条件极值教学案.doc

4条件极值教学目的与要求：了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法，用条件极值的方法证明或构造不等式教学重点，难点：重点：用拉格朗日乘数法求条件极值难点：多个条件的条件极值问题教学内容：一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点到点的距离为.现在的问题是要求出曲面上的点使为最小.即问题归化为求函数在条件下的最小值问题.又如，在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件 的限制下，求函数的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以、和表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件之下求函数的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组限制下， 求目标函数的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值.例1 由解出 , 并代入函数中, 得到, 然后按, 求出稳定点, 并有, 最后判定在此稳定点上取的最小面积.然而, 在一般情形下条件组中解出个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.二、条件极值的必要条件设在约束条件之下求函数的极值 . 当满足约束条件的点是函数的条件极值点 , 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程决定隐函数, 于是点就是一元函数的极限点 , 有 .代入 , 就有 , 即 , 亦即 ( , ) ,) . 可见向量( , )与向量 , )正交. 注意到向量 , )也与向量 , )正交, 即得向量( , )与向量 , )线性相关, 即存在实数, 使 ( , ) + , ).亦即 三、 Lagrange乘数法:由上述讨论可见 , 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组 的解. 引进所谓Lagrange函数, ( 称其中的实数为Lagrange乘数 )则上述方程组即为方程组下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 . 例2 求函数 在条件下的极值。解 令 , , ,得 , （1）又 ,（2） , （3）由（1）得 ，, 当时得 ， 故得，代入（2）（3）式得 ,.解得稳定点，. 由对称性得，也是稳定点.四、 用Lagrange乘数法解应用问题举例:例3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积. 解 这时所求的问题的拉格朗日函数是对求偏导数, 并令它们都等于0: 求上述方程组的解, 得.依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为, 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值.例4抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . 例5 求函数在条件.下的极小值 ; 并证明不等式 , 其中 为任意正常数 . 解 设拉格朗日函数为 .对求偏导数, 并令它们都等于0, 则有 由上述方程组的前三式, 易得.从而函数的稳定点为,.为了判断是否为所求条件极(小)值, 我们可把条件看作隐函数(满足隐函数定理条件), 并把目标函数看作与的复合函数. 这样, 就可应用极值充分条件来做出判断. 为此计算如下:, .当时, , .由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式.令, 则, 代入上不等式有或 . 注 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:(1) 根据问题意义确定目标函数与条件组.(2) 作拉格朗日函数, 其中的个数即为条件组的个数.(3) 求拉格朗日函数的稳定点, 即通过令, 求出所有的稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点.(4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点, 且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值, 则这个稳定点就是所求的条件极值点. 否则, 还需要采用无条件极值的充分条件来判定.复习思考题、作业题：1 (2), 2 (2) 节重点:极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方法本节难点: 极值和最值的关系,极值点和驻点 不可导点之间的关系, 求极值和最值的方法教学方法:启发式教学手段:多媒体课件和面授讲解相结合一极值及其求法： 1.极值的定义: 定义:设y=f(x)在x0某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于x0的任意点x都有: (1) f(x) f(x0),则称为f(x0)为f(x)的极小值, x0称为f(x)的极小值点; 极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点.注: (1) 极值是局部概念,极值不一定是最值; (2) 极值不唯一,极大值不一定比极小值大.2.极值存在的必要条件和充分条件:(1) (1) 必要条件定理 若函数f(x)在x0可导,且在x0处取得极值,则证:设f(x)在x0可导,为极大值,由极大值定义,在x0的某邻域内,对于任意xx0,均有成立,于是当时，；当时，所以， 因为，所以 注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。 （2）极值存在的第一充分条件 定理：设函数 f (x)在点x0的某一邻域内可导且(1) (1) 若xx0时，,则f (x)在点x0处取得极大值f (x0)(2) (2) 若xx0时，,则f (x)在点x0处取得极小值f (x0)（3）若x从x0的左侧变化到右侧时，不变号，则f (x)在x0处无极值注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点 例1 求的极值点与极值解：定义域（，+） 令得x=1 当x=0时不存在 列表 x(-,0)0(0,1)1(1,+)+不存在0+y极大值0极小值-3 函数有极大值f(0)=0 极小值f (1)=-3 （3）第二充分条件 定理：设f (x)在点x0 的某邻域内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且,(1) (1) 若,则f(x)在点x0取得极大值 (2)若,则f(x)在取得极小值。证：由于, 则所以在x的某邻域有)=0 0从而，当xx时, 由第一充分条件知，为f(x)的极大值 （同理可证（2）例2：求f(x)=x-3x-9x+5的极值.解一：f(x)=3x-6x-9=3(x+1)(x-3) 令f(x)=0,得 x= -1.x=3 x (-,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 10 极小值 -22 函数有极大值，f(-1)=10 极小值f(3)= -22解二：f(x)=3x-6x-9=3(x+1)(x-3)f(x)=0 得x= -1,x=3f”(x)=6x-6 f”(-1)=10f”(3)=120 函数有极小值f(3)= -22二最大值与最小值 1 1 设f(x)在(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上必有最值求最值的方法：求f(x)求出f(x)在a,b内的所有驻点和不可导点x(I=1,2,n)求f(a),f(b),f(x),其中最大（小）的即为f(x) 在a,b上的最大（小）值。例3：求y=x-8x+2在-1,3上的最值 解:y=4x-16x=4x(x-2)(x+2) 令y=0 得x=0, x=2 , x= -2（舍去）f(0)=2 f(2)= -14 f(-1)=5 f(3)=11所以函数在-1，3上的最大值f(3)=11，最小值f(2)=-142 2 f(x)在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际问题的性质知f(x)的最大（小）值一定存在，则在驻点处取得最值。例4从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积最大？解：设小正方形的边长为a盒子的容积V=x(a-2x) x(0,)V=a-8ax+12x令V=0 得x= x=（舍去）由问题性质知最大容积一定存在，所以，当正方形的边长为，即从四角各截去一边长为的小正方形，可使盒子的容积最大例5：一张1.4米高的图片，挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8米，问观察者应站在据墙多远处看图才清楚，（即视角最大）？解：设观察者距墙x米，视角为。=arctan- arctan =arctan -arctan x(0,+)=+令，得x=2.4由问题性质知最大倾角一定存在，所以当观察者站在距墙2.4米时看图最清楚 2多变量函数的极值极值(极大值或极小值) 设函数y= f (x1,x2,)= f (x)定义于区域D中，且x0=()是这区域内的一点.若点x0有一个邻域 0|,i=1,2,使对于其中一切点，下面不等式成立：f (x) f (x0)则称函数f (x)在点x0处有极大值（或极小值）.极值存在的必要条件 假定函数f (x)在区域D内存在有限偏导数.若在点x0(D)处函数有极值，则必有 （2）所以极值只能在使（2）式成立的点达到，这种点称为稳定点.极值存在的充分条件(二元函数的情形) 设点x0=（）为函数y= f (x1,x2)的稳定点，并且函数f (x1,x2)在稳定点x0的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进记号，k = p1+p2上指标“0”表示偏导数