（基础数学专业论文）有关引力能量的几个几何问题.pdf

摘要 中文摘要 i i 这篇博士论文研究了有关引力能量的几个几何问题 如何定义引力场的能量是一个非平凡的问题二十世纪六十年代初，物理学 家a r n o w i t t ，d e s e r 和m i s n e r 【p l a y s r e v 1 2 2 ，9 9 7 - 1 0 0 6 ( 1 9 6 1 ) ；e to f 】从h a m i l t o n 力 学的观点给出了a d m 总能量的概念物理学家认为，在一些适当的条件下，一个 非平凡的孤立引力系统的总能量必定为正这就是广义相对论中著名的正能量猜 想 超弦理论启发我们考虑渐近于个平坦空间与一个c a l a b i - y a u 流形乘积的 空间戴先哲 c o m m u n m a t h p h y s 2 4 4 ，3 3 5 3 4 5 ( 2 0 0 4 ) ；j m a t h p h y s 4 6 ， 0 4 2 5 0 5 ( 2 0 0 5 ) 首先对这样的空间定义了总能量并给出了一个正能量定理受戴先哲 的工作以及张晓关于总角动量工作c o m m u n m a t h p h y s 2 0 6 ，1 3 7 - 1 5 5 ( 1 9 9 9 ) 】的 启发，在c a l a b i y a u 紧致化的条件下，作者将正能量定理推广到非对称初始数据集 的情形( 定理2 2 ) 自然的，我们还希望把正能量定理推广到渐近a d s 的时空c h n 止c i e l 等【a d v t h e o r m a t h p h y s 1 9 6 9 7 - 7 5 4 ( 2 0 0 1 ) ；p a d f i cj m a t h 2 1 2 ，2 3 1 2 6 4 ( 2 0 0 3 ) ；e t a 1 1 首先研究了渐近双曲流形的总能量张晓 c o m m u n m a t h p h y s 2 4 9 ，5 2 9 - 5 4 8 ( 2 0 0 4 ) 与m a e r t e nf a n n h e n r ip o i n c a r 67 ，9 7 5 - 1 0 l l ( 2 0 0 6 ) 】分别独立的将正能量 定理推广到第二基本形式非零的情形本文的第三章研究了第二基本形式非零的 情形下，任意宇宙学常数的渐近a d s 时空中正能量定理的l o r e n t z i a nv e r s i o n 作者 与张晓合作得到了以下几个定理定理3 1 对应于张晓的r i e m a n n i a nv e r s i o n 定 理3 3 包含- j m a e r t e n 的关于总质量向量l o r e n t z i a n 长度的一个不等式定理3 2 给 出的是当m 极大这个重要情形的正能量定理 在本文的最后一章，我们将研究引力场上波映照的l i o u v i u e 型定理胡 和生等 c h i n e s ea n n m a t h b5 ，7 3 7 - 7 4 0 ( 1 9 8 4 ) ；l e t t m a t h p h y s 1 4 ，2 5 3 - 2 6 2 ( 1 9 8 7 ) ：l e t t m a t h p h y s 1 4 ，3 4 3 3 5 1 ( 1 9 8 7 ) ；e a l ，1 给出了一系列关于从平 坦时空、s c h w a r z s c h i l d 时空出发的波映照的不存在性定理在能量有限( 或者 能量慢发散) 的条件下，作者给出了一个从s c h w a r z s c h i l d a d s 时空出发到任意维 数r i e m m a n 流形的静态波映照的不存在性定理( 定理4 3 ) 关键词：引力场，总能量，能量一动量，正能量定理，波映照 中图分类号：0 1 8 6 1 ，0 4 1 2 1 a b s t r a c t t h i sp h dd i s s e r t a t i o ni sc o n c e m e dw i t hs o m eg e o m e t r i cp r o b l e m sr e l a t e dt o g r a v i t a t i o n a le n e r g y i t i sn o n t r i v i a lt od e f i n et h eg r a v i t a t i o n a le n e r g y t h ed e f i n i t i o no ft h et o t a l e n e r g yw a sg i v e nb ya r n o w i t t d e s e r - m i s n e r 【p a y s r e v 1 2 2 ，9 9 7 - 1 0 0 6 ( 