（基础数学专业论文）变分复形的有限元离散.pdf

河南人学硕十学位论文 摘要 变分复形是用来研究拉氏系统的理论工具，利用一个正合的变分复形可以解决 很多变分法方面的问题。 本文用有限元方法给出连续水平复形的离散形式，用上链定义了垂直复形的有 限元形式，用上边缘算子构造出垂直形式的等价类，得到垂直泛函复形。继而得到 有限元变分复形然后通过构造同伦算子给出有限元变分复形正合性的证明。 此外，文中第三部分用差分离散变分原理得到有限元离散的拉氏力学的欧拉一 拉格朗日上同调。 关键词：有限元方法，投影算子，变分复形，微分形式，上链，上边缘，辛结构 河南人学硕士学何论文 a b s t r a c t av a r i a t i o n 蛆c o m p l e xi sat h e o r e t i c a lt o o lf o rt h er i g o r o u ss t u d yo fl a g r a n g i a 皿s y s - t e 脚u s i n ga ne x a c tv a r i a t i o n a lc o m p l e xc a ns o l v em a n yp r o b l e m sa b o u tt h ev a r i a t i o n a l c & i c u h 培 t h i 8p a p e rg e t st h ed i s c r e t ev e r s i o no ft h ec o n t i n u o l l sh o r i z o t a lc o m p k xv i at h e 丘n i t ee k m e n tm e t h o d ，t h e6 n i t ee k m e n tf o r mo ft h ev e r t i c a lc o m p l e xb yv i r t u eo ft h e c o d h a j n ，t h ev e r t i c a lf u n c t i o n a lc o m p l e xp r o d u c e db yt h ee q u i v a l e n c er e l a t i o no ft h ev e r _ t i c a lf b r m st h r o u g hac o b o u n d a r yo p e r a t o r 0 nt h eb a s i so ft h e6 n d i n g s ，t h ep a p e rd r a w s t h e6 i t ee l e m e n tv a r i a t i o n a lc o m p l e x ，t h e np r o v e si t se x a c t n e s sp r o p e r t yb ym e a n so ft h e c o 璐t r u c t i o no fa s e q u e n c eo fh o m o t o p y0 p e r a t o r s b 髓i d e s ，c h a p t e rt l r e eg e t st h ee u k r - l a g r a g ec o h o m o l o 鲥i n 七h e6 n i t ee k m e n t d i s c r e t el a g r a n g i a nm e c h a i l i c sv i at h ed i 艉r e n c ed i s c i e t ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e k e yw b r d s ：丘n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p r o j e c t i o no p e r a t o r ，v a r i a t i o n a lc o m p k x ，d i 雎r e t i a lf o r m ，c h a j n ，c o b o u n d a r y ，s y m p k c t i cs t r u c t u r e i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 学位获得者( 学位论文作者) 釜名：；也叶 细6 年f 月夕日 建童：请在相应的“口”内划” 河南人学硕十学位论文 引言 变分法是微积分“派生”出来的数学分支，在牛顿原理( 1 6 8 7 ) 中己显端倪。 他提出物体在水中运动的问题，常速但使阻力最小的物理形状，即求f ( z ) 使得 r 一 “y ( z ) 叭z ) 】3 。一止，可瓣 取最小值，其中( 。) 是绕z 轴旋转生成曲面的曲线。接着，1 6 9 6 年约翰伯努利提出 最速降线问题；1 6 9 7 年约翰提出测地线问题；1 6 9 7 年雅各布伯努利提出等周问题。 