（应用数学专业论文）hardy不等式与非线性椭圆型双调和奇性方程的dirichlet问题.pdf

摘要 本文主要讨论了三类问题一为h a r d y 不等式的分类、最佳常数的证 明及不等式的应用，二为弱奇性双调和问题。三为强奇性双调和问题作者 以循序渐进的方法，先建立了几类对应齐次d i r i c h l e t 边界问题的不等式， 为奇性问题非平凡解的存在性理论与不存在性理论创造了先决条件文中 主要讨论双调和问题，在不同强弱的奇性情况下。分别讨论了临界维数的 存在与消失问题。 我们把h a r d y 不等式建立在全空问，并且以算子的阶数对它们进行分 类，每个不等式给它一个具体的名称再者，所有的不等式常数g 我们 都证明了是最佳的，还找出了符合这一最佳常数的达到函数同时还给出 了一些h a r d y 不等式在非线性椭圆型方程中的具体应用作者还分析了最 佳不等式的余项问题，说明。最佳”其实只是常数的不可改进，而并非不 等式的不可改进通过添加低阶的甚至是线性的妒模，不但使得不等式 趋于完美，同时也为高阶调和算子的临界维数和弱临界维数问题的处理提 供了一种方法。 文中z f s , - t 论的两类非线性双调和弱次临界奇性d i r i c h l e t 问题主要是利 用山路引理和e k e l a u d 8 变分原理来解决的对于第一类问题，证明了它在 s o b o l e v 空间噼o ( n ) 中至少有两个正解u l ，t 2 ，且对应泛函满足j ( u 1 ) 0 i ( u 2 ) 在证明，( “) 满足山路几何时，应用了h a r d y 不等式和极值原 理对于第二类次临界问题，作者在王户( r ) 空问考虑，借助于内插不等 式，得出了两种至少有一个非平凡解u w 2 0 ( n ) 的结论 作者还研究了三类半线性强奇性问题，一类是含次临界位势和临界指 数问题，一类是含临界位势和次i 临界指数问题，还有一类是含对数临界位 势和次临界指效的低维数问题就作者所知，双调和算子的临界位势问题在 国内外尚属第一次研究，而且本文的结论对p p u c c i 和j s e r r i n 4 的猜想起 到了一定的论证作用。作者先利用奇性解的p o h o z a e v 恒等式，得出了临界 位势和临界指数共存时奇性解不存在的有关结论对于第一类问题，利用 p l l i o n s 集中紧原理，不但得到有关正解存在的两个不同结论，而且还发 现一个有趣的现象，即奇性和临界维数呈负增长关系，奇性越高，临界维数 越少。对于第二类问题，作者利用h a r d y 不等式，得出了至少有一个正解存 在的结论，而且给出了a 的具体范围，即a j ( t 上2 ) a s t ot h e s e c o n dp r o b l e m ，i nt h es p a c ew 2 , 2 ( n ) ，w i t ht h eh e l po fi n t e r p 枷i n e q u a l i t y , w e p r o v et h e r ee x i s t sa tl e s s to n en o n t r i v i a ls o l u t i o nu w 2 0 ( n ) i n t h ec a s eo f e x a c t l yl i n e a r y w ea l s os t u d yt h r e es e m i l i n e a rs i n g u l a rp r o b l e m s ，0 n e i sw i t hs u b - c r i t i c a l e x p o n e n ta n dc r i t i c a lp o t e n t i a l ，a n o t h e r i 8w i t hs u b - c r i t i c a lp o t e n t i a la n dc r i t i c a l e x p o n e n t lt h et h i r di sw i t hs u b - c r i t i c a le x p o n e n ta n d c r i t i c a lp o t e n t i a li n v o l v - i n gl o g a r i t h m b yu s i n gp o h o z a e vi d e n t i t yf o rs i n g u l a rs o l u t i o n s i nw e i g h t e d s o b o l e vs p a c e ，w eg e tan o n e x i s t e n c er e s u l t ，a n db yu s i n gc o n c e n t r a t ec o