（系统工程专业论文）多属性决策中参数敏感性研究及应用.pdf

华中科技大学博士学位论文 摘要 f 多属性决策是决策科学中的重要组成部分，它是指在多个有冲突的目标下所进 行的决策。在多属性决策过程中，常常有很多因素影响决策结果，这些因素在决策 的开始阶段是不确定的，或者是不精确的、难以量化的：即使参数已经确定，在决 策的过程中也还需要根据实际情况经常的进行修改矿本文针对多属性决策中的参数 不确定、不精确和难以量化等问题，试图从不同的角度，以不同的方法来讨论参数 变化对最终决策的影响，即最终决策对参数变化的敏感性问题。 首先，本文在前人工作的基础上，提出了可以适用于决策问题的所有可变参数 的基于距离的敏感性分析方法。f 该方法通过给出有限方案集的非劣方案、潜在最优 方案、邻近潜在最优方案以及竞争方案等定义，以e u c l i d e a n 空间的距离为测度，用 可变参数的最小参数变化量来描述任意方案到当前最优方案间的距离，给出了以距 离为基础的定量化敏感性指数，并以竞争方案到当前最优方案的距离来衡量当前最 优方案的敏感性。阜 其次，提出了基于加性方法的敏感性分析方法。该方法适用于分析属性权重和 属性值上的变化对方案排序结果的影响。f 在这部分内容中，首先定义了一类加性方 法，该定义的提出，使得多属性决策的参数敏感性分析范围从单一方法扩展到一类 方法。在所定义的加性方法基础上，首先从改变方案排序的角度出发，根据加性方 法中方案对优先序颠倒导致其评价函数的值大小颠倒的条件，提出了确定属性权重 最小绝对变化量和相对最小变化量的方法，并以相对最小变化量为基础，提出了( 1 ) 针对于最优方案排序改变的属性临界值和属性的敏感性系数，( 2 ) 针对任意方案排序 改变的属性临界值和属性的敏感性系数，并由此得到对权重变化最敏感的属性。然 后，从保证方案排序不变的角度，以秩为l 的加性方法为例，根据方案对排序不改 变在其评价函数上的限定条件，确定了保证方案对排序不变的权重变化范围，进而 提出了属性权重的稳定区间概念以及权重稳定区间的求解方法，并把该方法推广到 秩为r 的加性方法。木 第三，作为属性权重稳定区间方法的一种应用，对主客观综合赋权方法的适用 范围进行了补充和说明。i 在这里，把主观权重和客观权重作为两个独立的属性，构 造一个新的两属性决策问题，通过求解这两个属性的权重稳定区间，分析了主客观 华中科技大学博士学位论文 权重的比例变化对方案排序的影响，并通过实例说明了主客观赋权方法虽然是综合 了主、客观赋权方法的优点，不失为一种很好的赋权方法，但不是在所有的场合都 适用。第四，在加权和法的基础上，对规范化的属性值进行了尝试性的敏感性分析。 在这里，首先定义了属性值变化的最小绝对变化量和最小相对变化量，并利用属性 值的最小相对变化量定义，提出t o ) 针对于最优方案排序改变的属性值敏感性系数， ( 2 ) 针对任意方案排序改变的属性值敏感性系数，并由此得到对属性值变化最敏感的 方案。一、 最后，根据环境决策和环境项目排序的特点，针对湖北省的环境现状和发展趋 势，建立了湖北省城市污水处理厂建设项目排序模型。眩模型包括评价指标的确定、 方案集的确定、权重的确定、属性值的确确定以及评价方法的确定等等，给出了采 用p r o m e t h e e 方法和加权和法的排序结果，并对所得到的结果进行了不同形式的 敏感性分析以及稳定性分析，为决策者提供更多的信息。 总体说来，本文从不同的角度、以不同的方式对多属性决策中的属性权重和属 性值的变化对最终决策的影响进行较深入的分析，在一定程度上扩充了参数敏感性 分析方法的研究和应用范围，其研究结果对多属性决策理论中敏感性分析理论的发 展和完善具有重要的参考意义。土、 关键词：多属性决策j敏感性分析一加性方法属性权重?属性值 敏感性系数权重稳定区间，环境项目排序7 7 华中科技大学博士学位论文 a b s t r a c t i nt h ed e c i s i o n m a k i n gs c i e n c e ，m u l t i - a t t r i b u t ed e c i s i o n m a k i n gi sav e r yi m p o r t a n t c o m p o s i n gp a r ta n d m e a n st om a k ed e c i s i o nu n d e rs e v e r a lc o n f l i c t i v eo b j e c t s d u r i n gt h e p r o c e s so f m u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n - m a k i n g ，t h er e s u l ti so f t e na f f e c t e db ym a n yf a c t o r s t h a ta r e u n c e r t a i n ，i m p r e c i s e ，o r d i f f i c u l tt ob eq u a n t i z e di nt h e b e g i n n i n g o ft h e d e c i s i o n m a k i n g e v e