到1 8 世纪，欧拉的寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法f 1 7 4 4 ) 标志着变 分法作为一个新的数学分支的诞生。1 7 5 6 年欧拉f 式命名“变分法”为t h ec a l c u l u s o f v a r i a t i o n s 。1 8 世纪变分法的动力之一和应用之一是物理学提出的最小作用原理， 例如光沿最短路径行进a 变分法的核心课题是研究形如j m = r f ( z ，口7 ) 出的 积分的极值，其中函数= ( z ) 是在某一集合y 上变动的。t ，取得极值的必要 条件是f 满足欧拉一拉格朗日方程。1 8 9 7 年法国j 阿达马首先把j m 称为泛函。 这种求泛函极值的问题称为变分问题。 变分法的逆问题和变分复形的历史是很有趣的。h e l m h o l t z 1 1 首先提出：对于 某变分问题，如何确定哪些微分方程是欧拉一拉格朗日方程? 然后他给出二阶常 微分方程情形下的必要条件。m ，e r 2 】把h e l m h o l t z 条件推广到更一般的情形中， 即含一个独立变量和几个依赖变量的一阶拉氏量中。h i r s c h f 3 1 则将它推广到以下情 形：要么含一个独立变量和几个依赖变量，要么含两个或三个独立变量和个依赖 变量的高阶拉氏量。后来，h i r s c h ，v b l t e r r a 4 1 ，、h i n b e r g 5 】，d o u 9 1 a s 6 的工作都 极大促进了这一领域的发展。a n d e r s o n ，d u c h a m p 7 j h e n n e a u x 【8 】提出并解决了 问题：给一个微分方程组，它什么时候等价于欧拉一拉格朗日方程组? 在2 0 世纪7 0 年代早期，变分法的逆问题被看作变分复形和变分双复形的一 部分。而变分复形和变分双复形是变分法几何理论的一个优秀的分枝，反映了代数 拓扑在变分法中的应用。变分复形的概念相继出现在v i o g r d d o v md e d e c k e r 1 0 1 ， 1 河南人学硕十学位论文 ，i 、1 l c z y j e w 【1 1 的文章中，【9 】中用代数拓扑的方法证明了该复形的正合性。 变分复形是用来研究拉氏系统的理论工具，变分法是利用一个局部正合的微分 复形阐明的。利用变分复形及其相关概念和计算，可以解决以下问题：( 1 ) 给定 一个方程，判断它是否是一个欧拉一拉格朗日方程? 如果是它的相应的拉氏量是 什么? ( 2 ) 给定一个表达式，判断它是否是一个全散度，即一个守恒律? d a r n o l d 曾经指出：许多文献表明，如果数值格式仅仅从数量上接近原来的p d e 问题，那 么对于保持数值稳定性是不够的离散微分复形的正合性以及与此p d e 相关的 微分复形的关系是建立数值方法稳定性的关键工具。为了得到稳定的数值格式，考 察离散形式的正合的变分复形是有意义的。 离散分为差分离散和有限元离散，那么什么是有限元离散呢? 我们知道偏微分 方程是描述客观世界数量关系的一种重要的数学方法，大量科学和工程问题( 例如 弦振动、流体力学、万有引力中提出的问题) 的数学模型都被归结为偏微分方程的 定解问题，而且问题复杂，计算量巨大，所以对偏微分方程数值方法的研究引起数 学家的极大兴趣。最早出现的求解偏微分方程的数值方法是差分方法它来源于牛 顿、欧拉以差商代替导数的思想。差分方法的优点是容易适应各种类型的微分方程； 缺点是不容易适应几何形状复杂的求解区域和复杂的边界条件。 有限元方法是r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出的，五十年代由航空结构工程师 们所发展，随后逐渐波及到土木结构工程，到了六十年代，在一切连续场领域，都 愈来愈广泛地得到运用。我国冯康教授和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的 数学理论基础。由于愈来愈多的数学家加入了发展有限元方法的行列，这种方法便 由工程局限性中逐渐解脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，发展成为一 类有广泛应用的数值方法。从数学的观点来看，有限元方法实质上是古典的变分近 似法( 如m t z 法和g a l e r k i n 法) 的推广，是将变分原理和剖分插值相结合的一类数 值方法。古典的变分近似法在构造容许函数类的有限维线性集合( 或空间) 时，很 难构造满足本质边界条件的基函数，对几何形状复杂的区域更是如此。有限元方法 2 河南人学硕十学位论文 将构造基函数变成一种规范的过程，从而使古典的变分近似法成为实用的方法。 与差分方法相比，有限元方法有更好的几何适应性，能很好地逼近几何形状复 杂的区域边界。