r n - p a c t n e s sp r i n c i p l e ，w eg e tt w o d i f f e r e n tr e s u l t so fe x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s w 三t hc r i t i c a ld i m e n s i o n sa n dn o n c r i t i c a ld i m e n s i o n s w ea l s os t u d yt h es i g u l a r c r i t i c a lp r o b l e mw i t h o u tc r i t i c a lp o t e n t i a l ，a n dc o m p a r e d t h e c h a n g e s o ft h ec r i b i c a ld i m e n s i o n s ，s ow ef i n do u tai n s t e r e s t i n gp h e n o m e n o nt h a tt h eh i g h e rt h e s i n g u l a r i t y , t h el e s st h ec r i t i c a ld i m e n s i o n s f o rt h es e c o n dp r o b l e m ，b yu s i n g h a r d yi n e q u a l i t yw eg e tae x i s t e n c er e s u l ta n df o u n dt h er a n g eo f ，t h a ti s ， i = n 2 ( 一4 ) 2 1 6 f o rn 5 f o rt h et h i r dp r o b l e m ，w ea l s od e v e l o pa h a r d yi n e q u a l i t yi n v o l v i n gl o g a r i t h m ，s ow ec a l lf i n da n o t h e rr a n g eo f ，t h a t i s ，天 携= f o rn = 4 ，s u c h t h a tt h ep r o b l e mh a sn o n t r i v i ms o l u t i o n s t o0 1 2 i k n o w l e d g e ，w ea r et h ef i r s tt os t u d ya n ds o l v et h es i n g u l a rb i h a r - m o n i c p r o b l e mw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a l i i i k e y w o r d s h a r d yi n e q u a l i t i e s ，w e a k l ys i n g u l a rp r o b l e m ，s t r o n g l ys i n g u l a rp r o b l e m 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名 日期：川年j 月形日 学位论文版权使用授权书 括学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并，冒家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 权华南理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书 不保密画。 ( 请在以上相应方框内打”- , ”) 作者签名 导师签名 日期：少) 年j 月矽日 日期： j 年，月“目 屋易唰急 第一章绪论 本章主要介绍该毕业论文的出处以及所讨论问题历史、现状和前景，对国际上 的热点问题也进行了详细的分析而且对该论文所研究的所有问题也作了具体的陈 述本章主要介绍了三类问题，h a r d y 不等式，奇性问题以及双调和问题。 