（计算机应用技术专业论文）广义mj集内部结构渲染及其噪声干扰特性.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科，其主要研究内容包括孤 子、混沌和分形，同这三个概念相对应的理论共同构成了非线性这门学科的理论基础。 本文侧重研究了具有重要意义的广义m j 集( m a n d e l b r o t 集与j u l i a 集) 的分形结构，主要 内容如下： 修改了逃逸时间算法，并根据迭代次数的不同分析了广义m a n d d b r o t 集( 广义m 集) 周期芽苞内部的点经过一定的预周期过程进入周期轨道的过程；这些具有同一预周期的 点集形成了一个周期芽苞状的环状结构；随着预周期值的增大，预周期的环状带向周期 芽苞边界扩散，直到填满整个周期芽苞为止。同时，对广义m 集预周期芽苞图的规律 及其演化过程进行了较为详细的实验观测及理论证明。 采用复变函数理论和计算机制图相结合的实验数学方法，研究了加性和乘性噪声合 成的新噪声扰动的广义m a n d e l b r o t 集( 简称广义m 集) 的结构特征和裂变演化规律；分析 了随机扰动参数对广义m 集结构的影响。 通过数学证明与计算机制图相结合的方法，研究了不同参数c 对应的不受噪声干扰 的广义j 集，受加性噪声干扰的广义j 集，受乘性噪声干扰的广义j 集以及加性和乘性 组合噪声干扰的广义j 集的结构。经对比分析，阐述了广义j 集的稳定性。 关键词：预周期；广义m 集；周期芽苞；噪声扰动；噪声干扰的广义j 集 大连理工大学硕士学位论文 t h e r e n d e r i n go fi n s i d es t r u c t u r ea n dn o i s ep e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm - j s e t a b s tr a c t t a en o n l i n e a rt h e o r yi san e w d e v e l o p i n gf r o n t i e rs c i e n c ew h i c hd e s c r i b e st h ec o m p l e x s y s t e m a t i c s t r u c t u r e s h a p e i t e a n t a i n st h r e e i m p o r t a n tc o n c e p t s ：f r a c t a l ，c h a o s a n d s o l i t o n h e r ew el a yap a r t i c u l a re m p h a s i so i lt h es t u d y i n go ft h ef r a c t a ls t r u c t u r eo ft h e g e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e ta n dj u l i as e t ，t h em a i nc o n t e n ta r e 弱f o l l o w i n g s ： m o d i f i e st h ee s c a p e - t i m em e t h o d ，a n a l y z e st h ep r o c e s st h a tt h ep o i n t si n s i d eap e r i o d b u l bo ft h eg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e t ( t h eg e n e r a l i z e dms e 0a f t e ri t e r a t i n gac e r t a i n p r e - p e r i o dp r o c e s sf i n a l l ye n t e ri n t ot h ep e r i o d i co r b i t a l lt h ep o i n t sw i t hs a m ep r e p e r i o d f o r mac i r c u l a r i t ys t r u c t u r ew h i c h s h a p e ss i m i l a ra st h ep e r i o db u l b ；a sp r e p e r i o dg r o w st h e c i r c u l a r i t ys t r u c t u r ed i f f u s e st o w a r d st h ep e r i o db u l bb o u n d a r yu n t i lc r a m st h ew h o l ep e r i o d b u l b b e s i d e s ，w ep r e s e n tap a r t i c u l a re x p e r i m e n t a lo b s e r v a t i o no ft h er u l eo ft h ep r e - p e r i o d b u l bg r a p h i co ft h eg e n e r a l i z e dms e ta n di t sg r o w i n gp r o c e s sa n do f f e rt h et h e o r yp r o o f a d o p t i n gt h ee x p e r i m e n t a lm