（计算数学专业论文）小波理论在微分方程数值求解中的应用.pdf

摘要 论文题目：小波理论在微分方程数值求解中的应用 学科专业：计算数学 研究生：周宏宇签名：圃室室 指导老师：闵涛教授 签名：i 习i 摘要 小波作为一个新兴的数学分支，应起始于s m a l l a t 和y m e y e r 在八十年代中后期所 作的工作，即构造小波基的通用方法，多分辨分析m r a 。此后小波得到了迅猛的发展，在 应用方面更是掀起了一股应用小波的热潮，如信号处理、图像分析、奇性检测、边缘分析、 微分方程数值求解等。本文研究了小波理论的有关知识在微分方程数值求解中的一些应 用，具体研究内容包括以下几个方面： 第一章简要综述小波分析的发展历程及其在微分方程数值求解方面的应用。 第二章详细分析涉及本课题的小波基本理论和算法，如多分辨分析理论，m a l l a t 算 法等。 第三章在对d a u b e c h i e s 小波作比较详细介绍的同时，引入了周期化的d a u b e c h i e s 小 波和一些基于小波的微分方程数值求解方面的相关理论知识，为第四章中的微分方程数值 求解做好铺垫。 第四章首先基于小波一伽辽金法数值求解了具有周期边界条件的一维h e l m h o l t z 方 程，然后将小波一伽辽金法和向后的e u l e r 法相结合数值求解了具有周期初边界条件的一 维热传导方程：最后提出小波最优有限差分法( 该方法的本质是先基于小波生成一个不规 则网格，然后再在不规则网格上利用有限差分法对偏微分方程进行数值求解) ，将它用于 具有周期初边界条件的非线性b u r g e r s 方程的数值求解，并和直线法的求解结果进行对比， 显示了该方法在数值求解有局部急剧变化解的非线性偏微分方程的巨大潜力。 通过一些数值试验表明：基于小波的微分方程数值求解不仅可以得到高精度的数值 解( 通过对具有解析解的h e l m h o l t z 方程验证得到) 和对规模较大的问题能够进行很好的处 理( 通过对具有解析解的热传导方程验证得到) ，而且对解具有奇异性的非线性问题也能进 行很好的数值模拟( 通过对非线性b u r g e r s 方程的验证得到) ，同时在求解效率上较之其他 一些解决此类问题( 非线性) 的方法( 如直线法) 有很大提高，充分显示了基于小波算法的 优越性。 关键词：多分辨分析；m a l l a t 算法；d a u b e c h i e s 小波；微分方程；伽辽金法；有限差分法 西安理工大学硕士学位论文 t i t l e ：n u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb a s e d o nw a v e l e tt h e o r y m a j o r = c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：h o n g y uz h o u s u p e r v i s o r ：p r o f t a om i n a b s t r a c t s i g n a t u r e ：堑蛔j 竺 s i g n a t u r e ；丝j 丛地 a san c wm a t h e m a t i c se m b r a n c h m e n t , w a v e l e ts t a r t e da tt h es m l l a ta n d y m e y e r sw o r k , w h i c hw a st oc o n s t r u c tw a v e l e tb a s ei nag e n e r a lw a y ( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) i nt h em i d d l e a n dl a t t e rh a l f o f t h e1 9 8 0 s l a t e rt h ew a v e l e tg e t sad r a s t i cd e v e l o p m e n t i na p p f i c a t i o n , i tr a i s e s a nu p s u r g e ，s u c ha ss i g u mp r o c e s s i n g 、i m a g ea n a l y s i s 、s i n g u l a rc h e c k 、m a r g i n a la n a l y s i s 、 n u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds oo n t h i sp a p e rs t u d i e st h ek n o w l e d g eo f w a v e l e tt h e o r ya n di t sa p p u c a t i o n si