（应用数学专业论文）含有一个控制的拟线性抛物系统的能控性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 设q 是r 中的一个有界开子集，其边界a q 是g 2 光滑的。u 是n 的 非空子集，勋是叫的特征函数，t 0 是给定的常数，我们引入如下记号 g = q ( o ，t ) ，e = a q ( 0 ，t ) 本文讨论如下系统的零能控性和逼近能控性： iy t 一g + f ( x ，t ，y ，z ，v f ) = 0在0 内， lz t z 3 z + 夕( z ，t ，y ，二，v g ，v z ) = x 。u ( x ，t )在q 内， iy = z = 0在e 上， 【( z ，0 ) = y o ( x ) ，= ( z ，0 ) = z o ( z )在q 内， 其中u 三0 0 ( 0 ，t ) ) 是控制函数，初始状态( y o ，z o ) ( w l 0 0 ) n 瑶( n ) ) 2 所谓系统的零能控性是指对给定的t 0 ，( y o ，z o ) ( w l , 。o ( q ) 几瑶( q ) ) 2 ， 存在控制u l 。( q ) ，相应的解( y ，g ) ( l o 。( o ，t ；l 2 ( q ) ) ) 2 满足 ( y ，z ) ( ，t ) = 0 在q 内 所谓系统的逼近能控性是指即对任意( y d ，z r z ) l 2 ( q ) 五2 ( q ) 和 0 ： 存在控制u l o 。) ，相应的解( y ，z ) ( l ”( o ，t ；l 2 ( q ) ) ) 2 满足 i | ( f ，= ) ( ，t ) 一( y d ，z d ) i i 口e 在n 中 系统中非线性项，( z ，t ，y ，。，v y ) ，9 ( x ，t ，y ，z ，v y ，v z ) 具有局部l i p s c h i t z 连 续性控制只加在一个方程上，而对一个系统施加最小数目的控制或使其中的 控制满足一定条件是我们在控制领域经常讨论的问题本文证明的难点是线性 化系统的观测估计，这比控制加在系统的两个方程更加复杂 本文以如下的思路证明了系统的能控性； 一介绍了与该问题相关的研究背景和相关闻题的研究进展，并在此基础 上叙述了本文的主要结果 二线性化系统的全局c a r l e m a n 不等式和观测估计 三零能控性的证明 四逼近能控性的证明 关键词：零能控性；逼近能控性；c a r l e m a n 不等式；观测估计 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h ea i mo ft h i sa r t i c l ei st op r o p e rt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h ef o l l o w i n g q u a s i - l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m w h e r ey ，za r et h es t a t e sa n du l ( u ( o ，t ) ) i st h ec o n t r o lf u n c t i o nw h i c h a c t so nt h e s y s t e mt h r o u g h t h es u b s e tu ( 9 0 ，z 0 ) i sg i v e nf u n c t i o ni n ( w 1 。( q ) n 硪( r i d 2 s y s t e m i ss a i dt ob en u l l c o n t r o l l a b l e ，i e ，f o re a c h ( y 0 ，匈) ，t h e r ee x i s t sa c o n t r o l “三( q ) ，s u c ht h a tt h es o l u t i o n ( y ，石) ( 三( o ，t ；l 2 ( f 2 ) ) ) 2s a t i s f i e s ( y ，z ) ( ，t ) = 0 i nn s y s t e m i ss a i dt ob ea p p r o x i m a t e l yc o n t r o l l a b l ei nl 2 ( q ) 三2 ( q ) ，i e ，f o r e a c h ( y d ，z d ) l 2 ( q ) l 2 ( q ) a n da n ye 0 ，t h e r e e x i s t sac o n t r o l 让，s u c ht h a t t i ms o l u t i o n ( y ，。) ( l 。