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中文摘要 在很多金融领域( 如股票、证券以及汇率等等) ，投资者为了分散及降低风 险，往往投资于一个资产组合。而这个组合中，各资产之问的相关性则成了分散 及降低风险的关键。c o p u l a 由于其独特的性质，近年来被广泛应用于描述各资 产之间的相关结构。s k l a r 提出了任何联合分布都可分解为边际分布和相关结 构。应用c o p u l a 来拟合资产之间的相关结构的文献屡见不鲜，但通常都是单参 数c o p u l a 族。然而，随着资产组合的日益丰富，相关结构的复杂性越来越高，单 参数c o p u l a 族已经不能充分揭示各资产之间的相关结构。 b e r n s t e i nc o p u l a 是一种多项式形式的多参数c o p u l a 族，目前已有文献利用 它来拟合资产之间的相关结构。本文以b e r n s t e i nc o p u l a 为基础，提出并定义了 对称b e r n s t e i nc o p u l a ，以定理的形式给出其基本性质。在资产组合之间的相关结 构较对称的情况下，本文从理论上说明了对称b e r n s t e i nc o p u l a 相对于b e r n s t e i n c o p u l a 以及单参数c o p u l a 族的优越性，从应用上证明了对称b e r n s t e i nc o p u l a 的 拟合效果要优于所涉及的其它c o p u l a 族。 关键词：c o p u l a ，对称b e r n s t e i nc o p u l a ，经验c o p u l a ，生存c o p u l a a b s t r a c t i nm a n yf i e l d s o ff i n a n c e ，s u c ha ss t o c k ，p o r t f o l i oa n de x c h a n g er a t e ，i n o r d e rt or e d u c et h er i s k ，i n v e s t o r su s u a l l yi n v e s ti ns o m ep o r t f o l i o s t h ed e p e n - d e n c ea m o n gt h ep o r t f o l i o si st h ek e yf a c t o rt or e d u c eo rd i s p e r s et h ef i n a n c i a l r i s k b e c a u s eo fi t ss p e c i a lp r o p e r t i e s ，c o p u l ai sb r o a d l ya p p l i e dt od e s c r i b et h e d e p e n d e n ts t r u c t u r e t h ef a m o u st h e o r y ，s k l a rt h e o r y , s h o w st h a ta n yj o i n t d i s t r i b u t i o nc a nb ed i v i d e di n t om a r g i n a ld i s t r i b u t i o n sa n dd e p e n d e n ts t r u c t u r e ， i e c o p u l a r e s c e n t l y , m o r ea n dm o r ep a p e r su s ec o p u l at of i tt h ed e p e n d e n t s t r u c t u r ea m o n gp o r t f o l i o s ，b u tt h ec o p u l a st h e yu s e da r eu s u a l l yo n ep a r a m e t e r f a m i l i e s w i t hp o r t f o l i o sb e i n gm o r ed i v e r s e ，t h ec o m p l e x i t yo fd e p e n d e n ts t r u c - t u r ei sh i g h e ra n dh i g h e r ，o n ep a r a m e t e rc o