nn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m i c a l l y , t h ec o n t e n ti n c l u d e st h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： c h a p t e r1s u m m a r i z e st h ew a v e l e ta n a l y s i s sd e v e l o p m e n tc o u r s ea n di t sa p p l i c a t i o ni n n u m e r i c a ls o l u t i o no f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n c h a p t e r2p a r t i c u l a r l ya n a l y z e st h eb a s i cw a v e l e tt h e o r ya n da l g o r i t h mw h i c hr e f e rt ot h i s 。 p a p e r , s u c ha sm u l t i r e s u l u t i o na n a l y s i sa n dm a l l a ta l g o r i t h m c h a p t e r3g i v e sad e t a i l e di n t r o d u c t i o nt od a u b e c h i a sw a v e l e t s ，m e a n w h i l ei n t r o d u c e s p e r i o d i cd a u h e c h i e sw a v e l e ta n ds o m eb a s i ct h e o r ya n dk n o w l e d g ef o rn u m e r i c a ls o l u t i o no f d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c ha r eb a s e do i lw a v e l e t a l lo f t h e s ea r er e a d yf o rc h a p t e r4 i nc h a p t e r4 ，f i r s t l yw eu s ew a v e l e t - g a l e r k i nm e t h o dt os o l v eo n e - d i m e n s i o nh e l m h o l t z e q u a t i o nw h i c h h a s p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n ：s e c o n d l yw a v e l e t - g a l e r k i nm e t h o dc o m b i n e s w i t he u l e rm e t h o da r eu s e dt os o l v eo n e - d i m e n s i o nh e a te q u a t i o nw i t hp e r i o d i ci n i t i a la n d b o u n d a r yc o n d i t i o n ；f i n a l l yw ep r o p o s ew a v e l e to p t i m i z e df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( t h i s m e t h o dw o r k sb yu s i n gw a v e l e t st og e n e r a t ea ni r r e g u l a rg r i dw h i c hi st h e ne x p l o i t e df o rt h e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) t os o l v en o n l i n e a rb u r g e r se q u a t i o nw h o s eb o u n d a r ya n di n i t i a l c o n d i t i o nh a v ep e r i o d i c i t y , m e a n w h i l em a k eac o m p a r ew i t hm o lm e t h o d i tt u r n so u tt h a tt h i s m e t h o dh a sap o t e n t i a lt os o l v en o n l i n e a rp r o b l e m