1 9 6 1 ) ；e ta 1 】 f r o mt h eh a m i l t o n i a np o i n to fv i e wi ne a r l y1 9 6 0 s p h y s i c i s t sb e l i e v e ，w i t hs o m e j u s t i f i c a t i o n ，t h a tt h et o t a le n e r g yf o ran o n t r i v i a li s o l a t e dg r a v i t a t i o n a ls y s t e mm u s t b ep o s i t i v e t h i si st h ef a m o u sp o s i t i v ee n e r g yc o n j e c t u r ei ng e n e r a lr e l a t i v i t y m o t i v a t e db ys u p e r s t r i n gt h e o r y ，w ec o n s i d e rt h es p a c e sw h i c ha s y m p t o t i c a l l y a p p r o a c ht h ep r o d u c to faf l a ts p a c ew i t hac a l a b i y a um a n i f o l d d a i 【c o m m u n m a t h p h y s 2 4 4 ，3 3 5 3 4 5 ( 2 0 0 4 ) ；j m a t h p h y s 4 6 ，0 4 2 5 0 5 ( 2 0 0 5 ) 】f i r s td e f i n e dt h e t o t a le n e r g ya n da l s oe s t a b l i s h e dap o s i t i v ee n e r g yt h e o r e mf o rs u c hs p a c e s i n s p i r e d b yd a i sw o r ka n dz h a n g sw o r ko nt o t a la n g u l a rm o m e n t u m 【c o m m u n m a t h p h y s 2 0 6 ，1 3 7 - 1 5 5 ( 1 9 9 9 ) ，u n d e rc a l a b i y a nc o m p a c t i f i c a t i o n ，t h ea u t h o re x t e n d s t h ep o s i t i v ee n e r g yt h e o r e mt ot h ec a s eo fn o n s y m m e t r i ci n i t i a ld a t as e t ( t h e o r e m 2 2 、 ， i ti sn a t u r a lt oe x t e n dt h ep o s i t i v ee n e r g yt h e o r e mt oa s y m p t o t i c a l l ya d ss p a c e - t i m e c h r u j c i e le ta 1 f a d v t h e o r m a t h p h y s 1 9 ，6 9 7 7 5 4 ( 2 0 0 1 ) ；p a c i f i cj m a t h 2 1 2 ，2 3 1 2 6 4 ( 2 0 0 3 ) ；e ta l 】f i r s ts t u d i e dt h et o t a le n e r g yf o ra s y m p t o t i c a l l yh y p e r b o h c m a n i f o l d s z h a n g 【c o m m u n m a t h p h y s 2 4 9 ，5 2 9 5 4 8 ( 2 0 0 4 ) 】a n dm a e r t e n 【a n n h e n r ip o i n c a r 67 ，9 7 5 1 0 1 1 ( 2 0 0 6 ) 】i n d e p e n d e n t l yg e n e r a l i z e dt h ep o s i t i v ee n e r g yt h e - o r e mt ot h ec a s eo fn o n z e r os e c o n df u n d a m e n t a lf o r mr e s p e c t i v e l y c h a p t e r3d e a l s w i t has p a c e t i m ev e r