p u l a sh a v ea l r e a d yc o u l d n td e s c r i b e t h ed e p e n d e n ts t r u c t u r ea m o n gp o r t f o l i o ss u f f i c i e n t l y b e r n s t e i nc o p u l a ，w h i c hi si nf o r mo fm u l t i n o m i a l ，i so n eo ft h em u l t i p l ep a - r a m e t e r sc o p u l a s s of a r ，s o m ep a p e r sh a v eu s e di tt of i tt h ed e p e n d e n ts t r u c t u r e a m o n gp o r t f o l i o s t h i sp a p e rw h i c hi sb a s e do nb e r n s t e i nc o p u l a ，p u t sf o r w a r d a n dd e f i n e st h es y m m e t r i cb e r n s t e i nc o p u l a ，p r o v i d e si t sb a s i cp r o p e r t i e si nt h e f o r mo ft h e o r y w h e nt h ed e p e n d e n ts t r u c t u r ea m o n gp o r t f o l i o si sf a i r l ys y m m e t r i c ，t h i sp a p e rs h o w ss o m ea d v a n t a g e sc o m p a r e dw i t hb e r n s t e i nc o p u l aa n do n e p a r a m e t e rc o p u l a st h e o r e t i c a l l y ，i ta l s od e m o n s t r a t e st h a tt h ef i t n e s so fs y m m e t r i c b e r n s t e i nc o p u l ai sb e t t e rt h a no t h e rc o p u l a s k e yw o r d s ：c o p u l a ，s y m m e t r i cb e r n s t e i nc o p u l a ，e m p i r i c a lc o p u l a ，s u r v i v a l c o p u l a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致i 勇 之处外，论文中不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丕洼盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学雠文储躲夏辱f 积签字吼堋7 年1 月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤注盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 更新青、 签字日期：2 叩7 年f 月i 口日 导师签名： 签字日期： 第一章导论 1 1 资产组合 投资决策的一个核心问题是在未来不确定的环境下如何进行资源分配和利 用，达到分散风险、提高收益的目的，为此资产组合理论应运而生。资产组合h 1 是 指投资者把投资的资金有计划地分配于多种资产类型中，使各类资产的投资金额 在总投资额中达到合理的比率，以使得整个投资组合的总收益尽可能地高而风 险却是最低。这里所谓的资产包括所有可供选择的财富形式，既可以是股票、债 券和基金等有价证券，也可以是外汇、不动产和私人资本等，甚至还可以是各种 金融衍生工具( 如期权、期货等) 、实业投资和人力资本等。由于有价证券，特别 是普通股票作为一种公开交易的资产类型，是风险资产的典型代表，具有信息公 开、资料易得的特点，从而成为资产组合理论的主要研究对象。因而，资产组合 理论又被称为证券组合理论。