有限元方法求解数学物理问题的过程大致如下：1 利用某种变分 原理，将原问题化为变分问题，然后用变分近似法求问题的广义解。2 对求解区 域作剖分，剖分的方式要和分块插值相协调。3 采用分块插值的方法构造满足本 质边界条件的试探函数类和检验函数空间，即分别在每个单元上插值，并且插值函 数能在不同单元之间保持某种光滑性连接。4 作单元分析和总体合成，即将变分 泛函或变分方程的计算化为在每个单元上积分之和。5 处理本质边界条件，求解 得到的代数方程组，得到变分问题的近似解，b 口原问题的有限元解。 本文要研究离散形式的变分复形，而关于差分形式的变分复形已经有很多研究 结果了( 参 1 2 ， 1 3 】) ，又基于前面对差分方法和有限元方法优缺点的分析，差分离 散对方程结构和解的精确度逼近程度及稳定性不如有限元离散，故本文的目的就是 构造一个与有限元相关的变分复形，本文考虑的底空间是p 维空间x 。 论文共分三部分： 第一部分给出d er n m 复形( 1 4 ) 以及连续情形下的水平复形的基本概念和 定理( 1 5 】) 。然后讲述有限元方法的原理( 1 6 】， 1 7 ，【1 8 ) ，如何利用有限元方法解 决实际问题，主要讲述1 维和2 维的情形，高维可以类似考虑。在第三节中先定义 全微分r 一形式空间a r 的有限元空问尸， f1 尸= 用” 札 x ，峨。 如。 ， 【l l j t t ，j 然后给出有限元序列一有限元水平复形： o r p 与，1 与乌尸_ o 主要过程是先把原来的底空间x 三角剖分( 【1 9 ) ，再利用投影算子，模仿文献 ( 2 0 ) 的方法投影出一个有限元水平复形，最后证明其局部f 合性。 3 河南人学硕十学位论文 第二部分首先简述连续情形下的垂直复形( 1 5 ) 的相关概念和定理然后引入 代数拓扑中的上链和上边缘的概念( 【1 9 】， 2 1 ， 2 2 】) ，再用d er o m 映射把微分形 式和上链联系起来，构造出单个剖分单元r 上的有限元垂直形式 西= 疗【“。 也j ，“：1 d t ， u ： q j 以及底空间x 上的整体垂直形式 o = 疗【札。 也 ：1 也 u ：7 0 x ， 其中x ，是本文5 2 2 中定义的一种上链得到有限元垂直复形： 户生_ + 声- - 声z - 证明其局部正合性，为下一章构造有限元变分复形奠定基础。 第三部分给出有限元形式的拉氏量，用参考文献( 【2 3 ，【2 4 】) 中的差分离散变分 原理的方法，得到一个与有限元相关的上同调： 对于所有的经典力学的有限元拉氏系统，存在欧拉一拉格朗日上同调 日= e l 也e = o ) f 巨i 最= 也a ： ， 其中啦是底空间的最高维单形e 。上的函数。欧拉一拉格朗同方程 上掣n z ( z 一。裂如) = 。 有辛守恒 。蚍= 0 ， 的充分必要条件是对应的欧拉一拉格朗r1 一形式是闭的，即巩最= o 。 然后根据第二部分给出的有限元垂直形式及上链，定义整体垂直形式的等价 类。因为整体垂直形式就是系数在v + 中的p 维上链，所以可以利用上链的上边缘 定义它的等价类。两个垂直形式称为是等价的，如果它们相差一个上边缘，即： 西l 西2 亭亩l 一岔2 = 巧筇 河南人学硕十学何论文 于是得到等价类空间一有限元泛函r 一形式空间， 只= p | 一、 然后由垂直形式空问之间的垂直外微分出诱导出泛函形式空间之间的变分导数扩 得到有限元垂直泛函复形： o _ 冀j 爿只j 并给出其局部正合性。继而定义有限元欧拉一拉格朗日算子e ，把水平复形和垂直 泛函复形连接起来，得到变分复形的有限元离散形式一有限元变分复形： o _ r p 与，t 与与尸与j 冀j j 最后给出有限元变分复形的正合性的证明。 5 第一章有限元水平复形 本章第一节给出d er n m 复形和连续情形下的水平复形的一些基本概念和定 理，第二节给出有限元方法的理论和算法，第三节用投影算子把连续水平复形和有 限元方法联系起来构造出有限元空间和有限元水平复形。 1 1d e 冗 o m 复形与水平复形 本节将给出d er o m 复形和连续情形下的水平复形的一些基本概念和定理。 假设z 1 ) 一，唧是科上的线性坐标，定义”为由出l i 一，出p 生成的代数， 满足关系： ( 蚶= o ( 1 1 1 ) d z d z j = 一d q d z t ，i j 作为r 上的一个向量空问，a + 有基底：1 ，如；，出； 出j ，出l - 出p ，其中 j 定义1 1 1r p 上的微分形式空间是”( 科) = 舯上的光滑函数 o ”称叫 是一个微分r 一形式，如果u 形如? “。( z ) 出。 电， ( 1 1 2 ) 其中系数函数 ，( z ) 是光滑的。代数a ( r p ) = o ；：oa r ( 群) 是分次代数，其中 a r ( r p ) 由孵上微分r 一形式组成。 