s i o no ft h ep o s i t i v ee n e r g yt h e o r e mf o rt h ea s y m p t o t i c a l l ya d s s p a c e t i m ew i t ha r b i t r a r yc o s m o l o g i c a lc o n s t a n tw h e nt h en o n z e r os e c o n df u n d a m e n - t a lf o r ma p p e a r s j o i n tw i t hz h a n g w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ：t h e o r e m3 1 c o r r e s p o n d st oz h a n g sr i e m a n n i a nv e r s i o nw h i l et h e o r e m 3 3i n c l u d e sm a e r t e n s i n e q u a l i t yo ft h el o r e n t z i a nl e n g t ho ft h et o t a lm a s sv e c t o r t h e o r e m3 2g i v e sa p o s i t i v ee n e r g yt h e o r e mi nt h ei m p o r t a n tc a s ew h e nm i sm a x i m a l i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h el i o u v i l l e t y p et h e o r e m sf o rw a v em a p so v e r g r a v i t a t i o n a lf i e l d s h uc ta 1 【c h i n e s ea n n m a t h b5 ，7 3 7 - 7 4 0 ( 1 9 8 4 ) ；l e t t m a t h p h y s 1 4 ，2 5 3 - 2 6 2 ( 1 9 8 7 ) ；l e t t m a t h p h y s 1 4 ，3 4 3 3 5 1 ( 1 9 8 7 ) ；e ta l ，】g a v ea 美文摘要i v s e r i e so fn o n e x i s t e n c et h e o r e m sf o rt h ew a v em a p sf r o mt h ef i a ts p a c e t i m ea sw e l la s s e h w a r z s c h i l ds p a c e t i m e u n d e rt h ea s s u m p t i o no ff i n i t ee n e r g y ( o r s l o w l yd i v e r g e n t e n e r g y ) ，t h ea u t h o ro b t a i n sa l la b s e n c et h e o r e mf o rs t a t i cw a v em a p sd e f i n e d 舶m t h es c h w a z z s c h i l d - a d ss p a c e t i m ei n t oa n yr i e m a n n i a nm a n i f o l d ( t h e o r e m4 3 、 k e y w o r d s ：g r a v i t a t i o n a lf i e l d ，t o t a le n e r g y ，e n e r g y m o m e n t u m ，p o s i t i v ee n e r g y t h e o r e m ，w a v em a p c l c n ：0 1 8 6 1 ，0 4 1 2 1 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他人或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 作者签名：硇! 塑益日期：丝z ：羔：丝 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件。允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容。可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定 作凇名：章丝导孵名：趟至堂! 