s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sp r o v et h a tt h r o u g hn u m e r i c a lm e t h o d sb a s e do nw a v e l e t t h e o r yt os o l v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nn o to n l yo b t a i nn u m e r i c a ls o l u t i o n sw h i c hh a v eh i g h p r e c i s i o n ( v a l i d a t e db yt h eh e l m h o l t ze q u a t i o nw h i c hh a sr e a ls o l u t i o n ) a n dd e a lw i t hl a r g e i j a b s tr a c t p r o b l e me f f e c t i v e l y ( v a l i d a t e db yt h eh e a te q u a t i o nw h i c hh a sr e a ls o l u t i o n ) ，b u ta l s om a k ea v e r yg o o dn u m e r i c a ls i m u l a t i o no fn o n l i n e a rp r o b l e m s w h o s es o l u t i o ni ss i n g u l a r ( v a l i d a t e db y t h en o n l i n e a rb u r g e r se q u a t i o n ) ，a tt h es a m et i m eh a v eh i g h e re f f i c i e n c yt h a ns o m eo t h e r m e t h o d s ( e g m 0 1 ) t os o l v et h i sk i n do fp r o b l e m s , a l lo ft h e s es u f f i c i e n t l ys h o wt h es u p e r i o r i w o f a l g o r i t h m sb a s e do nw a v e l e tt h e o r y k e yw o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；m a l l a ta l g o r i t h m ；d a u b e c h i e sw a v e l e t ；d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；g a l e r k i nm e t h o d ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：圈室室2 。癣月歹日 学位论文使用授权声明 本人一! 蜀鍪寄在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图二体馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名：盟导师签名：皿抛1 年6 月；日 1 绪论 1 绪论 1 。1 引言 小波【】是1 9 8 6 年以来由于s m a l l a t 4 - 5 和y m e y e 一6 1 及i d a u b e e h i e s 7 9 1 的奠基性工作 而发展起来的一门新兴学科，也是当前数学家关注和研究的一个热点。它是傅里叶分析【1 0 】 发展史上的一个里程碑。一方面，小波被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的 结晶；另一方面，它已经和将要被广泛应用于信号处理1 1 l 】、图像处理1 1 2 】、量子场论、地 震勘探、机械故障诊断和监控、分形以及微分方程数值求解【”1 等方面。一般情况下能使 用傅里叶分析的地方都能用小波分析所取代。 1 2 小波分析的产生和发展 自从1 8 2 2 年f o u r i e r 发表他的热传导解析理论以来，分析便成为最完美的数学方法 之一。这是因为积分f o u r i e r 变换和f o u r i e r 级数有重要的物理解释，且f o u r i e r 级数在 计算方面很有优势。f o u r i e r 分析是一种频谱分析，它能清楚揭示信号的频谱结构，因此 在信号分析中长期占据着突出的地位。但是它也存在着不可避免的不足，即f o u r i e r 系数 是信号在整个时间域上的加权平均。要想用它们的系数来反映信号在时间域上的局部性质 是不可能的，而信号的局部性质无论是在理论研究方面，还是在实际应用方面都是十分重 要的。