定义1 1 2 对于u a r ( 舯) ，它上面的外微分运算为d ：( 舯) a ”1 ( r 9 ) ， 定义如下： 一妾恙掣蛐衄。删， 例1 1 3 在孵上，给定一个微分1 一形式u = z s ，2 出+ z 2 由，则它的外微分 是c 幻= ( 一2 卫+ 2 z ) d z d 河南人学预卜学位论文 例1 1 4 在r 3 上，给定一个微分1 一形式u = a 如+ p 句+ p 出，其中a ，卢，是 光滑函数，则它的外微分是础= ( 如一a y ) 出 咖+ ( k 一) 如 如+ ( 峋一如) 咖 出- 类似地，给定一个微分2 一形式= q 由 d z + 卢d 。 如+ 7 妇 幻，则它的外微 分是c 幻7 = ( q 。+ 岛+ 7 ：) d z d 暮， d 。 定义1 1 5 定义外积 ：”( 妒) a 7 ( p ) a ( f ) ，若t = ，j 出f ，u = 卯出j ，其中，= ( ，一，厶) ，出，= 出， d z f ，z 出类似，则 _ r u = f ，鼬妇，如j ， ( 1 1 4 ) j 。1 ” 注意到r u = ( 一1 ) d e 9 7 出9 叫叫 r 性质1 1 6 外微分d 满足 ( 。) d 2 = 0 ， ( 1 1 5 ) ( 6 )d ( u u ) = d u 人u + ( 一1 ) 出9 。u d u 7 由上面性质中的( ) ，有复形： o _ r a o ( r 9 ) 乌a 。( 妒) 与oa 9 ( 础) o ( 1 1 6 ) 称为d er 口m 复形。 定理1 1 7d er 危o m 复形( 1 1 6 ) ，限制在最高维单形( 或星形域) 上，是正合 的。 向量空间序列 k lj - k 与k + j 乌，称为是正合的，如 果对于v i ，七e r = i m 一1 成立。 那么定理1 1 7 就是要证明 e r m 。= i m 机一( r 一) ( 1 1 7 ) 这个定理就是著名的p o i n c 。r 引理，它的证明方法目前有好几种。其中一种 方法就是构造一个算子序列k ：”( 础) _ a _ ( r p ) ，使得 d 。+ ；+ l d = i d i a 吖r 一) ( 1 1 8 ) 7 河南大学硕士学位论文 成立，映射几称为同伦算子。因为：如果如= 0 ，则( d + + l d 灿= d ，u = u ，这 意味着e r dci m d ；而由d 2 = 0 ，我们又有i m dc 托r d ，所以d er m 复形是正 合的。d er 8 m 复形的同伦算子的构造见 1 5 ，p 6 4 】。 为了研究变分问题，考虑在欧氏空问x = r p 上，坐标z = ( z l j 一，) 表示 独立变量。u = r 口，如果，：x c 厂是光滑函数，则= ，( z ) = ( ，1 ( z ) ，2 ( 嚣) ， p ( 茁) ) = ( 牡1 ，“2 ，一，u 4 ) ，把坐标让= ( u 1 ，u 2 ，“a ) 称为依赖变量。下文中mc x u 表示独立变量和依赖变量形成的空i 白j 中的一个连通的开子集。令u ( ”) = u 仉“，是c o r 把5 i a 礼积空问，它的坐标是函数珏= ，( z ) 的所有从0 阶 到n 阶的导数。坐标是独立变量、依赖变量和依赖变量直到n 阶的导数的空间叫 做全空间x u ( ，把全空间叫做底空间x u 的第扎阶j e t 空间。将依赖于 z ，让，让的直到n 阶的导数的光滑函数，( z ，“( “1 ) 记为，【“ ， “ 形成的空间记为 一4 ( 但又不限制“的阶数n ) 。中的函数就叫微分函数，注意到4 是一个代数。 定义1 1 8 定义全微分r 一形式形如 u = “。 u 】出。 如， ( 1 1 9 ) 其中系数函数，f l “， u 】，全体全微分r 一形式的集合记为”，称为全微分r 一 形式空间。 其中出i 。 出。1 z l 辞茎p ，形成的标准基底。若将 看 作z 的函数札= ，( z ) ，则得到x 上的一个普通的微分r 一形式。 定义1 1 9 全微分运算d ：a r “， 砒2 妾。至。丝掣奶 蛾m 慨t ( 1 - 。) 8 河南人学硕十学位论文 例1 1 1 0 当p = 2 时，u = u 。如+ n 。由是一个全微分1 一形式，则 d = 慨( “。g ) 一玩( 。) 如 由 = u 。+ “。让。9 一。一掣扎。可 d z d ( 1 1 1 1 ) 很容易可以得到：对于任何一个全微分形式u ，d ( d ) = 0 。则d 决定了一个 水平复形 0 一r a o 旦斗a 1 旦斗旦斗a 9 0 ( 1 ，1 1 2 ) 注：水平复形就是把d er o m 复形定义在m 上 定理1 1 1 l 1 5 ，p 3 6 8 如果m 是星形域，则水平复形 o _ r _ a o 与a 1 与与与以( 1 堋) 是正合的。 