喃幽：垃 第一章前言弟一早月i ji 在广义相对论中 3 4 ，6 3 】，我们用一个1 + 3 维的l o r e n t z i a n 流形( 1 一，动来描述 时空( s p a c e t i m e ) 我们假谈3 l o r e n t z l a n 度量虿的号差( 8 1 9 i l a t u r e ) 为( 一，+ ，+ ，+ ) 并且满 足e i n s t e i n 6 力场方程 丽( 刃一掣虿+ 何= z ( 1 1 ) 这里r i c ，兄分别是关于度量歹的尉c c i 曲率与数量曲率，t 是能量一动量张量( e n e r g y - m o m e n t u mt e n s o r ) ，a 是宇宙学常数( c o s m o l o g i c a lc o n s t a n t l 如果我们假设e i n s t e i n 弓f 力场方程( 1 1 ) 中的宇宙学常数a 为零，那么孤立的引 力系统可以用一个渐近平坦( a s y m p t o t i c a l l yf i a t ) 的时空来描述最简单的例子就 是m i n k o w s k i 时空( 1 v ，虿w 触) 弛鼬= 一d t 2 + 出2 + d y 2 + d z 2 ( 1 2 ) 它是e i n s t e i n 方程( 1 1 ) 的一个真空( v a c u u m ) 解，即t = 0 迸一步，b i r k h o f f 定理告 诉我们，( 1 1 ) 的球对称解是s c h w a r z s c h i l d 时空( 1 v ，虿妊) 弧= 一( 1 一孚) 出2 + ( 1 一孚) 一1 d r 2 + r 2 d a 2 ( 1 3 ) 这里出2 是标准的二维球面度量d 盯2 = d 0 2 + s i n 2 口d 妒2 ，m 是一个常数，称为质 量( m a s s ) 对于引力场，如何合理定义总能量( 总质量) 是一个复杂的问题我们一 般不能简单的通过”能量密度”在区域上的积分来定义总能量问题的复杂 性来源于度量的“几何一动力学”双重角色性二十世纪六十年代，a r n o w i t t ， d e s e r 和m i s n e r 从h a m i l t o n 力学的观点出发，在类空无穷远( s p a e e l i k ei n f i n i t y ) 通 过f l u x 积分将总能量、总( 线性) 动量的概念推广到了渐近平坦的时空f 2 5 j 所谓渐近平坦的空间，我们有下面的定义考虑三元组( m 3 ，锄，) 这 里m 3 是一个三维的定向p d e m m a n 流形设妨是m 3 的r i e m m a n 度量，鬼，是定义 在m 3 上的一个二阶张量我们称( m 3 ，g i j ，k ) 是渐近平坦的( a s y m p t o t i c a u yf i a t ) ， 如果存在一个紧子集使得m 一微分同胚于r 3 一b r ( o ) ，其中b r ( o ) 是以原点为 圆心，半径r 的一个球在这个微分同胚下，m k 上的度量满足 = 西+ o ( r 一7 ) ，巩= o ( r - - i - - 1 ) ，巩a 7 - o ( r - - ； - - 2 ) ( 1 4 ) 第一章前言 2 迸一步，满足 = o ( r 。1 ) ，巩= o ( r - - r - - 2 ) ( 1 5 ) 这里1 r 称为渐近阶( a s y m p t o t i co r d e r ) 对上述空间，总能量( t o t a je n e r g y ) 与总线性动量( t o t a ll i n e a rm o m e n t u m ) 分别 定义为【5 】 e 1 l i m 1 f s 攀n 吨9 3 n - r = n l i r a 。1 6 7 rj 砌( h k t 一屯) + 妣， ( 1 6 ) ( 1 ，7 ) 其中岛表示半径r 的球面 注1 1 对m i n k o w s k i 时空( 1 2 ) 的时问片( t i m e s l i c e ) ，e = 0 ，p l = p 2 = p 3 = o ；对s c h w a r z s c h i l d 时空( 1 3 ) 的时间片，e = m ，p l = p 2 = b = 0 ；有趣的是， 对用来描述旋转星体的k e r r 时空的时间片，虽然它具有非零的第二基本形式，但 它对线性总动量的贡献为零，即仍然有：e = m ，p l = p 2 = p 3 = 0 【7 6 ，s e c t i o n 1 2 】 1 9 8 6 年，b a r t n i kf l o 和c h r u c i e lf 2 3 分别独立的证明了渐近平坦空间的a d