另一种称法为“投资组合理论”，其与“资产组合理 论”的称法并无实质不同，本文选择“资产组合理论”的称法，而称之为“现代资 产组合理论”则是相对于“传统资产组合理论”而言的。 1 1 1 传统资产组合理论 从目前的文献资料看，所谓的“传统资产组合理论”这一说法并不多，更多 的说法是“传统资产( 或投资) 组合管理”或者“传统资产( 或投资) 组合方法”，后 两者的主要内容是确定证券投资目标后，进行科学、合理的分析，选择合适的股 票或债券以及买卖数量，建立恰当的证券组合，并对其运行效益进行日常监控和 调整，以保障组合目标的实现。 传统资产组合理论的主要内容应该由两部分组成p 1 ，一部分是资产组合管理 理论，即前面提到的“传统资产( 或投资) 组合管理”或者“传统资产( 或投资) 组合 方法”的主要内容，另一部分是投资分析理论，主要包括基本分析和技术分析的 理论和内容，之所以要把这部分内容包括进来，主要的考虑就是要进行资产组合 管理就离不开投资分析。传统资产组合理论的主要内容构成如图1 一i 所示。 1 1 2 现代资产组合理论 1 现代资产组合理论的发展脉络 犹太教法典中有一句格言：人们应当总是将其财富分为三：一部分投资于土 地，一部分用于商业，其它的三分之一留在手中。相比之下，i 司样作为资产组合 第一章导论 图1 - 1 传统资产组合理论的主要内容 理论的原始思想，广为人知的“不要把你的鸡蛋全部放在一个篮子里”显得更为 朴实。 理论上说，有关投资分散理论的阐述可追溯n 2 0 世纪3 0 年代，希克 斯( h i e k s ) 在其关于简化货币理论的建议一文中指出：“从事多个风险性投 资所遭受的全部风险，并不简单地等于各独立投资分别承担的风险之和。在多数 情况下，大数定律将发挥作用。所以从事若干个独立的风险性投资所承担的风险 将小于把全部资金都投资于一个方向所遭受的风险，当投资很分散时，全部风险 会降到最小。”这一论述虽然表明组合投资可以降低风险，但并没有深入分析为 何要进行组合投资以及组合投资具有何种机制和效应的问题，因此未形成一个完 整的理论体系。 第一次将不确定因素引入资本理论模型，把方差作为风险的测度，运用数理 统计工具证明分散投资可以降低风险，并指导投资者如何进行最优的组合选择， 马克维茨( h a r r ym m a r k o w i t z ) 教授无疑是第一人。 1 9 5 2 年，马克维茨在财务学刊上发表资产组合的选择一文，标志着现 代资产组合理论的开端。该文最先采用风险资产的期望收益率和收益率方差( 或 第一章导论 标准差) 两个参数度量资产的收益和风险，运用数学模型研究资产组合的选择问 题。几十年来，资产组合理论，包括资产组合的选择、定价和评价一直是现代财 务理论和金融投资理论的前沿。实际上，1 9 5 2 年，罗伊( r o y ) 提出了与马克维茨的 分析框架极为相似的“安全第- - ( s a f e t yf i r s t ) ”模型，但由于马克维茨的文章早发 表了几个月，通常人们认为马克维茨是现代资产组合理论之父。 1 9 5 8 年，托宾( t o b i n ) j l 蕴过将无风险资产引入马克维茨的模型，使资产组合理 论出现了一次跳跃发展。托宾认为投资者应该将资金在某种流动性强的安全资 产( 现金或国库券) 与某种风险资产( 债券或证券组合) 之间进行分配。这是因为： 投资者持有风险资产虽可能获得收益，但要承担由此产生的风险；持有安全资产 没有收益( 或低收益) ，但不必承担风险。由于收益产生的正效用会随收益的增加 而递减，而风险的负效用会随着风险的增加而递增。因此，当最后一单位安全资 产所产生的边际正效用与最后一单位风险资产所产生的边际负效用之和为零时， 投资者的总效用达到最大。也就是说，理性投资者最优的资产选择和资产结构应 满足以下条件：在该资产结构中，其边际收益与边际成本( 风险) 相抵，即“预期 的资本价值损益总是等于零”。由此得出的结论是：资产组合投资的问题应分为 两个步骤，一是根据马克维茨的理论决定投资于不同风险资产的比例：二是在风 险资产组合与安全资产组合之间做出分散投资的决策。此即托宾的第一分离定 理( s e p a r a t i o nt h e o r e m ) 。分离定理的经济学含义在于：持有安全资产的比例反 映了投资者风险回避的程度，而最优的风险资产组合与投资者的风险偏好是相互 独立的。分离定理对于推导标准资本资产定价模型至关重要。 托宾的研究成果澄清了资产选择的任务，但由于他使用的仍然是马克维 茨的全方差模型，在当时技术条件下，巨大的计算量无疑限制了其实际操作 性。