长期以来，数学家与工程师在努力寻找函数空间r ( r ) 的一种函数基，使得这种函 数基既能保持指数函数基的优点，又能弥补指数函数基的不足，并且希望这种函数基是由 某个具有光滑性、紧支撑性和较高的消失矩的函数通过伸缩和平移而生成的函数族。现在 我们称这种函数基为小波基，对它的存在性、构造和性质的研究便构成小波分析”研 究的内容。最早用伸缩和平移思想构造小波正规正交基的是删h a m ，他在1 9 1 0 年给 出了i - i a a r 小波的构造。其次，1 9 3 8 年p a l e y - l i t t l e w o o d 提出了按二进制频率成分分组的理 论。但对小波分析具有直接影响的是7 0 年代，当时a c a l d e r o n 表示定理的发现和对h a r d y 空间的原子分解及无条件基的大量研究为小波分析的诞生提供了理论上的准备。1 9 8 2 年， j 0 s t r o m b e r g 首先构造出一个非常接近现在称之为小波基的基。同时，信号分析的工程 师们，如j m o r l e t ，c m s s m a n n 提出了一个确定函数的伸缩平移系展开的系统理论。 第一个真正的小波基是由y m e y e r 在1 9 8 6 年怀疑小波基的存在性的同时构造出来 的。这带来了小波分析的热潮。继y m e y e r 之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地给出具 有指数衰减的小波函数。这时，s m a l l a t 提出多分辨分析概念，统一了在此之前提出的各 种具体小波构造。1 9 8 8 年d a u b e e h i e s 构造了具有有限支集的正交小波基。1 9 9 0 年崔锦泰 和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论具有最好局部化性质的尺度 函数与小波函数 1 6 - 1 7 】。1 9 9 2 年，a l p a t 和r o k h l i n 构造了，( ，2 ) 个尺度函数，每个尺度 函数都是支撑在【o ，1 】上的，一1 次多项式。这样就出现了多小波理论。1 9 9 4 年，g o o d m a n 西安理工大学硕士学位论文 等人基于，重多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架，并给出了多小波的构造例子， 这样就带来了多小波热潮。近年来，高维小波理论 1 8 - 1 9 1 的研究为许多研究人员所关注，有 许多课题正处于研究之中。 1 3 小波在微分方程数值求解中的应用 由于小波的多尺度分解特征和局部特征，使得其逐渐成为数值求解微分方程的新工 具”“”。把小波与传统方法相结合就形成了小波伽辽金法、小波配点法、小波有限差分 法等。 小波一伽辽金法其古典依据就是黎兹伽辽金法，本质上是一种投影法，即将函数投 影到与之相联系的小波系数上去，通过小波系数的求解来得到未知函数。g l o w i n s k i 等人 直接用小波来代替有限元类型方法中的试验函数，从而导致几个问题：其一，缺乏正则性， 因而不适用于低阶小波：其二，就是边界条件较难加到子空间上去。鉴于此，j i n e h a ox u 和w e i - e h a n gs h a r m 提出了两点边界值问题的小波一迦辽金法【2 6 】，他们利用小波的反微商作 为试验函数，较好地解决了上述问题。此后，k a m a t a t u n g a ) 和j r w i l l i a m s 与s q i a n 和j w e i s s 提出了针对一维偏微分方程的小波一迦辽金法【2 7 】。s q i 柚和j w e i s s 3 l 用具有周期边界条件 的小波提出了一种解不可分离域中的小波容量矩阵法，其思想就是先将求解域拓广到周期 域中，再进行求解。利用小波一逝辽金法的困难在于连接系数的计算，即关于尺度函数或 小波函数的积分值的计算。对于非线性问题其处理将更加困难，因为每次计算积分值时， 都必须重新返回到网格点上去计算。c v a n i 提出了一个四维联接系数的算法【2 引，同时又提 出用该方法来求解拟线性双曲守恒方程。j r l i n h a r e s 贝1 提出了用小波一迦辽金法求解具有 变系数的偏微分方程【2 9 】。 小波配点法【3 0 l 也是一种较为成熟的方法，它类似于谱配点法。在这种方法中，小波 系数以配点中的函数值为基础而建立起来。s b e r t o l u z z a 和g n a l d i 首次提出用自相关 d a u b e e h i e s 尺度函数作为插值函数去求解一个二阶线性偏微分方程p “。随后，w c a i 和 j w a n g l 3 2 】构造了一个区间上的三次样条小波，并在职( ，) 中研究了其性质，给出了一个 快速离散小波交换。