第一节问题的主要来源 早在1 9 8 3 年，h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 1j 对l a p l a c e 算子在有界区域内进行 了深刻的研究 僻坩飞篇 其中s = ( n + 2 ) ( 一2 ) 为s o b o l e v 嵌入指数，且钍( 0 ) 哪) 他们指出 n 4 时，当且仅当a ( 0 ，a 1 ) ，方程( 1 1 ) 有一个正解；而n = 3 时，当且仅当 a ( ；a l ，a 1 ) ，( 1 1 ) 有一个正解，且 ( 0 ，；a 1 ) 时，方程( 1 1 ) 无解其中a 1 是 一算子齐次d i r i c h l e t 边界问题单位球b 内的第一特征值这一重要论文为其他 很多典型的变分临界问题提供了一个研究模型此后，这一情况得到广泛的研究， 许多作者开始考虑高阶的l a p l a c e 算子和p - l a p l a c e 算子，这大大推动了 1 中方 法和结论的发展，也与p l l i o n s 2 ，3 1 的集中紧理论取得了很好的结合。 后来在1 9 9 0 年，p p u c c i 和j s e r f i n 4 研究了m 2 的高阶调和问题 譬d d 羔：l _ 2 d 虻0 ，嚣笔三 。， ju = 札=2 u = =o u =，嚣a n 、7 其中i q i m 一1 ，仇为自然数，s = ( n + 2 m ) ( n 一2 m ) 是临界指数且札( 0 ) 三w ( n ) 卯( q ) 空间即c 铲( n ) 以范数 慨= s ol ( - t u 勘1 2 d x , ，嚣 的闭包他们首次定义了临界维数的概念 2 华南理工大学理学硕士学位论文 定义1 1 方程在某些维数里若要有正解的话，则a 必须满足k a 0 ，a ( m 为( 一) m = a 札的齐次 d i r i c h l e t 边界问题的第一特征值。这时我们称这些维数为临界维数 在【4 l 中p p u c c i 和j s e r r i n 证明了当q 是单位球b 且n 4 m 时，对任意 的a ( 0 ，a pj ) i ( 1 2 ) 至少有一个正的径向解；而当2 m a 时，方程至少有一个正解，满足这样的维数叫作弱临界维数 近年来，如下的两类半线性多重调和方程受到频繁的研究， ( 一) ”u = 她+ m ) t z n ( 1 3 ) i d u = d 2 让一= d n u = 0 ，z a n 。 ( 一) ”钍= a ，( $ ，u ) ，z ( 0 ) n ( 1 4 ) 其中川仇一1 ，m 为自然数，( 1 4 ) 中，扛) 和u 在边界上满足一些适当的条件。 在此，我们先对其非平凡解的存在与否情况作一些主要归纳 综合他们的论证，可以有如下的结论： 定理1 1 ( 见【1 】) 对于问题( 1 1 ) ，n 为单位球b 时， ( a ) 当n 4 时，方程有一个正解当且仅当对v a ，有0 a a ；1 1 ； ( b ) 当= 3 时，方程有一个正解当且仅当对v a ，有 ；1 a 1 a ；1 1 ；而 a ( o ，；a 1 1 ) 时，方程无解 由此可见n = 3 即为当m = 1 时的临界维数a 1 定义见定义1 1 定理1 2 ( 见 4 ) 对于问题( 1 2 ) ，q 为球b 时， 第一章绪论3 ( a ) 措n 4 m 时，对v a ，0 a a p ，方程都至少有一个正的径向解； f b ) ( c o n j e c t u r e ) 墨2 m n 0 ，使得当 知 0 的情况。巍然，当a a 1 时， 农流彤 峙 “增( 叭z i p 他- 4 ) 如一1 ) 上静黠应泛爨 f = “| 牡f 2 一a 确渤 的临界点不髯是极小的。相应的结论可参看d e e d m u n d s 等( 5 】 如果n 是一个曼形区域，p p u e c i 和j s e r r i n 4 1 还证明了当a 4 4 ；j 5 t 2 5 7 ；j _ 7 t 2 6 9 ； j 9 2 8 1 ；j l v 2 9 3 ；j 1 3 t 2 1 0 可得( 2 m 一 ) 0 。一 ) 2 ；( 4 m + 1 ) ( 4 m 一3 ) 当m 8 时，由g n w a t s o n 8 可知 j 。一； m 一； ( 1 - 1 0 ) 结合( 1 9 ) ，( 1 _ 1 0 ) ，可得 ( 2 m 一；) 。叫) 2 ：( 4 m 一1 ) ( 4 m j 1 ) 2 ；( 4 m 一3 ) f ( 4 m 一；) 2 + 6 m 一1 2 1 ；( 4 m 一3 ) ( 警+ 6 m 一z ) ；( 4 m 一3 ) ( 4 m + 1 ) 由此可见，当n = 2 m + 1 时，( 1 5 ) 中的a 是严格小于( 1 8 ) 中的 的。