0 的随机变量序列，而 ，1 j f s n ， z 1 是常 数组列，加权和t 善a n i 五的完全收敛性质已经被许多学者研究过如c “。i 和s u n g ， 1 9 8 7 ；c u z i c k ，1 9 9 5 ；w u ，1 9 9 9 ；b a i 和c h e n g ，2 0 0 0 ；s u n g ，2 0 0 1 等) 本文 将要证明的m a r c i n k i e w i c z z y g m u n d ( m z ) 强大数律表述如下： 宝x 。咄a s ( 2 1 ) n p 一 令 x ，x 。，n 1 ) 是一列独立同分布随机序列，假设对 ，l is n ，l 1 使得 a az t i m 4 。 0 0( 2 2 ) 这里鬈。一s - 。1 4 。j 8 历b a i 和c h e n g ( 2 0 0 0 ) 证明了( 2 1 ) 式成立当且仅当 e 1 置j 4 * ，这里1 p ；1 a + 1 ；，1 p 2 s u n g ( 2 0 0 1 ) 证明了强大数律 n 。；x ： b 。一0 a s 成立，其中 口。l 0 ) ，其中6 ；1 - 1 r r 一1 x 1 + g r r 一口) 一1 本文将证明类似的强大数律对于n q d 随机变量也成立，在证明过程中我 们利用了一个比较有效的方法使得证明过程较独立情形有所简化同时，在s u n g 的结果中，对o ，s 1 情形要求吃= n ”。l o g ”4h ( 卢 0 ) ，我们取到 b = n “。l o g “7n 从而推广并实质地改进了s u n g 的结果 定义2 1 1 随机变量序列被称为是负坐标相依( n q d ) 的， 如果该序列中的任 意两个随机变量x ，y 满足 p ( x x ，y 2 y ) s p ( x x ) p o _ ) ，)v x ，y r 引理2 1 1 若随机变量x ，y 是n q d 的，那么有 ( 1 ) e ( 船7 ) se ( x ) e ( y ) ； ( 2 ) 对于所有的非降函数，和g ，暖) 和g ( y ) 是n q d 的也即n o d 的 定义在对两个变量的非降变换下保持不变( 对非升变换亦然) 为了证明我们的主要结论，需要以下引理来提供一些使得加权和完全收敛的 条件 引理2 1 2 令 盖，以，n 1 ) 是一列同分布的随机变量，存在 ) 嘎r ，o 使得 e e x p ( h i x l 7 ) 】c 。令 x 。1 s f s n ，h 1 ) 是均值为0 的n q d 随机变量组列 口。1 s is n ，nz 1 是常数组列假设下列条件成立 ( i ) 存在o c 卢sr 和常数列 ) ，l i m - 0 ，使得 i 口。x 。；i s “。i 爿jr l o g n a s ( i i ) 存在 ，o 和常数列 k ) ，l i m v 。= o ，使得 浙江大学硕士学位论文第二章同分布n q d 序列加权和的强大数律 7 联善4 j i x , m g n 则既在完全收敛的意义下，也在a s 收敛意义下成立 荟a z 一删 证明由不等式p 1s 1 + x + 三x 2 e ，x e r ，我们得到 e 【e z “】s 1 + 丢t 2 a 。2 。e 【z ：e f h t 一】 同时由于 e ，l ：a i s n ，月z 1 ) 是n o d 随机变量组列，有 e ( 酽“) 5i ： p 一， ( 2 3 ) 令a ：= a n iv0 ，n n i - - - a n i ) v0 注意到 n ：z 。1 s is n ) 和 n ；瓦；，1 s is n 都是n q d 的令s 0 ，记f 一2 1 0 9 n e 由( j ) ，( j i ) 以及当x 一时由 工r d ( e ( ”) ) ，我们有 e 【b m ：h 】s 1 + = 1 ( 一2 ) 2 ( 1 0 9 n ) 2 “m + 2 ll a m 2 。( 2 1 s ) 一l “j 】 上 s l j 7 2 咖袁2 驯1 螂啦，】 留 ” m 2 邺再即删 小扣寿 一一卜n 刊 由m a r k o v 不等式以及( 2 3 ) 式可以得到 浙江大学硕士学位论文第二章同分布n q d 序列加权和的强大数律 8 p ( 毫口二z 。，s ) s e f 【e 善4 ：。“】 e - 2 1 a z a 兀：。e x p 1 2 l o g n 轰何”l 它是可和的用一盖。