ni f p a r a m e t e r so f d e c i s i o n - m a k i n gm o d e l s h a v eb e e nf i x e d ，w em u s t a l s om o d i f yt h e s ep a r a m e t e r sb yt e r m so fp r a c t i c a lc o n d i t i o n sd u r i n gt h ep r o c e s so f d e c i s i o n m a k i n g a i m i n g a t u n c e r t a i n t y , i m p r e c i s i o n ，a n dd i f f i c u l t y i n q u a n t i z a t i o n o f p a r a m e t e r s ，t h i st h e s i st r i e st od i s c u s sh o w t h ef i n a ld e c i s i o n m a k i n gr e s u l t sa r ea f f e c t e d b y t h ec h a n g eo f p a r a m e t e r sf i o md i f f e r e n t v i e w sa n dm e t h o d s b a s e do n p r e v i o u sw o r k s t h a th a v eb e e nd o n eb yo t h e rp e o p l e ，t h i st h e s i sp r e s e n t sa d i s t a n c e b a s e ds e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o dt h a ti ss u i t a b l ef o ra l lv a r i a b l ep a r a m e t e r si nt h e d e c i s i o n m a k i n gp r o b l e m s i nt h i sm e t h o d ，w ed e f i n e das e r i e so f d i f f e r e n ta l t e r n a t i v e s s u c ha sn o n d o m i n a t e do n e ，p o t e n t i a lo p t i m a lo n e ，t h ea d j a c e n tp o t e n t i a lo p t i m a lo n e ，t h e c o m p e t i t i v eo n e ，e t c ，g i v et h ed i s t a n c e - b a s e dq u a n t i t a t i v es e n s i t i v i t yi n d e x e s ，a n dw e j i g h t h es e n s i t i v i t yo ft h ec u r r e n to p t i m a la l t e r n a t i v eb yt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ec o m p e t i t i v e a l t e r n a t i v ea n dt h ec u r r e n to p t i m a la l t e r n a t i v eb yt a k i n gt h ed i s t a n c ei ne u c l i d e a ns p a c ea s t h em e a s u r ea n dd e f i n i n gt h ed i s t a n c eb e t w e e na n ya l t e r n a t i v ea n dc u r r e n to p t i m a l a l t e r n a t i v eu s i n gt h el e a s tv a r i a n c eo f v a r i a b l ep a r a m e t e r s f u r t h e r m o r e ，as e n s r i v i t ya n a l y s i sa p p r o a c hu s i n g i naf a w a l yo fa d d i t i v em o d e l si s p r o p o s e d t h i sa p p r o a c hi ss u i t a b l ef o ra n a l y z i n gh o w t h ec h a n g eo ft h ea t t r i b u t ew e i g h t s a n da t t r i b u t ev a l u e sa f f e c t st h ef i n a lr a n kr e s u l t i nt h i sp a r t ，w ed e