至于 n = 2 m + 2 ，2 m + 3 的情况以上方法则不适合读者可自行参看f b e r n i s 等【6 1 6 6 华南理工大学理学硕士学位论文 x u a nb e n j i n 和c h e nz u c m i o 】也研究过问题( 1 2 ) ，就其有解、无解、多解情 况和分歧现象展开了一系列的讨论，限于篇幅，这里恕不赘述 有关以上五个定理的证明，可以参看b r e z i s 和n i r e n b e r g 1 】，p u c c i 和s e r - t i n 4 】，d e e d m u n d s 等f 5 ，f b e r n i s ，h a n s - c h r i s t o p hg r u n a u 6 】等此略 形如( 1 4 ) 的方程，近年来也受到频繁的研究，应用工具主要有山路引理，变分原 理，集中紧原理以及利用特征值等，当然，也不乏亏格和拓扑度的方法e s n o u s s a i r ， c h a s w a n s o n 和y a n ga i a n f u 1 1 】在1 9 9 2 年研究了如下的无界区域内的典型双调 和同题 篇p ， 川+ uq 哪( x ) l u 。j r n n5 篙 ( 1 1 1 ) l z ， ，u d ：2 ( r ) 、吖 其中1 7 下= ( n + 4 ) ( n 一4 ) 是临界s o b o l e v 指数，瑶1 2 ( ) 是卵( r n ) 以的工2 范数的闭包，p ( 茁) 是珥l 中非负有界的，口( z ) 是珂一 o ) 中非负而 局部有界的，且当_ + 0 时，g 和) = o ( i x l ) ；当_ 。时，q ( x ) = o ( i 。i 。) ， - 4 “且 2 ( n + v ) ( n 一4 ) ，y + 1 2 ( n + p ) ( 一4 ) e s n o u s s a i r 等利用山路弓l 理的估计和( p s ) 条件的变形得出【1 1 1 ) 有一个非平 凡弱解。而且如果口( 动足够大的话，则对，1 ，y 一n 5 时，方程都有一 个非平凡解同一年他们还研究了以下问题 2 u = p ( i x l ) 乜1 ，z r n ，n 5 ，“d g 2 ( r ) n c 嚣。( r e e ) 其中0 p ( r ) 0 且满足 嚣；曩兰 一4 扩 “2 ( n + v ) ( n 一4 ) 7 + 1 o ，当r o o 时，有u ( 。) = o ( r 4 _ + 6 ) 。详细论证请参 看e s n o u s s a i r 等 12 g 0 a l v e s 1 3 】等人还研究了如下的双调和问题 其中i 口 i 或者5 n 7 且p 一2 g p 时，( l 1 2 ) 都有一个非平凡解钍h 2 ( ) 而且如果5 ns7 ，1 o 时，如果啪足够大时，该问题仍然有一个非平凡解“h 2 ( r ) g o a l v e s 等在该文中没有引入临界维数的概念，但从以上的叙述，我们明 显可知满足5 n 7 的就是临界维数 关于双调和问题及临界问题读者还可以参看以下文献tj h u l s h o f 和t l c a m v a nd e r v o r 8 t t a ，f b e r n i s ，j g a r c i a - a z o r e r o 和i p e r a l 1 5 】，h e n g l l 1 6 ，g e n g d i l l 7 ，c h o uk a i s e n g 和g e n gd i 1 8 ，r c a m v a nd e rv o r s t 1 9 ，f g a z z o l a 、 h 一c h g r u n a u 和m s q u a s s i n a 2 0 ，h b r e z i s 和e l i e b 2 1 】。 1 _ 1 2 奇性及临界位势问题 对于含权奇系数问题，近年来也成为热点问题，而且由于它的奇性，使得它也 成为一个难点问题e n r i c oj a n n e l l i 2 2 讨论了如下的奇性问题 一x u p 许= a u + l u p 2 。2 ，。n lu 0 ，o n ；u = o ，z a q 其中弘 0 ，qcr 由h a r d y 不等式 正荠( 击) 2 正i v 砰，。 e n r i c oj a n n e l l i 得到方程离散谱存在的充要条件是p 万= ；( 一2 ) 2 并且分别当 肛 西一1 和耳一1 0 ，0 往 2 ，2 ：= 2 ( 一口) ( 一2 ) ，n c 穗择，n i m a l e n d u c h a u d h u r i 也通 过上嚣静h a r d y 不等式得至滚蓠疆离散潜存在静充簧条伴是芦声泖= ； 一2 ) 2 ， 在渡踞露解粒蘧# 誊，作者缘辍。b r e z i s 秘l 。n i r e n b e r g 1 l 一样分n = 3 秘n 4 瑟释 蠖瑰讨谂，薅其孛芦是一个至关重要毂数。当蘸) = 土嚣口，其孛2 譬 2 ；对， n i m a l e n d u c h a u d h u r i 对疑灼存在惨况俸了缎致的分类，有兴趣的谈考可以篷行参 看该文献；顺便说一句，我f f ? 