a t h e m a t i c sm e t h o dc o m b i n i n gc o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o n t h e o r yw i t hc o m p u t e ra i d e dd r a w i n g ，t h i sp a p e rr e s e a r c h e so nt h es t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i ca n d t h ef i s s i o n - e v o l u t i o nl a wo ft h eg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e t ( g e n e r a l i z e dms e ti ns h o r t ) p e r t u r b e db yc o m p o s i n gn o i s eo fa d d i t i v ea n dm u l t i p l i c a t i v e ，a n a l y z e st h ee f f e c to fr a n d o m p e r t u r b a t i o nt ot h eg e n e r a l i z e dm s e t c o n t r a s t i v e l yr e s e a r c h e so nt h es t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i ca n dt h ef i s s i o n - e v o l u t i o nl a wo f f o u rd i f f e r e n tk i n d so fg e n e r a l i z e dj u l i as e t ( g e n e r a l i z e djs e ti ns h o r t ) w i t hd i f f e r e n t p a r a m e t e rc w h i c hi n c l u d e st h eg e n e r a l i z e djs e tw i t h o u ta n yp e r t u r b a t i o n ，t h eg e n e r a l i z e d j s e tp e r t u r b e db ya d d i t i v en o i s e ，t h eg e n e r a l i z e djs e tp e r t u r b e db ym u l t i p l i c a t i v en o i s ea n dt h e g e n e r a l i z e djs e tp e r t u r b e db yc o m p o s i n gn o i s eo fa d d i t i v ea n dm u l t i p l i c a t i v e ，a n a l y z e st h e e f f e c to fr a n d o mp e r t u r b a t i o nt o t h e g e n e r a l i z e djs e t , i l l u m i n a t et h es t a b i l i t yo ft h e g e n e r a l i z e djs e t k e yw o r d s ：p r e - p e r i o d ；g e n e r a l i z e dms e t ；p e r i o db u l b ；c o m p o s i n gn o i s ep e r t u r b a t i o n ； p e r t u r b e dg e n e r a l i z e djs e t - - i i i - 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 亡幺丛：曼篡囱鳌坌掏渲染区甚竖直王拉挂性 作者签名： 亟。鱼组日期：塑8 年上l 月2 生日 人迮理i ：人学硕十研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 日期：2 竺墨年生月盟日 日期：趔年1 2 月三l 日 大连理工大学硕士学位论文 引言 混沌论( c h a o s ) 是继相对论和量子力学问世，2 0 世纪以来物理学的第三次革命，它 研究自然界非线性过程内在随机性所具有的特殊规律性。而与混沌论密切相关的分形理 论( f r a c t a lt h e o r y ) 贝j j 揭示了非线性系统中有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。 从字面上来说，“分形 是指一类极其零碎而复杂，但有其自相似性或自仿射性的体系， 它们在自然界中普遍的存在着。虽然分形理论是2 0 世纪7 0 年代才首次提出，但经过十 几年的发展i 已成为一门重要的新学科，被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有 领域，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。 自然界大部分不是有序的、稳定的、平衡的和确定性的，而是处于无序的、不稳定 的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其 中一个例子。