( o ，? ；铲( q ) ) ) 2s a t i s f i e s ( y ，z ) ( ，t ) 一( y a ，z d ) i i l 2 e i nq t h en o n l i n e a rt e r m s ( x ，t ，z ，v y ) ，9 ( z ，t ，y ，z ，v y ，v z ) a r el o c a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u s m o r e o v e r t h ec o n t r o lf o r c e sa c to nas i n g l ee q u a t i o no ft h e s y s t e m s ，c o n t r o l l i n gas y s t e mw i t ham i n i m u m n u m b e ro ff o r c e so rb yf c i r c e s s a t i s f y i n ga na l g e b r a i co ra n yo t h e rt y p er e l a t i o n i sac o m m o np r o b l e mi nt h e c o n t r o lt h e o r y , t h ek e yi n g r e d i e n t so f o u rp r o o fa r eg l o b a lc a r l e m a ni n e q u a l i t y a n do b s e r v a b i l l t ye s t i m a t ef o rt h el i n e a r i z e ds y s t e ma n dt h e nt o u s eaf i x e d d o i h tt h e o r e m t h em a i nd i f f i c u l t yi st op r o v et h eo b s e r v a b i l i t ye s t i m a t ef o r t h ei i n e a r i z e ds y s t e mc o r r e s p o n d i n gt ot h ec o n t r o lb yas i n g l ef o r c ew h i c h i na l l q q q m m m m o 卜 濒怖挲圹矿驴盹 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s v e r yd i f f e r e n tw a yf r o mt h ec a s et h a tt w oc o n t r o lf o r c el o c a l i z e do nt h es a m e s u b d o m a i n t h ea b o v ep r o b l e m sw i l lb ed i s c u s s e da st h ef o h o w i n gf o u rp a r t s ： p a r t1 h l t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ec o n t r o l k a b i l i t yr o b l e ma n dt h e r e l a v a n tr e s e a r c hp r o g r e s s ，w h a t sm o r e ，w es t a t eo u rm a i nr e s u l t p a r t2 g e t 斟o b a lc a r l e m a ni a e q u a l i t ya n do b s e r v a b i l i t ye s t i m a t ef o rt h e l i n e a r i z e ds y s t e m p a r t3 w e p r o v et h em a i n r e s u l t so fn u l lc o n t r o l l a b i l i t y p a r t4 p r o v ea p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h es y s t e m k e y w o r d s ：e x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t y ；a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y c a r l e m a ni n e q u a l i t y e s t i m a t e ；o b s e r v a b i l i t ye s t i m a t e i n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：何务莫 日期：j d 屿年6 月g 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：何争箕 日期：) o 蚺月j ；日e l g q ：钆：o ；蜮j l 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，著可按“章 程”中的规定享受相关权益。回童迨塞堡奎唇溢卮；旦圭生；旦= 堡；固三玺 筮盈l 作糙州可锤撕始 日期：) 曲箩午6 月f 弓日 日期： j o 气争午6 月f ；日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言和主要结论 设n 是兄。中的一个有界开子集，其边界a q 是c 2 光滑的，u 是q 的 非空子集，是u 的特征函数，t 0 是给定的常数，我们引入如下记号： q = q ( 0 ，t ) ，= a q ( 0 ，丁) 考虑拟线性抛物系统 fy 一可+ ，扣，t ，y ，z ，v 可) = 0 在q 内， j 魂一a z + g ( x ，f ，z ，v 弘v z ) 。x w 扛，t ) 在q 内， f 1 1 ) l = z = ” 在上，一 i 可( z ，0 ) = v o ( x ) ，z ( z ，0 ) = z o ( x ) 在q 内， 其中缸l o 。( o ，t ) ) 是控制函数，( y o ，z o ) ( w 1 。( q ) n 砩( q ) ) 2 对任意= ( 。，岛，6 ，囟) rxr xr r 。，我们记= ( ，4 ) ，其中 f ：( f 1 ，6 ，矗) r r r ，黾r 类似地，我们记p = ( p ，器) 蚓i ： ( e l ，憾哟 函数，( z ，；0 ，g ( z ，；f ) 分别是关于手，的局部l i p s c h i t z 连续 函数对任意，下面的等式成立： m ，t ；a m ，删) = o 昙雕一固如2 萎五6 ， g ( 刈；) 一g ( z ，t ；o ) = z 昙夕( 州；盯汕2 薹协+ 白， 其中 删舻0 1 瑟如洳州州= 上1 考扣洳 由于f ，g 是关于己的局部l i p s c h i t z 连续函数，我们有 ，g j 是l t 函数( 这 里及下文中除非特别声睛下标t ，j 均指i = 1 ，3 ，j = 1 ，4 ) 利用这些符号，系统( 1 1 ) 可改写为 fy 。t 一- l x y 。+ + ，y ，1 ，y + + ，。2 。z + + ，：。w v ，y + = 。- 。v f ( 。：c ：, t ；曼珏c z 1 掣= z = o 【( z ，o ) = 。( z ) ，。( 茁，o ) = z o ( x ) q 电电l 呐卸卸枢秘 吣如力 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为了使系统( 1 2 ) ( 其中控制只作用在一个方程上) 中的两个方程耦合，找们 需要 在q ( 0 ，t ) 中几乎处处不为零为此我们假设： ( h 1 ) 存在u o u 和常数m 0 ，对v f r r r 和几乎处处 ( 。，t ) u o ( o ，t ) ，我们有鬈m 或麓兰m 我们将发现系统( 1 2 ) 的能控性和函数一，( z ，t ；o ) 垒y o ( z ，t ) ，一9 ( z ，；o ) 垒 g o ( x ，t ) 的性质有关，我们假设 ( h z ) x c v ( x ，t ) q ，0 ( z ，t ) ，g o ( x ，t ) el 。旧) ，存在函数h l ( x ，t ) ，h 2 ( x ，t ) 三。( q ) ，满足 l i f o ( z ，t ) l l l * e - a i l h a ( x ，t ) l l l 一，l i g o ( z ，t ) i i l * e - a i i h 2 ( x ，t ) l l l o 。， ( 1 3 ) 其中。的定义见下文中( 2 3 ) 这里及下文中，我们记b 表示z e ( q ) ，z e ( q ) x p ( q ) 或者护( q ) ，( q ) 护( q ) ( 1 p o o ) ， 本文的第一个主要结论是： 定理1 1 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，并且 ；l 怨坠篙i o g i 群1 舻必一o ， ( 1 a ) - o 。 ( + l l i m 隧：塑 垫趔：剑：o 卜m l o g i ( 1 + i i 1 1 ) 则( 1 2 ) 是零能控的，即对每一个( 蜘，z o ) ，存在控制l 。( q ) ，系统( 1 2 ) 相 应的解( y ，z ) ( l o 。( o ，t ；三2 ( q ) ) ) 2 满足 ( y ，z ) ( ，t ) = 0 在q 内， 并且 1 1 2 , 1 1 l * c t ( i i ( y o ，z o ) 1 l ：+ l i h l i i l ：+ | | 2 i l l ：) ， ( 1 5 ) 这里及下文中我们记 曲= e 印( g ( 1 + 鬲1 + | 1 0 1 l i + 1 1 6 1 l ：+ ( 1 l a l t l + 陋0 i ) 丁) ) ( 1 6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对，o rxr xr “x r “，我1 门记 f ( z ，t ；固= ，( z ，；+ p ) 一， p ) = z 1i d 盯f ( 。，i p + 盯国如= 塞五& ， ，联) = 9 ( 州；卅) 叫州掣) = z 1 石d 如，蜓。+ 如= 塞葑 其中 确 自= f 0 1 两a f ( 州；p + 盯。如，驰，斌) = 0 1 老( 州掣+ 岫 函数f ，g ，五，西均和o 有关本文第二个主要结论是： 定理1 2 假设( h 1 ) 成立并且 l i m ! ( 立垄2 生! ! ! ! ! ( 亟鱼21 兰! ! ! i ! j ：o ，( 1 _ 7 ) 一m l o g ( 1 + i f j ) 。 1 i ml 墨壁! ! ! 盈 ( 鱼鱼2 竺! 生盟! ：o - + ”l 0 9 5 ( 1 + 1 1 l i ) 对每一个紧子集k r xrxr r 上的任意f o k 一致成立则系统 ( 12 ) 是逼近能控的，即对任意( v d ，) 三2 ( n ) 二2 ( q ) 和e 0 ，存在控制， 系统( 1 2 ) 相应的解( y ，z ) ( l o o ( o ，t ；工2 ( q ) ) ) 2 满足 j j 国，z ) ( ，t ) 一( 抛，钰川弘 在q 中， ( 1 8 ) 并且 l i u | 1 l 。sc ( i | ( y o ，z o ) 1 1 l t + 1 t h - l i ：+ i i h 2 忆= ) 近几年来，线性和半线性抛物方程的能控性日益成为人们研究的兴趣所 在 1 】利用不动点定理证明了非线性项具有全局l i p s c h i t z 连续性的半线性热 传导方程的逼近能控性本文将会证明一个更完备系统( 1 1 ) 的零能控性和逼 3 近能控性，其中非线性项中含有状态变量及其梯度项并且是局部l i p s c h i t z 连 续的，控制只加在系统中的一个方程上，而对一个系统施加最小数目的控制或 使其中的控制满足一定的条件是控制领域经常讨论的问题本文证明的关键是 线性化系统的全局c a r l e m a n 不等式和观测估计以及不动点定理的运用而本 文的难点是证明线性化系统的观测估计，这比控制加在系统的两个方程更加复 杂 本文的结构如下：第二节我们主要证明线性化系统的全局c a r l e m a n 不等 式和观测估计第三节证明我们的主要结论及定理1 1 最后我们证明定理1 2 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章全局c a r l e m a n 不等式和观测估计 在给出本文的主要结论的证明之前，我们首先给出在证明我们的主要结论 过程中需要的一些主要技巧及其证明考虑线性系统 fy t 一+ a l y + a 2 z + a a v y = f o ( x ，t )在q 内 i 魂一a z + b l y + b ：z + b 3 v y + b 4 v z = 地钍忙，t ) + 9 0 ( x ，t ) 在q 内， ly = z = o在上 【口( 。，o ) = y o ( x ) ，z ( x ，0 ) = z o ( x ) 在q 内 一妒t 一妒+ a l 妒+ b l v v ( 3 妒) 一v ( b a v ) = 0在q 内， 一仇一口+ 。