后文中所讨论的双调和奇性闻题要求的0 口 4 其 实就类似于n i m a l e n d uc h a u d h u f i 2 3 l 中的0 晓 2 。 j p g a r c i aa z o r e r o 和i p e r a la l o n s o 2 4 l 也研究了些带有奇性的椭圆型和抛 物型问题，而且定义了临界位势的概念，类似地，我们在这凰也定义非线性双调和 方程、裔阶调和方稷以及p - l a p l a c e 方程中临界位势的概念，邵 定义1 3 焱1 t i 重调积方程皆，毖残。百，艘熬它为赡舆位势；或者在对应泛函孛 擞现积分，丘毫螽出，也舔它为峻界戗势，特别嫩，m = 2 时，藏髂其为双调和方 程的临界位势，m 一1 时即为调和方稷的临界位势；在p - l a p l a c e 方程中，出现 q f 札，就叫它临界位势；或者在对应泛函中出现积分，n 嚣如，也称它为临界位 势，其中g 一矿( s ) 一丙n 磊- s p 。( 定义的根据可见附录) n ，g h o u s s o u b 纛g 。y u a n 2 5 刹攫变努援理研突了如下羧线性p - l a p l a c e 方程 灼非平足解靼多姆的存农性 j = a 时一2 珏+ 弘臀珏，。盆。、 l 珏= 0 ， 茹8 q 叫 其中 和酗是两个蔽数，纯c 护是毯禽零点的光滑有葬送域，且0 ssp n n g h o u s s o u b 耩g y u a n 2 5 先霭p o h o z a e v 僵簿式汪臻了漆器位势稻 辫界指数共 存时，箨r = p + = 菇鸶显= 矿f s ) = 嚣薯p 时，方程( 1 1 3 ) 无怒。该文还详尽地 恕s o b o l e v 炼界牧次炼努l 鹰性阕鼷l 乒乎足勰的揍熬烈戏鼹令裘掺，如下 表一；非奇性项次临界指数增长 鸯性项参数4 鸯性项空闯线数怨的情况 p 01 鬟p r p p = q “ 0 ；a 01 p 0 ；蜘 p 01 竖p 01 篓p r 熊靠焉 2 鬟p a 0 ；p 01 曼p = r 0 ；a 0r = p n p 2 一( p 一1 ) s 2 p = q ( p 2 一p ) ( p s ) + p 1 p 01 - = p | 鲁黼 2 p 0 ；弘 0r = 矿 p 其中各记号为：表示无穷多解；表示至少一正解； 表示至少两个非平凡 解；表示无非平凡解n g h o u s s o u b 和g y u a n 2 5 】的其他结论这里恕不赘述， 读者请自行参看 p a o l oc a l d i r o f i 和r o b e r t am u s i n a 2 6 】讨论了调和方程的奇性问题 - f x l o a u = ，( 札) ，z q( 1 1 4 ) 其中o r ，g ( r ) ，n 时r 中的有界光精区域该问题是一类维静态带奇 性s c h r s d i n g e r 方程的简单模型有关s c h r s d i n g e r 方程的一些性质读者可以参看 w p r a n k 、d l a n d 和r s p e c t o r 2 7 对于方程( 1 1 4 ) ，显然，当口 0 时，零点 就是问题的奇点；当n 0 时，奇点发散到无穷远处p a o l oc a l d i r o l i 和r o b e r t a m u s i n a 在二维单位球b 内给出了a = 0 时和a o ，0 口 i ”，贝l j 该问题无解 这一结论对予本文第三章所研竞的弱奇性同题寒言，不死借鉴之处。 率文中，我们主要研究黼奇往筒遂麓 拿兰藿0 ：皿p “钍二篇 睡瑚 lu = v u = ，z 勰 、 4 獒中n 5 ，q 爨骞器豹嚣纂，曩0 盘 4 ，p 一2 ”一1 = 糕。由p o h o z a e v 恒等式我嬲知道，如果8 = 4 ，即躲界位势纛姨界指数同时存农憋透，这时( 1 1 4 ) 没 有非平凡解，除非添上一个线性项，即变成 2 缸= 她+ 器十彬渺 i 搿l 关手这一越然，郭囊毕1 5 9 l 装簪 究过粪戳方程n a v i e r 瓣题 钍a 2 ：u = “l 。u + 。，j 札j 务磋+ p ，( $ ) , 茹x e a n f 2 的非平凡解的非存在性和分歧现象，得出一些比较好的结果，其中的定理3 和定理 4 把维数分成5 n 1 2 和n 筻1 2 来讨论问题，逡一论述颇有新意。 使问题( 1 1 6 ) 有解的另一个方法是搬临界指数p 降下来 f 2 链* 斧+ 衅以冁。