m 总 能量的确是一个几何不变量 在牛顿引力理论中，由于势能可以定义成为负，任何由引力结合起来的系统 都可能有负的总能量但是，如果在广义相干对论中也存在总能为负的引力体 系，那么就会导致物理上很奇怪的结果i 扫e i n s t e i n 质能关系，负能量就意味着 负质量，负能系统对其他物体将是排斥而不是吸引物理学家认为，在适当的物 理条件下，孤立引力系统的总能量必定非负这就是著名的正能量猜想( p o s i t i v e e n e r g yc o n j e c t u r e ) ( 又称正质量猜想( p 0 8 i t i v em a s sc o n j e c t u r e ) ) 这个猜想的第一 个完整证明是二十世纪七十年代1 扫s c h o e n 与y a u 合作完成的 5 8 - 6 0 1 他们利用极 小曲面的技巧证明了： 定理1 1 ( s c h o e n y a u ；w i t t e n ) 设( m 3 ，肋，) ( 岣= 幻，) 是渐近平坦的流 形如果肘3 满足主能量务件( d o m i n a n te n e r g yc o n d i t i o n ) ： ；( r + ( 2 一蝎) 之 其中r 是( m 3 ，勋) 的数量曲率那么， e2l p ( 1 8 ) ( 1 9 ) 第一章前言 3 进一步，如果e = 0 ，那么( m 3 ，9 ) 可以等距的嵌入到m i n k o w s k i 空间r 1 , 3 使得是 诱导度量( i n d u c e dm e t r i c ) ，是它的第二基本形式( s e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ) 特 别的，( m 3 ，勋) 的拓扑是皿3 注1 2 为叙述简单，除特殊说明，本文均假设( m ，g ) 只有一个末端( e n d ) 定 理可以推广到多个末端的情形( m u l t i - e n d s ) 1 9 8 1 年，w i t t e n 利用旋量( s p i n o r ) 给出了正能量定理的l o r e n t z i a nv e r s i o n 一个 简洁漂亮的论证f 6 6 1 他把总能量表示为一个三维积分并且直接证明这个积分非 负紧接着，p a r k e r 与t a u b e s 给w i t t e n 的证明补充了细节【5 4 】b e i g 与c h r u e i e l 进 一步讨论了e = i p l 时的r i g i d i t y 可题f 1 3 1 对于一般的渐近平坦时空，如何定义总角动量也是一个复杂的问题y a u 在他 的问题集【7 1 1 中将这个问题列为第1 2 0 个公开问题，并进一步问在适当的条件下总 能量与总角动量有什么关系物理学家对此有一些重要的工作这方面的工作可 以参考文献6 8 】以及【5 6 ，6 2 1 可惜的是，这些角动量的概念从某种意义上说是局 部的，或多或少的存在着某些问题【5 5 】1 9 9 9 年，张晓【7 2 】给出了总角动量的一个 全局的几何定义并且建立了一个推广的正能定理来刻画总能量、总线性动量以及 总角动量的关系这个总角动量的定义与一个非对称的二阶张量有关【7 2 ，7 6 】 超弦理论【1 7 】的一个模型是十维的，即r 1 ，3 x ，其中r 1 , 3 是m i n k o w s k i 时 空，x 是一个紧致的c a l a b i - y a u 3 一流形这就是所谓的c a l a h i y a u 紧致化，或称 为超对称( s u s v ) 紧致化我们试图考虑将正能量定理推广到渐近于一个平 坦e u c l i d e a n 空间与一个c a l a b i - y a u 流形乘积的空间戴先哲首先研究了这个问 题【2 6 】他对这样的空间定义了总能量并且给出了一个关于总能量的正能定理 后来，这个正能量定理被用来研究带有平行旋量r i e m m a n 流形的稳定性【2 8 】 紧接着，他又讨论了该定理的时空表述形式( s p a c e t i m ef o r m u l i s m ，l o r e n t z i a nv e r s i o n ) 【2 7 】作者的一个工作是结合戴先哲的工作f 2 6 ，2 7 】与张晓关于总角动量的 工作f 7 2 】，在超对称紧致化的条件下，将正能量定理推广到非对称初始数据集的 情形( 定理2 2 ) 【6 8 1 这里作者利用了张晓定义的非自伴的修正d i r a c w i t t e n 算 子f 7 2 】，借助m a z z e o - m e l r o s e 的纤维边界演算( f i b e r e db o u n d a r yc a l c u l u s ) 