f i n eaf a m i l yo f a d d i t i v e m e t h o d st h a te x t e n dt h er a n g eo fp a r a m e t e r ss e n s i t i v i t ya n a l y s i si nt h em u l t i a t t r i b u t e d e c i s i o n m a k i n gf r o ms i n g l ea p p r o a c ht ot h ef a m i l yo f m e t h o d s b a s e do no u rd e f m e d a d d i t i v em e t h o d sa n dt h ec o n d i t i o n so ft h ep r i o r i t yr e v e r s a lr e s u l t i n gi nt h er e v e r s a lo f v a l u e so f e v a l u a t i o nf u n c t i o n s ，w ed i s c u s sh o w t oa s c e r t a i nt h el e a s ta b s o l u t ev a r i a n t ea n d t h er e l a t i v eo n eo fa t t r i b u t e s w e i g h t a f t e rt h a t ，w ef i l i r t h e ri n v e s t i g a t et h ec r i t i c a lv a l u e s a n ds e n s i t i v i t yc o e f f i c i e n t so f p a r a m e t e r sr e s u l t i n gi nt h ec h a n g eo f t h eo p t i m a la l t e r n a t i v e i i i 华中科技大学博士学位论文 a n dr e s u l t i n gi nt h ec h a n g eo f a n yo p t i o n a la l t e r n a t i v er e s p e c t i v e l y , a n dt h e no b t a i nt h e m o s ts e n s i t i v ea t t r i b u t et ot h ec h a n g eo f w e i g l a t sa d d i t i o n a l l y , c o n s i d e r i n gt h ea d d i t i v e m e t h o d sw i t ho n ee v a l u a t i o nf u n c t i o n ，w eg i v et h e r a n g eo fw e i g h t st h a te n s u r et h e f i x e d n e s so fa l t e m a t i v e sr a n kb yt h el i m i t e dc o n d i t i o n so ne v a l u a t i o nf u n c t i o n sm a k i n g s u r et h er a n ki n v a r i a b i l i t yo na l t e r n a t i v e s f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n tt h ec o n c e p to ft h e s t a b i l i t yi n t e r v a lo fa t t r i b u t ew e i g h t sa n dc o m p u t i n gm e t h o d so ft h es t a b i l i t yi n t e r v a lo f w e i g h t s f i n a l l y , w ew i l le x t e n dt h i sm e t h o dt ot h ea d d i t i v em e t h o d sw i t ht h ee v a l u a t i o n f u n c t i o n sm o r et h a no n e t os o m e e x t e n t ，t h i st h e s i se x t e n d st h es u i t a b l er a n g eo f t h es u b j e c t i v ea n d o b j e c t i v e i n t e g r a t e dw e i g h t i n gm e t h o du t i l i z i n gt h ep r o p o s e ds t a b i l i t yi n t e r v a l so fa t t r i b u t ew e i g h t s an e wt w o a t t r i b u