：来替换j 乞，根据上面的计算我们又可以得到对于足够大的 r l 有 p ( ：。n ：以c s ) s n 4 “ 则：。n ：以；一。完全收敛，类似的我们也可以得到 - 。n ：以。一。完全收敛 引理2 1 3 令 z ，n 1 ) 为一列满足6 ；= 删；c0 0 ，e k ；0 ( i 一1 ，2 ，1 ) 1 鬟3 n q d 随机变量，且存在h ，o ，整数mz2 ，使得i 腰，k 掣6 7 h ”一2 ( = l 2 ，”) 则 p ( 善鼍 对s e x p ( 一x 2 4 二t 影) ，o s z 5 善群腰 证明由e ( 置) 瓯，我们可以用参考文献【1 0 】中定理1 7 的证明方法得到 结论 第二节主要结果及其证明 定理2 2 1 令 x ，x 。，n 1 ) 是一列均值为。的同分布的n o d 序列，且存在卢，1 使 得e i x i p c 。令 口。l n 4 】一，1 4 ，【x i n 8 卜n 4 ，【置 ”4 1 + ，1 4 t x ic 一月4 l 土 x = x i ，【| 五l ，n 4 】， 1 n ：- a n i ，【i n 。j s n 。】， 1 口：m a 。一n ：- n 。1 1 1 a 。i n “】 则 e t 1 a x r = ：- 。口。x 。+ e l o o , x ，+ ：1 1 8 “x 。 ( 2 5 ) 因为p 一丢+ 吉，可得卢一：三【1 + 卢( 1 一l p ) 1 ，从而成立 a_ i b a 一 。、 阱掣。- 0 - ! ， ( 2 6 ) 矩条件i x l 4 c m 与二p ( i x p ，n ) c o 口等价，因此我们得到 二。p “k l x 。卜n ) t * 厶 l “，。 再根据b o r e l c a n t e l l i 引理我们得到p ( 1 xj 4 n ，i 0 ) - 0 ，则 砉砉i x ；i - 。a s ( 2 7 ) 由h o l d e r 不等式，( 2 6 ) 及( 2 7 ) 我们得到 ，l 1 9l 善x 。i 1 , i - i p 荟 一。善 浙江大学硕士学位论文第二章同分布n o d 序列加权和的强大数律 1 0 因此 s 以，( 砉：。i x 伊- 1 ) _ o a - s 1也 上n l i p ：| ；。x 一。a s ( 2 8 ) 考虑：，a 。五令n 。a m i + + n ；。如：z ，i t l2 ，n ) 是n o d 列因为 三；! + 丢，我们有。v 卢，2 且 p t 2 口 所以有 1 + 坚二笪+ 堡二壁2 ： a启 z 帛：徭 善e o ) 2 。n a a 2 一一7 “2 邓7 仉料i i 肿f l a 2 一o ( m a x n 2 an 2 4n ) 另一方面，对于任意的- s r s n ，一苫，有l 一一i l n ：x ：| s n 乞丸一；= - 和 m a ) 【 n 咒，n 乃，n ) ；。l o g - 2 n ) 根据引理2 1 3 对于足够小的s 和足够大的n 有 下式成立 p ( n _ 1 佃砉n ：墨，s ) se x p ( 衰刍。( 一m a x n ，胆，n ) ) ) se x p ( 一2 ( 1 0 9 n ) 2 、 同样地我们也可以得到p ( n 4 佃著8 ：x 一s ) s c x p ( 一2 ( 1 。g n ) 2 ) 所以有 于是 yp ( n 叫，l y 口、xbs ) 白智“ 。 浙江大学硕士学位论文第二章同分布n q d 序列加权和的强大数律 l l 类似地 上n l p 塞a 一。a s _ ( 2 9 ) 专；| ；n ：x i - - , 。a s ( 2 1 0 ) 最后，考虑了7 a ：x 我们有 一，一1 n 江j 汀”邶 sn - i i p “7 卢以( 1 一。) 佃y 一 = 。 连同( 2 5 ) ，( 2 8 ) 一( 2 9 ) 我们得到 i m s u pn 一1 ，9 n _ a “t o 4 。置i s 鬈a s 由引理2 1 可知对f ，0 ，吼是n q d 随机变量用替代x i ，得到 胁5 “pn 。7 9l a x ii sa ：t a s ( 2 i l ) f = f 令卜m ，则专耋n 。z 。一。a s - 必要性的证明和参考文献【6 】中的定理2 1 的相应证明相同，此处不再赘述 定理2 2 2 令 x ，以，_ ，l 苫1 ) 是一列均值为0 同分布的n q d 随机序列，存在 ，0 ， ，o 使得e 【e x p i x m c 。