o ，v v a s i l y e v ，s p a o l u e e i 和m s e n 在d , 波配点法中用两种不同类型的小 波去处理边界条件，一种就是d a u b e e h i e s 自相关函数，另一种是墨西哥帽子函数( 高斯 族) 3 3 - 3 4 1 。d w i r a s a l t 再次使用基于d a u b e c h i e s j x 波自相关函数的配点法去求解一维和二维 具有d i r i c h l e t 和n e u m a n n 边界条件的问题。o w 勰i l y c v 和b o w m e i l 又以二代小波为基函数 提出了一个新的算法，即偏微分方程的二代小波配点法解t 3 5 1 。二代小波就是以w s w e l d e n s 的平移格式为基础，定义在有限区域、非一致网格或具有非一致权的小波。近年来， g o l d s t a i n ，w r a yo v v a s i l y e v 及r o g e l l o l 将二代双正交小波应用到湍流的内涡模拟上，应 用这种方法，在每个时间层上可以方便地在物理域和小波域间来回转换，但与此同时， 也产生了额外的运算量，特别是当小波的支集特别大时，这种情况更为明显。 将小波与插值法相结合就构成了小波插值法。小波插值法主要源于s d l l b u e l 3 6 1 和 2 1 绪论 g d e s l a u r i e s 的插值迭代格式，后来d l d o n o h o ”】给出了插值小波变换的这个概念。在此 基础上，b e r t o l u z z a , n a l d i 和r a v e l 又利用插值小波变换去求解区间上的小波边界值问 题a l i p p e r t 和t a a r i a s 则详细说明了插值多分辨分析、插值变换以及插值变换的精确性 和算子表示等问题【”】。 小波有限差分法，就是在解的物理表达式中做所有的运算而仅用小波函数去构造和 更新表达式。j a m s o n 利用小波去寻找有限差分法中网格应该在何处加细p 9 】；w a l d e n 提出 用滤库法求解偏微分方程。同时，h a f t 融【椰】和g e 仃i y s e l l ，o l s s o n l 也利用小波去找到局部加 细处，进而利用有限差分法的不同格式进行求解。m h o l m s t r o m 4 l 】在前人的基础上，将小 波插值变换、有限差分法结合起来提出了一种自适应求解双曲型偏微分方程的稀疏有限差 分法( s p r ) 。 1 9 9 7 年又出现了多维空间中的小波有限元法【4 2 】，这里就不再论述。 上面简单介绍了小波求解微分方程的主要方法及其基本思想。小波作为数值求解微 分方程的一种新工具，具有很多的优点，但针对不同问题，我们应选择合适的方法处理之。 1 4 基于小波的微分方程数值求解相对于传统方法的优势 解含有奇异性和非标准型方程时，采用对奇异信息不敏感的古典方法如有限差分法， 有限元法等，效果十分不理想，出现了奇点附近g i b b s 现象和误差不稳定。而利用小波良 好的双局部性来数值求解它使之在精度及速度等方面都有提高。双局部性指时域和频域都 具有局部性，使得小波对奇性敏感，如对间断、激波等具有捕获能力，这与差分法相比是 具有优势的，同时导致了小波表示解和算予的压缩性，这在解大系统时是非常有用的，利用 快速小波变换，它可极大的减少计算量。 1 5 本文的工作 在微分方程数值求解方面，基于小波不仅能得到高精度的数值解，而且由于一些小 波在本质上兼具光滑性和局部紧支撑性质，所以能比传统方法更好的处理局部存在奇异 性的问题。本文的工作重点是在对小波基础理论知识进行深入分析理解的基础上，把握 它与微分方程数值求解方面的联系，并把它应用于微分方程的数值求解。具体内容如下： 第一章简要综述小波分析的发展历程及其在微分方程数值求解方面的应用。 第二章详细分析涉及本课题的小波基本理论和算法，如多分辨分析理论，m a l l a t 算 法等。 第三章在对d a u b e c h i e s 小波作比较详细介绍的同时，引入了周期化的小波和一些基 于小波的微分方程数值求解方面的相关理论知识，为第四章中的微分方程数值求解做好铺 垫。 在第四章中首先基于小波一伽辽金法数值求解具有周期边界条件的一维h e l m h o l t z 方 程，然后将小波一伽辽金法和向后的e u l e r 法相结合数值求解了具有周期初边界条件的一 3 西安理工大学硕士学位论文 维热传导方程；最后提出小波最优有限差分法( 该方法的本质是先基于小波生成一个不规 则网格，然后再在不规则网格上利用有限差分法对偏微分方程进行数值求解) ，将它用于 具有周期初边界条件的非线性b u r g e r s 方程的数值求解，并和直线法的求解结果进行对比， 说明该方法在解决此类问题时的可行性。 第五章是总结与展望。对本文工作进行总结的基础上，对尚待研究的问题进行了展望。 