2 妒+ 6 2 ”一v ( b 4 7 2 ) = 0在q 内， f 2 2 1 妒= 7 2 = 0在上， 、 7 妒( ，t ) = l p o ( z ) ，u ( ，t ) = v 0 ( 茁) 在n 内 这里妒o ，v o l 2 ( q ) 是给定的函数 接下来，我们将证明系统( 2 2 ) 的全局c a r l e m a n 不等式，为此需要证明两 个引理引入一些记号：u 7c cu 是u 的一个非空子集卢c 2 ( q ) 满足： m i n i v z ( 删，。研) 。，鬟。在a 吐 其中n 是指a n 上的外单位法向量，对a 0 ，f 0 ，设 绯) = 南，吣，归r 警北q ( 2 3 ) 下面我们首先回忆 8 中关于下列线性系统的全局c a r l e m a n 不等式： f 一仇一一= f 0 + 墨- 罄 在q 内， 毋= o在上，( 2r 4 ) 【口( ，t ) = 伊( z ) 在q 内， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中r ，最l 2 ( q ) ( 1 冬i ) ，秽o l 2 ( f 2 ) 我们有： 引理2 1 设a o 1 ，7 0 = c ( t + t 2 ) 0 ，对任意a a o ，r ，系统 ( 2 4 ) 的解秽满足： r 3 上t 二e - 2 a p 3 毋2 如出g ( j ( t 五1 f o l 2 e 一2 。如出 + r 2 姜z t 五1 只1 2 矿e q 。出出+ z t 上, , _ 3 p 3 e - 2 a 0 2 妇出) ( 。5 ) 这里及下文中除非特别声明，c 泛指只依赖于q 和w 的常数 对给定的a ，7 _ ，令6 = r p 并考虑函数： 1删) = z t 五e 也踟2 揪 对系统( 2 2 ) 中的两个方程利用不等式( 2 5 ) ，我们得容易得到如下引理： 引理2 2 对任意a a o ，r n = c ( t + ( 1 + t i a l t l 。+ l i b l l ! 。) t 2 ) ，系统 ( 2 2 ) 的解满足z f 五e “( 丹”2 ) d x d t _ cf 。r 肌2 ) e - - 2 。揪 ( 2 6 ) 这里及下文中我们记 i l a l l 2 。= ( 1 l a , l l ；, 。+ i b , l l , 。) ， l i b l l 2 。= l l a 。i i i 。+ i i b 1 1 2 。+ l i b 4 1 1 2 。 下面给出一个非常重要的引理： 引理2 3 对任意a a o ，7 - 芝t 1 和r 【0 ，2 ) ，系统( 2 2 ) 的解( 妒， ) 满足 z t 肌。+ ”2 ) e - 2 。d x d t g ( 1 + f t 4 讹i i ，b ，1 1 。) o tp 咿砒( 2 - 7 ) 6 证明的主要思想是对v t - 【0 ，2 ) ，估计z t l , c p 2 e - 2 凸d x 出和f 五e ”。”2 d 。出 令u ，c c c c uc cq 切断函数( g o 。( 冗”) 满足： f ( ( z ) = 1 vz w ， 0 ( 。) 茎1 vz u “， i 0 ，令 a ( t t ) ：，( e p a 妒2 一岛e 一2 。q 妒口+ 卢l e 一4 。口 2 ) d x 对a 关于t 微分并用系统( 2 2 ) 中的表达式代替忱，仇，我们得到 i 乒徽矿蚺嫁a 东a p 7 s - 响2 e p 裟pa o | ( p - 4 - q f l l e 2 出 十( 风e 一2 。叩6 l 一9 。d 川一2 卢l e 一9 。叩5 6 2 ) 计d z + 7 f 一2 e p n 叼 6 l 一2 f l o e 一2 a 川+ z o e - 2 。卵。1 + 岛e 一2 。和2 2 p l e - q a ”y 2 * a 2 ) 妒口d z + 。厂( 2 e p n 卵 妒妒一风e 一2 。叩( 口妒+ c a r ) + 2 卢l e 一驴叼口甘) 出 + 况。哪南v ( 酬如 + | 2 e - p 妒v ( 6 3 u ) 一卢o e 一2 。q v ( 。3 妒) 一芦0 8 2 。矸妒v ( 6 4 u ) ) d 茁 + 。r ( 一声o e - 2 v v ( b 3 口) + 2 芦1 e 一口8 町口v ( 6 4 口) ) d 岱 垒f 雪o a 2 e - 2 n 町妒2 d x + 五+ 以+ 以+ 五+ 以+ 以+ z - 由于a ( o ) ：a ( t ) = 0 因此在( o ，丁) 上对( 2 8 ) 积分我们得到 一 i 曩，附巳_ 铀h 矿d x d t = j t + j 2 + j 3 + j 4 + j 己+ j 6 七j 1 ， 其中五：学名出( i = 1 ，7 ) 分别估计j 1 ， 我们得到： f o tl , e - 2 p e d x d t a o ，丁 n ，r 0 ，2 ) ，系统俾纠的解( 妒，v ) 满足 z r 五e 一纽( t p 2 + ”2 ) d x d t ) ，f o ( x ，t ) ，g o ( x ，t ) ，1 , l 。