1 9 6 3 年，夏普( w i l l i a ms h a r p e ) 开辟了资产组合选择的另一途径，他认为证券 价格与市场的升降是协同运动的，所以证券之间的收益相关性主要是由于各种证 券对市场共同反应造成的，即证券的收益与市场指数的收益之间存在线性函数关 系，这就是单指数模型。按照这一模型，在最优资产组合的求解过程中，每种证 券只需估计期望值、方差以及市场指数的协方差三个参数，这使得马克维茨和托 宾的理论运用成本大大降低，进入了现实世界的实际应用。 1 9 6 6 年，金( k i n g ) 首先运用夏普的单指数模型对1 9 2 7 - 1 9 6 0 年纽约证券交易所 不同行业6 3 种股票的风险性质进行了实证研究。结果发现，股票的价格的确随市 场的波动而协同变化，但变化的程度却凶行业的不同而有所不同，即行业因素也 一3 第一章导论 有助于股票价格变动的预测。在此基础上，布鲁姆( m a r s h a l lb l u m e ) 等人提出了 多因素模型。多因素模型是指除市场因素外，其它非市场因素f 如通货膨胀率、失 业率、利率、汇率、行业因素等) 的变动也会影响股票价格的变化。至于单指数模 型和多因素模型孰优孰劣，尚无一致结论。 以上就是现代资产组合理论的发展脉络，用图形表示如下 2 现代资产组合理论的主要内容 现代资产组合理论所包括的主要内容，一般有狭义和广义之分。狭义的现代 资产组合理论就是指马克维茨的均值方差理论。广义的现代资产组合理论首先 应包括传统资产组合理论和狭义现代资产组合理论的内容，这部分内容在前面已 论述，其次应当包括在马克维茨的组合选择理论基础上发展起来的资本市场理 论。此外，现代资产组合理论还应包括自身赖以存在的理论前提，那就是有效市 场理论。最后，现代资产组合理论应包括在对有效市场理论和资本资产定价模型 形成挑战和质疑的背景下形成的行为金融理论。有效市场理论和行为金融理论 的详细介绍见文献1 1 。 现代资产组合理论的主要内容的结构如图l 一3 所示。 1 1 3 我国的现状 我国对现代投资组合理论的研究是从1 9 9 0 年马克维茨和夏普等人获得诺贝 尔经济学奖开始的。国内的许多学者对该理论进行了认真深入研究的同时，在该 理论的实证检验及应用方面也都作了一些有益的尝试和探索。但是，从目前来 看，现代资产组合理论在我国的研究和应用仍然受到一些人士的质疑，这些人的 图1 2 现代资产组合理论的发展脉络 第一章导论 现代资产 组合理论 薹喜姜主l 组裔理论l 广义资产 组合理论 狭义资产ll 传统资产ll 资本市场ll 效率市场 级台理论l | 组合理论il 理论il 理论 因素 模型 资本资产 定价理论 套铡定价 理论 有效市场 理论 行为金融 理论 图1 3 现代资产组合理论的主要内容 理由也很简单：中国的证券市场甚至连弱型有效都达不到，样本周期也不够长， 与应用现代资产组合理论所要求的苛刻假设条件相差太远，而且投资中国证券市 场不应用资产组合理论同样也能获得超额收益，再说大多数的投资基金或机构投 资者目前应用的还是传统资产组合理论。 尽管如此，国内在资产组合的选择模型猫1 和有效边界1 1 的确定等方面，取 得了一定的研究成果。 1 2 研究背景 投资决策所要解决的主要问题是怎样将资金合理的分配于各个资产，从而 达到分散及降低风险的目的。降低风险的决定凶素就是各个资产之间的相关 性强弱。显然，相关性越强，降低风险的效果越弱；相关性越弱，降低风险的 效果越强。然而，度量相关性强弱的前提就是必须了解资产之间的相关结构， 耳p c o p u l a 。因此，选择一个好的c o p u l a 来拟合资产之间的相关结构意义非常之 重大。s k l a r 定理将相关结构( c o p u l a ) 从联合分布中提取出来，使c o p u l a 成为 度量相关性的好方法。目前，c o p u l a 的应用范围越来越j 。泛，尤其是在金融经 济领域h ”1 ，主要用来拟合资产组合中资产之间的相关结构，使用的c o p u l a 以 单参数族为主u 黾，多参数c o p u l a 族虽然也有所涉及，但都没有深入研究。然而， 在很多领域，单参数c o p u l a 族难以充分描述金融数据之f d 】的复杂结构，人们 第一章导论 开始考虑运用多参数c o p u l a 族来拟合这种相关结构p 。很多情况下，资产组合 之间的相关结构是对称的，因此有必要将对称多参数c o p u l a 族拿出来单独研 究。