在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极为复 杂的现象背后，存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这 些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的 规律，局部和整体之间的本质联系。 经过多年的发展，分形理论逐步形成了自己的研究方法，以用于揭示无规则现象的 内部所隐藏的规律性、层次性和确定性。分形理论作为刻画非线性特征的重要工具，其 中一个重要分支就是分形发生学理论的研究。分形发生学主要对分形集的生成机理进行 研究，探索分形集发展，演化的规律，用动力系统的观点对分形集的复杂性进行刻画。 分形理论的创立者m a n d c l b r o t 利用计算机技巧，根据j u l i a 和f a t o u 所开创的“复平面 上有理映射理论的思想，研究了复平面c 上z z 2 + c 这样一个带有复常数c 的简单 映射，通过迭代能生成非常复杂的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集，这成为分形发生学理论的 开端。 本文在阅读大量文献总结前人成果的基础上，通过对广义m 集的深入研究发现，广 义m 集周期芽苞内部的点并非直接进入周期轨道，而是会先经过一个预周期迭代的过程 最终才能进入周期轨道，于是对这一预周期的过程进行了研究并给出了基于预周期的周 期芽苞内部结构的分析及渲染。接着将n e 西和r a n i 等提出的加性和乘性噪声组合成的 新噪声引入到广义m - j 集中，并对经过噪声干扰的广义m - j 集的分形结构特征进行了分 析并给出了理论证明，对比了不同噪声干扰下的广义j 集所呈现的不同状态，并综合噪 声干扰的广义m - j 集的结构特征，进一步分析和讨论了广义m 集和广义j 集的关系。 广义m j 集内部结构渲染及其噪声干扰特性 1 分形理论概述 入们周围的世界，远自浩瀚的星云，近至山川景色，浓云闪电，叶姿树态以及月中 殒坑，岩石结构，海岸边界，大自然诸多静态与动态形成了无比绚丽多变的复杂非线性 系统。几十年来，混沌( c h o a s ) 、分j 髟( f r a c t a l ) 、耗散结构( d i s s i p a t i v es t r u c t u r e ) 、协同学 ( s y n e r g e t i c s ) 、负熵论( n e g e n t r o p i c s ) 、突变论( c a t a s t r o p h et h e o r y ) 以及元胞自动学( c e l l u l a r a u t o m a t a ) 、符号动力学等相继问世，从不同的角度来研究非线性不可逆问题，以探索现 实世界在纷繁错综的外表下所蕴含的简单与和谐，窥见各种复杂现象问的共性【。 1 1分形产生的原因 人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，科学技术的发 展与几何学的进步始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客 观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、影射几何、微分几何等等。它 们能有效地描述三维世界的许多对象，如各种工业产品的形状，建筑物的外形和结 构等，因而千百年来一直是人们生产与科研的有用工具。然而，随着计算机特别是 计算机图形学的迅速发展，人们在使用计算机探讨一系列问题的过程中逐渐感到， 用传统的几何学已不能有效地描述某些自然界大量存在的对象，如海岸线、山形河 川、岩石、断裂、树木、森林、云团、闪电等。它们都是非规则形状，用欧几里德 几何学是无能为力的。另外，在科学研究中，对许多非规则对象建模分析如星系分 布、凝聚生长、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来 描述【2 l 。 我们知道，在客观自然界中存在许多事物，它们具有自相似的“层次”结构， 在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改 变。不少复杂的物理现象背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城， 嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有 特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度( 或者叫标度) ，这叫做“无标度 性刀的问题。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻 烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经 过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同 时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性 解决问题，湍流中高漩 涡区域，就需要用分形几何学。 大连理工大学硕士学位论文 在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海 岸线有多长? 