4 2 小波分析的基本理论 2 小波分析的基本理论 2 1 多分辨分析的概念与性质 简单的方波函数h a a r d x 波( 算) 经过平移和伸缩得到的函数族 1 十一t 慨，( f ) = = 7 吾妒( 尹) ( 2 1 ) v 二 一 构成r ( r ) 的一组标准正交基，函数，在分辨率2 。上的逼近通过一组离散网格上的采样 信息的加权求和来得到。而位于分辨率从2 。到2 。- 1 的细节部分通过厂在分辨率2 。到 2 。1 逼近的差来表示，形式为部分和 e 山 ( 2 2 ) 肛 上述和为函数在空间圪到圪。上l 拘i e 交补的投影，其中吒。= 圪o 。将上述思想推 广到一般的情况，可以建立多分辨分析的一般概念。 定义2 1 ( 多分辨分析) 空间上? 俾) 中的一列闭子空间 巧 加称为r 俾) 的一个多分辨 分析( m r a ) ，如果该序列满足下列条件： ( 1 ) 单调性：r - 巧。c 巧c c ，w z ； ( 2 ) 逼近性：n 巧= o ) ，0 盯= r ( r ) ； j g z 。 “； ( 3 ) 伸缩性：厂o ) 巧f ( 2 x ) 。，w z ； ( 4 ) 平移不变性：( 力j 厂 一动e ，v k z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在g v o ，使堙( x - k ) l k z ) 构成的r i e s z 基。 m r a 4 3 却】的概念给出了人类视觉系统对物体认识的数学描述。实际上，如果把矿当 作某人在某种尺度，下所观察到的该物体信息( 如3 维物体的两个面) ，则当尺度增加到 j + l 时，他所观察到的信息为+ 。( 3 维物体的全部) ，此时可以认为是他进一步靠近目标 所观察到的信息，因此所表示的信息应该比更为丰富，即k 。总之，尺度越 大，距离目标越近，观察到的信息越丰富。反之，尺度越小，距离越远，含有的信息量越 小。由于物体的局部细节有时候显得更为重要，因此通过对补空间的研究从而了解细节显 得非常重要。 现在根据巧c k 。以及巧+ = 巧。彤建立尺度函数方程的关系式。 定理2 1 假设形；露z ) 为一个具有尺度函数尹的正交多分辨分析，则下列尺度关系 5 西安理工大学硕士学位论文 式成立： 其中 并且有 认曲= h t q ( 2 x 一七) t e z 魂= 2 e e , o ( x ) 一p ( 2 x - k ) d x ( 2 3 ) ( 2 4 ) 矿( 2 产1 x - o = 烈2 x - k ) ( 2 5 ( 2 5 ) 式有时等价地表示为 纺州o ) ；华。纺 ( 力 ( 2 6 ) ， 其中伊，j ( 功= 2 j 伊( 2 7 一七) ，( 2 3 ) 式为双尺度方程。 证明：根据巧c 。并取，= o 知道存在系数噍使得 矿( 茗) = h k c p ( 2 x 一七) ( 2 7 ) 利用正交性并对上式作内积得到噍= 2 亡妒 砭i 五成立。至于( 2 5 ) 式，只要在 ( 2 3 ) 式中对函数妒的变量实现替换j 一2 j - 1 x 一1e p - - j - 。 下面的定理给出了双尺度方程中系数应该满足的关系，它在小波的构造和应用中具有 重要意义。 定理2 2 假设 吒；弹z ) 为一个具有尺度函数妒( 力的正交多分辨分析，则下列等式 成立。 6 ( 1 ) 以圳瓦= 2 4 o ； i z ( 2 ) i 噍1 2 - - 2 ： k e z ( 3 ) 以= 2 ： k e z ( 4 ) k = 1 ，吃。= 1 ： t e zt e z 证明：对定理2 1 的( 2 3 ) 式两端做内积并利用函数妒o 一七) 的正交性得到 = h l 再二 ：妻以。p ( m ，划一。) 2 8 = 睾h 。万= i = 6 2 小波分析的基本理论 因此定理的( 1 ) ，( 2 ) 成立。而对( 2 3 ) 式两端作积分得到 c 认x ) a x = 噍e 伊( 2 x 一七炒= 吉噍e 砷弦 t e zl e z 注意到 q , ( x ) d x * 0 ，否则，有e 纺，。( x ) d x = 0 ，而可上2 ( r ) ，有 亡厂( 工皿= e 纺，。d x = 0 c 厂( 工皿5 丕 j 二纺，t 这是不可能的，因此e 伊( 力幽o ，从而结论( 3 ) 成立。 至于结论( 4 ) ，将l k1 2 + i 吃。1 2 等价的表示为 k e zk e g k1 2 + i k + 。1 2 = k 瓦+ 吃。h 一2 1 + l i e zi e zi f t z k d e g = k 砺+ 如m h 2 + 2 k + l k , t e zk , l e g ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) = ( 瓦飘) = 2 ( 2 1 1 ) i e z 另一方亟，由结论( 3 ) 得到k + 。= 2 ，因此利用前面的两个式子直接推得结论( 4 ) k e gk e z 成立。 下面再来讨论一般情况下利用上面定义的多分辨分析进行分解和重构的问题，首先 介绍m a l l a t 5 0 - 5 2 1 在1 9 8 9 年的相关工作。 