本文以b e r n s t e i nc o p u l a 族为基础，首先提出对称b e r n s t e i nc o p u l a 的概念， 对b e r n s t e i nc o p u l a 以及对称b e r n s t e i nc o p u l a 的基本性质做了深入研究，并给出 了对称b e r n s t e i nc o p u l a 在股票方面的一个应用实例。 本文的结构这样安排：第一章介绍资产组合的概念及发展史；第二 章介绍c o p u l a 的相关概念及性质：第三章重点讲述b e r n s t e i nc o p u l a 以及对 称b e r n s t e i nc o p u l a 的定义、性质及相关证明；第四章以股票数据为例，给出对 称b e r n s t e i nc o p u l a 的实际应用；第五章结论与展望。 第二章c o p u l a t - 里论简介 c o p u l a 是连接联合分布和边缘分布的函数，也可以说它是一个边缘分布为均 匀分布的分布函数。在给出它的准确定义和基本性质之前，首先给出几个必要的 基本概念。 2 1基本概念 冗表示普通的实轴( 一。，+ 。o ) ，詹表示扩展以后的实轴 一o 。，+ o o 】，元宠表 示扩展以后的实平面，元詹中的一个矩形是两个区间的笛卡尔积：b = 【x l ，x 2 】 y l ，y 2 】b 的顶点是点( z 1 ，v 1 ) ，( x l ，沈) ，( x 2 ，y 1 ) 并 u ( x 2 ，沈) 。 定义2 1 设& ，$ 表示元的非空子集，日是一个函数，d o m h = s 1 ， 矩形b = 【x l ，x 2 】 y l ，沈 的所有顶点在d o m h 中，称 h ( x 2 ，y 2 ) 一h ( x 2 ，y 1 ) 一h ( x l ，y 2 ) + h ( x l ，y 1 ) 为b 的日量，记为( b ) 如果定义日在b 上的一阶差分为 袈日( z ，y ) = h ( x 2 ，y ) 一h ( x l ，可) 和器日( z ，y ) = h ( x ，y 2 ) 一日( ，饥) 则b 的日量1 ( b ) = a 。z 2 ，y 2 。日( z ，秒) ，即日的二阶差分 上述二元情况可以推广到死元：假设s 1 ，岛，& 表示宠的非空子 集，日是一个函数，d o m h = s 1 & & ，对v a = ( a 1 ，a 2 ，o n ) ，b = ( b l ，b 2 ，b 住) e d o m h ，且a b ( o t b i ，i = 1 ，2 ，佗) 记b = 【a l ，b l 】【a 2 ，5 2 】 陋n ，b n l ，则b 的日量( b ) = 一a 8 b l 。一8 b 2 。，即日的几阶差分 定义2 2如果瞻( b ) 0 成立，其中b 的所有顶点都落在d o m h 中，则称 函数日是二元增函数( 2 一i n c r e a s i n g ) 。 定理2 1s 1 ，是宠的非空子集，是二元增函数，d o m h = 马 岛，z 1 ，z 2 s l ，且z 1 x 2 ；y 1 ，耽& ，r y l 耽，那么函数thh ( t ，y 2 ) 一 h ( t ? y 1 ) 及hh ( x 2 ，t ) 一h ( x l ，t ) 分别在s 1 和上非减。 定义2 3 假设& 有一个最小元a 1 ，s 2 有一个最小元a 2 ，如果对v ( x ，爹) s 1 岛，h ( x ，a 2 ) = h ( a 1 ，y ) = 0 成立，则称函数日是从s 岛到r 一卜基础 的( g r o u n d e d ) 。 第二章c o p u l a 理论简介 2 2 二元c o p u l a 2 2 1 定义及性质 定义2 4 满足以下性质的函数c 7 称为二元s u b c o p u l a ： d o m c = & 岛，& ，岛是i 的非空子集。 c 7 是基础的，且是二元增函数。 对沌s 1 ， & ，( 乱，1 ) = u ，c 7 ( 1 ，移) = v ，x 4 v ( u ，v ) d o m c ，0 c 7 ( u ，v ) 1 ，艮p r a n c 7ci ，这里i = 【o ，1 】。 定义2 5 - - ：元c o p u l a 是定义域为1 2 拘s u b c o p u l a 。 