t ed e c i s i o n - m a k i n gp r o b l e mi sc o n s t r u c t e db y t a k i n gs u b j e c t i v ew e i g h t a n do b j e c t i v eo n ea st w oi n d e p e n d e n t a t t r i b u t e s b yc o m p u t i n gt h ew e i g h ts t a b i l i t y i n t e r v a l so ft h et w o a t t r i b u t e s ，w ea n a l y z eh o w t h ec h a n g eo ft h er a t i ob e t w e e n s u b j e c t i v e w e i g h ta n do b j e c t i v ew e i g h ta f f e c tt h ef i n a lr a n kr e s u l to fo p t i o n a la l t e r n a t i v e s t h o u g h s o m ee x a m p l e ss h o wt h a tt h i sm e t h o d p o s s e s s e so f s o m e a d v a n t a g e so fs u b j e c t i v ew e i g h t a p p r o a c h a n d o b j e c t i v ew e i g h ta p p r o a c h ，i tc a n n o ts u i ta l ls i t u a t i o n s o nt h eb a s i so fa d d i t i v em e t h o d s ，w et r yt oa n a l y z et h es e n s i t i v i t yo fn o r m a l i z e d a t t r i b u t ev a l u e s i nt h i sp a r t ，w ed e f i n et h el e a s ta b s o l u t ev a r i a n c ea n dt h el e a s tr e l a t i v e v a r i a n c eo ft h ec h a n g eo fa t t r i b u t ev a l u e s b a s e do nt h ed e f i n i t i o no ft h el e a s tr e l a t i v e v a r i a n c eo f a t t r i b u t ev a l u e s 。w eo b t a i nt h es e n s i t i v ec o e 历c i e n to f a t t r i b u t ev a l u e sr e s u l t i n g i nt h er a n k i n gc h a n g eo ft h eo p t i m a la l t e r n a t i v ea n da n yo t h e ra l t e r n a t i v e sa n df u r t h e rg e t t h ea l t e r n a t i v ew h i c hi st h em o s ts e n s i t i v et ot h e c h a n g eo f a t t r i b u t ev a l u e s f i n a l l y , w ee s t a b l i s ht h er a n km o d e lo fb u i l d i n gp r o j e c t s o fm u n i c i p a ls e w a g e t r e a t m e n t p l a n t i nh u b e i p r o v i n c e b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c so fe n v i r o n m e n t a l d e c i s i o n - m a k i n ga n dt h er a n ko fe n v i r o n m e n t a lp r o j e c t s ，a n de n v i r o n m e n t a ls t a t u sq u o a n dd e v e l o p i n gt r e n di nh u b e i p r o v i n c e t h i sm o d e lg i v e so u t t h ee v a l u a t i o ni n d e x e s ，t h e s e to fa l t e r n a t i v e s ，w e i g h t s ，t h ea t t r i b u t ev a l u e s ，t h ee v a l u a t i o nm e t h o d