q( 1 1 7 ) l 珏= v 让= 0 ， 茹挣q 、 其中2 p 2 “，这时的方稷才有菲平凡解存在我们将用p o h o z a e v 假等式证明 奇往解的不存在往，揭示次f 随界往势稀稿界指数共存时的( 1 1 4 ) 中a 敢值的与 街 猝维羧n 韵笑系，以及研究裕界位势帮次穑界指数共存时重解懿存在情况。 美予奇 生及糕界往势麓鬈，凌者述霹瓣参籍魏下文献；a d i m u r t h i 释s a n d e e p 2 9 l 。v 。o o n c a l v e s 秘o 。h m i y a g a k i 3 0 】，s h e ny a o t i a 嚣 5 2 。 1 1 3h a r d y 不等式及不等式余项 第一章绪论 早在二十世纪二三十年代，形如以下的泛函不等式 。p 。刘。g i ，u 础( n ) ，扩( r ) 其中1 p + ，h a r d y , l i t t l e w o o d 3 1 ，3 2 和s o b o l e v 3 3 】便已证明了极值泛函 ，是存在的。式中q ， ，_ v 为不等式的最佳常数，为空间的维数，且满足 ；1 + 斋 1 p ， 1 ，l i 十i = 1 牟土 口 q ，寺 + o o = 1 在上式中，g ，n 是司以明确估计的而对于s o b o l e v 不等式 m 1 2 k n i i v 川2 ，n 3( 1 1 8 ) g 0 o k i k i o l u 3 4 和v g l a s e r ，a m a r t i n 等【3 5 j 都把它加以推广，得出 1 1 茹一6 ，i i 。l i v ，忆，n 3 ( 1 1 9 ) 其中0 b 1 ，p = 2 y ( 2 b + n + 2 ) ，口( r ) ，1 p p 1 ，p + = 7 邕，得出 i i ，i l ，s n ，p l ，曙+ c l f l ：，v ，w 苫。( n ) ( 1 2 6 ) 其中nc r n ，q 【1 ，n ( p 一- 。i ) 1 j ，c = c ( n ，q ，q ) ，且 = 坩i n f 忡，警 由不等式( 1 2 6 ) 我们知道，当且仅当维数临界时，余项包含p 的。线性”模 a d i m u r t h i 等 4 2 】也得出了一些带余项的h a r d y 不等式，其中之一即为 上i v 卯如( 字) 上雠如+ g 厂堂i x l , ( 喃) 出 其中u 懈檀( q ) ，r 8 u p ( e 2 p ) ，c = c ( n ，p ，n ) 0 ，且1 l ( u 2 ) 在证明i ( u ) 满足山路几何 时，应用了h a r d y 不等式和极值原理第二类问题是在h 2 ( ) 空间考虑的，这时 候范数和第一特征值的定义都产生了变化借助于内插不等式，作者得出了两个至 少有一个非平凡解廿w 2 , 2 ) 的结论 在第四章里，作者主要研究了三类半线性奇性问题，一类是含次临界位势和临 界指数，一类是含临界位势和次临界指数，还有一类是含临界对数位势和次临界指 数作者先利用奇性解的p o h o z a e v 恒等式，得出了奇性解不存在的有关结论对于 第一类问题，利用第一集中紧原理，得到有关正解存在的两个不同结论，而且还发 现个有趣的现象，即奇性和临界维数呈负增长关系，奇性越高，临界维数越少 对于第二、第三类问题，利用h a r d y 不等式，都得出了方程至少有一个正解存在的 结论，而且分别给出了a 的具体范围，即a n = n 2 ( - 4 ) 2 1 6 和a 坨= ； 本章小结 ( p r e f a c e i n t r o d u c t i o n ) nt h i s c h a p t e r , t h ea u t h o rm a i n l ys t a t e s t h ef a c th o wt h ep r o b l e m ss t u d i e d c o m eu pa n dw h e r et h e yd 他加m m a n yc l a s s i c a la n dl a t e s tr e s u l t 口旭g e n e l i z e d i nt h i ss e c t i o n ，a n ds o m ec o n s t a n t sr e l a t i n g 地e 正m te i g e n v a l u ea r ec a m p a r e dw i t h s o m eo t h e r 8 i na d d i t i o n 。