性质2 1 二元c o p u l a 具有如下基本性质： 1 基础的( g r o u n d e d ) ：v u ，ve i ， c ( u ，0 ) = c ( 0 ，v ) = 0 ； 2 边缘一致| 生( c o n s i s t e n tw i t hm a r g i n s ) ：v u ，ve i ， c ( u ，1 ) = 让，c ( 1 ，u ) = ； 3 二元单调增( 2 一i n c r e a s i n g ) ：v u l ，u 2 ，v lu 2 i ，让1 u 2 ， 1 v 2 ， c ( u 2 ，v 2 ) 一c ( u x ，v 2 ) 一c ( u 2 ，v 1 ) + c ( u l ，v 1 ) o ； 4 有界性( 概咒d e d ) 1 2 1 1 ：v ( u ，u ) 1 2 ， w ( u ，v ) = m a x u + u l ，o ) c ( u ，v ) m i n u ，钉) = m ( 乱， ) ，( 2 1 ) 分别称w ( u ，u ) 及m ( 乱，u ) 为c o p u l a 的f c h e t - f 界与上界。般地，对任意二元分 布f ( z ，秒) ，都有m a x 只( z ) + 毋( ) 一1 ，o ) f ( x ，y ) m i n f l ( x ) ，毋( ) ) 。 如果把c 看作是边缘分布为i 上均匀分布的联合分布函数，则性质1 、2 、3 是显然 的，性质4 证明见【2 2 。 如果随机变量x 和y 是相互独立的，那么它们的联合分布f ( 乱， ) 可以用乘 积c o p u l a n 来表示j 即 f ( u ，u ) = p ( x 钆，y ) = i i ( 只( 让) ，局( 秒) ) = r ( 乱) b ( 口) 其中，e ，i = 1 ，2 是x 和y 的边际分布函数 第二章c o p u l a s 论简介 定理2 2 设连续随机变量x 和y 的c o p u l a 为 y ，o l 和p 分别是r a n x 和 r a n y 上的严格单调函数，则 ( 1 ) 如果q 和p 都是严格单调增函数，那么 q ( x ) 卢( y ) = ( “j x y u n ( x 妒( y ) 2 ( 2 ) 如果o l 是严格单调增函数，p 是严格单调减函数，那么 g ( x ) p ( y ) ( 让，v ) = u c x r ( u ，1 一钉) ( 3 ) 。如果是严格单调减函数，p 是严格单调增函数，那么 c & ( x ) p ( y ) ( 乱，v ) = 一c x y ( 1 一仳，u ) ( 4 ) 如果q 和p 都是严格单调减函数，那么 c o 。( x ) j 3 ( y ) ( u ，射) = i t + v 一1 + c x y ( 1 一让，1 一u ) 证明 以( 1 ) 为例，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 可类似证明令r ，g 1 ，足，g 2 分别表 示x ，y q ( x ) ，p ( y ) 的分布函数由于q 和p 是严格单调增函数，因此局( z ) = p o l ( x ) z 】= p x q - 1 ( z ) 】= 蜀( 一1 ( z ) ) ，类似地g 2 ( 可) = g 。( p 一1 ( 芗) ) 因 此，对任意z ，y 卮， q ( x 归( y ) ( 足( z ) ，g 2 ( 可) ) = p b ( x ) 墨z ，芦( y ) 胡= p x 口一1 ( z ) ，y p 一1 ( 可) 】 = c k y ( 日( q 一1 ( z ) ) ，g ( p 一1 ( 可) ) ) = c x y ( 尼( z ) ，g 2 ( y ) ) 由于x 和y 是连续的，r a n f 2 = r a n g 2 = i ，因此在1 2 上，瓯僻阳( y ) = c 支y - 定理2 3 ( s k l a r 定理) 如果随机向量( x ，y ) 有联合分布函数f 和一元 边缘分布函数蜀，易，那么对v ( x ，y ) 袁豆有 f ( x ，y ) = c ( f 1 ( z ) ，最( y ) ) 成立，则称c 为( x ，y ) 的相关结构函数。