【3 3 ，5 2 】来 解修正的d i r a c w i t t e n 方程最后两个关于非对称初始数据集的w e i t z e n b s c k 型公 式给出了推广的正能量定理这部分工作我们将在本文的第二章中介绍 如果我们假设宇宙学常数是负的，那么我们将得到所谓的反d e s i t t e r ( a n t i d e - s i t t e r a d s ) 时空自然的我们希望把正能量定理推广到渐近a d s 的时空这 时类空无穷远是渐近双( a s y m p t o t i c a l l yh y p e r b o l i c ) 的于是问题比渐近平坦空 间的情形要复杂得多c h r u c i e l 与n a 9 5 , 定义了渐近双曲流形的总能量 2 5 1 文 第一章前言4 献f 2 4 ，6 5 给出了渐近双曲流形全测地( t o t a l l yg e o d e s i c ) 情形的正能量定理张 晓f 7 8 1 与m a e r t e n 5 1 1 分别独立的将渐近a d s 时空的正能量定理推广到第二基本形 式非零的情形在本文的第三章中，作者与张晓合作，研究了第二基本形式非零 的情形下，任意宇宙学常数的渐近a d s 时空中正能量定理的l o r e n t z i a nv e r s i o n ( o r s p a z e t i m ef o r m u l i s m ) f 6 9 1 这一章的主要结果是定理3 1 、定理3 2 和定理3 3 其中定理3 1 对应于张晓在文献【7 8 】中r i e m a n n i a nv e r s i o n 的结果；定理3 3 包含 了m a e r t e nf 5 1 关于总质量向量l o r e n t z i m a 长度的一个重要的不等式定理3 2 给出 的是当m 极大，b j t r ( h ) = 0 ，这个重要情形的正能量定理 本文的最后一章，我们研究引力场上的波映照波映照的l i o u v i l l e 型定理是微 分几何中的一类有趣的定理胡和生等首先考虑了从平坦时空【4 0 、s c h w a r z s c h i l d 时 空f 4 2 ，4 4 1 出发的波映照的不存在性定理作者研究了从s c h w a r z s c h i l d a d s 时空出 发到任意维数r i e m m a n 流形的静态波映照，得到一个关于能量有限( 或”能量慢 发散( s l o w l yd i v e r g e n t ) ”) 波映照的不存在性定理( 定理4 3 ) 【6 7 】 第二章c a l a b i y a u 紧致化与正能量定理 这一章将介绍超弦理论所关心的c a l a b i - y a u 紧致化( s u s y 紧致化) 空间中的 正能量定理戴先哲首先将正能量定理推广到了这种情形【2 6 ，2 7 作者结合了戴 先哲的工作【2 6 ，2 7 】与张晓的工作【7 2 】，在超对称紧致化的条件下，将正能量定理 推广到非对称初始数据集的情形( 定理2 2 ) 6 8 1 2 1 c a l a b i - y a u 紧致化、总能量与正能量定理 超弦理论【l7 】的一个模型是十维的，即r 1 ，3 x ，其中r 1 ，3 是m i n k o w s k i 时 空，x 是一个紧致的c a l a b i y a u3 - 流形这就是所谓的c a l a b i y a u 紧致化，或称为 超对称( s u s y ) 紧致化这启发人们考虑渐近于e u c l i d e a n 平坦空间与c a l a b i y a u 流 形乘积的空间 具体的，我们考虑以下完备i 的r i e m a n n 流形( m “，g 曲) 假设m = 且如u 纪， 其中 岛是一个紧集，并且m 矗微分同胚于( 必b r ( o ) ) x 这里b r ( 0 ) 是以原点 为圆心以r 为半径的球，x 是一个紧致的单连通的c a l a b i y a u 流形我们要求在末 端( e n d ) 肘矗上，度量满足以下渐近条件： g = ；+ h ，；= 9 r k + g x ， ( 2 1 ) ：d ( r r ) ，专 ：o ( r - - 1 ) ，号号危：o ( r r 一2 ) ( 2 2 ) 这里v o 是天十乘积发重9 0 的l e v i c i v i t a l 关络，r o 是渐近阶，r 是到某一基准点的 欧氏距离对于这样的空间( m ，9 ) ，a d m 总能量被定义为【2 6 】 e = 舰赢以。x ( a 鲫一岛g ) 木d 巧咖d z ) ( 2 。3 ) 这里+ 是欧氏空间上的h o d g e 星算子，龇是七一1 维单位球面的面积我们约定指 标i ，j 的范围是欧氏部分而指标。