1 2 有限元方法 有限元方法是近几十年发展起来的一种解决工程与数学物理问题的数值方法， 它在结构力学、弹性力学、流体力学、热传导和电磁场计算等方面都有着广泛的应 用，是求偏微分方程数值解的一个重妻方法。它在数学上属于变分方法的范畴，是 古典变分方法( r i t z g a l e r k i n 方法) 和分块多项式插值相结合的产物。这种结合不 仅使有限元方法保持了原有变分方法的优点，而且还兼有差分方法的灵活性，使古 典变分方法的不足之处得到充分的弥补。 用有限元方法求解一般场的问题时，大致要经过如下几个过程： ( 1 ) 寻找与原始问题相适应的变分形式； ( 2 ) 建立有限元子空间，即选择元素类型和相应的形状函数： ( 3 ) 把变分形式近似地转化为代数方程组； ( 4 ) 有限元方程组的求解。 9 河南人学硕十学位论文 有限元方法最本质的思想，是要构造特殊的有限维子空| 日j 一有限元子空间。 构造有限元子空间，只须构造有限元基函数系。 下面以椭圆方程为例，说明有限元离散化的基本步骤。 考虑如下椭圆方程 r u ( z ) = 一，( “) ，z q ， ( 1 2 1 ) lu ( z ) = o ， z a q 其中q 是础中的有界光滑区域，p = 1 ，2 ，( “) 是非线性光滑函数。令 = h 1 ( q ) ，”i a n = o ) 则对于，有 上一u ”出= 上v u v ”如， 那么方程( 1 2 1 ) 的变分形式是：找到“仰，满足 上v u v ”如= 上，w 如，v ”w ( 2 z ) 为了求得方程( 1 2 2 ) 的近似解，我们使用的有限维子空间，它是由 个线性无关向量曲，如所张成，即 = = c 。也，v ( c ”一，c ) r ， 其中 咖( z ) 是插值基函数系。这单 指剖分单元的最大直径，剖分越细( 即 _ o ) 越精确，参考 1 6 ，p 1 7 8 _ 1 7 9 a 下面只给出1 维和2 维情形，高维情形可类似给出。 1 2 1 单元剖分 ( 1 ) 考虑l 维情形： 把区间【o ，纠剖分成n 个小区间o = z o z l z 。= 厶区间k ，z 件1 称为单元e t 0 = 0 ，1 ，n 一1 ) ，z = 嗣称为节点( i = o ，1 ，札) 。 1 0 - 河南人学硕十学何论文 ( 2 ) 考虑2 维情形： 把区域n 分割成一系列三角形单元的组合( 这是由于三角形剖分在几何上有 很大的灵活性，对边界的逼近程度较好，因此常采用三角形剖分) ，把三角形的顶点 称为节点。设节点为只( 孔，玑) ( i = l ，2 ，一，p ) ，单元为e ( = l ，2 ，一，e ) 。 1 2 2 插值函数 在有限元方法中，解函数在各单元上用适当的插值函数来代替。我们把插值分 成两大类，如果只要求插值函数本身在插值点上取已知值，那么称之为拉格朗r 型 插值。如果还要求插值函数的微商( 包括一阶，二阶，) 在插值点上取己知值，那 么称之为日e r m 打e 型插值。本文中只考虑线性拉格朗同型插值。 ( 1 ) 1 维情形下： 任取单元e ；，假设其两端节点黾，z 州上的函数值为撕和u ，由于1 维线性 函数形如扎( z ) ：衄+ 6 ，由单元e ；上的两个端点可以确定o ，6 ，n ：竺旦二兰，6 ： 丝兰盟二兰! 丛兰，那么u ( z ) 在单元龟上的插值函数u i 为： z t + l q “ = 。( z ) u 。+ 曲。+ 1 ( z ) 扎。+ l ，( 1 2 3 ) ( z ) ：旦，( 1 2 4 ) z 。+ 1 一z 。 称为线性插值基函数。 ( 2 ) 2 维情形下： 线性函数的一般形式是 u = d z + 蚵+ c ，( 1 2 ，5 ) 它有三个待定常数，对每个单元，通常以三角形的三个顶点来确定其具体形式。设 在节点只( 盈，玑) 上u 的值为札，即u ( 乩，玑) = “。，( i = 1 ，2 ，尸) 。任取单元e ， 假设它的三个顶点是只，b ，r 。，它们的顺序是逆时针的，为使( 1 2 5 ) 在这三个顶 篡 = 扛 中其 河南人学硕十学位论文 蠹兰 解之得 其中 ( 1 2 6 ) a = 去嗽扣删蚶驯“。 。= 去 一刚圹酬，一副u 。 ， n z ， c = 去舱外+ 陋小+ 矧u 。 _ 2 。= z l掣4 z | 03 z m 玑“ ( 1 2 8 ) 由于只，b ，r 。顺序是逆时针的，故。是币的，它恰好是三角形单元e 的面积，把 式子( 1 2 7 ) 代入式子( 1 2 5 ) 得到单元e 上的插值函数“ w l 为： u = u ：咖i ( z ，g ) + 嘶咖( z ，) + 。曲。( z ，) ， ( 1 2 9 ) 其中 也c z m = 去 j 募；iz l ：i ”+ i 乏z | ， c 2 。， 咖( z ，) ，咖。( z ，) 的表达式可通过轮换脚标得到，这罩机( z ，口) ( s = i ，j ，m ) 称为单 元e 上的线性插值基函数。 在确定了插值函数以后，就能够把变分形式( 1 2 2 ) 写成离散形式。 