定理2 3 ( s m a l l a t ) 设( 眠；脚z ，；妒o ”是一个正交m r h ，则存在仇l s 使得下面 的双尺度方程 烈力= 烈2 工一七) ( 2 1 9 ) t 成立，并且，利用( 2 1 2 ) 式得到尺度函数妒( 功的构造函数 妒= g f o ( 2 x - k ) ( 2 1 3 ) k 少( 力的伸缩、平移构成r ( r ) 的正交基，其中反= ( 一矿磊“。进一步地，当 时， = s p a n 2 2 ( 2 7 x 一七) ；七z ) ( 2 1 4 ) 7 西安理工大学硕士学位论文 上，_ ，o 巧= 巧。 ( 2 1 5 ) m a l l a t 定理主要包含3 个方面的内容： ( 1 ) 集合v 。= 缈 一七) ；七z ) 构成的标准正交基，因此我们可以彳导到这样的结论 ， ”j 0 ) = 2 j ( 2 x - k ) ；k e z 构成形的标准正交基： ( 2 ) k = k 。可以保证：r 俾) = 2 衫，从而保证的基向量的并可以表示r ( r ) 中的任意函数； ( 3 ) 上形，j j ，可以保证在彼此正交的前提下当且仅当的表示信息。 2 2 正交小波级数和正交小波变换 本节将在m r a 的框架下把函数，( 力l 2 ( r ) 表示成正交小波级数【玎l ，在此基础上用 正交小波变换进一步理解m r a 。 2 2 1 正交小波级数 若 g ( x 一| | ) l k z 是平移正交的r i e s z 基，则近似函数的组合系数可以方便的表示出 来。由此自然会想到，若在m r a 中给定尺度函数似工) 是关于平移正交的，由m r a 所确 定的小波子空间是否会有良好的性质呢? 由m r a 所确定的小波级数是否也会有简捷的 表示呢? 回答是肯定的，下面以定理的形式归并给出。 定理2 4 设妒( 力生成m r a ，称妒( 力为尺度函数，称( 曲为小波函数。其双尺度方 程为 矿( 曲= h q ( 2 x - n ) ( 2 1 6 ) 妒= g c ，( 2 x - n ) ( 2 1 7 ) g 。= ( 一1 ) ”啊。 ( 2 1 8 ) 设仞 一栉) ) 是标准正交的，矿( 功l 2 ( r ) ，则有 1 一的基函数 纺，。( 曲) 关于平移指标七是标准正交的； 2 彤的基函数吩，t ( 力 关于尺度指标，正交，关于平移指标七标准正交： 3 巧+ = 巧o ，巧上，j z ； 4 5 幻。 ) ) ， 纺。( 功) ，j ，七z 是r ( r ) 的标准正交基，( p ( r ) 可展开为正交小波 级数，即 2 小波分析的基本理论 厂o ) = 蚧，。( 功或厂( 力= c 纺 ) ，斗m j ，i - = u ( 力，吩。( 工) ) = e ，( 工奶，。( x ) d x ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 证明：首先推导基函数平移标准正交的一个等价结论。若 o , ( x - k ) 是标准正交的， 则等价的有 磊j = ( 矿( 力，伊( j 一后) ) = ( 军吃矿( 2 x - - n ) ，莓k 舴( 础) 一m ) ) 2 k + ：m “z h c z h , - ：。( 烈2 工一 ) ，妒( 2 j 一溯 ( 2 2 1 ) i = - n 互1 车k ：t 与之类似，缈o - k ) ) 标准正交的等价的表示为 6 0 = ( ( 功，( x 一七) ) = 委岛岛。 - ( 2 2 2 ) 关于定理2 4 中1 的证明，利用变量代换和 烈工一i ) 的标准正交性质式( 2 2 1 ) ，有 ( 乃m o ) ，纺i ( 力) = ( 7 2 e ( 2 7 功，2 7 2 矿( 2 7 x - k ) ) = ( 妒( 力，烈工一七) ) = 磊i 这就证明了 纺。o ) ) 是平移标准正交的。 ( 2 2 3 ) 关于2 的证明，需先证明，。( 工) ) 是标准平移正交的，然后，由1 的证明过程知， 只需证明缈( x - k ) 是标准平移正交的即可。为此，利用岛= ( 一1 ) ”k 。，有 缈( 力，矿 一砌= 三莓岛& 嘣 = 三军( 卅u 妒2 = 三军：t ( 2 2 4 ) 9 望童堡兰叁堂堡主兰堡垒墨 再利用式( 2 2 1 ) ，就有 ( 矿( 功，妒( z 一七) ) = 民i ( 2 2 5 ) 这就证明了缈，。( x ) 是关于平移指标| i 标准平移正交的a 关于3 的证明，这里仅证明上是不失一般性的。利用双尺度方程有 ( 烈力，妒( 砌= 匹h p ( 2 x - n ) ，g , j p ( 2 x 一砌 = g , ( f o ( 2 x - n ) ，p ( 2 x 一的) ( 2 2 6 ) 于是，由 伊( 2 石一七) ) 的平移正交性即知 ( 矿( 工) ，( 茗) ) = o ，当甩 耐 ( 2 2 7 ) 下面考察一= k 的情形，此时有 ( 纵n 妒 ) ) = 三军岛= 三；( - l y 啊。