令 口。1 5 is n ，n2 1 ) 是满足条件( 2 2 ) ( 对某个 1 s 口s2 ) 的常数组列则对于0 1 ，乩；h “。l o g “”6n 有 浙江大学硕士学位论文 第二章同分布n q d 序列加权和的强大数律 1 2 n 。置像一0 ，a s ( 2 1 3 ) 这里d i 1 一二生一+ f r 可取任意小的正数 rl + a r a 证明证明分为两种情形考虑 情形一：0 rs 1 对于1 i s n ，n 1 ，定义 x ：- x ，l 1 x , i s ( 。1 。g n ) “7 】+ ( l o g n ) “置，( 。1 。g n ) “7 】一( 一1 l o g n ) “，【置c 一( 1 i 。g 一) ”】， x l x a t x 。l ，( 4 1 。g n ) “7 卜( “1 。g n ) ”7 ，呱，h - 1 1 。g 一) ”】+ ( 一1 。g n ) ”7 ， 墨c 一( 一1 1 。g 一) “7 】， 4 j ；n ；，【| n 。l sn i o o g , , ：| j ， 4 ：。罨口。一廿：， 其中口为满足o q - 1 l o g n ) “7 】， ，x i i 一砷l o g ) ”墨t 一l o g n ) ”】- ( h - 1 l o g n ) “7 x ： 1 令 五。= 置，口墨l ( 1 0 9 ) + ( 1 0 9 n ) 4 ， 五 ( 1 0 9 ) 】一( 1 0 9 n ) 4 ，【置 一( 1 0 9 n ) 4 】， z ：= j ： 1 置i ，( 1 0 9 ) 4 】一( 1 0 9 n ) 6 i x i ，( 1 0 9 ) 4 】+ ( 1 0 9 n ) 4 ，【j i 0 ； 0 ) 7 i i ) 一l i m s u p 怒1 1 ，一2 “一“，i l z j 如掣- 1 v u 0 h 1 g i n 3 1 4 2 ”设：一。j 是绝对可加的实数级数，已a 一：一。n 脚丢。塞卜| 口| ”_ l 。l 则对k2 1 ，有 ( 3 2 ) 浙江大学硕士学位论文第三章不同分布p 一一混合滑动平均过程的完全收敛性 2 0 第二节主要结果及其证明 定理3 2 1 设 ；一。cf c0 0 ) 是满足s u p fe ( i r , l ，上) se ( i y o i ，工) 的一致随机有界的 p 一一混合随机变量序列又设1 2 0 c s s ， 则 荟如。薹善a i i i 荟弘，蒌喇 根据引理3 1 4 ，不失一般性可假设 2 。i a - i w 乩瞄，言一扎i s ， 令s 。一芝：，。，v 硼y i s n 。) 则 n i e s “。叫硼酬，n 。) 1 “。妻k t e i y o 1 k i ，n 叶 s 一口j 薹：l n 。j e l k i ，仁i k l ，n 。) s 一。口e 吲i i v o i ，n 。1 s e 阢 ， j kj ，一。) 当o ( 3 4 ) 浙江大学硕士学位论文 第三章不同分布p 一一混合滑动平均过程的完全收敛性 2 1 即h 取足够大时， n ”i e l 足够小，成立n ”i e s i ce 1 2 写 一。9 2 h ( n ) p ( 荟l x , i zn 。s ) 篇 一 一扩嘞啦哨卜， s 耋n 2 。) p ( 陵i z n 。s ) + 蠢” 2 一。) p ( s u p 扣。r , iz 一4 ) i i t + 1 2 ( 3 5 ) 考虑，1 ，令，n j = p z ：( ，+ 1 ) 一。c n 。js 厂4 ) ，则u 闰i 一z 利用( 3 4 ) 式和 引理3 1 2 ，可得 5 善h ( n ) p ( i s i r l a e ) 5 善 n 一2 o 妒( 慨一e s 。l + i 耶一z n 。s ) 8 善 ( ，1 ) p ( 卜e s 1 引川) 喑一，监堂塑单竺监趔 履扩坝玎，血监单型魁 墨扩川“耋e ( 口：誓2 硼酬甜) ) s 蠢n o p - 2 - 2 a ( n ) 喜主；，一2 8 e 瑶， i k is ( n ( ，+ ，) ) 。) - 羹n 。p 一2 2 。一( 以) 薹( 带如) 广。州譬e g o ， 七s l k | l “c t + ，) = 薹n 8 p 一2 2 。 ( n ) 砉( 撑，。) j 一2 8 薹e z ：o ， 七 k l “。