跑遍整个流形 注2 1 我们假设7 譬并且七23 这样定义的a d m 总能量是良定义 的【2 6 】 戴先哲首先证明了下面的正能量定理 2 6 ，t h e o r e m0 2 】 第二章c a l a b i y a u 紧致化与正能量定理6 定理2 1 ( d a i ) 设完备砸e m a r m 流形( m ，夕) 满足如上奈件如果肘是白旋的 并且具有非负的数量曲率，那么 e 2 0 ( 2 4 ) 进一步，e = 0 当且仅当m = r x 注2 2 文献【2 7 - 计诧- 了该定理的时空表述形式( s p a c e t i m e f o r m u l i s m ，l o r e n t z i a a v e r s i o n ) 受张晓关于总角动量工作【7 2 】以及e i n 8 t e i n c a r t a n 理论 1 8 - 2 0 的启发，作者 试图考虑如上的完备的硒e m 啪流形( m ”，g 曲，p 曲) 附加上一个非对称的二阶张量 场p 曲我们把三元组( 舻，g 曲，p 曲) 称为非对称初始数据集我们进一步要求这个二 阶张量p 曲在末端 亿满足： p ：0 ( r r 一1 ) ，v o p ：d ( r 一，一2 )( 2 5 ) p 融= p 雠= p 堆= 0 这里约定指标a ，p 的范围是紧因子那个部分，而指标i 跑遍欧氏部分同样，我们 定义动量f 2 7 1 1， 忍2 舰齑止洲2 一弛) + 奶d 删( x ) ( 2 6 ) 这里+ 仍然是欧氏空间上的h o d g e - 星算子，指标i ，j ，后跑遍欧氏部分 结合戴先哲【2 6 ，2 7 】与张晓的工作【7 2 ，作者得到以下推广的正能量定理 【6 8 我们称非对称初始数据集( 胗，灿，m ) 满足主能量条件( d o m i n a n te n e r g y c o n d i t i o n ) ，如果 一n z 伊，屉而) + 摩 ( 2 7 ) 这里，”局部能量密度”被定义为 p 2 ；( 兄+ ( 莓) 2 一莓吨) ( 2 8 ) 其中r 是关于度量9 的数量曲率；”局部动量密度”为 = ( v 枞v 跏) b x 。= 2 v 梳， b ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 第二幸c a l a b i - y a u 紧致化与正能量定理 7 = 蹴+ 晒+ 赫) 2 ， ( 2 1 1 ) 以c 一霉 吐 扛 o 其中= m 一 在本章中，作者证明了： 定理2 2 ( x i e ) 设三元组( 肘”，g 曲，p 曲) 满足如上条件如果m 是自旋的并且 满足主能量条件( 2 7 ) ，那么 e f p i ( 2 1 2 ) 此外，如果e = o 和惫= n ，那么m 的旋量丛上还成立以下等式： ( + 黼一黼) e 。e 4 一仃( v 。p b c v b p 。) e 。 c dc ；一、j ( v 批e 6 e 。e 4 一 v 啪e a e c e d )( 2 1 3 ) c 如一d b # ac ，如c 掣6 o 一( 戤m ，e 6 e 7 9 e e 4 一p c d p b f e 8 e 7 e c e 4 ) 托d 净，c 由e 6 口， q d ；醇，薛西6 o 这里r 。6 c d 是( m n ，g a b ) p d e m a n n 率张量 注2 3 定理2 2 可以推广到x 容许平行旋量的情形 注2 4 如果假设硒是对称的，即p 曲= p b a ，这与定理2 i 的l o r e n t z i a nv e r s i o n 【2 7 1 是一致的 注2 5 这个结果对应于张晓关于渐近平坦高维空间的相关结果 7 2 】 2 2b o c h n e r l i c h n e r o w i c z w e i t z e n b s c k 公式 作者沿着w i t t e n 旋量证明的思路，利用了张晓定义的非自伴的修正d i r a c - w i t t e n 算子1 7 2 ，得到两个w e i t z e n b s & 型公式推广的正能量定理2 2 正是由这两 个公式得到的我们这里采用r i e m a n n i a nv e r s i o n 的证明，这样可以克服l o 嘲1 t z i a n v e r s i o n 证明中的一个困难，即证明在5 研n ( 1 ，佗) 24 ) 的旋量丛上存在一个正定 的h e m i t i a n 内积【7 3 ，7 5 | 在流形( m ，们上固定一点p m 设( e d 是切空问露m 的一组单位正交基我 们可以适当的选取 e 。使得在p 点有( v 。e b ) p = 0 这里v 是( m ，g ) 的l e v i c i v i t a 联 络记 e 。) 