如果边缘分布是连续的，那么相关结构c 是 唯一确定的；否则，c 在r a n rx r a n f 2 上唯一确定 根据s k l a r 定理，可以得到求c o p u l a 的方法，即利用联合分布函数和边缘分布 函数来求c o p u l a c ( 让，v ) = f ( 矸1 ( 钮) ，巧1 ( 钉) ) ( 2 - 2 ) 第二章c o p u l a 理论简介 例2 1 由( x ，y ) 的二元联合分布函数 f ( x ，y ；5 ) =( 1 + e 一茁+ e 一可+ ( 1 一a ) e z e 一掣) 一1 ，z 0 ，y 0 ， 其中6 一l ，1 1 ，容易求出x ，y 的边缘为l o g i s t i c 分布 r ( z ) = ( 1 + e - x ) ，f 2 ( y ) = ( 1 + e 一) 对于札，v 【0 ，1 】，f 1 ，r 的反函数分别为 盯1u ) = 一l o g ( u 一1 1 ) ，巧1v ) = 一l o g ( v 一1 1 ) 由( 2 2 ) 可知 c ( u ，钞；5 ) = 这就是a l i m i k h a i l h a qc o p u l a 。 例2 2 u 秒 1 一a ( 1 一仳) ( 1 一口) 设随机向量( x ，y ) 的二元联合分布函数为 f ( x ，y ；5 )= e x p 一【e z + e - - v 一( e 缸+ e 幻) 一1 6 】) ，一o o x ，y 0 容易求得边缘为g u m b e l 分布 乒lx ) = e x p 一e z ) ，j 1 2 ( y ) = e x p - e 一管) 对于乱，v 【0 ，1 】，反函数分别为 由( 2 - 2 ) 可知 f f lu ) = 一l o g ( 一l o g u ) ，巧1 ( ) = 一l o g ( - l o g v ) c ( u ，u ；5 ) = “ e x p 【( 一l o gu ) 一艿+ ( 一l o gv ) 一6 】一1 6 ) 这是g a l a m b o sc o p u l a 矧。 2 2 2 常见的二元单参数c o p u l a ( 1 ) 正态( 高斯) c o p u l a 哪卿o = 仁_ 砌 ( 2 ) 中一1 ( t ，) o o 1 r8 2 2 5 s t + t 2 丽万孬唧t 一1 盯巧r d s d t 其中6 为线性相关系数，一1 5 1 垂为标准正态分布函数，西- 1 是圣的反函 数，5 = 0 时，v 相互独立，例= 1 时，以v 完全相关。 自由度为钞的tc o p u l a c ( u , v ；p v ，= r f 而1 1 + 篙r 2 v 2 1 0 d s d t 第二章c o p u l a s 论简介 其中加为线性相关系数，一1 p 移 称岛是由a 生成的极值c o p u l a ，其中函数a 是定义在i 上的p i c k a n d s 相关函 数，满足 m a x t ，1 一亡， a ( t ) z ，y 秒) ，则生存边缘函数为扁= 户( z ，一o o ) ，扇= 户( 一。o ，夕) 。 那么可得出 f ( x ，y ) = 1 一日( z ) 一易( 可) + f ( x ，y ) = 只x ) + f 2 ( 可) 一1 + c ( f 1 ( z ) ，r ( 可) ) = f 1 ( z ) + f 2 ( 矽) 一1 + c ( 1 一只( z ) ，1 一f 2 ( 彰) ) ， 所以生存c o p u l a ( s u r v i v a lc o p u l a ) c ( u ，v ) = 乱+ 2 ，一1 + g ( 1 一让，1 一秽) ，户( z ，y ) = c ( 只( z ) ，b ( 磐) ) 注意：区别生存函数d 和生存c o p u l a 0 的不同。 c ( 乱，v ) ：p ( u u ，v v ) = 1 一乱一v + c ( u ，u ) = c ( 1 一“，1 一 ) 第二章c o p u l a ：理论简介 2 5 。2 对称性 定义2 8( 一维情况) 对于一个随机变量x 和实数a ，如果x a 并f l a x 有 相同分布，则称x 为关于a 对称的，即p ( x a z ) = p ( a x z ) ，当x 连续， 且有分布函数f 时，则f ( o + z ) = k ( a z ) 。 定义2 9( 二维情况) 如果x 和y 分别关于a ，6 对称，则称( x ，y ) 关于( o ，6 ) 边缘对称。 如果x a ，y 一6 的联合分布函数与a x ，b y 的联合分布函数相同，则 称( x ，y ) 是径向对称的。 如果( x a ，y 一6 ) ，( x a ，b y ) ，( a x ，y 一6 ) ，( a x ，b y ) 有相同 的联合分布函数，则称( x ，y ) 是联合对称的；与一维类似，若x 和】厂连 续，有联合分布f 和边缘分布f 1 ，f 2 ，则( x ，y ) 径向对称乍兮对v ( z ，y ) 鼋2 , f ( a + x ，b + y ) = k ( a x ，b 一可) 。 