c 尼+ 4 浙江犬学硕士学位论文 第三章不同分布p 一一混合滑动平均过程的完全收敛性 2 2 + n 善”_ l l a p 2 2 a h ) 蠢广。k 1 - 篁2 n + l 掰卟si y o 1 。 k + 1 ) i 1 3 + 1 4 ( 3 6 ) 对，根据参考文献【2 7 】，v m 苫1 ，有：。( 撑) ，。4s c n m ，可得 扣扩4 2 坼) 薯滞删“薹掰小删“m 】 8 砉n p - 2 - z 。h ( n 如荟2 n 掰卟s 时。c t + 1 ) 詹薹印忙阢1 1 ，a 叫蕾”1 。孙) 霜薹p k 卜七+ 1 ) 曰陬j 9 h ( i y o l “。) c 。 对i d ，南 ，4 n 荟。l , , t a p 22 a h o ) 喜广8 兰掰小s | k i l a k + 1 谊争即“。妻。酬七s i y o l l 口 n 。) 2 羹n “，一2 ( 一) 薹p ( 七s i k i “口c 七+ ) 羹1 ( 静，。) s 薹n 4 p 一2 一( n ) 薹p ( t si g o l t m k + 1 卜( k n + ，) 4 嗣：| ；一。p l 一。n ( n ) ；l ；p ( 七si y o l t m k + l 卜“ - 砉p ( ts i y o l “ k + 1 卜。耋n 。p 一1 _ 。一( n ) 拉弘郴) p b i y o t m k + 1 ) 8 吲h l r o l “。) t m 综上( 3 5 ) 一( 3 9 ) 式，定理3 2 1 得证 ( 3 9 ) h七 p k w。曜 p f f 惫 。v 岛 似 以 卵 叩 玎 玎 。孓鲁 。x 詹 浙江走学硕士学位论丈 参考文献 2 4 参考文献 1 r o bk a a s ，j a nd h a e n ea n dm a r cj g o o v a e r t s ，u p p e e ra n dl o w e rb o u n d sf o rs u m s o fr a n d o mv a r i a b l e s ，i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c s e c o n o m i c s ，2 7 ，1 5 1 1 6 8 ，2 0 0 0 【2 j o a g - d e v , ka n dp r o s c h a n ，f ，n e g a t i v ea s s o c i a t i o no fr a n d o mv a r i a b l e sw i t h a p p l i c a t i o n s ，a n n s t a t i s t ，1 1 ，2 8 6 2 9 5 ，1 9 8 3 【3 d h a e n e ，j ，d e n u i t ，m ，n es a f e s td e p e n d e n c ys t r u c t u r ea m o n gr i s k s i n s u r a n c e ： m a t h e m a t i c s e c o n o m i c s ，2 5 ，1 1 2 1 ，1 9 9 9 4 】h a n su g e r b e r , l i f ei n s u r a n c em a t h e m a t i c s ，s p r i n g e r , 1 9 9 7 f 5 】盖伯，数学风险论导引【m 】，北京，世界图书出版公司北京公司，1 9 9 7 【6 6z d b a i ，p e c h e n g m a r c i n l d e w i c zs t r o n gl a w sf o rl i n e a rs t a t i s t i c s s t a t i s t p r o b a b l e t t 4 6 ：1 0 5 1 1 2 ，2 0 0 0 【7 s h s u n g s t r o n gl a w sf o rw e i g l l t e ds u m so fi i d r a n d o mv a r i a b l e s s t a t i s t p r o b a b l e n 5 2 ：4 1 3 - 4 1 9 ，2 0 0 1 【8 】w u w e i b i a o o nt h es t r o n gc o n v e r g