旧) ，系统偿圳存在唯一的解( y ，z ) 满足 ( y ，z ) ( 三。( o ，丁；w i , o o ( q ) ) nw 毕( o ，卅；三2 ( n ) ) ) 2 并且 f | 0 ，z ) f | l o 。( o ，e ，* ( n ) ) + f | ( 可，z ) i f t ：( 0 ，t ；驴( n ) ) e x p a ( 1 + t + ( t + t ) ( i i n i i l + 1 1 6 i | 羔) ) l ( 2 1 1 ) ( k y o ，z o ) l j ：，+ f l u i i l * + i l ，0 i l l 一十l i g o l l 泸) 我们可以利用半群的理论证明此引理，详细过程参见倒中的附录部分 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章零能控性的证明 这一节我们证明定理1 1 我们首先证明线性系统的零能控性，然后利用不 动点定理证明非线性系统的情形 0 1 线性系统的零能控性 定理3 1 设0 t ，幻l 。，a 2 o ) ，( y o ，劲) ( w 2 舻) n 硪( n ) ) 2 ) ，则系统( 2 1 ) 存在k 2 讳, i “l o 。( q ) 使得相应的解( y ，。) ( l o 。( o ，t ；w 1 , o o ( q ) ) n w 1 ，2 ( o ，叫；l 2 ( n ) ) ) 2 满足 ( y ，。) ( ，t ) = 0 在q 内， 并且 l l u ( x ，t ) l l p c b ( 1 l ( y o ，z o ) l l l 。+ l i h l l f 胪+ i i h 2 1 1 l 。) ( 3 1 ) 证明：令r n ，a a o ，记= e 一1 。( n ) 1 ) 考 虑与系统( 2 1 ) 相应的最优控制问题： ( p 。) m i n i m i z e ；上t 上e r a u 2 d x d f + 磊1l i 白，。) ( ，t ) | | 2 ： ， 其中u l 2 ( q ) ，( y ，z ) 是系统( 2 1 ) 相应的解则最优控制问题( p 。) 存在最优 对( ( 骓，盏) ，u 。) ，并且由p o n t r i a g h i n 最大值原理，我们有 。= e - r t 2 a e 在q 中，( 3 2 ) 其中v 。，恍是下列共轭系统的解 f b 妒。一+ l 妒。+ 6 1 一v ( a 3 忱) 一v ( b 3 v e ) = o在q 内， i 一鼠一魄+ 0 2 妒。+ b 2 v 。一v ( b 4 v 。) = o在q 内， l 仇= = 0在上， 【忱( ，t ) = 一骓( ，r ) ，( - ，t ) = 一。1 z 。( ，t ) 在q 内 系统( 2 1 ) 两边分别同乘以忱，v 。并由分部积分和c a u c h y - s c h w a r z 不等式，有 0 2 上e l n ”如d t + 扣骓，名) ( ，t ) 嵫 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s t l ( y 。，。o ) 1 1 l 2 e ，v d ( ，o ) 1 1 l 。+ o 厶( ，0 饿+ ”) 如d t ， ( 3 3 ) 再由观测不等式( 2 1 0 ) ，得到 l f ( 珈，z o ) l l l 。i | ( ) ( ，o ) i i l ：国( f e - r a 蜓2 “z 叫：1 i i ( u o ，z o ) i l 兰。 ( 3 4 ) j uj u 由假设( h 2 ) 和c a r l e m a n 不等式( 2 9 ) ，有 0 厶( ，0 恍+ 卯s ) d 留窖 搿签鬻搿怨箬 s ， + ( z v l 五 e - 2 。u ；如d t ) ( z 2 五燧出d t ) 。】 p 。 茎e ( 1 + f ；- 4 + i l a , , 幻1 1 6 ) ( z 1z e r 。吒2 “。“叫z 1 ( i ，i i 。z + l i b 。i i c 。) 于是结合( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，得到 i f l y = i - - r a v 。