将p 维区域q 剖分成e 个单元取，i = 1 ，e ( 剖分单元取成最高维单 形即可，例如3 维时取为四面体) 只= ( 黾一，z 。) 是节点，九是形状函数( 即插 1 2 河南大学硕士学位论丈 值基函数) i = 1 ，p ，使得以( b ) = 回。在每一个单元n 。上节点( 即顶点) 个数 相同假设为。；：= 让( 只) 那么可以得到单元q 上的插值函数“ m 。，1 为： u h = u ；也，= 巩毋。 ( 1 2 1 1 ) l = ll = i 此时 f 可。n 。d 。 j n v 让 v 如 上如廊2 善上。“善嘶咖善机妣 即( 1 2 2 ) 可化为 上。引萎喇w 础。上。“萎札，埘幽，b ”一1 ( 1 2 1 2 ) 整理可得到所需要的线性代数方程细，解该方程组，即可求出札，i = 1 、p 1 3 有限元水平复形 定义1 3 1x 是一个可三角剖分的p 维空间，剖分的最高维单形记为r 。记 x ，是_ r 上的特征函数，即在r 上取值为l ，在r 外取值为0 。定义全微分形式空 尸= k ，小低， ， s - ， u = 缸州妣。 如。 ( 1 3 2 ) l l t ， 1 3 如如 料 v 一 默 ，垃厶 仰是汹 = = 河南人学硕十学位论文 ( u ) = 缸。m x ，觑。 出。 ( 1 3 3 ) 其中钍，是”在单元r 上的拉格朗日型插值函数，称n ) 为u 的有限元形式。 注记1 3 3 定义1 3 2 中的u ，也可取为单元r 上的日e r m 讹型插值函数 ( 【1 6 l ，【17 】) ，o 次矩( 【2 0 d 等等。本文中只讨论拉格朗日型插值的情形。 注记1 3 4 从定义1 3 2 中可以看出有n ( ， “ ) = ，【让， x ，和( u 。) = ( ( u ) ) 。成立。 定义1 3 5 定义微分运算d ：尸_ 户“，对于= 片“ 札 x ，d z 。 d 石“，令 肌2 妾点掣慨s q 其中 例1 3 61 维时，u = ；u 。d z 是全微分1 一形式，求u 的有限元形式。 由1 2 1 和5 1 2 2 的分析知，在e ；= k ，甄+ l 】上的插值函数是： “。= 也( z ) 廿，+ 咖件i 扛) u 件l 如( z ) = 著三，州垆者去 那么在e i 上( “) = “。， n ( u z ) = 西：( z ) 札t + ：+ ( z ) “件t2 ；i j _ ；詈， ( 1 3 5 ) 则 n c 小；( 等差) 纰， s 删 d ( n ) ) = o 例1 3 72 维时，u = 札。如+ “，咖是全微分1 一形式，求u 的有限元形式。 河南人学硕十t 位论文 将底空间作三角形剖分如图( 1 3 1 ) 砖 “氟1 ) 么锄 ，) ，。“ 令点最j = p ( z ；，鲫) ，因为整个区域x 可以由吼和。的平移得到，所以我 们只需要考虑单元盯。= 只，jp f + l ，j 只+ l 一+ l 和o = 只，j 只一i ，j 只- l ，j l 即可。由 1 2 可知，在单元以上的插值函数为： 其中 让“= u l ，西l j ( z ，g ) + u ：+ l ，】曲：+ l j ( z ，y ) + “l + t ，j + l 西。+ 1 j + 1 ( 。，”) 撕炉去 2 ，。= 牡1 篆：川嚣珊圳= 篡 o l z l + l o t + l 也+ l j ( z ，y ) ，曲打1 ( z ，) 的表达式可通过轮换脚标得到。 则在以上 一 z z + l 珊一z t 蛳+ t a a2 再一丽+ 面i 葛丽商 1 5 珊 协 蚺 河南大学硕士学位论文 ( 仳。)= ( u 。) 。 = u i ( 咖i j ( z ，) ) ：+ 让i 十l j ( 西。+ 1 ，j ( z ，) ) 二+ n t + l j + l ( 币件l ，j + l ( z ，可) ) ： = 兰! ! 生二兰! 生 邑+ l 一卫 同理可得在上， 其中 则在q 上， 于是 吣护等等势 u 叶= u i j 咖i ( z ，) + u i 一1 ，j 西。一1 j ( z ，) + u l l j l 如一l j i ( z ，可) 他一l j2 也j ( z ，) = + z 一也 z z z i 一【 翰一日一l 蜥一蜥一1 他一l j l2 n ( ) ：堕玉， 晶一而一l ( u ) = t j 孔一1 珊一墨蜥一1 。( 珊一协一1 ) ( 矗一q 1 ) 目i 一0 甘，一百1 一l 叫2 气若# ( 。鬻x 。出+ 毪誊势抽) + ( ”竺等x q d 石+ 兰立j 等x 吖d ”) q 一孔一l 蜥一蜥一l 。 d ( n ( 训萋( 等等蜘 1 j 、 u t j 一珏卜1 j z l 一晶一l x 。) d 如 ( 1 3 7 ) 有了以上的铺垫，我们就可以将连续情形下的水平复形( 1 11 2 ) 通过投影算子 投影成为有限元序列了。 