s ，e t c a l s o ，w e o b t a i nt h er a n k i n gr e s u l tb a s e do nt h ep r o m e t h e em e t h o da n dt h es i m p l ea d d i t i v e m e t h o d f u r t h e r m o r e ，w ea n a l y z et h es e n s i t i v i t ya n dt h es t a b i h t yo f t h eo b t a i n e dr e s u l t s u t i l i z i n gd i f f e r e n tm e t h o d s a n d p r o v i d e m o r ed e t a i l e di n f o r m a t i o nf o rd e c i s i o n - m a k e r s 华中科技大学博士学位论文 a l li na l l ，t h i st h e s i sd e e p l ya n dd e t a i l e di n v e s t i g a t e sh o wt h ec h a n g eo fa t t r i b u t e w e i g h t s a n da t t r i b u t ev a l u e sa f f e c tt h ef i n a l d e c i s i o n - m a k i n g r e s u l ti nm u l t i a t t r i b u t e d e c i s i o n m a k i n gf r o md i f f e r e n t v i e w sa n dm e t h o d s t oac e r t a i ne x t e n t i ta l s oe x p a n d st h e r a n g e o fr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o n so fp a r a m e t e r s s e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o d s t h e r e s e a r c hr e s u l t si nt h i st h e s i sa r ev e r yi m p o r t a n ta n ds i g n i f i c a n tt od e v e l o pa n dp e r f e c tt h e t h e o r yo f s e n s i t i v ea n a l y s e si nm u l t i - a t t r i b u t ed e c i s i o n m a k i n g k e y w o r d s ：m u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n - m a k i n g s e n s i t i v i t ya n a l y s i s a d d i t i v em e t h o d s a t t r i b u t ew e i g h t sa t t r i b u t ev a l u e s s e n s i t i v i t yc o e f f i c i e n t s s t a b i l i t yi n t e r v a l so f a t t r i b u t ew e i g i l t s r a n ko f e n v i r o n m e n t a lp r o j e c t s v 华中科技大学博士学位论文 1 1 研究的背景、目的和意义 1 绪论 多属性决策是决策分析领域中的一个重要的分支，许多年以来，人们致力于研 究多属性决策的方法和模型，研究在什么样的条件下采用什么样的方法和模型能够 获得满意的“最优解”或“最优方案”。但是，在决策过程中，最困扰人们的问题不 是决策方法或模型的选取，而是决策参数的确定。一个复杂的决策问题往往有多个 不确定因素影响决策的后果，这些不确定的因素既包括事实元素，也包括价值元素 ( 即主观因素) 。这些因素在决策的开始阶段是不确定的，或者是不精确的，或者是 难以量化的。即使参数已经确定，在决策的过程中也还需要根据实际情况经常的进 行修改。由于问题及参数的不确定、不精确和易变性，根据一定的方法所得到的“最 优解”或者“最优方案”是否是真正的最优决策，决策参数的变化对所作决策的影 响到底有多大，是人们非常关心的问题。 多属性决策过程是一个反复循环的过程，敏感性分析作为一种后最优性分析】， 通常是在每一步决策做出之后进行的( 见图1 1 ) 。敏感性分析是有效地利用模型和实 施定量决策中的重要环节，其目的是在参数改变的情况下评价最优解的稳定性i ”。通 过敏感性分析，可以确定不精确因素会导致决策产生多大的偏离，以及不确定因素 的变化会对决策结果产生多大的影响，决策者也可以因此了解到哪个参数最为敏感， 以便将其注意力更有效地集中在问题的最关键部分。