这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从 几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是 一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各 种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几 个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的 尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没 有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度区， 长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 数学家寇赫从一个正方形的“岛 出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线 变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。事实上，分维才是“寇赫岛” 海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1 到2 之间。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续 的星体分布，就是具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型， 都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学 3 - 7 。 1 2 分形的历史 1 7 世纪时，数学家兼哲学家的莱布尼兹( l e i b n i z ) 提出了递归自相似性( 虽然他错误 的认为只有直线才具有自相似性) ，分形的数学从这时开始逐渐地成形。直到1 8 7 2 年， 威尔施特拉斯仪w e i e r e s t r a s s ) 给出了一个具有处处连续但处处不可微的函数的例子，这 个函数的图形也就是今天被称为分形的图形才出现。1 9 0 4 年，科赫( k o c h ) 不满意威尔施 特拉斯抽象又解析的定义，给出了一个相似函数的更几何性的定义，现在称为科赫雪花。 1 9 1 5 年谢尔宾斯基( s i e r p i n s k i ) 造出了谢尔宾斯基三角形；隔年，又造出了谢尔宾斯基地 毯。原本，这些几何分形都被认为是分形，而不是现今所认为的二维形状。1 9 3 8 年，保 罗皮埃尔雷维伊a u l p i e r r e t 后v y ) 在他的论文p l a n eo rs p a c ec u r v e s a n ds u r f a c e s c o n s i s t i n go f p a r t ss i m i l a rt ow h o l e ) ) 中将自相似曲线的概念更进一步地推进，他在文中描 述了一个新的分形图形一雷维c 形曲线。康托尔c a n t o r ) 也给出一个具有不寻常性质 地实数子集一康托尔集，现在也被认为是分形。复数平面的迭代函数在1 9 世纪末2 0 世 纪初被庞加莱( h p o i n c a r 6 ) ，克莱因( f k l e i n ) ，法托( p f a t o u ) 和朱丽亚( g j u l i a ) 等人所研 究，但直到现在有电脑绘图的帮忙，许多他们所发现的函数才显现出美丽来。2 0 世纪 6 0 年代，曼德勃罗b m a n d e l b r o t ) 开始研究自相似，且写下了一篇论文英国的海岸 线有多长? 统计自相似和分形维数。最后，1 9 7 5 年，曼德勃罗提出了“分形”一词， 一3 一 广义m _ j 集内部结构渲染及其噪声干扰特性 来标记一个物件，其豪斯道夫维会大于拓扑维。曼德勃罗以显著的电脑构架图像来描述 此数学定义。这些图形提供了人们的对分形的想象，很多是基于递归的，最终带来了分 形的流行。 1 3 分形的定义 事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略的说， 分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所包含的各种长度的代 表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度) ，但具有一定意义下的自相似图 形和结构的总称。大多数分形在一定的标度范围内不断放大其任何部分，其不规则程度 都是一样的，这个性质称为比例自相似性；而按照统计的观点，其任一局部经移位、旋 转、缩放变换后与其他任意部分相似。这两个性质揭示了自然界中一切形状及现象都能 以较小或部分的细节反映出整体的不规则性。曼德伯劳特最先引入分g 髟( f r a c t a l ) - - 词，意 为破碎的，不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集 合，或者具有某种意义下的自相似集合。为此，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： ( 1 ) 满足d i m ( a ) d i m ( f r a c t a l ) 的集合a ，称为分形集。