（新课标）2020版高考数学二轮复习专题四概率与统计第2讲概率学案文新人教A版.docx

第2讲概率 做真题1(2018高考全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3B0.4C0.6 D0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4.故选B.2(2019高考全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B.C. D.解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则基本事件共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为，选B.3.(2017高考全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B.C. D.解析：选B.设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为.根据几何概型的概率公式，得所求概率P.故选B.4(2017高考全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100.所以，Y的所有可能值为900，300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.明考情1以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件2概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度几何概型(基础型) 知识整合 几何概型的概率公式P(A). 求解几何概型的概率应把握的两点(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(2)寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域考法全练1(2019福建五校第二次联考)在区间0，2上随机取一个数x，使sinx的概率为()A.B.C. D.解析：选A.当x0，2时，0x，所以sinxxx.故由几何概型的知识可知所求概率P.故选A.2(2019广东六校第一次联考)在区间，上随机取两个实数a，b，记向量m(a，4b)，n(4a，b)，则mn42的概率为()A1 B1C1 D1解析：选B.在区间，上随机取两个实数a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上因为mn4a24b242，所以a2b22，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以mn42的概率P1，故选B.3(2019福建省质量检查)某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是()A. B.C. D.解析：选D.记顾客中奖为事件A，恰抽1次就中奖为事件A1，恰抽2次中奖为事件A2，恰抽3次中奖为事件A3，每次抽奖相互独立，每次抽奖中奖的概率均为，所以P(A)P(A1)P(A2)P(A3)，故选D.古典概型(综合型) 知识整合 古典概型的概率P(A). 古典概型的两个特点(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等典型例题 (2019安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A类轿车B类轿车C类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1i8，iN)，设样本平均数为，求|xi|0.5的概率【解】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n2 000，则z2 000(100300)(150450)600400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得，得a2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个故P(E)，即所求的概率为.(3)样本平均数(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1i8，iN)，|xi|0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个所以P(D)，即所求的概率为.求古典概型概率的一般步骤(1)求出所有基本事件的个数n，常用的方法有列举法、列表法、画树状图法(2)求出事件A所包含的基本事件的个数m.(3)代入公式P(A)求解 对点训练1(2019沈阳市质量监测(一)某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为()A.B.C. D.解析：选B.由题知可能的结果有：eak，aek，eka，ake，共4种，其中正确的只有一种eak，所以拼写正确的概率是，故选B.2(2019成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A. B.C. D.解析：选C.将齐王的上等、中等、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P，故选C.3某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；(2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率解：将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6种记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，则P(A).(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3，4，5，6)所以P()，所以P(B)1P()1.一、选择题1(2019重庆市七校联合考试)在区间3，4内随机取一个实数x，则满足2x2的概率是()A.B.C. D.解析：选B.由2x2，得x1.又3，4的区间长度是7，1，4的区间长度是3，所以所求概率P.故选B.2(2019高考全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. B.C. D.解析：选D.将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P，故选D.3某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：508：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：509：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是()A. B.C. D.解析：选B.他在8：509：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：509：30之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：509：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是.4(2019南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行312模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A. B.C. D.解析：选B.记地理、化学、生物分别为D，H，S，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9种，小明与小芳选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3种情况，所以他们选课相同的概率为，故选B.5(2019湖南省湘东六校联考)如图，一靶子是由三个全等的三角形和中间的一个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中3DF2BF，若向靶子随机投镖，则镖落在小等边三角形内的概率是()A. B.C. D.解析：选B.因为3DF2BF，所以不妨设DF2，BF3，则DC3，BDC120，由余弦定理可得BC7，所以镖落在小等边三角形内的概率是，故选B.6(2019武汉市调研测试)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为，他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为()A. B.C. D.解析：选B.设该篮球运动员投进第n1(n2，nN*)个球的概率为Pn1，第n1个球投不进的概率为1Pn1，则他投进第n个球的概率为PnPn1(1Pn1)Pn1，所以Pn.所以Pn.所以Pn(nN*)，所以P2.故选B.二、填空题7一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共24个三位自然数由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为.答案：.8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为_解析：由题意，本题是几何概型，以体积为测度因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，所以三棱锥B1A1BC1的体积aaaa3，正方体ABCDA1B1C1D1的体积为a3，所以在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为.答案：9折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为_解析：设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为S正方形AGFES正方形DGHISADG()2()22212，阴影部分的面积为2224，所以向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为.答案：三、解答题10(2019高考天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受现从这6人中随机抽取2人接受采访 员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6910，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种由表格知，符合题意的所有可能结果为A，B，A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，E，C，F，D，F，E，F，共11种所以，事件M发生的概率P(M).11(2019昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为0.9.(1)若引种树苗A，B，C各10棵估计自然成活的总棵数；利用中估计的结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵，求抽到的2棵都是树苗A的概率(2)该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