i i - ( j ( j | ( y o ，z o ) l l z + l i h l l l l 2 + i | 2 i i l 。) 这样我们得到了l 2 中的一个控制。，下面我们将找到一个控制“l 。 设s 是任意小的常数，0 s o 8 l - b 一1 8 = 8 ，2 = m o 仇1 m 2 。，c 。e ， 对每个j 0 0) ，定义 西= e - ( 什啪。，弓= e - ( 什s j ) 。，( 3 7 ) 为了计算的方便，我们记o ( 。，t ) = 白( z ，t t ) ，白( z ，t ) = 弓( 。，t t ) ，而相应 a 0 一白= 一a 1 0 j b 1 9 + v ( a 3 p j ) 一v ( b 3 9 ) + 协在q 内， a 曰一如= 一。2 曲一6 2 句+ v ( b 4 q j ) + 。在q 内， f 3 8 1 o = 句= 0 在上， 、 曲( ，0 ) = q ( ，0 ) = 0 在q 内 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从【l s uj 中的定理1 6 3 ( p 4 1 2 ) 我们推出关于热方程的d i r i c h l e t 边值问题的解 的生成半群 s ( t ) 的如下不等式： i i s ( t ) l l p c t 一譬( 一钏p 怯， i i s ( t ) 。f f l 。c t 一引i vi 1 一言) 一；h ，( 3 9 ) 其中0 。， h 咖怕 t 一 忙 = 0 s 妒 知 勺 + r一 沁 l j 中其 硕士学位论文 m a s l 卫r st h e s i s 不失一般性我们假设t q t 出因为s ，+ l s j ，由( 3 7 ) 我们得到 lj o + 1 】j l m j f q ) = j j o ，e - ( s j + 1 一勺) 4 。j l l m ，( o ) l l a l l ， 胂巍e-(si+l-sj)。1l”j(q扎)iiil。q)ipj e - ( s + i - - 8 叫。裟弱，( 3 1 1 )i j += l j ，) “a o l l l 叫( o ) 譬l i o l l l 旧) ， 、。 i il j + 1 1 l l ”_ ( 。) = i i o e - ( q + 1 卸) 。0 t a 0 1 l m j ( q ) g | | 勺1 | l m j ( q ) 再由( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) | l0 + 1l ll m ，+ - ( o ) + i l 勺+ 1 | l l m j + ，( o ) c t 。( 1 l a l l l 一+ 怕j | l o 。+ 言) ( | j 勺jj l 巧( q ) + j j o j j l m ( 斜) ( 3 1 2 ) 另一方面，当m o = 2 时，由c a x l e m a n 不等式( 2 9 ) 和( 3 6 ) 式，我们有 1 i 卯0 2 m 。( 纠+ i k o l i 2 m 。( 。) = z 。厶8 川p 舢曲。( 畈2 + ) d 。出 a z l 正r ( 蚝2 + u 融出 墨c ( 1 + ；t 佻酬6 ) z t p 。啦峨 墨 + f + i 嘶，6 j ) 0 上。7 。如d 。， 再结合( 3 4 ) ，( 3 1 2 ) 得到 i l p i i l 。+ i i 0 ，所以 l l u 。0 l 。( 1 t 吣( 可o ，) i 【p + l l h l l l l 。+ i l h 2 1 1 l 。1 则存在子列，不妨仍记为自身 “，二、u在工。( u ( 0 ，丁) ) 中， 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s l i u l | l o o c - ( 1 | ( y o ，z 0 ) | | l 。+ 1 i h ll i + 1 1 2 l i l z ) 令 ，讫) ) 是与相对应的解，则 ( 骓，毛) ( l o 。( o ，t ；w 1 , o o ( q ) ) nw 1 , 2 ( o ，t ；工2 ( q ) ) ) 2 j i ( w ，名) i k * ( o ，e w ，* ( n ) ) + | j ( 乳，z ；) l 1 w ，t ( o ，卅；l z ( n ) ) e x p c ( 1 + t + ( t + t ) ( i i a l i l * + | 1 6 l i 。) ) ( l l ( v o ，z o ) i w ，+ f f u i | l 一+ i i f o i i l * + f i o o i i l 一) 由a u b i n - l i o n s 紧嵌入引理，至少存在一个子列不妨仍记为自身 在三2 ( q ) l 2 ( q ) 1 l ( y ，z ) | | l * ( o ，t ；w t ，* ( n ) ) + l l ( y ，。) 