其中，d i m ( a ) 为集合a 的 h u a d s o f f 维数( 或分维数) ，d i m ( a ) 为其拓扑维数。一般说来，d i m ( a ) 5 k 是整数，而是 分数。 ( 2 ) 部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。 正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列 特性来加以说明，因而对分形的定义也可作同样的处理【8 j 。 ( 1 ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 ( 2 ) 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也 不是某些简单方程的解集。 ( 3 ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 ( 4 ) 一般，分形集的“分形维数 ，严格大于它相应的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的 迭代产生。 从上述定义我们可以看出，分形的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结 构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性， 称为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分 大连理工大学硕士学位论文 割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的 放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 1 4 分形的应用 8 0 年代，分形在国外引起人们的极大关注，除了分形图像充分地向人们展示数 学理论与抽象的科学概念中所蕴含的自然美外，还在于分形在许多科学技术部门具 有广阔的应用前景i 引。 在客观世界的几何描述方面，分形几何是描述非规则图形及客观对象的有效工 具，特别是随着计算机图形学的应用发展，由于模拟自然景物、动画制作、建筑物 配镜以及影视特殊效果景物生成等的需要，用传统的几何学几乎无法描述，而用分 形方法，目前已经可以达到以假乱真的程度。美国a c ms i g g r a p h 每年会议发表 的最新研究成果中，有不少是基于分形方法建模而取得的。 在自然界与物理学中分形几何学也得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中 的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动( 布朗运动) ，这是花粉在大量液体分子 的无规则碰撞( 每秒钟多达十亿亿次) 下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺 寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由 大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。 在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝形状向外增 长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而 生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。 自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝树干可以分出不规则的枝权，每 个枝权继续分为细杈，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。 有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从1 公里到1 0 0 0 公里的无标度 区。小于1 公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1 0 0 0 公里时，地球曲率开始起作 用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经 足够了。分形存在于这中间区域。 在气象学中，人们运用分型理论开展研究取得不少进展。著名的洛伦兹吸引子 就是一个分形体，云的形状，降雨的模式和强度，降水量在土壤中的渗透模式等等， 都可以用分形理论进行分析研究。用分形的方法研究地表面的起伏，如山川、地形、 地貌的形态以及它们的产生、发展、分布的规律等，形成了分形地貌学这一新的学 科分支。它不仅以分形理论为基础对地表面的形态进行描述，而且还进而以分形维 数为中介参数以建立地貌与内部机制之间的联系。 广义m - j 集内部结构渲染及其噪声干扰特性 分形地貌学是理论地貌的一个重要分支，它研究( 1 ) 用计算机生成各种地貌，并 探讨其内部机制。例如各种标准的理想地貌、山峦、丘陵、沙漠、湖沼等。( 2 ) 用分 形理论计算现有地貌的分维，进而探讨其内在本质与规律。除此之外，还有地表面 水系，地下渗流，海岸线等方面的分形问题。早在1 9 8 2 年，m a n d e l b r o t 在分形专著 中就提出并强调分型地貌( l a n d s c a p e ) 的问题。 