河南大学硕士学位论文 定理1 3 8 假设x 是可三角剖分的底空间，则下图可换，即d = d 兀 o _ r _ a o 与a 1 与与”_ o o 叫r 一声与，1 与与尹_ o 证明：设u ，= 。坼 u 出。， d z 。则 l i 。 氐 蟛 图2 2 2 2 l 河南大学硕士学位论文 则z f = f ( p - ) + f ( 晚) + f ( p 。) + f ( p t ) + f ( 舶) + f ( p 6 ) + f ( 所) + f ( p 8 ) 定理2 2 6 倩散s o 女e s 定理，若x 是p 维底空间，f 是p 一1 维上链，则 fd ( f ) ：f ( 2 2 6 ) jx j 8 x 证明： 上叫f ) 2 乏( _ 1 ) 卜z 岵州r ) = ( 一1 ) f ( a r ) t 瓦 = ( 一1 ) m 1 f ( 叫 = 卜 其中a x 指x 的边界。是l 一1 的子集。例如j d = 2 时，d x 是围x 的有向闭折 线，方向由单形的转向决定。 口 注记2 2 7 注意到任何两个相邻的p 维定向单形在它们的公共面上诱导出相 反的定向。例如p = 2 时考察下图( 2 2 3 ) ，发现每个内边出现两次，且有相反符号 所以只剩下关于外边的和。 图2 2 3 下面利用d e 兄 a m 映射把微分形式与上链联系起来。 定义2 2 8d er o m 映射定义为： 一，u ， ( z 七7 ) 其中p 是一个r 一单形，u a r ，很容易可以验证这个映射是双线性的。将它延拓 得到? 河南大学硕士学位论文 定义2 2 9u a r ，r 一单形记为盯由u 诱导的r 一值p 上链，定义为： u ：g ( k ) - r ， n 矾h 吼u ( 2 _ 2 8 ) 2l o 以 又把，记为，u ，并记 r ：c r 注记：映射r 在有限元空间p 上是有定义的，其中p 是底空间x 的维数。 定理2 2 1 0 对于一个分块定义的p 一形式u 来说，它的整体积分只依赖于它 的边界值，当且仅当它诱导的p 一上链u 可以写成上边缘的形式，即u = 卸 证明：( 1 ) 必要性：已知上u = 上咖= z x 目，则有 l x = l x u = x 岫= 8 x u = 8 x q = x 6 h ， 其中第一和第四个等号是由定义2 2 4 和定义2 2 9 得到，第五个等号是由定理2 26 得到。 。2 、梵分性：l x = x u = l x 6 q = l 。x q = 8 x q 注记：( 1 ) 定理2 2 1 0 还说明了，对于一个分块定义的p 一形式u 来说，它是 恰当的，当且仅当它诱导的p 一上链u 可以写成上边缘的形式。 ( 2 ) 在这个定理的证明中，因为，印中的形式不是整体光滑的，是分块光滑的， 故不能直接用光滑的s t d e s 定理，只能引入离散的s t o e s 定理2 2 6 。 例2 2 1 1 若底空间x 是p 维的，给定u = 叫u 】d z ”，其中如= 出l 出。那么它诱导的p 一上链是： u ：x - 己 u i 出， ( 2 2 9 ) u 的有限元形式为) = n ( 三【 出) p ，假设x 被三角剖分为m 个p 维小单 形( = 1 ，肘) ， 1 ) h ，驯“ m i ix 河南人学硕士学位论文 其中h ，x = o ，若“的定向与x 的定向一致；否则h ，x 】= 1 那么) 诱 导的p 一上链是： 1 ) “卅上n ( 啦 ( 2 2 1 0 ) 为了方便下文垂直形式的构造，我们仿照单形上的特征函数，引入一种特殊的 上链。 定义2 2 1 2 定义r 一上链x 。，它把r 一单形盯映成l ，把别的单形映成0 。 那么这种r 一上链的实系数线性组合的集合是 c 受( r ) = r z x 。l n r ，仃耳 若将r 换为r ，方便起见，我们把c 曼( r ) 记为r oc r ( 碇) ，此处的。参见 2 5 这里r 可以取为1 1 中的，还可以取为别的任意集合，例如2 3 中的1 ， 例2 2 1 3 ( 1 ) 在点z 。处取值为n 。的。一上链，记为n 。x 。； ( 2 ) 上( 莩州m 慨，) = ；( 钟j k 】) 1 证明： 上( 莩n 州u ，。x ，) = 莩c 叫【p j l ( 莩州m ，。x ，) c p ， = ( 一1 ) m ( n ，。( x ，。+ n 。( ox 。+ ) ( p ) = ( 一1 ) 7 1 ，x l o ( 【札】) + ( 一1 ) 【r 2 t x 】o 。( 【u 】) + = ( 一1 ) 嗍n ，( m ( 3 ) 形式x ，出诱导的上链是出o x ， j r 证明：因为) ( ，是特征函数，只有在r 上不为0 ，所以形式h 如只有在7 _ 上积分 才不为。由定义2 2 9 和定义2 - 2 1 2 可知，它诱导的上链就可以表示为如。