定理2 6x ，y 分别关于o ，6 对称，那么( x ，y ) 径向对称当且仅当c = 0 ， 即c r ( 乱，v ) = 钍十v 一1 + c ( 1 一u ，1 一u ) 。 证明： f ( a + z ，b + y ) = f ( 口一z ，b y ) 仁冷c ( f 1 ( a + z ) ，r ( 6 + 秒) ) = c ( 只a z ) ，易( 6 一秒) ) 错c ( f 1 ( o + z ) ，r ( 6 + 箩) ) = c ( e 1a + z ) ，r ( 6 + 箩) ) 仁号c ( 乱，u ) = c ( u ，v ) 定理2 7设x 和y 是联合分布为日的连续随机变量，边际分布分别 为f 和g ，c o p u l a 函数为c 。进一步假定x 和y 分别关于a 和b 对称，那么( x ，y ) 关 于( n ，6 ) 联合对称当且仅当 c ( 让，v ) = u c ( 钆，1 一秒) 且c ( u ，v ) = v c ( 1 一u ， ) ，v ( u ，钞) 1 2 证明过程类似于定理2 6 。 对称的另一种形式一一可交换 第二章c o p u l a 理论简介 定理2 8x ，y 是连续随机变量，有联合分布函数f ，边缘分布函 数r ，f 2 ，c o p u l a 函数c ，则x ，y 可交换兮只= 毋并h c ( u ，v ) = c ( v ，“) 。 注意：同分布的独立随机变量是可交换的( 因为c = n 对称) ；但同分布的可 交换的随机变量不一定是独立的( 因为c 除了是i i 外，还可以是其它形式，例如 o m ，v ) = e x p 一【( 一i nu ) 口+ ( 一i nv ) 口】1 p ) ) 2 5 3 经验c o p u l a 定义2 1 0 ( z 岛，讥) ) 楚1 是连续二元联合分布f ( x ，可) 的一个样本，称 瓯( 三，乏) ：塑塑塑坚逊坚塑些堂，i ，歹：1 ，2 ，他 nnn 为f ( z ，秒) 的经验c o p u l a ( e m p i r i c a lc o p u l a ) | 3 4 1 , 记作g ，其中z ( t ) ，可( j ) ，i ，j = 1 ，2 ，扎分别表示各自在一元样本中的次序统计量。对应的经验c o p u l a 频率 函数为 ( 丢，2 n ) = 言萋茗耿力“，鲰好1 2 5 4 秩相关系数 定义2 1 1假设随机变量x ，y 的边缘分布函数为r 和r ，联合分布 为，。( x 1 ，m ) ，( 恐，蚝) ，( 托，蚝) 是来自f 的独立随机向量，则称 7 _ = t x ，y = p 【( x 1 一x 2 ) ( m y 2 ) 0 】一p ( x l 一恐) ( m k ) 0 】一p ( x l 一拖) ( m 一蚝) 0 ) 一1 砑2 厶l l x l x 2 l y l 抛 d f ( 枷一1 = 4 厶f ( x l , y 1 ) d f ( x l , y 1 ) _ 1 = 4 c ( u ，v ) d c ( u ，u ) 一1 第二个等号类似可以证明。 定理2 1 0 相关系数为 定理2 1 1 ( 2 - 3 ) 一 x 和y 是c o p u l a 函数为c 的连续随机变量，那么x 和y 的g i n i 秩 7 c = 4 o c ( u , 1 - u ) d u 一0 1 乱一c ( 牡，乱) 】d 乱 假发g 和分别表示样本 ( z 七，玑) ) z ：l 的经验c o p u l a 函数以及 经验c o p u l a 频率函数，r ，t 和9 分别表示样本的p ，丁以及7 ，那么 1 2 r2 元巧 礼一l nn ff t ：- 一0 t = 1j = 1 g ( j i j1 。l 礼 死j 1 7 ( 2 - 4 ) 第二章c o p u l a 理论简介 t = 旦n - 1 i = 2 j = 2 p = l 萎q = l ( 去名) ( 罢，罢) 一( 去焉) ( 罢焉) 2 捌 夕= 南 喜g ( 熹) 一林一g ( 圳 浯6 ， 其中l n 2 2 j 蒯n 2 2 取整 上述两个定理的证明见文献 2 3 】。 2 5 5 尾部相关系数。 尾部相关系数是极值统计中度量随机变量相关性的主要方法。首先给出分布 的尾部相关性：渐近独立和渐近相关的定义1 3 剐。 定义2 1 2 设随机向量( x ，y ) 的联合分布函数为f ，边缘分布函数分别 为r 和易，若极限 l i m p r ( f 1 ( x ) 乱i 足( y