8 0 年代中提出的迭代函数系统，不仅可用来构造任意形状的植物而且在图像数 据的压缩方面，也提供了有力的方法，其压缩比非常高，实时地编码和解码表明， 它在图象通讯和远程计算机技术的发展中，具有广阔的应用前景。此外，大比率的 图形压缩也具有现实的军事，经济应用价值。 9 0 年代初发展的计算机“人工生命 的研究，与分形也有极其密切的关系。在 计算机上模拟“人工生命”，在理论上方法上都有赖于分形几何。诸如分形生长模 型，l 系统，细胞自动机，i f s 方法等。分形理论在生长模型f 包括晶体生长，神经 网络，表面催化等) 、经济规律( 包括人口的分布，城市规划等) 、地质( 断裂，地形地 貌，石油开采等) 、生物分形( 视网膜结构，经络，瘤组织特性等) 等领域的研究中， 已经取得不少成果。在社会科学和艺术领域，也在积极研究并应用分形理论。美国 好莱坞影片“星球大战i i 中就用了不少分形图案，其中有一系列奇峰异谷( 分形山 脉 ) 和各种独特的场景，都是人类用分形创造的外星世界，而产生这些新颖美丽的景 色的数学描述则是十分简单。分形几何的应用正在迅速遍及科研生产与生活的许多 方面。 1 5 分形的研究方向 分形理论是近一、二十年才发展起来的一门新的理论，因而目前仍处于不断发 展之中。自然科学领域( 如物理，化学，地球物理学及生物学等) 中的分形学术论文不 断增加，社会科学领域涉及分形的论文和书籍也越来越多【引。有关分形的国际会议及 各种专题讨论会有增无减。但是，这些年来关于分形的争论也很多。特别是1 9 8 8 年 以来，m a n d e l b r o t 与k r a n t z 一直在为分形的价值而争论不休【1 0 】。k r a n t z 认为，“对 分形一词没有明确的定义，作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头 ，而 m a n d e l b r o t 则认为，分形工作是充满想象力，具有挑战性的，这方面的研究加深了 我们对自然的理解。“如果我只是证明了少数几个定理的话，那么用这些定理很难 发现现在还没有创立的或潜在的研究领域，“我的一个定理回答了自从p o i n c a r e 定义了克莱因群的极限集后一直处于未解决状态的一个问题 。 大连理工大学硕士学位论文 k r a n t z 提出的问题是值得我们认真思考的。一般地说，下列问题需要人们花费 精力和时间深入进行研究i l 。 ( 1 ) 如何判断一个对象是分形或多重分形 m a n d e l b r o t 在i 9 8 2 年指出，h a u s d o r f f - b e s i c o v i t c h 维数严格大于其拓扑维数的 集合成为分形。但这仅是试验性定义，很不严格，也无可操作性。1 9 8 6 年，他修改 了这个尝试性定义，提出“其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形 。总 之，他自己也认为，目前仍然没有关于分形的完整而精确的定义。不少学者认为， 分形是“看一出来的，而无法严格证明“什么 是“分形 。因此，给分形_ 个严 谨的定义，还需努力。没有分形的定义之前，要判断分形与非分形是有困难的。当 然，也有学者如k f a l c o n e r 认为，无需给分形一个严格的定义，只要理解其含义就 行了，正如“生命 一词一样，虽然目前尚无一致公认的定义，但人们照用不误。 ( 2 ) 分形维数的物理意义 分形维数是描述分形特征的定量参数。但如何理解分维确切的物理意义，这是 人们经常提出的问题。h a u s d o r f f 维数的意义似乎明确一些，它定量的描述出一个集 规则或不规则的几何尺度，同时其整数部分反映出图形的空间规模。广义维数见或 奇异谱厂缸) ，主要表征多重分形的非均衡性和奇异性。在材料科学中，发现分维与 材料的某些性质参数有关；在化学领域，发现分维同催化剂的催化性和选择性有关。 但是，分维能否作为一个独立参数存在，现在还不太清楚。在时间序列分析中，广 联维数d 。或广义维数见，似乎尤其独特的作用。寻找分形维数的更深刻的意义和实 际的用途，对分形理论的发展是一个极为重要的问题。 ( 3 ) 分形的动力学机制 分形理论主要致力于形态的描述( 当然也对过程进行一些分析) ，对动力学机制 ( 包括产生分形的充要条件) 则很少涉及。为改变这种“知其然而不知其所以然的状 况，有必要引入非平衡态物理学，协同学等学科中一些概念和方法，还要把时间参 量纳入研究之中。同时，应对分数阶微分方程，非线性发展方程，辛几何等方面的 进展给与关注。总之，分形动力学是急需努力开拓的领域。 ( 4 ) 分形重构问题 分形集邮多种形成方式，但基本上都与迭代和递归过程有关，所形成的分形集 都表现出某种自相似性或拟自相似性( q u a s i s e l f - s i m i l a r ) 。分形重构问题广义而言是 任给一个几何上认为是分形的图形，能否以某个指定的方式生成它? 狭义而言则是 指能否通过映射迭代来实现这一分形图形? 这是动力学研究的逆问题。对于自相似 的分形，目前已有“拼贴定理 ，即任意分形集总可以用一系列自相似分形来逼近。 广义m j 集内部结构渲染及其噪声干扰特性 若把分形重构问题再扩大，则是“如何由分形维数来重构分形”，即已知一个分形 的维数，如何重新构建( 还原) 这个分形? 目前关于时间序列的动力学重构已有一些进 展，但还限于已知系统。显然，由于存在“一因多果”或“一果多因，由分形维 数来重构分形还必须有其他的辅助参数，仅靠一个分维是不够的。 ( 5 ) 关于j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集的问题 j u l i a 集( 记为j 集) 和m a n d e l b r o t 集( 记为m 集) 是复数二次多项式，0 ) 一z 2 + c 迭 代的结果，两者密切相关。迭代序列保持有界的复数z 0 的几何叫j u l i a 填充集，记为 群。j 集是闭子集且有界，它有完全不连通的c a n t o r 型和拟圆周形状的连通型两类， 取决于复数c 的取值范围。m 集定义为由复平面的使j u l i a 集填充集k 成为连通集的 复数c 构成的集合，它本身是一个平面紧致集，又是连通的，但其内部似乎是不连 通的。当是c 是m 集的一点，则它也是j u l i a 填充集疋的一点。m 集是否局部连通 的以及其边界维数的计算是值得研究的问题。最近有人证明，m 集几乎是局部连通 的，又有人提出m 集边界的分维是2 。另外，对于临界有限的整超越函数族的j u l i a 集，当参数变化时，其j u l i a 集可能发生“爆炸 ，在复指数函数族和复正弦函数族 中都发现了这种现象。这些都是需要迸一步研究的问题。 ( 6 ) 其他问题 如随机多重分形的数学问题，分形曲线的导数问题，分维计算的方法特别是由 混沌时序计算分维的可信度问题，多重分形的热力学相变实质及相变普适性划分判 断问题，分形的小波分析及小波变换产生分形的问题【1 2 1 ，生物膜的分形结构及其与 细胞膜病变的关系问题，原子分子的分形问题，胖分形( f a tf r a c t a l ) j 及重正化混沌 ( r e n o r m c h o a s ) i u l j 题 1 3 j ，自组织临界现象( s o c ) 及负幂律问题，图形的分形压缩问题。 总之，上面提到的这些问题对于分形理论的发展至关重要，需要人们深入进行 探讨和研究，而分形理论作为非线性科学的一个组成部分，它必将在发展中不断完 善和走向成熟。 1 6 本章小结 本章主要介绍了分形产生的原因及其历史，接着对分形的概念进行了讨论，在此基 础上分析了分形的应用领域，最后给了一些分形的研究方向。 大连理工大学硕士学位论文 2 分形理论基础 2 1j ui a 集 定义2 1 【1 4 】设厂：e _ e 是阶数大于1 的多项式，b 表示c 中那些轨道不趋于无穷 点的点的集合，即： = 仁c ：司厂七q ) 喙。是有界的】 称此集为相应于厂的充满的j u l i a 集，的边界称为多项式厂的j u l i a 集，记为j r ，即 1 ii 疆f 为了更好的了解j u l i a 集的基本性质，下面介绍正规解析函数的概念和m o n t e l 定理。 设【厂是c 中的开集，& ：u 呻c 为一解析函数族( 即函数在u 上在复的意义下可微) 。 如果从国。 中选出的每一函数序列都有子序列在u 的每一紧子集上一致收敛，并且或 者收敛到有界解析函数或者收敛到，则 g 。 在u 上称为正规的。注意到根据普通复变 函数理论这意味着在u 的每一连通区域上，子序列或者收敛到有限解析函数或者收敛到 。在前面的情形中，子序列的导数必定收敛于极限函数的导数。如果存在u 的某个包 含w 的开子集以使 g 。 是y 上的正规族，称函数族话。 在u 的内点w 上为正规的。 注意到这等价于存在1 4 的一个邻域”使倌。的每一序列都有在y 上一致收敛于有界 解析函数或的子列。下面给出m o n t e l 定理【引。 定理2 1 设信七 为开区域u 上的一族复变解析函数，如果位i 为非正规族，则对 所有的w c - - c ，至多除去一个例外值，存在k 和z u ，使敫( z ) 一w 。 利用该定理，可以得出j u l i a 集的一系列性质，由这些性质有下面的定理【1 6 1 。 定理2 2j u l i a 集- ，为多项式厂的斥性周期点的闭包，它是不含孤立点的不可数紧 子集，如果z ，则，是u 厂- ( z ) 的闭包。j u l i a 集是f 的包含无穷远点在内的每一 k - 1 吸引不动点的吸引域的边界，而且厂在，上的作用是混沌的。 定理2 3 设，：e _ e 是阶数大于1 的多项式，弓是厂的充满的j u l i a 集，j ，是厂 的j u l i a 集，则乃和，是c 的非空紧子集，即弓，f ( c ) ；同时厂u ，) 一j ，一，- 1 u ，) 及厂( 易) - 乃一f 。1 ( ) ，且圪一e 一鼻是路径连通的。 广义m - j 集内部结构渲染及其噪声干扰特性 2 2m a n d eib r o t 集 对于复平面的映射l ( z ) = z 2 + c ，对应每个c = c 1 + i c 2 ( c e c ，c 1 ，c 2e r ) ， c ，c q ) ) 是 依赖于两个参数的动力系统。参数( c 。，c ：) 全部可能取值称为参数空间。 定义2 2 【1 5 l 相应于动力系统砬，c q ) 一z 2 + c 的m a n d e l b r o t 集是 m = c e p ：j 。是连通的 由定义2 2 可见m a n d e l b r o t 集看来似乎与以的一个相当特殊的性质有关，事实上， m a n d e l b r o t 集包含了关于j u l i a 集构造的无穷信息。但定义2 2 不适合计算、应用的目的， 从下面定理中，可以导出m a n d e l b r o t 集的一个方便计算的等价定义。 定理2 4 【1 4 1 相应于一族动力系统p ，五o ) 一z 2 + c ) ( c c ) 的j u l i a 集是连通的，当 且仅当 m = c e c ：l f ( o ) i7 0 _ ) 这个m 集的等价的定义，是用逃逸时间算法绘制m 集的计算机图像的理论基础。 