e n c eo faw e i g h t e ds u l l l s t a t i s t p r o b a b l e t t 4 4 ：1 9 2 2 ，1 9 9 9 【9 】e l l e h m a n n s o m ec o n c e p t so fd e p e n d e n c e a n n m a t h s t a t i s t 2 6 ：5 1 8 5 2 2 1 9 6 6 1 0 v v p e t r o b s u m so fl n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s s p r i n g e v e r l a g , 1 9 7 5 【1 1 】杨善朝p a 序列部分和的完全收敛性应用概率统计1 7 ( 2 ) ：1 9 7 2 0 2 ，2 0 0 1 【1 2 】林正炎，陆传荣，苏中根概率极限理论理论北京：高等教育出版社 2 0 0 3 1 3 】蔡光辉p 一一混合随机场的完全收敛性，浙大学报3 0 ： 3 8 0 3 8 3 ，3 9 6 ，2 0 0 3 f 1 4 】吴群英两两n o d 列的收敛性质数学学报4 5 ( 3 ) ：6 1 7 6 2 4 ，2 0 0 2 【1 5 】t a y l o rr 乙p a t t e r s o nr f b o z o r g n i aa as t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sf o ra r r a y s o fr o w w i s en e g a t i v e l yd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s s t o c h a n a l a p p i 2 0 ：6 4 3 6 5 6 ， 2 0 0 2 【1 6 】陆传荣，林正炎混合相依变量的极限理论，北京：科学出版社，1 9 9 7 【1 7 】s t o u tw ea l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 4 【1 8 】p a t r i c kb i l l i n g s l e y c o n v e r g e n c eo fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s w i l e y n e wy o r k , 浙江大学硕士学位论文参考文献 1 9 9 9 【1 9 】b r y cw ，s m o l e n s k iw m o n m e n tc o n d i t i o n sf o ra l m o s ts u r ec o n v e r g e n c eo f w e a k yc o n v e r g e n c eo fw e a k l yc o r r e l a t e dr a n d o mv a r i a b l e s p r o c e e d i n go fa m e d c a n m a t hs o c i e t y ，1 1 9 ( 2 ) ：6 2 9 6 3 5 ，1 9 9 3 【2 0 】 z h a n gl x a n dw a n gx yc o n v e r g e n c er a t e s i nt h e s t r o n g l a w so f a s y m p t o t i c a l l yn e g a t i v e l ya s s o c i a t e df i e l d s a p p l m a t h j c h i n e s eu n i v 1 4 ：4 0 6 4 1 6 ， 1 9 9 9 e 2i c h o i ，b d ，s u n g ，s h a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c et h e o r e m so fw e i g h t e ds u m so f r a n d o mv a r i a b l e s s t o c h a s t i ca n a l a p p l 5 ：3 6 5 - 3 7 7 ，1 9 8 7 2 2 】p e t r o vv v l i m i