因此，在实际的决策中，敏感 性分析作为决策分析的一个重要步骤，已经受到越来越多的人们重视和关注。 本课题研究的理论背景为自选，实际应用背景是湖北省环保局委托项目：编制 湖北省环境保护“十五”计划及2 0 1 0 年远景目标和长江流域( 湖北省境内) 水污染防治及生态保护规划。该项目的主要任务是通过对湖北省环境现状的分析， 制定出湖北省在第十个五年计划期间切实可行的环境保护行动计划。本论文研究的 目的在于通过两个规划的编制，针对规划中存在的实际问题，讨论不确定情况下偏 好信息的获得以及决策结果对参数的敏感性，并根据实际中存在的参数不精确性和 易变性问题，进一步从不同的角度提出基于距离的敏感性分析和基于加性方法的敏 感性分析以及相应的数学模型。这些方法和模型在一定的程度上拓展了决策结果对 华中科技大学博士学位论文 决策参数的敏感性分析内容和范围，所提出的理论对多属性决策的研究和发展具有 重要的理论意义。同时，在环境规划中的实际应用也对提高我省环境规划的有效性、 公平性和可操作性，对实现我省乃至我国环境保护目标和污染控制战略具有重要的 现实意义。 图1 1 决策的基本过程 1 2 多准则决策理论概述 多准则决策理论的研究起源于法国数学家v p a r e t o 。1 8 9 6 年，法国数学家 v p a r e t o 提出了向量优化的概念，他从政治经济学的角度，把本质上不可比较的多 2 华中科技大学博士学位论文 个目标转化为单目标进行优化求解；到了二十世纪四十年代，当v o nn e u m a n n 和 m o r g e n s t e m 从对策论的角度提出了有多个决策者p b 、彼此之间有矛盾的多准则决策 问题之后，多准则决策的理论和方法便逐步发展起来。 1 9 5 1 年，k o o p m a n s 从生产和分配的活动分析中提出了多准则问题，引入了有 效解的概念，并得到了一些基本结果；同年，k u h nh w 和t u c k e ra w 从数 学规划的角度提出了向量函数极值问题，引入了k u h n - t u c k e r 有效解概念，给出了 有效解存在的最优条件 4 1 ；1 9 5 9 年，m a r k o v i t z 的投资方案选择涉及到有限方案的多 准则问题；1 9 6 1 年，c h a r n e s 和c o o p e r 引入了目的规划方法，其准则是使目标值和 实际达到值两者之差的绝对值之和最小；1 9 6 4 年，a u m a n n 对多目标决策问题提出 了效用函数的概念；欧洲学者于1 9 6 6 年提出了e l e c t r e 法；1 9 6 8 年，g e o f f r i o n 从数学规划的角度提出了向量优化问题的真有效解的概念，并给出了该解的必要和 充分条件；同年，j o h n s o n 系统地提出了多目标决策模型的研究报告，这是多准则学 科开始大发展的一个转折尉5 1 。 到了二十世纪七十年代，多准则决策技术的发展加快，1 9 7 2 年在美国 s o u t h c a r o l i n a 大学召开了第一次多目标决策会议，会议出版的论文成为进行多目标 决策研究的经典文献；1 9 7 6 年，r l k e e n y 和h r a i f f a t s 进一步发展了多属性效用 理论( m a u t l 【6 j 【7 1 ；与此同时，美国学者s a t t y 提出了著名的a h p 法 8 】【9 1 。 8 0 年代以来，多准则决策理论和方法进一步完善，1 9 8 2 年至1 9 8 7 年，z e l e n y i ”i 、 c h a n k o n g 、h a i m e s l l l 和h w a n g f l 2 】【1 3 等人的专著相继出版，大大地丰富了多准则决策 的理论体系和技术手段，为这一新的学科体系的建立打下坚实的基础。 多准则决策问题通常可以划分为两类【1 4 1 ：一类问题包含一集有限个方案，其决 策变量是离散的，称为多属性决策问题或称为离散的多准则决策问题：另一类决策 问题中备选方案数有无限多个，其决策变量是连续的，称为多目标决策问题或称为 连续的的多准则决策问题。本文研究的是前一种情况。 多属性决策常常需要在多个衡量方案( 或行动) 优劣准则下进行决策，其决策 问题具有下列共同的特点： ( 1 ) 属性之间通常是相互冲突和不可公度的( 各属性的量纲不同) ： ( 2 ) 在属性集中，可能同时存在定性属性和定量属性； ( 3 ) 目标常常具有层次结构，最底层目标用属性表示； ( 4 ) 决策信息往往是不完全的，决策者只能提供决策参数的不完全信息： 华中科技大学博士学位论文 ( 5 ) 决策者的价值判断可能是不确定的，在决策的过程中会不断的被修改； ( 6 ) 决策者的价值判断即使是确定的，也很难精确量化。 多属性决策问题的特点决定了其求解通常是比较复杂的。经过多年的研究和探 索，人们已经提出了多种决策方法【1 2 】i “】。其中比较常用的方法为基于决策者部分偏 好信息下的方法。如已知属性偏好信息的决策方法。 根据所用方法的理论基础，常用的己知属性偏好信息的决策方法可分为基于多 属性效用( 价值) 理论的方法、基于距离的方法和基于级别高于关系的方法等。 