x ， m 脚 时 r x h 一 吖 = xu 河南大学硕士学位论文 2 3有限元垂直复形 x 是p 维可三角剖分的底空间， ( “1 ，u 4 ) 是依赖变量，记z 。，b = 1 ，口，引入差商 坐标z = ( z 一，) 是独立变量，坐标珏 ( z ；。，z 岫) ，嚣，舳= “。( z z 。，z 印) ，口 衄瓢却：磐堡型岫巫兰譬丛必，。 正2 l ，一，址一1 + l ，o k + 1 。，o p z l l ，- ，t 女一t k + l ，如 其中七= 1 ，p 简单起见令u ：= “：，。，u ：= k 札i ，却，。j 仳n = 。( j u 。) ，将。，；让。，。，j 。，视为相互独立的变量，就可以定义如下垂 直微分形式。 定义2 3 1 光滑函数，( z ，“。，。u 。，。札n ，) 记为，【札。 ，最高维单形记为 r 。定义单形r 上的垂直r 一形式为有限和： 西= 疗【“。 也j ，u ：1 也 “： ( 2 3 1 ) 其中i ，= ( ，一，) ，n = ( a - ，一，嘶) 是向量。这种r 一形式的集合记为v 7 。 定义2 3 2 巩：1 ，7 _ v 件1 称为垂直外微分，如果0 v7 ，有 巩国2 嘉善裂办d f j 州懈州，( 2 。2 ) 其中“：是疗 “。 中的独立变量。 例2 3 3 考虑1 维情形，拉氏量l 扎 = 妄：，z r 1 将r 1 作三角剖分如图 ( 2 3 1 ) ： e ；一le l z 卜1z lz l + i 由5 1 2 2 可知，在单元e t = 而，z 州 上，取也= 署三等， ( u ) = 也札。+ 九“。+ ( u 。) = ：u ；+ 西0 l u 件l 2 5 图2 3 1 西。+ 。：兰二生，则 z t + l z i ( 2 3 3 1 ( 2 3 4 ) 河南走学硕士学位论丈 引入差商 & ：坠上兰 z l + l z t t = z l + 1 一z ” ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 刷 ( “) = 。“，咖：+ 1 + 乱，( 也+ + 1 ) ，( 2 3 7 ) ( “。) = 。曲，+ l + ；( “+ + l ) = 。“。 ( 2 3 ，8 ) 则在单形e i 上，垂直。一形式是 ；( 赴“， ( 2 删 故其垂直外微分是 如( ：( 。) 2 ) ：。u ，如。“； ( 2 3 ，l o ) 例2 3 4 当p = 1 ，g = 2 时，如果 西= 扛：。u ：) 2 如。“：，( 2 3 1 1 ) 则 d 。o= 2 ( z u ：。札：) ( 石。钍：也u ：+ z “：也。“：) 也。： = 2 2 2 u ：( 。u ：) 2 巩u ： 如。u ：， ( 2 3 1 2 ) 其中( d t ，。u ：) 2 = o 。 在5 2 2 中已经介绍了d er o m 映射，引入了特殊的上链x 。，下面用上链把 不同单形上的垂直形式粘接在一起，形成一个整体垂直形式。 定义2 3 5 整体垂直r 一形式：对应在每个单形上，是一个定义在这个单形上 的垂直r 一形式，在这个单形外是0 ，这样对整个空间就形成一个整体的垂直r 一 形式。这种r 一形式的集合记为户= v ro c p ，其中p 是底空间的维数。声中的 元素形如： o = 疗【n 也j 。“：1 _ d 。 u ：7 x ， ( 2 3 1 3 ) 2 6 河南人学硕十学位论文 其中r 是最高维单形。垂直外微分定义为d 。( 方 c ，) = ( 出 ) ou ，存v ，u 伊。 从另一方面来看，整体垂直形式就是系数在v + 中的p 一上链。 注记：这里的张量积符号就是定义2 2 1 2 中的张量积符号，r 取作犷即可。 例2 3 6 ( 例2 3 3 的续) 整体垂直o 一形式是 故 国= ；( 衄扩。毪 ( 2 3 1 4 ) d 。( 岔) = 也( ；( 。“；) 2 ) 。 t 。 = 。u 。也。“。x “ ( 2 3 1 5 ) l 例2 3 7 当p = 2 ，g = 1 时，拉氏量l m = “。珏，( z ，) r 2 。 将r 2 做例1 3 7 一样的三角剖分并作类似的分析，引入差商 则在单元以上， 在单元q 上 z u u2 专糟，”u ”5 篱，( z 。e ) ( “。) = 如“，( 札，) = 札，j ， ( 2 3 1 7 ) n ( u 。) = 。u - l j ，n ( ) = ”“护l ，( 2 3 1 8 ) 故整体垂直0 一形式是 白= 。，”“hl ，j 。x “+ 。“，1 j ，u 。一l j l x 叶， ( 2 3 1 9 ) i ，j 其垂直外微分是 也) = ( ” 件1 j 也。u + 。也“件l ，j ) x 。 i j + ( u ；一l 一也。“t l ，j + z 地一l j 也“卜l ，j 一1 ) ox “ ( 2 - 3