；( 2 2 8 ) 现将以分为偶数和奇数两部分，于是有 吃( 一1 ) 4 啊一。= 吃。啊。一如。k ， = 吃。 。- z 。 。= o ( 2 2 9 ) 故有 ( 烈工) 缈( 砌= o ，当厅= _ | 时 ( 2 3 0 ) 由v o 上可推知巧上 定理2 4 中的3 还有另一层含义，即对同一个尺度指标，是巧在。中的正交 补空间，巧。= 巧o ，除巧和子空间之外，巧。中不再含有其它的非零函数子空间， 因为证明较复杂，省略。 利用3 很容易证得2 中的另一部分结论，即 ，i ( 曲 是关于尺度指标_ ，正交的，因为 形上彬，j ，。 关于4 的证明很简单，它是1 3 的必然结果。例如，由 伊 一七) ) 是标准正交基和简 单的变量代换就可推得 乃，。) 和 的 ) 都是标准正交基。由r ( r ) 的予空间分解关系 r ( r ) 2 是和中的元素的表达式 ) 2 ；，t ( x ) ，即有 ，( 力= 彩吩，。， ( 2 3 1 ) 2 小波分析的基本理论 再利用蚧，。关于，指标正交和关于七指标平移正交的性质，在上式两端用吩j ( 力作内积， 就得到式( 2 2 0 ) 。 2 2 2 正交小波变换 定理2 4 实质上表明了当尺度函数妒( x ) 是标准正交基情形时m r a 的一种表现形式， 所以仍可从理解m r a 的角度来理解正交小波级数。在m r a 框架下，正交小波分解关系 如图2 - 1 所示。 _ r7 - d 。 可一 一：7 ：7 口f 泓哪 ”。4 ： w 0 ，( 力- 础_ 图2 - 1r ( r ) 正交小波分解关系示意图 f i g 2 - 1s k e t c h m a p o f o r t h o g o n a l w a v e l e t d e c o m p o s i t i o n o fr 僻) 1 ) 观察巧一r 似) ，f ( 功寸厂( 力，这是一种多尺度逼近，随着，指标的增大，厂( 力 将会逐渐的逼近厂( 力。在正交小波级数中，由于基函数 纺 ) 的正交性，f j ( 功的展开 系数为 = u ，乃，。o ” ( 2 3 2 ) 这是由函数纺 o ) 表现的积分变换。 2 ) 观察巧+ 。= 巧。乃，巧上。因为巧是巧+ 。中的低频表现部分，哆是，巧的频 带部分，所以可以认为，巧表现了巧+ ，的“概貌”，形表现了巧+ 。的“细节”。这种细节的 表现形式是( 力，由于基函数缈，。( 曲) 的正交性，其展开系数为 以= u ( 力，j ( 工) ) ( 2 3 3 ) 这正是由函数吩。力表现的积分变换，即也是小波变换。在正交小波分解以及相应的小 u 西安理工大学硕士学位论文 波变换中，取 ，i = 2 s 2 缈( 2 x - k ) ( 2 3 4 ) 尺度按2 变化，正交小波变换是一般小波变换中的特殊情形。 2 。3m a i i a t 算法 i v l r a 为深刻理解小波原理和小波构造提供了一个极好的理性框架，本节介绍的关于 正交小波的快速算法( m a l l a t 算法) 则为应用小波提供了非常便捷的手段。特别是在应用这 些快速算法作函数f ( x ) 的相关分析时，仅需要待分析函数厂( 工) 的有关数据和双尺度方程 的系数玩 和 岛) 并不涉及尺度函数伊( 力和小波函数妒( x ) 的具体表达式。 2 3 。1 尺度空间的有限分解及数据表征 b l r a 框架表明，( 力r ( r ) 可分解为无穷小波分量的直和，但在实际应用中，仅知 道厂( 功的近似函数f “( 力，例如由采样信号所决定的信号函数可看作广( 力，此时可以在 i v i r a 框架下理解为厂”( 力k 。于是就有如下的尺度空间的有限分解表现： 圪。= 形。吒 = w o o 形一i o 圪一1 = 形。睨一。o o o ( 2 3 5 ) 其中，子空间及其分量表述为 f 7 ( 功= j ，厂巧， ( 2 3 6 ) t o ) = e 蚧，。( 的，w i ( x ) ， ( 2 3 7 ) t 烈力= h 伊( 2 x - n ) ，烈工) ， ( 2 3 8 ) y ( 力= g , t p ( 2 x - n ) ，妒 ( 2 3 9 ) k + ，的有限分解关系仅是m r a 无穷分解中的一部分，因此，有限分解就子空间而言、 就函数分量而言并就频率范围而言，其含义都同于i v l r a 。例如，k 中的元素，“( 曲是 有限频率范围的，o ( 曲v o 是厂”1 ) 最低频表现，形中元素( 功是具有特定带宽的， 它们互不重叠，这些频带的总和正是厂”o ) 的频率范围。 为了数值计算和分析处理的目的，需要将厂7 ( x ) 和w j ( x ) 用离散数据来表示。显然， ，2 是合适的，因为f ( x ) = 纺，。( x ) 表明厂( 曲巧和 e 1 2 是一一对应的，或者 说利用 就一定可恢复厂( 。根据同样的理由，可用数据 酬j ，2 来表示( 功， 这类数据科 和 彰 分别对应着厂7 ( j ) 和w s ( x )