基于多属性效用( 价值) 理论的方法有简单加权法和层次分析法( 址i p ) 。简单加 权法【1 4 j 其实就是多属性效用( 价值) 函数法的一种特例，使用这种方法意味着属性 间要满足两个重要假设：( 1 ) 属性集符合加性形式所要求的独立性条件：( 2 ) 各价值 ( 或效用) 函数都是线性的。层次分析法则是由美国运筹学家s a t t y 于七十年代中期在 简单加权法的基础上提出来的，从本质上讲，a h p 是一种思维方式，它把复杂问题 分解为各个组成因素，又将这些因素按支配关系构成递阶层次结构，通过成对比较 的方式确定同一层次中各因素的重要性，然后综合决策者的判断，确定各选方案相 对重要性的总排序。 基于距离的方法有t o p s i s 法【l5 】和基于估计相对位置的方案排队法u 6 i 。t o p s i s 法首先规范多属性决策问题的决策阵，然后计算每一个方案与正理想点、负理想点 之间的加权距离，其中最接近正理想点，同时又远离负理想点的方案就是最优方案； 而基于估计相对位置的方案排队法无需事先给出决策矩阵，因而所需的信息量较少， 该方法的基本思路是把方案成对比较，根据比较的结果将方案排序。 基于级别高于关系的方法则有e l e c t r e 法 1 7 】【1 8 】【1 9 】和p r o m e t h e e 法【2 0 】。 基于级别高于关系是一种较弱的排序关系，是建立在决策人愿意承担假设“一个方 案优于另一个方案”所产生的风险基础之上。根据不同的问题e l e c t r e 法有很多 不同的形式】【2 2 】，而p r o m e t h e e 则通过扩展属性的概念来构造“级别高于”关系， 能比较方便地确定方案集上的偏序和全序关系。 1 3 参数的敏感性分析理论及研究概况 一个复杂的决策问题往往有多个不确定因素影响决策的后果，这些不确定的因 素既包括事实元素，也包括价值元素，不管采用那种决策方法都不可能完全避免。 4 华中科技大学博士学位论文 这些因素在决策的开始阶段是不确定的，或者是不精确的、难以量化的。比如，决 策者提供了自己关于某一个参数的主观判断，但他对自己的判断不是很确定，当决 策做出之后，他可能会怀疑自己所作的判断的正确性，希望知道当他的判断值作这 样或那样的修改之后，所得到的决策会不会发生变化，会发生什么样的变化；即使 是对于客观的数据，决策者也常常希望知道这些客观数据的精确度对决策结果的影 响。要得到这些主观或客观因素的变化对决策结果的影响，就必须要在决策做出之 后，讨论不确定因素的变化对决策结果产生的影响，即决策结果对参数的敏感性( 或 称为灵敏度) 分析。 图1 2 敏感性分析在决策过程中的作用 敏感性分析在决策过程中的作用见图1 2 ，其中s 为决策问题的参数空间， “s 为问题的一个不确定的参数，口! “为第n 步产生的最优决策。敏感性分析作为 一种后最优性分析，通常是在每一步决策做出之后进行的。通过敏感性分析，可以 确定不精确因素会导致决策产生多大的偏离，以及不确定因素的变化会对决策结果 产生多大的影响，决策者也可以因此了解到哪个参数最为敏感，以便将其注意力更 有效地集中在问题的最关键部分。因此，在实际的决策中，敏感性分析作为决策分 析的一个重要步骤，已经受到越来越多的人们重视和关注。 1 3 1国外研究概况 早在1 9 6 3 年，d a n t z i g 就明确地指出【2 】：“敏感性分析是决策过程中有效地利用 模型和实施定量决策模型的一个重要环节，其目的是在参数改变的情况下评价最优 华中科技大学博士学位论文 解的稳定性。”1 9 6 8 年，m y e r s 和a l p e r t 首次把敏感性分析应用于选择理论和消费 者行为研究之中2 3 j 【2 4 】，并1 9 7 1 年提出了“对偶问题确定属。 生( d u a lq u e s t i o n i n g d e t e r m i n a n t a t t r i b u t e ) 方法，该方法在市场应用中备受欢迎【2 5 】【2 6 】【2 7 1 。 多目标决策中敏感性分析的理论研究成果主要分为三个部分：线性规划中的参 数敏感性分析、基于对偶理论中的参数敏感性分析和多属性决策中的参数敏感性分 析。其中，以线性规划中以及基于对偶理论的敏感性分析最为成熟。 对于一个规范化的多目标线性规划问题： f p l m a xc x 。 s f x x = 工r 一：4 j 6 ，x 0 ( 1 _ 1 ) 其中x 为一n 维的决策变量，一般的情况下假定c r ”、a r 和b r 1 为 常数矩阵( 向量) 。但是，这些常数往往是估计值或者预测值，当外部条件发生变化时， 这些参数可能发生变化。因此所存在的问题是：当这些参数一个或几个发生变化时， 已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化? 或者，当这些参数在什么范围内变 化时，线性规划问题的最优解或最优基不变? 针对这样的问题，g a l 、d e s h p a n d e 、h a n s e n 和a n t u n e s 等人进行了大量的 研究【2 8 】【2 9 】【3 0 】【3 1 】【3 2 1 。 