t h ea u t h o rh a sa l s oi n t r o d u c e dt h em a i nc o n t e n t s0 jt h i s g r a d u a t ep a p e r k e y w o r d s ：c r i t i c a lp r o b l e m s ；s i n g u l a rp r o b l e m ；h a r d yi n e q u a l i t i e s 第二章带权h a r d y 不等式及其最佳常数 在这一章，我们要研究调和、双调和以及高阶调和算子d i r i c h l e t 问题的h a r d y 不等式的最佳常数及其应用作者简化了j a m e sw d o l d 等 3 6 】中对h a r d y 不等式 的证明了，而且证明了该不等式的常数是最佳的不但如此，作者还定义了h a r d y 不等式的分类，给出了一些高阶算子的h a r d y 不等式，并且都证明了这些常数是最 佳的作者还讨论了双调和方程的低维数即n = 4 的情况，给临界位势再添乘上 对数，进一步推广了h a r d y 不等式，为低维数方程奇性解的存在奠定了基础在最 后一节里，作者给出了几个强奇性问题的例子，用以说明h a r d y 不等式有很强的应 用性和易于推广性 第节d i r i c h l e t 问题中调和算子和双调和算子 2 1 1d i r i c h l e t 问题中h a r d y 不等式的定义 在这一中，作看拟求出【1 1 9 ) 和【1 _ 2 1 ) 远曲种彤式的小等式的最住常敢鉴十 h a r d y 是最早研究这类不等式的，因此本文我们统称它们为h a r d y 不等式为了方 便，我们称 上品( 高) 2 上i v 砰，。 仁， 为调和算子一s j 齐次d i r i c h l e t 边界问题s jh a r d y 不等式，称 上静如s 茄爿2 f l 帅茹，s暇。， 为2 算子的齐次d i r i c h l e t 边界问题的h a r d y 不等式，同时由于它的证明只需要 札i a n = 0 这一边界条件，所以我们也可以说( 2 2 ) 式为双调和算子2 的n a v i e r 边 界问题( 珏l a n = a u l a n = 0 ) 的h a r d y 不等式由此可见，调和方程和双调和方程 的齐次d i r i c h l e t 边界问题h a r d y 不等式，双调和算子2 的n a v i e r 边界问题的 h a r d y 不等式已经解决 不过j a m e sw d o l d 等 3 6 在证明不等式( 1 2 0 ) ( 即( 2 2 ) 中f 2 为单位球b ) 时，利用了两个积分恒等式，而且第二个恒等式的证明很是复杂，不易推广因此 1 6 华南理工大学理学硕士学位论文 在这里我们绘啬一个新漪谨法，不德筒涪稀多，而拄易于撩广掰高酚调和算子耩 p l a p l a c e 算予申去。我粕还在双诞糯藉趣串枢不等姣f 2 2 ) 推广到垒空黼，不再局 限予有器域q 或单像球。还农就是j a m e sw ，d o l d 等 3 6 】莠没鸯涯磺不等式l 。2 8 ) 中的常数是最佳躲，在此，我们一势绘与涯明。 得出p l a p l a c e 算子和巅盼调和l a p l a c e 算予的h a r d y 虿等式是很羹要螅，有 助于我们进一步研究一些奇性问题的非乎凡弱解的存在情况。如果再结合p o h o z a e v 恒等式，刚述可以了解奇性阐题的非平凡奇性解的不存在情况 在这一章里，我们主要的工作是给出了一些带权h a r d y 不等式的定义，对几类 一般化的带权不等式做出了证明，用以研究高阶奇饿问蹶的解的存在情况并且都 证明了箕中的不等式常数是最佳的由予下文的定理2 2 可以推辱出【3 6 中的不等 式( 2 3 ) ，医既大夭筒记了它的诞裙而且俸者受沈尧天【5 弼的启发，试图向另一 个方离发展，群在含奇援校审魏人院线毪增长娶4 慢”豹对数采研究当箍福痘 霹题装低维数戆倍嚣，这为h a r d y 举等式簿发麓提爨了一个新懿深耀。 2 1 2 带杈h a r d y 不莓i j c 的垒空间推广飘改进证明 先在单位球内考虑闭一瓢的可秘往由裰坐标胃翔 上燃也如= z 1 r - 孙。如 r 弘。缸l l 。两二嚣1 8 粪串箍n 一1 维苹位踩酶面积，由上滚宠艾新静空阉蟊丧。 j ) ，瓷盘 i n 对，零点就蹙它黪奇点；当a 。 时，奇点发数到无穷远处。所以，为了避免奄点蹬理弓l 起錾跟赡，我翅定义了空海 明。( n ) 证弱( 拽) 密毽等式 蝴8 一- 2 a ( n 一2 a 一2 ) l x l 一2 。一2 可知 。取一淞一。黪 一批2 上。面每蕊= 一f r ，。2 1 嚣) 如 沼t ) 容荔验谶 ( 让2 ) = 2 u & u + 2 1 w t 2 髓由边界条件 让= d u = 0 ，茁_ o 。 分部积分可知 ， 7u a u + 1 w 1 2 d x = 0 则式(