1 1 w t ，2 ( 【0 ，司；l 。( n ) ) s c ( n ，u ，| i 。lj z * ，jj 6 i i l - ) ( i i ( y o ，z o ) l l w 砷+ i i ，0 l | l * + i g o h 一) ， 令e _ 0 ，则( y ，z ) 是系统( 2 1 ) 与u 所对应的解由( 3 3 ) 式知道对v e 0 ，均 有 i ( 乳，磊) ( ，丁) 忆： n 我们假设五，g j 连续并且 满足条件( 1 4 ) 则对任意s 0 ，存在b 0 对任意r r 月r ， f + ，2 + 9 1 + 卯f ；+ f ，3 + 9 3 + m 1 2 c ：+ c l o g ( 1 + k l i ) ( 3 1 4 ) 设r 0 是固定常数它的取值由下文决定做切断函数：r _ r ，t r ： r r 剐) - 如( ? )箸忙怪咒 珏( p ) = ( t r ( p 。) ) 1 。! 跏r n 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对任意( p ，q ) ( l 。( o ，t ；w 1 ，。( q ) ) ) 2 ，考虑相应的线性化系统 轨+ ( 2 k 扫) ，t r ( g ) ，t r ( v p ) ) y + 走( 珏p ) ，( g ) ，t r ( v p ) ) z + ( 珏扫) ，珏( g ) ，t r ( v p ) ) v v = 而( z ，t ) 在q 内 z t z + a s ( t r ( p ) ，t a ( q ) ，t r ( 1 i i 印) ，7 k ( v q ) ) + 晚( 珏( p ) ，t r ( q ) ，珏( 口p ) ，珏( v q ) z + 船( 珏仞) ，( g ) ，t r ( 泖) ， t a ( v q ) ) v v + 乳( 珏( ，( g ) ，珏( v 动，( v g ) ) v 2 = x 。u ( z ，t ) + 9 0 ( x ，t ) y 。z = 0 y ( 。0 ) = y o ( x ) ，z ( x ，o ) = z o ( z ) 在q 内 在上 在q 内 ( 3 1 5 ) 则( 3 1 5 ) 即为( 2 1 ) 当 啦= 8 ：= 五( 珏扫) ，t r ( q ) ，珏( 泖) ) 三。， r 3 1 6 1 如= b ；= 毋( t r ) ，t r ( q ) ，t n ( v 功，t a ( v g ) ) l 。 、 情形此处及下文中我们以上标* 表示取值与( p ，q ) 有关 由假设( h 1 ) j 口； o ) ，我们可以对( 3 ，1 5 ) 应用定理3 1 ，事实上我 们将在一个充分小的时间( o ，p ) 内来应用定理3 1 ，其中t = m i n ( t ，f l a + l l 蔷， l p 。要) ( 这样我们将会得到所求解和控制的很好估计式，相对应于霹，衅我们 类似1 1 a 1 1 , 一，恻k o 。定义j l a + | j 护，咿| j 伊) 由定理3 ，1 ，存在控制矿三o 。 ( o ，t ) ) ，系统( 3 1 5 ) 在q ( 0 ，t 4 ) 上相应的解满足( 口，矿) ( z ，t + ) = o 并且 面+ | | l o 。s ( j ( i i ( u o ，z 0 ) i l 驴+ l h l f i 口+ l f ，k | 【弘) 令“4 ，( y 4 ，矿) 分别是，( 矿，矿) 在q = q ( 0 ，t ) 上的零延拓，则( + ，z + ) 是( 3 1 5 ) 与相对应的解并且在q 内满足( 目+ ，矿) 扛，t ) = ( 0 ，0 ) 结合t + 的 定义我们有 。 f l 。se x p c ( 1 + 1 1 8 + 7 。+ l i b l f 2 。) 1 l ( y o ，z o ) l l l 。+ l i b 。l 。+ j | 2 l l ：1 ( 3 ，1 7 ) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 另外，由引理2 4 ，( 矿，z 4 ) ( l o 。( o ，t ；w 1 o 。( n ) ) n w l ，2 ( o ，t ；l 2 ) ) ) 2 并且 j i ( y + ，2 +