根据变化参数所处的位置，g a l 和l e b e r l i n g 等人所做的敏感性分析是针对两种 不同的参数变化：目标函数中的系数矩阵c 中的参数发生变化和约束条件中资源向 量b 矩阵中的参数变化。 对于目标函数中的系数矩阵c 中的参数变化，用矿( “) 表示该问题所有有效解的 集合，v ( o ) 表示原问题所有有效解的集合，则g a l 和l e b e r l i n g 等人对该问题所进行 的敏感性分析可形容为：“确定一个范围q r p ，使得对所有的u q ，v ( u ) 保持和 y ( o ) 相等”。即确定保持原始最优解不变的参数变化区间。 g a l 和l e b e r l i n g 等人采用的方法是：通过在一定的约束条件下，求解最小化的 松弛变量来获得一个最小的空间q ，当参数在该空间中变化时，原始最优解不变 【2 8 】【2 9 】。 当变化参数在约束条件的b 矩阵中时，g a l 和l e b e r l i n g 等人引入“无向图 ( u n d i r i r e c t e dg r a p h ) o = ( u ，r ) ”的概念进行参数的敏感性分析。假设该问题生成的无 6 华中科技大学博士学位论文 向图为q ) = ( u ) ，r ) ) ，而由原问题生成的无向图为q ( 0 ) = ( u ( 0 ) ，f ( 0 ) ) ，则他们 所作的工作用形式化的语言描述为：“确定一个范围q r q ，使得对所有的“q ， 由问题 r 生成的无向图和由问题 p 生成的无向图相同。即：对所有的“q ，有 g ( u ) = q ( 0 ) ”，所确定的q 即为保持原始有效解为不变的参数变化最小区间。 基于对偶理论的敏感性分析则是n a k a y a m a 等人在研究对偶理论中时所得到的 研究成果【3 ”，其主要的形式有两种：一种为在线性规划下的敏感性分析，另一种为 在凸规划下的敏感性分析。 在线性规划下，敏感性分析所关心的是多目标线性规划问题中受约束的多面集 中的有限极值点( 基础解) 。k o m b l u t h 通过确定原始问题和对偶问题中可能的权重， 采用对偶理论分析了有效解的敏感性，并为每一个有效解定义了无差异区间【3 4 1 。 凸规划问题的敏感性分析是b a l b a s 和j i m e n e zg u e r r a 等人提出来的”1 。 在有限维的e u c l i d e a n 空间中，考虑下面的多目标规划问题： 【只1 m i n f ( x ) 、 s t x x ，g ( 工) b 、 这里，f ：r 1 - - - r ”，xcr ”。如果每一个上，o = 1 , 2 ，p ) 和每一个 g ，( ，= 1 , 2 ，m ) 都是凸函数，x 也是凸集，则该多目标规划问题称为凸多目标规划问 题，假设可变参数为b ，则凸规划问题的敏感性分析问题为：找到一个参数的变化 区间，当参数在该区间内变化时，所求得的最优解不变。 b a l b a s 和j i m e n e z 等人采用的方法是通过求解原问题的对偶规划问题和a 一 对偶规划问题的最优解及其之间的关联，得到一个映射函数，由该函数定义的空间 间即为保持最优解不变的参数变化区间。 对于多属性决策问题，决策变量为有限个方案或行动。用a = a i 口：，n ， 表示 有限方案集，方案优劣的评价函数为甲( ，“) ，其中“”表示方案a ，“u ”表示各 种可能的不确定因素，包括权重的设定，属性值的估计等。不失一般性，假设甲( ，“) 值越大的方案越优，u 满足条件“s ，s 是r 4 上的凸集。则多属性决策问题的敏感 性分析所要做的是： 华中科技大学博士学位论文 ( 1 ) 对每个a ，i = 1 , 2 ，m ，分析使该方案最优的u 的值域： ( 2 ) 分析在参数u 发生变化时，最优方案如何改变。 围绕着这两方面的问题，现有的研究成果有：b a r r o na n ds c h m i d t 于1 9 8 8 年提 出了两种方法来完成多属性价值模型中的敏感性分析【36 】：种是基于熵的方法，另 一种是最小平方法。对于基于熵的方法，他们假设权重近似相等，而最小平方法中 给定的是属性的任意权重集。对于已经给定的最佳方案，他们采取一定的方法计算 权重上的变化量，这些权重上的变化量将提升次佳方案，使其超过预先确定的 最佳方案。他们在研究中发现：在加性模型中，权重是很重要的因素，权重上的细 微变化将导致最优方案的改变。 v o nw i n t e r f e l d t 和e d w a r d s 在1 9 8 6 年用传统的方法对些能够采用多属性效用 理论或b r y e s i a n 模型处理的决策问题进行敏感性分析【37 1 。他们为多属性效用理论问 题定义了平面极大值原t 里( f l a tm a x i m ap r i n c i p l e ) ，进一步，他们还定义了专门适用于 由先验概率和权重定义的期望值和价值函数的平面极大值。v o nw i n t e r f e l d t 和 e d w a r d s 方法的特点是采用了“切换( s w i t c h o v e r ) 点”或“收支平衡( b r e a k e v e n ) 点” 的概念。如果决策问题所采用的参考点距替换点非常遥远，则决策者能够对目前的 决策结果抱有信