m 集有非常复杂的结构。它有某些明显特征：一个主要的心形图与一系列圆盘形的 “芽苞”突起连接在一起。每一个芽苞又被更细小的芽苞所环绕，依此类推。然而，这 并不是全部，还有精细的“发状分支从芽苞向外长出，这些细发在它的每一段上都带 有与整个m 集相似的微型样本。计算机制图中容易遗漏掉这些细发，然而精细的图形 说明m 集为连通集，并且在数学上己由康奈尔大学和巴黎高等师范的研究人员给予了 证明1 1 7 1 。 2 3 逃逸时间算法 动力系统是确定性分形的源泉，通过研究动力系统的轨道，一方面可以认识更多的 分形；另一方面可以了解构造分形图的理论根据。动力系统的定义如下： 定义2 3 ( 1 4 】度量空间僻力上的动力系统是一个变换，：x _ x ，记为伍丹。x 中 一点石的轨道是序列 厂”o ) ：万一1 ，2 ， 。 设僻力为给定的度量空间，( 雕) ，j l 力代表相应的带有豪斯道夫距离的非空紧子集空 间( 即分形空间) ，则确定性分形集a 即为( 雕) ， 力上的压缩映射与折叠变换的不动点集， 而讧丹扩为力上的变换) 构造了，j l 力上的分形动力系统。 定理2 5 设力为度量空间，x c y 是y 的非空紧子集，又设：厂：x y 是连续的， 且满足厂似) x ，p l u 1 6 】： 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 由似) = 厂1o ) ，v a e f ( x ) 定y t - - 个变换胍f ( x ) - - - f ( x ) ( 2 ) w 具有不动点彳，它由下式决定： 彳2 q ，”伍) 2 1 现形“伍) 如果，还满足： 设u c x 是度量空间僻力的开子集，则灭是度量空间纸矽，力的开子集。则有： ( 3 ) 矽是从度量空间( f ，i l 力到它自身的连续变换 由定理2 5 知，不变集( 分形集) a 可表示为 a - t x e x ：，“( x ) e x ，露一1 ，2 ，3 - ) 即a 是那些轨道不离开x 的点组成的，它是轨道逃离a 的点集的余集，故可得如 下构造分形集的逃逸时间算法【1 8 l 。 ( 1 ) 己知动力系统，丹，给定视窗缈及逃逸半径r 和逃逸时间限制； ( 2 ) 定义逃逸时间函数 r g ) = 。k ：，f ；k g ( x ) i l r r 且i 厂g ) l 1 ) ，则这样的点被称为准周期 点或m i s i u r e w i c z 点，记作帆一。 所有的m i s i u r 州i z 点对应的j 集记做j 。一j 。的图像呈树枝状，没有内部。m 集与j 集在c 值附近( 即m 集取c c j 。取z c ) 具有“渐进的自我相似性【2 0 , 2 1 】。意即在c 值附近的点所形成的图像，与其更接近c 的附近的图像几乎相似，而且越趋近c ，相似 程度越高。如果可以无限地逼近( 或得至1 ) m i s i u r e w i z 点，那么m 集与j 。的图像在保角变 换下是完全一致的。 m i s i u r e w i z 点具有以下特征【2 0 , 2 1 】： ( 1 ) 所有的m i s i u r e w i z 点都不在m 集的黑色区域之中： ( 2 ) m i s i u r e w i z 点附近的图像都显示出自相似的特点，也就是说，它们在参数川和旋 转角度a r g ( x ) 。所影响下的准周期点图像中心周围显示出自相似性，并且随着放大幅度 的增加，其图像将会更加精确。在图像的连续放大过程中，图象会产生一个微小的角度 差异： ( 3 ) 在图像中存在一类点，它们将会随着图像的收缩汇聚到主心脏线上的周期点； ( 在m i s i u r e w i z 点c 周围m 集图像与由c 产生的j ( c ) 在z c + 附近的图像非常一 广义m - j 集内部结构渲染及其噪声干扰特性 致。这一结果是谭蕾得到的【2 0 , 2 1 】，被称为t h e o r e mo f l e i 。 2 7 l e c u y e r 算法 就本质而言，噪声是一种随机变量【2 4 , 2 5 1 。当噪声影响一个动力系统的演化时，将其 称为动态噪声，该类噪声一般以加性或乘性的形式出现。离散动力系统一般通过映射吒 的迭代产生。随机动态系统则是一个在时域上有确定性的连续的附带噪声的动态系统的 组合。 随机数分为伪随机数( p s e u d or a n d o mn u m b e r ，p 对d 和真随机数( t r u er a n d o m n u m b e r ，删两类，已经广泛地应用于网络安全、保密通信、生物医学、系统仿真、 数值分析、计算机算法应用、科学决策、工业设计与制造、美学娱乐及科学研究等等领 域伪随机数是用数学算法产生的，这些数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正 的随机数，所以称这种数为伪随机数；真随机数是用物理方法产生的，它是选取真实世 界的自然随机性，产生的随机数称为真随机数。 常见的随机数发生器有两种：使用数学算法的伪随机数发生器( p s e u d or a n d o m n u m b e rg e n e r a t o r ，p r n g ) 和以物理随机量作为发生源的真随机数发生器( t r u er a n d o m n u m b e rg e n e r a t o r ，t r n g ) 。由于伪随机数是用数学公式产生的，因而它并不具备随机 性。但伪随机序列所具有的良好的无偏性，使得它能满足许多应用场合的要求。实际上， 一个有限长的伪随机序列在统计检验中的表现往往比一个