为 e 口 的对偶标架设s 是自旋流形( m ，g ) 上的旋量丛因此，s 上存在 正定的h e r m i t i a n 度量 f 1 6 ，4 r 使得 = ( 2 1 4 ) 第二章c a l a b i - y a u 紧致化与正能量定理8 切丛丁m 上的l e v i c i v i t a 联络v 诱导了旋量丛s 上的一个联络，称为自旋联络( 8 p i n c o n n e c t i o n ) 这里这个新的联络仍然记为v 我们在旋l 丛s _ h 分别定义修正的联 络( m o d i 如dc o n n e c t i o n s ) g l ：i v ：l 亏。= v 。+ 竿鼬e 6 ， ( 2 1 5 ) 瓦：v 。+ 华p 曲e a 一孚p e 咿 ( 2 1 6 ) 。 b 。6 ，g n 6 c o 于是，自旋联络v 诱导的d i r a c 算子与修正联络寺诱导的d i r a c w i t t e n 算子分别是： d = e 。乳， ( 2 1 7 ) 石：fe a 亏。 ( 2 1 8 ) 进一步，有以下公式： d ( i n t ( e 。) d v 0 1 ) = ( + ) d v o l b = ( 瓦，炒+ ) d v o l 6 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) d ( e 。毋，炒i n t ( e 。) d v d ) = ( 踯，炒一 ) d v 0 1 ( 2 2 1 ) d 我们( 形式上) 记对偶算子为： 寺：= 一讥+ 伍p , 1 6 e b ， ( 2 2 2 ) b 玩= 一玩+ 厅p 曲矿， ( 2 2 3 ) b 伊= 西+ 厅 ( 2 2 4 ) 我们引用文献【7 2 】中下面两个重要的推广的b o c h n e r - l i c h n e r o w i c z - w 西t z e n b 6 c k 公 式 命题2 1 【7 2 ，t h e o r e m2 1 】设( m ，夕) 是自旋流形我们有： 西+ 西= 矿可+ ；( p + 厅b 岫e 6 ) + 互1 兀 d d + = 而+ 互1 ( p 一厅b ( 岫+ ) 一互1 户 其中，= 一6 。d 却m p c d e 。e 6 e 。e d ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 第二章c a l a b i y a u 紧致化与正能量定理 9 注2 6 自旋f d e m a n n 流形【朋“，g ) 上关于标准d i r a c 算子群j b o c l m e r - l i c h n e r o w i c z - w e i t z e n b s c k & 式【1 6 ，4 7 】是 d 2 = v + v + i 删( 9 ) ( 2 册 在有的文献中，这个公式也称为s c h r 甜i n g e r - l i c h n e r o 、v i c z 公式 5 0 ，6 1 】 我们下面考虑的流形是非紧的，所以我们希望得到上述公式的积分形式 引理2 1 设( m ，夕) 是自旋流形我们有： 佩面”溉啦。灿or(g)=vlom m 2 + ； 0 当且仅当m 的和乐群为以下 情况之一：s g ( m ) ；s p ( m ) ；s p i n ( 7 ) ；g 2 注2 7 物理上，容许平行旋量的流形被称为是超对称( s u p e r s y m m e t r i c s u s y ) 回忆一下，我们考虑的是自旋流形m = 尬u 坻，其中是紧致的，末 端朋矗微分同胚于( r 一b r ( 0 ) ) xx 由于3 并且x 是单连通的，末端埘0 也是 单连通的因此，它有一个唯一的自旋结构这个自旋结构来源于舻的自旋结构 与x 的自旋结构的乘积 我们用 e ：) 记关于乘积度量；的单位正交基它由 刍) 和( x ，g x ) 的单位正 交基 厶) 组成将 以 参照度t g t 交化，我们得到关于度量9 的一组单位正交 基 e 。) 并且 e 。= e ：一去危曲e 2 + o ( r 一打) ( 2 2 9 ) 这相当与在末端蚝的切丛上给出了一个规范变换( g a u g et r a n s f o r m a t i o n ) a ： a ：s o ( 勐一s o ( g ) e d 0 卜 同时，这也诱导了旋量丛s 上的一个变换 为了研究乘积空间上的旋量丛，我们需要考虑有两个e u c l i d e a n 空间直和所对 应的c n 肋r d 代数的不可约表示与其直和因子对应的c l i f f o r d 代数不可约表示之间的 关系【9 ，3 2 这里我们采用文献f 3 2 1 中的记号设m